Seminariernes Matematiklærerforening: Matematisk krystallografi Quasi-krystaller - aperiodiske fladeudfyldninger

Transkript

1 Seminariernes Matematiklærerforening: Matematisk krystallografi Quasi-krystaller - aperiodiske fladeudfyldninger Johan P. Hansen Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet matjph@mi.aau.dk 9. september 2004

2 Diamonds Are A Girl S Best Friend, Marilyn Monroe A kiss on the hand may be quite contimental But diamonds are a girl s best friend A kiss may be grand but won t pay the rental On your humble flat, or help you at the automat Men grow cold as girls grow old And we all lose our charms in the end But square-cut or pear-shaped These rocks don t lose their shape Diamonds are a girl s best friend 1

3 Matematik former paradigmer Uddrag af en kronik Matematik er en smuk videnskab af Nils A. Baas, Johan P. Hansen og Ib Madsen i Politiken den 4. juni Matematik er et fag i sig selv, men det giver også et sprog og værktøjer til at beskrive, forme, analysere og løse problemer i andre fag. Det er næsten unødvendigt at fremhæve, at matematik er centralt i næsten al videnskab og erkendelse. 2

4 Disposition Paradigmet: Den geometriske grundstruktur for et krystal er et gitter. Matematisk krystallografi, krystalkriteriet. Quasi-krystaller (1984) kan ikke rummes indefor ovenståend begrebsramme! Aperiodiske fliselægninger - et nyt paradigme for den geometriske grundstruktur for krystaller? 3

5 Krystaller - før

6 periodisk konfiguration i rummet / gitter studeres ved Røntgenbilleder symmetrier af gitteret symmetrier af Røntgenbilledet 5

7 Før der 17. århundrede: ingen (geometrisk) teori for krystaller. Kepler (1611): Den geometriske struktur af snefnug (hexagonal). I slutningen af det 18. århundrede etableredes opfattelse af krystaller som gitre med translationssymmetri, et paradigme var skabt: Et krystal er/var per definition et periodisk gentaget mønster (translations symmetri) - sådan har det været de sidste 200 år (indtil 1984). 6

8 Siden 1912 er krystaller studeret ved Røntgen diffraktionsmønstre siden suppleret med elektron- og neutrondiffraktionsmønstre. Bølger der møder en forhindring bryder, intefererer og rekombinerer. Røntgenlys har en bølgelængde, der matcher den atomare størrelse i krystaller. Brydningen beskrives matematisk ved hjælp af Fouriertransformation 7

9 Quasi-krystaller - efter 1984 Billeder som dette gav anledning til overskrifts-fysik. 8

10 En legering af aluminium og mangesium, dannet ved hurtig afkøling, har et Røntgenbillede med en ulovlig symmetri (en 10-folds rotation)! Shechtman, Blech, Gratias, Cahn: Metallic phase with long-range orientational order and no translation symmetry, Physical Review Letters (1984) Vol 53,

11 Det krystallografiske kriterium 2-, 3-, 4-, og 6-folds rotationer: eneste lovlige symmetrier af rumgitre. paradigmet: gitteret er den geometriske grundstruktur for et krystal er for snævert Opdagelse gav anledning til overskrifts-fysik. Legeringen kunne snart laves i en række laboratorier verden over. Mange andre ikke-krystallinske krystaller (quasi-krystaller) blev fundet. Det blev snart klart, at ikke-periodiske metalfaser ikke er sjældenheder, men meget udbredte. 10

12 Matematisk krystallografi Felix Klein s Erlangen program(1872): Geometriske objekter skal klassificeres ved egenskaber invariante under transformationer Geometri: studer gruppen af transformationer, der lader det geometriske objekt invariant Birger Iversen, Lectures on CHRYSTALLOGRAPHIC GROUPS, Aarhus Universitet, Matematisk Institut, Lecture Notes Series 1990/91 No. 60, revised Feb. 1995, J A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, D. D. Heath and Compagny, Lexington, Massachusetts,

13 Euclidsk geometri Relevante transformationer: afstandsbevarende afbildninger. 12

14 Afstandsbevarende afbildninger af planen: translationer spejlinger rotationer glidespejlinger 13

15 Tapet/krystal - periodisk udfyldning korteste translation translationerne udgør et gitter (i planen udspændt af de 2 korteste translationer) (gruppen af symmetrier) virker på gitteret af translationer 14

16 Hvilke rotationer af gitre er lovlige? Sætning Det krystallografiske kriterium. En rotation af et plant eller rumligt gitter har orden 2, 3, 4 eller 6. 15

17 Bevis. Lad v være en korteste translation af gitteret. Lad f være en rotation gennem 2π N omkring et punkt (en akse). Vektoren v f(v) er en translation af gitteret, der ikke kan være kortere end v, hvorfor 2π N 2π 6 og dermed er N 6. Lad f være en rotation gennem 2π 5. Vektoren v f(v) + f 1 (-v) er en translation af gitteret, der er kortere end v, hvorfor vi har en modstrid. 16

18 17

19 Klassifikationen: 17 plane krystallografiske grupper 230 rumlige krystallografiske grupper (1891) - Fedorov og Schoenflies Henvisninger: Strikt matematiske behandling se Birger Iversen (loc.cit.) Mere beskrivende behandling se Gallian (loc. cit.) 18

20 Aperiodiske fliselægninger To hjørner, der møder hinanden, skal enten begge være hvide eller begge sorte. To kanter der mødes skal begge enten være med pil eller uden pil. Hvis to kanter, der mødes har pile, skal begge pile pege i samme retning. 19

21 20

22 Postscript Penrose fliselægger: cass/courses/m308-02b/projects/schweber/penrose.html Bruger substitutionsmetoden til at tegne Penrose fliselægninger. Bruger 4 triangulære fliser TL, TR, tl og tr, som laves ved at dele den tynde rombe langs dens korte diagonal og den tykke rombe langs dens lange diagonal. Pilene langs kanterne anviser parringsregler. 21

23 22

24 24

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 Statistisk rotationssymmetri! Hver tyk rhombe forekommer i netop 10 forskellige orienteringer (ligesom hver tynd rhombe gør) Hver orientering forekommer lige hyppigt (Indenfor en stor cirkel tælles antallet med en given orientering, antallet deles med cirklens areal. Dette tal har en græseværdi, der er den samme for alle 10 orienteringer) frekvensen er invariant under 10-folds rotation 33

34 Røntgenbillede af fliselægning Optiske mønstre, der produceres ved at gennemlyse en maske bestående af en plade med huller er en 2-dimensional analog til Røntgenbilleder af krystaller. I den udleverede artikel Tilings, Diffraction, and Quasicrystals af Marjorie Senechal og i hendes bog Quasicrystals and Geometry redegøres for, hvordan man matematisk udregner diffraktionsmønstret. Der er endda henvisninger til et C- program, der gør det. Placeres hullerne i hjørnerne af Penrose eksemplet fås et billede (som ved Røntgenbilledet af et quasi-krystal) med 10-folds rotationssymmetri. 34

35 35

36 Sammenligning 36

37 Historiske bemærkninger Hao Wang : Findes der endelig mange fliser, så kopier kan dække planen, men kun aperiodisk? R. Berger : JA, flere end fliser skal bruges D. Myers : Der findes endelig mange fliser, så kopier kan dække planen, men kun ikke-rekurssivt? Proving theorems by pattern recognition II Bell Systems Tech. J. 40 (1961),1-41 The undecidability of the domino problem, Mem. Amer. Math. Soc., no. 66 (1966) Nonrecursive tilings of the plane, II, J. Symbol Logic 39 (1974),