Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september Grafteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori"

Transkript

1 Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af graf En graf er et par bestående af en ikke-tom mængde af knuder (også kaldet hjørner eller punkter) samt en mængde af kanter, hvor hver kant forbinder to knuder med hinanden eller forbinder en knude med knuden selv. En kant der forbinder en knude med sig selv, kaldes en løkke. En knudes valens er det antal kanter der støder op til knuden, dog tæller en kant der går fra knuden til knuden selv, dobbelt. Bemærk at summen af samtlige punkters valens er lige da hver kant bidrager med to til summen. 1. Veje og sammenhængende grafer En vej (også kaldet en sti) er en følge af kanter e 1, e,... e n således at kant e k, 1 < k < n har den ene endeknude tilfælles med e k 1 og den anden med e k+1. En graf kaldes for sammenhængende hvis der for to vilkårlige knuder findes en vej fra den ene knude til den anden. 1.3 Eksempel Denne graf består af 6 knuder og 8 kanter, og knuden A har valens 3. Grafen er sammenhængende og indeholder fx en vej som består af seks kanter fra A til F. 1.4 Komplet graf En komplet graf er en graf hvor samtlige par af knuder er forbundet med netop en kant. En komplet graf med fx fire knuder har derfor ( 4 ) = 6 kanter, og en komplet graf med n kanter har ( n ) kanter. 1.5 Eksempel på komplet graf med farvede kanter I en komplet graf med 6 knuder er samtlige kanter farvet enten blå eller røde. I dette eksempel vil vi vise at der uanset hvordan kanterne er farvede, altid findes tre knuder der er forbundet med kanter af samme farve.

2 Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 Vælg en tilfældig knude som vi kalder A. Da der fra A udgår fem kanter, udgår der mindst tre kanter med samme farve, lad os sige rød, til tre andre knuder. Hvis to af disse tre andre knuder er forbundet med en rød kant, danner de sammen med A tre knuder som er forbundet med kanter af samme farve. Hvis ikke, er disse tre knuder forbundet udelukkende med blå kanter. 1.6 Opgave I en komplet graf med 17 knuder er alle kanter malet enten blå, røde eller grønne. Vis at der uanset hvordan grafen er farvet, altid findes tre knuder som er forbundet af kanter af samme farve. (IMO 1964) 1.7 Eulerture og Eulergrafer En Eulertur i en graf er en vej der indeholder samtlige kanter netop en gang, og en lukket Eulertur er en Eulertur e 1, e,... e n hvor e 1 og e n støder op til samme knude. (Hvis n = skal e 1 og e have begge endeknuder tilfælles.) En graf kaldes en Eulergraf hvis alle dens kanter udgør en lukket Eulertur. 1.8 Opgave Bevis at en sammenhængende graf er en Eulergraf netop hvis alle knuder har lige valens. 1.9 Hamiltonkredse og Hamiltongrafer En kreds af længde n er en vej e 1, e,... e n hvor e 1 og e n støder op til samme knude, og hvor en vilkårlig knude i grafen er forbundet med nul eller to af kanterne e 1, e,... e n. En Hamiltonkreds er en kreds som har samme længde som antallet af knuder i grafen. En graf kaldes en Hamiltongraf hvis den indeholder en Hamiltonkreds Opgave I en skov bor der n, n 3, dyr i hver sin hule, og der er præcis en separat sti mellem hvert par af huler. Før valget af Skovens Konge laver nogle af dyrene en valgkampagne. Hvert af de dyr der laver valgkampagne, besøger alle de andre huler præcis en gang, benytter kun de beskrevne stier, skifter ikke sti mellem to huler og vender til slut tilbage til sin egen hule. I forbindelse med valgkampagnen benyttes ingen sti af mere end et dyr. Vis at hvis n er et primtal, da kan netop n 1 dyr maksimalt lave valgkampagne. Hvor mange dyr kan maksimalt lave valgkampagne for n = 9? (BW 1997) 1.11 Orienterede grafer En orienteret graf er en graf hvor alle kanter har en retning. 1.1 Eksempel I et land er der et endeligt antal byer, og nogle af byerne er forbundet med ensrettede veje. Hvis vi opfatter byerne som knuder og vejene som kanter, har vi en orienteret graf. Vi ved yderligere at for hvert par af byer kan man komme fra den ene til den anden eller omvendt eventuelt via andre byer. Vi vil nu vise at der findes en by hvorfra man kan

3 Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september komme til alle andre byer. Lad A være en by fra hvilken man kan komme til flest andre byer. Antag at der findes en by B som ikke kan nås fra A. Da kan man komme fra B til A og derfra videre til alle de byer der kan nås fra A. Dette er i modstrid med A s maksimalitet. (BW 199) 1.13 Opgave Den Forunderlige Ø s efterretningstjeneste har 16 spioner i Tartu. Hver af dem overvåger nogle af sine kolleger, men der er intet par af spioner der overvåger hinanden. Desuden ved man at hvis man udtager ti tilfældige spioner, kan de nummereres således at nummer et overvåger nummer to, nummer to overvåger nummer tre osv., og den tiende desuden overvåger nummer et. Vis at man også kan gøre dette med 11 tilfældigt valgte spioner. (BW 1994) De næste opgaver er blandede opgaver hvor alle problemstillingerne drejer sig om grafer Opgave På en danseaften har enhver af de tilstedeværende herrer danset med mindst en af de tilstedeværende damer, og enhver dame har ligeledes danset med mindst en af herrerne. Der findes ingen herre der har danset med samtlige damer, og ingen damer der har danset med samtlige herrer. Bevis at der findes to herrer og to damer således at de to herrer har danset med præcis en af de to damer og omvendt Opgave Antag at G er en sammenhængende graf med k kanter. Vis at det er muligt at nummerere kanterne 1,, 3,... k således at hver knude som er forbundet med mindst to kanter, opfylder at største fælles divisor af tallene på alle de tilstødende kanter er 1. (IMO 1991) 1.16 Opgave I en komplet graf med ni knuder er kanterne enten røde, blå eller slet ikke farvede. Lad n betegne antallet af farvede kanter. Bestem den mindste værdi af n således at der altid findes tre knuder som er forbundet af kanter af samme farve. (IMO 199)

4 Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september Løsningsskitser Opgave 1.6 Vælg en tilfældig knude som vi kalder A. Da A er forbundet med 16 andre knuder, findes mindst 6 knuder som er forbundet til A med samme farve kant, lad os sige grøn. Hvis to af disse 6 knuder er forbundet med en grøn kant, danner de sammen med A tre knuder der er forbundet med grønne kanter. Hvis ikke, har vi en komplet graf med 6 knuder hvis kanter alle er røde eller blå ligesom i eksempel 1.5. Opgave 1.8 Det er oplagt at en graf ikke kan være en Eulergraf hvis den indeholder en knude med ulige valens. Antag nu at samtlige knuder i en graf har lige valens. Vi begynder i knuden A og laver en vej der er så lang så mulig. Da alle knuder har lige valens, må vi nødvendigvis ende i knuden A. Hvis vejen indeholder samtlige kanter, har vi en lukket Eulergraf. Hvis ikke, må der da grafen er sammenhængende, findes en ikke passeret kant som støder op til en knude som passeres af vejen. Med udgangspunkt i denne knude, lad os kalde den B, laves en ny vej der nødvendigvis må ende i B. Denne nye vej sættes ind i den gamle således at vi har en samlet lukket vej. Da der kun er endelig mange kanter, kan vi fortsætte på den måde til vi har en lukket vej der indeholder samtlige kanter. Opgave 1.10 Da et dyr der laver valgkamp, benytter præcis n stier, og der er ( ) n = n(n 1) stier, kan antallet af dyr der laver valgkamp, ikke overstige n 1. Nummerer nu hulerne 0, 1,,..., n 1. Når n er et primtal, kan man i en komplet graf med n knuder lave n 1 separate Hamiltonkæder på følgende måde hvor e ij betegner kanten mellem hule i og hule j: e 0,1, e 1,, e,3,..., e n 1,0 e 0,, e,4, e 4,6,..., e n,0 e 0, n 1., e n 1,n 1,..., e n+1,0 Overvej hvorfor alle disse Hamiltonkæder netop passerer samtlige knuder, og hvorfor ingen kant indgår i mere end en Hamiltonkæde. For n = 9 kan der ikke være flere end 4 ruter, og dette er muligt. e 0,1, e 1,, e,8, e 8,3, e 3,7, e 7,4, e 4,6, e 6,5, e 5,0 e 0,, e,3, e 3,1, e 1,4, e 4,8, e 8,5, e 5,7, e 7,6, e 6,0 e 0,3, e 3,4, e 4,, e,5, e 5,1, e 1,6, e 6,8, e 8,7, e 7,0 e 0,4, e 4,5, e 5,3, e 3,6, e 6,, e,7, e 7,1, e 1,8, e 8,0 Opgave 1.13 Når man udtager ti tilfældige spioner, skal der for hver spion være mindst en blandt de ti som spionen overvåger, og en som overvåger ham. Derfor er der for hver spion mindst syv andre spioner blandt de 16 som han overvåger, og mindst syv spioner som overvåger ham. Der findes altså for hver spion højst en anden spion således at ingen af de to overvåger hinanden. Sådanne to spioner siger vi er neutrale overfor hinanden. Antag nu at en gruppe på 11 spioner ikke kan nummereres som omtalt. Lad A være en tilfældig spion blandt de 11, og nummerer de ti resterende B 1, B,..., B 10 således at B 1 overvåger B, B overvåger B 3,... og B 10 overvåger B 1. Antag yderligere at der ikke er

5 Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september nogen af de 10 spioner der er neutrale overfor A. Vi er sikre på at der findes mindst en af de 10 som overvåger A, lad os sige B 1. Hvis A overvåger B, ville B 1, A, B,..., B 10 give den ønskede rækkefølge, så det går ikke, og B må derfor overvåge A. På denne måde ses at alle 10 vil overvåge A hvilket er en modstrid. Dermed må enhver af de 11 spioner have præcis en i gruppen som er neutral overfor ham, men dette kan ikke lade sig gøre da 11 er ulige. Vores startantagelse om at en gruppe på 11 tilfældige spioner ikke kan nummereres som ønsket, er altså forkert. Opgave 1.14 Vælg en maksimal herre H 1, dvs. en der har danset med mindst lige så mange damer som hver af de andre herrer. Da findes en dame som H 1 ikke har danset med. Vælg nu en herre H som denne dame har danset med. Da H 1 var maksimal findes nu en dame som har danset med H 1, men ikke med H. Opgave 1.15 Den grundlæggende idé er at udnytte at to på hinanden følgende tal er indbyrdes primiske. Vælg en tilfældig knude A, og vælg en vej fra A der ikke indeholder den samme kant to gange. Nummerer kanterne langs denne vej fortløbende. Lad B være vejens endeknude hvor det ikke er muligt at komme videre. Alle de passerede knuder opfylder nu betingelsen da to af deres kanter er nummererede med to på hinanden følgende tal. A har en kant med tallet 1, og B har enten kun én kant eller også har den to kanter der er nummererede med to på hinanden følgende tal. Vælg nu en ny knude som allerede har en nummereret kant, og følg samme procedure som før. Da grafen er sammenhængende, kan man på denne måde nummerere samtlige kanter således at grafen opfylder betingelserne. Opgave 1.16 Først viser vi at der findes en farvning af 3 af kanterne således at der ikke findes en blå eller rød trekant. Lad fire af knuderne R 1, R, R 3, R 4 danne en firkant hvor siderne er røde, mens diagonalerne ikke er farvede, og fire andre knuder B 1, B, B 3, B 4 danne en firkant hvor siderne er blå, mens diagonalerne ikke er farvede. Kanten mellem R i og B j farves rød hvis i og j har samme paritet, og ellers blå. Den sidste knude kaldes X. Kanten fra X til R i, i = 1,, 3, 4, farves blå, og kanten fra X til B i, i = 1,, 3, 4, farves rød. Denne graf har 3 farvede kanter, men ingen trekant i samme farve. (Overvej.) Vi mangler at vise, at for n = 33 kan vi altid finde en ensfarvet trekant. Der er tre kanter som ikke er farvede. Vælg en endeknude fra hver af disse kanter. De resterende seks knuder udgør nu sammen med de tilhørende kanter en komplet graf hvor alle kanter er blå eller røde, og der findes derfor ifølge eksempel 1.5 en ensfarvet trekant.

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Taxageometri og metriske rum

Taxageometri og metriske rum Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Spillebeskrivelse. spillehallen.dk

Spillebeskrivelse. spillehallen.dk Spillebeskrivelse spillehallen.dk INDHOLDSFORTEGNELSE: 1. GENERELT OM BAKER STREET 211B 3 2. GEVINSTTAVLEN 4 3. GEVINSTBONUS 4 4. TERNINGEBORD 4 5. VALGFRIT SPIL 5 6. HOUSE OF CRIME 5 7. LONDON LIGHT 6

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

Bordkort nr. 1 & 7. Sværhedsgrad 1 Ingen kendskab. Bordkort nr. 2 & 3. Sværhedsgrad 2 Lidt kenskab. Bordkort nr. 4 & 6

Bordkort nr. 1 & 7. Sværhedsgrad 1 Ingen kendskab. Bordkort nr. 2 & 3. Sværhedsgrad 2 Lidt kenskab. Bordkort nr. 4 & 6 SVÆRHEDSGRAD Der er i denne e-bog 8 bordopsætninger, som indeholder 4 sværhedsgrader. Sværhedsgrad 1 er den letteste, og 4 den sværeste. Dog skal det siges, at alle, som er let øvede inden for kort og

Læs mere

Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager

Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager Notat om håndtering af aktualitet i matrikulære sager Ajourføring - Ejendomme J.nr. Ref. lahni/pbp/jl/ruhch Den 7. marts 2013 Introduktion til notatet... 1 Begrebsafklaring... 1 Hvorfor er det aktuelt

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Få helt styr på NemID WWW.KOMPUTER.DK

Få helt styr på NemID WWW.KOMPUTER.DK KOMPUTER FOR ALLE Få helt styr på Gå på netbank og borgerservice med Her viser vi, hvordan du bestiller og bruger, så du kan bruge netbank og de mange offentlige internettjenester. Når du vil logge på

Læs mere

Opgave Firkantet E F. Opgave Trekantet

Opgave Firkantet E F. Opgave Trekantet 1 Opgave Firantet E F Lad være et vilårligt punt på liniestyet mellem og, og tegn halvcirler til samme side over diametrene, og. Lad være det punt på halvcirlen, der har vinelret på, og lad EF være fællestangenten

Læs mere

C-Tec Temple of Gold Spillebeskrivelse Rev. 02 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg

C-Tec Temple of Gold Spillebeskrivelse Rev. 02 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg C-Tec Temple of Gold Spillebeskrivelse Rev. 02 Compu-Game A/S, Randersvej 36, DK 6700 Esbjerg Tlf.: 76 10 98 00 Fax: 76 10 98 98 INDHOLDSFORTEGNELSE: 1. GENERELT OM TEMPLE OF GOLD 3 2. GEVINSTTAVLEN 4

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

LUP læsevejledning til regionsrapporter

LUP læsevejledning til regionsrapporter Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for

Læs mere

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede I dag Hjemmeopgave 1 Næste hjemmeopgave Eventuelt vinduer igen Mapper og filer på USB-stik Vi skal hertil grundet opgave 2 Internet Pause (og det bliver nok

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Oprettelse af Aktivitet

Oprettelse af Aktivitet Oprettelse af Aktivitet 1. Fra Organizerens forside Kalender vælges og det ønskede tidspunkt for aktiviteten. 2. Nu dukker formen frem som aktiviteten bliver oprettet med. Formen har som udgangspunkt 3

Læs mere

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Lettere at vælge arbejde frem for folkepension Et nyt sæt regler gør det lettere end tidligere for virksomheder at holde

Læs mere

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

fs10 1 Hej Matematik på Samsø 2 Affald på Roskilde Festival 3 Overnatning på Skanderborg 4 På tur med Grøn Koncert Festival Festival MATEMATIK

fs10 1 Hej Matematik på Samsø 2 Affald på Roskilde Festival 3 Overnatning på Skanderborg 4 På tur med Grøn Koncert Festival Festival MATEMATIK fs10 10.-klasseprøven MATEMATIK Maj 2010 1 Hej Matematik på Samsø Festival 2 Affald på Roskilde Festival 3 Overnatning på Skanderborg Festival 4 På tur med Grøn Koncert Som bilag til dette opgavesæt er

Læs mere

1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S)

1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) Send Digitalt. Elementerne i Send Digitalt vinduet 1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) 2. Tjek kan anvendes til at kontrollere, om der kan sendes

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik

Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik 1 Indhold Socialpolitikken og Socialudvalgets MVV... 3 Politikkens fokusområder...

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse

Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Rediger eller opret institutionsmedarbejder på en ungdomsuddannelse Institutionens brugeradministrator på Optagelse.dk kan oprette medarbejdere med forskellige roller og rettigheder. Når du opretter en

Læs mere

Vejledning til skriftlig prøve i biologi

Vejledning til skriftlig prøve i biologi Vejledning til skriftlig prøve i biologi Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Januar 2016 1 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Mål og krav... 4 Indhold... 5 Hjælpemidler... 5 Opgavetyper... 6 Vurdering

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Android mobil app manual Version 170516

Android mobil app manual Version 170516 Android mobil app manual Version 170516 Indhold Introduktion... 2 Installation... 2 Gå ind på Google Play... 2 Gå ind på Mobil app en... 3 Indstillinger... 3 Telefonnummer... 4 Favorit udgående id... 4

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

TDC Wallboard Basis. Brugervejledning

TDC Wallboard Basis. Brugervejledning TDC Wallboard Basis Brugervejledning Marts 2015 Indholdsfortegnelse Forord...3 Webadresser...3 Terminologi...3 Inden du går i gang...3 Systemkrav...3 Sådan logger du på TDC Wallboard Basis...4 Sådan virker

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Manual til skinnelayoutprogram

Manual til skinnelayoutprogram Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4

Læs mere

Import af fakturaer fra MI. Import af fakturaer fra MI. Indlæs og bearbejd fakturaer

Import af fakturaer fra MI. Import af fakturaer fra MI. Indlæs og bearbejd fakturaer Import af fakturaer fra MI Indlæs og bearbejd fakturaer Elektroniske fakturaer fra MI skal indlæses før man kan arbejde med dem. Der klikkes på Køb Ordrebehandling - Periodiske aktiviteter Indlæs integrationsfaktura.

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU INDIKATORERNE VEDR. BÆREDYGTIG GRØN BYUDVIKLING I REGIONAL- FONDSPROGRAMMET INNOVATIV OG BÆREDYGTIG VÆKST I VIRKSOMHEDER

SÅDAN BRUGER DU INDIKATORERNE VEDR. BÆREDYGTIG GRØN BYUDVIKLING I REGIONAL- FONDSPROGRAMMET INNOVATIV OG BÆREDYGTIG VÆKST I VIRKSOMHEDER SÅDAN BRUGER DU INDIKATORERNE VEDR. BÆREDYGTIG GRØN BYUDVIKLING I REGIONAL- FONDSPROGRAMMET INNOVATIV OG BÆREDYGTIG VÆKST I VIRKSOMHEDER Version 1 Erhvervsstyrelsen, 24. februar 2015 1 Sådan bruger du

Læs mere

Flemming Jensen. Parforhold

Flemming Jensen. Parforhold Flemming Jensen Parforhold Papyrus Publishing Art direction: Louise Bech Illustatorer: Lea Maria Lucas Wierød Louise Bech Forskningsleder: Flemming Jensen Faglige konsulenter: Gitte S. Nielsen Lene V.

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

NR. 66 VER. 2, LUDUS WEB

NR. 66 VER. 2, LUDUS WEB NR. 66 VER. 2, LUDUS WEB DEN 15. DECEMBER 2011 INDHOLD Undervisningsbeskrivelser og studieplaner Grundbegreber Forskellige arbejdsgange Forløb først Forløb sidst Arbejde via skemabrikker (parallelle forløb)

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

SPILLEREGLER FOR CARAMBOLE

SPILLEREGLER FOR CARAMBOLE CARAMBOLE SPILLEREGLER FOR CARAMBOLE 3-BANDE CARAMBOLE - 1-BANDE CARAMBOLE FRI CARAMBOLE - CADRE SPILLEREGLER FOR CARAMBOLEDISCIPLINERNE. FÆLLES REGLER FOR ALLE SPILLEFORMERNE. 1. BILLARDER OG BALLER.

Læs mere

Traditionen tro byder august september på forældremøder i de enkelte klasser,

Traditionen tro byder august september på forældremøder i de enkelte klasser, Vi skrev i første nummer af Fællesnyt, at vi ville udkomme én gang i kvartalet. Det bryder vi allerede her i andet nummer, hvor I kan læse om konfirmationsforberedelse i 7. klasse, en sjov bemærkning og

Læs mere

Før du går i gang med din ansøgning. Sådan udfylder du ansøgningen

Før du går i gang med din ansøgning. Sådan udfylder du ansøgningen Sa dan udfylder du ansøgning om optagelse pa en 2- faglig kandidatuddannelse med kandidattilvalg i Russisk, Religionsvidenskab eller Oldtidskundskab- Vinteroptag Hvis din bacheloruddannelse er blevet forlænget

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale

Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale Djøf Offentlig Formandens vedtægtstale Så er vi kommet til dagens højdepunkt, som jeg ved, alle har glædet sig til. Ja, jeg joker, og faktisk også lidt med urette. For jeg ser de vedtægtsændringer, som

Læs mere

Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi

Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi Vejledning til skriftlig prøve i fysik/kemi Styrelsen for Undervisning og Kvalitet Januar 2016 1 Indhold Indledning... 3 Mål og krav... 4 Indhold... 5 Hjælpemidler... 5 Opgavetyper... 6 Eksempler på opgaver...

Læs mere

Brugermanual til MOBI:DO på iphone/ipod/ipad

Brugermanual til MOBI:DO på iphone/ipod/ipad Brugermanual til MOBI:DO på iphone/ipod/ipad Introduktion Med MOBI:DO opnås, der adgang til skræddersyet de guides, der er lavet til at støtte en, i opgaver i hjemmet. Adgangen til guides sker enten via:

Læs mere

ANALYSE. Selskabernes brug af revisorerklæringer på årsregnskabet. April 2016. Side 1 af 7. www.fsr.dk

ANALYSE. Selskabernes brug af revisorerklæringer på årsregnskabet. April 2016. Side 1 af 7. www.fsr.dk Selskabernes brug af revisorerklæringer på årsregnskabet ANALYSE April 2016 www.fsr.dk Side 1 af 7 FSR - danske revisorer er en brancheorganisation for godkendte revisorer i Danmark. Foreningen varetager

Læs mere

En hæklet havfruehale

En hæklet havfruehale En hæklet havfruehale Her finder du en gratis vejledning til, hvordan du kan hækle din egen havfruehale. Havfruehalen er designet af Maria Buck Jensen og du kan finde hjælp og flere billeder på. Maria

Læs mere

Ministeren bedes redegøre for, om ministeren

Ministeren bedes redegøre for, om ministeren Trafikudvalget 2010-11 L 173 Bilag 11 Offentligt Samrådstale til et kommende lukket samråd om forslag til lov om ændring af lov om taxikørsel m.v. (Tilladelser til offentlig servicetrafik og krav til beklædning

Læs mere

Statsgaranteret udskrivningsgrundlag

Statsgaranteret udskrivningsgrundlag Statsgaranteret udskrivningsgrundlag giver sikkerhed under krisen Nyt kapitel Resumé For 2013 har alle kommuner for første gang valgt at budgettere med det statsgaranterede udskrivningsgrundlag. Siden

Læs mere

Lederansvar, medarbejderansvar eller fællesansvar

Lederansvar, medarbejderansvar eller fællesansvar Lederansvar, medarbejderansvar eller fællesansvar Undersøgelse om lederes og medarbejderes vurdering af, hvem der har ansvaret for samarbejdskultur, medarbejdernes efteruddannelse, arbejdsopgavernes løsning

Læs mere

Broderisting Jytte Harboesgaard

Broderisting Jytte Harboesgaard Broderisting Jytte Harboesgaard Indholdsfortegnelse Forord 4 Indledning 5 Alfabetisk register 7 Register over broderede sting 12 Stingtegninger 27 Anvendte bøger 189 3 Forord Der ligger naturligvis mange

Læs mere

SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE

SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE Sådan ser du svarprocenten og rykker for eller tilbagekalder besvarelser I denne vejledning kan du læse, hvordan du kan følge arbejdspladsens svarprocent på spørgeskemaundersøgelsen

Læs mere

BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT

BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT Opgave 1 B. C. Fx,,,,, Opgave 2 10 flasker B. 6 flasker C. liter 1 3 4 6 7 liter 1 2 3 4 5 D. L 1 2 3 5 10 5 20 25 10 35 40 15 3 3 3 3 3 3 liter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Opgave 3 liter B. = 1 L + Liter C. Det

Læs mere

INKLUSIONS- FORTÆLLINGER

INKLUSIONS- FORTÆLLINGER INKLUSIONS- FORTÆLLINGER ET FOKUS PÅ MILJØ OG SAMSPILSPROCESSER Det enkelte barns læring og deltagelsesmuligheder Institutionsmiljø: Samarbejde om organisering af pædagogisk praksis Faglighed: Børnesyn

Læs mere

Guide til oprettelse af ruter og interessepunkter på Endomondo

Guide til oprettelse af ruter og interessepunkter på Endomondo Guide til oprettelse af ruter og interessepunkter på Endomondo Indhold: A. Oprettelse af profil på Endomondo B. Oprettelse af selve ruten C. Redigering af oprettet rute D. Oprettelse af interessepunkter

Læs mere

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.

Læs mere

UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM)

UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM) UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM) VIDEN RÅDGIVNING SERVICE TRYGHED INDHOLD 1. Kort fortalt... 3 2. Uanmodede henvendelser.... 3 3. Nærmere om samtykke til henvendelse.... 7 3.1. Krav om forudgående samtykke...

Læs mere

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold.

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Her ses da alle sider og undersider som siden fodbold indeholder. Nu kan du gå i gang med f.eks. at tilføje nye sider. Klik

Læs mere

Tegning og figurer. 1 Tegn med GeoGebra. Du skal bruge Computer. Tablet. 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd. Kvadratpapir.

Tegning og figurer. 1 Tegn med GeoGebra. Du skal bruge Computer. Tablet. 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd. Kvadratpapir. Tegning og figurer 1 Tegn med GeoGebra Du skal bruge Computer Tablet KG 2 Rundt om og indeni Du skal bruge Målebånd Kvadratpapir Arbejdsark 23 24 KG Værksted 3: Byg huse. 25 26 27 Værksted 4: Tegn, hvad

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Vejledning til AT-eksamen 2016

Vejledning til AT-eksamen 2016 Sorø Akademis Skole Vejledning til AT-eksamen 2016 Undervisningsministeriets læreplan og vejledning i Almen Studieforberedelse kan findes her: http://www.uvm.dk/uddannelser/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner/fagpaa-stx/almen-studieforberedelse-stx

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

OneRemote INT Converter. Type 32002638. Brugervejledning. Betjening med Bang & Olufsen. Triax C-HD207CX. 32002638u3dk

OneRemote INT Converter. Type 32002638. Brugervejledning. Betjening med Bang & Olufsen. Triax C-HD207CX. 32002638u3dk OneRemote INT Converter Type 32002638 Brugervejledning Betjening med Bang & Olufsen Triax C-HD207CX 32002638u3dk Daglig betjening med Beo4, Beo5, Beo6 Afspille funktioner OO OK o o0 Play press 1 sec. Play

Læs mere

Så dån udfylder du en ånsøgning om optågelse på en kåndidåtuddånnelse

Så dån udfylder du en ånsøgning om optågelse på en kåndidåtuddånnelse Så dån udfylder du en ånsøgning om optågelse på en kåndidåtuddånnelse Sådan udfylder du ansøgningen Velkommen til det digitale ansøgningssystem! Når du har logget på ansøgningssystemet, åbner systemet

Læs mere