Affine transformationer/afbildninger
|
|
- Steffen Ludvigsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning 2) drejning omkring et punkt 3) spejling i en linje 4) multiplikation ud fra et punkt (homoteti) 5) ret affinitet om en akse Med P betegnes billedet af punktet P ved en affin transformation. 1) parallelforskydning P a P a er den samme uafhængig af P. Specialtilfælde 2) drejning omkring et punkt O O P 3) spejling i en linje l P v P 1 P P l P = P : a = 0 (identiteten) vinklen v er den samme uafhængig af P. OP = OP 4) multiplikation med k ud fra et punkt O O P P k = 2 lad P 1 være den vinkelrette projektion af P på l. P 1 P = P 1 P OP = k OP Specialtilfælde k = 1 : identiteten hvor k er et givet tal. k = 0 : P = O for alle P k = 1 : drejning på 180 om O (= spejling i O)
2 2 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts ) ret affinitet med forvandlingstal k om en linje l P P P 1 l k = 2 Lad P 1 være den vinkelrette projektion af P på l. Tallet k er givet. P 1 P = k P 1 P Specialtilfælde k = 1 : identiteten k = 0 : den vinkelrette projektion på l k = 1 : spejling i l Flytninger = De affine afbildninger, der fås ved 1) parallelforskydninger 2) drejninger 3) spejling i linjer samt sammensætninger af disse. Ligedannetheder = De affine afbildninger, der fås ved 1) parallelforskydninger 2) drejninger 3) spejling i linjer 4) multiplikation ud fra et punkt. samt sammensætninger af disse. Isometri = En afstandsbevarende afbildning. Er en isometri en affin afbildning? (Svar senere) For affine afbildninger gælder AB = CD A B = C D Derfor kan man til enhver affin afbildning knytte én afbildning ϕ af planens vektorer ind i planens vektorer ved u = AB ϕ( u) = A B Der gælder, at ϕ er lineær, dvs ϕ(x a + y b) = x ϕ( a) + y ϕ( b) for alle vektorer a og b samt alle tal x og y. Givet to egentlige vektorer a og b, som ikke er parallelle, så kan enhver vektor skrives som en linearkombination af a og b (dvs på formen x a+y b). Dermed er afbildningen ϕ fastlagt, når blot ϕ( a) og ϕ( b) er kendte. En affin afbildning er fastlagt, når ϕ er
3 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts fastlagt, og billedet P af ét punkt P er kendt. Billedet Q af et vilkårligt punkt Q bestemmes nemlig ved P Q = ϕ( P Q) Koordinatregning 1 0 a c Sæt: ı =, j = og ϕ( ı ) =, ϕ( j ) = 0 1 b d Dermed P (x, y), P (x, y ), O(0, 0) og O (x 0, y 0 ) O P = ϕ( OP ) = ϕ(x ı + y j ) = x ϕ( ı ) + y ϕ( j ) = og OP = OO + O P = x0 y 0 + a c x Altså er koordinatfremstillingen for den affine afbildning x x0 a c x = + y y 0 b d y hvor skrivemåden a c x ax + cy = b d y bx + dy b d y ax + cy a c x = bx + dy b d y er introduceret. a c Til den affine afbildning er altså knyttet en 2 2 matrix A =. b d At kende ϕ er ækvivalent med at kende A. Eksempel x = x y y 2 2 Dette beskriver en drejning på 60 omkring et punkt S. Punktet O(0, 0) afbildes i O (2, 1) Koordinaterne til S bestemmes ved at S er et fixpunkt (dvs S = S)
4 4 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 Løses ligningssystemet x 2 1 = + x 3 y 2 2 y 1 3 x + 1y 2 2 findes koordinaterne ( til S. Svar: S 1 3, ) Eksempler på matricer 1 0 : parallelforskydning 0 1 cos v sin v : drejning med drejningsvinkel v sin v cos v cos v sin v : spejling i en linje, der danner vinklen v med x-aksen sin v cos v 2 k 0 : multiplikation med faktor k 0 k k 0 : ret affinitet med forvandlingstal k om y-akse : ret affinitet med forvandlingstal k om x-akse 0 k Udfører man først en affin transformation med tilknyttet matrix A = a11 a 12 a 21 a 22 og efterfølgende en affin transformation med tilknyttet matrix B = b11 b 12 b 21 b 22 så får den sammensatte affine afbildning matricen (overvej) b11 b 12 a11 a 12 b11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22 BA = = b 21 b 22 a 21 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22 Løst sagt : skal man i den sammensatte matrix finde elementer i den i te række (vandrette) og j te søjle (lodrette), så tager man tallene i den i te række i B og ganger med tallene i den j te søjle i A og lægger sammen. Eksempel =
5 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Bemærk at normalt er BA og AB forskellige. Derimod gælder A(BC) = (AB)C. Determinant for en affin afbildning ) ) Sæt x = ( x1 x 2 og y = ( y1 2 2 ϕ( x) = ϕ(x 1 ı + x 2 j ) = x 1 ϕ( ı ) + x 2 ϕ( j ) ϕ( y) = ϕ(y 1 ı + y 2 j ) = y 1 ϕ( ı ) + y 2 ϕ( j ) det(ϕ( x), ϕ( y)) = ϕ( x) ϕ( y) = (x 1 ϕ( ı ) + x 2 ϕ( j ))(y 1 ϕ( ı ) + y 2 ϕ( j )) = ϕ( ı ) ϕ( j ) (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = det(ϕ( ı ), ϕ( j )) det( x, y) (Her er benyttet ϕ( ı ) ϕ( ı ) = ϕ( j ) ϕ( j ) = 0 samt ϕ( ı ) ϕ( j ) = ϕ( j ) ϕ( ı )) Dermed (forudsat det( x, y) 0) det(ϕ( ı ), ϕ( j )) = det(ϕ( x), ϕ( y)) det( x, y) Det ses heraf, at det(ϕ( ı ), ϕ( j )) er uafhængig af koordinatsystemet og altså kun afhænger af afbildningen ϕ. Kald den affine afbildning f. Man skriver a c det f = det ϕ = det(ϕ( ı), ϕ( j)) = det A = = ad bc b d (Selvom matricen A er afhængig af koordinatsystemet er det A det altså ikke!). Betydning af det ϕ : Lad F være en figur og F billedet af figuren ved den affine afbildning. det ϕ = areal af F areal af F Betydning af sgn(det ϕ) : det ϕ er positiv, hvis ϕ bevarer orientering af vinkler (med eller mod uret). det ϕ er negativ, hvis ϕ vender orientering af vinkler. det ϕ kaldes afbildningens determinant. Der gælder det AB = det A det B Hvis en affin afbildning f er bijektiv så er den inverse afbildning f 1 (f 1 kan defineres ved f f 1 = id) også en affin afbildning. En affin afbildning f er bijektiv hvis og kun hvis det f 0 (at det f 0 for en bijektiv afbildning får umiddelbart af 1 = det id = det f f 1 = det f det f 1 )
6 6 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 Betegnes matricen hørende til den oprindelige afbildning med A = a11 a 12 a 21 a 22 så har den inverse afbildning matricen A 1 = a 22 det A a 12 det A a 21 det A a 11 det A
7 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Her er en række resultater om affine afbildninger. 1. Til enhver 2 2 matrix er der knyttet en affin afbildning. 2. Affine afbildninger med determinant 0 afbilder planen i en linje eller et punkt. (disse affine afbildninger har ikke så stor geometrisk interesse). Nedenfor er determinanten forskellig fra 0 3. Affine afbildninger afbilder en linje i en linje. 4. Affine afbildninger afbilder parallelle linjer i parallelle linjer. 5. Affine afbildninger bevarer længdeforhold på en linje. 6. Affine afbildninger bevarer arealforhold mellem figurer. 7. Givet 6 punkter A, B, C, D, E og F således at A, B og C ikke ligger på linje og tilsvarende D, E og F ikke ligger på linje, så findes der netop én afbildning så D = A, E = B og F = C. 8. Givet to trekanter så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene trekant på den anden (en anden formulering af punkt 7). 9. En isometri og en flytning er det samme. 10. For en flytning er det ϕ = Enhver flytning med det ϕ = 1 er enten en drejning eller en parallelforskydning. 12. Enhver flytning med det ϕ = 1 kan sammensættes af to spejlinger. 13. Enhver flytning med det ϕ = 1 er enten en spejling eller en glidespejling (dvs en spejling efterfulgt af en parallelforskydning i spejlingslinjens retning). 14. Enhver flytning med det ϕ = 1 kan sammensættes af 3 spejlinger. 15. Sammensætning af to spejlinger med parallelle spejlingsakser giver en parallelforskydning vinkelret på akserne. Forskydningsvektoren er dobbelt så lang som afstanden mellem spejlingsakserne. 16. Sammensætning af to spejlinger med ikke-parallelle spejlingsakser giver en drejning. Drejningsvinklen er dobbelt så stor som vinklen mellem akserne. 17. En ligedannethed bevarer længdeforhold. Der gælder A B = det ϕ AB. 18. Enhver længdeforholdsbevarende afbildning er en ligedannethed. 19. Enhver ligedannethed kan frembringes ved en multiplikation ud fra et punkt efterfulgt af en flytning. 20. Enhver affin afbildning kan frembringes af en ret affinitet efterfulgt af en ligedannethed. 21. Lad d(p 1, v 1 ) betegne en drejning omkring punktet P 1 med drejningsvinkel v 1. Drejningen d(p 2, v 2 ) defineres tilsvarende. Hvis v 1 + v er sammensætningen af d(p 1, v 1 ) og d(p 2, v 2 ) en drejning.
8 8 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Lad h(p 1, k 1 ) være en homoteti ud fra punktet P 1. Tilsvarende defineres h(p 2, k 2 ). Hvis k 1 k 2 1 er sammensætningen af h(p 1, k 1 ) og h(p 2, k 2 ) en homoteti. 23. En affin afbildning er en homoteti, hvis og kun hvis enhver ret linje er parallel med billedet af linjen. 24. Enhver ligedannethed, der ikke er en flytning, kan frembringes ved en homoteti ud fra et punkt S, efterfulgt af enten en drejning omkring S eller en spejling i en linje gennem S. 25. Givet to ellipser (herunder cirkler), så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene ellipse på den anden. Ved en affin afbildning føres en ellipse i en ellipse. 26. Givet to hyperbler, så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene hyperbel på den anden. Ved en affin afbildning føres en hyperbel i en hyperbel. 27. Givet to parabler, så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene parabel på den anden. Ved en affin afbildning føres en parabel i en parabel. 28. Givet 2 ikke-kongruente trekanter med parvis parallelle sider, så findes der en homoteti, der afbilder den ene trekant på den anden.
9 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Opgaver 1. Den indskrevne cirkel er den indskrevne ellipse med størst areal i en givet ligesidet trekant. Angiv arealet af den ellipse med størst areal, som er indskrevet i en trekant. 2. Grafen for y = A sin(kx + ϕ 0 ) + y 0 fremkommer ved en affin transformation af grafen for y = sin x. Beskriv den affine transformation. 3. d 1 er en drejning på 30 i positiv omløbsretning omkring punktet O(0, 0). d 2 er en drejning på 60 i positiv omløbsretning omkring punktet P (2, 0). Bestem koordinaterne til drejningscentrum for d 2 d Lad ABC afbildes i A B C ved en affin transformation. Vis at medianernes skæringspunkt i ABC afbildes i medianernes skæringspunkt i A B C. 5. Lad A(3, 0), B(7, 0), C(4, 6), D(6, 4), E( 2, 4) og F (0, 8) være givne punkter. Bestem koordinatfremstillingen for den affine afbildning, der afbilder ABC på DEF. 6. I planen er givet et koordinatsystem. En afbildning af planen på sig selv fører ethvert punkt P i et punkt P, så midtpunktet af P P ligger på x aksen og så linjen gennem P og P har hældningskoefficient 2. Vis at afbildningen er affin og bestem en koordinatfremstilling for den. 7. ABC og A 1 B 1 C 1 er to kongruente trekanter med samme omløbsretninger. Bevis at midtnormalerne for AA 1, BB 1 og CC 1 enten er parallelle eller går gennem samme punkt. 8. ABC og A 1 B 1 C 1 er to kongruente trekanter med modsatte omløbsretninger. Bevis at midtpunkterne af AA 1, BB 1 og CC 1 ligger på linje. 9. Lad BP C, CQA og ARB være ligesidede trekanter der vender ud af ABC. Vis at AP, BQ og CR går gennem samme punkt og at de er lige lange og danner indbyrdes vinkler på 60. Bestem beliggenheden af det punkt i ABC hvorfra summen af afstandene til trekantens hjørner er mindst. (Husk i denne opgave også tilfældet, hvor én at trekantens vinkler er større end 120.) 10. Lad C 1, C 2, C 3 og C 4 være midtpunkter i fire kvadrater, som hver har en side fælles med et parallelogram. De fire kvadrater vender ud af parallelogrammet. Vis at C 1 C 2 C 3 C 4 er et kvadrat. 11. Vis, at i en 6-kant, hvori de modstående sider er parallelle og lige lange, vil diagonalerne fra modstående punkter gå gennem samme punkt. 12. Givet ABC. Konstruer et kvadrat med den ene side liggende på BC og de to hjørner i kvadratet som ikke ligger på BC ligger på henholdsvis AC og AB
10 10 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Lad A være et givet punkt. Hvilke punkter vil midtpunktet af AB gennemløbe når B gennemløber en cirkel? 14. Lad M være et punkt på den bue AB på ABC s omskrevne cirkel som ikke indeholder C. Antag at projektionerne af M på AB og BC ligger på linjestykkerne AB og BC (og ikke på deres forlængelser). Kald disse projektioner for henholdsvis X og Y. Lad K og N være midtpunkterne af henholdsvis AC og XY. Vis at MNK er ret.
11 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Ekstra geometriopgaver 1. En cirkel går gennem hjørnet C på et rektangel ABCD og cirklen tangerer siderne AB og AD i henholdsvis M og N. Find arealet af ABCD, når afstanden fra C til MN er Lad D være et punkt på siden BC i ABC. Lad Γ 1 og Γ 2 være de indskrevne cirkler i henholdsvis ABD og ACD. Lad l være den fælles ydre tangent for Γ 1 og Γ 2 som er forskellig fra BC. Lad P være skæringspunktet mellem AD og l. 3. Vis 2 AP = AB + AC BC. A 7 A 1 A 6 A 2 A 5 A 3 På syvstjernen findes ikke tre linjer som går gennem samme punkt. Find vinkelsummen A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 + A Linjestykkerne BC, CA og AB er sider i kvadrater med centrene O 1, O 2 og O 3. Kvadraterne ligger uden for ABC. Vis at O 1 O 2 står vinkelret på CO 3 og O 1 O 2 = CO Ligedannetheden bestående af en multiplikation med tallet k ud fra P efterfulgt af en drejning om P med vinklen v kaldes P (k, v) (overvej at rækkefølgen i øvrigt er ligegyldig). Vis at hvis P 1, P 2, k 1, k 2, v 1 og v 2 er givet, og v 1 + v 2 0 (mod 360 ), så findes der et punkt S, så S(k 1 k 2, v 1 + v 2 ) = P 1 (k 1, v 1 ) P 2 (k 2, v 2 ). 6. Lad M være midtpunktet af linjestykket AB og lad l være en given linje. Lad R og S betegne de vinkelrette projektioner af henholdsvis A og B på l. Antag at R og S ikke ligger på linjen gennem A og B. Vis at de omskrevne cirkler til ARM og BSM har samme radius. A 4
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereSorø 2004. Opgaver, geometri
Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereSvar på sommeropgave (2019)
Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse
Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereSvar på opgave 337 (Februar 2017) ny version d. 21/3-2017
Svar på opgave 337 (Februar 07) ny version d. /3-07 I nedenstående besvarelse er der problemer med manglende ^ (hat) over visse vektorer. Evt. papirkopi kan rekvireres hos Jens Carstensen. Opgave: I ABC
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse
1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mereOM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I
OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereProjekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!
Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt
Læs mereBjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003
Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs merecvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty
cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs merePå opdagelse i GeoGebra
På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og
Læs mereGeometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -
2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereMULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL
8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereBaltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger
Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer:
Læs mereGeometri - Teori og opgaveløsning
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 3
Grundlæggende matematiske begreber del 3 Ligninger med flere variable Ligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse LIGNINGER MED FLERE VARIABLE... 3 Ligninger med flere
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs merei tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne
median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde esvarelser som falder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemaerne, bedømmes ved analogi så skridt med tilsvarende
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereSvar på opgave 270 (Maj 2010)
Svar på opgave 70 (Maj 00) Opgave: I parallelogrammet ABCD er E og F midtpunkter af AB og BC Linjerne DF og CE skærer hinanden i P Vis, at linjestykkerne PA, PB, PC og PD deler parallelogrammet i fire
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 3
Grundlæggende matematiske begreber del 3 Ligninger med flere variable Ligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse LIGNINGER MED FLERE VARIABLE... 3 Ligninger med flere
Læs mereUndervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereEt kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?
Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mere