TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning."

Transkript

1 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter Trosborgs noter om talteori. Noterne vil primært introducere forskellige opgaveteknikker hvor man skal se på divisorer eller benytte Wilsons sætning eller Euler-Fermats sætning. 1 Primfaktoropløsning Ifølge aritmetikkens fundamentalsætning kan ethvert naturligt tal større end 1 primfaktoropløses på entydig måde, og dette er grundlaget for hele talteorien. 1.1 Sætning Et naturligt tal n større end 1 med primfaktoropløsning n = p α 1 1 pα pαm m har (1 + α 1 )(1 + α 2 )... (1 + α m ) forskellige divisorer. BEVIS. Enhver divisor i n er på formen p β 1 1 pβ pβm m, hvor β i {0, 1,..., α i }. Dermed har n i alt (1+α 1 )(1+α 2 )... (1+α m ) forskellige divisorer. 1.2 Eksempel Denne sætning medfører eksempelvis at samtlige tal med netop p divisorer hvor p er et primtal, netop er alle (p-1) te potenser af primtal. 1.3 Opgave Et naturligt tal n, som højst er 500, har den egenskab at når man vælger et tal m tilfældigt blandt tallene 1, 2, 3,..., 499, 500, så er sandsynligheden for at m går op i n. Bestem den størst mulige værdi af n. (Georg Mohr-Konkurrencen 2006) 1.4 Opgave Lad n være produktet af samtlige tal mindre end en million med præcis 9 divisorer. Vis at n er et kvadrattal. 2 Divisorer I mange typer opgaver kan det betale sig at se på hvilke mulige divisorer et udtryk kan have eller finde største fælles divisor for to udtryk.

2 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde Eksempel I dette eksempel vil vi vise at hvis a, b, c og d er naturlige tal således at ab = cd, da er a n +b n +c n +d n et sammensat tal for alle naturlige tal n. Når vi skal vise at a n +b n +c n +d n er sammensat, skal vi gerne kunne faktorisere udtrykket, og derfor ønsker vi at se på hvilke fælles faktorer a, b, c og d har. Da ab = cd, kan vi se at en primdivsor i a også er divisor i c eller d. Dette udnytter vi til at indse at der findes naturlige tal r, s, u og v så a = ru, b = sv, c = rs og d = uv. Nu har vi klarlagt sammenhængen mellem de fire tal og kan derfor faktorisere: a n + b n + c n + d n = r n u n + s n v n + r n s n + u n v n = (r n + v n )(s n + u n ). Da begge faktorer er større end 1 for alle naturlige tal n, er a n +b n +c n +d n et sammensat tal. 2.2 Opgave Om tre naturlige tal a, b og c gælder at a er ulige, og at a, b og c ikke har en fælles divisor større end 1. Desuden er 2 a + 1 b = 1 c. Bevis at abc er et kvadrattal. 2.3 Største fælles divisor Den største fælles divisor og regnereglerne for den kan fx benyttes til at vise at brøken n 2 +n 1 er uforkortelig for alle naturlige tal n, da dette er ensbetydende med at største n 2 +2n fælles divisor mellem tæller og nævner er 1. Der gælder som bekendt følgende regneregel for den største fælles divisor Dermed er gcd(a, b) = gcd(a, b ma), m Z. gcd(n 2 + n 1, n 2 + 2n) = gcd(n 2 + n 1, n 2 + 2n (n 2 + n 1)) = gcd(n 2 + n 1, n + 1) = 2.4 Opgave gcd(n 2 + n 1 n(n + 1), n + 1) = gcd( 1, n + 1) = 1. Vis at brøken er uforkortelig for alle hele tal n. n 3 + 2n n 4 + 3n Opgave Lad a n = n og g(n) = gcd(a n, a n+1 ). Vis at g er en begrænset funktion, og bestem den største værdi af g.

3 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde Eksempel Nu skal vi se et eksempel på hvordan man også i forbindelse med at bestemme største fælles divisor kan benytte moduloregning. Lad x, m og n være naturlige tal, hvor m er ulige, og x > 1. Vi vil nu bestemme gcd(a m 1, a n + 1). Sæt gcd(a m 1, a n + 1) = d. I stedet for at forsøge at reducere dette udtryk regner vi a nm modulo d på to forskellige måder da det kan give os informationer om d. Desuden er a nm = (a m ) n 1 n 1 mod d. a nm = (a n ) m ( 1) m 1 mod d. Dermed er d = 2 når a er ulige, og d = 1 når a er lige. 2.7 Opgave Bestem samtlige naturlige tal n, m > 2 for hvilke 2 n 1 går op i 2 m Potenser af heltal som divisorer Når divisorerne er potenser af heltal, kan man udnytte dette. 3.1 Eksempel I dette eksempel skal vi se på hvordan man udnytter at en potens af et helt tal er divisor i et produkt. Hvis vi ser på ligningen x(x + 1) = y n, kan vi se at hvis findes er en heltallig løsning, da må både x og x + 1 være n te potenser af et helt tal da to på hinanden følgende hele tal ikke har nogen fælles divisorer. Men da må 1 = x + 1 x = b n a n hvilket ikke kan lade sig gøre når n > 1. Vi udnytter altså her at to på hinanden følgende tal ikke har nogen fælles divisorer, til at indse at ligningen ikke har nogen heltallige løsninger. I det hele taget kan man udnytte at fælles divisorer for n og n + a også er divisorer i a. 3.2 Opgave Vis at ligningen ikke har nogen heltallige løsninger. 3.3 Opgave x = 4y(y + 1) For hvilke naturlige tal m og n, hvor m er ulige, er m n + 1 et kvadrattal?

4 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde Opgave Vis at der ikke findes naturlige tal x, y og n, n > 1, for hvilke x(x + 1)(x + 2) = y n. Bemærkning Generelt gælder at k på hinanden følgende tal, k > 1, aldrig er en n te potens af et helt tal, når n > Opgave Bestem alle naturlige tal n for hvilke n2 n er et kvadrattal. 3.6 Opgave Bestem alle par x og y af hele tal for hvilke (IMO 2006) 4 Wilsons sætning x + 2 2x+1 = y 2. I Marianne Terps og Peter Trosborgs noter om talteori er Wilsons sætning bevist så her refererer vi den blot. 4.1 Wilsons sætning For ethvert primtal p gælder 4.2 Eksempel (p 1)! 1 (mod p). Wilsons sætning kan bl.a. benyttes til at vise at hvis p er et primtal som har rest 1 ved division med 4, da er 1 kvadratisk rest modulo p, dvs. at ligningen x 2 1 (mod p) har en løsning. Lad nemlig p være et primtal på formen p = 4m + 1. Ifølge Wilsons sætning gælder 1 (p 1)! m ( 2m)... ( 2) ( 1) ((2m)!) 2 (mod p). Dvs. at ((2m!) 2 1 (mod p), og dermed ses at 1 er kvadratisk rest modulo p. Senere skal vi se at 1 ikke er kvadratisk rest modulo primtal på formen 4m Opgave Bestem samtlige naturlige tal n for hvilke n går op i (n 1)! Opgave Er det muligt at dele en mængde bestående af ti på hinanden følgende naturlige tal i to disjunkte delmængder, som samlet indeholder alle ti tal, således at produktet af elementerne i hver af de to delmængder bliver det samme tal?

5 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 5 5 Euler-Fermats sætning I talteori opgaver hvor der indgår potenser, kan det være en hjælp at kende Euler-Fermats sætning. Sætningen er bevist i Marianne Terps og Peter Trosborgs noter om talteori så her refererer vi den blot. 5.1 Euler-Fermat Lad n være et naturligt tal, og a et helt tal således at (a, n) = 1. Da gælder 5.2 Fermats lille sætning a φ(n) 1 (mod n). Fermats lille sætning er et specialtilfælde af Euler-Fermat: For et primtal p og et helt tal a hvor (p, a) = 1, gælder 5.3 Eksempel a p 1 1 (mod p). Euler-Fermats sætning kan bl.a. benyttes til at reducere potensen hvis man fx ønsker at udregne (mod 25). Da φ(25) = φ(5 2 ) = (5 1)5 = 20, er = 6 2 (6 20 ) (mod 25). 5.4 Inverse elementer Hvis a og n er to indbyrdes primiske hele tal, da kan Euler-Fermats sætning benyttes til at konstruere en invers til a (mod n). En invers til a er et helt tal a 1 som opfylder a a 1 1 (mod n). Ifølge Euler-Fermats sætning er a φ(n) 1 en invers til a da a φ(n) 1 (mod n). 5.5 Sætning Lad (a, n) = 1, og antag at a m 1 (mod n). Da gælder at a (φ(n),m) 1 (mod n). BEVIS: Den største fælles divisor af to tal kan altid skrives som en linearkombination af tallene, dvs. der findes hele tal s og t så (φ(n), m) = sφ(n) + tm. Dermed er 5.6 Eksempel a (φ(n),m) = a sφ(n)+tm = (a φ(n) ) s (a m ) t 1 (mod n). Findes der et helt tal n hvis cifre er lutter 1-taller således at n er delelig med 1999? Ja, det kan man benytte Euler-Fermats sætning til at vise. Da 1999 er et primtal, er φ(1999) = Der gælder nu at (mod 1999). Dermed går 1999 op i = } {{ }, og da (1999, 9) = 1, må 1999 gå op 1998 i } {{ } Opgaven kan faktisk også løses alene ved brug af skuffeprincippet og simple overvejelser om rester.

6 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde Opgave Vis at hvis m er et naturligt tal der ikke er delelig med 2, 3 eller 5, da findes et helt tal n hvis cifre er lutter 1-taller således at n er delelig med m. 5.8 Opgave Lad a og n være to indbyrdes primiske hele tal. Vis at hvis m er det mindste naturlige tal så a m 1 (mod n), da er m divisor i φ(n). 5.9 Opgave Lad m være et ulige naturligt tal, og betragt følgen a 0 = m og a n = 2a n for n N. Vis at der findes uendeligt mange tal i følgen som er delelige med m Opgave Antag at n, k 2 er to naturlige tal. Vis at da er mindst et af tallene p = n + k n og q = nk (kn 1) + 1 ikke et primtal Opgave Bestem alle naturlige tal n, således at 3 n + 1 er delelig med n 2. (Baltic Way 2006) 6 Primtal på formen p = 4m + 3 Primtal af formen p = 4m + 1 og primtal af formen p = 4m + 3 har forskellige egenskaber, og her vil vi se på et par af disse. 6.1 Sætning Der gælder at 1 er kvadratisk rest modulo primtal på formen p = 4m + 1, mens 1 ikke er kvadratisk rest modulo primtal på formen p = 4m + 3. BEVIS: Vi har tidligere sæt at 1 er kvadratisk rest modulo primtal p på formen p = 4m + 1. Antag nu at der findes et helt tal x så x 2 1 (mod p), hvor p = 4m + 3. Dette giver at x 4m+2 = (x 2 ) 2m+1 ( 1) 2m+1 1 (mod p), men ifølge Euler-Fermat er x 4m+2 1 (mod p), hvilket er en modstrid. 6.2 Sætning Lad p være et primtal på formen p = 4m + 3. Hvis p går op i summen af to kvadrattal a 2 + b 2, da går p op i både a og b. BEVIS: Antag at a 2 + b 2 0 (mod p), og at a ikke er delelig med p. Da findes en invers a 1 til a modulo p, og dermed har vi a 2 (a 1 ) 2 + b 2 (a 1 ) 2 0 (mod p).

7 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 7 Dette giver 1 + (ba 1 ) 2 0 (mod p), hvilket er en modstrid da 1 ikke er kvadratisk rest modulo p. Derfor må p gå op i a og dermed også i b. 6.3 Korollar Et specialtilfælde af sætningen er at et primtal p på formen p = 4m + 3 ikke kan skrives som sum af to kvadrattal. Primtal på formen p = 4m + 1 kan derimod altid skrives som sum af to kvadrattal, og det skal vi se nærmere på om lidt. 6.4 Opgave Om et helt tal n oplyses at n er kvadratfrit, og at samtlige primfaktorer i n er på formen 4m + 3.(At et tal er kvadratfrit betyder at alle primtal i primfaktoropløsningen indgår i 1. potens.) Vis at n ikke kan skrives som sum af to kvadrattal. 6.5 Opgave Vis at n ikke er et kubiktal for noget naturligt tal n. (Vink: Udnyt ovenstående teori samt at m = (m + 1)(m 2 m + 1).) For at bevise at primtal på formen p = 4m + 1 kan skrives som sum af to kvadrater, har vi brug for følgende sætning. 6.6 Thues sætning Lad n være et helt tal større end 1, og lad k være det mindste hele tal så k > n, dvs. at k 1 n. Antag at a er et tal som er primisk med n. Da findes hele tal x og y, x, y {1, 2,..., k 1}, så ay x (mod n) eller ay x (mod n). BEVIS. Betragt alle tal på formen ay + x hvor x, y {0, 1, 2,..., k 1}. Da der er k 2 > n par x, y, findes ifølge skuffeprincippet mindst to par så ax + y har samme rest modulo n. Der findes altså x 1, x 2, y 1, y 2 {0, 1, 2,..., k 1}, så a(y 1 y 2 ) x 2 x 1 (mod n), hvor x 1 x 2 eller y 1 y 2. Antag at x 1 = x 2. Da vil n gå op i a(y 1 y 2 ), og da (a, n) = 1 vil n gå op i y 1 y 2, dvs. y 1 = y 2 da y 1, y 2 {0, 1, 2,..., k 1}. Hvis vi antager at y 1 = y 2, får vi tilsvarende at x 1 = x 2. Dermed er 0 < x 1 x 2, y 1 y 2 k 1. Sæt nu y = y 1 y 2 og x = x 1 x 2. Da er 6.7 Opgave ay x (mod n) eller ay x (mod n). Lad p være et primtal på formen p = 4m + 1. Udnyt Thues sætning samt at 1 er kvadratisk rest modulo p, til at vise at p kan skrives som sum af to kvadrater.

8 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde Opgave Hvilke positive hele tal n kan skrives som sum af to kvadrater? (Bemærk at nul også regnes for et kvadrat)

9 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 9 7 Løsniner 1 Opgave 1.3 Hvis sandsynligheden er 100 for at et tilfældigt valgt tal m blandt tallene 1, 2, 3,..., 499, 500 går op i n, må n have præcis 5 divisorer. Et tal med primfaktoropløsning p α 1 1 pα pα i i har (1 + α 1 )(1 + α 2 )... (1 + α i ) divisorer, dvs. n = p 4 for et primtal p. Det størst mulige n med den ønskede egenskab er derfor n = 3 4 = 81, da 5 4 > 500. Opgave 1.4 Tal med netop 3 2 divisorer må ifølge sætning 1.1 være på formen p 8 eller p 2 q 2 hvor p og q er primtal. Et sådant tal er derfor altid et kvadrattal, og produktet af sådanne tal er derfor også et kvadrattal. Opgave 2.2 Af ligningen ses at 2bc + ac = ba. Da a er ulige, må a bc, b ac og c ab. Dermed findes naturlige tal u, v og w, så au = bc, bv = ac og cw = ab. Af dette får vi a 2 = vw, b 2 = uw, c 2 = uv. ) Vi vil nu vise at gcd(u, v) = gcd(u, w) = gcd(v, w) = 1. Lad p være en primdivisor i u. Af **) ses nu at p også er primdivisor i b og c, og dermed ikke i a da a, b og c ikke har nogen fælles divisorer. Da a 2 = vw, går p heller ikke op i v og w. På denne måde ses at gcd(u, v) = gcd(u, w) = gcd(v, w) = 1. Vi har nu at a 2 = uv og gcd(u, v) = 1. Dermed må u og v være kvadrattal. Tilsvarende ses at w er et kvadrattal. Da abc = uvw, må abc være et kvadrattal. Opgave 2.4 Brøken er uforkortelig når største fælles divisor for nævner og tæller er 1. gcd(n 4 + 3n 2 + 1, n 3 + 2n) = gcd(n 2 + 1, n 3 + 2n) = gcd(n 2 + 1, n) = gcd(1, n) = 1. Opgave 2.5 Først finder vi et udtryk for g(n) der viser at g er begrænset. g(n) = gcd(n , n 2 + 2n ) = gcd(n , 2n + 1). Da 2n + 1 er ulige, ændrer det ikke ved den største fælles divisor at gange det første tal med 2. Derfor får vi at g(n) = gcd(2n , 2n + 1) = gcd(1000 n, 2n + 1) = gcd(2000 2n, 2n + 1) = gcd(2001, 2n + 1). Heraf ses at g altid er divisor i 2001, og da g(1000) = 2001 er det også den maksimale værdi for g. Opgave 6.7 Sæt m = dn + r, 0 r < n. Da er 2 m + 1 = 2 dn+r + 1 = (2 n ) d 2 r d 2 r r + 1 (mod 2 n 1). Da n > r, er der ingen naturlige tal m, n > 2 som opfylder betingelserne. Opgave 3.2 Ved omrokering får vi x 3 = 4y 2 + 4y 3 = (2y + 1) 2 4 = (2y 1)(2y + 3). Da gcd(2y 1, 2y + 3) = gcd(2y 1, 4) = 1, er både 2y 1 og 2y + 3 kubiktal, men der findes ikke to kubiktal hvis forskel er 4. Dermed har ligningen ingen heltallige løsninger.

10 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 10 Opgave 3.3 Hvis m n + 1 er et kvadrattal, findes et naturligt tal x så m n = x 2 1 = (x 1)(x + 1). Da m er ulige, er x lige, dvs. at gcd(x 1, x + 1) = 1. Dermed findes to naturlige tal a og b således at x 1 = a n og x + 1 = b n. Men da er 2 = (x + 1) (x 1) = b n a n, hvilket giver at n = 1. Tallet m n + 1 er dermed et kvadrattal, når n = 1 og m = (2k 1) 2 1 for alle k N. Opgave 3.4 Antag at der findes en løsning, og sæt w = x + 1. Da er y n = (w 1)w(w + 1) = w(w 2 1). Da gcd(w, w 2 1) = 1, findes naturlige tal a og b således at w = a n og w 2 1 = b n. Dermed er 1 = w 2 (w 2 1) = (a 2 ) n b n, hvilket er en modstrid da n > 1. Opgave 3.5 Ved at tjekke n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 indses at blandt disse opfylder kun n = 5 det ønskede. Vi viser indirekte at der ikke er flere n der opfylder betingelsen. Antag at n > 6, og at m 2 = n2 n Da er (m + 1)(m 1) = n2 n 1, dvs. at 2 n 2 m n 2 m 1. Dermed er m 2 n 2 1, og m 2 (2 n 2 1) 2 > 2 2n 5 n2 n = m 2, da 2 n 4 > n når n > 6. Men dette er en modstrid. Opgave 3.6 Det er indlysende at der ikke er nogle løsninger for x < 0, og for x = 0 er der to løsninger (0, 2) og (0, 2). Antag at x > 0. Hvis (x, y) er en løsning, da er også (x, y) en løsning, og derfor kan vi antage at også y > 0. Vi omskriver nu ligningen til 2 x (1 + 2 x+1 ) = (y 1)(y + 1), hvilket viser et y er ulige. Da netop en af faktorerne y 1 og y + 1 er delelig med 4, får vi at x > 2, samt at en af faktorerne er delelig med 2 x 1. Sæt nu y = 2 x 1 m + ɛ, hvor m er ulige, og ɛ = ±1. Når vi indsætter dette i ligningen, får vi 2 x (1 + 2 x+1 ) = (2 x 1 m + ɛ) 2 1 = 2 2x 2 m x mɛ, eller ækvivalent Derfor er x+1 = 2 x 2 m 2 + mɛ. 1 ɛm = 2 x 2 (m 2 8).

11 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 11 Hvis ɛ = 1, må m 2 8 0, hvilket giver m = 1. Dermed er 1 1 = 2 x 2 (1 8) hvilket er umuligt. Hvis ɛ = 1, må 1 + m = 2 x 2 (m 2 8) 2(m 2 8), dvs. at 2m 2 m Dette giver at m = 1 eller m = 3. Det er igen nemt at se at m = 1 ikke er en løsning. Hvis m = 3, får vi at x = 4, dvs. at y = 23, og disse værdier opfylder den oprindelige ligning. Dermed er samtlige løsninger (0, 2), (0, 2), (4, 23) og (4, 23). Opgave 4.3 Hvis p er et primtal, gælder ifølge Wilsons sætning at (p 1)! 1 (mod p), dvs. p går op i (p 1)! + 1. Hvis n ikke er et primtal, findes et primtal p som går op i n, hvor p < n. Da p går op i (n 1)!, kan p og dermed heller ikke n gå op i (n 1)! + 1. Opgave 4.4 Vi viser indirekte at svaret er nej. Antag at mængden S = {n, n+1,..., n+9} kan deles i to disjunkte mængder S 1 og S 2 således at produkterne π 1 og π 2 af henholdsvis elementerne i S 1 og S 2 er ens. Blandt ti på hinanden følgende tal kan højst et være deleligt med 11, men hvis et af tallene var deleligt med 11, ville de to produkter ikke være ens. Tallene i S repræsenterer således restklasserne 1, 2,..., 10 modulo 11. Ifølge Wilsons sætning gælder nu at π 2 1 = π 1 π 2 (11 1)! 1 (mod 11). Men der er ingen rester modulo 11 der opfylder ligningen x 2 1 (mod 11), hvilket er en modstrid. Dermed er antagelsen forkert. Opgave 5.7 Da (m, 10) = 1, gælder ifølge Euler-Fermat at 10 φ(m) 1 (mod m). Dermed går m op i 10 φ(m) 1 = } {{ }, og da (m, 3) = 1, må m gå op i φ(m) } {{ }. φ(m) Opgave 5.8 Ifølge Sætning 5.5 ved vi at hvis a m 1 (mod n), da er a (m,φ(n)) 1 (mod n). Hvis m er det mindste naturlige tal som opfylder a m 1 (mod n), må (m, φ(n)) = m. Dermed er m divisor i φ(n). Opgave 5.9 Bemærk først at a n + 1 = 2(a n 1 + 1) = 2 2 (a n 2 + 1) = = 2 n (a 0 + 1) = 2 n m + 2 n. Dermed er a n = 2 n m + 2 n 1. Da gcd(m, 2) = 1, er 2 φ(m) 1 mod m. For n = kφ(m) er a n = 2 n m + 2 n 1 (2 φ(m) ) k = 0 mod m. Dermed er der uendelige mange tal i følgen som er delelige med m. Opgave 5.10 Hvis p ikke er et primtal, er vi færdige. Antag derfor at p er et primtal. Da (p, k) = 1, gælder ifølge Euler-Fermats sætning at q = nk (kn 1) + 1 = (p k n )k p n k p (mod p).

12 Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 12 Da k, n 2, er q = nk (kn 1) + 1 > n + k n = p. Heraf følger at q ikke er et primtal. Opgave 5.11 Hvis n er lige, er 3 n = 2 (mod 4), og dermed er 3 n + 1 ikke delelig med n. Antag nu at n er ulige, og at 3 n + 1 er delelig med n 2. Det er klart at n = 1 opfylder betingelsen, så vi antager yderligere at n > 1. Lad p være den mindste primdivisor i n. Ifølge antagelsen går p op i 3 2n 1 = (3 n + 1)(3 n 1), og ifølge Euler-Fermat går p op i 3 p 1 1. Fra Sætning 5.5 ved vi nu at p går op i 3 (2n,p 1) 1 = = 8, hvilket er en modstrid. (Bemærk at (2n, p 1) = 2 da p er den mindste primdivisor i n). Dermed er n = 1 den eneste løsning. Opgave 6.4 Antag at a 2 + b 2 = n, og lad n = p 1 p 2... p s. Da er a 2 + b 2 0 (mod p i ) for alle i = 1, 2,..., s. Ifølge Sætning 6.2, må p i gå op i både a og b, dvs. at n går op i a og b hvilket er en modstrid. Opgave 6.5 Antag at n = m 3. Hvis man betragter ligningen modulo 8, ser man ved at gennemgå de mulige restklasser for n og m at n må være lige samt at m har rest 3 modulo 4. Ifølge antagelsen er n = m = (m + 1)(m 2 m + 1). Desuden er m 2 m (mod 4), dvs. at der findes en primdivisor p i m 2 m + 1 som har rest 3 modulo 4. Dermed er n (mod p), og ifølge Sætning 6.2 må 2 gå op i p. Dette er en modstrid, og dermed er antagelsen forkert. Opgave 6.7 Vi ved at der findes et helt tal z så z (mod p). Da (z, p) = 1, findes ifølge Thues sætning hele tal x og y, 0 < x, y < p, så zy x (mod p) eller zy x (mod p). Da z (mod p), må (yz) 2 + y 2 0 (mod p), og dermed Da 0 < x 2 + y 2 < 2p, må x 2 + y 2 = p. x 2 + y 2 0 (mod p). Opgave 6.8 De tal der kan skrives som sum af to kvadrater, er netop tal med primfaktoropløsning n = 2 m p α 1 1 pα 2 2 pαr r q β 1 1 qβ 2 2 qβs s, hvor p i 1 (mod 4), q j 3 (mod 4), og hvor β 1,..., β s er lige. Først bemærker vi at hvis to tal kan skrives som sum af to kvadrater, da kan deres produkt også skrives som sum af to kvadrater: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 = (ac + bd) 2 + (ad bc) 2. Da 2, alle primtal på formen 4m + 1 samt alle kvadrater kan skrives som sum af to kvadrater, kan alle tal på ovenstående form dermed skrives som sum af to kvadrater. Antag at n = a 2 +b 2, og at primfaktoropløsningen for n indeholder et primtal q hvor q 3 (mod 4). Da q går op i en sum af to kvadrater, vil q ifølge sætning 6.2 gå op i både a og b. Dermed vil q 2 gå op i a 2 + b 2 = n. Vi reducerer nu n, a 2 og b 2 med q 2 og får a b2 1 = n 1. Hvis n 1 er delelig med q, kan vi gentage proceduren en gang til og se at q 2 vil gå op i n 1. På denne måde indses at q indgår i primfaktoropløsningen for n i en lige potens.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Opgave Firkantet E F. Opgave Trekantet

Opgave Firkantet E F. Opgave Trekantet 1 Opgave Firantet E F Lad være et vilårligt punt på liniestyet mellem og, og tegn halvcirler til samme side over diametrene, og. Lad være det punt på halvcirlen, der har vinelret på, og lad EF være fællestangenten

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Matematik 2AL. Algebra

Matematik 2AL. Algebra Matematik 2AL Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Matematik 2AL, Algebra, 2. udgave. Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

hvor 2 < p 1 < p 2 < < p k, er G s orden φ(n) = (p 1 1)p e 1 1

hvor 2 < p 1 < p 2 < < p k, er G s orden φ(n) = (p 1 1)p e 1 1 1 FTERMTH LØSNINGER Opgaverne er fra International Mathematical Olympiads, 1990,3, 1987,2, 1986,1, 1986,5, 1986,6, 1988,5, 1993,2, 1988,2. Nogle af opgaverne er løst af Ebbe Thue Poulsen. Heltalligt estem

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

Modul 5: Test for én stikprøve

Modul 5: Test for én stikprøve Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

T ALKUNNEN. Tal. Gå på taljagt! INFA Matematik - 1999. Allan C MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716

T ALKUNNEN. Tal. Gå på taljagt! INFA Matematik - 1999. Allan C MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716 T ALKUNNEN 7 Allan C Allan C.. Malmberg Tal Gå på taljagt! MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716 INFA Matematik - 1999 Talkunnen Serien Talkunnen indeholder fremstillinger af en række emner som kan

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN

00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 1 ALGEBRA OG TALTEORI JOHAN P. HANSEN HENRIK GADEGAARD SPALK ASPEKT SERIEN 00 AlgeTal 23/10/02 11:47 Side 2 Algebra og talteori 2002 by Gyldendalske Boghandel Nordisk forlag,

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Tilstandsligningen for ideale gasser

Tilstandsligningen for ideale gasser ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6

Læs mere

Kryptografi Anvendt Matematik

Kryptografi Anvendt Matematik Kryptografi Anvendt Matematik af Marc Skov Madsen PhD-studerende Matematisk Institut, Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Kryptografi p.1/23 Kryptografi - Kryptografi er læren om, hvordan en tekst

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik

Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik Ved aktivt medborgerskab kan vi gøre Silkeborg Kommune til en attraktiv kommune med plads til alle. Silkeborg Kommunes Socialpolitik 1 Indhold Socialpolitikken og Socialudvalgets MVV... 3 Politikkens fokusområder...

Læs mere

Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable

Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Årsafslutning i SummaSummarum 4

Årsafslutning i SummaSummarum 4 Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre

Læs mere