RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard"

Transkript

1 RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10

3 Erik Vestergaard Indledning I denne lille note skal vi studere det såkaldte RSA kryptosystem, udviklet af Rivest, Shamir og Adleman i Metodens sikkerhed bygger på den meget efterprøvede antagelse, at det er et meget stort arbejde at finde primtalsfaktorer i et meget stort tal. Matematikken i systemet involverer derfor blandt andet primtalsteori. Hertil kommer regning med rester og fælles divisorer. Alt sammen hører det indenfor området talteori. Vi skal først præsentere udvalgte elementer af talteorien og dernæst forklare, hvordan RSA-systemet er skruet sammen.. Regning med rester Fra folkeskolen ved vi, at et helt tal a går op i et andet helt tal b, såfremt divisionen af b med a giver et helt tal. Situationen kan også defineres således: Definition 1 Et helt tal a 0 går op i et helt tal b, såfremt der findes et helt tal q, så b= q a. Vi skriver a b. Tallet a betegnes divisoren og q kvotienten. Fra folkeskolen ved vi også, at ikke alle divisioner går op. Der kan forekomme en rest. For eksempel vil 53 divideret med 5 give 10 med 3 til rest, eftersom 53= og fordi resten 3 skal være et tal 0, som er mindre end divisoren, som er 5. Det er oplagt, at følgende sætning gælder: Sætning For vilkårlige hele tal a> 0 og b gælder, at der findes entydigt bestemte hele tal q og r, så b= q a+ r, hvor 0 r< a. Eksempel 3 Der er en meget smart måde, hvorpå man kan finde kvotienten og resten ved en division. Hvis b 0 : Foretag divisionen, eventuelt på lommeregneren. Da vil heltalsdelen være lig med kvotienten og hvis man ganger brøkdelen med divisoren a, får man resten. For eksempel er 43/1= 3, , og ifølge metoden er heltalsdelen 3 lig med kvotienten, mens resten fås ved at gange brøkdelen 0,58333 med 1, hvilket giver 1 0, = 7. Bemærk, at da man ikke kan medtage uendeligt mange decimaler, kan det være nødvendigt at afrunde resultatet af multiplikationen. Vi ser, at det stemmer, at 43= Overvej, hvad du vil gøre, hvis b< 0. Se opgaverne 0, 1 og. I det følgende skal vi bevise en vigtig sætning om divisibilitet! Den skal sener vise sig nyttig i forbindelse med begrebet fælles divisor.

4 4 Erik Vestergaard Sætning 4 For hele tal a, b og c gælder: a) Hvis a 0 : a b a bc b) Hvis a, c 0 : ac bc a b c) Hvis a, c 0 : a b b c a c d) Hvis x, y Z, c 0 : c a c b c ( xa+ yb) Bevis: Vi skal naturligvis gøre heftig brug af definition 1. a) Da a b ved vi, at der findes et q, så b= q a. Ganger vi på begge sider med c, får vi bc= qac= ( qc) a. Dermed har vi vist, at a går op i bc med kvotient qc. b) : Da ac bc ved vi, at der findes et q, så bc= q ac. Da c 0, kan vi dividere med tallet og får b= q a, som viser, at a b med kvotient q. Modsat vej : Da a b findes et q, så b= q a. Da c 0 fås bc= q a c= q ( ac), hvilket viser, at ab ac med kvotient q. c) Da a b, findes der et q 1 så b= q1 a, og da b c, findes der et q, så c= q b. Dermed haves c= q b= q ( q1 a) = ( q1 q) a. Altså a c med kvotient q1q. d) Overlades til læseren i opgave 3. Eksempel 5 Da 8 48 har vi ifølge a) også, at 8 (5 48) altså Ifølge b) haves for eksempel at 3 a 3 b a b. Vi har 7 56 og , altså haves ifølge c), at d) siger, at hvis et tal c går op i to tal a og b, så går c også op i enhver linearkombination af a og b. Vi skal herefter se på nogle sætninger, som gælder for rester. Først en definition: Definition 6 For hele tal a og n med n> 0, indfører vi en hensigtsmæssig notation for resten af a ved division med n, nemlig a (mod n ). Dette udtales: a modulo n. Eksempel 7 38 (mod 7) = 3, fordi 38 divideret med 7 giver 5 med 3 til rest. På tilsvarende måde fås 63 (mod 5) =, fordi 63 divideret med 5 giver 13 med til rest: 63 = ( 13) 5+. Sætning 8 For hele tal a og b med b> 0, gælder: a) n a a (mod n) = 0 b) Hvis 0 a< n, så er a (mod n) = a c) ( a (mod n))(mod n) = a (mod n) d) For k Z : ( a+ k n)(mod n) = a (mod n)

5 Erik Vestergaard 5 Bevis: a) udtaler, at hvis divisionen går op, så er resten 0, hvilket er klart. b) siger, at hvis man dividerer et positivt tal op i et ikke-negativt tal, og divisoren er størst, så er resten lig med det, der divideres op i. Dette er klart, for i så fald vil n gå 0 gange op i a: a= 0 n+ a. Nu til c): Den siger, at hvis man regner rester ud modulo n, så er der ingen forskel på at gøre det på a eller a (mod n ). Denne påstand er en simpel konsekvens af punkt b), idet a (mod n) < n. Endelig d): Den siger, at når man udregner rester modulo n, så ændres resten ikke, hvis man lægger et multiplum af n til før division med n. Antag a= q n+ r med 0 r< n. Så er a+ k n= ( q n+ r) + k n= ( k+ q) n+ r, hvilket viser at resten er uændret. Ikke overraskende ser vi, at den nye kvotient er k+ q. Vi er nu klar til at bevise en meget vigtig sætning, som skal vise sig meget vigtig, når rester af for eksempel meget store potenser skal bestemmes. Sætning 9 For a, b Z, n N gælder: a) ( a+ b)(mod n) = ( a (mod n) + b (mod n))(mod n) b) ( a b)(mod n) = ( a (mod n) b (mod n))(mod n) c) a t (mod n) t = ( a (mod n)) (mod n) Eksempel 10 Lad os lige se på et eksempel, før vi beviser sætningen. Sætning 9a) siger kort fortalt, at hvis man vil udregne rester modulo n for en sum a+ b, så kan man gøre dette ved først at udregne resterne af henholdsvis a og b modulo n, addere resterne og derefter udregne resten af resultatet modulo n. Noget helt tilsvarende gælder for multiplikation og potensopløftning. Lad os som eksempel sige, at a= 781, b= 804, n= 671 og at vi ønsker at foretage en multiplikation af a og b modulo n. Vi udregner hver af siderne i a): ( a b)(mod n) = ( )(mod 671) = (mod 671) = 653 ( a (mod n) + b (mod n))(mod n) = (781(mod 671) 804 (mod 671))(mod 671) = (97 15)(mod 671) = (mod 671) = 653 Vi ser som ventet, at vi får samme rest. Fordelen ved den anden udregning er, at man ikke behøver at regne med så store tal! Når man udregner rester at potenser, så er fordelen endnu større, og vi skal i sætning 8 og eksempel 3 se, hvorledes man yderligere kan lette disse beregninger.

6 6 Erik Vestergaard Bevis for sætning 9: a) Vi ved, at a og b kan skrives på formen a= q1 n+ r1 og b= q n+ r, hvoraf fås a+ b= ( q1 n+ r1 ) + ( q n+ r ) = ( q1+ q ) n+ ( r1 + r ). Ifølge sætning 8d) får vi følgende: ( a+ b)(mod n) = (( q1+ q) n+ ( r1+ r ))(mod n) = ( r1+ r )(mod n) ved regning med rester modulo n. Og da a (mod n) = r1 og b (mod n) = r er det ønskede vist. b) Overlades til læseren. Se opgave 4. c) Denne del følger ved gentagen anvendelse af sætning 9b). 3. Største fælles divisor Et tal d siges at være en fælles divisor for a og b, såfremt d a og d b. Der er kun et endeligt antal tal, som går op i henholdsvis a og b. Det største af de tal, som går op i både a og b, kaldes den største fælles divisor for a og b og betegnes sdf ( a, b ) eller blot ( a, b ). Begrebet er vigtigt, fordi det indgår i nogle helt centrale sætninger. Hvis specielt ( a, b ) = 1, så har a og b ingen fælles divisorer udover 1, og a og b siges da at være indbyrdes primiske. Vi skal se på egenskaber for den største fælles divisor. Eksempel 11 Vi skal bestemme den største fælles divisor for a= 8 og b= 48. Divisorer i 8: ± 1, ±, ± 4, ± 7, ± 14, ± 8. Divisorer i 48: ± 1, ±, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 1, ± 16, ± 4, ± 48. Fælles divisorer: ± 1, ±, ± 4. Vi ser, at ( a, b ) = (8,48) = 4. Nu kan det jo være et ret omfattende arbejde at søge efter divisorer i tal, specielt hvis tallene er ret store. Derfor er det et nærliggende spørgsmål, om der findes en genvej til at bestemme den største fælles divisor for to tal? Svaret er heldigvis positivt, hvilket den næste sætning indikerer. Sætning 1 Hvis r er resten af b ved division med a, så gælder: ( a, b) = ( a, r) = ( a, b (mod a)). Bevis: Det er klart nok at vise, at d a d b d a d r. Vi viser begge veje. : Vi antager, at venstresiden gælder. Da b= q a+ r, har vi r= b q a. Da d går op i både a og b, må tallet derfor også gå op i r ifølge sætning 4d). Så højresiden er dermed vist. : Vi antager at højresiden gælder. Da b= q a+ r og d går op i både a og r, så går d også op i b, igen ifølge sætning 4d), hvormed venstresiden er vist.

7 Erik Vestergaard 7 Eksempel 13 Bestem (1650,33). Løsning: Vi skal benytte sætning 1 et antal gange til at reducere problemet til et simplere. Bestemmelsen af resterne er angivet til højre. Vi ser, at resultatet er 6. Største fælles divisor (1650, 33) = (1650, ) = (96, ) = (96,30) = (6,30) = (6,0) = 6 Restberegninger 33 = = = = = Den metode, som her er beskrevet, betegnes Euklids algoritme, opkaldt efter græske matematiker Euklid (ca. 300 f.kr.). Det viser sig, at Euklids algoritme samtidigt kan bruges til at skrive den største fælles divisor ( a, b ) som en linearkombination af a og b. Hvordan det foregår, kan lettest illustreres via eksempel 13 ovenfor, hvor vi indfører betegnelser for beregningerne i højre kolonne. Her svarer a til 1650 og b til 33. Venstre kolonne nedenfor svarer til højre kolonne ovenfor. Restberegninger b = q a+ r 1 1 a = q r + r 1 r = q r + r r = q r + r = r q r Linearkombinationer r = b q a = ( q ) a+ 1 b = s a+ t b r = a q r = = s a+ t b 1 r = r q r = = s a+ t b r = r q r = = s a+ t b Idéen i omskrivningerne i højre kolonne er, at man isolerer resten fra divisionen i venstre kolonne. I første række ser vi for eksempel, at r 1 kan skrives som en linearkombination af a og b: r 1 = s 1 a+ t 1 b, hvor s1 = q1 og t 1 = 1. Hvis dette udtryk for r 1 indsættes på r 1 's plads i udtrykket a q r1 i. række, så får man efter reduktion, at også resten r kan skrives som en linearkombination af a og b, dvs. s a+ t b. Herefter indsættes både udtrykket for r 1 og udtrykket for r i udtrykket r 1 q 3 r i tredje række, og man får igen en linearkombination af a og b, nemlig s3 a+ t3 b, etc. Som vi ved, er den største fælles divisor for a og b i eksemplet ovenfor lig med r 4, og den sidste lig-

8 8 Erik Vestergaard ning i højre kolonne fortæller, at den største fælles divisor ( r 4) kan skrives som en linearkombination af a og b, nemlig s4 a+ t4 b. Lad os gennemføre processen i tilfældet med eksempel 13: Rester = = = ( ) = = 96 = ( ) ( ) = = = ( ) 3 ( ) = Den sidste linje viser, hvordan den største fælles divisor kan skrives som en linear kombination af a og b: 6= Der gælder faktisk generelt: Sætning 14 Lad a og b være hele tal, som er forskellig fra 0. Da findes hele tal s og t, så ( a, b) = s a+ t b. Vi skal ikke give et formelt bevis, fordi notationen bliver ret tung. Fremgangsmåden beskrevet i eksemplet ovenfor er dog nok til at man kan overbevise sig om, at metoden fungerer generelt. Det kan undertiden være nyttigt at kunne finde de aktuelle koefficienter i linearkombinationen ved hjælp af Euklids algoritme. Sætningen har også teoretisk interesse, idet den ofte indgår som redskab til at bevise andre sætninger. Se for eksempel følgende sætning: Sætning 15 a) d a d b d ( a, b) b) For et helt tal m> 0 gælder: ( m a, m b) = m ( a, b) c) ( a, n) = 1 ( b, n) = 1 ( ab, n) = 1 d) c ab ( c, b) = 1 c a Bemærkninger: a) siger, at hvis et tal d går op i a og b, så går tallet også op i den største fælles divisor for a og b. b) siger, at hvis man ganger en fælles faktor m på a og b, fås den største fælles divisor for de nye tal ved at gange m på den største fælles divisor for de oprindelige tal. c) siger, at hvis både a og b er indbyrdes primiske med n, så er produktet a b også indbyrdes primisk med n.

9 Erik Vestergaard 9 d) siger, at hvis et tal c går op i et produkt af to tal, og hvis c er indbyrdes primisk med det ene af tallene i produktet, så går c op i det andet tal i produktet. Bevis for sætning 15: a) Påstanden følger direkte af sætning 14 og sætning 4d). b) Da begge sider i ligheden er positive, kan ligheden vises ved at påvise, at venstresiden går op i højresiden og at højresiden går op i venstresiden. Vise ( m a, m b) m ( a, b) : Der findes et s og et t, så ( a, b) = s a+ t b, ifølge sætning 14. Ganger vi med m, fås m ( a, b) = m ( s a+ t b) = s ( m a) + t ( m b). Vi mangler blot at påvise, at ( m a, m b) går op i højresiden, men det er klart, fordi ( m a, m b) per definition går op i både m a og m b. Vise m ( a, b) ( m a, m b) : Per definition haves ( a, b) a og ( a, b) b. Ifølge sætning 4b) haves derfor: m ( a, b) m a og m ( a, b) m b. Altså går m ( a, b) op i både m a og m b. Derfor må m ( a, b) også gå op i deres største fælles divisor, ( m a, m b), ifølge sætning 15a). Det var det, vi ville vise. c) Ifølge sætning 14 findes der hele tal s 1 og t 1, så s1 a+ t1 n= 1 samt hele tal s og t, så s b+ t n= 1. Når vi ganger de to ligninger sammen, får vi følgende ligning: 1 = ( s1 a+ t1 n)( s b+ t n) = ( s1s ) ab+ ( s1t a+ t1sb+ t1t n) n. Der er altså en linearkombination af ab og n, som er lig med 1. En sætning siger da, at den største fælles divisor mellem tallene er lig med 1 (se opgave 3). d) Vi har ( ab, ac) = a ( b, c) = a 1= a, hvor vi i første lighedstegn har benyttet sætning 15b) og i andet lighedstegn har udnyttet antagelsen ( b, c ) = 1 fra sætningen. Det er klart, at c ac. Ifølge sætning 15a): c ab c ac c ( ab, ac) c a, hvor vi i sidste ensbetydende tegn har benyttet ovenstående udledning ( ac, ac) = a. 4. Primtal Et helt tal større end 1 kaldes for et primtal, hvis tallet kun har de trivielle positive divisorer 1 og tallet selv. Et helt tal større end 1, som ikke er et primtal, kaldes for et sammensat tal. Listen af primtal starter således:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, Vi skal se, at denne liste er uendelig. Først skal vi imidlertid se på en vigtig sætning, som siger, at hvis et primtal går op i et produkt af to tal, så går primtallet op i mindst det ene af de to tal i produktet. Sætning 16 Lad p være et primtal. Da gælder: p ab p a p b.

10 10 Erik Vestergaard Bevis: Antag p ikke går op i a. Da haves ( a, p ) = 1. Ifølge sætning 15d) vil vi derfor have p b. Primtallet må altså gå op i mindst en af faktorerne. Det ses ret nemt, at resultatet i sætning 16 kan generaliseres (se opgave 33) til, at hvis p er et primtal, så gælder p a1 a an p a1 p a p an. Vi skal nu vise en fundamental sætning, som har været kendt tidligt i historien, men som først blev bevist af tyskeren Carl Friedrich Gauss ( ). Sætning 17 (Algebraens fundamentalsætning) Ethvert positivt tal n kan skrives som et produkt af primtal. Faktoriseringen er entydig, når der ses bort fra rækkefølgen, hvori faktorerne skrives. Bevis: Lad os starte med eksistens-delen. Hvis n er et primtal er vi færdige. Hvis derimod n er et sammensat tal, kan det skrives som n= n1 n, hvor n 1 og n begge er større end 1, men mindre end n. Processen gentages nu på n 1 og n : Hvis n 1 er et primtal, lader vi det stå, ellers faktoriseres det, etc. Processen må på et tidspunkt stoppe, altså den er endelig, for tallene, man faktoriserer bliver mindre og mindre. Til sidst har man kun primtal tilbage. Dermed er n skrevet som et produkt af primtal. Entydighed: Vi skal vise, at hvis vi har to primtals-faktoriseringer p1 p pr og q1 q qs af n, så vil de nødvendigvis indeholde de samme primtal med samme hyppighed. Det eneste, som kan være forskellig er rækkefølgen, hvori de er opskrevet. Da p1 p1 p pr, må vi også have p1 q1 q qs. Ifølge sætning 16 eller dens generalisation, må p 1 gå op i et af q erne; lad os sige, at det er q 1. Da dette er et primtal, må vi have p1 = q1. Herefter divideres faktoren væk i begge faktoriseringer, således, at vi har p pr = q qs. Processen gentages: p q qs, etc. Når alle p erne er forkortet væk, må også alle q erne være det, dvs. r= s. Sætning 18 Hvis ingen af primtallene n går op i n, så er n et primtal. Bevis: Hvis et sammensat tal går op i n, så vil det sammensatte tals primtalsfaktorer også gå op i n. Derfor er det tilstrækkeligt at teste for alle primtal. At man kun behøver at teste for alle primtal op til og med n følger af, at hvis n er sammensat, så vil mindst en af dens primtalsfaktorer være n. Hvis man multiplicerer to eller flere tal, som er > n, får man jo et tal, som er større end n.

11 Erik Vestergaard 11 Eksempel 19 Vi skal undersøge, om tallet n = 351 er et primtal eller ej. n = 351= 48, 49, så vi behøver kun teste for divisorer blandt primtallene op til 48:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47. Ingen af disse tal går op i 351, så vi har altså at gøre med et primtal. Eksempel 0 Vi skal primtalsfaktorisere tallet n= Vi tester for de mindre primtal: Det mindste primtal, som går op i n er 7 og vi har = Vi søger videre efter primtalsfaktorer i n 1= , og starter med at teste for 7, 11, 13, og opdager, at 19 går op: = Vi arbejder videre med faktoren n = , og søger efter primtalsfaktorer fra 19 og opefter. Allerede med 19 er der gevinst, = Hvad angår n 3 = , må vi arbejde lidt mere. Først ved 77 finder vi en divisor: = Tallet 351 er et primtal, som vi fandt ud af i eksempel 19. Hermed har vi fundet den ønskede primfaktoropløsning af n: = Med eksempel 0 så vi, at der er en hel del arbejde forbundet med at faktorisere et tal. Problemet viser sig at blive markant større, jo større n er. Og hvis primtalsfaktorerne er store, bliver det rigtigt svært, så kan vi ikke trævle problemet op som i eksempel 0 ovenfor. Selvom utallige matematikere igennem århundreder har ledt efter hurtige genveje til at faktorisere tal, så er det ikke lykkedes. Antagelsen er derfor at en sådan hurtig metode ikke eksisterer. At det (formentlig) er et stort arbejde at faktorisere et tal, er netop kernen i RSA-krypteringsteknikken. Sætning 1 Der findes uendeligt mange primtal. Bevis: Antag modsætningsvist, at der kun er endeligt mange primtal p1, p,, pr. Betragt da tallet n= p1 p p r + 1. Ifølge algebraens fundamentalsætning kan n faktoriseres i primtal. Men primtalsfaktorerne i n kan umuligt være p1, p,, pr, fordi man får 1 til rest ved division med disse op i n. Der er altså mindst ét primtal udover de r primtal p1, p,, pr. Dette er en modstrid. Altså er antagelsen om, at der er endeligt mange primtal, forkert. Sætning 1 er på en måde godt nyt for os, for det betyder, at der ikke er nogen grænser for, hvor store primtal, der kan genereres. De store primtal får vi brug for, for at kunne foretage RSA-kryptering. Når tal er meget store, kræver det et kæmpe arbejde, før man kan være helt sikker på, at tallet er et primtal. Vi skal dog stille os tilfreds med mindre: Der findes metoder, hvormed man kan afgøre med næsten sikkerhed, at et givet tal er et primtal. Mere om det senere.

12 1 Erik Vestergaard 5. Eulers ϕ-funktion I dette afsnit skal vi se på den såkaldte Eulers ϕ-funktion, som indgår i flere sætninger, som har med regning med rester at gøre. Før begrebet introduceres, skal vi se på en næsten indlysende sætning, der siger, at to tal x og y har samme rest modulo n hvis og kun hvis n går op i differensen af tallene: Sætning x (mod n) = y (mod n) n ( x y) Bevis: : Las os betegne den fælles rest modulo n med r. Dermed har vi x= q1 n+ r og y= q n+ r. Det giver differensen x y= ( q1 n+ r) ( q n+ r) = ( q1 q) n, som viser, at n ( x y). : Vi antager, at n ( x y), dvs. der findes et q, så x y= q n. Det giver x= y+ q n. Ifølge sætning 8d) haves x (mod n) = y (mod n). Nu til en sætning, der siger, at hvis a x og a y giver samme rest ved division med n, og a og n er indbyrdes primiske, så giver x og y også samme rest ved division med n. Sætning 3 ax (mod n) = ay (mod n) ( a, n) = 1 x (mod n) = y (mod n) Bevis: Første oplysning på venstre side giver os at n ( ax ay) eller n a ( x y), ifølge sætning. Da a og n er indbyrdes primiske, fås ifølge sætning 15d), at n ( x y), hvilket ifølge sætning betyder, at x (mod n) = y (mod n). Definition 4 n. Det viser sig interessant at studere den delmængde af rester, som er forskellige fra 0 og som er indbyrdes primiske med n: Zn = { r Zn r 0 ( r, n) = 1}. Antallet af elementer i mængden Z betegnes ϕ ( n). Funktionen ϕ, defineret for alle n N, kaldes Eulers ϕ-funktion. Mængden af rester modulo n betegnes ofte med Z = { 0,1,,, n 1} n Sætning 5 Lad n N og lad p1, p,, pr være de forskellige primfaktorer i n. Da er ( ) ( ) ( ) ϕ ( n) = n p1 p p r Specielt: Hvis p og q er to forskellige primtal, gælder ϕ ( pq) = ( p 1)( q 1). Specielt: Hvis p er et primtal gælder ϕ ( p) = p 1 og ϕ ( p ) = p( p 1).

13 Erik Vestergaard 13 Bevis: Beviset for den generelle formel er for svær til at blive præsenteret her. Specialtilfældene er derimod noget nemmere og er henlagt til opgave 50. Eksempel 6 Lad os betragte tilfældet n= 15. Regning med rester modulo 15 giver følgende: Z 15 = { 0,1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,1,13,14} Vi søger nu de rester, som er indbyrdes primiske med n= 15. Da 15 har primfaktorerne 3 og 5, skal vi altså udvælge de tal, hvori hverken 3 eller 5 går op. For eksempel må vi afvise 10, fordi 5 er divisor. Alt i alt fås følgende: { } Z 15 = 1,, 4, 7, 8,11,13,14 Da der er 8 elementer heri, er ϕ (15) = 8. Det stemmer også med sætning 5, hvor specialtilfældet n= 3 5 giver ϕ(3 5) = (3 1) (5 1) = 4= 8. Nu skal vi foretage nogle beregninger, som leder frem til den næste, meget centrale sætning. Vi skal prøve at gange et fast tal, 6, som er indbyrdes primisk med n= 15, på resterne i Z, udregne resterne modulo 15 og se, hvad der sker: (mod 15) = 6 (mod 15) = 11 6 (mod 15) = 5 (mod 15) = (mod 15) = 104 (mod 15) = (mod 15) = 18 (mod 15) = 6 8 (mod 15) = 08 (mod 15) = (mod 15) = 86 (mod 15) = (mod 15) = 338 (mod 15) = (mod 15) = 364 (mod 15) = 4 Udregningerne resulterer naturligvis i rester i Z 15, men hvad der er overraskede er, at resterne faktisk holder sig indenfor delmængden Z 15, ja faktisk opnår man resterne heri i en permuteret rækkefølge: hver rest forekommer nøjagtig én gang. I beviset for den følgende sætning skal vi se, at dette ingenlunde er et tilfælde. Sætning 7 Hvis ( a, n ) = 1 gælder, at ϕ n ( a ) (mod n) = 1 Bevis: Lad Zn { r1, r,, r ϕ ( n) } =. Vi er nu interesseret i at se på resterne ari (mod n ), hvor i= 1,,, ϕ( n). Først vil vi vise, at de alle er forskellige og derefter, at de alle ligger i Z, hvormed vi vil have vist, at man får alle resterne i Z netop én gang. n n

14 14 Erik Vestergaard Antag, at ari (mod n) = arj (mod n). Ifølge sætning 3 haves ri (mod n) = rj (mod n), da ( a, n ) = 1. Da ri, rj < n reduceres ligningen til r i = r j ifølge sætning 8b). Eller sagt på en anden måde: r r ar (mod n) ar (mod n). Elementerne er altså forskellige! i j i j n Per definition opfylder alle resterne i Z, at ( ri, n ) = 1. Da vi desuden har antaget, at ( a, n ) = 1, så fås af sætning 15c), at ( ari, n ) = 1. Ifølge sætning 1 har vi første lighedstegn i ( ari (mod n), n) = ( ari, n) = 1. Da ari (mod n) < n og ari (mod n ) og n er indbyrdes primiske, har vi vist, at ar (mod n) Z. i n Vi har nu vist, at ar1 (mod n), ar (mod n),, arϕ ( n) (mod n) er de samme som resterne r1, r,, r ϕ ( n), eventuelt blot i en anden rækkefølge. Hvis vi ganger førstnævnte sammen så får vi altså det samme som ved at gange de sidstnævnte rester sammen: r r r (mod n) = ar (mod n) ar (mod n) ar (mod n) (mod n) 1 ϕ( n) 1 ϕ( n) = ar1 ar arϕ ( n) (mod n) ϕ( n) = a r1 r r ϕ( n) (mod n) hvor vi i andet lighedstegn har benyttet sætning 9b). r i 'erne er per definition af Z indbyrdes primiske med n. Derfor er produktet af r i 'erne også indbyrdes primisk med n, ifølge sætning 15c). Da således r 1, r,, r ϕ( n ) og n er indbyrdes primiske, kan sætning 3 benyttes til at forkorte r 1, r,, r ϕ( n ) bort på begge sider: n ϕ( n ) ϕ( n) 1 (mod n) = a (mod n) a (mod n) = 1 Sætning 8 For alle a Z og n, t N med ( a, n ) = 1 gælder: t t (mod ϕ( n)) a (mod n) = a (mod n) Bevis: Skriv t på formen t= q ϕ ( n) + r, hvor 0 r<ϕ ( n). Vi har så r= t (mod ϕ ( n)) : t q ϕ ( n) + r a (mod n) = a (mod n) ϕ( n) q r = ( a ) a (mod n) ϕ( n) q r ( ) ( ) q r ( 1 (mod n) ) ( a (mod n) ) (mod n) r ( a (mod n) ) = ( a (mod n)) (mod n) a (mod n) (mod n) = = hvor vi i tredje lighedstegn har benyttet både sætning 9b) og 9c). I fjerde lighedstegn er benyttet sætning 7. Dette beviser sætningen.

15 Erik Vestergaard 15 Eksempel 9 Sætning 8 skal vise sig uhyre vigtig i vores arbejde med at beregne rester modulo n. I sætning 9 så vi, at vi kunne tage rester modulo n i summer, produkter og i roden af potenser, før vi tog de endelige rester modulo n. Sætning 8 siger, at vi også kan gøre det i eksponenten i en potens. Blot skal vi ikke der regne modulo n, men modulo ϕ ( n). Lad os se på et eksempel: 5 5 Vi skal udregne 37 (mod 17). Tallet 37 er et tal med 81 cifre. Det ville tage en evighed at udregne tallet og derefter tage resten modulo 17. Heldigvis har vi både sætning 9 samt sætning 8 til rådighed (mod 17) = (37 (mod 17)) (mod 17) = = = = = 5 3 (mod 17) 5 (mod 16) 3 (mod 17) 4 3 (mod 17) 81(mod 17) 13 I første lighedstegn er benyttet sætning 9c). I tredje lighedstegn har vi benyttet sætning 8: Betingelserne hertil er opfyldt, idet ( a, n ) = (3,17) = 1. Da n= 17 er et primtal, er det endvidere simpelt at udregne ϕ ( n) ifølge sætning 5: ϕ (17) = 17 1= 16. Sætning 30 (Inverst element) Lad a Z. Da gælder: n ( a, n) = 1 Der findes en entydig løsning x Z til ligningen ax (mod n) = 1 n Bevis: : Vi antager, at ( a, n ) = 1. Ifølge sætning 14 findes en linearkombination af a og n, som er lig med 1: sa+ tn= 1. Omskrivningen sa= 1 tn viser, at as (mod n ) = 1, da man får 1 til rest ved division med n. Ifølge sætning 9b) kan man sætte modulo n ind på hver faktor i produktet: ( a (mod n) s (mod n)) (mod n) = 1. Da a Zn er a< n, dvs. a (mod n) = a. Dermed er ( a s (mod n)) (mod n) = 1, som viser, at x= s (mod n) er en løsning til ax (mod n ) = 1. Eksistensen er altså vist. Entydighed af løsning: Antag, at der er to løsninger x1, x Zn til ligningen ax (mod n ) = 1. Resterne modulo n er altså begge 1, dvs. ax1 (mod n) = ax (mod n). Da haves x1 (mod n) = x (mod n), ifølge sætning 3, og eftersom x 1 og x begge er mindre end n fås endeligt x1 = x. De to løsninger til ligningen er altså ens, hvilket beviser entydighed. Vi mangler at vise sætningen den anden vej.

16 16 Erik Vestergaard : Vi antager, at der er en løsning x til ax (mod n ) = 1, hvilket betyder, at der er et helt tal q, så ax= q n+ 1. Men da har vi en linearkombination af a og n som er lig med 1: x a+ ( q) n= 1. Ifølge en sætning, se opgave 3, giver det, at ( a, n ) = 1, som ønsket. Eksempel 31 Lad os sige, at vi vil finde en løsning x til ligningen 35 x (mod 551) = 1. Ifølge sætning 30 er der en løsning, da (35,551) = 1. Gennemgår man beviset for sætningen, afsløres også hvordan løsningen findes: Ifølge sætning 14 findes der en linearkombination af 35 og 551, som giver 1: s 35+ t 551= 1. Rent teknisk findes s og t ved at benytte Euklids algoritme og regne baglæns, som skitseret i teksten efter eksempel 13. Gør man det, får man s= 315 og t=, dvs ( ) 551= 1. Ifølge beviset for sætning 30 er løsningen til problemet derfor x= s (mod 551) = 315 (mod 551) = 315. Løsningen x= 315 kaldes for det inverse element til 35 modulo 551. Vi skal se endnu et eksempel på, hvordan man reducerer restberegninger. Sætning 9c) t og sætning 8 er ofte brugbare ved restberegninger af potenser a modulo et tal n. Men hvis n er større end a og der enten gælder ( a, n) 1 eller ϕ ( n) > t, så er sætningerne ikke brugbare. Alligevel kan man udføre små kunster for at reducere beregningsarbejdet, som vi skal se i det følgende eksempel. Eksempel 3 35 Lad os sige, at vi skal udregne 01 (mod 5671). Det er et ikke lille arbejde at udregne potensen 01. Heldigvis kan beregningen stykkes op i mindre stumper, som føl gende omskrivning viser, idet 01 kaldes for m: m = (((( m ) ) ) m) m. Når vi 35 skal udregne resten af m modulo n= 5671, så benyttes sætning 9 gentagne gange til at konkludere, at vi kan sætte modulus indenfor. I skemaet nedenfor starter vi indefra den inderste parentes og arbejder os udefter, idet vi hele tiden regner modulo n. Vi ser, 35 at svaret er: 01 (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = 3913 ( ) (mod 5671) = 799 m ( m ) (( m ) ) ((( m ) ) ) ((( m ) ) ) m (((( m ) ) ) m) (((( m ) ) ) m) m Bemærkning Omskrivningen m = (((( m ) ) ) m) m er faktisk ikke helt tilfældig. Hvis man i stedet skriver udtrykket som m = ((((( m ) m ) m ) m ) m ) m, så ser man, at rækken af eksponenter af m, regnet fra venstre er , netop det binære tal for 35!

17 Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet Det kryptosystem, som vi her skal omtale, kaldes for RSA-kryptosystemet, opkaldt efter Rivest, Shamir og Adleman, som udviklede systemet i Sikkerheden i systemet hænger kort sagt på den antagelse, at det tager meget lang tid at faktorisere et sammensat tal, som er produktet af to store primtal. I det følgende vil det blive forudsat, at læseren er bekendt med begrebet public key kryptosystem. Beregningen af nøgler i RSA-systemet foregår som følger: 1. Vælg to store forskellige primtal p og q, hver på over 100 cifre, og sæt n= p q.. Udregn ϕ ( n) = ( p 1)( q 1). 3. Vælg et helt tal e, så 0 < e<ϕ ( n) og ( e, ϕ ( n)) = Beregn den entydige løsning d til ed (mod ϕ ( n)) = 1 (jf. sætning 30). Den offentlige nøgle: n og e. Den hemmelige nøgle: d Klarteksten, som er den ukrypterede tekst, inddeles i blokke af passende længde, således at hver blok repræsenterer et tal m, som er mindre end n. Kryptering Sker ved at opløfte m til e te potens og finde resten modulo n. Resultatet kalder vi c: e m c= m (mod n) Dekryptering Sker ved at opløfte det krypterede tal c i d te potens og tage resten modulo n: d c c (mod n) Pointen er naturligvis, at hvis man først krypterer og dernæst dekrypterer, så kommer man tilbage til udgangspunktet: d e d e d ed c (mod n) = ( m (mod n)) (mod n) = ( m ) (mod n) = m (mod n) = m hvor vi i andet lighedstegn har benyttet sætning 9c). Vi mangler at vise lighedstegn nummer 4, som vil godtgøre, at vi virkelig kommer tilbage til udgangspunktet. Beviset herfor følger senere i sætning 35. Det er værd at lægge mærke til, at de eneste tal, som bruges i krypteringen og dekrypteringen er e, n og d. Tallene p, q og ϕ ( n) har tjent deres formål i konstruktionen af førstnævnte tal. Vi er nu klar til at se på et eksempel!

18 18 Erik Vestergaard Eksempel 34 I dette eksempel holder vi størrelsen af primtallene nede, så regnearbejdet bliver overkommeligt. 1. Vælg primtallene p= 53 og q= 107, hvormed n= = Beregn værdien af Eulers ϕ-funktion i 5671: ϕ ( n) = ( p 1)( q 1) = 5 106= Vi skal vælge et positivt tal e, som er mindre end ϕ ( n) og indbyrdes primisk med ϕ ( n). Her er der utallige muligheder. Vi vælger e= Som den hemmelige nøgle d vælges løsningen til ed (mod ϕ ( n)) = 1, som i dette tilfælde er 35 d (mod 551) = 1. Du kan se, hvordan man finder løsningen i eksempel 31. Resultatet af beregningen er d = 315. Så den offentlige nøgle er n= 5671 og e= 35, mens den hemmelige nøgle er d = 315. Lad os sige, at klarteksten er: TUR_TIL_LONDON. Hvert bogstav skal oversættes til et tal. Man kan eventuelt gør det via den såkaldte ASCII tabel, som indeholder 56 forskellige tegn, nummereret fra 000 til 55. Imidlertid vil vi forsimple det lidt her og indføre vores egen lille oversættelsestabel kun indeholdende de 9 danske bogstaver, tallene fra 0 til 9 samt et mellemrumstegn _. Det er vigtigt, at alle tegn får tildelt tal med lige mange cifre, her. Så undertiden må der benyttes foranstillede nuller. _ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å Herefter inddeles klarteksten i blokke. Den maksimale blokstørrelse, vi kan benytte, er 4, idet alle de tal, de enkelte blokke repræsenterer, skal være mindre end n. TU R_ TI L_ LO ND ON Kryptering Krypteringen sker ifølge forrige side via m m 35 (mod 5671), dvs. vi tager hver blok ovenfor, opløfter tallet til potensen 35 og udregner rester modulo Eksempel 3 viser, hvordan beregningerne kan gennemføres, illustreret på den første blok. På næste side er resultaterne af beregningerne på de 7 blokke anført.

19 Erik Vestergaard (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = 1507 Den krypterede kode er dermed: Dekryptering Dekrypteringen sker via c c 315 (mod 5671). Det er den samme type beregninger som ovenfor, og vi får følgende resultater: (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = (mod 5671) = 1514 Den dekrypterede kode er dermed: Ved hjælp af den hemmelige nøgle d = 315 er vi altså kommet tilbage til de oprindelige talkombinationer, som via tabellen kan oversættes til teksten TUR_TIL_LONDON. Vi er nu klar til at se et bevis for, at systemet virker, dvs. at man kommer tilbage til de oprindelige talblokke, når man benytter den hemmelige nøgle. Sætning 35 ed Med de i RSA-systemet angivne størrelser gælder: m (mod n) = m Bevis: Vi splitter op i to tilfælde: Når ( m, n ) = 1 og ( m, n) 1. Antag først, at ( m, n ) = 1. ed ed (mod ϕ( n)) 1 Da fås ifølge sætning 8: m (mod n) = m (mod n) = m (mod n) = m, hvor vi i andet lighedstegn har benyttet egenskab 4 for RSA: ed (mod ϕ ( n)) = 1. Sidste lighedstegn fås da m< n. Lad os til slut se på tilfældet ( m, n) 1, som er noget mere kompliceret. Da n= p q er et produkt af to primtal, så må enten p eller q være en divisor i m, for

20 0 Erik Vestergaard ellers kan m og n ikke have nogen fælles divisor større end 1. Vi kan ikke både have, at p og q går op i m, for så vil også n= p q gå op i m, i modstrid med, at m< n. Vi kan uden indskrænkning antage, at p går op i m, og at q ikke går op i m. Sidstnævnte betyder, at ( q, m ) = 1, da q er et primtal. Det er nok at vise, at m (mod p) = m (mod p) og ed ed ed m (mod q) = m (mod q), for så haves m (mod n) = m (mod n) = m, ifølge Lemma 36 nedenfor. Den første restberegning er nem: Da p m haves ed ed ed m (mod p) = ( m (mod p)) (mod p) = 0 (mod p) = 0 = m (mod p) hvor sætning 9c) er benyttet i det andet lighedstegn. Den anden restberegning er lidt sværere: Da ( q, m ) = 1, kan Fermats lille sætning (se opgave 55) anvendes til at slutte, q at m 1 (mod q) = 1. Da ed (mod ϕ ( n)) = 1, findes et helt tal k, så ed = k ϕ ( n) + 1. Det giver alt i alt, at ed k ϕ ( n) + 1 k ϕ( n) k ( p 1)( q 1) q 1 k ( p 1) m = m = m m = m m = m ( m ) og tages rester modulo q og anvendes sætning 9, fås: ed q 1 k ( p 1) m (mod q) = m (mod q) ( m (mod q)) (mod q) (mod q) k ( p 1) = m (mod q) 1 (mod q) (mod q) = m (mod q) Hvormed det ønskede er vist. Lemma 36 Lad p og q være to forskellige primtal. Da gælder: x (mod p) = a (mod p) x (mod q) = a (mod q) x (mod pq) = a (mod pq) Bevis: Sætningen siger, at hvis to tal har samme rest modulo et primtal og de to tal også har samme rest modulo et andet primtal, så har de to tal også samme rest modulo produktet af de to primtal. Sætningen følger umiddelbart af sætning : x (mod p) = a (mod p) x (mod q) = a (mod q) p ( x a) q ( x a) pq ( x a) x (mod pq) = a (mod pq) Den anden biimplikation fås, idet p er en primfaktor i ( x a) og q er en anden primfaktor i ( x a) hvis og kun hvis pq ( x a). Det viser det ønskede.

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Kryptografi Anvendt Matematik

Kryptografi Anvendt Matematik Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter

Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, Jakob I. Pagter Konfidentialitet og kryptografi 31. januar, 2009 Jakob I. Pagter Oversigt Kryptografi autenticitet vs. fortrolighed ubetinget vs. beregningsmæssig sikkerhed Secret-key fortrolighed Public-key fortrolighed

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Projekt 0.6 RSA kryptering

Projekt 0.6 RSA kryptering Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

RSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden

RSA-KRYPTERING. Studieretningsprojekt. Blerim Cazimi. Frederiksberg Tekniske Gymnasium. Matematik A. Vejleder: Jonas Kromann Olden 14. DEC 2014 RSA-KRYPTERING Studieretningsprojekt Blerim Cazimi Frederiksberg Tekniske Gymnasium Matematik A Vejleder: Jonas Kromann Olden Informationsteknologi B Vejleder: Kenneth Hebel Indhold Indledning...

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere