Konstruktion af de reelle tal

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Konstruktion af de reelle tal"

Transkript

1 Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe Thue Poulsen er eksistensen faktisk et postulat, og det er givetvis fornuftigt nok ikke at begynde filosofiske diskussioner angående eksistensen og entydigheden af R i et førsteårskursus. For den almindelige rus, og for den sags skyld også for praktiserende matematikere, er det tilstrækkeligt at vide at man kan konstruere et tallegeme der har de egenskaber som man ofte ubevidst anvender hele tiden. Imidlertid hører det, som så meget andet, til den almene dannelse i det mindste at have set en konstruktion. Der er flere mulige tilgangsvinkler, men som vi vil se på de følgende sider, kræver en af de simpleste blot kendskab til de rationale tal samt begreberne Cauchy-følge og ækvivalensrelation. For at det ikke skal virke som om problemet blot bliver skubbet en tand, nemlig til Hvorfor findes de rationale tal?, starter vi med en diskussion af hvor vi har de rationale tal Q fra. Denne vil lede os til at overveje hvorfor vi i det hele taget har noget vi kalder tal. Indhold 1 Sådan begyndte det hele Aksiomatisk mængdelære De naturlige tal De hele tal De rationale tal Konstruktion af de reelle tal Fuldstændighed Supremumsegenskaben

2 2 KAPITEL 1. SÅDAN BEGYNDTE DET HELE 1 Sådan begyndte det hele Vi indleder med to citater, som gerne skulle medvirke til at sætte det følgende i perspektiv. Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk. Leopold Kronecker ( ) Gud har intet skabt. Alt andet er menneskeværk. Flemming Topsøe (1938 ) Fra et matematikhistorisk synspunkt er begge disse citater interessante. I slutningen af 1800-tallet begyndte man at spekulere over fundamentet for matematikken. Der var mange problemer som man ikke anede hvordan man skulle håndtere, og efterhånden gik det op for matematikerne at et væsentligt problem var, at ingen havde en helt præcis definition af hvad et reelt tal er. Dedekind løste dette problem ved hjælp af en konstruktion, kendt som Dedekind-snit, der minder en smule om den konstruktion der præsenteres i afsnit 2 nedenfor. Imidlertid stillede dette ikke matematikerne tilfredse, for Dedekinds arbejde krævede at man vidste hvad de rationale tal var. Det er dog ikke svært at konstruere de rationale tal ud fra de hele tal (dette er fx gjort i Algebra 1-bogen i Appendix A.2). Mange mente, at de hele tal og deres aritmetik var så velforstået og naturlig, at man ikke behøvede definere nærmere hvad man mente med Z, og det er formentlig i dette lys man skal se Kroneckers udsagn. Andre mente derimod, at når man ikke engang havde en rimelig definition af hvad en mængde er, kan man heller ikke bare tage eksistensen af en mængde med så nydelige egenskaber som Z for givet. Problemer såsom det berømte Russels paradoks og andre af samme skuffe førte til forkastelsen af den såkaldte naive mængdelære. Der skulle andre boller på suppen. 1.1 Aksiomatisk mængdelære Vejen frem var at gøre som Euklid allerede havde gjort 2000 år tidligere, nemlig at aksiomatisere teorien. Stort set al matematik i dag bygger på, eller kan bygges på, Zermelo-Fraenkels aksiomer for mængdelæren, kendt som ZF. Hvis man inkluderer udvalgsaksiomet omtales systemet ofte som ZFC. Det vil føre for vidt at give en grundig omtale af aksiomerne i ZFC, da dette blandt andet ville kræve en lang udredning om førsteordens-logik

3 1.1. AKSIOMATISK MÆNGDELÆRE 3 og masser af andre spidsfindigheder, som undertegnede på ingen måde vil påstå at kende nok til. Men for at tilfredsstille læserens nysgerrighed er aksiomerne her. I ZF er alt mængder, inklusiv elementerne i mængderne. Derfor skal udsagn som A B læses som For enhver mængde A gælder at der findes en mængde B således at.... Aksiom 1 (Udvidelse). To mængder er ens hvis og kun hvis de har de samme elementer. A B : A = B ( C : C A C B) Aksiom 2 (Tom mængde). Der findes en mængde uden elementer. A : (A ) Bemærk at Aksiom 1 medfører, at den tomme mængde er entydigt bestemt. Thi hvis C : (C ) og C : (C ) følger det klart at =. Derfor er det meningsfyldt at snakke om den tomme mængde. Aksiom 3 (Parring). For vilkårlige to mængder A og B findes der en mængde der indeholder netop A og B som elementer. A B C D : D C (D = A D = B) Aksiom 4 (Forening). For enhver mængde A findes der en mængde B, således at elementerne i B netop er elementerne i elementerne i A. A B C : C B ( D : C D D A) Aksiom 5. (Uendelig) Der findes en mængde N, således at den tomme mængde er element i N, og så det for ethvert element A i N gælder at A {A} er element i N. N : N ( A : A N = A {A} N) Her er aksiomet om parring, Aksiom 3, underforstået anvendt til at konstruere singletonmængden {A} (overvej!). Dernæst er det samme aksiom anvendt til at konstruere mængden {A, {A}}, og endelig er aksiomet om forening, Aksiom 4, anvendt til at danne mængden A {A}. Som det vil fremgå af afsnit 1.2 nedenfor er det ikke tilfældigt at jeg har anvendt bogstavet N om denne mængde. Aksiom 6 (Potensmængde). For enhver mængde A findes der en mængde B, hvis elementer netop er delmængderne af A. A B C : C B ( D : D C = D A)

4 4 KAPITEL 1. SÅDAN BEGYNDTE DET HELE Dette B er entydigt bestemt, så det er rimeligt at betegne det P(A) eller 2 A og kalde det potensmængden af A. Thi hvis B og B opfylder betingelsen har vi at C : C B ( D : D C = D A) C B og ifølge Aksiom 1 medfører dette at B = B. Aksiom 7 (Regularitet). Enhver ikke-tom mængde A indeholder et element B således at A og B er disjunkte. A : A = B : B A ( C : C A C B) Dette aksiom har blandt andet som konsekvens, at ingen mængde kan være element i sig selv. Thi hvis A er en sådan mængde, kan vi konstruere mængden B = {A} jf. Aksiom 3. Ifølge regularitetsaksiomet skal B indholde et element således at B er disjunkt fra dette element. Da det eneste element i B er A, er vi tvunget til at vælge dette. Men A er netop ikke disjunkt fra B, da begge mængder jo indeholder A! Derfor kan A ikke findes. Aksiom 8 (Delmængde). Givet en mængde A og en proposition P, findes der en delmængde B af A bestående af netop de elementer C for hvilke P (C) er sand. A B C : C B (C A P (C)) Det næstsidste aksiom kræver en lille omformulering af hvad vi normalt forstår ved en afbildning. Nedenfor er en afbildning et udsagn P (, ), så der for ethvert X man måtte finde på at stikke ind på første plads findes netop et Y således at P (X, Y ) er sand. I symboler lyder dette X : ( Y : P (X, Y )) ( Y 1 Y 2 : P (X, Y 1 ) P (X, Y 2 ) = Y 1 = Y 2 ). Aksiom 9 (Udskiftning). Lad P være en afbildning. For enhver mængde A findes der en mængde B bestående af billederne af A under P. A B C : C B ( D : D A P (D, C)) Aksiom 10 (Udvalgsaksiomet). For enhver mængde bestående af indbyrdes disjunkte, ikke-tomme mængder, findes der en mængde der har netop et element tilfælles med hver af de ikke-tomme mængder.

5 1.2. DE NATURLIGE TAL 5 Det er noget rod at skrive dette sidste udsagn med kvantorer, men vi kan prøve at bryde det op i mindre dele. At A består af ikke-tomme, indbyrdes disjunkte mængder kan vi skrive ( B : B A = ( C : C B) ) ( B1 B 2 : B 1 A B 2 A = (( C : C B 1 C B 2 ) = B 1 = B 2 ) ) Første linje betyder klart at elementerne i A er ikke-tomme mængder. Den anden linje skal læses som følger: Hvis B 1 og B 2 er elementer i A, så gælder det at [hvis der findes et element C som er element i B 1 og B 2, så er B 1 = B 2 ], og udtrykker netop at mængderne er disjunkte. Lad os kalde hele denne smøre for ( ). Indtil videre har vi altså at A : ( ) = D, hvor D er den mængde der påstås at findes. Det vi mangler nu er at udtrykke egenskaberne ved D ved hjælp at kvantorer. Et bud ville være B : B A = ( ( C : C B C D) ( C 1, C 2 : C 1, C 2 B C 1, C 2 D = C 1 = C 2 ) ) hvor C 1, C 2 naturligvis er en forkortelse for C 1 C 2, og hvor C 1, C 2 B tilsvarende er en forkortelse for C 1 B C 2 B; ligeså for C 1, C 2 D. Hvis vi kalder denne smøre for ( ) er udvalgsaksiomet nu det simple udsagn A : ( ) = ( D : ( )). De ovenstående aksiomer sætter en i stand til at udføre alle de operationer vi er vant til på mængder, såsom forening, snit, relativt komplement og ikke mindst Cartesisk produkt. Herved er det også muligt at give mening til hvad vi forstår ved en funktion f fra en mængde X til en mængde Y. En måde at definere det på er at f er en tripel f = (X, F, Y ) hvor F er en vis delmængde af X Y, med den egenskab at x X!y Y : (x, y) F. 1.2 De naturlige tal Udstyret med ZF (og gerne C) er vi i stand til at konstruere mængden af naturlige tal. Oven i hatten er vi i stand til at udstyre denne mængde med operationerne + og, og når først dette er på plads er der ikke så langt til notens egentlige mål, de reelle tal. En berømt model for de naturlige tal er Peanos aksiomer. De lyder i al sin enkelhed (1) Der findes et naturligt tal 0.

6 6 KAPITEL 1. SÅDAN BEGYNDTE DET HELE (2) Ethvert naturligt tal a har en efterfølger, S(a). (3) Der er intet naturligt tal hvis efterfølger er 0. (4) Forskellige naturlige tal har forskellige efterfølgere; a b = S(a) S(b). (5) Hvis 0 har en given egenskab, og efterfølgeren til ethvert naturligt tal som har den givne egenskab også har den givne egenskab, så haves egenskaben af samtlige naturlige tal. Ovenstående er naturligvis kun aksiomer, og vi har endnu ikke vist at der findes noget der fortjener navnet de naturlige tal. Vi definerer en Dedekind-Peano-struktur som en tripel (X, x, f) som opfylder (1) X er en mængde, x X og f er en afbildning X X. (2) x tilhører ikke billedet af f. (3) f er injektiv. (4) Hvis A er en delmængde af X som opfylder x A og a A = f(a) A, så er A = X. Vi vil bevise eksistensen af en sådan struktur, og vise at den opfylder Peanos aksiomer. Lad F betegne funktionen, som til en mængde a knytter mængden a {a}. En mængde A kaldes induktiv hvis a A = F (a) A. Definer 0 = {} =. Aksiom 5 fortæller altså præcis at der findes en induktiv mængde som indeholder 0; lad N betegne den mindste sådanne. At man faktisk kan give mening til fællesmængden af alle induktive mængder som indeholder 0 er måske ikke helt oplagt, men ikke desto mindre sandt. Endelig lader vi S betegne restriktionen af F til N; idet N er induktiv er S en afbildning N N. Ligesom vi indførte speciel notation for bruger man som bekendt symbolerne 1, 2, 3,... for 1 = S(0) = 0 {0} = {0} 2 = S(1) = 1 {1} = {0, 1} = {, { }} 3 = S(2) = 2 {2} = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}} Påstanden er nu, at (N, 0, S) er en Dedekind-Peano-struktur, kaldet systemet af naturlige tal. Punkt (1) er oplagt, og ligeså oplagt er det at 0 = S(a) = a {a} for ethvert a N, så også (2) er opfyldt.

7 1.2. DE NATURLIGE TAL 7 Punkt (3) kræver en lille overvejelse. Hvis S(a) = a {a} = b {b} = S(b) skal vi vise at a = b. Lad c a. Vi skal så vise at c b. Da c a {a} = b {b} er der to muligheder; enten c b eller c = b. I det første tilfælde er vi færdige. Hvis ikke har vi altså c = b a. Men hvis b a kan vi ikke have at a b, fordi det ville stride med regularitetsaksiomet (man kan vise at dette medfører at der for enhver mængde x 0 ikke kan findes en uendelig kæde x 2 x 1 x 0 ), altså a b. Men da a a {a} = b {b} må vi så have at a {b}, hvilket præcis vil sige at a = b. Dette viser at a b, og pr. symmetri har vi også at b a. Antag nu endelig, at A N opfylder 0 A og a A = S(a) A. Disse antagelser betyder præcis at A er en induktiv mængde som indeholder 0, så pr. definition er N A; således er A = N og (N, 0, S) er en Dedekind- Peano-struktur. Bemærk at vi ikke blot har fået konstrueret os en stor mængde, men at den faktisk kommer forsynet med en masse struktur; nok til at vi kan definere regneoperationerne + og. Vi lader a+0 = a for alle a N, og definerer rekursivt a+s(b) = S(a+b) for a, b N. Nedenfor viser jeg, at (N, +) bliver en såkaldt kommutativ monoide (en gruppe hvor man dropper kravet om eksistensen af inverse). Tilsvarende defineres multiplikation ved hjælp af addition; vi lader a 0 = 0 og a S(b) = a b + a for a, b N. Hvis man har god tid kan man sætte sig ned og bevise at er kommutativ, og at den distributive lov (a + b) c = (a c) + (b c) gælder. Endelig giver S anledning til en total ordning på N. Vi siger at a b hvis der findes et naturligt tal c således at c + a = b. Heraf følger klart at 0 b for alle naturlige tal b, og at b 0 = b = 0. Her følger et par yderst nyttige lemmaer, som tilsammen blandt andet viser påstanden om at (N, +) er en kommutativ monoide. Bemærk specielt at jeg undervejs viser at 0 + a = a; et faktum som ikke er oplagt fra definitionen af +. Lemma 1.1 (Associativitet). For alle naturlige tal a, b og c gælder, at (a + b) + c = a + (b + c). Bevis. Lad a og b være givne tal, og lad C betegne delmængden af de naturlige tal bestående af de tal c for hvilke (a + b) + c = a + (b + c). Vi har så at (a + b) + 0 = a + b og a + (b + 0) = a + b pr. definition af +, så vi ser at 0 C. Antag nu at c C. Så har vi at (a + b) + S(c) = S((a + b) + c) = S(a + (b + c)) = a + S(b + c) = a + (b + S(c)), hvilket beviser at S(c) C. Men disse to ting medfører tilsammen at C = N.

8 8 KAPITEL 1. SÅDAN BEGYNDTE DET HELE Man kan også relativt let overbevise sig om at + er kommutativ. Vi deler det op i to lemmaer. Lemma 1.2. For alle naturlige tal a, b gælder at a + S(b) = S(a) + b. Bevis. Som man nok forventer lader vi a være et givet naturligt tal, og lader B betegne mængden mængden af de b for hvilke a + S(b) = S(a) + b. Vi har at a + S(0) = S(a + 0) = S(a) = S(a) + 0, så 0 B. Antag b B. Så har vi altså at a + S(b) = S(a) + b. Vi beregner så a + S(S(b)) = S(a + S(b)) = S(S(a) + b) = S(a) + S(b) (1) hvilket viser at S(b) B. Således er B = N og vi er færdige. Lemma 1.3 (Kommutativitet). For alle naturlige tal a, b gælder at a + b = b + a. Bevis. Beviset er lige ud af landevejen, når først man kender melodien. Vi viser først at 0 kommuterer med alting, altså at a + 0 = 0 + a for alle naturlige tal a. For a = 0 er det klart. Antag nu at 0 kommuterer med a. Så har vi at S(a) + 0 = a + S(0) = S(a + 0) = S(0 + a) = 0 + S(a), hvilket viser at 0 kommuterer med S(a). Altså kommuterer 0 med alle naturlige tal. Lad a være et givet naturligt tal, og lad B betegne mængden af de b for hvilke a + b = b + a. Vi har så lige vist at 0 B. Antag nu at b B. Så har vi at a + S(b) = S(a + b) = S(b + a) = b + S(a) = S(b) + a, hvor det sidste lighedstegn følger af Lemma 1.2. Dette viser at S(b) B, og dermed at B = N. Lemma 1.4 (Forkortning). For alle naturlige tal a, b og x gælder der, at hvis a + x = b + x, så er a = b. Bevis. Lad a og b være givne naturlige tal. Vi lader A betegne mængden af de naturlige tal x for hvilke a + x = b + x = a = b. (2) Det er klart at 0 A, for hvis a + 0 = b + 0 følger fra definitionen af + at a = b. Antag nu x A, og at a + S(x) = b + S(x). Pr. definition af + er dette det samme som S(a + x) = S(b + x), og da S er injektiv følger heraf at a + x = b + x. Men da x A følger så at a = b, hvilket viser at S(x) A. Altså er A = N. Det overlades nu til læseren at vise den associative lov for multiplikation, a(bc) = (ab)c, den distributive lov a(b + c) = ab + ac samt at multiplikation er kommutativ, ab = ba.

9 1.3. DE HELE TAL De hele tal Næste trin er at konstruere ringen af hele tal. Betragt mængden N N bestående af alle ordnede par af naturlige tal. Ideen er at repræsentere et helt tal som (a, b), hvor a er den positive del og b er den negative del. Fx vil vi skrive tallet 2 som (0, 2). Et talpar såsom (7, 3) skal tolkes som 7 3 = 4, og skal således betragtes som det samme tal som (4, 0). Vi er med andre ord ude efter en ækvivalensrelation på mængden N N. Vi vil betragte to talpar (a, b) og (a, b ) som ækvivalente hvis a b = a b. Problemet med denne definition er at den ikke giver mening; minus er ikke en veldefineret operation på N, og så meget desto mindre kan vi spørge om de to differenser er ens. Løsningen er at flytte over, og vi definerer altså nu (a, b) (a, b ) a + b = a + b. At dette er en ækvivalensrelation er på ingen måde svært at se; det følger direkte af at = på N er en ækvivalensrelation. Definer nu mængden Z = N N/. Vi ønsker at udvide + og til at være binære operationer på denne mængde. Som man måske kan gætte foregår addition ved koordinatvis addition af repræsentanter: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] Hvis bare vi kan vise at dette er veldefineret, følger associativitet og kommutativitet direkte af de tilsvarende egenskaber for + på N. Så antag nu at (a, b) (a, b ) og (c, d) (c, d ). Disse antagelser betyder at a + b = a + b og c+d = c +d, og lægger vi disse identiteter sammen får vi a+c+b +d = a + c + b + d (her benytter jeg at + er kommutativ til at flytte lidt rundt på leddene, og at + er associativ til at undlade at sætte parenteser), hvilket lige præcis betyder at (a+c, b+d) (a +c, b +d ). Altså er + veldefineret. Nu kan man så bevise at (Z, +) er en gruppe. Associativitet følger som sagt let fra det faktum at (N, +) er en monoide. Neutralelementet er [(0, 0)], hvilket også er let at indse. Det inverse element til [(a, b)] er [(b, a)], idet [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(0, 0)]. Man kan næsten gætte sig til hvordan multiplikation skal defineres. Da (a b)(c d) = ac + bd (ad + bc) ledes man naturligt til at definere [(a, b)] [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)]. Man skal naturligvis igen vise at dette er veldefineret. Antagelserne er altså at a + b = a + b c + d = c + d

10 10 KAPITEL 1. SÅDAN BEGYNDTE DET HELE Den første af disse ligninger ganges igennem med henholdsvis c og d, og den anden med henholdsvis b og a, hvilket giver (jeg har vendt ligning 2 og 3 om) ac + b c = a c + bc b c + b d = b c + b d a d + bd = ad + b d Lægges alle fire ligninger sammen får man ac + b c + b c + b d + a d + bd + a c + a d a c + a d = a c + a d = a c + bc + b c + b d + ad + b d + a c + a d. Ser man efter kan man bruge Lemma 1.4 til at forkorte fire led bort på hver side, og tilbage står ac + bd + a d + b c = a c + b d + ad + bc hvilket præcis betyder at (ac + bd, ad + bc) (a c + b d, a d + b c ), så multiplikation i Z er veldefineret. Man kan nu slavisk tjekke de sædvanlige aksiomer for en ring; fx er 1-elementet [(1, 0)]. 1.4 De rationale tal Det er et generelt faktum, som man også ser i Algebra 1, at hvis man har en ring R som er et integritetsområde (kommutativ ring uden nuldivisorer), kan man konstruere brøklegemet Q(R) af ringen. Det er et legeme med den universelle egenskab, at der findes en entydig injektiv ringhomomorfi ϕ: R Q(R), og så enhver injektiv ringhomomorfi fra R til et legeme K faktoriserer entydigt igennem ϕ. R ϕ Q(R) I en vis forstand er Q(R) altså det mindste legeme der indeholder R som dellegeme. Et standardargument viser at hvis Q (R) er et andet legeme med ovenstående universelle egenskab, så er Q(R) og Q (R) på kanonisk vis isomorfe som ringe. Konstruktionen af Q(R) ud fra R er ret ligetil. Man skal blot lægge en passende ækvivalensrelation på mængden R (R {0}) og derefter indse at K

11 11 addition og multiplikation kan defineres fornuftigt. Afbildningen ϕ definerer næsten sig selv, og den universelle egenskab følger også ganske trivielt. Det overlades til læseren selv at udføre de nødvendige trin, eller at slå det op i Algebra 1-bogen hvordan det gøres. Vi lader altså Q = Q(Z). 2 Konstruktion af de reelle tal De rationale tal Q er et totalt ordnet legeme, altså et legeme forsynet med en total ordning kompatibel med regneoperationerne i legemet. Alligevel er Q i mange sammenhænge ikke god nok. Fx er der ikke ret mange rationale tal som har kvadratrødder. Mere generelt har Q den skavank, at talfølger som burde konvergere ikke er konvergente; fx monotone begrænsede følger. Udvidelserne N Z og Z Q er sket ved at betragte mængden af par (a, b) og forsyne denne med en ækvivalensrelation, hvorefter operationerne + og er defineret på den nye og større mængde. Imidlertid ved vi jo godt at vi prøver at konstruere en overtællelig mængde, så det kan ikke nytte at prøve at starte med mængden Q Q og lave en ækvivalensrelation på denne, så lad os i stedet hive fat i de følger som bør konvergere. En Cauchy-følge er som bekendt en talfølge {a n } n=0 som opfylder betingelsen ε > 0 N N m, n N : m, n N = a m a n < ε (3) Bemærk at denne definition af Cauchy-følge giver mening, selvom vi ikke endnu har defineret mængden af reelle tal. Det ε der optræder skal man blot tænke på som et rationalt tal. På tilsvarende vis kan man sagtens snakke om konvergens af rationale talfølger uden at kende til de reelle tal; {a n } n=0 siges at være konvergent hvis a Q ε > 0 N N n N : n N = a a n < ε. (4) Hvis et sådant a findes er det let at vise at det er entydigt, og kaldes derfor grænseværdien af følgen. Det er let at overbevise sig om at en konvergent følge er en Cauchyfølge (det følger af trekantsuligheden), men inden for de rationale tal er det omvendte som bekendt ikke tilfældet. Fx er a n = n 1/k! k=0 en Cauchy-følge af rationale tal som ikke er konvergent (inden for Q).

12 12 KAPITEL 2. KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL Vi kan imidlertid benytte os af Cauchy-følger til at konstruere en model for de reelle tal. Betragt mængden M = Q N c af Cauchy-følger af rationale tal. Her betegner Q N mængden af afbildninger N Q (en følge er formelt en sådan afbildning), og subscriptet c antyder at vi betragter den delmængde som opfylder betingelsen (3). Ideen er at lade en Cauchy-følge repræsentere det reelle tal som den konvergerer imod. Nu findes der jo i almindelighed mange Cauchy-følger som konvergerer mod et givet reelt tal, så vi har brug for en ækvivalensrelation på M der fortæller hvornår to Cauchy-følger repræsenterer det samme reelle tal. Definitionen er så ligetil som den næsten kan være. Hvis a = {a n } og b = {b n } er to Cauchy-følger skriver vi a b hvis følgen a b = {a n b n } er konvergent mod 0, altså hvis ε > 0 N N n N : n N = a n b n < ε. Det er umiddelbart klart at er refleksiv, da a a = {0} oplagt er konvergent mod 0. Symmetri af er lige så oplagt da a n b n = b n a n. Transitiviteten følger af, at hvis a, b, c er tre Cauchy-følger hvor a b og b c konvergerer mod 0, da vil summen (a b) + (b c) = a c også være en konvergent følge med grænseværdi 0. Det giver derfor nu mening at definere R = M/. Tilbage er at definere regneoperationer på R, vise at R er et legeme, udstyre R med en ordning samt ikke mindst vise at R er fuldstændig i den forstand at Cauchyfølger er konvergente. Det er ganske ligetil at definere regneoperationerne. Lad a = {a n } og b = {b n } være to Cauchy-følger af rationale tal, og lad [a], [b] betegne deres ækvivalensklasser i R. Da defineres [a] + [b] = [{a n + b n }]. Her er der to ting at vise; for det første at den koordinatvise sum af to Cauchy-følger igen er en Cauchy-følge, samt at definitionen ikke afhænger af valgene af repræsentanter for [a], [b]. Vi har at a n +b n (a m +b m ) = a n a m +b n b m a n a m + b n b m, og da begge disse led kan vurderes mindre end et givet ε for n, m store nok, er summen af to Cauchy-følger altså en Cauchy-følge. Antag nu at [a] = [a ] og [b] = [b ], altså at a n a n og b n b n konvergerer mod 0. Så har vi at også følgen a n + b n (a n + b n) konvergerer mod 0, men det vil lige præcis sige at [a] + [b] = [a + b] = [a + b ] = [a ] + [b ]. Altså er + veldefineret, og det er ganske åbenlyst at (R, +) er en gruppe. Multiplikation defineres også som man forventer det, nemlig ved [a][b] = [{a n b n }]. Igen skal man tjekke at produktet af to Cauchy-følger er en Cauchy-følge, dette overlades til læseren. At produktet er veldefineret følger

13 2.1. FULDSTÆNDIGHED 13 af at a n b n a nb n = a n (b n b n) + (a n a n)b n a n (b n b n) + (a n a n)b n. Følgen b n b n konvergerer pr. antagelse mod 0. Da a er en Cauchy-følge er den begrænset, så også produktet a n (b n b n) konvergerer mod 0, og tilsvarende for det andet led. Hvis man regner efter ser man at R bliver en ring. Den skarpsindige læser har måske bemærket, at det vi egentlig har vist er at M er en ring (med hensyn til de koordinatvise operationer), og at mængden af Cacuhy-følger som er konvergente med grænseværdi 0 udgør et ideal i denne ring. For at indse at R er et legeme skal man gøre sig en observation angående Cauchy-følger af rationale tal som ikke repræsenterer 0 i R: En sådan Cauchy-følge er forskellig fra 0 fra et vist trin. Når man har overbevist sig om dette er det ikke svært at konstruere det inverse element til [a] 0. Den totale ordning på Q udvides til R som følger: Vi siger at x 0 hvis x har en repræsentant {a n } hvor de rationale tal a n fra et vist trin er 0, og vi skriver x y hvis x y 0. Man kan overbevise sig om at denne ordning er kompatibel med regneoperationerne (såsom at x y = x + z y + z for alle reelle tal x, y, z), og at er en total ordning. 2.1 Fuldstændighed Det påstås nu at R er fuldstændig, i den forstand at enhver følge {x n } n=0 af reelle tal som opfylder betingelsen ε > 0 N N m, n N : m, n N = x n x m < ε er konvergent, altså opfylder at der findes et reelt tal x således at ε > 0 N N n N : n N = x x n < ε. For at vise dette skal vi først have et par lemmaer der giver os frihed til at vælge andre repræsentanter for et givet reelt tal. Lemma 2.1. Lad {a n } være en Cauchy-følge af rationale tal, og lad {a kn } n=1 være en delfølge (dvs. k 1 < k 2 < k 3 < er en voksende følge af naturlige tal). Så repræsenterer {a n } og {a kn } samme reelle tal.

14 14 KAPITEL 2. KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL Bevis. Vi skal vise at a n a kn konvergerer mod 0. Lad ε > 0 være givet, og vælg N så stort at a n a m < ε for n, m N. Idet k n n har vi dermed at a n a kn < ε. Vi kan altså uden videre vælge at udskifte en repræsentant for et reelt tal med en delfølge af repræsentanten. Vi får brug for et helt specielt valg af delfølge, som formuleret i følgende lemma. Lemma 2.2. Lad {a n } være en Cauchy-følge af rationale tal. Så findes en delfølge {b n } = {a kn } med den egenskab at b n b n+1 < 2 n for alle naturlige tal n. Bevis. Vi udnytter Cauchy-egenskaben ved a n gentagne gange. For ethvert naturligt tal r vælger vi N r så a n a m < 2 r for alle m, n N r. Sæt nu k 1 = N 1, og definer rekursivt k n = max(n n, k n 1 ) for n 2. Så er k 1 < k 2 <, og vi har at da k n+1 > k n N n. Bemærk at vi for m > n får at b n b n+1 = a kn a kn+1 < 2 n b n b m b n b n+1 + b n+1 b n b m 1 b m 2 n + 2 n m+1 < 2 n+1. Vi er nu i stand til at vise at R er fuldstændig. Lad {x n } være en Cauchy-følge af reelle tal. Vi kan jævnfør de to foregående lemmaer vælge repræsentanter {a nk } k=1 for x n som opfylder at a n,k a n,k+1 < 2 k for alle k. Definer følgen b = {b n } n=1 ved b n = a n,n. Det påstås dels at b n er en Cauchy-følge af rationale tal (som derved repræsenterer et reelt tal), dels at x n konvergerer mod [b]. Lad ε > 0 være givet. Der findes så et N N så det for alle m, n N gælder at x n x m < ε/2. Det betyder, at fra et vist trin K i Cauchy-følgen { a nk a mk } k=1 gælder at an,k xm,k < ε/2 (5) for k K. Vælg nu et N N så stort, at x n x m < ε/2 for n, m N og så 2 N+1 < ε/4. Lad m, n N. Så har vi for alle naturlige tal k vurderingen b n b m = a n,n a m,m a n,n a n,k + a n,k a m,k + a m,k a m,m

15 2.2. SUPREMUMSEGENSKABEN 15 Ved at vælge k tilstrækkelig stor (større end m og n, og så stor at (5) holder) ser vi at vi kan vurdere b n b m mindre end 2 n+1 + ε/2 + 2 m+1 < ε/4 + ε/2 + ε/4 = ε. Altså er {b n } n=1 en Cauchy-følge. Vi skal vise at x n konvergerer mod b. Lad ε > 0 være givet. Vi skal så vise at der findes et N så stort, at for alle n N gælder at x n b < ε. Dette vil sige, at det for alle n skal gælde, at for store nok k er a n,k b k < ε. Hvis vi nu vælger N så stor at 2 N+1 < ε/2 og så b n b m < ε/2 for alle n, m N har vi for n N og k n at a n,k b k a n,k a n,n + a n,n a k,k < 2 n+1 + ε/2 < ε Dette viser at x n konvergerer mod det reelle tal som følgen b n repræsenterer, og således er R fuldstændig. 2.2 Supremumsegenskaben I Matematisk Analyse-bogen er fuldstændigheden af de reelle tal formuleret ved hjælp af supremumsegenskaben, som siger at enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de reelle tal har en mindste øvre grænse. I bogen benyttes denne egenskab til at vise at Cauchy-følger af reelle tal er konvergente. Lad os for fuldstændighedens skyld (pun intended) vise at konvergensen af Cauchy-følger fører til supremumsegenskaben, så de to formuleringer af fuldstændighed faktisk er ækvivalente (den opmærksomme læser vil vide, at konvergensen af Cauchy-følger er den rigtige formulering, da det er denne som generaliserer til vilkårlige metriske rum). Lad derfor A R være en ikke-tom, opad begrænset delmængde af de reelle tal. Der findes derfor et tal M 0 med den egenskab, at a M 0 for alle a A. Da A ikke er tom findes der et a 0 i a. Betragt tallet a 0+M 0. Der er to 2 muligheder; det er enten en øvre grænse for A eller også er det ikke. Hvis det er en øvre grænse sætter vi M 1 = a 0+M 0 og a 2 1 = a 0. Hvis det ikke er en øvre grænse må der findes et a 1 A så a 1 > a 0+M 0. I dette tilfælde sætter 2 vi M 1 = M 0. I begge tilfælde bliver M 1 altså en øvre grænse for A. Som man måske kan gætte definerer vi nu rekursivt a i og M i ved { (a i + M i )/2 hvis (a i + M i )/2 er en øvre grænse for A M i+1 = M i ellers. { a i hvis (a i + M i )/2 er en øvre grænse for A a i+1 = et vilkårligt tal (a i + M i )/2 < a A ellers

16 16 KAPITEL 2. KONSTRUKTION AF DE REELLE TAL Følgen M i er altså en følge af øvre grænser for A. Vi vil nu vise at det er en Cauchy-følge, og at dens grænseværdi M faktisk er den mindste øvre grænse for A. Vi har at M i a i for alle i, da M i er en øvre grænse for A og a i A. Første påstand er 0 M i a i 2 i (M 0 a 0 ) (6) for alle i. For i = 0 er dette klart, så antag at uligheden er rigtig for i. Vi har så at M i+1 a i+1 = M i + a i 2 hvis M i+a i 2 er en øvre grænse for A, og a i = M i a i 2 2 i 1 (M 0 a 0 ) M i+1 a i+1 = M i a < M i M i + a i 2 = M i a i 2 2 i 1 (M 0 a 0 ) hvis M i+a i ikke er en øvre grænse for A, idet tallet a er større end M i+a i. 2 2 Som konsekvens heraf fås let at 0 M i M i+1 2 i 1 (M 0 a 0 ), idet M i+1 M i enten er 0 eller M i a i. Men så har vi for alle naturlige tal n m 2 at M n M m = M n M n+1 + M n+1 M m 1 + M m 1 M m (2 n n m )(M 0 a 0 ) 2 n (M 0 a 0 ). Heraf ser man, at hvis man blot vælger N så stor at 2 N (M 0 a 0 ) < ε har vi at M n M m < ε for alle m, n N, og derfor er M n en Cauchy-følge. Kald dens grænseværdi M. Det påstås nu at M er en øvre grænse for A. Lad derfor a A være et vilkårligt element. Da vi har at M n a for ethvert n N gælder det også at M a (hvis ikke kunne man vælge ε = (a M)/2 og derefter finde et N så M N M < ε, hvilket ville stride mod at M N a). Vi mangler at vise at M er den mindste øvre grænse for A. Hertil er det nok at bemærke, at følgen a i også er konvergent med grænseværdi M. Vi har nemlig at a i M a i M i + M i M, og da M i konvergerer mod M følger af (6) at vi kan gøre dette så småt vi ønsker. Enhver øvre grænse for A vil være større end hvert a i, og dermed større end lim i a i = M. Det giver derfor mening at sætte sup A = M, idet en mindste øvre grænse (hvis den findes) naturligvis er entydigt bestemt. Man kan så tilsvarende for en nedad begrænset mængde B definere inf B = sup( B).

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING

Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING Matematik H 2 ANALYSE OG OPTIMERING 1999 Indhold Talfølger, rækker og komplekse tal, noter ved Tage Gutmann Madsen, omredigeret til HHK af Gerd Grubb: 1 De reelle tal 1 5 2 Reelle talfølger 6 19 3 Uendelige

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere