Geometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.

Transkript

1 Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag Aalborg Univeritet /8 t i f i l : tadieaflæning ved tilbageigte : tadieaflæning ved fremigte h (t f ) + (t f ) + + (t n f n ) t i f i Totallængden l er opdelt i n tykker af længde, dv l n /8 i Modellen Modellen Realiationer af tokatike variable, Realiationer af tokatike variable, T i F i H t i f i h T i F i H t i f i h Vi antager var(t i ) var(f i ) σ a, i,, n Denne antagele kan begrunde med igteaftanden er fat og den ae for alle obervationer h er en realiation af den tokatike variabel H i (T i F i ) Vi antager var(t i ) var(f i ) σ a, i,, n Denne antagele kan begrunde med igteaftanden er fat og den ae for alle obervationer h er en realiation af den tokatike variabel H i (T i F i ) Varianen af H betee ved ( ) var(h) var T i F i i [var(t i ) + var(f i )] nσa i Fra forrige lide l n n l, dv var(h) nσ a l σ a /8 4/8

2 Kilometerpredningen σ k Obervationer af varierende kvalitet Varianen på højdeforkellen over længden l, var(h) l σ a Erfaringer vier at σa kun i ringe grad afhænger af når < 00 m Sålede indføre kilometerpredningen σ k σ a / [ ] hvor af var(h) l σ a σ kl [ ] Notation: σ l σ k l, dv σl er predningen på et geometrik nivellement over længden l Som tidligere er x,, x n realiationer af tokatike variable X,, X n, hvor E(X i ) µ i og var(x i ) σi ikke nødvendigvi er en Antag at µ µ µ n µ, dv alle obervationer x,, x n er målinger af ae tørrele µ Varianen ikke nødvendigvi den ae for alle målinger Ekempel på hvor dette kan indtræffe: Det kan benytte flere fikpunkter til beteele af koten i et punkt P med forkellige aftande til P Fx σ [ ] l σ k, σ [ ] l σ k og σ [ l σ k ] Dv flere målinger af ae højde(forkel) har forkellig kvalitet (læ: uikkerhed) Ide: Hver måling give en vægt om afpejler kvaliteten af målingen deto bedre måling deto højere vægt 5/8 6/8 t gennemnit Sætning Til at etimere µ bruge det vægtede gennemnit x ålede mere præcie målinger (obervationer med lav varian) vægter mere i gennemnittet end dårligere betemte målinger (målinger med højere varian) x p x + + p n x n (p x + + p n x n ), hvor vægtene er valgt å de opfylder vægtrelationen og i p σ p n σ n, Bæmærk at en løning the vægt relationen er For den tokatike variabel X p X + + p n X n (p X + + p n X n ), hvor gælder følgende udagn X er et centralt etimat, dv E( X ) µ For poitive p,, p n er var( X ) mindt når vægtene opfylder p σ p nσ n i σ i 7/8 8/8

3 Varianer og σ 0 Fordelingen X Idet vægtrelationen forekriver σ i er en for alle i, kan σ0 indføre om σ 0 p σ p σ Man kan vie at varianen for the vægtede gennemnit er var( X ) σ 0 Vi har vit at E( X ) µ og var( X ) σ 0 Da hvert X i er normalfordelt, er den tokatike variabel X p X + + p n X n (p X + + p n X n ), hvor i Af vægtrelationen følger σ i σ0, om kan omkrive til σ i σ 0 ogå normalfordelt dv X N ( ) µ, σ 0 9/8 0/8 Etimater af σ 0 og varianerne af X og X i Etimater af σ 0 og varianerne af X og X i Som etimator for σ 0 anvende Som etimator for σ 0 anvende S0 i (X i X ) i Xi ( X ) n n S0 i (X i X ) i Xi ( X ) n n Som etimat af S0 anvende 0, hvor de tokatike variable er ertattet af de oberverede værdier, 0 i (x i x ) i xi ( x ) n n Det følger at og 0 er et etimat af var( X ) σ 0 0 er et etimat af var(x i ) σ i σ 0 /8 /8

4 Ekempel - Ekempel - Højdeforkel nivelleret over n trækninger med ae kilometerpredning σ k Varianen over en længde l er fra tidligere givet ved σ k l Højdeforkel h Længde l Varian på h over l h l σ σ k l h l σ σ k l h n l n σ n σ k l n Forkellig varian på målinger, dv vægtede obervationer Vægtrelationen er opfyldt når σ 0 p σ p n σ n Fra tabellen e det at vægten kan vælge til (l i ) dv vægten er den reiprokke længde /8 4/8 Ekempel - Ekempel - polygonvinkler Vi oberverer følgende: Strækning Højdeforkel [m] Aftand [] Etimatet af koten µ i punktet 50 er derfor givet ved: x l l + l + l [m] x l l + l + l x l l + l + l 0 x Vi måler vinklerne i punkterne -6 Alle vinkler er målt med ae varian σ v Lad σ m,i være varianen af middelaten i punkt i Punkt Antal ater σ m,i σ m, σ v 4 σ m,4 σ v 5 4 σm,5 σ v σm,6 σ v /8 6/8

5 Ekempel - fortat Ekempel - Vinkelmålinger Vinkler målt med forkellige ater med ae vinkelpredning σ v Varianen på vinkler målt med k ater er fra tidligere givet ved σ v/k Ifølge vægtrelationen kal σ m,i være en for alle i, p σ m, p 4 σ m,4 p 5 σ m,5 p 6 σ m,6 Jf udtrykkene fra forrige lide Vinkel v Sat k Varian på middelat v k σ σ k /k v k σ σ k /k v n k n σk σ k /k n σv p p σv 4 p σv 5 4 p σv 6 6 Sålede kan vægtene vælge lig antal ater for hvert punkt Forkellig varian på målinger, dv vægtede obervationer Vægtrelationen er opfyldt når σ 0 p σ p n σ n Fra tabellen e det at vægten kan vælge til k i dv vægten er antal ater 7/8 8/8