Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF"

Transkript

1 Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF

2 Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal Modulo - regning med rester Euler-Fermats sætning 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA 4 Elliptiske kurver - ElGamal PKI

3 Oversigt 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal Modulo - regning med rester Euler-Fermats sætning 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA 4 Elliptiske kurver - ElGamal PKI

4 Public Key Infrastructure (PKI) Public Key Infrastructure (PKI) er en teknologi, der gør det muligt for to parter at identificere sig entydigt over for hinanden. Begge parter skal have sikkerhed for: at den anden part er entydigt identificeret at meddelelsen kommer fra den, der påstår at have sendt den at meddelelsen ikke er blevet ændret eller læst undervejs NemID er baseret på PKI.

5 Symmetrisk kryptografi - Cæsar Kryptografiske teknikker er anvendt siden det antikke Ægypten og af Julius Cæsars regime (Julius Cæser omkom ved et attentat 15. marts 44 f. Kr.) Cæsars navn er endda knyttet til en krypteringsmetode, hvor man blot forskyder alfabetets bogstaver 3 pladser henholdsvis frem (ved kryptering) og tilbage (ved dekryptering) Der er symmetri mellem krypterings- og dekrypteringsmetode

6 Symmetrisk kryptografi - styrke og svaghed Oprindelig kendte man blot symmetrisk kryptografi, hvor de to partnere, der skulle kommunikere, delte en fælles hemmelig krypteringsnøgle, der blev anvendt ved både kryptering og dekryptering. Symmetriske krypteringssystemer anvendes stadig i stor udstrækning, de er hurtige; men lider af en stor praktisk svaghed, nemlig kravet til sikker udveksling af den fælles hemmelige nøgle.

7 Asymmetrisk kryptografi Det var et gennembrud, at man indså, at man kan lave hemmelig kommunikation, selvom transmissionen overvåges omhyggeligt, og selvom der ikke forinden var udvekslet en fælles hemmelig nøgle Denne ved første tanke helt umulige opgave løses ved asymmetrisk kryptografi et begreb, der opbygges omkring ikke blot en nøgle; men et nøglepar

8 Nøglepar Kunsten er, at lave et nøglepar. Den ene nøgle er offentlig (public key) og udveksles i fuld offentlighed Den anden nøgle er privat (private key), og den skal ikke udveksles De to nøgler i parret har asymmetriske funktioner: Låses der med en nøgle, kan den anden nøgle (og kun den) låse op og vise versa Det skal være umuligt/vanskeligt at konstruere den ene nøgle ud fra den anden

9 Hemmelig kommunikation i PKI Hemmelig kommunikation foretages ved, at afsender låser dokumentet med den offentlige nøgle i modtagerens nøglepar. Modtageren kan nu låse dokumentet op ved at anvende sin modsvarende private (hemmelige) nøgle i sit nøglepar. Han og kun han kan låse dokumentet op, for blot modtageren besidder den hemmelige nøgle i nøgleparret, der matcher den offentlige nøgle.

10 Digital underskift i PKI - signering Digital underskrift - signering af et dokument laves, ved at afsender låser dokumentet med sin private (hemmelige) nøgle Enhver kan nu låse dokumentet op med afsenders offentlige nøgle og derved overbevise sig om, at afsender besidder den tilsvarende hemmelige nøgle og dermed er den, han udgiver sig for Forudsætter, at nøgleparret er udstedt af en troværdig autoritet

11 PKI historie Offentlig-nøgle-kryptering (PKI) blev opfundet i 1969 af Ellis, Williamson og Cocks, der arbejdede ved British Government Communications Headquarters. Deres opfindelser blev imidlertid hemmeligholdt af den britiske regering indtil 1997 I mellemtiden blev offentlig-nøgle-kryptering (PKI) genopfundet af Adleman samt Diffie, Rivest og Shamir, der i 1978 skabte offentlig-nøgle-kryptosystemet RSA

12 PKI - RSA Kunsten ved at lave et offentlig-nøgle-kryptosystem er altså at give en metode til at konstruere nøglepar, således at kendskab til den offentlige nøgle ikke gør det muligt at bestemme den tilhørende private (hemmelige) nøgle. RSA-kryptosystemet er en sådan metode, hvor sikkerheden hviler på den erfaring, at det er umuligt effektivt at faktorisere et helt tal i et produkt af primtal.

13 Oversigt 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal Modulo - regning med rester Euler-Fermats sætning 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA 4 Elliptiske kurver - ElGamal PKI

14 Indbyrdes primiske hele tal Definition To hele tal m, n kaldes indbyrdes primiske, hvis de ingen fælles divisorer har, når vi ser bort fra 1 og -1. Med φ(m) betegner vi antallet af positive hele tal mindre end m, der er indbyrdes primiske med m (Euler s φ-funktion). Opgave Vis, at φ(12) = 4 Lad p, q være forskellige primtal. Vis at φ(p) = p 1, φ(pq) = (p 1)(q 1).

15 Euler s φ-funktion er tidskrævende at beregne I opgaven har vi set, at det et let at bestemme φ(n), hvis vi kender faktoriseringen af n i 2 primfaktorer. Kendes faktorisering af n ikke, er det imidlertid MEGET tidskrævende af bestemme φ(n). Har n for eksempel 100 cifre vil det, at forsøge sig frem med et tal 1, 2, 3,..., n ad gangen tage sekunder år på en maskine, der i 1 sekund kan foretage (en million million) undersøgelser af om et tal er primisk med n. (Universets alder anslås til år). Det er det store tidsforbrug, der fordres til bestemmelse af φ(n), der er sikkerheden i RSA-kryptosystemet, som vi vender tilbage til senere.

16 Modulo - regning med rester Gauss indførte en notation, som letter omgangen med heltalsdivision med rest. Definition Givet hele tal a, b og m > 0. Vi siger, at a er kongruent med b modulo m og skriver a b mod m hvis a og b har samme rest ved division med m, altså hvis m går op i forskellen a b. Når m fremgår af sammenhængen, skriver vi blot a b. Eks mod 12, 1 1 mod 2 og mod 5.

17 Regneregler Lemma Lad m > 0 være givet. Hvis a 1 b 1 og a 2 b 2, så er a 1 + a 2 b 1 + b 2, a 1 a 2 b 1 b 2

18 Euler-Fermat Sætning Antag at k, m er indbyrdes primiske. Så er k φ(m) 1 mod m.

19 Opgave Eftervis, at k φ(12) 1 mod 12. for alle k, der er primiske med 12.

20 Oversigt 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal Modulo - regning med rester Euler-Fermats sætning 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA 4 Elliptiske kurver - ElGamal PKI

21 Kryptering og signering - nøglepar En person A, der ønsker at lave et kryptosystem med henblik på modtagelse gør følgende: vælger 2 store primtal p, q og beregner n = pq beregner φ(n), hvilket er let for A; men tidskrævende for andre, der blot kender n og ikke p, q vælger et e > 0 primisk med φ(n) beregner positivt f (og negativt g), så 1 = ef + φ(n)g (Euklids algoritme) offentligør n, e - det er den offentlige nøgle Krypteringssystemet har n, e er som offentlig nøgle og φ(n) og f som hemmelig nøgle.

22 Kryptering En vilkårlig person B ønsker at sende tallet k > 0 til personen A. B indkoder tallet k ved brug af den offentlige nøgle n, e - nemlig ved at beregne og sende: h k e mod n

23 Dekryptering Personen A modtager h og beregner ved hjælp af sin hemmelige viden om φ(n) og f h f (k e ) f k ef k 1 φ(n)g k (k φ(n) ) g k mod n ifølge sætningen Euler-Fermat.

24 Opgave Lad p = 89 og q = 97. Bestem n og φ(n). Lad e=71. Bestem f > 0 og g så 1 = ef + φ(n)g Indkod k = 3 ved at beregne h = 3 e og dekrypter ved at beregne (3 e ) f.

25 RSA praksis og NemID Effektiv konstruktion af mange par af store primtal er central for en praktisk udrulning af RSA-kryptosystemet i stor skala. Firmaet Cryptomathic har eksempelvis et produkt Cardink, hvorom de skriver: 1 CardInk is very scalable and is currently running in a live production environment generating data for cards per hour 2 CardInk is used by more than 100 customers across the globe to issue +200 million EMV cards annually. Our customers include prominent issuers and service providers such as Arab National Bank, First Data, Credit Agricole. Bag NemID anvendes RSA-nøglepar med mindst 1024 bits, altså med over 300 decimale cifre. Dit nøglepar ligger på en central server, som du kommunikerer med via dit NemID kort.

26 Oversigt 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal Modulo - regning med rester Euler-Fermats sætning 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA 4 Elliptiske kurver - ElGamal PKI

27 Elliptiske kurver Elliptiske kurver er en speciel klasse af kurver E, hvor det er muligt at addere punkter (meget lig, hvordan vi adderer tal): P, Q E P + Q E og dermed addere et punkt med sig et helt antal gange n: P E np = n { }} { P + + P E

28 ElGamal 1 Hemmelig nøgle: et tal s 2 Offentlig nøgle: et punkt P E og punktet B = sp E. 3 Sikkerhed beror på, at man ikke kan bestemme s (den hemmelige nøgle) udfra kendskab til P og B (den offentlige nøgle)

29 ElGamal 1 Vil sende beskeden M E 2 Vælger et tilfældigt tal k og krypterer ved hjælp af den offentlige nøgle P, B som sendes. M 1 = kp, M 2 = M + kb 3 Modtageren beregner ved hjælp af den hemmelige nøgle s: {}}{ M 2 sm 1 = (M + kb) s(kp) = M + kb k( sp ) = M og har dermed dekrypteret. B

30 Elliptiske kurver og digitale frimærker

31 Information : Tal og mængder, Aarhus Universitetsforlag, 2012 Adr.:, Ny Munkegade, 8000 Aarhus, DENMARK Phone: (+45) homepage: homepage:

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter

Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, 2009 Jakob I. Pagter Oversigt Kryptografi autenticitet vs. fortrolighed ubetinget vs. beregningsmæssig sikkerhed Secret-key fortrolighed Public-key fortrolighed

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Hvad er KRYPTERING? Metoder Der findes to forskellige krypteringsmetoder: Symmetrisk og asymmetrisk (offentlig-nøgle) kryptering.

Hvad er KRYPTERING? Metoder Der findes to forskellige krypteringsmetoder: Symmetrisk og asymmetrisk (offentlig-nøgle) kryptering. Hvad er KRYPTERING? Kryptering er en matematisk teknik. Hvis et dokument er blevet krypteret, vil dokumentet fremstå som en uforståelig blanding af bogstaver og tegn og uvedkommende kan således ikke læses

Læs mere

Kryptografi Anvendt Matematik

Kryptografi Anvendt Matematik Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Kryptologi 101 (og lidt om PGP)

Kryptologi 101 (og lidt om PGP) Kryptologi 101 (og lidt om PGP) @jchillerup #cryptopartycph, 25. januar 2015 1 / 27 Hvad er kryptologi? define: kryptologi En gren af matematikken, der blandt andet handler om at kommunikere sikkert over

Læs mere

Den digitale signatur

Den digitale signatur 3. Å RG A N G NR. 3 / 2004 Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Fra at være noget, der kun angik den militære ledelse og diplomatiet, har kryptologi med brugen af internettet fået direkte

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling Kryptering. Niels Christian Juul. N&P 11: 2001 April 18th

Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling   Kryptering. Niels Christian Juul. N&P 11: 2001 April 18th Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling E-mail: ncjuul@acm.org Kryptering Niels Christian Juul N&P 11: 2001 April 18th Om kryptering, DES, RSA, PGP og SSL Copyright 1998-2001, Niels Christian

Læs mere

Assembly Voting ApS. Kompagnistræde 6, København K CVR:

Assembly Voting ApS. Kompagnistræde 6, København K CVR: Assembly Voting ApS Kompagnistræde 6, 2. 1208 København K CVR: 25600665 Afstemningssystem, Systembeskrivelse Assembly Votings systemer og hostingmiljøer er designet til at imødekomme såvel lovkrav som

Læs mere

Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi

Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi Dette dokument beskriver en række opgaver. Diskutter opgaverne i små grupper, under vejledning af jeres instruktor. Tag opgaverne i den rækkefølge de optræder.

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Fredag 12. januar David Pisinger

Fredag 12. januar David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Fredag 2. januar David Pisinger Kryptering Spartanere (500 f.kr.) strimmelrulle viklet omkring cylinder Julius Cæsar: substituering af bogstaver [frekvensanalyse]

Læs mere

Fortroligt dokument. Matematisk projekt

Fortroligt dokument. Matematisk projekt Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe

Læs mere

Digital Signatur Infrastrukturen til digital signatur

Digital Signatur Infrastrukturen til digital signatur Digital Signatur Infrastrukturen til digital signatur IT- og Telestyrelsen December 2002 Resumé: I fremtiden vil borgere og myndigheder ofte have brug for at kunne kommunikere nemt og sikkert med hinanden

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Projekt 0.6 RSA kryptering

Projekt 0.6 RSA kryptering Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den

Læs mere

Større Skriftlig Opgave

Større Skriftlig Opgave Uddannelse: Højere Handelseksamen Skole: Fag og niveau: Informationsteknologi, niveau A Område: Kryptering og Certifikater Vejleder: Werner Burgwald Afleveringsdato: Fredag den 11. februar. Opgavetitel:

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

RSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden

RSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden 14. DEC 2014 RSA-KRYPTERING Studieretningsprojekt Blerim Cazimi Frederiksberg Tekniske Gymnasium Matematik A Vejleder: Jonas Kromann Olden Informationsteknologi B Vejleder: Kenneth Hebel Indhold Indledning...

Læs mere

Hemmelige koder fra antikken til vore dage

Hemmelige koder fra antikken til vore dage Hemmelige koder fra antikken til vore dage Nils Andersen DM s seniorklub Øst 21. september 2015 En hemmelig meddelelse Sparta, ca. 500 år f.v.t. Skytale: σκῠτ ᾰλίς (gr. lille stok) angrib fra skovbrynet

Læs mere

Introduktion til Kryptologi

Introduktion til Kryptologi Introduktion til Kryptologi September 22, 2014 Kryptologi Datasikkerhed Sikker kommunikation over usikre kanaler Kryptografi: Bygge systemer Kryptoanalyse: Bryde systemer Avancerede Protokoller Data er

Læs mere

Deling - primtal - kryptografi. Johan P. Hansen. 15. september Indledning 2

Deling - primtal - kryptografi. Johan P. Hansen. 15. september Indledning 2 Deling - primtal - kryptografi Johan P. Hansen 15. september 2011 Indhold 1 Indledning 2 2 Primtal og heltalsdeling 3 2.1 Primtalsfaktorisering.............................. 4 2.1.1 Primtalsfaktoriseringens

Læs mere

Praktisk kryptering i praksis

Praktisk kryptering i praksis Praktisk kryptering i praksis Jakob I. Pagter Security Lab Alexandra Instituttet A/S Alexandra Instituttet A/S Almennyttig anvendelsorienteret forskning fokus på IT GTS Godkendt Teknologisk Service (1

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Opgaveformulering studieretningsprojekt (SRP) 2015

Opgaveformulering studieretningsprojekt (SRP) 2015 Opgaveformulering studieretningsprojekt (SRP) 2015 Navn: Emil Sommer Desler Klasse: 2013.4 Fag: Matematik A Fag: Informationsteknologi B Vejleder: Signe Koch Hviid E-mail: skh@rts.dk Vejleder: Karl G Bjarnason

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Introduktion til MPLS

Introduktion til MPLS Introduktion til MPLS Henrik Thomsen/EUC MIDT 2005 VPN -Traffic Engineering 1 Datasikkerhed Kryptering Data sikkerheds begreber Confidentiality - Fortrolighed Kun tiltænkte modtagere ser indhold Authentication

Læs mere

Kursusgang 3: Autencificering & asymmetrisk kryptering. Krav til autentificering. Kryptering som værktøj ved autentificering.

Kursusgang 3: Autencificering & asymmetrisk kryptering. Krav til autentificering. Kryptering som værktøj ved autentificering. Krav til autentificering Vi kan acceptere, at modtager (og måske afsender) skal bruge hemmelig nøgle Krav til metode: må ikke kunne brydes på anden måde end ved udtømmende søgning længde af nøgler/hemmeligheder/hashkoder

Læs mere

Ekspertudtalelse om kryptering

Ekspertudtalelse om kryptering Ekspertudtalelse om kryptering Professor Lars R. Knudsen Opsummerering I konsulentkontrakt med rekvisitionsnummer 62010142 mellem Digitaliseringsstyrelsen og undertegnede bedes om bistand til ekspertudtalelse

Læs mere

Elektronisk Afstemning

Elektronisk Afstemning Elektronisk Afstemning P2-PROJEKT, 4. FEBRUAR 27. MAJ 2002 Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Storgruppe 0134 Af Anders Gorst-Rasmussen e Lea Mwelwa Grønager Lars Hornbæk Jensen

Læs mere

Kryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER

Kryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER Kryptering ELLER xhafgra ng tøer hyæfryvtg P0 Anders Rune Jensen Ole Laursen Jasper Kjersgaard Juhl Martin Qvist 21. september 2001 AALBORG UNIVERSITET Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg

Læs mere

Java Smart Card (JSC) Digitale signaturer

Java Smart Card (JSC) Digitale signaturer Java Smart Card (JSC) Digitale signaturer Nikolaj Aggeboe & Sune Kloppenborg Jeppesen aggeboe@it-c.dk & jaervosz@it-c.dk IT-C København 21. december 2001 Indhold 1 Indledning 4 2 Smart cards 5 2.1 Hvad

Læs mere

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk

Læs mere

HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12

HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 Udarbejdet af: Vejleder: Tomas Rasmussen Mads Rosendahl. Abstract Dette projekt har til formål at undersøge

Læs mere

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2 Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2

Læs mere

RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til gymnasiet

RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til gymnasiet - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til gymnasiet Uffe Thomas Jankvist januar 2008 nr. 460-2008 blank Roskilde University, Department

Læs mere

Kommunikationssikkerhed til brugere bibliotek.dk projekt 2006-23

Kommunikationssikkerhed til brugere bibliotek.dk projekt 2006-23 Kommunikationssikkerhed til brugere bibliotek.dk projekt 2006-23 Formål Formålet med dette notat er at beskrive forskellige løsninger for kommunikationssikkerhed til brugerne af bibliotek.dk, med henblik

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende

Læs mere

Koder og kryptering. Foredrag UNF 4. december 2009 Erik Zenner (Adjunkt, DTU)

Koder og kryptering. Foredrag UNF 4. december 2009 Erik Zenner (Adjunkt, DTU) Koder og kryptering Foredrag UNF 4. december 2009 Erik Zenner (Adjunkt, DTU) I. Indledende bemærkninger Hvad tænker I på, når I hører kryptologi? Hvad tænker jeg på, når jeg siger kryptologi? Den matematiske

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

dsik Noter Michael Lind Mortensen, illio, DAT4 23. juni 2009

dsik Noter Michael Lind Mortensen, illio, DAT4 23. juni 2009 dsik Noter Michael Lind Mortensen, illio, DAT4 23. juni 2009 Indhold 1 Cryptography, Confidentiality 4 1.1 Disposition............................ 4 1.2 Details............................... 4 1.2.1 Sikkerhedsmål......................

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Kursusgang 3: Digital signatur. Den danske OCESstandard. Målsætning for digital signatur. Signatur (digital & alm. underskrift) Sikkerhedsmål

Kursusgang 3: Digital signatur. Den danske OCESstandard. Målsætning for digital signatur. Signatur (digital & alm. underskrift) Sikkerhedsmål Kursusgang 3: Digital signatur. Den danske OCESstandard. Målsætning for digital signatur Digital Signatur Hashing x.509-certifikater Kvantekryptering Den danske OCES-standard Udveksling af tekst på en

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad

Læs mere

RSA og den heri anvendte matematiks historie et undervisningsforløb til gymnasiet Jankvist, Uffe Thomas

RSA og den heri anvendte matematiks historie et undervisningsforløb til gymnasiet Jankvist, Uffe Thomas RSA og den heri anvendte matematiks historie et undervisningsforløb til gymnasiet Jankvist, Uffe Thomas Publication date: 2008 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Citation for published version

Læs mere

4. Sikkerhed i EDIFACT

4. Sikkerhed i EDIFACT 05.05.2000 4. Sikkerhed i EDIFACT 1. Indledning... 2 2. Kravene til sikkerhed... 2 3. Standardisering... 2 4. TeleSeC... 3 4.1 Formål... 3 4.2 TeleSeC-egenskaber... 3 4.3 TeleSeC-opbygning... 4 4.4 Certifikater...

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Hvordan kryptering af chat, mail og i cloud services og social networks virker

Hvordan kryptering af chat, mail og i cloud services og social networks virker Hvordan kryptering af chat, mail og i cloud services og social networks virker Alexandra Instituttet Morten V. Christiansen Kryptering Skjuler data for alle, som ikke kender en bestemt hemmelighed (en

Læs mere

Secure Mail. 1. juni Hvem læser dine s?

Secure Mail. 1. juni Hvem læser dine  s? Secure Mail 1. juni 2017 Hvem læser dine emails? Agenda Hvorfor nu kryptering og signering Den danske digitale infrastruktur SecureMail-løsning E-boksintegration CEO fraud Peter Åkerwall Partner Account

Læs mere

Sikkert og pålideligt peer-topeer. Jacob Nittegaard-Nielsen. Kgs. Lyngby 2004 IMM-THESIS-2004-56

Sikkert og pålideligt peer-topeer. Jacob Nittegaard-Nielsen. Kgs. Lyngby 2004 IMM-THESIS-2004-56 Sikkert og pålideligt peer-topeer filsystem Jacob Nittegaard-Nielsen Kgs. Lyngby 2004 IMM-THESIS-2004-56 Sikkert og pålideligt peer-to-peer filsystem Jacob Nittegaard-Nielsen Kgs. Lyngby 2004 Technical

Læs mere

Sikker mail Kryptering af s Brugervejledning

Sikker mail Kryptering af  s Brugervejledning Sikker mail Kryptering af e-mails Brugervejledning side 1/9 Indholdsfortegnelse 1 Introduktion... 3 2 Anvendelse (Quick start)... 3 2.1 Sikker e-mail... 3 3 Brugergrænsefladen (detaljeret)... 3 3.1 Send

Læs mere

00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN

00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 2 Algebra og talteori 2002 by Gyldendalske Boghandel Nordisk forlag,

Læs mere

Informationsteori. Hvorledes man bryder en RSA-kode

Informationsteori. Hvorledes man bryder en RSA-kode 1 970501HEb Informationsteori Hvorledes man bryder en RSA-kode Vi kender den offentlige nøgle (e n) og vil nu finde den private nøgle (d n), hvorved koden er brudt. Først gættes primfaktoriseringen af

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Public Key Crypto & Gnu Privacy Guard & CaCert

Public Key Crypto & Gnu Privacy Guard & CaCert Public Key Crypto & Gnu Privacy Guard & CaCert Svenne Krap svenne@krap.dk TheCamp 2010 Indhold PGP Motivation & teori Praktisk Løst og fast CaCert (Keysigning+Assurance) PGP Pretty good privacy Motivation

Læs mere

Termer og begreber i NemID

Termer og begreber i NemID Nets DanID A/S Lautrupbjerg 10 DK 2750 Ballerup T +45 87 42 45 00 F +45 70 20 66 29 info@danid.dk www.nets-danid.dk CVR-nr. 30808460 Termer og begreber i NemID DanID A/S 26. maj 2014 Side 1-11 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Kryptologi og 2. verdenskrig

Kryptologi og 2. verdenskrig Studieretningsprojekt 2014 Kryptologi og 2. verdenskrig Kryptering under 2. verdenskrig Louise Vesterholm Møller Matematik A & Historie A Birgitte Pedersen & Thomas von Jessen 18-12-2014 G a m m e l H

Læs mere

Elliptisk Kurve Kryptografi. Jonas F. Jensen

Elliptisk Kurve Kryptografi. Jonas F. Jensen Elliptisk Kurve Kryptografi Jonas F. Jensen December 2007 Abstract Today we re using cryptography everytime whenever we re doing transactions online. Some have even adopted cryptography to sign their emails

Læs mere

Encryption for the cloud. secure convenient cost efficient

Encryption for the cloud. secure convenient cost efficient Encryption for the cloud secure convenient cost efficient Data Protection by Design/Default Privacy by Design Jakob I. Pagter Sepior (Privacy by Design) Fx ifølge Carvoukian 1. Proactive not reactive;

Læs mere

Kursusgang 4: Hashing. RSA.

Kursusgang 4: Hashing. RSA. Kursusgang 4: Hashing. RSA. 1. Toms oplæg om top 10. 2. Hashing - herunder studenteroplæg om password security 3. RSA - herunder studenteroplæg om privacy 4. Introduktion til næste gang Buffer overflow

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Faglig Rapport. Udvalgte pointer angående secret sharing og multi-party computation. Fjerde faglige rapport til Rejselegat for matematikere

Faglig Rapport. Udvalgte pointer angående secret sharing og multi-party computation. Fjerde faglige rapport til Rejselegat for matematikere Faglig Rapport Fjerde faglige rapport til Rejselegat for matematikere af Kåre Janussen ESAT/COSIC, Katholieke Universiteit Leuven, august 2007 Udvalgte pointer angående secret sharing og multi-party computation

Læs mere

S TUDIER ETNINGSP ROJEKT

S TUDIER ETNINGSP ROJEKT SRP 22. december 2011 3.Z Matematik A Historie A S TUDIER ETNINGSP ROJEKT Kryptologi Med Fokus På Enigma Og Dens Brydning Abstract The following study examines cryptography based especially on Enigma,

Læs mere

Krypter dine mails når det er nødvendigt

Krypter dine mails når det er nødvendigt Krypter dine mails når det er nødvendigt Af Thomas Bødtcher-Hansen Hvor og hvornår skal vi kryptere vores mails? De paranoide mennesker krypterer alle deres mails og de naive mennesker ingen af deres mails.

Læs mere

Grundlæggende kryptering og digital signatur 04/09/2012 ITU 2.1

Grundlæggende kryptering og digital signatur 04/09/2012 ITU 2.1 Grundlæggende kryptering og digital signatur 04/09/2012 ITU 2.1 Indhold Terminologi, mål og kryptoanalyse Klassisk kryptering Substitution Transposition (permutation) WWII: Enigma Moderne kryptering Symmetrisk

Læs mere

Tilstrækkelig sikker dataudveksling via Sundhedsdatanettet (SDN) Ved Kåre Kjelstrøm

Tilstrækkelig sikker dataudveksling via Sundhedsdatanettet (SDN) Ved Kåre Kjelstrøm Tilstrækkelig sikker dataudveksling via Sundhedsdatanettet (SDN) Ved Kåre Kjelstrøm Sundhedsdatanettets Anatomi UNI-C Router Organisation A Router Router Organisation B Firewall Firewall Linjesikkerhed

Læs mere

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Statistisk sproggenkendelse anvendt i kryptoanalyse

Statistisk sproggenkendelse anvendt i kryptoanalyse Statistisk sproggenkendelse anvendt i kryptoanalyse Søren Møller UNF Matematikcamp 2010 12.07.2010 Problemet Kryptering Markov kæder Unigrammer Bigrammer Statistiker Maskinen Nøglerum Kryptering Problemet

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet , den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet Videregående algoritmik Cormen et al. 34.5.3 34.5.5 Fredag den 19. december 2008 1 N P-fuldstændige problemer 1 N P-fuldstændige problemer 2 Reduktion

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

It-sikkerhedstekst ST4

It-sikkerhedstekst ST4 It-sikkerhedstekst ST4 Datatransmission af personoplysninger på åbne net Denne tekst må kopieres i sin helhed med kildeangivelse. Dokumentnavn: ST4 Version 1 Oktober 2014 Datatransmission af personoplysninger

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store

Læs mere

3. Moderne krypteringsmetoder

3. Moderne krypteringsmetoder 3. Moderne krypteringsmetoder 3.1 Konventionelle systemer De systemer, vi indtil nu har beskrevet, har alle den egenskab, at der ikke er nogen principiel forskel på enkrypterings- og dekrypteringsalgoritmen.

Læs mere