RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard"

Transkript

1 RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10

3 Erik Vestergaard Indledning I denne lille note skal vi studere det såkaldte RSA kryptosystem, udviklet af Rivest, Shamir og Adleman i Metodens sikkerhed bygger på den meget efterprøvede antagelse, at det er et meget stort arbejde at finde primtalsfaktorer i et meget stort tal. Matematikken i systemet involverer derfor blandt andet primtalsteori. Hertil kommer regning med rester og fælles divisorer. Alt sammen hører det indenfor området talteori. Vi skal først præsentere udvalgte elementer af talteorien og dernæst forklare, hvordan RSA-systemet er skruet sammen.. Regning med rester Fra folkeskolen ved vi, at et helt tal a går op i et andet helt tal b, såfremt divisionen af b med a giver et helt tal. Situationen kan også defineres således: Definition 1 Et helt tal a 0 går op i et helt tal b, såfremt der findes et helt tal q, så b= q a. Vi skriver a b. Tallet a betegnes divisoren og q kvotienten. Fra folkeskolen ved vi også, at ikke alle divisioner går op. Der kan forekomme en rest. For eksempel vil 53 divideret med 5 give 10 med 3 til rest, eftersom 53= og fordi resten 3 skal være et tal 0, som er mindre end divisoren, som er 5. Det er oplagt, at følgende sætning gælder: Sætning For vilkårlige hele tal a> 0 og b gælder, at der findes entydigt bestemte hele tal q og r, så b= q a+ r, hvor 0 r< a. Eksempel 3 Der er en meget smart måde, hvorpå man kan finde kvotienten og resten ved en division. Hvis b 0 : Foretag divisionen, eventuelt på lommeregneren. Da vil heltalsdelen være lig med kvotienten og hvis man ganger brøkdelen med divisoren a, får man resten. For eksempel er 43/1= 3, , og ifølge metoden er heltalsdelen 3 lig med kvotienten, mens resten fås ved at gange brøkdelen 0,58333 med 1, hvilket giver 1 0, = 7. Bemærk, at da man ikke kan medtage uendeligt mange decimaler, kan det være nødvendigt at afrunde resultatet af multiplikationen. Vi ser, at det stemmer, at 43= Overvej, hvad du vil gøre, hvis b< 0. Se opgaverne 0, 1 og. I det følgende skal vi bevise en vigtig sætning om divisibilitet! Den skal sener vise sig nyttig i forbindelse med begrebet fælles divisor.

4 4 Erik Vestergaard Sætning 4 For hele tal a, b og c gælder: a) Hvis a 0 : a b a bc b) Hvis a, c 0 : ac bc a b c) Hvis a, c 0 : a b b c a c d) Hvis x, y Z, c 0 : c a c b c ( xa+ yb) Bevis: Vi skal naturligvis gøre heftig brug af definition 1. a) Da a b ved vi, at der findes et q, så b= q a. Ganger vi på begge sider med c, får vi bc= qac= ( qc) a. Dermed har vi vist, at a går op i bc med kvotient qc. b) : Da ac bc ved vi, at der findes et q, så bc= q ac. Da c 0, kan vi dividere med tallet og får b= q a, som viser, at a b med kvotient q. Modsat vej : Da a b findes et q, så b= q a. Da c 0 fås bc= q a c= q ( ac), hvilket viser, at ab ac med kvotient q. c) Da a b, findes der et q 1 så b= q1 a, og da b c, findes der et q, så c= q b. Dermed haves c= q b= q ( q1 a) = ( q1 q) a. Altså a c med kvotient q1q. d) Overlades til læseren i opgave 3. Eksempel 5 Da 8 48 har vi ifølge a) også, at 8 (5 48) altså Ifølge b) haves for eksempel at 3 a 3 b a b. Vi har 7 56 og , altså haves ifølge c), at d) siger, at hvis et tal c går op i to tal a og b, så går c også op i enhver linearkombination af a og b. Vi skal herefter se på nogle sætninger, som gælder for rester. Først en definition: Definition 6 For hele tal a og n med n> 0, indfører vi en hensigtsmæssig notation for resten af a ved division med n, nemlig a (mod n ). Dette udtales: a modulo n. Eksempel 7 38 (mod 7) = 3, fordi 38 divideret med 7 giver 5 med 3 til rest. På tilsvarende måde fås 63 (mod 5) =, fordi 63 divideret med 5 giver 13 med til rest: 63 = ( 13) 5+. Sætning 8 For hele tal a og b med b> 0, gælder: a) n a a (mod n) = 0 b) Hvis 0 a< n, så er a (mod n) = a c) ( a (mod n))(mod n) = a (mod n) d) For k Z : ( a+ k n)(mod n) = a (mod n)

5 Erik Vestergaard 5 Bevis: a) udtaler, at hvis divisionen går op, så er resten 0, hvilket er klart. b) siger, at hvis man dividerer et positivt tal op i et ikke-negativt tal, og divisoren er størst, så er resten lig med det, der divideres op i. Dette er klart, for i så fald vil n gå 0 gange op i a: a= 0 n+ a. Nu til c): Den siger, at hvis man regner rester ud modulo n, så er der ingen forskel på at gøre det på a eller a (mod n ). Denne påstand er en simpel konsekvens af punkt b), idet a (mod n) < n. Endelig d): Den siger, at når man udregner rester modulo n, så ændres resten ikke, hvis man lægger et multiplum af n til før division med n. Antag a= q n+ r med 0 r< n. Så er a+ k n= ( q n+ r) + k n= ( k+ q) n+ r, hvilket viser at resten er uændret. Ikke overraskende ser vi, at den nye kvotient er k+ q. Vi er nu klar til at bevise en meget vigtig sætning, som skal vise sig meget vigtig, når rester af for eksempel meget store potenser skal bestemmes. Sætning 9 For a, b Z, n N gælder: a) ( a+ b)(mod n) = ( a (mod n) + b (mod n))(mod n) b) ( a b)(mod n) = ( a (mod n) b (mod n))(mod n) c) a t (mod n) t = ( a (mod n)) (mod n) Eksempel 10 Lad os lige se på et eksempel, før vi beviser sætningen. Sætning 9a) siger kort fortalt, at hvis man vil udregne rester modulo n for en sum a+ b, så kan man gøre dette ved først at udregne resterne af henholdsvis a og b modulo n, addere resterne og derefter udregne resten af resultatet modulo n. Noget helt tilsvarende gælder for multiplikation og potensopløftning. Lad os som eksempel sige, at a= 781, b= 804, n= 671 og at vi ønsker at foretage en multiplikation af a og b modulo n. Vi udregner hver af siderne i a): ( a b)(mod n) = ( )(mod 671) = (mod 671) = 653 ( a (mod n) + b (mod n))(mod n) = (781(mod 671) 804 (mod 671))(mod 671) = (97 15)(mod 671) = (mod 671) = 653 Vi ser som ventet, at vi får samme rest. Fordelen ved den anden udregning er, at man ikke behøver at regne med så store tal! Når man udregner rester at potenser, så er fordelen endnu større, og vi skal i sætning 8 og eksempel 3 se, hvorledes man yderligere kan lette disse beregninger.

6 6 Erik Vestergaard Bevis for sætning 9: a) Vi ved, at a og b kan skrives på formen a= q1 n+ r1 og b= q n+ r, hvoraf fås a+ b= ( q1 n+ r1 ) + ( q n+ r ) = ( q1+ q ) n+ ( r1 + r ). Ifølge sætning 8d) får vi følgende: ( a+ b)(mod n) = (( q1+ q) n+ ( r1+ r ))(mod n) = ( r1+ r )(mod n) ved regning med rester modulo n. Og da a (mod n) = r1 og b (mod n) = r er det ønskede vist. b) Overlades til læseren. Se opgave 4. c) Denne del følger ved gentagen anvendelse af sætning 9b). 3. Største fælles divisor Et tal d siges at være en fælles divisor for a og b, såfremt d a og d b. Der er kun et endeligt antal tal, som går op i henholdsvis a og b. Det største af de tal, som går op i både a og b, kaldes den største fælles divisor for a og b og betegnes sdf ( a, b ) eller blot ( a, b ). Begrebet er vigtigt, fordi det indgår i nogle helt centrale sætninger. Hvis specielt ( a, b ) = 1, så har a og b ingen fælles divisorer udover 1, og a og b siges da at være indbyrdes primiske. Vi skal se på egenskaber for den største fælles divisor. Eksempel 11 Vi skal bestemme den største fælles divisor for a= 8 og b= 48. Divisorer i 8: ± 1, ±, ± 4, ± 7, ± 14, ± 8. Divisorer i 48: ± 1, ±, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 1, ± 16, ± 4, ± 48. Fælles divisorer: ± 1, ±, ± 4. Vi ser, at ( a, b ) = (8,48) = 4. Nu kan det jo være et ret omfattende arbejde at søge efter divisorer i tal, specielt hvis tallene er ret store. Derfor er det et nærliggende spørgsmål, om der findes en genvej til at bestemme den største fælles divisor for to tal? Svaret er heldigvis positivt, hvilket den næste sætning indikerer. Sætning 1 Hvis r er resten af b ved division med a, så gælder: ( a, b) = ( a, r) = ( a, b (mod a)). Bevis: Det er klart nok at vise, at d a d b d a d r. Vi viser begge veje. : Vi antager, at venstresiden gælder. Da b= q a+ r, har vi r= b q a. Da d går op i både a og b, må tallet derfor også gå op i r ifølge sætning 4d). Så højresiden er dermed vist. : Vi antager at højresiden gælder. Da b= q a+ r og d går op i både a og r, så går d også op i b, igen ifølge sætning 4d), hvormed venstresiden er vist.

7 Erik Vestergaard 7 Eksempel 13 Bestem (1650,33). Løsning: Vi skal benytte sætning 1 et antal gange til at reducere problemet til et simplere. Bestemmelsen af resterne er angivet til højre. Vi ser, at resultatet er 6. Største fælles divisor (1650, 33) = (1650, ) = (96, ) = (96,30) = (6,30) = (6,0) = 6 Restberegninger 33 = = = = = Den metode, som her er beskrevet, betegnes Euklids algoritme, opkaldt efter græske matematiker Euklid (ca. 300 f.kr.). Det viser sig, at Euklids algoritme samtidigt kan bruges til at skrive den største fælles divisor ( a, b ) som en linearkombination af a og b. Hvordan det foregår, kan lettest illustreres via eksempel 13 ovenfor, hvor vi indfører betegnelser for beregningerne i højre kolonne. Her svarer a til 1650 og b til 33. Venstre kolonne nedenfor svarer til højre kolonne ovenfor. Restberegninger b = q a+ r 1 1 a = q r + r 1 r = q r + r r = q r + r = r q r Linearkombinationer r = b q a = ( q ) a+ 1 b = s a+ t b r = a q r = = s a+ t b 1 r = r q r = = s a+ t b r = r q r = = s a+ t b Idéen i omskrivningerne i højre kolonne er, at man isolerer resten fra divisionen i venstre kolonne. I første række ser vi for eksempel, at r 1 kan skrives som en linearkombination af a og b: r 1 = s 1 a+ t 1 b, hvor s1 = q1 og t 1 = 1. Hvis dette udtryk for r 1 indsættes på r 1 's plads i udtrykket a q r1 i. række, så får man efter reduktion, at også resten r kan skrives som en linearkombination af a og b, dvs. s a+ t b. Herefter indsættes både udtrykket for r 1 og udtrykket for r i udtrykket r 1 q 3 r i tredje række, og man får igen en linearkombination af a og b, nemlig s3 a+ t3 b, etc. Som vi ved, er den største fælles divisor for a og b i eksemplet ovenfor lig med r 4, og den sidste lig-

8 8 Erik Vestergaard ning i højre kolonne fortæller, at den største fælles divisor ( r 4) kan skrives som en linearkombination af a og b, nemlig s4 a+ t4 b. Lad os gennemføre processen i tilfældet med eksempel 13: Rester = = = ( ) = = 96 = ( ) ( ) = = = ( ) 3 ( ) = Den sidste linje viser, hvordan den største fælles divisor kan skrives som en linear kombination af a og b: 6= Der gælder faktisk generelt: Sætning 14 Lad a og b være hele tal, som er forskellig fra 0. Da findes hele tal s og t, så ( a, b) = s a+ t b. Vi skal ikke give et formelt bevis, fordi notationen bliver ret tung. Fremgangsmåden beskrevet i eksemplet ovenfor er dog nok til at man kan overbevise sig om, at metoden fungerer generelt. Det kan undertiden være nyttigt at kunne finde de aktuelle koefficienter i linearkombinationen ved hjælp af Euklids algoritme. Sætningen har også teoretisk interesse, idet den ofte indgår som redskab til at bevise andre sætninger. Se for eksempel følgende sætning: Sætning 15 a) d a d b d ( a, b) b) For et helt tal m> 0 gælder: ( m a, m b) = m ( a, b) c) ( a, n) = 1 ( b, n) = 1 ( ab, n) = 1 d) c ab ( c, b) = 1 c a Bemærkninger: a) siger, at hvis et tal d går op i a og b, så går tallet også op i den største fælles divisor for a og b. b) siger, at hvis man ganger en fælles faktor m på a og b, fås den største fælles divisor for de nye tal ved at gange m på den største fælles divisor for de oprindelige tal. c) siger, at hvis både a og b er indbyrdes primiske med n, så er produktet a b også indbyrdes primisk med n.

9 Erik Vestergaard 9 d) siger, at hvis et tal c går op i et produkt af to tal, og hvis c er indbyrdes primisk med det ene af tallene i produktet, så går c op i det andet tal i produktet. Bevis for sætning 15: a) Påstanden følger direkte af sætning 14 og sætning 4d). b) Da begge sider i ligheden er positive, kan ligheden vises ved at påvise, at venstresiden går op i højresiden og at højresiden går op i venstresiden. Vise ( m a, m b) m ( a, b) : Der findes et s og et t, så ( a, b) = s a+ t b, ifølge sætning 14. Ganger vi med m, fås m ( a, b) = m ( s a+ t b) = s ( m a) + t ( m b). Vi mangler blot at påvise, at ( m a, m b) går op i højresiden, men det er klart, fordi ( m a, m b) per definition går op i både m a og m b. Vise m ( a, b) ( m a, m b) : Per definition haves ( a, b) a og ( a, b) b. Ifølge sætning 4b) haves derfor: m ( a, b) m a og m ( a, b) m b. Altså går m ( a, b) op i både m a og m b. Derfor må m ( a, b) også gå op i deres største fælles divisor, ( m a, m b), ifølge sætning 15a). Det var det, vi ville vise. c) Ifølge sætning 14 findes der hele tal s 1 og t 1, så s1 a+ t1 n= 1 samt hele tal s og t, så s b+ t n= 1. Når vi ganger de to ligninger sammen, får vi følgende ligning: 1 = ( s1 a+ t1 n)( s b+ t n) = ( s1s ) ab+ ( s1t a+ t1sb+ t1t n) n. Der er altså en linearkombination af ab og n, som er lig med 1. En sætning siger da, at den største fælles divisor mellem tallene er lig med 1 (se opgave 3). d) Vi har ( ab, ac) = a ( b, c) = a 1= a, hvor vi i første lighedstegn har benyttet sætning 15b) og i andet lighedstegn har udnyttet antagelsen ( b, c ) = 1 fra sætningen. Det er klart, at c ac. Ifølge sætning 15a): c ab c ac c ( ab, ac) c a, hvor vi i sidste ensbetydende tegn har benyttet ovenstående udledning ( ac, ac) = a. 4. Primtal Et helt tal større end 1 kaldes for et primtal, hvis tallet kun har de trivielle positive divisorer 1 og tallet selv. Et helt tal større end 1, som ikke er et primtal, kaldes for et sammensat tal. Listen af primtal starter således:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, Vi skal se, at denne liste er uendelig. Først skal vi imidlertid se på en vigtig sætning, som siger, at hvis et primtal går op i et produkt af to tal, så går primtallet op i mindst det ene af de to tal i produktet. Sætning 16 Lad p være et primtal. Da gælder: p ab p a p b.

10 10 Erik Vestergaard Bevis: Antag p ikke går op i a. Da haves ( a, p ) = 1. Ifølge sætning 15d) vil vi derfor have p b. Primtallet må altså gå op i mindst en af faktorerne. Det ses ret nemt, at resultatet i sætning 16 kan generaliseres (se opgave 33) til, at hvis p er et primtal, så gælder p a1 a an p a1 p a p an. Vi skal nu vise en fundamental sætning, som har været kendt tidligt i historien, men som først blev bevist af tyskeren Carl Friedrich Gauss ( ). Sætning 17 (Algebraens fundamentalsætning) Ethvert positivt tal n kan skrives som et produkt af primtal. Faktoriseringen er entydig, når der ses bort fra rækkefølgen, hvori faktorerne skrives. Bevis: Lad os starte med eksistens-delen. Hvis n er et primtal er vi færdige. Hvis derimod n er et sammensat tal, kan det skrives som n= n1 n, hvor n 1 og n begge er større end 1, men mindre end n. Processen gentages nu på n 1 og n : Hvis n 1 er et primtal, lader vi det stå, ellers faktoriseres det, etc. Processen må på et tidspunkt stoppe, altså den er endelig, for tallene, man faktoriserer bliver mindre og mindre. Til sidst har man kun primtal tilbage. Dermed er n skrevet som et produkt af primtal. Entydighed: Vi skal vise, at hvis vi har to primtals-faktoriseringer p1 p pr og q1 q qs af n, så vil de nødvendigvis indeholde de samme primtal med samme hyppighed. Det eneste, som kan være forskellig er rækkefølgen, hvori de er opskrevet. Da p1 p1 p pr, må vi også have p1 q1 q qs. Ifølge sætning 16 eller dens generalisation, må p 1 gå op i et af q erne; lad os sige, at det er q 1. Da dette er et primtal, må vi have p1 = q1. Herefter divideres faktoren væk i begge faktoriseringer, således, at vi har p pr = q qs. Processen gentages: p q qs, etc. Når alle p erne er forkortet væk, må også alle q erne være det, dvs. r= s. Sætning 18 Hvis ingen af primtallene n går op i n, så er n et primtal. Bevis: Hvis et sammensat tal går op i n, så vil det sammensatte tals primtalsfaktorer også gå op i n. Derfor er det tilstrækkeligt at teste for alle primtal. At man kun behøver at teste for alle primtal op til og med n følger af, at hvis n er sammensat, så vil mindst en af dens primtalsfaktorer være n. Hvis man multiplicerer to eller flere tal, som er > n, får man jo et tal, som er større end n.

11 Erik Vestergaard 11 Eksempel 19 Vi skal undersøge, om tallet n = 351 er et primtal eller ej. n = 351= 48, 49, så vi behøver kun teste for divisorer blandt primtallene op til 48:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47. Ingen af disse tal går op i 351, så vi har altså at gøre med et primtal. Eksempel 0 Vi skal primtalsfaktorisere tallet n= Vi tester for de mindre primtal: Det mindste primtal, som går op i n er 7 og vi har = Vi søger videre efter primtalsfaktorer i n 1= , og starter med at teste for 7, 11, 13, og opdager, at 19 går op: = Vi arbejder videre med faktoren n = , og søger efter primtalsfaktorer fra 19 og opefter. Allerede med 19 er der gevinst, = Hvad angår n 3 = , må vi arbejde lidt mere. Først ved 77 finder vi en divisor: = Tallet 351 er et primtal, som vi fandt ud af i eksempel 19. Hermed har vi fundet den ønskede primfaktoropløsning af n: = Med eksempel 0 så vi, at der er en hel del arbejde forbundet med at faktorisere et tal. Problemet viser sig at blive markant større, jo større n er. Og hvis primtalsfaktorerne er store, bliver det rigtigt svært, så kan vi ikke trævle problemet op som i eksempel 0 ovenfor. Selvom utallige matematikere igennem århundreder har ledt efter hurtige genveje til at faktorisere tal, så er det ikke lykkedes. Antagelsen er derfor at en sådan hurtig metode ikke eksisterer. At det (formentlig) er et stort arbejde at faktorisere et tal, er netop kernen i RSA-krypteringsteknikken. Sætning 1 Der findes uendeligt mange primtal. Bevis: Antag modsætningsvist, at der kun er endeligt mange primtal p1, p,, pr. Betragt da tallet n= p1 p p r + 1. Ifølge algebraens fundamentalsætning kan n faktoriseres i primtal. Men primtalsfaktorerne i n kan umuligt være p1, p,, pr, fordi man får 1 til rest ved division med disse op i n. Der er altså mindst ét primtal udover de r primtal p1, p,, pr. Dette er en modstrid. Altså er antagelsen om, at der er endeligt mange primtal, forkert. Sætning 1 er på en måde godt nyt for os, for det betyder, at der ikke er nogen grænser for, hvor store primtal, der kan genereres. De store primtal får vi brug for, for at kunne foretage RSA-kryptering. Når tal er meget store, kræver det et kæmpe arbejde, før man kan være helt sikker på, at tallet er et primtal. Vi skal dog stille os tilfreds med mindre: Der findes metoder, hvormed man kan afgøre med næsten sikkerhed, at et givet tal er et primtal. Mere om det senere.

12 1 Erik Vestergaard 5. Eulers ϕ-funktion I dette afsnit skal vi se på den såkaldte Eulers ϕ-funktion, som indgår i flere sætninger, som har med regning med rester at gøre. Før begrebet introduceres, skal vi se på en næsten indlysende sætning, der siger, at to tal x og y har samme rest modulo n hvis og kun hvis n går op i differensen af tallene: Sætning x (mod n) = y (mod n) n ( x y) Bevis: : Las os betegne den fælles rest modulo n med r. Dermed har vi x= q1 n+ r og y= q n+ r. Det giver differensen x y= ( q1 n+ r) ( q n+ r) = ( q1 q) n, som viser, at n ( x y). : Vi antager, at n ( x y), dvs. der findes et q, så x y= q n. Det giver x= y+ q n. Ifølge sætning 8d) haves x (mod n) = y (mod n). Nu til en sætning, der siger, at hvis a x og a y giver samme rest ved division med n, og a og n er indbyrdes primiske, så giver x og y også samme rest ved division med n. Sætning 3 ax (mod n) = ay (mod n) ( a, n) = 1 x (mod n) = y (mod n) Bevis: Første oplysning på venstre side giver os at n ( ax ay) eller n a ( x y), ifølge sætning. Da a og n er indbyrdes primiske, fås ifølge sætning 15d), at n ( x y), hvilket ifølge sætning betyder, at x (mod n) = y (mod n). Definition 4 n. Det viser sig interessant at studere den delmængde af rester, som er forskellige fra 0 og som er indbyrdes primiske med n: Zn = { r Zn r 0 ( r, n) = 1}. Antallet af elementer i mængden Z betegnes ϕ ( n). Funktionen ϕ, defineret for alle n N, kaldes Eulers ϕ-funktion. Mængden af rester modulo n betegnes ofte med Z = { 0,1,,, n 1} n Sætning 5 Lad n N og lad p1, p,, pr være de forskellige primfaktorer i n. Da er ( ) ( ) ( ) ϕ ( n) = n p1 p p r Specielt: Hvis p og q er to forskellige primtal, gælder ϕ ( pq) = ( p 1)( q 1). Specielt: Hvis p er et primtal gælder ϕ ( p) = p 1 og ϕ ( p ) = p( p 1).

13 Erik Vestergaard 13 Bevis: Beviset for den generelle formel er for svær til at blive præsenteret her. Specialtilfældene er derimod noget nemmere og er henlagt til opgave 50. Eksempel 6 Lad os betragte tilfældet n= 15. Regning med rester modulo 15 giver følgende: Z 15 = { 0,1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,1,13,14} Vi søger nu de rester, som er indbyrdes primiske med n= 15. Da 15 har primfaktorerne 3 og 5, skal vi altså udvælge de tal, hvori hverken 3 eller 5 går op. For eksempel må vi afvise 10, fordi 5 er divisor. Alt i alt fås følgende: { } Z 15 = 1,, 4, 7, 8,11,13,14 Da der er 8 elementer heri, er ϕ (15) = 8. Det stemmer også med sætning 5, hvor specialtilfældet n= 3 5 giver ϕ(3 5) = (3 1) (5 1) = 4= 8. Nu skal vi foretage nogle beregninger, som leder frem til den næste, meget centrale sætning. Vi skal prøve at gange et fast tal, 6, som er indbyrdes primisk med n= 15, på resterne i Z, udregne resterne modulo 15 og se, hvad der sker: (mod 15) = 6 (mod 15) = 11 6 (mod 15) = 5 (mod 15) = (mod 15) = 104 (mod 15) = (mod 15) = 18 (mod 15) = 6 8 (mod 15) = 08 (mod 15) = (mod 15) = 86 (mod 15) = (mod 15) = 338 (mod 15) = (mod 15) = 364 (mod 15) = 4 Udregningerne resulterer naturligvis i rester i Z 15, men hvad der er overraskede er, at resterne faktisk holder sig indenfor delmængden Z 15, ja faktisk opnår man resterne heri i en permuteret rækkefølge: hver rest forekommer nøjagtig én gang. I beviset for den følgende sætning skal vi se, at dette ingenlunde er et tilfælde. Sætning 7 Hvis ( a, n ) = 1 gælder, at ϕ n ( a ) (mod n) = 1 Bevis: Lad Zn { r1, r,, r ϕ ( n) } =. Vi er nu interesseret i at se på resterne ari (mod n ), hvor i= 1,,, ϕ( n). Først vil vi vise, at de alle er forskellige og derefter, at de alle ligger i Z, hvormed vi vil have vist, at man får alle resterne i Z netop én gang. n n

14 14 Erik Vestergaard Antag, at ari (mod n) = arj (mod n). Ifølge sætning 3 haves ri (mod n) = rj (mod n), da ( a, n ) = 1. Da ri, rj < n reduceres ligningen til r i = r j ifølge sætning 8b). Eller sagt på en anden måde: r r ar (mod n) ar (mod n). Elementerne er altså forskellige! i j i j n Per definition opfylder alle resterne i Z, at ( ri, n ) = 1. Da vi desuden har antaget, at ( a, n ) = 1, så fås af sætning 15c), at ( ari, n ) = 1. Ifølge sætning 1 har vi første lighedstegn i ( ari (mod n), n) = ( ari, n) = 1. Da ari (mod n) < n og ari (mod n ) og n er indbyrdes primiske, har vi vist, at ar (mod n) Z. i n Vi har nu vist, at ar1 (mod n), ar (mod n),, arϕ ( n) (mod n) er de samme som resterne r1, r,, r ϕ ( n), eventuelt blot i en anden rækkefølge. Hvis vi ganger førstnævnte sammen så får vi altså det samme som ved at gange de sidstnævnte rester sammen: r r r (mod n) = ar (mod n) ar (mod n) ar (mod n) (mod n) 1 ϕ( n) 1 ϕ( n) = ar1 ar arϕ ( n) (mod n) ϕ( n) = a r1 r r ϕ( n) (mod n) hvor vi i andet lighedstegn har benyttet sætning 9b). r i 'erne er per definition af Z indbyrdes primiske med n. Derfor er produktet af r i 'erne også indbyrdes primisk med n, ifølge sætning 15c). Da således r 1, r,, r ϕ( n ) og n er indbyrdes primiske, kan sætning 3 benyttes til at forkorte r 1, r,, r ϕ( n ) bort på begge sider: n ϕ( n ) ϕ( n) 1 (mod n) = a (mod n) a (mod n) = 1 Sætning 8 For alle a Z og n, t N med ( a, n ) = 1 gælder: t t (mod ϕ( n)) a (mod n) = a (mod n) Bevis: Skriv t på formen t= q ϕ ( n) + r, hvor 0 r<ϕ ( n). Vi har så r= t (mod ϕ ( n)) : t q ϕ ( n) + r a (mod n) = a (mod n) ϕ( n) q r = ( a ) a (mod n) ϕ( n) q r ( ) ( ) q r ( 1 (mod n) ) ( a (mod n) ) (mod n) r ( a (mod n) ) = ( a (mod n)) (mod n) a (mod n) (mod n) = = hvor vi i tredje lighedstegn har benyttet både sætning 9b) og 9c). I fjerde lighedstegn er benyttet sætning 7. Dette beviser sætningen.

15 Erik Vestergaard 15 Eksempel 9 Sætning 8 skal vise sig uhyre vigtig i vores arbejde med at beregne rester modulo n. I sætning 9 så vi, at vi kunne tage rester modulo n i summer, produkter og i roden af potenser, før vi tog de endelige rester modulo n. Sætning 8 siger, at vi også kan gøre det i eksponenten i en potens. Blot skal vi ikke der regne modulo n, men modulo ϕ ( n). Lad os se på et eksempel: 5 5 Vi skal udregne 37 (mod 17). Tallet 37 er et tal med 81 cifre. Det ville tage en evighed at udregne tallet og derefter tage resten modulo 17. Heldigvis har vi både sætning 9 samt sætning 8 til rådighed (mod 17) = (37 (mod 17)) (mod 17) = = = = = 5 3 (mod 17) 5 (mod 16) 3 (mod 17) 4 3 (mod 17) 81(mod 17) 13 I første lighedstegn er benyttet sætning 9c). I tredje lighedstegn har vi benyttet sætning 8: Betingelserne hertil er opfyldt, idet ( a, n ) = (3,17) = 1. Da n= 17 er et primtal, er det endvidere simpelt at udregne ϕ ( n) ifølge sætning 5: ϕ (17) = 17 1= 16. Sætning 30 (Inverst element) Lad a Z. Da gælder: n ( a, n) = 1 Der findes en entydig løsning x Z til ligningen ax (mod n) = 1 n Bevis: : Vi antager, at ( a, n ) = 1. Ifølge sætning 14 findes en linearkombination af a og n, som er lig med 1: sa+ tn= 1. Omskrivningen sa= 1 tn viser, at as (mod n ) = 1, da man får 1 til rest ved division med n. Ifølge sætning 9b) kan man sætte modulo n ind på hver faktor i produktet: ( a (mod n) s (mod n)) (mod n) = 1. Da a Zn er a< n, dvs. a (mod n) = a. Dermed er ( a s (mod n)) (mod n) = 1, som viser, at x= s (mod n) er en løsning til ax (mod n ) = 1. Eksistensen er altså vist. Entydighed af løsning: Antag, at der er to løsninger x1, x Zn til ligningen ax (mod n ) = 1. Resterne modulo n er altså begge 1, dvs. ax1 (mod n) = ax (mod n). Da haves x1 (mod n) = x (mod n), ifølge sætning 3, og eftersom x 1 og x begge er mindre end n fås endeligt x1 = x. De to løsninger til ligningen er altså ens, hvilket beviser entydighed. Vi mangler at vise sætningen den anden vej.

16 16 Erik Vestergaard : Vi antager, at der er en løsning x til ax (mod n ) = 1, hvilket betyder, at der er et helt tal q, så ax= q n+ 1. Men da har vi en linearkombination af a og n som er lig med 1: x a+ ( q) n= 1. Ifølge en sætning, se opgave 3, giver det, at ( a, n ) = 1, som ønsket. Eksempel 31 Lad os sige, at vi vil finde en løsning x til ligningen 35 x (mod 551) = 1. Ifølge sætning 30 er der en løsning, da (35,551) = 1. Gennemgår man beviset for sætningen, afsløres også hvordan løsningen findes: Ifølge sætning 14 findes der en linearkombination af 35 og 551, som giver 1: s 35+ t 551= 1. Rent teknisk findes s og t ved at benytte Euklids algoritme og regne baglæns, som skitseret i teksten efter eksempel 13. Gør man det, får man s= 315 og t=, dvs ( ) 551= 1. Ifølge beviset for sætning 30 er løsningen til problemet derfor x= s (mod 551) = 315 (mod 551) = 315. Løsningen x= 315 kaldes for det inverse element til 35 modulo 551. Vi skal se endnu et eksempel på, hvordan man reducerer restberegninger. Sætning 9c) t og sætning 8 er ofte brugbare ved restberegninger af potenser a modulo et tal n. Men hvis n er større end a og der enten gælder ( a, n) 1 eller ϕ ( n) > t, så er sætningerne ikke brugbare. Alligevel kan man udføre små kunster for at reducere beregningsarbejdet, som vi skal se i det følgende eksempel. Eksempel 3 35 Lad os sige, at vi skal udregne 01 (mod 5671). Det er et ikke lille arbejde at udregne potensen 01. Heldigvis kan beregningen stykkes op i mindre stumper, som føl gende omskrivning viser, idet 01 kaldes for m: m = (((( m ) ) ) m) m. Når vi 35 skal udregne resten af m modulo n= 5671, så benyttes sætning 9 gentagne gange til at konkludere, at vi kan sætte modulus indenfor. I skemaet nedenfor starter vi indefra den inderste parentes og arbejder os udefter, idet vi hele tiden regner modulo n. Vi ser, 35 at svaret er: 01 (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = 3913 ( ) (mod 5671) = 799 m ( m ) (( m ) ) ((( m ) ) ) ((( m ) ) ) m (((( m ) ) ) m) (((( m ) ) ) m) m Bemærkning Omskrivningen m = (((( m ) ) ) m) m er faktisk ikke helt tilfældig. Hvis man i stedet skriver udtrykket som m = ((((( m ) m ) m ) m ) m ) m, så ser man, at rækken af eksponenter af m, regnet fra venstre er , netop det binære tal for 35!

17 Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet Det kryptosystem, som vi her skal omtale, kaldes for RSA-kryptosystemet, opkaldt efter Rivest, Shamir og Adleman, som udviklede systemet i Sikkerheden i systemet hænger kort sagt på den antagelse, at det tager meget lang tid at faktorisere et sammensat tal, som er produktet af to store primtal. I det følgende vil det blive forudsat, at læseren er bekendt med begrebet public key kryptosystem. Beregningen af nøgler i RSA-systemet foregår som følger: 1. Vælg to store forskellige primtal p og q, hver på over 100 cifre, og sæt n= p q.. Udregn ϕ ( n) = ( p 1)( q 1). 3. Vælg et helt tal e, så 0 < e<ϕ ( n) og ( e, ϕ ( n)) = Beregn den entydige løsning d til ed (mod ϕ ( n)) = 1 (jf. sætning 30). Den offentlige nøgle: n og e. Den hemmelige nøgle: d Klarteksten, som er den ukrypterede tekst, inddeles i blokke af passende længde, således at hver blok repræsenterer et tal m, som er mindre end n. Kryptering Sker ved at opløfte m til e te potens og finde resten modulo n. Resultatet kalder vi c: e m c= m (mod n) Dekryptering Sker ved at opløfte det krypterede tal c i d te potens og tage resten modulo n: d c c (mod n) Pointen er naturligvis, at hvis man først krypterer og dernæst dekrypterer, så kommer man tilbage til udgangspunktet: d e d e d ed c (mod n) = ( m (mod n)) (mod n) = ( m ) (mod n) = m (mod n) = m hvor vi i andet lighedstegn har benyttet sætning 9c). Vi mangler at vise lighedstegn nummer 4, som vil godtgøre, at vi virkelig kommer tilbage til udgangspunktet. Beviset herfor følger senere i sætning 35. Det er værd at lægge mærke til, at de eneste tal, som bruges i krypteringen og dekrypteringen er e, n og d. Tallene p, q og ϕ ( n) har tjent deres formål i konstruktionen af førstnævnte tal. Vi er nu klar til at se på et eksempel!

18 18 Erik Vestergaard Eksempel 34 I dette eksempel holder vi størrelsen af primtallene nede, så regnearbejdet bliver overkommeligt. 1. Vælg primtallene p= 53 og q= 107, hvormed n= = Beregn værdien af Eulers ϕ-funktion i 5671: ϕ ( n) = ( p 1)( q 1) = 5 106= Vi skal vælge et positivt tal e, som er mindre end ϕ ( n) og indbyrdes primisk med ϕ ( n). Her er der utallige muligheder. Vi vælger e= Som den hemmelige nøgle d vælges løsningen til ed (mod ϕ ( n)) = 1, som i dette tilfælde er 35 d (mod 551) = 1. Du kan se, hvordan man finder løsningen i eksempel 31. Resultatet af beregningen er d = 315. Så den offentlige nøgle er n= 5671 og e= 35, mens den hemmelige nøgle er d = 315. Lad os sige, at klarteksten er: TUR_TIL_LONDON. Hvert bogstav skal oversættes til et tal. Man kan eventuelt gør det via den såkaldte ASCII tabel, som indeholder 56 forskellige tegn, nummereret fra 000 til 55. Imidlertid vil vi forsimple det lidt her og indføre vores egen lille oversættelsestabel kun indeholdende de 9 danske bogstaver, tallene fra 0 til 9 samt et mellemrumstegn _. Det er vigtigt, at alle tegn får tildelt tal med lige mange cifre, her. Så undertiden må der benyttes foranstillede nuller. _ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å Herefter inddeles klarteksten i blokke. Den maksimale blokstørrelse, vi kan benytte, er 4, idet alle de tal, de enkelte blokke repræsenterer, skal være mindre end n. TU R_ TI L_ LO ND ON Kryptering Krypteringen sker ifølge forrige side via m m 35 (mod 5671), dvs. vi tager hver blok ovenfor, opløfter tallet til potensen 35 og udregner rester modulo Eksempel 3 viser, hvordan beregningerne kan gennemføres, illustreret på den første blok. På næste side er resultaterne af beregningerne på de 7 blokke anført.

19 Erik Vestergaard (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = 1507 Den krypterede kode er dermed: Dekryptering Dekrypteringen sker via c c 315 (mod 5671). Det er den samme type beregninger som ovenfor, og vi får følgende resultater: (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = 1514 Den dekrypterede kode er dermed: Ved hjælp af den hemmelige nøgle d = 315 er vi altså kommet tilbage til de oprindelige talkombinationer, som via tabellen kan oversættes til teksten TUR_TIL_LONDON. Vi er nu klar til at se et bevis for, at systemet virker, dvs. at man kommer tilbage til de oprindelige talblokke, når man benytter den hemmelige nøgle. Sætning 35 ed Med de i RSA-systemet angivne størrelser gælder: m (mod n) = m Bevis: Vi splitter op i to tilfælde: Når ( m, n ) = 1 og ( m, n) 1. Antag først, at ( m, n ) = 1. ed ed (mod ϕ( n)) 1 Da fås ifølge sætning 8: m (mod n) = m (mod n) = m (mod n) = m, hvor vi i andet lighedstegn har benyttet egenskab 4 for RSA: ed (mod ϕ ( n)) = 1. Sidste lighedstegn fås da m< n. Lad os til slut se på tilfældet ( m, n) 1, som er noget mere kompliceret. Da n= p q er et produkt af to primtal, så må enten p eller q være en divisor i m, for

20 0 Erik Vestergaard ellers kan m og n ikke have nogen fælles divisor større end 1. Vi kan ikke både have, at p og q går op i m, for så vil også n= p q gå op i m, i modstrid med, at m< n. Vi kan uden indskrænkning antage, at p går op i m, og at q ikke går op i m. Sidstnævnte betyder, at ( q, m ) = 1, da q er et primtal. Det er nok at vise, at m (mod p) = m (mod p) og ed ed ed m (mod q) = m (mod q), for så haves m (mod n) = m (mod n) = m, ifølge Lemma 36 nedenfor. Den første restberegning er nem: Da p m haves ed ed ed m (mod p) = ( m (mod p)) (mod p) = 0 (mod p) = 0 = m (mod p) hvor sætning 9c) er benyttet i det andet lighedstegn. Den anden restberegning er lidt sværere: Da ( q, m ) = 1, kan Fermats lille sætning (se opgave 55) anvendes til at slutte, q at m 1 (mod q) = 1. Da ed (mod ϕ ( n)) = 1, findes et helt tal k, så ed = k ϕ ( n) + 1. Det giver alt i alt, at ed k ϕ ( n) + 1 k ϕ( n) k ( p 1)( q 1) q 1 k ( p 1) m = m = m m = m m = m ( m ) og tages rester modulo q og anvendes sætning 9, fås: ed q 1 k ( p 1) m (mod q) = m (mod q) ( m (mod q)) (mod q) (mod q) k ( p 1) = m (mod q) 1 (mod q) (mod q) = m (mod q) Hvormed det ønskede er vist. Lemma 36 Lad p og q være to forskellige primtal. Da gælder: x (mod p) = a (mod p) x (mod q) = a (mod q) x (mod pq) = a (mod pq) Bevis: Sætningen siger, at hvis to tal har samme rest modulo et primtal og de to tal også har samme rest modulo et andet primtal, så har de to tal også samme rest modulo produktet af de to primtal. Sætningen følger umiddelbart af sætning : x (mod p) = a (mod p) x (mod q) = a (mod q) p ( x a) q ( x a) pq ( x a) x (mod pq) = a (mod pq) Den anden biimplikation fås, idet p er en primfaktor i ( x a) og q er en anden primfaktor i ( x a) hvis og kun hvis pq ( x a). Det viser det ønskede.

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

5. OPSÆTNING DOKUMENTSKABELONER 5.1 TRIN

5. OPSÆTNING DOKUMENTSKABELONER 5.1 TRIN 5. OPSÆTNING DOKUMENTSKABELONER Under fanen Dok. skabeloner kan du arbejde med de skabeloner som du har i systemet, eller du kan oprette nye. I denne vejledning kigger vi på hvordan du kan tilrette selve

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard Med udgangspunkt i FIPS-97-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen Af Mathias Vestergaard F O R O R D " " " # # " $ # % '(%) '(%) %* %* +,-.), ) ( " $ 0 2 2 + 3 $ ' {0000} $, AA ) 4555 67 +8 9 :;

Læs mere

Sådan opretter du en backup

Sådan opretter du en backup Excovery Guide Varighed: ca. 15 min Denne guide gennemgår hvordan du opretter en backup med Excovery. Guiden vil trinvist lede dig igennem processen, og undervejs introducere dig for de grundlæggende indstillingsmulighed.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal T ALKUNNEN 6 Allan C Allan C.. Malmberg Tilnærmede tal og computertal INFA Matematik - 2000 1 INFA - IT i skolens matematik Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen INFA-Klubben: Leif Glud Holm

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Fortroligt dokument. Matematisk projekt

Fortroligt dokument. Matematisk projekt Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2 Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2

Læs mere

Kryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER

Kryptering. xhafgra ng tøer hyæfryvtg AALBORG UNIVERSITET ELLER Kryptering ELLER xhafgra ng tøer hyæfryvtg P0 Anders Rune Jensen Ole Laursen Jasper Kjersgaard Juhl Martin Qvist 21. september 2001 AALBORG UNIVERSITET Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg

Læs mere