Differentiation af Logaritmer

Transkript

1 Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Differentiation af den naturlige logaritmefunktion 3 3 Andre logaritmefunktioner 6

3 Resumé Vi beviser at den naturlige logaritmefunktion er differentiabel og finder dens afledede. Til sidst beviser vi for en god ordens skyld hvordan alle andre logaritmefunktioner differentieres. 1 Introduktion Vi giver her to forskellige beviser for den samme sætning. Det første bevis er faktisk forkert, idet vi "glemmer"at vise at den naturlige logaritmefunktion er differentiabel, men nøjes med at finde dens afledede under forudsætning af at den er differentiabel. 1 Grunden til at vi alligevel tager dette halve bevis med er at det indeholder en rigtig god idé. Den samme idé optræder blandt andet i metoden implicit differentiation 2, og den kan bruges til at differentiere alle inverse funktioner til differentiable funktioner. Grundlæggende (og løst sagt) går ideen ud på at opskrive en sammenhæng, hvori vores funktion indgår, og derefter differentiere begge sider af lighedstegnet. Det andet bevis er en smule mere besværligt, men til gengæld mangler her ikke noget. Ideen i dette bevis er at man kigger på differenskvotienten, og ved hjælp af en snedig omskrivning får den skrevet som noget der ligner en differenskvotient for eksponentialfunktionen. Forudsætninger Forudsætningerne for at forstå begge beviser er, at man kender sammenhængen mellem den naturlige logaritmefunktion og den naturlige eksponentialfunktion og at man ved hvordan den sidste differentieres 3. 1 Se et eksempel på at sådan en "forglemmelse"kan være farlig her. 2 Læs om implicit differentiation her 3 Læs om differentiation af den naturlige eksponentialfunktion her side 1

4 I det første bevis forudsættes desuden at man kender kædereglen for differentiation af sammensatte funktioner 4. I det andet bevis forudsættes desuden at man kender definitionen på at en funktion er differentiabel 5. 4 Læs om regneregler for differentiation her 5 Læs om differentiable funktioner her side 2

5 2 Differentiation af den naturlige logaritmefunktion Sætning 1. Funktionen f givet ved: f (x) = ln(x), x R + er differentiabel, og dens afledede funktion er: f (x) = 1 x, x R +. Bevis (Bevis, version 1). givet ved: Lad f være den naturlige logaritmefunktion f (x) = ln(x), x R + For ethvert x R + gælder der følgende sammenhæng: e f (x) = x (1) Lad os et kort øjeblik definere en hjælpefunktion, nemlig: g 1 (x) = x, x R +. Denne funktion (ofte kaldet identitetsfunktionen) er differentiabel, og vi ved at g 1 (x) = 1 for alle x R +. På venstre side af ligning 1 står der en sammensat funktion, bestående af først den naturlige logaritme, og derefter den naturlige eksponentialfunktion. Lad os også give denne funktion et navn: g 2 (x) = e f (x), x R +. side 3

6 Hvis vi antager at f er differentiabel og kalder dens afledede funktion (som vi ikke kender endnu) for f, så er g 2 også differentiabel, og vi kan differentiere g 2 ved hjælp af kædereglen. Det giver: g 2 (x) = e f (x) f (x), x R + Men i ligning 1 står der at g 1 og g 2 er præcis den samme funktion. Derfor må g 1 og g 2 også være ens. Det betyder at for alle x R +, er: e f (x) f (x) = 1. Bruger vi nu ligning 1 endnu engang, ser vi at det kan omskrives til: x f (x) = 1 Dvs. f (x) = 1 x. Bevis (Bevis, version 2). givet ved: Lad igen f betegne den naturlige logaritme f (x) = ln(x), x R + Vi vil se på differenskvotienten i et vilkårligt punkt. Lad derfor x 0 R + være vilkårlig. Ligesom i det første bevis, bygger tricket på at: e f (x 0) = x 0 Vi omskriver differenskvotienten i x 0 ved hjælp af dette: d(x) = f (x) f (x 0) x x 0 ( x x 0 = f (x) f (x 0 ) ( e f (x) e f (x 0) = f (x) f (x 0 ) ) 1 ) 1 side 4

7 Vi skal se på, hvad der sker med differenskvotienten, når x x 0. Lad os for overblikkets skyld indføre to nye navne, nemlig: og Da f er en kontinuert funktion, vil y 0 = f (x 0 ) y = f (x) y y 0, når x x 0 Vi kan nu omskrive differenskvotienten videre, idet de nye betegnelser indføres: ( e y e y ) 0 1 d(x) = y y 0 Men det som står inde i parentesen er jo en differenskvotient for den naturlige eksponentialfunktion i punktet y 0. Idet x går imod x 0 vil y nærme sig y 0, og derfor vil Så alt i alt ser vi at e y e y 0 y y 0 e y 0 = e f (x 0) = e ln(x 0) = x 0 d(x) (x 0 ) 1 = 1 x 0, når x x 0 og dermed har vi vist at f er differentiabel i x 0 med f (x 0 ) = 1 x 0 side 5

8 3 Andre logaritmefunktioner Alle andre logaritmefunktioner er meget lette at differentiere, fordi de blot er skaleringer af den naturlige logaritmefunktion. Husk at for et hvilket som helst grundtal a > 0 er: dvs. ( ln(x) = ln a log (x)) a = log a (x) ln(a) log a (x) = 1 ln(a) ln(x) Dermed har vi følgende sætning fra regnereglen om hvordan man differentierer en konstant gange en funktion: Sætning 2. Hvis a > 0 så er logaritmefunktionen f givet ved: f (x) = log a (x), x R + differentiabel og den afledede funktion er: f (x) = 1 ln(a) 1 x side 6