Om hvordan Google ordner websider

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Om hvordan Google ordner websider"

Transkript

1 Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske websider der indeholder ordene. Det er imponerende nok i sig selv, men dog forståeligt når man ved at Google laver index lister over hvilke sider der indeholder de forskellige ord. Mere imponerende er det at man som oftest finder den eller de sider man er interesseret i blandt de allerførste af de sider der bliver vist. Man må spørge sig selv Hvordan kan Google vide hvilke sider jeg er interesseret i? - hvor har Google den viden fra?. Det sidste spørgsmål kan vi let svare på. Google har sin viden fra websiderne da det er den eneste viden der er til rådighed for maskinen. Det interessante spørgsmål er derfor hvordan Google ud fra websiderne finder ud af hvad jeg er interesseret i, når den ikke ved andet om mig end de søgeord jeg har indtastet. Grundideen er at de forskellige webbrugere og forfattere ligner hinanden og har fælles interesser. Google har kun viden om forfatterne, og det kun gennem de websider de laver. Maskinen sidder jo ikke og læser og forstår teksten på siderne. Maskinen skal foretage en rangordning af siderne, så de mest interessante kommer først. Det er sidernes relationer til hinanden der skal bruges. Det er med andre ord de links der er på siderne som Google aflæser og benytter til at lave en ordning. I det følgende skal vi se på hvordan det sker. Den følgende beskrivelse bygger primært på en artikel af David Austin fra Grand Valley State University. Artiklen kan findes på Vi skal forestille os at vi nummererer alle websider. Jeg ved ikke hvor mange der er. Lad os sige der er N Så har vi noget af den rigtige størrelsesorden. En surfer kigger på side nr.j indtil han skifter til side nr. i. Vi vil lade p ij være sandsynligheden for at han skifter fra side j til side i. Da p ij er en sandsynlighed, er 0 p ij 1. Vores model af en surfer er en der hele tiden 1

2 er i gang og skifter fra den ene side til den anden kun afbrudt af pauser til kaffe, søvn og lignende. Der skal derfor for hvert j gælde at p 1j + p 2j + + p Nj 1. Venstresiden er sandsynligheden for at surferen skifter fra side j til en vilkårlig anden side hvilket han gør med sikkerhed, altså med sandsynligheden 1. Vi kan forestille os at alle disse sandsynligheder opstilles i et kvadratisk skema p 11 p 12 p 1N p 21 p 22 p 2N G p N1 p N2 p NN Skemaet kaldes en matrix (Bøjningsformer: matricen, matricer. Opgaven for Google er ud fra de links der findes i websiderne, at finde fornuftige værdier for sandsynlighederne p ij, og ud fra disse at finde den bedste ordning af websiderne. I første tilnærmelse betragter vi en side j med et antal links. Hvis siden f.eks. indeholder tre links til siderne med numrene a, b og c antager vi at der er lige stor sandsynlighed for at surferen skifter til hver af disse. Under antagelse af at surferen ikke vælger at gå til en helt anden side skal derfor p aj p bj p cj 1 3 idet summen af sandsynlighederne skal være 1. For alle andre værdier af i sættes p ij 0. Mere generelt hvis siden j indeholder k links, sættes p ij 1 hvis der er k et link til siden i, og p ij 0 ellers. Hvis en side j ikke har links giver ovenstående regel ingen sandsynligheder p ij. Vi siger da som en ny regel at der er samme sandsynlighed for at gå til en hvilkensomhelst side, dvs. vi sætter p ij 1 N. Dermed er formlen p 1j +p 2j + +p Nj 1 også opfyldt i dette tilfælde. Vi foretager en sidste korrektion af formlen begrundet i at selv om en side har links kan det alligevel godt være at surferen vælger at gå til en helt anden side. Vi vil sige at der er en sandsynlighed α for at surferen følger et link og sandsynligheden 1 α for at surferen i stedet går til en tilfældig side. Formlen ændres da til p ij α + 1 α når siden j har k links og i er en af dem. Hvis i ikke er en af k N de k links er p ij 1 α. Hvis ikke der er links fra siden j er fortsat p N ij 1. N Størrelsen af α kan der dels argumenteres for ud fra surferes praksis og dels ud fra matematiske grunde som berøres nedenfor. Google har valgt α Den Google matrix G vi nu er nået frem til er en grov model for surfing. Der er naturligvis ingen der kender de rigtige sandsynligheder for så vidt som de overhovedet giver mening. Det viser sig imidlertid at matricen indeholder information nok til at føre til imponerende resultater i praksis. Vi skal nu se på hvordan vi fra G kan udlede en rangordning af siderne. Det gør vi ved til hver webside i at knytte en sandsynlighed w i for at det er den man fore- 2

3 trækker. Der skal derfor gælde at w 1 +w 2 + +w N 1 som er sandsynligheden for at man foretrækker noget som helst. Ved en søgning finder Google først alle de sider der indeholder søgeordene. Dernæst ordnes de sådan at den fundne side i med størst værdi for w i kommer først og de øvrige derefter med faldende værdier af sandsynlighederne. Der skal endvidere gælde at w i p i1 w 1 + p i2 w 2 + p i3 w p in w N. Hvordan kan vi forstå denne formel? Vi kan forestille os at der til stadighed er et stort antal surfere. Da kan w i fortolkes som den brøkdel af dem der er på side i. Leddet p ij w j kan nu fortolkes som den brøkdel der er på side j og derfra skifter til side i. Summen p i1 w 1 + p i2 w 2 + p i3 w p in w N bliver da den brøkdel der ender på side i efter at alle har skiftet til næste side. Vi antager at det til stadig er den samme brøkdel w i der er på side i selv om det naturligvis ikke er de samme surfere. Det er kun deres antal der er det samme. Dermed må den udregnede sum være w i som det fremgår af ligningen. Selv om vi her har forudsat at sandsynlighederne w i er konstante, er det naturligvis ikke rigtigt. De vil ændre sig i takt med at internettets udbud af websider udvikler sig. Pointen er bare at w i ændrer sig langsomt i forhold til hvor hurtigt surferne skifter side. Vi har nu opstillet et ligningssystem til bestemmelse af sandsynlighederne w i for i 1, 2,, N. Nemlig de N ligninger w i p i1 w 1 + p i2 w 2 + p i3 w p in w N svarende til i 1, 2,, N. Hertil kommer ligningen w 1 + w w N 1 Vi har altså N + 1 ligninger med N ubekendte. Når man betænker at N har en størrelse på mange milliarder, kan løsning af dette ligningssystem nok forekomme skræmmende. Tidligere løste Google det en gang hver måned. Det tog et par dage hver gang under anvendelse af et stort antal computere. Nu sker genberegningen hyppigere for bedre at afspejle de stadige ændringer der sker. Når det overhovedet er muligt at løse et så stort ligningssystem, er det fordi matricen har nogle specielle egenskaber. Det er en stokastisk matrix med positive elementer. Det betyder at alle de indgående tal p ij > 0 og summerne p 1j + p 2j + + p Nj 1 for alle værdier af j 1, 2,, N. Man kan da anvende en sætning (Perrons sætning som for det første sikrer at systemet overhovedet har en løsning, og for det andet viser at der er en forholdsvis simpel måde at løse det på. 3

4 Vi skal ikke her komme nærmere ind på sætningen og hvordan man løser det store ligningssystem, men vi kan se løsningsmetoden illustreret ved at se metoden anvendt på et eksempel for N 2. ( ( Betragt matricen A. Vi vil også betragte et talpar v. 0.9 Vi kalder et sådant par en vektor. Læg mærke til at matricen er en stokastisk matrix med positive elementer. Vektoren kalder vi også en stokastisk vektor da tallene begge er 0 og deres sum er 1. ( a b En matrix kan operere på en vektor c d formel ( ( a b x c d y ( x y ( ax + by cx + dy som udtrykt ved følgende I eksemplet får vi Av ( ( ( Bemærk at denne vektor igen er en stokastisk vektor. Det vil altid være tilfældet når matricen er en stokastisk matrix og vektoren er en stokastisk vektor. Hvis vi lader A operere på resultatet får vi ( ( A 2 v 0.43 ( og en gang til A 3 v ( ( ( og endnu en gang og en 5 te gang A 4 v A 5 v ( ( ( ( ( (

5 Hvis vi fortsætter på denne måde vil vi hurtigt nærme os vektoren ( w Hvis vi havde startet med et andet valg af den stokastiske vektor v havde vi fået andre tal undervejs, men vektorerne ville igen nærme sig til den samme vektor w om hvilken der derfor gælder at Aw w. Med den måde matricen virker på vektoren svarer denne ligning til Google ligningen. Den måde Google løser ligningssystemet på er ved at starte med en stokastisk vektor w som nu har lige så mange elementer som der er websider. Det betyder ikke så meget hvad det er for en vektor. Dernæst anvendes Google matricen G på w og resultaterne et antal gange indtil ændringerne er ubetydelige. Så har Google sin nye vektor til rangordning af websiderne. Størrelsen af sandsynligheden α har betydning for hvor hurtigt processen nærmer sig w. En lille værdi af α giver hurtigere tilnærmelse. Til gengæld vil en stor værdi lægge større vægt på betydningen af links. Der skal her laves et kompromis. Som nævnt ovenfor har Google valgt α

6 Matematisk addendum Det følgende er skrevet for læsere med den nødvendige matematiske baggrund med henblik på at uddybe nogle punkter som ikke blev behandlet ovenfor. Google ligningerne kan opskrives Gw w hvor G er Google matricen som behandlet ovenfor, og w er den ønskede stokastiske vektor bestående af websidernes vægte. Med andre ord skal 1 være en egenværdi for G, og w er en tilhørende egenvektor. Det er let at se at 1 er en egenværdi for G. Lad nemlig j være vektoren hvor alle komponenter er 1. Så er G T j j. Det er nemlig bare en anden måde at udtrykke kravet om at G er en stokastisk matrix. Men det betyder at j er en egenvektor for den transponerede matrix svarende til egenværdien 1. Da G og G T har det samme karakteristiske polynomium og de samme egenværdier, er 1 også en egenværdi for G. Dette hjælper os ikke med at finde w, så vi skal i stedet se på problemet fra en mere geometrisk vinkel. Lad {x R N j x 1, 0 x i 1} hvor x i er den i te koordinat af x. er et simplex af dimension N 1, og der gælder at G. For at se det bemærker vi at for x er Gx også en stokastisk vektor, dvs. Gx j 1. Da alle komponemter i G er ikke negative bliver alle koordinater for Gx også ikke negative. Dermed er Gx. Randen af består af de vektorer x hvor en eller flere af koordinaterne er 0. Da alle komponenter i G er positive (ikke 0 ligger Gx i det indre af. Ved at betragte G : kan vi benytte Browers fixpunktsætning (se nedenfor til at konkludere at G har et fixpunkt, dvs. der er en vektor i w, så Gw w. Dermed har vi bevist eksistensen af en løsning til Google ligningerne. Vi ser endvidere at w ligger i det indre af, dvs. alle koordinater w i > 0. Vi skal nu vise at vi kan finde w ved at starte med en vilkårlig vektor w 0 og betragte følgen w n G n w 0. Da vil w n w for n. Vi betragter underrummet U R N bestående af vektorer ortogonale til j. Dvs vektorer hvor summen af koordinaterne er 0. G afbilder U ind i sig selv. Lad 0 w. Dvs. vi translaterer simplekset ned i U ved hjælp af egenvektoren w. Da G er også G 0 0 og G 0 er indeholdt i det indre af 0. Da G 0 er kompakt findes der et tal r > 1 så rg 0 0. Definer Z 0 rg 0, Z 1 G 0, Z 2 1 r Z 1,... så Z n+1 1 r Z n. Da Z 0 0, er GZ 0 G 0 Z 1. Da G er lineær følger det rekursivt at GZ n Z n+1. Derfor er G n 0 Z n for n 1. Da r > 1 vil diameteren af mængden Z n 1 r n Z 0 gå mod 0 for n. Det medfører at for en vilkårlig vektor z 0 vil følgen z, Gz, G 2 z, G 3 z, konvergere 6

7 mod 0 for n. Vi vender nu tilbage til hvori vi fandt egenvektoren w, dvs. Gw w. En vilkårlig vektor w 0 kan vi skrive som w 0 w + z 0 hvor z 0 0. Derfor vil følgen w n G n w 0 G n w + G n z 0 w + G n z 0 w for n. Hermed har vi vist at man kan finde egenvektoren w ved at starte med en vilkårlig stokastisk vektor w 0. Når man anvender G tilstrækkeligt mange gange kan man tilnærme w vilkårligt godt. I tillæg følger det at w er entydigt bestemt. Egenværdien 1 har altså multiplicitet 1. Hvis λ er en anden reel egenværdi for G, må egenrummet E λ U idet R N U Rw er en opspaltning som direkte sum af invariante underrum. Lad x være en egenvektor med x 1. Så gælder der dels at G n x λ n x, og at G n x 1 x. Der må derfor gælde at λ 1. Med et lignende, men lidt mere besværligt r n r argument kan man se at der også for komplekse egenværdier må gælde at λ 1. r Vi har nu set at Google ligningerne har en entydig løsning. Vi har også fået en metode til i princippet at løse dem, men er det muligt i praksis når N har en størrelse på mange milliarder? Matricen G er så stor at man ikke engang kan tænke på at skrive den op. Det er muligt på grund af matricens specielle form. Vi kan opskrive G på formen G αh + αa + (1 α 1 N J hvor J er matricen hvor alle komponenter er 1, H er vores første tilnærmelse til Google matricen og A er tilføjelsen til den ved første modifikation. Dvs. for H er komponenten i position ij 1 når siden j har k links hvoraf en går til siden i. Alle k øvrige komponenter i H er 0. I matricen A er komponenten i position ij 1 for N alle i når siden j ikke indeholder links. De øvrige søjler indeholder 0. Lad nu x. For at udregne Gx skal vi udregne Hx, Ax og Jx og kombinere resultaterne. Først Hx: Hver webside indeholder i middel omkring 10 links. Når der således i middel er ca 10 komponenter i hver søjle der er forskellig fra 0, må det samme gælde for rækkerne. Det er derfor overkommeligt at udregne Hx. Det vil kræve ca. 10N multiplikationer og additioner. Dernæst Ax: Alle rækker er ens i denne matrix. Derfor bliver alle koordinater i Ax ens. Den fælles værdi er 1 gange summen af x N i summeret over de i for hvilken siden i er uden links. Der kræves altså mindre end N additioner. Endelig Jx: Dette kræver slet ingen udregninger idet resultatet bliver Jx 1 N j, idet j som ovenfor er vektoren hvor alle koordinater er 1. 7

8 Browers fixpunktsætning Lad D n {x R n x 1}. Browers fixpunktsætning siger da at enhver kontinuert afbildning f : D n D n har et fixpunkt, dvs. der findes et punkt x D n for hvilket f(x x. Der findes flere beviser for sætningen. Man kan gå frem som følger. Hvis vi antager at der ikke er noget fixpunkt, for afbildningen f, kan vi definere en kontinuert afbildning h : D n S n 1 {x R n x 1} ved at lade h(x være defineret ved at de tre punkter h(x, x, f(x ligger på en ret linie i den angivne rækkefølge og h(x S n 1. Der gælder da at h(x x når x S n 1. Dvs, sammensætningen S n 1 D n S n 1 er identitetsafbildningen idet den første af afbildningerne er inklusionen der afbilder x i x. Ved anvendelse af teori for homologi eller homotopigrupper kan man vise at dette ikke er muligt. Der kan derfor ikke eksistere en afbildning f uden fixpunkter. For n 2 kan man afslutte beviset med lidt enklere midler. Vi kan for 0 t 1 definere en afbildning g t : S 1 S 1 ved g t (x h(tx. Det er en kontinuert deformation som for t 0 er g 0 (x h(0 og g 1 (x x. Vi kan betragte g t som en lukket kurve i den komplekse plan som ikke går gennem 0. Omløbstallet om 0 ændres ikke ved kontinuert deformation af kurven. Nu kommer modstriden ved at g 1 har omløbstal 1 medens den konstante afbildning g 0 har omløbstal 0. 8

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Module 2: Beskrivende Statistik

Module 2: Beskrivende Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Team Succes Vestre Engvej 10, 1. Sal, Vejle 7100 E-mail: info@team-succe.dk Tlf. Nr.: 75 73 22 99

Team Succes Vestre Engvej 10, 1. Sal, Vejle 7100 E-mail: info@team-succe.dk Tlf. Nr.: 75 73 22 99 Team Succes Vestre Engvej, 1. Sal, Vejle E-mail: info@team-succe.dk Tlf. Nr.: 5 3 99 Udarbejdet af foreningen Team Succes daglige ledelse Statusrapport for årgang /11 Denne statusrapport er udarbejdet

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse

Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Institutionens brugeradministrator på Optagelse.dk kan oprette medarbejdere med forskellige roller og rettigheder. Når du opretter en

Læs mere

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold.

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Her ses da alle sider og undersider som siden fodbold indeholder. Nu kan du gå i gang med f.eks. at tilføje nye sider. Klik

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1

Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1 Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1 Sikker Slank Kort fortalt Af John Buhl e-bog Forlaget Nomedica 1. udgave juni 2016 ISBN: 978-87-90009-34-2 Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen

Læs mere

Navneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Navneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 2 Navneregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Navneregning 2-5 Elevaktiviteter til Navneregning 2.1 Værdifulde navne M-Æ

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

I e-mail af 12. december 2013 har I klaget over Kommunens overkørselstilladelse af 18. november 2013 til ejendommen O vej 36A.

I e-mail af 12. december 2013 har I klaget over Kommunens overkørselstilladelse af 18. november 2013 til ejendommen O vej 36A. Dato 17. juni 2014 Dokument 13/23814 Side Etablering af en ny udvidet overkørsel I e-mail af 12. december 2013 har I klaget over Kommunens overkørselstilladelse af 18. november 2013 til ejendommen O vej

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk Netværksguide sådan bruger du dit netværk Danmarks måske stærkeste netværk Step 1 Formålet med guiden Hvor kan netværk hjælpe? Netværk er blevet et centralt middel, når det gælder om at udvikle sig fagligt

Læs mere

Det danske sundhedsvæsen

Det danske sundhedsvæsen Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

2013-7. Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler. 10. april 2013

2013-7. Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler. 10. april 2013 2013-7 Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler Ombudsmanden rejste af egen drift en sag om arbejdsskademyndighedernes vejledning om mulighederne for

Læs mere

Tilstandsligningen for ideale gasser

Tilstandsligningen for ideale gasser ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6

Læs mere

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale

Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale Så er vi kommet til dagens højdepunkt, som jeg ved, alle har glædet sig til. Ja, jeg joker, og faktisk også lidt med urette. For jeg ser de vedtægtsændringer, som

Læs mere

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke.

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. Bilag 4 Transskription af Per Interviewere: Louise og Katariina L: Louise K: Katariina L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. L: Vi vil gerne høre lidt

Læs mere

Herningegnens Lærerforening E-MAIL 121@dlf.org WWW.DLF121.DK DLF KREDS 121 PONTOPPIDANSVEJ 4 7400 HERNING TLF. 97 12 31 33

Herningegnens Lærerforening E-MAIL 121@dlf.org WWW.DLF121.DK DLF KREDS 121 PONTOPPIDANSVEJ 4 7400 HERNING TLF. 97 12 31 33 Herningegnens Lærerforening E-MAIL 121@dlf.org WWW.DLF121.DK DLF KREDS 121 PONTOPPIDANSVEJ 4 7400 HERNING TLF. 97 12 31 33 ANALYSENOTAT Medlemsundersøgelse November 2015 Baggrund Herningegnens Lærerforening

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Privatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling.

Privatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling. Sammenligning af privatansatte kvinder og mænds løn Privatansatte kvindelige djøfere i stillinger uden ledelsesansvar har en løn der udgør ca. 96 procent af den løn deres mandlige kolleger får. I sammenligningen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Vejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse:

Vejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse: Vejledning til personlige funktioner på MIT DANSKE ARK ( eksklusive profil og cv) Indholdsfortegnelse: Side 2: Nyheder valg til personligt nyhedsbrev, Mine Nyheder og visning på enkeltsider Side 3: Funktionen

Læs mere

Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager

Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager Ajourføring - Ejendomme J.nr. Ref. lahni/pbp/jl/ruhch Den 7. marts 2013 Introduktion til notatet... 1 Begrebsafklaring... 1 Hvorfor er det aktuelt

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL 114659_Manual_250x250 17/10/03 13:38 Side 1 Kunde & Co. Frederiksholms Kanal 6 1220 København K Tlf: 33 92 40 49 perst@perst.dk www.perst.dk Løngangstræde 25, 4. 1468 København K Tlf: 38 17 81 00 cfu@cfu-net.dk

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut

Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut N O T A T Konsekvenser af direkte adgang til fysioterapeut Direkte adgang til fysioterapi uden en henvisning fra patientens praktiserende læge kræver en ændring i både overenskomsten med Danske Fysioterapeuter

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Samråd i Folketingets Kulturudvalg om Statens Forsvarshistoriske Museum Åbent eller lukket: Dato og klokkeslæt: Tirsdag d. 19. juni, kl. 9.

Samråd i Folketingets Kulturudvalg om Statens Forsvarshistoriske Museum Åbent eller lukket: Dato og klokkeslæt: Tirsdag d. 19. juni, kl. 9. Kulturudvalget 2011-12 KUU alm. del Bilag 210 Offentligt TALE Arrangement: Samråd i Folketingets Kulturudvalg om Statens Forsvarshistoriske Museum Åbent eller lukket: Åbent Dato og klokkeslæt: Tirsdag

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent

Læs mere

Førstehjælp til opgaver

Førstehjælp til opgaver Førstehjælp til opgaver * Hørt i udlånet * Bliv informationskompetent * Hvad er viden? * Hvad er en kilde? * Kildekritik * Skal jeg læse alt, før jeg skriver? * Hvor meget skal jeg henvise * Litteraturliste

Læs mere

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt Succesfuld start på dine processer En e-bog om at åbne processer succesfuldt I denne e-bog får du fire øvelser, der kan bruges til at skabe kontakt, fælles forståelser og indblik. Øvelserne kan bruges

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Årsafslutning i SummaSummarum 4

Årsafslutning i SummaSummarum 4 Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0 Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af

Læs mere