Sandsynlighedsbaserede metoder

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sandsynlighedsbaserede metoder"

Transkript

1 Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under afsnittet med titlen»sandsynlighedsbaserede metoder«med undertitlen»pseudotilfældige tal«. I denne artikel præsenterede forfatteren flere fundamentale begreber for pseudotilfældige tal-generatorer fra et ergodeteoretisk synspunkt. Den foreliggende artikel er den anden halvdel i serien og denne artikel omhandler den egentlige Monte Carlo-metode. De problemer vi i det følgende vil betragte er kendetegnet ved, at de er meget enkle og fremstillingen af emnet kræver kun et indledende kendskab til målteori. Monte Carlo-metodens generelle idé og oprindelse Inspiration til numeriske metoder kan springe fra alle mulige uforventede kilder. Simuleret udglødning har taget sit navn fra metallurgien (læren om metallers fremstilling, egenskaber og bearbejdning) og splines blev først taget i anvendelse af tekniske skitsetegnere. På en tilsvarende façon er Monte Carlo-metoden rodfæstet i hazardspillet. Og hvem føler ikke en slags fjernt ekko af noget glamourøst ved navnet Monte Carlo-metoden? Selve navnet er afledt af byen Monte Carlo i fyrstendømmet Monaco. Byen er berømt verden over for sit grand casino,»casino de Monte-Carlo«, et ikon for industrien for hazardspil. Det korte af det lange er, at Monte Carlo-metoden ikke kan hjælpe én med at vinde i roulette; metoden er end ikke et forsøg på det. 23. årgang, nr. 2

2 30 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden er en numerisk metode til løsningen af matematiske problemer ved hjælp af simulation. Monte Carlo-metodens teoretiske fundament, i særdeleshed de store tals lov, har længe været kendt. Men siden simulation af stokastiske variable per håndkraft er en svært møjsommelig proces, har Monte Carlo-metoder været praktisk umulige at udføre uden hjælp fra en computer. Det er derfor ikke overraskende, at Monte Carlo-metoden som universelt anvendt numerisk teknik er snævert forbundet med udbredelsen af computeren. Monte Carlo-metodens alment accepterede oprindelsesdag er 949, hvor en artikel under overskriften»the Monte Carlo Method«dukkede op. De amerikanske matematikere Jersey Neyman og Stanislaw Ulam betragtes som værende ophavsmændene til denne artikel. I Sovjetunionen publiceredes de første artikler om Monte Carlo-metoden i 955 og 956 af V. V. Chavchanidze, Yu. A. Schreider og V. S. Vladimirov. For hver ny generation af computere finder Monte Carlo-metoden nye anvendelsesområder. Differentia specifica og et simpelt eksempel Vores udgave af Monte Carlo-metoden er kendetegnet ved, for det første, den beregningsmæssige enkle struktur af algoritmen. Algoritmen består i almindelighed af en proces til produktionen af en tilfældig hændelse. Processen gentages n N gange, med hvert forsøg uafhængigt af de forrige og resultaterne bruges til dannelsen af et gennemsnit. Et andet særkende ved metoden er, som hovedregel, at fejlen fra udregningen er proportional med /n, hvor n er antallet af forsøg. For at opnå høj præcision må man altså have et stort antal gentagelser (for at at formindske fejlen med en faktor 0 er det Famøs november 203

3 Daniel Kjær 3 nødvendigt at øge n med en faktor 00). Lad os illustrere metoden med et simpelt eksempel. Eksempel (Hit-or-Miss Integration) Forestil dig, at vi har brug for at udregne arealet, A, af en figur i planen begrænset af enhedskvadratet. Det skal principielt være en kompliceret figur, før det kommer til sin ret at sætte Monte Carlo-metoden i anvendelse, men af hensyn til bekvemmelighed lader vi figuren være en cirkel som vist i figur. y  = 0.25 y  = 0.32 A A 0 x 0 x Figur Approksimation af arealet A = Vælg tilfældigt n punkter i kvadratet og betegn ved n antallet af punkterne, der falder indenfor cirklen. Det er fra figuren klart, at cirklens areal approksimativt er lig med n /n. Jo større n, desto bedre approksimation. I skemaet til venstre ser vi, at af 4 punkter er faldet indenfor cirklen, så vores estimat for cirklens areal er n /n = /4 = I skemaet til højre er 28 af 400 punkter faldet indenfor cirklen, så vores estimat for cirklens areal er n /n = 28/400 = Cirklens faktiske areal er lig med A = årgang, nr. 2

4 32 Sandsynlighedsbaserede metoder Observér, at metoden til estimation af arealet A kun er gyldig, når de tilfældige punkter ikke blot er tilfældige punkter i enhedskvadratet, men faktisk er ligeligt fordelt på hele enhedskvadratet. For at kunne replikere eksemplet kræves altså en metode til produktionen af ligefordelte stokastiske variable i enhedskvadratet. Dette skridt består i virkeligheden i at kalde en subrutine i et computerprogram, en s.k. pseudotilfældig tal-generator, som udfører den bestemte opgave at producere visse følger af tal, der til ethvert praktisk formål er uskelnelige fra udfald af ligefordelte stokastiske variable. Denne frembringelsesproces blev beskrevet i detaljer i sidste udgave af Famøs i artiklen»pseudotilfældige tal«. Simple sandsynlighedsbaserede modeller Fraktiltransformation metoden Vi beskriver i dette afsnit en simpel model til frembringelsen af værdier af en stokastisk variabel med en given sandsynlighedsfordeling. Definition 2 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad X være en reel stokastisk variabel på Ω og lad P X være fordelingen af X på (R, B R ). Ved p-fraktilerne hørende til P X for et p (0, ) forstås mængden { } x R: lim P X ((, y]) p P X ((, x]). y x Et element i mængden kaldes en p-fraktil for P X. Ved en fraktilfunktion hørende til P X mener vi en funktion q på (0, ) ind i R således at for alle p (0, ), så er q(p) en p-fraktil for P X. Famøs november 203

5 Daniel Kjær 33 Vigtigheden af følgende sætning er ikke til at tage fejl af. Sætningen understreger den centrale rolle, som ligefordelingen spiller i simulationsmodellering. Sætning 3 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad X være en reel stokastisk variabel på Ω, lad P X være fordelingen af X på (R, B R ) og lad q være en fraktilfunktion hørende til P X. Betragt sandsynlighedsfeltet ((0, ), B (0,), m L ), hvor m L er Lebesgue målet på Borel σ-algebraen B (0,) af delmængder af (0, ), og lad U være en stokastisk variabel på Ω ind i (0, ) med fordeling m L. Da gælder, at P X = (q U)(P ). Bevis. Se [3]. Lad X være en reel stokastisk variabel på et bagvedliggende sandsynlighedsfelt (Ω, F, P ) og lad q være en fraktilfunktion hørende til fordelingen P X. Frembringelsesprocessen af stokastiske variable med denne fordeling er sammensat som en serieforbindelse af to delprocesser, som i figur 2. m L P X Figur 2 Frembringelse af stokastiske variable. Den første delproces i udarbejdelsen af input til en simulation består i, at frembringe en ligefordelt stokastisk variabel U på det ovennævnte sandsynlighedsfelt. Dernæst fokuseres på at lade den ligefordelte stokastiske variabel undergå metamorfosen til q U. 23. årgang, nr. 2

6 34 Sandsynlighedsbaserede metoder Sætningen klargør, at denne produktionsproces faktisk giver et udfald af en stokastisk variabel med den ønskede fordeling P X. Lad os illustrere metoden med et simpelt eksempel. Eksempel 4 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad X være positiv reel stokastisk variabel og lad for et λ > 0, exp(λ) være fordelingen af X på (R +, B R+ ). Fraktilfunktionen q hørende til P X er givet ved log( p) q(p) =, p (0, ). λ. Lad U være en ligefordelt stokastisk variabel defineret på (Ω, F, P ). 2. Den stokastiske variabel log( U)/λ på (Ω, F, P ) er fordelt exp(λ) på (R +, B R+ ). Der findes situationer, hvor man gerne vil simulere stokastiske variable med en fordeling, hvor fordelingen er så kompliceret, at det ikke er helt enkelt at gå direkte til fraktilfunktionen. Eksempel 5 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad X være en reel stokastisk variabel og lad N(0, ) være fordelingen af X på (R, B R ). Genkald, at fordelingsfunktionen hørende til P X, betegnet ved Φ, er givet ved Φ(y) = (,y] 2π exp { x2 2 } m L (dx), y R. Da det er klart, at Φ C (R) med positiv differentialkvotient, så er funktionen strengt voksende på R og en fraktilfunktion q hørende til P X eksisterer entydigt, som den inverse af Φ. For så vidt som fordelingsfunktionen Φ ikke kan gives et analytisk udtryk (uden brug af specielle funktioner), så kan fraktiltransformationsmetoden ikke direkte anvendes. Famøs november 203

7 Daniel Kjær 35 Eksemplet klargør, at alternative metoder til frembringelse af normalfordelte variable må tages i brug. Vi nævner i flæng: Numerisk approksimation af q, Box-Muller, Acceptance-Rejection, etc. Sætning 6 (Den centrale grænseværdisætning) Lad {X n : n N} være en familie af reelle stokastiske variable på et sandsynlighedsfelt (Ω, F, P ). Antag, at følgende tre betingelser er opfyldt.. Familien {X n : n N} er et uafhængigt system af stokastiske variable på (Ω, F, P ). 2. Der findes et sandsynlighedsmål Q på (R, B R ) således at Q er fordelingen af X n på (R, B R ) for ethvert n N. 3. Følgende integraler eksisterer og er endelige: µ E(X n ), σ 2 E[(X n µ) 2 ] > 0, n N. Lad {Z n : n N} være systemet af stokastiske variable på (Ω, F, P ) defineret ved nk= X k nµ Z n = σ. n Da gælder, for alle a, b R hvor a < b, at lim P Z n n ((a, b]) = Φ(b) Φ(a), hvor Φ er fordelingsfunktionen hørende til fordelingen N(0, ). Bevis. Se []. Eksempel 7 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad X være en reel stokastisk variabel og lad N(0, ) være fordelingen af X på (R, B R ). Fraktilfunktionen q hørende til P X eksisterer ikke på eksplicit form. 23. årgang, nr. 2

8 36 Sandsynlighedsbaserede metoder. Lad {U n : n =,..., 2} være et uafhængigt system af ligefordelte stokastiske variable defineret på (Ω, F, P ). Observér, at µ E(U n ) = /2, σ = E[(U n µ) 2 ] /2 = / Den stokastiske variabel 2 k= U k 6 på (Ω, F, P ) er fordelt approksimativt N(0, ). Monte Carlo-integration Monte Carlo-integration er en numerisk metode til approksimation af integraler ved hjælp af sandsynlighedsbaserede metoder og næsten enhver Monte Carlo udregning kan betragtes som et forsøg på at approksimere integralet f dm L, D for et f L (R, B R, m L ) og D B R, hvor m L er Lebesgue målet på Borel σ-algebraen B R af delmængder af R. Vi ser, at integralet kan repræsenteres som en middelværdi af en stokastisk variabel. Sætning 8 (Monte Carlo-integration) Lad f M(R, B R ) og lad D B R. Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt og lad X være en stokastisk variabel på Ω ind i D og lad P X være fordelingen af X på (D, B D ). Antag, at P X er absolut kontinuert med hensyn til m L og lad p dp X dm L være den Radon-Nikodym afledede af P X med hensyn til m L.. Der gælder, at [ ] f(x) E = f dm L, p(x) D i den forstand, at eksistensen af den ene side medfører eksistensen af den anden og lighedstegnet. Famøs november 203

9 Daniel Kjær Dersom integralerne i. eksisterer og dersom {X n : n N} er et uafhængigt system af stokastiske variable på Ω ind i D med fælles fordeling P X af X n for ethvert n N, så findes en nulmængde Λ i (Ω, F, P ) således, at lim n n n k= f(x k )(ω) p(x k )(ω) D = f dm L, ω Λ c. Bevis.. er oplagt og 2. følger af Store tals stærke lov. Eksempel 9 (Simpel Monte Carlo-integration) Lad {U n : n N} være et uafhængigt system af stokastiske variable på et sandsynlighedsfelt (Ω, F, P ) ind i (a, b) for a, b R med a < b. Lad ligefordelingen på (a, b) være fordelingen af U n for ethvert n N. Lad f L (R, B R, m L ).. Der gælder, at (b a)e [f(u )] = f dm L, n N. (a,b) 2. Der findes en nulmængde Λ i (Ω, F, P ) således, at (b a) lim n n n f(u k )(ω) = f dm L, ω Λ c. k= (a,b) Det er klart, at den ovenstående procedure for Monte Carlointegration let lader sig generalisere til flere dimensioner. Dette generalisationsproblem overlades til læseren. Monte Carlo-optimering Simulation af stokastiske variable i numerisk optimering er en anden stærk og meget populær anvendelse af Monte Carlo-metoden. 23. årgang, nr. 2

10 38 Sandsynlighedsbaserede metoder Problemet er at minimere (eller maksimere) funktioner, som ofte har et stort antal dimensioner. Lad W(R d ), for et d N, betegne samlingen af alle kontinuerte funktioner w på R d ind i R. Vores ambition i dette afsnit er at beskrive metoder til løsning af (evt. multiekstremale) optimeringsproblemer: { min x D w(x), w W(Rd ), D kompakt, D R d. Mange teoretiske og praktiske problemstillinger kan modelleres indenfor denne generelle ramme. Lemma 0 (Borel-Cantelli) Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt og lad F n F for n N. Hvis P (F n ) <, så er Bevis. Se [4] n N P ( n N k=n F k ) = 0. Sætning (Simpel Monte Carlo-optimering) Lad w W(R d ), for et d N, være en kontinuert funktion på R d ind i R og lad D være en kompakt delmængde af R d. Antag, at der findes et entydigt punkt x i R d således, at x = arg min w(x). x D Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt og lad {X n : n Z + } være et uafhængigt system af d-dimensionale stokastiske variable på Ω Famøs november 203

11 Daniel Kjær 39 ind i D med fælles fordeling P X af X n på (D, B D ) for ethvert n Z + og antag at {x } er en nulmængde i (D, B D, P X ). Lad {Y n : n Z + } være et system af reelle stokastiske variable på (Ω, F, P ) givet ved Y n = w(x n ), n Z +. Hvis der for ethvert δ > 0 gælder, at P Yn ((w(x ), w(x ) + δ]) > 0, så findes en nulmængde Λ i (Ω, F, P ) således, at lim min{y,..., Y n }(ω) = w(x ), ω Λ c. n Bevis. Siden {x } er en nulmængde i (D, B D, P X ), så er (X n ) ({x }) en nulmængde i (Ω, F, P ) for ethvert n Z +. Men (X n ) ({x }) = (Y n ) ((, w(x )]). Således har vi etableret, at P Yn ((, w(x )]) = 0. () Lad δ > 0 være givet. Jævnfør vor antagelse har vi, at P Yn ((, w(x ) + δ]) = P Yn ((w(x ), w(x ) + δ]) > 0, hvor lighedstegnet følger af (). Fra dette og fra uafhængigheden af systemet {Y n : n Z + } har vi, at P min{y,...,y n}((w(x ) + δ, )) = { P Yn ((w(x ), w(x ) + δ])} n hvilket giver anledning til følgende geometriske række: n N P min{y,...,y n}((w(x ) + δ, )) = P Y n ((w(x ), w(x ) + δ]) P Yn ((w(x ), w(x. ) + δ]) 23. årgang, nr. 2

12 40 Sandsynlighedsbaserede metoder Den højre side af lighedstegnet er oplagt endelig. Fra Lemma 0 (Borel- Cantelli) har vi for ethvert δ > 0, at P ( n N k=n {min{y,..., Y k } w(x ) + δ}) = 0, eller ækvivalent hermed: for ethvert δ > 0, så er P ( n N k=n {min{y,..., Y k } < w(x ) + δ}) =. Heraf sluttes det ønskede resultat. Litteratur [] Billingsley, P., Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons, Inc., 968. [2] Hammersley, J. M., & Handscomb, D. C., Monte Carlo Methods, Methuen s Monographs on Applied Probability and Statistics, London, 964. [3] Hansen, E., Measure Theory, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, 4. udgave, [4] Jacobsen, M., Videregående Sandsynlighedsregning, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, 3. udgave, [5] Metropolis, N. & Ulam, S., The Monte Carlo method, J. Am. Stat. Assoc., 44, N 247, , 949 [6] Sobol, I. M., A Primer for the Monte Carlo Method, Boca Raton: CRC Press, Inc., 994 Famøs november 203

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder 48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Løsning af præmieopgaven: Famøs årgang 22, nr. 1

Løsning af præmieopgaven: Famøs årgang 22, nr. 1 26 Opgaveløsninger Knæk og bræk Løsninger til sidste bloks opgaver Sune Precht Reeh Jeg antager som udgangspunkt at pinden i opgaverne er uden tykkelse og er formet som et ret linjestykke af længde l.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf

Læs mere

Fordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.

Fordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc. Fordelinger En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave Udvidet version Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.dk Da denne fordelingsoversigt's første udgave så verdens lys

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen.

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf Fag og niveau

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx (B-A) MATEMATIK A Peter Ove

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere