Kryptografi Anvendt Matematik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kryptografi Anvendt Matematik"

Transkript

1 Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet Kryptografi p.1/23

2 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst skrevet i et sædvanligt sprog kan forvandles så teksten bliver uforståelig for uvedkommende, men så den godt kan læses af indviede. Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptografi p.2/23

3 Alice, Bob og Eva Alice: Ønsker at sende hemmelig besked via nettet til Bob. Bob: Venter på hemmelig besked fra Alice. Eva: Ønsker måske at læse eller ændre på den hemmelige besked. Kryptografi p.3/23

4 Konventionel kryptering Alice og Bob bliver i største hemmelighed enige om en fælles nøgle( ) Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptografi p.4/23

5 Konventionel kryptering Alice og Bob bliver i største hemmelighed enige om en fælles nøgle( ) Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Problem: Nøgleudveksling. Kryptografi p.4/23

6 Public Key Kryptering Bob laver en offentlig nøgle ( ) og en hemmelig nøgle ( ). Den offentlige nøgle lægges ud på nettet så alle kan finde den. Den hemmelige nøgle gemmes. Når Alice vil skrive til Bob skal hun blot bruge hans offentlige nøgle til at kryptere med. Når Bob vil dekryptere en besked, så bruger han den hemmelige nøgle. Kryptografi p.5/23

7 Public Key Kryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptografi p.6/23

8 Public Key Kryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptografi p.6/23

9 Public Key Kryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptografi p.6/23

10 Public Key Kryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Kryptering dasas4js d234klj2d fdfjaad9fa Kryptotekst Dekryptering Vi angriber imorgen. Husk elefanterne. Klartekst Nøgleudvekslingsproblemet er løst! Kryptografi p.6/23

11 Public Key Kryptering Hvordan laver man et kryptosystem med to tilhørende nøgler: en som kan kryptere og en anden der kan dekryptere igen? Kryptografi p.7/23

12 RSA-kryptering Udviklet af Rivest, Shamir og Adleman i Bygger på det matematiske emne talteori. Bruges i bl.a. Internet Explorer og Netscape Navigator. Dermed bruges det også i f.eks. Danske Netbank. Kryptografi p.8/23

13 Danske Banks offentlige nøgle Kryptografi p.9/23

14 Division med rest Sætning:(Division med rest) For alle positive, hele tal m og d findes præcis et helt tal q og et helt tal r så m = qd + r, 0 r < d Definition: Vi vil skrive m mod d for resten r. Kryptografi p.10/23

15 Division med rest Sætning:(Division med rest) For alle positive, hele tal m og d findes præcis et helt tal q og et helt tal r så m = qd + r, 0 r < d Definition: Vi vil skrive m mod d for resten r. Eksempel: 32 = mod 5 = 2 Kryptografi p.10/23

16 Division med rest - Øvelser Øvelse 5 mod 3 =? 18 mod 9 =? 36 mod 7 =? 87 mod 11 =? Kryptografi p.11/23

17 Division med rest - Øvelser Øvelse 5 mod 3 = 2 18 mod 9 =? 36 mod 7 =? 87 mod 11 =? Kryptografi p.11/23

18 Division med rest - Øvelser Øvelse 5 mod 3 = 2 18 mod 9 = 0 36 mod 7 =? 87 mod 11 =? Kryptografi p.11/23

19 Division med rest - Øvelser Øvelse 5 mod 3 = 2 18 mod 9 = 0 36 mod 7 = 1 87 mod 11 =? Kryptografi p.11/23

20 Division med rest - Øvelser Øvelse 5 mod 3 = 2 18 mod 9 = 0 36 mod 7 = 1 87 mod 11 = 10 Kryptografi p.11/23

21 Division med rest Sætning: Antag m, n og d er hele, positive tal. Lad m = m mod d og n = n mod d. Da gælder m n mod d = m n mod d Kryptografi p.12/23

22 Division med rest Sætning: Antag m, n og d er hele, positive tal. Lad m = m mod d og n = n mod d. Da gælder m n mod d = m n mod d Eksempel: mod 5 =? Kryptografi p.12/23

23 Division med rest Sætning: Antag m, n og d er hele, positive tal. Lad m = m mod d og n = n mod d. Da gælder m n mod d = m n mod d Eksempel: mod 5 = 2 4 mod 5 = 8 mod 5 = 3 Kryptografi p.12/23

24 Division med rest - Øvelser Øvelse mod 7 =? mod 11 =? mod 15 =? mod 97 =? Øvelse 5 5 mod 9 =? Kryptografi p.13/23

25 Division med rest - Øvelser Øvelse mod 7 = mod 11 =? mod 15 =? mod 97 =? Øvelse 5 5 mod 9 =? Kryptografi p.13/23

26 Division med rest - Øvelser Øvelse mod 7 = mod 11 = mod 15 =? mod 97 =? Øvelse 5 5 mod 9 =? Kryptografi p.13/23

27 Division med rest - Øvelser Øvelse mod 7 = mod 11 = mod 15 = mod 97 =? Øvelse 5 5 mod 9 =? Kryptografi p.13/23

28 Division med rest - Øvelser Øvelse mod 7 = mod 11 = mod 15 = mod 97 = 2 Øvelse 5 5 mod 9 =? Kryptografi p.13/23

29 Division med rest - Øvelser Øvelse mod 7 = mod 11 = mod 15 = mod 97 = 2 Øvelse 5 5 mod 9 = 2 Kryptografi p.13/23

30 Primtal Definition: Primtal? Kryptografi p.14/23

31 Primtal Definition: Et tal p > 1 kaldes et primtal såfremt de eneste naturlige tal, der går op i p er 1 og p selv. Kryptografi p.14/23

32 Primtal - Øvelser Øvelse Afgør hvilke af følgende tal, der er primtal: 1, 29, 37, 49, 103, 117. Kryptografi p.15/23

33 Primtal - Øvelser Øvelse Afgør hvilke af følgende tal, der er primtal: 1, 29, 37, 49, 103, 117. Øvelse: Er \ \ \ et primtal? Kryptografi p.15/23

34 Primtal Sætning: Ethvert helt, positivt tal større end 1 kan på entydig vis faktoriseres i primtal. Kryptografi p.16/23

35 Primtal Sætning: Ethvert helt, positivt tal større end 1 kan på entydig vis faktoriseres i primtal. Eksempel: 60 = Kryptografi p.16/23

36 Primtal - Øvelser Øvelse Faktoriser følgende hele tal. 54 =? 103 =? 117 =? Kryptografi p.17/23

37 Primtal - Øvelser Øvelse Faktoriser følgende hele tal. 54 = =? 117 =? Kryptografi p.17/23

38 Primtal - Øvelser Øvelse Faktoriser følgende hele tal. 54 = = =? Kryptografi p.17/23

39 Primtal - Øvelser Øvelse Faktoriser følgende hele tal. 54 = = = Kryptografi p.17/23

40 Primtal - Øvelser Øvelse Faktoriser følgende hele tal. 54 = = = Øvelse: Faktoriser følgende tal: \ \ Kryptografi p.17/23

41 Primtal - Øvelser Øvelse Faktoriser følgende hele tal. 54 = = = Øvelse: Faktoriser følgende tal: \ \ Der er en grænse for hvor store tal man rent praktisk kan faktorisere idag. Grænsen er højere imorgen! Kryptografi p.17/23

42 Konstruktion af nøglepar Vælg to (store) primtal p og q. Beregn n = pq. Beregn M = (p 1)(q 1) Find et helt tal 0 < e < M så e og M er uden fælles faktorer. Find et helt tal 0 < d < M så ed mod M = 1 Offentlig nøgle: (e, n) Hemmelig nøgle: d Kryptografi p.18/23

43 Matematik Sætning: Hvis (e, n) og d er konstrueret som før, så gælder m ed mod n = m for alle 0 m < n Kryptografi p.19/23

44 Krypteringsprotokol Klarteksten m er her et tal så 0 m < n. Kryptering: m m e mod n = c Dekryptering: c c d mod n = m??!! Kryptografi p.20/23

45 Krypteringsprotokol Klarteksten m er her et tal så 0 m < n. Kryptering: m m e mod n = c Dekryptering: c c d mod n = (m e mod n) d mod n = (m e ) d mod n = m ed mod n = m Kryptografi p.20/23

46 Sikkerhed i RSA Synes I at systemet virker sikkert? Kryptografi p.21/23

47 Sikkerhed i RSA RSA systemet kan brydes hvis man kan finde p og q! Kryptografi p.21/23

48 NSA NSA står for National Security Agency og er USA s kryptologi organisation. Agenturets formål er beskytte det amerikanske informationssystem og at skaffe udenlandsk efterretningsinformation. NSA står bag echelon. NSA beskæftiger USA s bedste kodemagere og kodebrydere. NSA siges at være verdens største arbejdsgiver for matematikere. Kryptografi p.22/23

49 Hvis du vil vide mere Simon Sing: Kodebogen. Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - Fra viden til videnskab. An introduction to Cryptography - findes på hjemmesiden for PGP. NSA s hjemmeside. Cryptomathic s hjemmeside. Cryptomathic er en Århus-baseret virksomhed indenfor kryptering. Kryptografi p.23/23

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter

Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, 2009 Jakob I. Pagter Oversigt Kryptografi autenticitet vs. fortrolighed ubetinget vs. beregningsmæssig sikkerhed Secret-key fortrolighed Public-key fortrolighed

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal

Læs mere

Kryptologi 101 (og lidt om PGP)

Kryptologi 101 (og lidt om PGP) Kryptologi 101 (og lidt om PGP) @jchillerup #cryptopartycph, 25. januar 2015 1 / 27 Hvad er kryptologi? define: kryptologi En gren af matematikken, der blandt andet handler om at kommunikere sikkert over

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Fortroligt dokument. Matematisk projekt

Fortroligt dokument. Matematisk projekt Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe

Læs mere

Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling Kryptering. Niels Christian Juul. N&P 11: 2001 April 18th

Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling   Kryptering. Niels Christian Juul. N&P 11: 2001 April 18th Roskilde Universitetscenter, Datalogisk Afdeling E-mail: ncjuul@acm.org Kryptering Niels Christian Juul N&P 11: 2001 April 18th Om kryptering, DES, RSA, PGP og SSL Copyright 1998-2001, Niels Christian

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Koder og kryptering. Foredrag UNF 4. december 2009 Erik Zenner (Adjunkt, DTU)

Koder og kryptering. Foredrag UNF 4. december 2009 Erik Zenner (Adjunkt, DTU) Koder og kryptering Foredrag UNF 4. december 2009 Erik Zenner (Adjunkt, DTU) I. Indledende bemærkninger Hvad tænker I på, når I hører kryptologi? Hvad tænker jeg på, når jeg siger kryptologi? Den matematiske

Læs mere

Hvad er KRYPTERING? Metoder Der findes to forskellige krypteringsmetoder: Symmetrisk og asymmetrisk (offentlig-nøgle) kryptering.

Hvad er KRYPTERING? Metoder Der findes to forskellige krypteringsmetoder: Symmetrisk og asymmetrisk (offentlig-nøgle) kryptering. Hvad er KRYPTERING? Kryptering er en matematisk teknik. Hvis et dokument er blevet krypteret, vil dokumentet fremstå som en uforståelig blanding af bogstaver og tegn og uvedkommende kan således ikke læses

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Assembly Voting ApS. Kompagnistræde 6, København K CVR:

Assembly Voting ApS. Kompagnistræde 6, København K CVR: Assembly Voting ApS Kompagnistræde 6, 2. 1208 København K CVR: 25600665 Afstemningssystem, Systembeskrivelse Assembly Votings systemer og hostingmiljøer er designet til at imødekomme såvel lovkrav som

Læs mere

Bilag Omfang. Besvarelsens omfang forventes at være mellem 15 og 20 sider, hvortil kommer bilag i form af eksperimentelle data, grafer og lignende.

Bilag Omfang. Besvarelsens omfang forventes at være mellem 15 og 20 sider, hvortil kommer bilag i form af eksperimentelle data, grafer og lignende. Hovedfag Matematik A Inddragne fag Fysik B (Astronomi C) Område Astronomisk navigation Opgave Astronomisk navigation og sfærisk geometri Gør rede for grundbegreberne i sfærisk geometri, herunder sfæriske

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S)

1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) Send Digitalt. Elementerne i Send Digitalt vinduet 1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) 2. Tjek kan anvendes til at kontrollere, om der kan sendes

Læs mere

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede I dag Hjemmeopgave 1 Næste hjemmeopgave Eventuelt vinduer igen Mapper og filer på USB-stik Vi skal hertil grundet opgave 2 Internet Pause (og det bliver nok

Læs mere

Større Skriftlig Opgave

Større Skriftlig Opgave Uddannelse: Højere Handelseksamen Skole: Fag og niveau: Informationsteknologi, niveau A Område: Kryptering og Certifikater Vejleder: Werner Burgwald Afleveringsdato: Fredag den 11. februar. Opgavetitel:

Læs mere

Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi

Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi Perspektiverende Datalogi 2014 Uge 39 Kryptologi Dette dokument beskriver en række opgaver. Diskutter opgaverne i små grupper, under vejledning af jeres instruktor. Tag opgaverne i den rækkefølge de optræder.

Læs mere

RSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden

RSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden 14. DEC 2014 RSA-KRYPTERING Studieretningsprojekt Blerim Cazimi Frederiksberg Tekniske Gymnasium Matematik A Vejleder: Jonas Kromann Olden Informationsteknologi B Vejleder: Kenneth Hebel Indhold Indledning...

Læs mere

Ekspertudtalelse om kryptering

Ekspertudtalelse om kryptering Ekspertudtalelse om kryptering Professor Lars R. Knudsen Opsummerering I konsulentkontrakt med rekvisitionsnummer 62010142 mellem Digitaliseringsstyrelsen og undertegnede bedes om bistand til ekspertudtalelse

Læs mere

Den digitale signatur

Den digitale signatur 3. Å RG A N G NR. 3 / 2004 Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Fra at være noget, der kun angik den militære ledelse og diplomatiet, har kryptologi med brugen af internettet fået direkte

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Kursusgang 3: Autencificering & asymmetrisk kryptering. Krav til autentificering. Kryptering som værktøj ved autentificering.

Kursusgang 3: Autencificering & asymmetrisk kryptering. Krav til autentificering. Kryptering som værktøj ved autentificering. Krav til autentificering Vi kan acceptere, at modtager (og måske afsender) skal bruge hemmelig nøgle Krav til metode: må ikke kunne brydes på anden måde end ved udtømmende søgning længde af nøgler/hemmeligheder/hashkoder

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET GUIDE 6 Noget om blænde GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Blænde... 4 Blænde og dybdeskarphed... 5 Blænde og lyset... 6 LÆRfoto.dk s serie af guides

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark

Kort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Kort og godt om NemID En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Hvad er NemID? NemID er en ny og mere sikker løsning, når du skal logge på offentlige hjemmesider, dit pengeinstitut og private virksomheders

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12

HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 HVOR SIKKER ER ASSYMETRISK KRYPTERING? Nat-Bas Hus 13.2 1 semesters projekt, efterår 2004 Gruppe 12 Udarbejdet af: Vejleder: Tomas Rasmussen Mads Rosendahl. Abstract Dette projekt har til formål at undersøge

Læs mere

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk Netværksguide sådan bruger du dit netværk Danmarks måske stærkeste netværk Step 1 Formålet med guiden Hvor kan netværk hjælpe? Netværk er blevet et centralt middel, når det gælder om at udvikle sig fagligt

Læs mere

RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til gymnasiet

RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til gymnasiet - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK RSA og den heri anvendte matematiks historie - et undervisningsforløb til gymnasiet Uffe Thomas Jankvist januar 2008 nr. 460-2008 blank Roskilde University, Department

Læs mere

S TUDIER ETNINGSP ROJEKT

S TUDIER ETNINGSP ROJEKT SRP 22. december 2011 3.Z Matematik A Historie A S TUDIER ETNINGSP ROJEKT Kryptologi Med Fokus På Enigma Og Dens Brydning Abstract The following study examines cryptography based especially on Enigma,

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Pia Schiermer, Underviser ved UNI-C og Amtscentrene 2 pia@schiermer.dk

Pia Schiermer, Underviser ved UNI-C og Amtscentrene 2 pia@schiermer.dk Pia Schiermer, Underviser ved UNI-C og Amtscentrene 2 Bloggen er et online medie for både de store og de små, høje og lave, lange og brede. Bloggen er for alle på nettet også de andre. En blog, også kaldet

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Tysklands brug af koder under Anden Verdenskrig, særligt i U-bådskrigen mod England Studieretningsprojekt i matematik (A) og historie (A)

Tysklands brug af koder under Anden Verdenskrig, særligt i U-bådskrigen mod England Studieretningsprojekt i matematik (A) og historie (A) 07.04.2007 Flóvin Tór Nygaard Næs, Kristian Priisholm og Line Thorup Tysklands brug af koder under Anden Verdenskrig, særligt i U-bådskrigen mod England Studieretningsprojekt i matematik (A) og historie

Læs mere

Fredag 12. januar David Pisinger

Fredag 12. januar David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Fredag 2. januar David Pisinger Kryptering Spartanere (500 f.kr.) strimmelrulle viklet omkring cylinder Julius Cæsar: substituering af bogstaver [frekvensanalyse]

Læs mere

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold.

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Her ses da alle sider og undersider som siden fodbold indeholder. Nu kan du gå i gang med f.eks. at tilføje nye sider. Klik

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Godt at vide, når man skal i 3. klasse

Godt at vide, når man skal i 3. klasse Godt at vide, når man skal i 3. klasse Kære forældre. Med denne folder vil vi gerne fortælle jer, om de holdninger, ønsker og tanker vi har, når det drejer sig om dit/jeres barns skolegang. Vi stiller

Læs mere

Projekt 0.6 RSA kryptering

Projekt 0.6 RSA kryptering Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den

Læs mere

principper for TILLID i Socialforvaltningen

principper for TILLID i Socialforvaltningen 5 principper for TILLID i Socialforvaltningen De fem principper for tillid i Socialforvaltningen I slutningen af 2012 skød vi gang i tillidsreformen i Socialforvaltningen. Det har affødt rigtig mange konstruktive

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Introduktion til Kryptologi

Introduktion til Kryptologi Introduktion til Kryptologi September 22, 2014 Kryptologi Datasikkerhed Sikker kommunikation over usikre kanaler Kryptografi: Bygge systemer Kryptoanalyse: Bryde systemer Avancerede Protokoller Data er

Læs mere

Kina viser vejen for dansk eksport i krisetider

Kina viser vejen for dansk eksport i krisetider Organisation for erhvervslivet 11. maj 2009 Kina viser vejen for dansk eksport i krisetider Af Erhvervs-Ph.d. Nis Høyrup Christensen, nhc@di.dk og Konsulent Joakim Larsen, jola@di.dk Dansk eksport har

Læs mere

1. Læsestærke børn i Vores Skole

1. Læsestærke børn i Vores Skole 1. Læsestærke børn i Vores Skole Vores forældre kan lære at styrke børnenes læsefærdigheder Forældre kan bruges endnu mere til at fremme børnenes læsefærdigheder. Vi kan give dem gode råd og brugbare redskaber

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Introduktion til MPLS

Introduktion til MPLS Introduktion til MPLS Henrik Thomsen/EUC MIDT 2005 VPN -Traffic Engineering 1 Datasikkerhed Kryptering Data sikkerheds begreber Confidentiality - Fortrolighed Kun tiltænkte modtagere ser indhold Authentication

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Kryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER

Kryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER Kryptering ELLER xhafgra ng tøer hyæfryvtg P0 Anders Rune Jensen Ole Laursen Jasper Kjersgaard Juhl Martin Qvist 21. september 2001 AALBORG UNIVERSITET Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg

Læs mere

Vejledning til prøveaftale gældende for skoleåret 2016/2017 (jf. Silkeborgaftalen af 7. marts 2016 bilag)

Vejledning til prøveaftale gældende for skoleåret 2016/2017 (jf. Silkeborgaftalen af 7. marts 2016 bilag) 1. maj 2016 Vejledning til prøveaftale gældende for skoleåret 2016/2017 (jf. Silkeborgaftalen af 7. marts 2016 bilag) Prøveafvikling I Silkeborgaftalen står der: Lærere med afgangsprøver og censur fastholder

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Respektfuld og empatisk kommunikation. handlingsorienterede værdierv

Respektfuld og empatisk kommunikation. handlingsorienterede værdierv Respektfuld og empatisk kommunikation Et oplæg g om nærvn rværende rende og handlingsorienterede værdierv En grundsætning Jeg kan ikke ikke-kommunikere Du kan ikke ikke-kommunikere Gefion, 18. marts 2009

Læs mere

Spørgsmål og svar om håndtering af udenlandsk udbytteskat marts 2016

Spørgsmål og svar om håndtering af udenlandsk udbytteskat marts 2016 Indhold AFTALENS FORMÅL... 2 Hvilken service omfatter aftalen?... 2 Hvad betyder skattereduktion, kildereduktion og tilbagesøgning?... 2 AFTALENS INDHOLD OG OPBYGNING... 3 Hvilke depoter er omfattet af

Læs mere

Guds engle -1. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning. 15-20 minutter

Guds engle -1. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning. 15-20 minutter Guds engle -1 Mål: Vi vil give børnene bibelske sandheder omkring engle. Læs derfor også vedlagt fil Guds Engle info igennem, så du er klar til at svare på børnenes spørgsmål. Tekst: Lukas 1, 5-25 (Zakarias

Læs mere

Traditionen tro byder august september på forældremøder i de enkelte klasser,

Traditionen tro byder august september på forældremøder i de enkelte klasser, Vi skrev i første nummer af Fællesnyt, at vi ville udkomme én gang i kvartalet. Det bryder vi allerede her i andet nummer, hvor I kan læse om konfirmationsforberedelse i 7. klasse, en sjov bemærkning og

Læs mere

Teoretisk og praktisk beregnelighed

Teoretisk og praktisk beregnelighed Teoretisk og praktisk beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/28 Beregnelighed:

Læs mere

Velkommen til Viruplund

Velkommen til Viruplund Velkommen til Viruplund Afdelingsbestyrelsen i Viruplund byder dig hermed velkommen. Vi har skrevet dette velkomstbrev som en hjælp til nye beboere, og det er vores håb, at du vil tage dig tid til at læse

Læs mere

Statistisk sproggenkendelse anvendt i kryptoanalyse

Statistisk sproggenkendelse anvendt i kryptoanalyse Statistisk sproggenkendelse anvendt i kryptoanalyse Søren Møller UNF Matematikcamp 2010 12.07.2010 Problemet Kryptering Markov kæder Unigrammer Bigrammer Statistiker Maskinen Nøglerum Kryptering Problemet

Læs mere

Uddannelsesplan for pæd. stud.

Uddannelsesplan for pæd. stud. Uddannelsesplan for pæd. stud. Med denne folder vil vi byde dig velkommen, som studerende på Boenheden Højtoftevej 50. Her kan du læse lidt om hvem vi er og hvad vi beskæftiger os med, samt forskellige

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN

00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 2 Algebra og talteori 2002 by Gyldendalske Boghandel Nordisk forlag,

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Service i rengøring. Service i rengøring. Daglig erhvervsrengøring

Service i rengøring. Service i rengøring. Daglig erhvervsrengøring Service i rengøring Daglig erhvervsrengøring 1 Forord At udføre erhvervsrengøring kræver uddannelse dette undervisningsmateriale er udarbejdet som grundbogsmateriale til kurset Daglig erhvervsrengøring.

Læs mere

Velkommen til Rygcentret - Medicinsk Rygambulatorium

Velkommen til Rygcentret - Medicinsk Rygambulatorium Rygcenter Syddanmark, Sygehus Lillebælt og Syddansk Universitet Velkommen til Rygcentret - Medicinsk Rygambulatorium Rygcenter Syddanmark www.sygehuslillebaelt.dk Rygcenter Syddanmark Rygcenter Syddanmark

Læs mere

GOD KOMMUNIKATION I BUF: ALLE MEDARBEJDERE KOMMUNIKERER VI KOMMUNIKERER EFTER MODTAGERNES BEHOV VI KOMMUNIKERER ÅBENT OG TROVÆRDIGT

GOD KOMMUNIKATION I BUF: ALLE MEDARBEJDERE KOMMUNIKERER VI KOMMUNIKERER EFTER MODTAGERNES BEHOV VI KOMMUNIKERER ÅBENT OG TROVÆRDIGT KOMMUNIKATION I BUF ORES VISION Børne- og Ungdomsforvaltningen arbejder for, at alle københavnske børn og unge skal få de bedste muligheder for at vokse op og skabe sig en tilværelse på egen hånd. Vi skal

Læs mere

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012 Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

3. Moderne krypteringsmetoder

3. Moderne krypteringsmetoder 3. Moderne krypteringsmetoder 3.1 Konventionelle systemer De systemer, vi indtil nu har beskrevet, har alle den egenskab, at der ikke er nogen principiel forskel på enkrypterings- og dekrypteringsalgoritmen.

Læs mere

Python 3 Matematik Programmerings kursus:

Python 3 Matematik Programmerings kursus: Python 3 Matematik Programmerings kursus: Kompendiet indeholder: Hello World (første program) Variable (String & Integer) Løkker (while-loop) Regneoperationer If-else statement Funktioner Opgaver o Læg

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

SPROGVURDERING OG AF 3-ÅRIGE

SPROGVURDERING OG AF 3-ÅRIGE SPROGVURDERING OG SPROGStimulering AF 3-ÅRIGE kort fortalt 2 KÆRE FORÆLDRE Sprog er et vigtigt redskab til at kunne sætte ord på sine følelser og meninger. Børns sproglige udvikling i de første leveår

Læs mere

Ikke-voldelig kommunikation Bliv på egen banehalvdel

Ikke-voldelig kommunikation Bliv på egen banehalvdel Ikke-voldelig kommunikation Bliv på egen banehalvdel elevopgave Marshall B. Rosenberg udviklede ikke-voldelig kommunikation i 1960 erne. Han mæglede mellem etniske bander, og i det arbejde havde han brug

Læs mere

Borgerrådgiverens hovedopgave er først og fremmest dialog med borgerne i konkrete sager en mediatorrolle, hvor det handler om at:

Borgerrådgiverens hovedopgave er først og fremmest dialog med borgerne i konkrete sager en mediatorrolle, hvor det handler om at: BORGER RÅDGIVEREN Det kan du bruge borgerrådgiveren til Er du utilfreds med behandlingen af din sag i Hvidovre Kommune eller med kommunens behandling af dig, kan du henvende dig til borgerrådgiveren. Borgerrådgiverens

Læs mere

Det skal I vide, når I planlægger jeres barsel

Det skal I vide, når I planlægger jeres barsel 1 Det skal I vide, når I planlægger jeres barsel Indhold Når I får barn...2 Betingelser for orlov...3 Løn under orloven...4 Hvor meget kan jeg få?...4 Sammensæt jeres forældreorlov...5 Del forældreorloven

Læs mere

Sorteringsmaskinen. Hej med dig!

Sorteringsmaskinen. Hej med dig! Sorteringsmaskinen Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom!

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

Gode råd om CV. Denne pjece indeholder vejledning til dig om oprettelse og vedligeholdelse af CV på Jobcenterets hjemmeside. www.jobnet.

Gode råd om CV. Denne pjece indeholder vejledning til dig om oprettelse og vedligeholdelse af CV på Jobcenterets hjemmeside. www.jobnet. Gode råd om CV Denne pjece indeholder vejledning til dig om oprettelse og vedligeholdelse af CV på Jobcenterets hjemmeside www.jobnet.dk Alle ledige medlemmer skal oprette et CV, som A-kassen efterfølgende

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere