ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

Transkript

1 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som konvergens, kontinuitet o.s.v. samt resultater vedr. disse til mere generelle rum end R, herunder talrummene R k. Hertil kræves en omformulering af nogle af de grundlæggende resultater om og egenskaber ved de reelle tal. Dagens hovedemne er en alternativ formulering af supremumsprincippet, som muliggør de følgende generaliseringer. Til dette formål indføres begreberne delfølger og Cauchyfølger (eller fundamentalfølger), og det almindelige konvergensprincip TL Sætning bevises både for R og mere generelt for R k. Vi kommer til at gøre brug af den euklidiske afstand d(x, y) mellem to punkter x = (x 1,..., x k ) og y = (y 1,..., y k ) i R k, defineret ved d(x, y) = x y = (x 1 y 1 ) (x k y k ) 2. Afstandsmålet d kan herved opfattes som en afbildning d : R k R k R. Dens vigtigste egenskaber er gengivet og bevist i et tillæg til denne ugeseddel. Torsdag 7. juni påbegyndes noterne om metriske rum. Det meste af 1 gennemgås. Det vil være en god ide, at have talrummet R k (eller blot R 2 eller R 3 ) og det, der står i tillægget til denne ugeseddel, i tankerne ved læsningen. Noterne, Christian Berg: Metriske rum, kan købes i naturfagsbogladen eller hentes på adressen (Vend!) 1

2 Regneøvelser Mandag 4. juni regnes følgende opgaver: TL c) Find også det åbne konvergensinterval for de fundne rækker. TL TL TL c),d),f). Se bort fra spørgsmålet om konvergens i endepunkterne af konvergensintervallet. I den sidste får du (formentlig) brug for at vurdere restleddet i Taylors formel. TL c),e),g). Husk at begrunde, hvorfor den fundne række er Taylorrækken for den givne funktion. TL Læg her særlig mærke til, hvad der sker for x = 0 TL Torsdag 7. juni regnes følgende opgaver: Opgave H a) Lad ) a n = (1 + ( 1) n ) (1 + ( 1)n, n N. n Find to konvergente delfølger af følgen (a n ) n N med forskellige grænseværdier. b) Lad b n = cos (n π ), n N. n Find tre konvergente delfølger af følgen (b n ) n N grænseværdier. med tre forskellige TL Opphopningspunkt kaldes i dansk terminologi fortætningspunkt. Vink. I a) kan man vælge ɛ = 1, k = 1, 2, 3,... og foretage tilsvarende k passende valg af n k. Opgave I Bestem fortætningspunkterne for følgerne i Opgave H. Opgave J Gør rede for, at punktfølgen (x n ) n N i R 2, hvor ( x n = (2 1 ) n n )2, ln, n + 1 2

3 er konvergent og find grænsepunktet. Opgave K Lad x n = ( cos n π ) 2, sin nπ, n N. 2 a) Find fire konvergente delfølger af punktfølgen (x n ) n N med indbyrdes forskellige grænsepunkter. b) Find en delfølge af (x n ) n N med netop to fortætningspunkter (idet definitionen af fortætningspunkt for en punktfølge er helt analog til den i Opgave TL givne for en talfølge). Opgave L Giv et eksempel på en kontinuert funktion f :]0, 1] R og en Cauchyfølge (a n ) n N i ]0, 1], således at (f(a n )) n N ikke er en Cauchyfølge. Opgave M Gør rede for, at beviserne for lemmaerne TL kan overføres til vilkårlige punktfølger i et talrum R k. Opgave N a) Vis, at enhver begrænset monoton talfølge er en Caucyfølge. Vink. Antag, at (a n ) n N er monotont voksende, og at den ikke er en Caucyfølge. Da findes et ɛ > 0 således at for ethvert N N findes n, m > N, således at a n a m ɛ. Benyt dette til at finde en delfølge (a nk ), således at a n2k a n2k 1 ɛ for alle k N, og gør rede for at (a n ) n N så må være ubegrænset. b) Benyt Opgave B (på ugeseddel 1) sammen med a) til at slutte, at supremumsegenskaben følger af det almindelige konvergensprincip. 3

4 Tillæg vedr. euklidisk afstand og konvergens i R k. Den euklidiske afstand d(x, y) mellem to punkter x = (x 1,..., x k ) og y = (y 1,..., y k ) i R k er givet ved hvor d(x, y) = x y, x = (x 1 ) (x k ) 2. Vi har her brugt samme betegnelse, som i Tore A. Kro: Funksioner af flere variable, jvf. afsnit I noterne om metriske rum bruges betegnelsen 2, jvf. p Afstandsfunktionen d : R k R k R har følgende grundlæggende egenskaber: i) d(x, y) 0 for alle x, y R k og d(x, y) = 0, hvis og kun hvis x = y. ii) d(x, y) = d(y, x) for alle x, y R k. iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) for alle x, y, z, R k. Egenskaberne i) og ii) er ligetil at eftervise og overlades til læseren. Uligheden iii) kaldes trekantsuligheden og er velkendt for R og R 2, jvf. TL side 83. Ved at erstatte x med x+z og y med z y ses den at være ækvivalent med uligheden x + y x + y ( ) for vilkårlige x, y R k. Indsættes udtrykket for ses ved kvadrering, at denne er ækvivalent med (x 1 +y 1 ) 2 + (x k +y k ) 2 (x 1 ) 2 + +(x k ) 2 +(y 1 ) 2 + +(y k ) 2 +2 x y, som ved udregning kan omskrives til x 1 y x k y k x y. ( ) Udtrykket på venstresiden kaldes det indre produkt af x og y og betegnes tit med x y, d.v.s. x y = x 1 y x k y k. 4

5 Herved ses, at ( ) og dermed ( ) følger, hvis vi kan vise den såkaldte Cauchy- Schwarz ulighed: x y x y. Ser vi først på tilfældet k = 2, lyder denne x 1 y 1 + x 2 y 2 (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2, som ved kvadrering og udregning er ækvivalent med d.v.s. 2x 1 y 1 x 2 y 2 (x 1 ) 2 (y 2 ) 2 + (x 2 ) 2 (y 1 ) 2, (x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 0, som jo er sand. For vilkårligt k fås tilsvarende ved kvadrering, at Cauchy-Schwarz ulighed er ækvivalent med 2 x i y i x j y j { (x i ) 2 (y j ) 2 + (x j ) 2 (y i ) 2}, 1 i<j k 1 i<j k som også kan skrives 1 i<j k (x i y j x j y i ) 2 0, hvilket er sandt. Hermed er trekantsuligheden iii) (og Cauchy-Schwarz ulighed) bevist. Ved forelæsningerne torsdag 4. juni indføres følgende tre definitioner, som vi iøvrigt vender tilbage til i mere generel form i noterne om metriske rum. Definition A En (punkt)følge i R k er en afbildning x : N R k. Vi skriver x n i stedet for x(n) og betegner følgen med (x n ) n N eller x 1, x 2, x 3,..., hvor altså x n R k for hvert n N. Definition B Punktfølgen (x n ) n N i R k er konvergent med grænsepunkt x R k, hvis x n x 0 for n, eller, med andre ord, hvis der for hvert ɛ > 0 findes et N N, således at d(x n, x) < ɛ for alle n > N. 5

6 Definition C En punktfølge (x n ) n N i R k er en Cauchyfølge, hvis der for hvert ɛ > 0 findes et N N, således at d(x n, x m ) < ɛ for alle n, m > N. Endvidere omtales følgende to sætninger. Sætning A Punktfølgen (x n ) n N i R k, hvor x n = (x 1 n,..., x k n) for hvert n N, er konvergent med grænsepunkt x = (x 1,..., x k ) R k, hvis og kun hvis hver af koordinatfølgerne (x i n) n N, i = 1,..., k, er konvergent (i R) med grænseværdi x i. Sætning B (Det almindelige konvergensprincip for R k ) En punktfølge (x n ) n N i R k er konvergent, hvis og kun hvis den er en Cauchyfølge. 6