Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens O

Transkript

1 Offentlige foredrag i naturvidenskab nat.au.dk/foredrag Det Naturvidenskabelige Fakultet, Aarhus Universitet Folkeuniversitetet i Århus Symmetrier og mønstre

2 Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens Olesen, Biologi Symmetri, partikelfysik og kosmologi, Jeffrey S,. Hangst, Fysik Symmetri og matematik i natur og forståelse, Johan P. Hansen, Matematik og Søren Ryge, Danmarks Radio Krystalsymmetri og et røntgenblik på livets molekyler, Poul Nissen, Molekylærbiologi

3 Johan P. Hansen Symmetri og matematik Ph.D. fra Brown University, RI, USA og cand. scient. fra Aarhus universitet Institutleder ved Institut for Matematiske Fag, Det Naturvidenskabelige Fakultet, Aarhus Universitet Forskningsområde: Algebraisk geometri og anvendelser i Kodningsteori, Kryptografi Lærebogsforfatter

4 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller M. C. Escher ( ) lavede 137 tegninger med regulær opdeling af planen.

5 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Historie M.C. Escher blev facineret af den regulære opdeling af planen, da han første gang i 1922 besøgte Alhambra

6 Symmetri og matematik Historie Alhambra - et slot bygget af Maurerne i Granada i Spanien i det 14. århundrede M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller

7 Symmetri og matematik M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller

8 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Definition En symmetri af et objekt er en afbildning, der fører objektet i sig selv - objektet er invariant Eksempel En ligesidet 3-kant har 6 symmetrier 3 spejlinger: s 1, s 2, s 3 2 rotationer: r, r r identiteten: e s 3 s 2 r s 1

9 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Komposition Symmetrier kan sættes sammen - først anvendes den ene, derpå den næste. Skrives f g. Symmetrigruppe Alle symmetrierne under et (med den beskrevne komposition) kaldes symmetrigruppen og skrives (G, ). I eksemplet med den ligesidede 3-kant er G = {e, r, r 2 = r r, s 1, s 2, s 3 } og kompositionstabellen er: e r r 2 s 1 s 2 s 3 e e r r 2 s 1 s 2 s 3 r r r 2 e s 2 s 3 s 1 r 2 e r r s 3 s 1 s 2 s 1 s 1 s 3 s 2 e r 2 r s 2 s 2 s 1 s 3 r e r 2 s 3 s 3 s 2 s 1 r 2 r e

10 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Symmetrigruppen for en terning En terning har 24 rotations symmetrier 8 rotationer om diagonalerne - 2 om hver af de 4 diagonaler 9 rotationer omkring akser gennem modstående sider - 3 om hver af de 3 akser 6 rotationer omkring akser gennem modstående kanter -1 om hver af de 6 akser identiteten samt 24 spejlingssymmetrier. Symmetrigruppen for en terning har altså 48 elementer.

11 Symmetri og matematik Symmetri-gruppen for en Escher tegning 3-folds rotationssymmetrier translationer langs gitteret symmetri-gruppe. M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller

12 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Opsummering Til ethvert objekt knytter vi dets symmetri-gruppe, nemlig alle de afbildninger, der holder objektet invariant Objekt Symmetri-gruppe (Felix Klein) s3 s1 r s2 gruppe med 6 elementer gruppe med 48 elementer gruppe med et translations gitter Rotationer af gitre Hvilke rotationer af plane eller rumlige translations gitre er mulige?

13 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Theorem (Det krystallografiske kriterium) En rotation af et plant eller rumligt gitter har orden 1, 2, 3, 4 eller 6 - altså er en rotation på 1, 1 2, 1 3, 1 4 eller 1 6 omgang.

14 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Bevis opstart 1.del Lad v være en korteste translation af gitteret. Lad f være en rotation gennem 2π N omkring et punkt (en akse). N 6 Vektoren f (v) v er en translation af gitteret. Den kan ikke kan være kortere end v, hvorfor og dermed er N 6. 2π N 2π 6 f(v) f(v) v 2π 6 2π N v

15 2π 5 = 72 v Symmetri og matematik M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Bevis opstart 2. del Lad v være en korteste translation af gitteret. Lad f være en rotation gennem 2π 5 omkring et punkt (en akse). N 5 Vektoren v + f 2 (v) er en translation af gitteret, der er kortere end v, hvorfor vi har en modstrid. f 2 (v)+v f(v) f 2 (v)

16 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Klassifikation Alle uendelige grupper af afbildninger af planen (eller rummet) med et translationsgitter: Der er 17 grupper i det plane tilfælde Der er 230 grupper i det rumlige tilfælde (1891) - Fedorov og Schoenflies Beviset beror i høj grad på det krystalliske kriterium.

17 M. C. Escher og Alhambra Symmetrigrupper Det krystallografiske kriterium Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller Definition Matematisk krystallografi indtil 1984 i slutningen af det 18. århundrede etableredes opfattelse af krystaller som gitre med translationssymmetri - et paradigme var skabt Matematik: I naturen er der højst 230 forskellige krystalformer - rotationer af krystaller har orden 1, 2, 3, 4 eller 6 siden 1912 er krystaller studeret ved røntgen-, elektron- og neutrondiffraktionsmønstre

18 krystalparadigmet smuldrer Aperiodiske fliselægninger - Penrose Artikel 1984 Shechtman, Blech, Gratias, Cahn: Metallic phase with long-range orientational order and no translation symmetry Røntgenbillede med ulovlig 10-folds rotation - overskrifts videnskab En legering af aluminium og mangesium dannet ved hurtig afkøling

19 krystalparadigmet smuldrer Aperiodiske fliselægninger - Penrose Paradigmet om krystallers struktur falder Det krystallografiske kriterium: 1-, 2-, 3-, 4- og 6-folds rotationer er de eneste lovlige symmetrier af rumgitre Paradigmet: Gitteret er den geometriske grundstruktur for et krystal er for snævert

20 krystalparadigmet smuldrer Aperiodiske fliselægninger - Penrose Roger Penrose Konstruerede ved hjælp af 2 sæt rhomber en udfyldning af planen uden translationssymmetri. Aperiodiske fliselægning

21 krystalparadigmet smuldrer Aperiodiske fliselægninger - Penrose Rhomberne Rhomberne har samme sidelængde, de røde rhomber har vinklerne 36 og 144 og de blå vinklerne 72 og 108 Statistisk rotationssymmetri hver rød rhombe forekommer i netop 10 forskellige orienteringer (ligesom hver af de blå) hver at de 10 orienteringer forekommer lige hyppigt frekvensen er altså invariant under 10-folds rotation forholdet mellem antal røde og antal blå rhomber er det gyldne forhold Φ= =

22 krystalparadigmet smuldrer Aperiodiske fliselægninger - Penrose Diffraktion Optiske mønstre fås ved at gennemlyse en plade med huller - analogt til Røntgenbilleder Røntgenbillede af fliselægning Placeres hullerne i hjørnerne af Penrose eksemplet fås et billede (som ved Røntgenbilledet af et quasi-krystal til højre) med 10-folds rotationssymmetri.

23 krystalparadigmet smuldrer Aperiodiske fliselægninger - Penrose Quasiart Vibeka Andersen John Stephensen Egå Gymnasium - The Wall - Skulptur

24 Symmetri og matematik Bladstilling, vækst og form i biologi Observation En matematisk model En matematisk beskrivelse Blomkål

25 Observation En matematisk model En matematisk beskrivelse Generativ spiral Hofmeister (1868) hypotese: Vælg position, hvor der er bedst plads 1 et punkt på hver cirkel 2 ens divergensvinkel d mellem succesive punkter 3 ens forhold mellem succesive radier Model

26 Observation En matematisk model En matematisk beskrivelse Parastichities I spiralgitre synes øjet åbenbart at forbinde nærmest naboer til spiraler - de såkaldte parastichies Vi ser 8 røde parastichities og 13 grå Model

27 Observation En matematisk model En matematisk beskrivelse Fibonacci tal Tallene 8 og 13 indgår i Fibonacci følgen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Et tal er summen af de 2 foregående. Det gyldne forhold Hvis F n+1 F n F n+1 = F n + F n 1 F n+1 F n = 1 + F n 1 F n x, så vil x = x x 2 x 1 = 0 x = =Φ= 1, d = Φ = 137, 50

28 Matematik er en smuk videnskab Observation En matematisk model En matematisk beskrivelse Einstein Hvad skyldes det, at matematik, der trods alt er tankevirksomhed løsrevet fra erfaring, er så beundringsværdigt tilpasset virkelighedens genstande?. En rose