En introduktion til Fourier Analyse med speciel reference til MRI. Af Henrik BW Larsson

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En introduktion til Fourier Analyse med speciel reference til MRI. Af Henrik BW Larsson"

Transkript

1 En nroduon l Fourr nalys md spcl rfrnc l MRI f Hnr BW Larsson Novmbr 4, vrson 3 Novmbr, vrson4 Indhold I d følgnd omals:. Basal omplx rgnng. Eulrs formlr 3. Fourr rær 4. Fourr ransformaon 5. Esmplr 6. Fgur 7. Foldnng 8. Fgur 9. Dsr Fourr ransformaon og -sdg powr sprum snr udgav. Samplngs nrval, oal samplngsd snr udgav. Nyvs dagram og alasng snr udgav. Kvadraur don og omplx dssgnal snr udgav

2 En forudsænng for a unn forså, og vnul manpulr md MRI svnsr r vs basal ndsab l sgnal bhandlng, hrundr Fourr analys, af d radosgnalr dr modags va cols ~radoannn n MR sannr. Dnn frmsllng sgr på a gv n grundg mamas gnnmgang af d fl, mn snarr a gv n nuv forsåls af d nrssan områd. Basal omplx rgnng D omplx al r a brag som n dmnsonal al sørrls, og an afbllds d omplx alplan. I fgur r all z a b afbll. a og b r rll al, mn a alds raldln og b magnærdln, slv om d srng ag r b dr r magnærdln. Dn omplx alnhd r og spcl gældr a -, ndfør af alnrn Cardano år 545. all ab an nn opfas som pun, mn an også opfas som n vor, nmlg dn dr forbndr orgo md pun, som vs gnngn. Vd onjugrng af omplx al forsås a b* a - b Dn numrs værd af all z, bgns z og r z z z * a b a b a b d -. D ss a d nop r hvad v vll forvn som længd af n vor a,b. Dn numrs værd, alså længdn alds også modulus. V an også al om n vnl of synomym md fasn og dnn r φ g - b/a. Man alr også om argumn for all z, og dnn r dfnr som: { φ r π r hlal} arg z D argumn for z, dr r blggnd nrvall l 36 gradr alds hovdargumn for z. ndr vgg omplx rgnrglr: addon af omplx al: a b a íb a a b b

3 mulplaon af omplx al: a b a íb aa bb ab ab Som d ss af fg. an z også srvs som z ab z cosϕ snϕ hvor ϕ r argumn for z. z an mdlrd også srvs som z z ϕ x ϕ x ϕ, hvor z x a b / og ϕ cosϕ snϕ. Sdsnævn lgnng an l vss vd a ræ udvl d ndgånd sørrlsr, llr an også brags som n dfnon på ϕ. Ræ udvlng vd aylors mod gvr for ϕ, cosφ og snφ : 3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 6 4 ϕ ϕ cosϕ ϕ snϕ ϕ Mulplaon af omplx al an nu udførs som som z z z z z z ϕ ϕ ϕ ϕ D vl sg a rsula vd mulplaon, når d omplx al sår opsrv på dnn måd, frmommr vd a mulplcr modulus og addr d ndgånd argumnr. Vd onjugrng af z z ϕ fås, z* z - ϕ, ndvdr gældr: ϕ cosϕ snϕ cosϕ snϕ sn π / ϕ cos π / ϕ cos ϕ π / sn ϕ π / ϕ π / ϕ π / d vl sg a mulplaon md r d samm som fassf på 9 gradr. Funonn s cos, hvor π/8 rad/s r vs fg. 3, og funonn s sn, hvor π/8 rad/s r vs fg. 4. I nogl lfæld får man brug for a unn mulplsr o cosnus funonr, n cosnus md n snus funon og o snus funonr. D r så svær a vs a dr gældr: cos α cos β / cos α β cos α β cos α sn β / sn α β sn α β sn α sn β / cos α β cos α β 3

4 V vl snr s nop dss formlr anvnd når v bsæfgr os md dn såald dmodulrng af MR sgnalr. Eulrsformlr Ud fra følgnd formlr ϕ cosϕ snϕ og - ϕ cosϕ - snϕ, fås d brøm Eulrs formlr: cosϕ ϕ ϕ og snϕ ϕ ϕ V an grafs frmsll s dn førs af Eulrs formlr d omplx alplan, s fg. 5 Fgurn r smpl mn vgg, d d ss a hvr rl al srv som cosϕ, hvor r rl al, an srvs som n sum af omplx al. Of vl ϕ vær n funon af dn : ϕ ϕ, hvor an vær posv, d vl sg a vnl lvæsn r posv, alså posv omløbsrnng, llr ngav, dvs a vnl lvæsn r ngav, dvs, ngav omløbsrnng. Bnævnlsn for r radanr/dsnhd, såsom rad/sc, mn an også opgvs gradr/sc. Frvnsn f og r rlar l hnandn som πf π/, hvor r dn d agr for omløb, ald omløbsdn llr proddn. ϕ alds fasn, og r alså vnln l. En harmons rornd vor an ffv srvs vd hjælp af omplx noaon som s ϕ πf ϕ hvor argumn ændr sg lnær md dn. r hr n onsan ampludn, mn an også vær n funon af dn, for smpl n almndlg xponnal funon, som -, hvor og r onsanr, dvs uafhængg af dn. V sal ndl vdr brag som n onsan, md mndr dr spcfcrs n dsafhængghd. En som ovnfor bsrv omplx harmons svngnd vor alds på ngls a phasor, og r fuldsændg ararsr vd sn amplud, frvnsn f og fasn ϕ. Som nævn ovnfor sal f llr rgns md forgn sålds a hvs f > så gældr ϕ > ϕ for >, og for f < gældr ϕ < ϕ for >. D vl sg a v an al om ngav frvnsr og d udsgr blo a dn rornd vor har ngav omløbsrnng. I fg.6 blr funonn 4

5 s φ vs som funon af dn. V så a d r n phasor dr drjr rund md vnlhasghdn posv omløbsrnng og md sarvnln fasn φ. Man an også nydg vs dnn funon som n funon af vnlhasghdn llr frvnsn. V alr da om frvns sprum. D r vs fg. 7, hvor ampludn r afsa som funon af frvnsn og fasn afsa som funon af frvnsn. I sd for a afsæ amplud og fas, an man sd for afsæ ral dln og magnær dln som funon af frvnsn som vs fg. 8. Bgg rpræsnaonr anvnds og r lgværdg, d d ndholdr nøjag samm nformaon. En sådan bvægls alds også n crulær polarsr svngnng. Bmær a spra r n nl ln svarnd l frvnsn frvns-amplud plo og n nl ln svarnd l frvns-fasn plo. Hvs nu r ngav, hvordan ror du så spr vl s ud?. Hvs nu ampludn afagr xponnl, hvordan ror du så spr vl s ud? D vndr v lbag l snr, ford d r nøgl pun. Hvs man projcrr s nd på dn rll as x-asn så får man, proj x s cos ϕ og hvs man projcrr s nd på dn magnær as y-asn, så får man proj y s sn S fg. 9, og fg.. ϕ Nu har v s på n omplx phasor, spørgsmål r så om v an hav n omplx phasor hvor dn magnær dl hl dn r nul, llr mr orr formulr hvor projonn nd på magnær asn r onsan nul. En sådan bvægls alds for n lnær polarsr svngnng og an d omplx oordnasysm srvs som s cos ϕ. I mang suaonr vl d vær n fordl a unn srv d sgnal som n sum vorl af omplx svngnngr. Man an næsn umddlbar s a d an lad sg gør som: s cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ D an grafs frmslls som vs på fg.. I d lsvarnd amplud og fas sprum, s fg, ss a amplud spr blvr symmrs, og fas spr blvr ansymmrs n spjlng orgo. I fg.3 ss d lsvarnd ral og magnær frvns sprum. V har hr n hl gnrl rgl: rl sgnal, lnær polarsr, har frvnssprum som r symmrs omrng når d gældr ampludn llr ral dln, og ansymmrs fas llr magnær sprum. 5

6 Bmær a fasn an fnds vd a sammnhold raldln md magnærdln af spr; ønsr v a fnd fasn for frvnsn gørs d udfra: snϕ mag g g ϕ ral cosϕ Bmær ydrlgr a d o omplx harmons rornd vorr md hvr sn omløbsrnng r hnandns onjungrd: Endlg an man slvfølglg srv d o phasors vd følgnd srvmåd, som ndholdr samm nformaon som fg. F og * πf ϕ πf ϕ πfϕ pos ng ϕ F cosϕ snϕ Hraf ss d også umddlbar a F pos * F ng -. cosϕ snϕ ϕ Har du bmær a v fas r fuld gang md a Fourr ransformr?. Ovnfor har du s hvordan man an bvæg sg fra n dslg rpræsnaon l n frvns rpræsnaon. D r nop d Fourr ransformaonn drjr sg om. 6

7 Fourr rær V har ngn nnon om a ndlad os på dybgånd mamas ovrvjlsr vdrørnd ssns og nydghd af Fourr rær og Fourr ransformaon. Vors håb r drmod a bbrng læsrn n nuv forsåls af a hvr rl llr omplx dssgnal undr nogl passnd forudsænngr an bsrvs som n sum af omplx harmons svngnd vorr, dr har forsllg frvnsr ncl. posv og ngav omløbsrnngr, ampludr og fasr. Og omvnd hvordan Fourr ransformaon nuv an forsås som n mamas procss, hvorvd man an fnd d forsllg frvnsr, d vl sg ampludn og fasn af d ndgånd svngnngr. Josph Fourr gjord bgyndlsn af d 9. århundrd dn værdfuld opdagls a prods rll funonr, s, som r dffrnabl ovral, an srvs som n sum af rgonomrs funonr, ald Fourr ræn for s, sålds π π s ½a a cos b sn ½a a cos b sn hvor r 3..., posv hl al, r proddn og / r grundfrvnsn, også ald.harmons frvns, / r. harmons frvns, 3/ r 3. harmons frvns c. r onnur, og bgnr d lfæld dn. ½a r onsan ld, of ald DC omponnn DC: drc currn, a, a, b, a, b... alds Fourr offcnrn for funonn s. Dss offcnr an vær nul llr rll al. r proddn for funonn, d vl sg: s n s, hvor n lhørr d hl al. V vl omsrv Fourrræn så dn frmrædr på omplx form, hvl r n mr ffv srvform, og dn form dr sædvanlg bnys MR mæssg sammnhæng. Id v sæ π/ har v følg Eulrs formlr cos" " #" og sn" " # #" Dss udry ndsæs Fourrræn for s: a b a b s ½a D r hr vgg a lægg mær l a for hvr har man omplx rornd vorr dr rorr hvr sn vj d omplx plan, ndvdr a længdn r dn samm, d a b a b og a fasn r numrs ns mn md modsa forgn. Ydrlgr vl d gæld a for hvr vl summn af d omplx vorr l hvr dspun, addr l rl al, da summn af 7

8 magnærdln ophævr hnandn, s også fg.. D r jo også a forvn da s r rl dssgnal. Fourrræn for s an omsrvs ydrlgr, d v sær z ½a, z ½a -b og z - ½a b : s z z z z z z z z z z Rsula an formulrs sålds: For dn rll prods og ovral dffrnabl funon s, gældr a dn an opløss n sum af vægd omplx rornd vorr, og summn af all magnær ld vl l hvr dspun vær nul. Når v srvr vægd mnr v sørrlsn af z. Hus z r n omplx sørrls, alså har n længd modulus og fas. I fg.4 r vs smplr på addon vorl af phasors md forsllg frvns, amplud og fas, og an rsulr vd forsllg dssgnalr. Kan du udpg hvl spcra dr rsulrr dsgnal dr r rl og hvor magnær dln af dsgnal r nul? Indnfor MR får v også brug for omplx dssgnalr. D an mås lyd mærlg, mn æn blo på n magnsrngsvor dr drjr rund og som rgsrrs orogonal spolr som dlgr vs. Dn n spol opfangr d rll sgnal og dn andn spol opfangr d magnær sgnal. Så d magnær sgnal r alså rl no, alså ssrr vrlghdn. V forsllr os nu a s r omplx dssgnal : s v w, hvor v og w r prods og dffrnabl funonr. E omplx dssgnal an ansulggørs som vs fg.5. f fgurn ss a s bsrvr n urv rumm, dr udspænds af ral-, magnær og dsas, og v r projonn af dnn urv nd på plann dr udspænds af ral og dsasn, mns w r projonn af s nd på plann dr udspænds af magnær og dsasn. Også sådann lfæld an v srv s v w z, mn dr vl nu gæld a summn af magnærldn l hvr dspun r nul. Dr vl alså gæld a z vl vær forsllg fra z - for mnds n værd af. D r også nsbydnd md a frvns spr nu r symmrs om nul. S gn fg.4. Ofs r v dn suaon a man ønsr a fnd Fourr offcnrn z ud fra mål dssgnal, d vær sg rl llr omplx. Dss offcnr an fnds vd følgnd forml: z s d Indn v bvsr dnn lgnng, så vl v førs prøv a ansulggør udry. Hvs v ønsr a fnd hvor mg dr r af førs harmons svngnng, så sær v og får: 8

9 s an opfas som n omplx vor som ændrr rnng og amplud som funon af dn som vs fg.5. xp- r n omplx rornd vor dr drjr rund md grundfrvnsn z s d og slvfølglg har n onsan amplud på. Gang gn mllm s og xp- an opfas som n vor projon, hvor sgnal s blvr projcsr nd på grundsvngnngn, xp-. Ellr sag på n andn måd, xp- går nd og opfangr hvor mg dr r a nop grundsvngnngn l hvr dspun. V foragr dnn opraon mang små dsnrvallr, d, og opsummrr ~ngrrr d op ovr n prod. På dnn måd smrs hvor mg dr r af grundsvngnngn sgnal s. Sæs, fnds gnnmsn af dssgnal, alså DC n: z # " sd E mr forml orr bvs r som følgr. V anagr a Fourr s sænng r rgg, alså a hvr prods sgnal an srvs som n sum af rgonomrs funonr, llr qvvaln omplx svngnngr, hvor r grundfrvnsn π/: s # $ z % & "# D udry ndsæs udry for n lfældg valg værd z r : 9

10 ford udry for all r, og r lhørr all hlal, d -r r n omplx rornd vor dr rorr -r hl anal gang π på n prod d. Jævnfør a aral undr cosnus funonn r nul hvs man bragr vlårlg anal hl svngnngr. z vl of vær omplx al. V an udrgn z for nhvr værd af -,,,,3,..., alså r z n funon af : z F F,. π/, alså. harmons svngnngs vnlhasghd. Dn. harmons svngnng har vnlhasghdn 4π/, dn 3. harmons svngnng har vnlhasghdn 3 6π/ og dn. harmons svngnng har vnlhasghdn π/. Hvad rpræsnrr z F F så? F vsr hvor mg dr r af vnlfrvnsn, sag md andr ord : ampludn mn også fasn. Da F r omplx al, an v srv hvor r ampludn modulus og ϕ r fasn vnln l dn nul for n gvn vnlhasghd. r, som dlgr nævn, lg md π/, og / f, grundfrvnsn, hvorfor πf. V an drfor også srv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r z d z z d z d z d z d z d z z z d z z z d z d z z z " #r$ d # % F ϕ f f f F ϕ

11 d f f. fblds F som funon af frvnsn f, alr v om frvnssprum. Bmær a dn mnds afsand mllm vnlhasghdr, for hvl v an udrgn Fourroffcnr r π π π D v sg a dn mnds afsand mål Hrz r /, d vl sg omvnd proporonal md prod dn. E prods dssgnal gvr sålds vd Fourrransformaon ln sprum hvor lnrn r adsld md / Hrz. Er dssgnal rl fås som dlgr omal, symmrs frvns sprum for ampludn og ansymmrs for fas, s fg.4. Fourr ransformaon D forrg apl handld om prods dssgnalr s, md prodn. V så a sgnal unn l hvr dspun,, opfas som n sum af omplx vorr, og dss rord d omplx plan md frvnsr dr var mulplum af /, og vd afbldnng af frvnsspr f v lnsprum, hvor lnrn var adsl md /. V forsllr os nu a proddn går mod undlg. D bydr a sgnal, s, om undlg lang d gnagr sg slv, d vl sg a sgnal for pras formål, r prods mr, v sgr a sgnal r a-prods. Hvs dssgnal un ssrr ndlg dsnrval alr v om ransn sgnal. Mn d bydr også a ln afsandn frvnsspr blvr mndr og mndr jo sørr blvr. I d srm lfæld hvor r undlg sor, blvr frvnsspr n onnur sprum. Fourr ransformaon af d ransn sgnal, s, r: s d F hvor r nu r n onnur varabl, og F n gvn værd r n omplx sørrls og an srvs som F"' "'# $ " ' hvor r ampludn for vnlhasghdn og ϕ r fasn vnln l for vnlfrvnsn. Bmær a ngraonsgrænsrn nu går fra mnus undlg l plus undlg, svarnd l a prodn længdn nu r undlg sor. Man an også gnsab sgnal s ud fra F, vd hjælp af dn nvrs Fourr ransformaon. Dr gældr a s F d π

12 hvor s r a-prods, rl llr omplx dssgnal. V vl bvs sds sænng, slv om d r så svær. s og F alds Fourr ransformaonspar llr or Fourr par. Esmplr V vl nu gå gang md a s på n ræ smplr Esmpl. V vl Fourr ransformr s cos, hvor r n gvn frvns. Hr an v umddlbar udrgn rsula, d dr un r n frvns, f /π π/ πf og ampludn r, og fasn r nul. D vl sg a v umddlbar an Fourr ransformr d sgnal, mn d r allgvl nrssan a s a forml appara gvr d v forvnr. Funonn r prods så v har ovnfor lær a v sal lad ngraons grænsrn løb ovr n prod: En prods funon gvr ln sprum og an un anag dsr værdr af grundfrvnsn:, hvor lhørr posv og ngav hlal.-,-,,,,3.. V an sar md a undrsøg hvor mg dr r af dn. harmons frvns: : Kan du forlar hvorfor d blvr nul? Lad os prøv a s hvor mg dr r af : Hvs v sær - får v : d d d d s F cos 3 d F d d d d F

13 F"# Fas vl F vær nul ovral, undagn for lg nop og -, d vl sg a v nop får d lnr spr, bgg md ampludrn /. / r rl al så fasn r nul. Esmpl. V ønsr a snd radosgnal md vldfnr frvnsndhold F, hvor dr gældr: raldl F K, for b b F mag F hvor K r n onsan. Dnn suaon r rlvan ndnfor MRI dn suaon hvor man ønsr a crr n sv. Man påryr n magns flgradn, hvs syr md l a dfnr sv ylsn, og så sndr man radobølgr som r båndbgræns på ovnsånd måd. V ønsr nu a fnd ud af hvordan radobølgrn sal snds dsdomæn. Hr an v bny dn nvrs Fourr ransformaon. magnærdln r nul bydr a d omplx rornd vorr all l dn, vl hav n vnl på, alså fasn r nul. Hvs d omplx rornd vorr all har vnln l, så må d byd a dssgnal r sørs svarnd l d dspun. V bnyr nu formln for dn nvrs Fourr ransformaon for a fnd dssgnal. Bnær a F r prods: s π F d π K d K K sn b Kb sn b sn b π π π b b b K π b b K π b b En funon af formn snx/x alds n snc funon. s r rl sgnal og undlg lang og r vs fg.6. I d smpl r b π rad/s, d vl sg f b Hz. s går gnnm når sn b, alså for b r π, hvor r r hl al. D vl sg a s for rπ/ b. Nulgnnmgang sr drfor for r π/π s r.5 s. Bmær a sn/! Hvad sr dr hvs b nærmr sg? D vl sg a v gør frvnsbånd smallr og smallr, og l sds vl v nd md n ln svarnd l frvnsn, alså n DC. D vl sg v har ngn rornd omponnr phasors. Hvordan ommr d lsvarnd sgnal s l a s ud?. Svarnd l a b går mod, så går dn rπ/ b, svarnd l nul gnnmgangn mod undlg, d vl sg a s blvr n onsan, d nulgnnmgangn for s lggr undlg lang væ. Esmpl 3. I ovnsånd smpl lå frvnsbånd symmrs omrng frvnsn. Hvs nu frvnsbånd r asymmrs, som vs Fgur 6_, hvor frvnsbånd går fra Hz l 4 Hz, så blvr dsurvrn ld andrlds. Dr gældr alså: 3

14 4 Dn mdrs frvns aldr v / 3 Hz, d onr smpl. V brugr gn formln for dn nvrs Fourr ransformaon: Dr gældr a Δ Hz, s fgur. Sds brø r drfor n snus funon; hvs v ydrlgr gangr og dlr md Δ, får v: snc sn K K s π π Δ Δ Δ Δ Δ Raldln og magnærdln af sgnal blvr: snc sn snc cos K s mag K s ral π π Δ Δ Δ Δ Dss dssgnalr r også vs Fgur 6_. V sr, a v som forrg smpl får n snc funon, mn nu mulplcr md n cosnus funon som svngr md cnrfrvnsn for ral asn, og n lsvarnd snus funon for magnærasn. Snc funonn r svag anyd på fgurn og r dns md dn snc funon v fand forrg smpl. Fgur 6_3 vsr samm fgur, dog r dsasn ru ud for a ydlggør dsforløb. D smpl llusrrr suaonn vd caon af n slc. Hr ønsr man nop a dnn snd n båndbgræns RF puls md dn vs profl. For a opnå dnn profl sal man alså snd n undlg lang snc form puls. I sagns naur r d umulg d RF pulsn må vær ndlg. D vl slvfølglg hav n ff på frvnsndhold og drmd slc profln. Kan du ord bsrv hvad dr sr md slc profln når RF pulsn r ndlg?, F mag for K F raldl F K K K K d K d F s π π π π π π

15 5 Esmpl 4. Dr gældr: og Hvs s r n rl funon ss d umddlbar a F F*-. Hvs dssgnal, s, r symmrs omrng, d vl sg s s-, så gældr: D vl sg a F F- og F F*-. D an un lad sg gør hvs magnærdln fasn r nul. Konluson: Hvs dssgnal r rl og symmrs, så vl frvns spr vær symmrs og magnær dln vl vær nu. d s F d s F F d s d s d s d s d s F

16 Esmpl 5. E smpl på n symmrs, a-prods, rl dsfunons : s xp- hvor og r onsanr, s fg.7. Fourr ransformaon af dnn funon gvr: F" % & # $ # $" d & # $" d & $ # $" d & $" d & $ " d $% $ " $" [ ] $% $ " " " $% " $ " [ ] % " $ " " % $ " " " $% " " % $ " " D ss a F r rl og symmrs omrng, sådan som nævn ovnfor nævn smpl. F alds n Lornz urv; ndr v dn fra MR? Jo s unn vær smpl ndhyldnngsurvn for FID, svarnd l a v r on rsonanc og F r spr, s fg.7. Esmpl 6. E smpl på n symmrs, rl og a-prods dsfunon: s xp- gældnd for. s r nul for <. S fg.8. Fourr ransformaon af dnn funon gvr: F" % % % & s# $" d & # $ # $" d & $ " d $ " $ " $% " " # $ " $ " $ " " " $ " " [ ] % F r vs fg.8. Bmær a magnærdln nu r nul, og da s r n rl funon så gældr F F*-. Bmær også a maxmal værdn af F r halvdln af F forrg smpl, og a modulus spr blvr smallr vd symmrs samplng. D an vær rlvan ndnfor MRI, hvor man of vl lsræb a sampl MR sgnal symmrs, yps sampl spno, hvor man lsræbr a placr o md DC prodn. 6

17 7 Esmpl 7. V gnagr nu forrg smpl, md dn modfaon, a v un samplr vors sgnal l dn. D vl sg a v bragr sgnal s xp-, for, og s, for og. Fourr ransformaonn gvr: D udry sr ubhaglg ud, mn d d gældr om r a saml d ld dr ndholdr og saml d ld dr ndholdr : V har nu saml d rll ld og d magnær ld og an vs hvordan raldln og magnærdln sr ud som funon af, s fg.9. Bmær modsænng l forrg smpl forommr dr nu nogl sra svngnngr. D r hl grrl fænomn, a når man afsærr funonn sgnal runrng så får man nogl sra svngnngr også ald Gbbs rngnngr. Sr man god fr an man på almndlg MR blldr umddlbar s dss Gbbs rngnngr, hvl alså sylds a man an sampl s sgnal undlg læng, mn r nød l a sopp samplngn på dspun. Esmpl 8. V gnagr nu smpl 5, dog md dn modfaon a sgnal ydrlgr r gang md n cosnus funon: F" # $ # $" d % $ " $ " [ ] $ " # $ " " $ $ " " # $ " $ " " sn cos sn cos sn cos : cos : < s s

18 8 og r onsan sørrls, og funonn r vs fg., md π.4 rad/s, d vl sg a dn xponnl afagnd funon r modulr md n svngnng på.4 Hz.. og. D unn rpræsnr FID off rsonanc. Fourr ransformaonn af dnn funon gvr: D sds ld r af samm form som smpl 5, hvor blo r rsa md - hnholdsvs. V får: cos d d d d F

19 9 F r vs fg.. Bmær a funonn r af samm form som smpl 5, mn dr r nu opp og d lggr vd hnholdsvs og -. Da funonn s r rl, så får v som sædvanlg a F F*-. Esmpl 9. V vl nu s på omplx dssgnal : og r onsan sørrlsr, Kan v forsll os sådan sgnal? Ja smpl lggr lg foran os. V an blo æn på n magnsrngs vor dr rorr rund om B md vnlhasghdn. Samdg md dn rorr, blvr sørrlsn mndr og mndr d dr sr dcay md xp-. Fourr ransformaon af dnn funon gvr: F r vs fg.. Ign sr v samm form som smpl 5, mn forsud l højr, og dr r nu un n op.. og. Og da dssgnal r rl, gældr dr a F F*-. Spr r rn nsdg. I Fgur _ r π.6 og. og. Og Fgur _3 r π.4 og. og. Forlar ord hvad dr sr og hvln rlvans d har for MR. ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ d d : : < s s d d F

20 Fg..5 Complx plan b magnary axs n un of a ral axs

21 Fg. Complx plan.5 z magnary axs φ ral axs

22 Fg.3 cosnus funcon: cosπ/8* amplud m: sc

23 Fg.4 snus funcon: snπ/8* amplud m: sc 3

24 Fg.5 4

25 Fg.6 5

26 Fg.7 6

27 Fg.8 7

28 Fg.9 phasor: crcular polarzd and projcons.5 magnary axs n un of ral axs 8

29 Fg. phasor: crcular polarzd and projcons magnary axs ral axs x proj / ral y proj / mag m m 9

30 Fg. 3

31 Fg. 3

32 Fg.3 3

33 Fg.4_ Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u Frquncy Hz Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u m n sc 33

34 Fg.4_ Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n sc 34

35 Fg.4_3.5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u Frquncy Hz Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u m n sc 35

36 Fg.4_4.5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n sc 36

37 Fg.4_5.5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n sc 37

38 Fg.4_6 38

39 4_7 39

40 4_8 4

41 Fg.4_9 5 Spcrum mplud a.u. Phas dgr a.u. Sgnal: ral par a.u. Sgnal: mag par a.u Frquncy Hz m n 5 sc

42 Fg.5 Complx m sgnal 4 3 magnary axs ral axs -4-5 m sc 4

43 Fg.6 4 Frquncy spcrum Ral Hz Frquncy spcrum Imag Ral Imag Hz Sgnal sc Sgnal sc

44 Fg.6_ 44

45 Fgur 6_3 45

46 Fgur 7 Sgnal,. Ral m sc Imag Sgnal Ral Imag m sc Hz 6 4 Frquncy spcrum Frquncy spcrum Hz 46

47 Fg.8 Sgnal Ral ; sc Sgnal Imag Ral sc Frquncy spcrum Hz Frquncy spcrum Imag Hz

48 Fg.9 Sgnal ;.; 5 sc Ral sc Imag Sgnal Ral sc Frquncy spcrum Hz Frquncy spcrum Imag Hz 48

49 Fg. Sgnal ;.; f.4 Hz Ral sc Imag Sgnal Ral sc Frquncy spcrum Hz Frquncy spcrum Imag Hz

50 Fg. Ral Sgnal ;.; f.4 Hz sc Ral Imag sc Hz Sgnal Frquncy spcrum Frquncy spcrum Imag Hz

51 Fgur _ 5

52 Fgur _3 5

53 Foldnng Foldnng r n mamas procss som bnys blan and ndnfor udglanng af blldr og ndfor racrnn f.s vd brgnng af prfuson. Foldnng hddr på ngls convoluon og har frhåndn sng sg nd vor sprogbrug. Man mødr også bgrbrn affoldnng og lsvarnd dconvoluon. V vl ag udgangspun n mdlngsprocs af sgnal. I fg. r vs sgnal værdr som funon af x x an vær n rumlg poson llr n ds varabl. V ønsr nu a gla sgnal ud, svarnd l a søjn ønss rdusr. V an da vælg a ag mddlværdn af hvr rpplpar, alså værdn for x 5,6,7, som har funonsværdrn hnholdsvs,4,7. V lordnr dnn værd posonn x6. Så for dnn poson afsær v dn ny funonsværd / V gnagr så d for x6,7,8 som har funonsværdrn hnholdsvs 4,7, og får dn ny funonsværd som /347 4 som afsæs svarnd l x 7, s fg.. Sådan forsæs for all rplpar. Som man an s r man ld dlmma md ydrpunrn, hvor man blvr nød l a forag valg, som an vær a gør nog llr nddrag d omrnglggnd værdr. Dr r ngn rgg løsnng på d problm. V ønsr nu a brng ovnsånd på n mamas forml. I d følgnd får v brug for a gør os lar a vs v bragr funonn fx så bydr fx-, >, a funonn ryr nhdr l højr, og fx bydr a funonn ryr nhdr l vnsr, og f-x r n spjlng af funonn omrng y-asn, og funonn f-x- f-x r dn spjld funon ry nhdr l højr. For n ordn syld sal nævns a funonn fx, bydr a funonn løfs md nhdr og a funon fx, bydr a funonn ryr nhdr nd. Ovnsånd r smpl på franflr md højdn /3 og længdn 3 x-nhdr, dvs a aral nop r. Havd aral af flr vær sørr llr mndr nd havd man øg hnholdsvs mnds nrgn sgnal, og d r ønslg. Hvs man nu forsllr sg a man havd n dobbl så æ samplng langs x-asn, alså værdr for x 5., 5.5, 6., 6.5, 7., 7.5, 8., 8.5 c, så sal ovnsånd flrrng også vær mulg, s fg.3_. Gnnmsn svarnd l x 6. fås : /3 f5. f5.5 f6. f6.5 f7. / Mn hr opdagr man a aral af flr nu r /3* 5*/.833. Hvs man suplrr md n værd l: f7.5 så blvr aral : /3*6*/. D vl sg a v har ag funonsværdrn svarnd l x 5., 5.5, 6., 6.5, 7., 7.5, og d ss a samplngs afsandn Δx d lfæld lg ½ ndgår som n slags normalsrngs faor. Mn lordnngn l x 6. r nu logs mn d vl vær mr rmlg a lordn l mdn af x nrvall alså 6.5. I prass vl man dog allgvl lordn l 6. llr 6.5, da d har sor bydnng og ford d r lr a mplmnr på n compur. Kan v brng d på n forml? V gnr førs flr symmrs omrng x som vs fg.3_. V bgnr flr funonn gx og d lfæld r gx/3, for -.5 x.5 og for x < -.5 og x >.5 r gx. f grund som v sal omm lbag l spjlr v førs gx omrng y-asn og dannr funonn g-x. Dnn funon forsyds nu hn ovr dn funon fx v ønsr a flrrr. Esmplvs an v forsyd g-x hn så svarrnd l x 6.5: g-x-6.5g6.5-x, s fg. 3_5. Hrfr mulplsrs g md f søjlvs og summrs og lordn dn ny værd x 6.5. D sr sålds ud på forml: 53

54 7.5 F6.5 g6.5 x f x Δx x 5. g.5 f 5. Δx g. f 5.5 Δx g.5 f 6. Δx g f 6.5 Δx g.5 f 7. Δx g. f 7.5 Δx / 3* */ / 3* 3*/ / 3* 4 */ / 3*8*/ / 3* 7 */ / 3*5*/ 4.83 Egnlg unn v god hav srv: F 6.5 g6.5 x f x Δx ford funonn g r for x >.5 og x < -.5. Funonn F r nu n ny funon, og r alså d rslua man får vd a mdl llr flrr f md g pun 6.5. Gnrl an v nu srv: F X g X x f x Δx Nu har v brag ovnsånd på n forml, som dog r dsr. FX brgn for X nrvall -5 l r vs fg.3_6. Sds sp bsår a man gør nddlngn fnr og fnr, hvorvd sumgn ændrs l ngral og Δx ændrs l dx, og funonrn f og g blvr nu l onnur funonr: F X g X x f x dx V har sålds sab n ny funon, FX, og v ladr nu X gnnmløb hl d nrval v r nrsr. For hvr værd af X udrgnr man så foldnngsngral. V sgr a g folds md f og rsula r n ny funon: FX, n or srv måd r blo F g f. Udry for foldnng r symmrs sålds a man lgsågod an srv: F X g x f X x dx hvl ndss vd subsuon : s X-x mdførr x X-s, ds -dx og når x r mnus r s posv og når x r posv r s ngav hvorvd ngraonsgrænsrn byr: F X g s f X s ds g s f X s ds 54

55 E opsummrng af foldnngs ngral, nu som funon af d,, r vs fg.4. V vl fold d o funonr f og g. D foldd oupu aldr v O. Næs sp bsår n spjlng af dn n funon, hvln v vælgr r udn bydnng, hr vælgr v g, s fg.4_. V an forsyd dn spjld funon g- vd a ændr på som vs Fg.4_3. Næs sp bsår a v for nhvr værd af, mulplcrr d o funonr f og g. D r vs som dn grønn urv Fg.4_4, for forsllg forsydnngr forsllg værdr af. Sds sp bsår a for nhvr værd af, ngrrr v ovr dn grønn urv: ovrljrngsngral. D r vs Fg.4_5 og Fg.4_6. Bmær a rsula r n funon O som r n funon af. Slv ngraonn udførs md som ngraons varabl. V vl nu ndfør foldnngs bgrb på n ld andn måd som dn ndførs sysm or, og anvnds mang sammnhæng. V agr udgangspun målng af prfuson hvor foldnngn hl cnral lmn. V forsllr os sysm, som, når d får n mpuls, rspondrr på dnn mpuls md rspons, som v aldr mpulsrspons g. E smpl: v forsllr os a v ndgvr mol onrassofmolylr nd n afgræns vævsmass, smplvs g hjrn, l dn. Funonn g angvr da hvordan udvasnngsforløb som funon af dn sr ud, sådan som man vll unn mål dn md n srn mål mod, s gamma amra llr n MR sannr hvs man unn ndgv mol momnan sådan væv. Funonn g r normalsr og bgnr dn fraon dr rsrr sysm væv som funon af dn. g r for <. Hvs v bgnr dn mængd dr ndgvs l dn som Q, hvor ndx blo bgnr npu npu l sysm, så vl dn mængd dr r sysm væv som funon af dn vær Q mulplsr md g. D produ vl v bnævn Q hvor ndx sår for ssu. Man an drfor srv : Q Q g Q bgnr alså hvor mang mol af onrassof, fr n undlg hurg bolus njon l dn bragd vævsmængd, W, dr rsrr væv som funon af dn. V forsllr os nu a dr l dn ndgvs n ny bolus af onrassof, mås på dspun hvor dr sadg rsrr nog onrassof fra dn førs bolus. Mængdn af dn andn bolus bgnr v Q. V forvnr da hvs sysm r lnær og dsnvaran a dnn bolus vl gv anldnng l rspons af samm form som d førs, mn dsforsud l højr svarnd l, d vl sg a andn bolus må gv anldnng l bdrag svarnd l Q g-. Da v sadg har nog fra førs bolus, så r dn samld mængd væv: Q Q g Q g Hvs dr ndgvs n rdj bolus l dn får v dn samld vævsmænd væv l: Q Q g Q g Q g Sæs an man srv d ompa som: 55

56 56 Dn nl bolus gnlg dla funon Q j an også udrys vd hjælp af blodlførlsn l væv og oncnraonn af onrassoff d blod dr løbr l væv og dr må gæld: Hvor Δ r så lpas lll dsnrval hvorundr blodoncnraonn an anags a vær onsan. Prøv a udfør n dmnsons bragnng af ovnsånd udry. Indførs d udry fås: Ydrlgr an vævsmængdn Q srvs som vævsoncnraonn mulplsr md vægn af væv: W C Q Prøv gjn a udfør n dmnons bragnng af d. Indførs d udry fås: Δ 3 j j j j g C W F C F/W bgnr blodlførlsn ml/sc pr gram væv og bgns f. Har v ndgv blo 3 npu mn N an man srv: Δ N j j j g C f C Gør man dsnrvallrn mllm bolus njonrn mndr og mndr an man rsa summaonsgn md ngral gn og Δ rsas md d: d g C f d g C f C I sds lfæld r d ndgånd funonr onnur funonr og v har md d udry fund n sammhæng mllm vævsoncnraonn som funon af dn, arr oncnraonn som funon af dn, prfusonn og vævs mpuls rspons. Vd hjælp af d udry an man også fnd vævsprfusonn, hvs man målr vævsoncnraonn, f.s dynams vd C llr MR llr PE sannng, og samdg målr arroncnraonn som funon af dn n lførnd arr. Funonn g må nn måls spara llr man må gør nogl anaglsr af formn af 3 j j j j g Q g Q g Q g Q Q Δ F C Q j j Δ 3 3 j j j j j j j j g C F g Q Q

57 57 dnn rsdual mpuls rspons funon. Ovnfor forslld v os a man unn ndgv n bolus dr nd væv momnan. D r un mulg md n mcro anyl og r prass mulg bors vd nl dyrforsøg. Som ofs ønsr v a ndgv n racr llr onrassof som n bolus nd n prfr vn. D vl ald bvr racrn llr onrassoff anommr l væv md forsllg hasghd og n fordlng som r udgla og lang fra a brag som n momnan ndgv bolus. Hr ommr ovnsånd formalsm os l hjælp d v blo sal mål arroncnraonn som funon af dn. V an forsll os a dn udglad dsprs arr npu bsår af n ræ d undlg or npu hvr md mængdn C F d. Dnn bragnng vl som vs ovnfor nop før l foldnngs ngral. Indn v forladr foldnng sal d vss a dr r n spcl sammnhæng mllm foldnng og Fourrransformaon. V ønsr a Fourr ransformr dn onnur funon g fold md dn onnur funon f: d d f g d f g xp- an omsrvs l xp--xp- som ndsæs: G F d g F d F g d d f g d d f g d d f g d d f g d d f g d f g hvor F og G bgnr hnholdsvs Fourr ransformaonn af f og g. f d sr man a foldnng dsdomæn svarr l a man mulplsrr frvnsdomæn. D an man bny sg af prass. Hvs man sal fold o funonr an man førs Fourr ransformr bgg funonr, hrfr mulplsr d Fourr ransformrd sørrlsr og hrfr ag dn omvnd Fourr ransformaon hvorfr man har d ønsd rsula. D an også vss a vs man mulplsrr g md f, så svarr d l a G folds md F alså: Gå lbag l fg.9 og prøv a forlar hvordan sds sænng an anvnds d lfæld.

58 Fgur Fg. Bfor flrng fr flrng 58

59 Fg.3_ 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g-x F gx fx

60 Fg.3_ 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g-x F gx fx

61 Fg.3_3 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g4-x F4 gx fx

62 Fg.3_4 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g5-x F5 gx fx

63 Fg.3_5 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g6.5-x F6.5 gx fx

64 Fg.3_6 5 5 fx bfor flrng gx h flr gx-x g7-x F7 gx fx

65 Fg.4 Fg.4_ 65

66 Fg.4_3 66

67 Fg.4_4 67

68 Fg.4_5 68

69 Fg.4_6 69

70 7

20 Prisindeks for ejendomme

20 Prisindeks for ejendomme 77 20 Prndk for ndomm 20. Grundlæggnd nformaon om ndk 20.. Navn Prndk for ndomm. 20..2 Formål Formål md rndk for ndomm r a ly rudvklngn å fa ndom. 20..3 Dæknng Prndk for ndomm omfar ndomm hl land. ndkn

Læs mere

Betinget hæftelse. Et regneeksempel 01-04-2014

Betinget hæftelse. Et regneeksempel 01-04-2014 Btingt hæftls Et rgnsmpl 01-04-2014 1 Indldning Notatt sr lidt nærmr på sammnhængn mllm btingt hæftls og dt forvntd afast for ationærr og rditorr i n (finansil) virsomhd, hvor gnapitalandln r lav. Notatt

Læs mere

Facits til Adgangseksamen MA

Facits til Adgangseksamen MA Facis il Adgangssamn MA Jan 00 Opg. a ½cos b cos c / / ln Opg. a / b c 0 0 Opg. a f =f = b 8/ c ln- Opg. a 00 0 b = -/ c = + / Opg. a f cos b f cos Maj 00 Opg. a ½ b ln-/ Opg. a + + = 0 b c /7 d 7 Opg.

Læs mere

. k er en konstant. Endvidere antages det i d), at gx ( 0) 0. I e) antages det, at f er differentiabel i x 0 og g er differentiabel i y 0

. k er en konstant. Endvidere antages det i d), at gx ( 0) 0. I e) antages det, at f er differentiabel i x 0 og g er differentiabel i y 0 0BRgnrglr for ubstmt intgralr I dtt lill tillæg skal vi s på n sætning, som angivr d rgnrglr, dr gældr for ubstmt intgralr (intgralr udn grænsr), samt giv t bvis for sætningn. Da vi i bvist skal gør brug

Læs mere

Dekomponering af arbejdsproduktivitetvæksten før og under krisen

Dekomponering af arbejdsproduktivitetvæksten før og under krisen Kop: d. 4.10.2013 Sørn Arnbrg Baggrundsnoa Dkomponrng af arbjdsprodukvvæksn før og undr krsn D noa analysrr dn samld produkvsvæks dn prva skor (for vrksomhdr md mnds 20 bskæfgd). Dn samld væks opdls o

Læs mere

Aalborg Universitet. Hygrotermisk Bygningssimulering Steen-Thøde, Mogens. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF

Aalborg Universitet. Hygrotermisk Bygningssimulering Steen-Thøde, Mogens. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF Aalborg Unvrs Hygrormsk Bygnngssmulrng Sn-hød, Mogns ublcaon da: 8 Documn Vrson Også kald Forlags DF nk o publcaon from Aalborg Unvrsy aon for publshd vrson (AA: Sn-hød, M. (8. Hygrormsk Bygnngssmulrng:

Læs mere

Kære elever og forældre

Kære elever og forældre r v l l t s d a P f a n å L n u m m o K d l k s o R Kær lvr og forældr V r glad for at kunn udlån Pads tl lvrn. Pad n blvr t vgtgt arbjdsrdskab skoln. Pad n tlhørr skoln, og lvn og I som forældr har ansvart

Læs mere

For at illustrere metoden vil vi vende tilbage til skivebølgelederen vi tidligere har set på n 2. a n 1 z

For at illustrere metoden vil vi vende tilbage til skivebølgelederen vi tidligere har set på n 2. a n 1 z Computrmodllrg II ft dffrc mtod Ft dffrc FD mtod går ort træ ud på t rsttt d fldd dffrtllgg md pprosmto bsrt på dlg dffrsr. Dtt f.s s ud på flg. måd: For t llustrr mtod vl v vd tlbg tl svbølgldr v tdlgr

Læs mere

Eksempler på Fysikkens Differentialligninger

Eksempler på Fysikkens Differentialligninger Esplr på Fsins Dirnialligningr Ol Wi-Hansn Køg Gnasiu 8 Indold Kap. Førs ordns dirnialligningr.... Trs aængigd a øjdn ovr jordovrladn.... Radioaiv naldsædr... Kap. Andn ordns dirnialligningr...5. Rlin

Læs mere

Lokalplanområdets placering i Haderslev

Lokalplanområdets placering i Haderslev LOKALPLANOMRÅDET Lokalplanområdts placring Lokalplanområdts placring i Hadrslv LOKALPLANOMRÅDETS BELIGGENHED Lokalplanområdt omfattr t områd bliggnd på hjørnt af Grønningn og Aarøsundvj i dn sydlig dl

Læs mere

slagelse uddannelses- og karrierefestival

slagelse uddannelses- og karrierefestival 4 1 K U r på S l l i t s om ud s n? d m n m r o k ad v Vl h g o op r d a v H Vlkommn som udstillr på SUK-fstivaln Vlkommn i flokkn af ngagrd udstillr, dr år ftr år r md til at gør SUKfstivaln til Vstsjællands

Læs mere

4997,- 14997,- Giv mig bare lige en Prof hjemmeside. Tegn & Byg min Marketings hjemmeside. Tegn & Byg den komplette Virksomhedsside (+45) 20 77 21 94

4997,- 14997,- Giv mig bare lige en Prof hjemmeside. Tegn & Byg min Marketings hjemmeside. Tegn & Byg den komplette Virksomhedsside (+45) 20 77 21 94 HJEMMESID E TILBUD Gv mg g n Pf hjmmsd Jg v hv n sm & fssn hjmmsd, s gg gd å. (Bd, s, Vd, ns) Fnd fgf dn d T Fv, Ts, Bd E Wdss Fnd dn s å dn ny hjmm sd. Tgn & Byg mn Mngs hjmmsd Jg v gn nm unn ænd svcs,

Læs mere

Arbejdsløsheden hastigt på vej mod 100.000 - en underfinansieret skattereform løser ikke krisen

Arbejdsløsheden hastigt på vej mod 100.000 - en underfinansieret skattereform løser ikke krisen 26. fbruar 29 af Spcialkonsulnt Erik Bjørstd Dirkt tlf. 33 55 77 15 og Chfanalytikr Frdrik I. Pdrsn Dirkt tlf. 33 55 77 12 llr 28 42 42 72 Rsumé: Arbjdsløshdn hastigt på vj mod 1. - n undrfinansirt skattrform

Læs mere

1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017

1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017 Socialudvalgt Skrtariatt: 1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017 1 Grønnmosværkstdrn nyt tag 2.100 - - 1.200 2 Ådaln ny tag mm 2.829 3 Fornyls og opgradring af brand- og kaldanlæg på pljcntrn 4.149 2.450

Læs mere

Projekt 8.4 Løsning af differentialligningen y + b y

Projekt 8.4 Løsning af differentialligningen y + b y Hvad r mamaik? A ISBN 978-87-766-497-4 Projkr: Kapil 8. Projk 8.4 Løsning af dn linr andnordns diffrnialligning Projk 8.4 Løsning af diffrnialligningn y + y + y= Vd a ygg vidr på d løsningsmodr, vi havd

Læs mere

STUDIEBOG NAVN: KLASSE:

STUDIEBOG NAVN: KLASSE: Sudign udylds g hlds ajur a ursisn. Enl asni, såsm aglig mål g mpncr udylds i samarjd md d nl aglærr STUDIEBOG NAVN: KLASSE: qwryuipasdghjlzxcvnmq wryuipasdghjlzxcvnmqw ryuipasdghjlzxcvnmqwr yuipasdghjlzxcvnmqwry

Læs mere

Ledelse i det grænseløse arbejdsliv Individet træder mere frem i det moderne arbejdsliv

Ledelse i det grænseløse arbejdsliv Individet træder mere frem i det moderne arbejdsliv Ld d grænø rbjdv Indvd rædr mr frm d modrn rbjdv Sgn Groh-Brodrn Novmbr, 2011 Dgordn Sgnd kompk r krv om vd Svdn r cnr dmnonr Ld f vd Dkuon 8. novmbr, 2011 Sgnd kompk r krv om vd Mughdn for rbjd hvor om

Læs mere

REDEGØRELSE REVIDEREDE VISUALISERINGER D. 12.05.14

REDEGØRELSE REVIDEREDE VISUALISERINGER D. 12.05.14 REDEGØRELSE D. 12.05.14 REVIDEREDE VISUALISERINGER Indigl i høringpriodn Nærvæd rdgørln agr afæ i, a dr r indkomm n indigl i høringpriodn dr pgr på; 1. Er d mdnd foo fra indigr og bilag 5 i lokalplann

Læs mere

Program. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin

Program. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin Program Normalfordlig Hll Sørs E-mail: hll@mah.ku.dk I dag: ormalfordlig Hvad skal vi brug ormalfordlig il og hvorfor r d vigig? Hisogram og ormalfordligsæhd Brgig af sadsylighdr i ormalfordlig Er daa

Læs mere

Bilag 7 Afløbskoefficient

Bilag 7 Afløbskoefficient Bilg 7 Afløbsofficint Ovrsigt ovr fløbsofficintr og ndlsr fr lndvæsnsommissionn Indldning I dnn spildvndspln indførs dr rv til dn msiml fldning f rgnvnd fr n jndom til lon, for t undgå ovrsvømmlsr og pcittsproblmr

Læs mere

Halvårsrapport 30.06.2005

Halvårsrapport 30.06.2005 Halvårsrapport 30.06.2005 Indhold Hovdtal...3 Priodns rsultat...4 Forvntningr til frmtidn...5 Invstringsstratgi og finansil risikostyring...6 Rsultatopgørls...7 Balanc...8 Notr...10 Pn-Sam Skad forsikringsaktislskab

Læs mere

Tillykke - du har fået en ekstra affaldsbeholder

Tillykke - du har fået en ekstra affaldsbeholder Gnbrugsguidn Tillykk md din gnbrugsbholdr! Hvad MÅ komm i gnbrugsbholdrn? Hvad må IKKE komm i gnbrugsbholdrn? Tillykk - du har fåt n kstra affaldsbholdr Fra nu af hntr vi din avisr, rklamr, dåsr, glas

Læs mere

S15 - RAMMER FOR ET CIVILT LUFTHAVNSOMRADE INDENFOR FLYVESTATION TIRSTRUPS OM&E

S15 - RAMMER FOR ET CIVILT LUFTHAVNSOMRADE INDENFOR FLYVESTATION TIRSTRUPS OM&E S15 - RAMMER FOR ET CIVILT LUFTHAVNSOMRADE INDENFOR FLYVESTATION TIRSTRUPS OM&E SAh.IT L O K A L P L A M N62 7 WILCKEN & WULFF RADG CIVILINGENI@RER, FRI JUNI W79 Matr. nr. 45 Stmplfri, jfr. Skatt- Anmldr

Læs mere

Projektet. Holstebromotorvejen, delstrækningen Mejrup-Tvis

Projektet. Holstebromotorvejen, delstrækningen Mejrup-Tvis 1 Prktt Hlstbrmtrv, dlstræk Mrup-Tvs Lædprfl Vsr hødkurvr vs frløb trræt Dlstræk Mrup-Tvs (st. 16,6-25,00) 2014 2015 2016 2017 2018 Alæslv Lbstls Frudrsølsr (arkæl, tkk) Jrdfrdl Dtalbstls Eksprprat af

Læs mere

1 Talsystem. a Farv 3 primtal. Regn med potenser. i 102 105 = k 2,3 101 = l 2.456 : 102 = m 469,8 : 102 = n 21,84 : 101 = 2 Brøk.

1 Talsystem. a Farv 3 primtal. Regn med potenser. i 102 105 = k 2,3 101 = l 2.456 : 102 = m 469,8 : 102 = n 21,84 : 101 = 2 Brøk. ITLITE n l: P på s l us slvn ln, v Mlssn l. s s sn vns- Tl Opløs sns l. v vl. Rn pns.... K K N NÆ T EN l. :,, :,. IN ---- R l p øs llæ,,,,,,, - -,,,, - Tlslnn,, Ul lln: n:.... l.. - - - Pn pn Nv l ( )

Læs mere

Vi starter nu med punkt 1 på dagsordenen: valg af dirigent. Bestyrelsen peger på Einar Hoff. Er der andre forslag?

Vi starter nu med punkt 1 på dagsordenen: valg af dirigent. Bestyrelsen peger på Einar Hoff. Er der andre forslag? Vdtægtrns 8 dagsordnspunktr viss. Vi startr nu md punkt 1 på dagsordnn: valg af dirignt. Bstyrlsn pgr på Einar Hoff. Er dr andr forslag? Formandstaln 2014 Bstyrlsn bstår dsværr i dag af kun 6 bstyrlssmdlmmr

Læs mere

Prezi-kursus: Effektfulde præsentationer. Lær om Prezi og lav præsenta,oner, der imponerer mere end selv det bedste slideshow.

Prezi-kursus: Effektfulde præsentationer. Lær om Prezi og lav præsenta,oner, der imponerer mere end selv det bedste slideshow. Prz-ursus: Efftfuld præsntatonr Lær om Prz og lav præsnta,onr, dr mponrr mr nd slv dt bdst sldshow. Dt r hlt utrolgt, hvordan all AROS undrvsr formår at sæ< sg nd andr vrsomhdr og mdarbjdrs udfordrngr.

Læs mere

Hvordan er trivslen blandt eleverne på skolen (fx i forhold til mobning)?

Hvordan er trivslen blandt eleverne på skolen (fx i forhold til mobning)? Skol og Forældr Kvægtorvsgad 1 1710 Købnhavn V Tlf. 3326 1721 Fax 3326 1722 post@skol-foraldr.dk www.skol-foraldr.dk Skolbstyrlsrns bdømmls af trivsl og samarbjd i skoln Skol og Forældr har stillt n rækk

Læs mere

1 skaren af exp = den naturlige

1 skaren af exp = den naturlige Eksonntil- og ritmunktionr Rtition (rimært.-klss-sto sulrt md dirntilrgnings-ovrvjlsr) Funktionsskrn ( ) ( ) stlæggr or R + \{ } ksonntilunktionr. Scilt klds ( ) ( ) ksonntilunktion. Rrnc: GDS, s. 6-8.

Læs mere

Opmærksomhed på kropssprog og stemmeføring med særligt henblik på formidling

Opmærksomhed på kropssprog og stemmeføring med særligt henblik på formidling S i l kar ppådi kr op pr og AfDi Mar i as nmor Mål gr upp: 5. 9. k l a Undrviningforløb 5.-9.årgang Sil karp på di kropprog Opmærkomhd på kropprog og mmføring md ærlig hnblik på formidling Tidforbrug:

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lktion Lidt sandsynlighdsrgning Lidt mr om signifikanstst Logistisk rgrssion Lidt sandsynlighdsrgning Lad A vær n hændls (t llr flr mulig udfald af t ksprimnt ) Fx A Dt rgnr i morgn P(A)

Læs mere

Vedtægter for Oure Vandværk A.M.B.A.

Vedtægter for Oure Vandværk A.M.B.A. Vdtægtr for Our Vandværk A.M.B.A. VEDTÆGTER OR ANDELSSELSKABET OURE VANDVÆRK Navn og hjmstd 1 Slskabt dr r stiftt i 1948, r t andlsslskab md bgrænst ansvar (a.m.b.a.), hvis navn r OURE VANDVÆRK. Slskabt

Læs mere

01562.00. Afgørelser - Reg. nr.: 01562.00. Fredningen vedrører: Blovstrød Kirke. Domme. Taksatio ns komm iss io nen.

01562.00. Afgørelser - Reg. nr.: 01562.00. Fredningen vedrører: Blovstrød Kirke. Domme. Taksatio ns komm iss io nen. I - --- - ~------------ 01562.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 01562.00 Frdningn vdrørr: Blovstrød Kirk Domm Taksatio ns komm iss io nn Natu rklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 26-04-1951 Kndlsr Dklarationr

Læs mere

Kvantekosmologi med aftagende gravitation Forening af Mikrokosmos og Makrokosmos Hubble-parameteren forenet med Universets totale masse

Kvantekosmologi med aftagende gravitation Forening af Mikrokosmos og Makrokosmos Hubble-parameteren forenet med Universets totale masse Kvantkosmologi md aftagnd gravitation Forning af ikrokosmos og akrokosmos Hubbl-paramtrn fornt md Univrsts total mass Af Louis Nilsn, cand.scint. i fysik og astronomi Lktor vd Hrlufsholm, Næstvd Indldning

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 SkÄrmbilld fra TI-Nspir 017 Karsn Juul Diffrnialligningr for A-nivau i s, udgav 4 1 Hvad r n diffrnialligning? 1a Indldning il diffrnialligningr 1 1b OplÄg 1

Læs mere

Velkommen til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE

Velkommen til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE Vlkommn til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE Indskoling Opgavsamling 1 Indskoling opgavsamling intro TIL LÆRERNE Vd udarbjdls af opgavr til indskolingsbørnn r dr lagt vægt på, at d r tværfaglig også hvr

Læs mere

SAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w.

SAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w. 1 Sute over dnske olkesnge or blnt kor, oblgt nstrumt klver Instr Klver Rolgt c gto c Π c Arrnet Lsse Tot Erks, 009 S S T 5 5 5 9 9 stl ly ro, hvor r ned, be 1I H 0 r sn bu r h 0 re t bo,, hvor sm sko

Læs mere

best brains. Designmanual

best brains. Designmanual Dsignmanual Indhold 1.0 Logo 2.0 Typografi 3.0 Farvr 4.0 Foosil 5.0 Brug af logo 6.0 Visior 7.0 Cas sablon 8.0 Powrpoin sablon 9.0 Divrs lmnr 1.0 Logo Hr sår navn for dn ovrordnd forning Logo for Bs Brains

Læs mere

02064.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02064.00. Fredningen vedrører: Brederød. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet

02064.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02064.00. Fredningen vedrører: Brederød. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet 02064.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 02064.00 Frdningn vdrørr: Brdrød Domm Taksations komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 14-09-1954 Frdningsnævnt 10-09-1953 Kndlsr Dkla rationr OVER FREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

~~ ~~~~\ af O\.v- ~ ~~.. l~~,. by'.. ~ at lade ne~ennævnte areal af ovennævnte ejendom

~~ ~~~~\ af O\.v- ~ ~~.. l~~,. by'.. ~ at lade ne~ennævnte areal af ovennævnte ejendom 01643.03 Afgørsr - Rg. nr.: 01643.03 Frdnngn vdrørr: Hadsn Krk Domm Taksao ns kom mss onn Naurkagnævn Ovrfrdnngsnævn Frdnngsnævn 23-07-1952 Kndsr Dkaraonr FREDNNGSNÆVNET> / --... ";:JL... '''''''''L'-4...

Læs mere

Estimation af CES-produktionsfunktioner

Estimation af CES-produktionsfunktioner Esmaon af CES-produkonsfunkonr md Törnqvs - llr Paaschkædprsndks som approksmaon for CES prsndks. - E Mon Carlo smulaonssud Andras Øsrgaard Ivrsn Dansh Raonal Economc Agns Modl, DREAM DREAM Arbjdspapr

Læs mere

Hold gulvene rene. Rubett skrabemåtte

Hold gulvene rene. Rubett skrabemåtte T l ko n o r r, b u k k r & j o r d b r u g r ALT TIL n d l Kval - ald! f r å r 2 012 KONTORET - nm & lokal Hold gulvn rn LED Lamp l Phon Dasonc - 5 bhaglg lysndsllngr, højalr, afspllr fra Phon o.a. Fås

Læs mere

FOLD BILLIE. Billie, se lige hvor langt mit papirfly kan flyve! 3 Fold de to hjørner indtil midten.

FOLD BILLIE. Billie, se lige hvor langt mit papirfly kan flyve! 3 Fold de to hjørner indtil midten. U D R E D L O SÅDAN F Y L F R I P A P ET SEJT FOLD BILLIE S BEDSTE PAP IRFLY! lv. mm at lav s n : l h t d st af st papirfly. n flyv og bd r Billis hurtig l m D r sjov, ka sa u d an hr hvord Billi visr

Læs mere

03381.01. Afgørelser - Reg. nr.: 03381.01. Fredningen vedrører: Nærum Vænge Blodbøg. Domme. Taksations komm iss ionen.

03381.01. Afgørelser - Reg. nr.: 03381.01. Fredningen vedrører: Nærum Vænge Blodbøg. Domme. Taksations komm iss ionen. 03381.01 Afgørlsr - Rg. nr.: 03381.01 Frdningn vdrørr: Nærum Væng Blodbøg Domm Taksations komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt Kndlsr Dklarationr 11-10-1959 DEKLARATIONER> REG. NR.

Læs mere

Halvårsrapport 30.06.2005

Halvårsrapport 30.06.2005 Halvårsrapport 30.06.2005 Indhold Hovd- og nøgltal...3 Priodns rsultat...4 Forrtningsområd...5 Forvntningr til frmtidn...6 Rgnskabspraksis...7 Rsultatopgørls...8 Balanc...9 Notr...10 Pn-Sam Bank A/S CVR-nr.

Læs mere

Sportsfiskerforeningen ALS medlem af Danmarks Sportsfiskerforbund

Sportsfiskerforeningen ALS medlem af Danmarks Sportsfiskerforbund Fmandn ha d... D lig nu, a fåssæsnn på si højs. Vandmpaun på ysn nd, så d i un i afn g naimn, a d chanc f sølvøj. D gså mlding m fangs af sj i n søls, så d an pæs n figh fuld på højd md n gd havød. I Glså

Læs mere

Repetition: Ikke-kontinuert (diskret) stokastisk variabel, middelværdi, varians og spredning, sandsynlighedsfordeling og fordelingsfunktion

Repetition: Ikke-kontinuert (diskret) stokastisk variabel, middelværdi, varians og spredning, sandsynlighedsfordeling og fordelingsfunktion NORMALORDELING MIDDELVÆRDI, VARIANS, SREDNING SANDSNLIGHEDSORDELING OG ORDELINGSUNKTION NORMALORDELING OG STANDARD-NORMALORDELING SAMMENLIGNING MED BINOMIALORDELINGEN KONIDENSINTERVALLER REGRESSIONSANALSE

Læs mere

02831.00. .Afgørelser - Reg. nr.: 02831.00. Fredningen vedrører: Randlev Mose. Domme. Taksati ons kom miss ione n.

02831.00. .Afgørelser - Reg. nr.: 02831.00. Fredningen vedrører: Randlev Mose. Domme. Taksati ons kom miss ione n. 02831.00.Afgørlsr - Rg. nr.: 02831.00 Frdningn vdrørr: Randlv Mos Domm Taksati ons kom miss ion n Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 28-11-1963 Frdningsnævnt 08-08-1962 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

Elektronens specifikke ladning

Elektronens specifikke ladning Elktronns spcifikk ladning Martin Gislr 25. aj 2001 Indhold 1 Forål 1 2 Udførls 1 3 Toriafsnit 2 3.1 Sprdning............................. 3 4 Forsøgsrsultatr 4 5 Bhandling af forsøgsrsultatr 4 6 Diskussion

Læs mere

Er det et problem at være ufaglært i Danmark?

Er det et problem at være ufaglært i Danmark? 36 afuø r 3 br 215 Er prbl a vær ufaglær Daar? Er prbl a vær ufaglær Daar? D ufaglær ø ua r br u, ag frllr g E algg af ufaglær g faglær vr, a ufaglær abr lvfrløb, æ r faglær D ufaglær ø ua bør rfr uacr

Læs mere

Bryd frem mit hjertes trang at lindre

Bryd frem mit hjertes trang at lindre Bryd lad frem n mt tet hj for tes hæng Bryd frem mt hjtes trang at lndre trang me at re ln hn dre, dre sol, stol; du ar me synd res dag mn nd gang tl vor nå de Sv.Hv.Nelsen Februar 2005 lad lad den d k

Læs mere

I projekt 4.9 viser vi, at i dette tilfælde bestemmes løsningerne ud fra følgende:

I projekt 4.9 viser vi, at i dette tilfælde bestemmes løsningerne ud fra følgende: Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr Proj 4.0 Mamais fisrimodllr D førs mamais fisrimodllr blv sab i Sorbriannin i 50 rn. Mål md modllrn var a rgn sig frm il, vordan man på

Læs mere

Alders-mix udfordrer os alle på den gode måde

Alders-mix udfordrer os alle på den gode måde -------------------------------------------------------------------------- Nyhdsbrv nr. 21 juni 2014 -------------------------------------------------------------------------- S, hvor små vi var! Dt r

Læs mere

Dette spørgeskema indeholder derudover tre åbne spørgsmål, hvor I har mulighed for at lægge billet ind på konkurrencens øvrige priser:

Dette spørgeskema indeholder derudover tre åbne spørgsmål, hvor I har mulighed for at lægge billet ind på konkurrencens øvrige priser: Årts sundst virksomhd 2009 Spørgskmat udgør ldlsns bsvarls til konkurrncn "Årts sundst virksomhd 2009" samt mulighd for at dltag i d tr kstra prisr. Prisn "Årts sundst virksomhd 2009" ovrrækks af ministr

Læs mere

07644.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07644.00. Fredningen vedrører: Nordre Strandvej, Ebeltoft. Domme. Taksatio nskomm iss ionen.

07644.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07644.00. Fredningen vedrører: Nordre Strandvej, Ebeltoft. Domme. Taksatio nskomm iss ionen. 07644.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07644.00 Frdningn vdrørr: Nordr Strandvj, Ebltoft Domm Taksatio nskomm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 14-012-1983 Kndlsr Dklarationr FREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

Aarhus Midtby. Lydglimt om besættelsen. Kend Aarhus. Læs mere på internettet

Aarhus Midtby. Lydglimt om besættelsen. Kend Aarhus. Læs mere på internettet Aarhus Midtby Knd Aarhus Læs mr på intrnttt Dr r t væld af oplysningr på intrnttt om d stdr, du bsøgr. Blandt andt på www.knd-aarhus.dk, hvor oplysningrn i dnn foldr finds. Hr findr du også andr tmatur

Læs mere

05399.00. Afgørelser - Reg. nr.: 05399.00. Fredningen vedrører: Moe's Grund. Domme. Taksati ans kom miss ione n. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet

05399.00. Afgørelser - Reg. nr.: 05399.00. Fredningen vedrører: Moe's Grund. Domme. Taksati ans kom miss ione n. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet 05399.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 05399.00 Frdningn vdrørr: Mo's Grund Domm Taksati ans kom miss ion n Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 25-11-1970 Kndlsr Dklarationr FREDNNGSNÆVNET> 401 ALLNGE

Læs mere

Kursregulering af statens obligationsgæld

Kursregulering af statens obligationsgæld Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbjdspapir (UDKAS) Claus Færch-Jnsn 3. spmbr 24 Kursrgulring af sans obligaionsgæld Rsumé: Dr opsills n ligning for kursrgulring af sans obligaionsgæld vd hjælp af MacAulays

Læs mere

De fleste børn er klar til at sige farvel til bleen i to-treårsalderen. projek

De fleste børn er klar til at sige farvel til bleen i to-treårsalderen. projek D flst børn r klar til at sig farvl til bln i to-trårsaldrn d m s Få succ n l b d i m s t projk 68 VO R E S BØRN tma farvl, bl! 69 72 72 74 Er dit barn klar til at smid bln? Hygglig potttræning Potttræning

Læs mere

Det siger FOAs medlemmer om mere tid til borgerne

Det siger FOAs medlemmer om mere tid til borgerne D sg FOAs mlmm om m l bogn FOA Analysskonn 21. mas 2007 Rgngn afhol n 22. mas s fj mamø om kvalsfomn. D fj mamø h Nyænknng, konkunc og ms kval fo pngn. FOA nv l mø. Tma hanl blan an om, hvoan man øg n

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

02760.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02760.00. Fredningen vedrører: Grævlingehøj. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet

02760.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02760.00. Fredningen vedrører: Grævlingehøj. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet 02760.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 02760.00 Frdningn vdrørr: Grævlinghøj Domm Taksations komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 07-11-1962 Frdningsnævnt 06-02-1962 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !StreetFestival!Den interne trafik!sæt kryds i kalenderen!

N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !StreetFestival!Den interne trafik!sæt kryds i kalenderen! N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E Cilia vd Strtfstival i Grønngad 17. oktobr!strtfstival!dn intrn trafik!sæt kryds i kalndrn!vlkommn Ungdomsrådts bsøg fra Holland

Læs mere

Lokalplan 54/2011. Boligområde ved Håndværkerparken i Hobro

Lokalplan 54/2011. Boligområde ved Håndværkerparken i Hobro Lokalplan 54/2011 Boligområd vd Håndværkrparkn i Hobro Hvad r n lokalplan? En lokalplan fastlæggr bindnd bstmmlsr for udnyttlsn af jndomm indn for planns områd. Bstmmlsrn kan omhandl dn frmtidig anvndls

Læs mere

De følgende spørgsmål omhandler den teoretiske undervisning på modul 7. 2) Hvordan har dit læringsudbytte været i undervisningen i følgende temaer:

De følgende spørgsmål omhandler den teoretiske undervisning på modul 7. 2) Hvordan har dit læringsudbytte været i undervisningen i følgende temaer: Evaluring modul 7 Hold; BosE2014 Forår 2016. D følgnd spørgsmål omhandlr dn tortisk undrvisning på modul 7. 1) Hvordan vurdrr du din studiaktivitt i modult? 6 var mgt tilfrds llr tilfrds 2 var utilfrds

Læs mere

MU H. Musen siger. aktive remser og sproglege med de mindste. Lotte Salling. Lotte Salling har blandt andet udgivet bøgerne: Varenr.

MU H. Musen siger. aktive remser og sproglege med de mindste. Lotte Salling. Lotte Salling har blandt andet udgivet bøgerne: Varenr. Lott Salling Når vi gør børn nysgrrig på sprog, fortælling og læsning så tidligt som ovr hovdt muligt, øgs drs chancr for at tilgn sig t vludviklt sprog og dr md opnå lttr adgang til social kontaktr og

Læs mere

06183.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06183.00. Fredningen vedrører: Skyttegård. Domme. Taksations komm iss io nen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet

06183.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06183.00. Fredningen vedrører: Skyttegård. Domme. Taksations komm iss io nen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet 06183.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 06183.00 Frdningn vdrørr: Skyttgård Domm Taksations komm iss io nn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 13-09-1976 Kndlsr Dklarationr FREDNINGSNÆVNET> L.J (h At"IR',-ny

Læs mere

AARHUS MIDTBY. Vikingetiden 5+6 9. Tema 1:5.000. Lille Torv. Store Torv. Domkirke. Magasin Bibliotek. Bispetorv. ARos. Musikhus. Rådhus.

AARHUS MIDTBY. Vikingetiden 5+6 9. Tema 1:5.000. Lille Torv. Store Torv. Domkirke. Magasin Bibliotek. Bispetorv. ARos. Musikhus. Rådhus. Tma Nø rr g Vikingtidn AARHUS MIDTBY 0 100 200 300 m 1:5.000 ÅRHUS r Nø é 12 2 3 11 Lill Torv 17 8 Magasin Bibliotk Stor Torv 15 10 Domkirk 1 Bisptorv 14 7 18 16 4 Sø nd rg V s t r A l l é 5+6 9 V Øst

Læs mere

Kvalitet og relevans i professionsuddannelserne. Dansk Sygepleje Selskab 21. maj 2015 NYE VEJE OG HØJE MÅL

Kvalitet og relevans i professionsuddannelserne. Dansk Sygepleje Selskab 21. maj 2015 NYE VEJE OG HØJE MÅL Kva og van i pofionddannn Dan Sygpj Sab 21. maj 2015 OG HØJE MÅL M f ib M f ib d d a n n Dan niv om i vdnm, d d å aæ n vd, n i foning. Nioaj Lbani Danma igg i fohod i in ø innaiona i op, an om man må på

Læs mere

AKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD. Organisation og arbejdspsykologi Ledelse i praksis Erhvervsøkonomi Coacing i organisationer Projektstyring i praksis

AKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD. Organisation og arbejdspsykologi Ledelse i praksis Erhvervsøkonomi Coacing i organisationer Projektstyring i praksis KURSUSCENTRETS UDBUD -2. halvår 2012 AKADEMI FAG Organisation og arbjdspsykologi Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coacing i organisationr Projktstyring i praksis Ta t slvstændigt uddannlssforløb - llr ta

Læs mere

Moderne Fysik 9 Side 1 af 6 Kernefysik og Stjerneliv

Moderne Fysik 9 Side 1 af 6 Kernefysik og Stjerneliv Modrn Fysik 9 Sid 1 af 6 Sidst gang: Elmntarpartiklr og naturkræftr samt univrsts udvikling. I dag: Atomkrnr og krnprocssr samt stjrnrs livsforløb. Atomkrnr Krnfysikkn blv født i 1896, hvor Hnri Bcqurl

Læs mere

GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG

GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG DOKUMENTATION OPGAVEBESKRIVELSE Dtt r n opgav som r lavt privat, da jg havd t ønsk om at lav min gn opskriftsbog. Idn bag dnn opskriftsbog r at, man

Læs mere

Kære tillidsrepræsentant, 10. maj 2008

Kære tillidsrepræsentant, 10. maj 2008 Kær tillidsrpræsntant, 10. maj 2008 Ndnfor vil vi rdør for brninn af konfliktundrstøttls o dn ændrin hraf, som vi i hovdbstyrlsn har bsluttt. Dr r samtidi md dnn rdørls frmsndt t brv til jordmødrn, som

Læs mere

œ b œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ

œ b œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ sk lnd Musk ShuDuAh rr. rg Ruy Tr 1 n n Tr 2 sk sk sk lnd lnd lnd n d sg md m t ul st h rt sk lnd n sg sk lnd d md m sk lnd t ul st h ss sk sk sk lnd lnd lnd n d sg md m t ul st h sk sk sk lnd lnd lnd

Læs mere

Rettelsesoversigt - Håndbog for Almen praksis

Rettelsesoversigt - Håndbog for Almen praksis Rttlssovrsigt - Håndbog for Almn praksis Sid Kapitl / standard Hvor kan jg hnt hjælp? Afsnit fjrns fra håndbogn, da dt frmgår på startsidn for almn praksis, at man også kan hnt hjælp hos DAK http://www.dak.dk/flx/dk/almnpraksis/og

Læs mere

Notat. Forslag til ekstraordinære tiltag som kan imødekomme udgiftspresset for hele Social- og Sundhedsudvalgets område i 2015.

Notat. Forslag til ekstraordinære tiltag som kan imødekomme udgiftspresset for hele Social- og Sundhedsudvalgets område i 2015. Til: CENTER FOR SOCIAL OG SUNDHED Økonomistyring Dato: 30. juni 2015 Notat Forslag til kstraordinær tiltag som kan imødkomm udgiftsprsst for hl Social- og Sundhdsudvalgts områd i 2015. Ndnstånd r forslag,

Læs mere

KURSUSCENTRETS UDBUD AKADEMI FAG

KURSUSCENTRETS UDBUD AKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD -2. halvår 2013 AKADEMI FAG Organisation og arbjdspsykologi Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coaching og konflikthåndtring Projktstyring i praksis Social mdir HRM Ta t slvstændigt uddannlssforløb

Læs mere

07500.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07500.00. Fredningen vedrører: Sømarken. Domme. Taksations kom miss ionen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet

07500.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07500.00. Fredningen vedrører: Sømarken. Domme. Taksations kom miss ionen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet 07500.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07500.00 Frdningn vdrørr: Sømarkn Domm Taksations kom miss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 18-06-1982 Kndlsr Dklarationr FREDNNGSNÆVNET> 5 ( 1 neg. NR. 07500.000

Læs mere

UDBUD. -1. halvår 2014 AKADEMI FAG

UDBUD. -1. halvår 2014 AKADEMI FAG UDBUD -1. halvår 2014 AKADEMI FAG Dt stratgisk ldrskab Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coaching og konflikthåndtring Positiv psykologi i ldls Tag t slvstændigt uddannlssforløb - llr tag fagt som n dl af

Læs mere

VESTRE KLITVEJ GRANVEJ BAKKEVEJ LANDEV

VESTRE KLITVEJ GRANVEJ BAKKEVEJ LANDEV ØRR DURS OMMU TRAFI FLL R U S T R A D, F Æ L L D V O G Æ RV FLLRU STRAD SOMMRHUSOMRÅD rincipskits for trafik mv. ortgrundlag: MS topografisk kort Mål ca. :.7 S STI AV OLM BØSH H LV A TI S nd a str O Z

Læs mere

Kommentarer til. Faglige mål. RELATEREDE FORLØB TIL PROCENT i 7.-9. KLASSE. Matematrix og dette kapitel

Kommentarer til. Faglige mål. RELATEREDE FORLØB TIL PROCENT i 7.-9. KLASSE. Matematrix og dette kapitel Kommntarr til procnt Faglig mål Kapitlt læggr op til, at lvrn konsolidrr og vidrudviklr drs forståls af sammnhængn mllm n værdi angivt som procnt, brøk og dcimaltal. lærr forskllig formr for procntbrgning

Læs mere

Holdelementnavn XPRS fagbetegnelse (kort) Norm. elevtid (skoleår) Lektioner (antal) 1g ap Almen sprogfors 0 28 totalt 3g as Astronomi 44 1g bk

Holdelementnavn XPRS fagbetegnelse (kort) Norm. elevtid (skoleår) Lektioner (antal) 1g ap Almen sprogfors 0 28 totalt 3g as Astronomi 44 1g bk Holdelementnavn XPRS fagbetegnelse (kort) Norm. elevtid (skoleår) Lektioner (antal) 1g ap Almen sprogfors 0 28 totalt 3g as Astronomi 44 1g bk Billedkunst 47 1g bi Biologi 10 41 2a BI Biologi 45 95 2c

Læs mere

SVEJSESAMLINGER DS/EN 1993-1-8

SVEJSESAMLINGER DS/EN 1993-1-8 SVEJSESALNGER DS/EN 199-1-8 Bærvn for smlngr svjslg konstruktonsstål hnhol tl DS/EN 199-1-1 Bærvnn rgns for ftrvst, hvs følgn utrk gg r oflt: t, r ss ort fr fu fu σ ( 0 ) σ 0,9 normlsænngn σ 0 β w γ γ

Læs mere

06164.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06164.00. Fredningen vedrører: Bøgebjerg. Domme. Taksatio ns komm iss ionen. Naturklagenævnet

06164.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06164.00. Fredningen vedrører: Bøgebjerg. Domme. Taksatio ns komm iss ionen. Naturklagenævnet 06164.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 06164.00 Frdningn vdrørr: Bøgbjrg Domm Taksatio ns komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 15-06-1977 Frdningsnævnt 26-07-1978 Kndlsr Dklarationr OVERFREDNINGSNÆVNET>

Læs mere

De fem friheder for dyr

De fem friheder for dyr 31-10-2015 Dyrvlfærdskontrol i fårbsætningr Hvad skal I hør? Hvad r dyrvlfærd? Hvordan gnnmførs t kontrolbsøg? Hvad skal du hav styr? Vi arbjdr md mnnskr, dyrvlfærdn flytts ignnm landmandn og mdarbjdrn!

Læs mere

ANSØGNING. Ansøgning til Cyklistforbundets og Nordea Fondens pulje til anlæg af en cykellegebane

ANSØGNING. Ansøgning til Cyklistforbundets og Nordea Fondens pulje til anlæg af en cykellegebane ANSØGNING Ansøgning til Cyklistforbundts og Norda Fondns pulj til anlæg af n cykllgban Høj Taastrup Kommun søgr Cyklistforbundts og Norda Fondns pulj til anlæg af n cykllgban i Gadhavkvartrt. Cykllgbann

Læs mere

Ny Boligbebyggelse, Kirketerp Præsentationsfolder - side 01 af 14 NY BOLIGBEBYGGELSE, KIRKETERP HOBRO, DELOMRÅDE 1

Ny Boligbebyggelse, Kirketerp Præsentationsfolder - side 01 af 14 NY BOLIGBEBYGGELSE, KIRKETERP HOBRO, DELOMRÅDE 1 11.04.2016 Ny bbyggls, Kirkrp Præsnaionsfoldr - sid 01 af 14 NY OLIGEYGGELE, KIRKETERP HORO, DELOMRÅDE 1 NY OLIGEYGGELE KIRKETERP, HORO DELOMRÅDE 1 PROJEKTEKRIVELE 17 RÆKKEHUE MED PRING I HØJDER OG FA-

Læs mere

ET VARMT OG VENLIGT SAMFUND

ET VARMT OG VENLIGT SAMFUND ET VARMT OG VENLIGT SAMFUND Danskrn r vrdnsstr til vlfærd og osorg Mn vi r også vrdnsstr til rglr, kontrol og straffsystr... Vi kunn åsk brug lidt r tillid Tillid skabr var og vnlighd www..altomnnskr.dk

Læs mere

REFERAT/DAGSORDEN Ekstraordinært. Mikael F. Sørensen, Anja M. Jensen, Litha Skjolden, Jette Bjerg Brix, Jens Josephsen,

REFERAT/DAGSORDEN Ekstraordinært. Mikael F. Sørensen, Anja M. Jensen, Litha Skjolden, Jette Bjerg Brix, Jens Josephsen, REFERAT/DAGSORDEN Ekstraordinært SB-mød Skolvængt 12. novmbr 2015 kl. 18.15-20.15 Til std: Forældr Mdarbjdr Elvr Ldls Mikal F. Sørnsn, Anja M. Jnsn, Litha Skjoldn, Jtt Bjrg Brix, Jns Josphsn, Marik Wijbnga-Bijma

Læs mere

\0169.00 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953. Bal slev kirke. Ejby Balslev

\0169.00 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953 8/1-1953 7/1-1953. Bal slev kirke. Ejby Balslev ~) 01989.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 01989.00 Frdningn vdrørr: Balslv Kirk Domm Taksatio ns komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 07-01-1953 Kndlsr Dklarationr FREDNNGSNÆVNET> Navn: Bal

Læs mere

Du danske sommer, jeg elsker dig

Du danske sommer, jeg elsker dig Rev 18023 Synges evt. halv eller hel tone høere S A T B 1. Du Du danske sommer, eg elsker dg dan ske som mer eg dan ske som mer eg dan - ske som - mer eg el - sker dg, skønt du så of - te har - - el -

Læs mere

Forslag til Kommuneplan 2009 Rammer De konkrete rammer er sidenummereret fortløbende. Lokalsamfundsbeskrivelser er sidenummereret enkeltvis.

Forslag til Kommuneplan 2009 Rammer De konkrete rammer er sidenummereret fortløbende. Lokalsamfundsbeskrivelser er sidenummereret enkeltvis. Forslag til Kommunplan 2009 Rammr D konkrt rammr r sidnummrrt fortløbnd. Lokalsamfundsbskrivlsr r sidnummrrt nkltvis. 01/09/08 Lokalsamfund 1 - Midtbyn 01-06 MDTBYEN Midtbyn bstår af bydln City, Frdriksbjrg,

Læs mere

På CD en findes også en facitliste til opgavesiderne.

På CD en findes også en facitliste til opgavesiderne. Forord. Opgavrn r æn som supplmn il læsbøgrn, hvis bhov r dr. Opgavrn r n god mulighd for: - a lv og lærr an j d læs sof, f.s. i forbindls md læsursus i lassn - a vidrudvil lvns sproglig ompncr. Opgavrn

Læs mere

Fire Salmer. [Four Psalms] Op.74. Edvard Grieg (1843-1907) I. HVAD EST DU DOG SKJÖN SATB & BARITONE SOLO

Fire Salmer. [Four Psalms] Op.74. Edvard Grieg (1843-1907) I. HVAD EST DU DOG SKJÖN SATB & BARITONE SOLO Fr Sm [Fur Psms] O.74 1906 Edvard Grg (143-1907) I. HVAD EST DU DOG SKJÖN SATB & BARITONE SOLO II. III. JESUS KRISTUS ER OPFAREN SATB & BARITONE SOLO IV. I HIMMELEN SATB & BARITONE SOLO GUDS SÖN HAR GJORT

Læs mere

Landbohøjskolens Have og Botanisk Have. Samarbejde med frivillige Venneforeninger og frivillige i parker og haver!

Landbohøjskolens Have og Botanisk Have. Samarbejde med frivillige Venneforeninger og frivillige i parker og haver! h d U- r n g l æ d nhdns Landbohøjskolns Hav Botanisk Hav Samarbjd md frivillig Vnnforn frivillig i park hav! Landbohøjskolns Hav Botanisk Hav Købnhavns Univsitt Botanisk Hav - Rasmus N Klost Landbohøjskolns

Læs mere

PROJEKTBESKRIVELSE. ligeledes mulighed for at udbygge Campus Bornholm mod nord.

PROJEKTBESKRIVELSE. ligeledes mulighed for at udbygge Campus Bornholm mod nord. CAMPUS BORNHOLM DECEMBER 2010 PROJEKTBESKRIVELSE CAMPUS BORNHOLM Campus Bornholm r n nstånd mulighd for at skab t dynamisk, innova!vt, kra!vt uddannlssmiljø på Bornholm af høj kvalitt. Campus Bornholm

Læs mere

Institutions navn Hovedadresse H. By Udbudsby Kommentar. Absalonsvej 20 Holbæk Kalundborg. Selandia - CEU Bredahlsgade 1 Slagelse Slagelse

Institutions navn Hovedadresse H. By Udbudsby Kommentar. Absalonsvej 20 Holbæk Kalundborg. Selandia - CEU Bredahlsgade 1 Slagelse Slagelse Udbud Hovdområd/ uddannls Institutions navn Hovdadrss H. By Udbudsby Kommntar EUC Nordvstsjælland Absalonsvj 20 Holbæk Kalundborg Slandia - CEU Brdahlsgad 1 Slagls Slagls EUC Sjælland Jagtvj 2 Næstvd Næstvd

Læs mere

07640.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07640.00. Fredningen vedrører: Plet Enge, Sønderho1me. Enge. Domme. Taksationskommissionen 23-04-1985

07640.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07640.00. Fredningen vedrører: Plet Enge, Sønderho1me. Enge. Domme. Taksationskommissionen 23-04-1985 07640.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07640.00 Frdningn vdrørr: Plt Eng, Søndrho1m Eng Domm Taksationskommissionn 23-04-1985 Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 23-11-1984, 14-05-1985 Frdningsnævnt 07-11-1983 Kndlsr

Læs mere

STARTREDEGØRELSE. Tylstrup. Sulsted. Vadum. NØRRESUNDBY Rørdal. Egholm. Hasseris AALBORG. Sønder Tranders. Gug. Skalborg. Frejlev. Visse.

STARTREDEGØRELSE. Tylstrup. Sulsted. Vadum. NØRRESUNDBY Rørdal. Egholm. Hasseris AALBORG. Sønder Tranders. Gug. Skalborg. Frejlev. Visse. Novmbr 2012 STARTREDEGØRELSE Ovrdækning af Jomfru An Gad Aalborg Midtby Jammrbugtn Pandrup Dronninglund Storskov Tylstrup Aabybro Sulstd Grindstd Hammr Bakkr Uggrhaln Vstbjrg Hjallrup Dronninglund Vadum

Læs mere

Hvidbog PFH sidst opdateret den, 12.september 2012

Hvidbog PFH sidst opdateret den, 12.september 2012 Hvidbog PFH sidst opdatrt dn, 12.sptmbr 2012 Pall Flbo-Hansn Vdr. Strandparkn Korsør 1 Hvidbog PFH sidst opdatrt dn, 12.sptmbr 2012 Korsør dn, 9.sptmbr 2012 Formålt md dnn hvidborg r- at dnn gnnmgang vil

Læs mere