Affine transformationer/afbildninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Affine transformationer/afbildninger"

Transkript

1 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning 2) drejning omkring et punkt 3) spejling i en linje 4) multiplikation ud fra et punkt (homoteti) 5) ret affinitet om en akse Med P betegnes billedet af punktet P ved en affin transformation. 1) parallelforskydning P a P a er den samme uafhængig af P. Specialtilfælde 2) drejning omkring et punkt O O P 3) spejling i en linje l P v P 1 P P l P = P : a = 0 (identiteten) vinklen v er den samme uafhængig af P. OP = OP 4) multiplikation med k ud fra et punkt O O P P k = 2 lad P 1 være den vinkelrette projektion af P på l. P 1 P = P 1 P OP = k OP Specialtilfælde k = 1 : identiteten hvor k er et givet tal. k = 0 : P = O for alle P k = 1 : drejning på 180 om O (= spejling i O)

2 2 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts ) ret affinitet med forvandlingstal k om en linje l P P P 1 l k = 2 Lad P 1 være den vinkelrette projektion af P på l. Tallet k er givet. P 1 P = k P 1 P Specialtilfælde k = 1 : identiteten k = 0 : den vinkelrette projektion på l k = 1 : spejling i l Flytninger = De affine afbildninger, der fås ved 1) parallelforskydninger 2) drejninger 3) spejling i linjer samt sammensætninger af disse. Ligedannetheder = De affine afbildninger, der fås ved 1) parallelforskydninger 2) drejninger 3) spejling i linjer 4) multiplikation ud fra et punkt. samt sammensætninger af disse. Isometri = En afstandsbevarende afbildning. Er en isometri en affin afbildning? (Svar senere) For affine afbildninger gælder AB = CD A B = C D Derfor kan man til enhver affin afbildning knytte én afbildning ϕ af planens vektorer ind i planens vektorer ved u = AB ϕ( u) = A B Der gælder, at ϕ er lineær, dvs ϕ(x a + y b) = x ϕ( a) + y ϕ( b) for alle vektorer a og b samt alle tal x og y. Givet to egentlige vektorer a og b, som ikke er parallelle, så kan enhver vektor skrives som en linearkombination af a og b (dvs på formen x a+y b). Dermed er afbildningen ϕ fastlagt, når blot ϕ( a) og ϕ( b) er kendte. En affin afbildning er fastlagt, når ϕ er

3 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts fastlagt, og billedet P af ét punkt P er kendt. Billedet Q af et vilkårligt punkt Q bestemmes nemlig ved P Q = ϕ( P Q) Koordinatregning 1 0 a c Sæt: ı =, j = og ϕ( ı ) =, ϕ( j ) = 0 1 b d Dermed P (x, y), P (x, y ), O(0, 0) og O (x 0, y 0 ) O P = ϕ( OP ) = ϕ(x ı + y j ) = x ϕ( ı ) + y ϕ( j ) = og OP = OO + O P = x0 y 0 + a c x Altså er koordinatfremstillingen for den affine afbildning x x0 a c x = + y y 0 b d y hvor skrivemåden a c x ax + cy = b d y bx + dy b d y ax + cy a c x = bx + dy b d y er introduceret. a c Til den affine afbildning er altså knyttet en 2 2 matrix A =. b d At kende ϕ er ækvivalent med at kende A. Eksempel x = x y y 2 2 Dette beskriver en drejning på 60 omkring et punkt S. Punktet O(0, 0) afbildes i O (2, 1) Koordinaterne til S bestemmes ved at S er et fixpunkt (dvs S = S)

4 4 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 Løses ligningssystemet x 2 1 = + x 3 y 2 2 y 1 3 x + 1y 2 2 findes koordinaterne ( til S. Svar: S 1 3, ) Eksempler på matricer 1 0 : parallelforskydning 0 1 cos v sin v : drejning med drejningsvinkel v sin v cos v cos v sin v : spejling i en linje, der danner vinklen v med x-aksen sin v cos v 2 k 0 : multiplikation med faktor k 0 k k 0 : ret affinitet med forvandlingstal k om y-akse : ret affinitet med forvandlingstal k om x-akse 0 k Udfører man først en affin transformation med tilknyttet matrix A = a11 a 12 a 21 a 22 og efterfølgende en affin transformation med tilknyttet matrix B = b11 b 12 b 21 b 22 så får den sammensatte affine afbildning matricen (overvej) b11 b 12 a11 a 12 b11 a 11 + b 12 a 21 b 11 a 12 + b 12 a 22 BA = = b 21 b 22 a 21 a 22 b 21 a 11 + b 22 a 21 b 21 a 12 + b 22 a 22 Løst sagt : skal man i den sammensatte matrix finde elementer i den i te række (vandrette) og j te søjle (lodrette), så tager man tallene i den i te række i B og ganger med tallene i den j te søjle i A og lægger sammen. Eksempel =

5 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Bemærk at normalt er BA og AB forskellige. Derimod gælder A(BC) = (AB)C. Determinant for en affin afbildning ) ) Sæt x = ( x1 x 2 og y = ( y1 2 2 ϕ( x) = ϕ(x 1 ı + x 2 j ) = x 1 ϕ( ı ) + x 2 ϕ( j ) ϕ( y) = ϕ(y 1 ı + y 2 j ) = y 1 ϕ( ı ) + y 2 ϕ( j ) det(ϕ( x), ϕ( y)) = ϕ( x) ϕ( y) = (x 1 ϕ( ı ) + x 2 ϕ( j ))(y 1 ϕ( ı ) + y 2 ϕ( j )) = ϕ( ı ) ϕ( j ) (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = det(ϕ( ı ), ϕ( j )) det( x, y) (Her er benyttet ϕ( ı ) ϕ( ı ) = ϕ( j ) ϕ( j ) = 0 samt ϕ( ı ) ϕ( j ) = ϕ( j ) ϕ( ı )) Dermed (forudsat det( x, y) 0) det(ϕ( ı ), ϕ( j )) = det(ϕ( x), ϕ( y)) det( x, y) Det ses heraf, at det(ϕ( ı ), ϕ( j )) er uafhængig af koordinatsystemet og altså kun afhænger af afbildningen ϕ. Kald den affine afbildning f. Man skriver a c det f = det ϕ = det(ϕ( ı), ϕ( j)) = det A = = ad bc b d (Selvom matricen A er afhængig af koordinatsystemet er det A det altså ikke!). Betydning af det ϕ : Lad F være en figur og F billedet af figuren ved den affine afbildning. det ϕ = areal af F areal af F Betydning af sgn(det ϕ) : det ϕ er positiv, hvis ϕ bevarer orientering af vinkler (med eller mod uret). det ϕ er negativ, hvis ϕ vender orientering af vinkler. det ϕ kaldes afbildningens determinant. Der gælder det AB = det A det B Hvis en affin afbildning f er bijektiv så er den inverse afbildning f 1 (f 1 kan defineres ved f f 1 = id) også en affin afbildning. En affin afbildning f er bijektiv hvis og kun hvis det f 0 (at det f 0 for en bijektiv afbildning får umiddelbart af 1 = det id = det f f 1 = det f det f 1 )

6 6 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 Betegnes matricen hørende til den oprindelige afbildning med A = a11 a 12 a 21 a 22 så har den inverse afbildning matricen A 1 = a 22 det A a 12 det A a 21 det A a 11 det A

7 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Her er en række resultater om affine afbildninger. 1. Til enhver 2 2 matrix er der knyttet en affin afbildning. 2. Affine afbildninger med determinant 0 afbilder planen i en linje eller et punkt. (disse affine afbildninger har ikke så stor geometrisk interesse). Nedenfor er determinanten forskellig fra 0 3. Affine afbildninger afbilder en linje i en linje. 4. Affine afbildninger afbilder parallelle linjer i parallelle linjer. 5. Affine afbildninger bevarer længdeforhold på en linje. 6. Affine afbildninger bevarer arealforhold mellem figurer. 7. Givet 6 punkter A, B, C, D, E og F således at A, B og C ikke ligger på linje og tilsvarende D, E og F ikke ligger på linje, så findes der netop én afbildning så D = A, E = B og F = C. 8. Givet to trekanter så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene trekant på den anden (en anden formulering af punkt 7). 9. En isometri og en flytning er det samme. 10. For en flytning er det ϕ = Enhver flytning med det ϕ = 1 er enten en drejning eller en parallelforskydning. 12. Enhver flytning med det ϕ = 1 kan sammensættes af to spejlinger. 13. Enhver flytning med det ϕ = 1 er enten en spejling eller en glidespejling (dvs en spejling efterfulgt af en parallelforskydning i spejlingslinjens retning). 14. Enhver flytning med det ϕ = 1 kan sammensættes af 3 spejlinger. 15. Sammensætning af to spejlinger med parallelle spejlingsakser giver en parallelforskydning vinkelret på akserne. Forskydningsvektoren er dobbelt så lang som afstanden mellem spejlingsakserne. 16. Sammensætning af to spejlinger med ikke-parallelle spejlingsakser giver en drejning. Drejningsvinklen er dobbelt så stor som vinklen mellem akserne. 17. En ligedannethed bevarer længdeforhold. Der gælder A B = det ϕ AB. 18. Enhver længdeforholdsbevarende afbildning er en ligedannethed. 19. Enhver ligedannethed kan frembringes ved en multiplikation ud fra et punkt efterfulgt af en flytning. 20. Enhver affin afbildning kan frembringes af en ret affinitet efterfulgt af en ligedannethed. 21. Lad d(p 1, v 1 ) betegne en drejning omkring punktet P 1 med drejningsvinkel v 1. Drejningen d(p 2, v 2 ) defineres tilsvarende. Hvis v 1 + v er sammensætningen af d(p 1, v 1 ) og d(p 2, v 2 ) en drejning.

8 8 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Lad h(p 1, k 1 ) være en homoteti ud fra punktet P 1. Tilsvarende defineres h(p 2, k 2 ). Hvis k 1 k 2 1 er sammensætningen af h(p 1, k 1 ) og h(p 2, k 2 ) en homoteti. 23. En affin afbildning er en homoteti, hvis og kun hvis enhver ret linje er parallel med billedet af linjen. 24. Enhver ligedannethed, der ikke er en flytning, kan frembringes ved en homoteti ud fra et punkt S, efterfulgt af enten en drejning omkring S eller en spejling i en linje gennem S. 25. Givet to ellipser (herunder cirkler), så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene ellipse på den anden. Ved en affin afbildning føres en ellipse i en ellipse. 26. Givet to hyperbler, så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene hyperbel på den anden. Ved en affin afbildning føres en hyperbel i en hyperbel. 27. Givet to parabler, så findes der en affin afbildning, der afbilder den ene parabel på den anden. Ved en affin afbildning føres en parabel i en parabel. 28. Givet 2 ikke-kongruente trekanter med parvis parallelle sider, så findes der en homoteti, der afbilder den ene trekant på den anden.

9 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Opgaver 1. Den indskrevne cirkel er den indskrevne ellipse med størst areal i en givet ligesidet trekant. Angiv arealet af den ellipse med størst areal, som er indskrevet i en trekant. 2. Grafen for y = A sin(kx + ϕ 0 ) + y 0 fremkommer ved en affin transformation af grafen for y = sin x. Beskriv den affine transformation. 3. d 1 er en drejning på 30 i positiv omløbsretning omkring punktet O(0, 0). d 2 er en drejning på 60 i positiv omløbsretning omkring punktet P (2, 0). Bestem koordinaterne til drejningscentrum for d 2 d Lad ABC afbildes i A B C ved en affin transformation. Vis at medianernes skæringspunkt i ABC afbildes i medianernes skæringspunkt i A B C. 5. Lad A(3, 0), B(7, 0), C(4, 6), D(6, 4), E( 2, 4) og F (0, 8) være givne punkter. Bestem koordinatfremstillingen for den affine afbildning, der afbilder ABC på DEF. 6. I planen er givet et koordinatsystem. En afbildning af planen på sig selv fører ethvert punkt P i et punkt P, så midtpunktet af P P ligger på x aksen og så linjen gennem P og P har hældningskoefficient 2. Vis at afbildningen er affin og bestem en koordinatfremstilling for den. 7. ABC og A 1 B 1 C 1 er to kongruente trekanter med samme omløbsretninger. Bevis at midtnormalerne for AA 1, BB 1 og CC 1 enten er parallelle eller går gennem samme punkt. 8. ABC og A 1 B 1 C 1 er to kongruente trekanter med modsatte omløbsretninger. Bevis at midtpunkterne af AA 1, BB 1 og CC 1 ligger på linje. 9. Lad BP C, CQA og ARB være ligesidede trekanter der vender ud af ABC. Vis at AP, BQ og CR går gennem samme punkt og at de er lige lange og danner indbyrdes vinkler på 60. Bestem beliggenheden af det punkt i ABC hvorfra summen af afstandene til trekantens hjørner er mindst. (Husk i denne opgave også tilfældet, hvor én at trekantens vinkler er større end 120.) 10. Lad C 1, C 2, C 3 og C 4 være midtpunkter i fire kvadrater, som hver har en side fælles med et parallelogram. De fire kvadrater vender ud af parallelogrammet. Vis at C 1 C 2 C 3 C 4 er et kvadrat. 11. Vis, at i en 6-kant, hvori de modstående sider er parallelle og lige lange, vil diagonalerne fra modstående punkter gå gennem samme punkt. 12. Givet ABC. Konstruer et kvadrat med den ene side liggende på BC og de to hjørner i kvadratet som ikke ligger på BC ligger på henholdsvis AC og AB

10 10 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Lad A være et givet punkt. Hvilke punkter vil midtpunktet af AB gennemløbe når B gennemløber en cirkel? 14. Lad M være et punkt på den bue AB på ABC s omskrevne cirkel som ikke indeholder C. Antag at projektionerne af M på AB og BC ligger på linjestykkerne AB og BC (og ikke på deres forlængelser). Kald disse projektioner for henholdsvis X og Y. Lad K og N være midtpunkterne af henholdsvis AC og XY. Vis at MNK er ret.

11 Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts Ekstra geometriopgaver 1. En cirkel går gennem hjørnet C på et rektangel ABCD og cirklen tangerer siderne AB og AD i henholdsvis M og N. Find arealet af ABCD, når afstanden fra C til MN er Lad D være et punkt på siden BC i ABC. Lad Γ 1 og Γ 2 være de indskrevne cirkler i henholdsvis ABD og ACD. Lad l være den fælles ydre tangent for Γ 1 og Γ 2 som er forskellig fra BC. Lad P være skæringspunktet mellem AD og l. 3. Vis 2 AP = AB + AC BC. A 7 A 1 A 6 A 2 A 5 A 3 På syvstjernen findes ikke tre linjer som går gennem samme punkt. Find vinkelsummen A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 + A Linjestykkerne BC, CA og AB er sider i kvadrater med centrene O 1, O 2 og O 3. Kvadraterne ligger uden for ABC. Vis at O 1 O 2 står vinkelret på CO 3 og O 1 O 2 = CO Ligedannetheden bestående af en multiplikation med tallet k ud fra P efterfulgt af en drejning om P med vinklen v kaldes P (k, v) (overvej at rækkefølgen i øvrigt er ligegyldig). Vis at hvis P 1, P 2, k 1, k 2, v 1 og v 2 er givet, og v 1 + v 2 0 (mod 360 ), så findes der et punkt S, så S(k 1 k 2, v 1 + v 2 ) = P 1 (k 1, v 1 ) P 2 (k 2, v 2 ). 6. Lad M være midtpunktet af linjestykket AB og lad l være en given linje. Lad R og S betegne de vinkelrette projektioner af henholdsvis A og B på l. Antag at R og S ikke ligger på linjen gennem A og B. Vis at de omskrevne cirkler til ARM og BSM har samme radius. A 4

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Geometri - Teori og opgaveløsning

Geometri - Teori og opgaveløsning Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 3

Grundlæggende matematiske begreber del 3 Grundlæggende matematiske begreber del 3 Ligninger med flere variable Ligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse LIGNINGER MED FLERE VARIABLE... 3 Ligninger med flere

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Facitliste til elevbog

Facitliste til elevbog Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde esvarelser som falder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemaerne, bedømmes ved analogi så skridt med tilsvarende

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 7 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30 Matematik B Prøvens varighed

Læs mere

Workshop i Beregninger/Noter

Workshop i Beregninger/Noter Velkommen til TI-Nspire CAS version 3. Workshop i Beregninger/Noter Indholdsfortegnelse: 1. Opgaver med polynomier side 1 Udvalgte opgaver fra nylige forsøgssæt og eksamenssæt fra Norge. Optimeringsopgaver

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel 2 " #. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere