Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter

Transkript

1 Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Dispersion Transitionsenergien Synkrotron bevægelse RF kaviteter Genopfriskning (hurtig intro) Elektromagnetiske bølger Skindybde Bølgeledere Gruppe og fase hastighed Den cylindriske kavitet (Pill-box) Q-faktor Shunt-impedance Transittid Indkobling LCR ækvivalent kredsløb RF power generering

2 Longitudinal dynamik: Indledning Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration RF: RadioFrekvens (3 Hz 3 GHz) Spændingen i en RF-kavitet vil oftest svinge sinusformet V RF V,RF sin(ω RF t), hvor ω RF πf RF

3 Hvorfor vekselfelter? Maxwell: Dvs. med statiske (eller langsomt varierende) felter er integralet nul rundt langs en ring. Vekselfelt: Feltet kan vende forkert, mens partiklerne er andetsteds.

4 Longitudinal dynamik: Nogle definitioner Omløbsfrekvens: fβc/πrβc/c RF frekvensen skal være et helt multiplum af omløbsfrekvensen: f RF h f h er den harmoniske Spænding per omgang: V V er den samlede spænding en partikel ser Kunne godt hidrøre fra flere kaviteter VV sin(φ) hvor φ er fasen af partiklen i forhold til RF en (under forudsætning af at RF en svinger sinusformet) Synkron partikel: Modtager lige præcis den rigtige energitilvækst hver omgang V s V sin(φ s )

5 Bundter og Buckets 1 Den synkrone partikel ser altid den rigtige (passende) spænding Andre partikler vil ikke altid se den passende spænding, men vil i faserummet (φ, ΔE) oscillere i energi og tid (fase), omkring den synkrone partikel

6 Bundter og Buckets Partiklerne vil samle sig i bundter ( bunches ) omkring den synkrone partikel I et lineært område omkring den synkrone partikel, vil bevægelsen være som en harmonisk oscillator Længere væk vil bevægelsen blive ulineær Det stabile område omkring et givet synkront punkt hedder på engelsk en RF- bucket (en RF- spand ) Hvis φ>π-φ s, så er partiklen ikke låst til en given bucket

7 Bundter og Buckets 3 Hvis φ>π-φ s, så er partiklen ikke låst til en given bucket

8 Stationære buckets / addiabatisk indfangning Hvis partiklerne ikke skal accelereres eller ikke taber energi er φ s (V s ) RF- spanden vil da fylde hele faserummet Under f.eks. injektion kan man langsomt skrue op for spændingen Herved kan man opnå en bedre indfangning af f.eks. en kontinuert stråle

9 Dispersion: Gravitationel analogi Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga. tyngdekraften? Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større afbøjning opad i F-qpolerne Afbøjning: Δ( lbq ) Δz klz, hvor B ρ ρ er stivheden B ρ ρ

10 Dispersion En partikel med lav impuls afbøjes mere i en magnet Der vil blive dannet en ny lukket bane, som er forskudt. Forskydningen er givet ud fra dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter) Δ x D s) Δp p ( D~1-1 m, Δp/p~ Δx~1 mm

11 Beam størrelser Beamets størrelse vil vertikalt være givet udelukkende ved emitansen. Horisontalt vil der derimod også være et bidrag fra impulsspredningen

12 Udregning af Dispersionen 1 Man kan vise at hvor + + π ϕ ϕ χ χ ϕ π χ π β ) ( ) ( ½ )) ) ( ( )cos( ( ) sin( ) ( ) ( s s d s Q f Q s Q s D s s Q ds s Q f ) ( ) ( og, ) ( ) ( ) ( 3 β ϕ ϕ ρ ϕ β ϕ

13 Udregning af Dispersionen Alternativt kan man indføre Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen Dispersionsfunktionen er da givet ved De nye matrix elementer kan udregnes som tidligere og findes i alle latticeprogrammer

14 Dispersionen for jeres test ring

15 Dispersionen for ASTRID

16 Fasestabilitet, igen En mere energirig partikel vil bevæge sig på en større bane For hastigheder nær lysets vil farten ikke øges, men banelængden vil være større. En mere energirig partikel vil derfor have en større omløbstid. Hældningen omkring det synkrone punkt må derfor være modsat.

17 Transitionsenergien Slip-faktoren η angiver forholdet mellem relativ omløbsfrekvens og relativ impuls ændring η Δf Δ f p p p f df dβ ( + dβ dp df dr dr ) dp p dβ β dp p R dr dp 1 γ D R 1 γ 1 γ t 1 γ α γ t kaldes transitionsenergien og er den energi hvor omløbsfrekvensen ikke ændrer sig med energi (eller impuls) α kaldes momentum compaction og er en lattice parameter. Kan også skrives som α ΔC Δp C p, hvor CπR er maskinens omkreds α udregnes af latticeprogrammerne

18 Synkrotron bevægelse Vi så tidligere at en partikel for små udsving omkring φ s (lineær genskabende kraft) udfører en ellipsebevægelse i faserummet Vi har altså en harmonisk oscillator Denne vil have en frekvens f s, kaldet synkrotron frekvensen Bevægelsen vil være beskrevet ved ^ ΔE ΔE sin(πf st) φ ˆcos( φ πf t) s

19 Synkrotron bevægelse Ændringen af fasen er givet ud fra afvigelsen af omløbsfrekvensen Differentieres mht. til tiden fås nu EW 5.4) (opg. idet, og ()] ) ( [ γ β γ β η η π π φ E E p p E E f p p f f f h f E f h Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ &

20 Synkrotron bevægelse 3 Energitilvæksten ΔE & er givet ved Vi kan nu samle som er den fundamentale longitudinale bevægelsesligning Sættes φ s fås for små φ

21 Synkrotron bevægelse 4 er bevægelsesligningen for en harmonisk oscillator, hvis frekvens (synkrotron frekvensen) er Man kan også udtrykke det ved RF frekvensen f RF hf Ovenstående er under antagelse af at alle parametre (V, β, γ, η, f) ændre sig langsomt i forhold til f s. I praksis er det ikke et problem.

22 Synkrotron tune På samme måde som vi definerede betatron tune (Qværdien) har vi også synkrotron tune n Typisk temmelig lille (op til 1-1%) Astrid Elektroner: Q s.3%

23 Synkrotron bevægelse 5 En mere udførlig regning med φ s <> giver at f s η hev cos( φ ) πe β γ s f Ligeledes kan man vise at den maksimale energiafvigelse (Bucket-højden) er givet ved ΔE max β eveγ π s s πhη sin [ cosφ + ( φ ) φ ] s

24 Opsummering Fasestabilitet Dispersion: Δ x D( s) Δp p Transitionsenergi: η Δf f Δ p p 1 γ 1 γ t 1 γ α Synkrotron frekvens: f s η hev cos( φ ) πe β γ s f Synkrone fase: V sin( φ ) s s V V s : spændingen den synkrone partikel skal have (middelspændingen for beamet)

25

26 Kaviteter Genopfriskning (hurtig gennemgang) Elektromagnetiske bølger Skindybde Bølgeledere Gruppe og fase hastighed Den cylindriske kavitet (Pill-box) Q-faktor Shunt-impedance Transittid Indkobling LCR ækvivalent kredsløb RF power generering

27 Elektromagnetiske bølger I vakuum: I et medie: Poyting vector (local power flux):

28 Elektriske og magnetisk felter ved en overflade To regler skal være opfyldt langs overfladen af en (perfekt) leder: E Dvs E skal være vinkelret på overfladen H Dvs H skal være parallel med overfladen

29 Skindybde Skindybden er den afstand (1/e) som et elektromagnetisk felt kan trænge ind i en leder Overflade modstand Bemærk fejl i bogen: Midt på side 14 skal det være konduktiviteten σ og ikke ρ.

30 Bølgeleder 1 To EM bølger Nederste er en refleksion af den øverste Summen af de to EM bølger Fase hastigheden: v p v/sin(θ)

31 Bølgeledere Man kan vise at bølgelængden inde i bølgelederen λ g er givet ved hvor λ c er den kritiske bølgelængde for bølgelederen. λ c er givet ud fra dimensionerne af bølgelederen Betingelse: λ<λ c (eller f>f c )

32 Gruppehastighed / dispersion bølgetallet: kπ/λ Gruppehastigheden: v g dω/dk Er den største hastighed hvormed man kan overføre information Altid mindre end c (lysets hastighed) Fasehastigheden: v ph ω/kf λ Man kan vise at v g v ph c

33 Generel kavitet Maxwells ligninger: Løsningen kan opdeles i rumlig og tidslig: Rumlig del giver et antal modes: Tidslig ligning: Løsning: Resonans frekvenser: Henfaldstid (fyldningstiden):

34 Cylindrisk kavitet (Pill-box) For en cylindrisk kavitet har vi Hvilket for l1 og m giver X8Hzm E r, J (P l ) (P 1.45)

35 Q-faktoren for en kavitet Kvalitetsfaktoren Q for en kavitet er defineret som hvor W s : Energien lagret i det elektromagnetisk felt W d : Energien afsat per periode delt med π P d : Afsat effekt Man kan vise (opg. EW 1.5) at V V Q K K δ S V s V: Kavitetens volumen S: Overflade arealet δ: Skindybden, V s Sδ: Skin volumen

36 Shunt modstanden V er den spændingsforskel partiklen ser Man kan nu definere shunt modstanden som hvor P d er den afsatte (middel) effekt, som må være lig den effekt vi skal tilføre kaviteten for at opretholde et konstant felt V er den maximale spænding, hvilket giver faktoren R s ~ 1-1 MΩ

37 Transit-tids faktoren En partikel vil tage tid om at passere kavitetens gab Der vil derfor være en reduktion i den maximale spænding Med fås transit-tids faktoren som angiver reduktionen i spænding En stor G eller en lille β giver en lille Γ For at holde Γ stor laver man ofte nose-cones

38 Kobling Feltet kan kobles ind i kaviteten via en antenne hvis magnetfelt vekselvirker (eksitere) det magnetiske felt i kaviteten Bemærk næserne

39 Astrid kaviteten

40 Multicelle kaviteter For at opnå flere (længere) RF kaviteter, bygger man ofte flere sammen. Dette kan gøres på mange måder. Eksempel: Iris-loaded struktur: Blænderne sikre at fasehastigheden holdes under c (i.e. lig partiklernes) Kan også opfattes som et antal Pill-box e der kobler svagt med hinanden Forskellige modes

41 Kaviteter til ioner (ferrit fyldte kaviteter) Ioner er ofte langsomme. Når de accelereres ændres frekvensen derfor meget (faktorer, måske endda x1) Man fylder derfor kaviteten med ferrit Høj permeabilitet Kan ændre permeabiliteten med et statisk B-felt (op til en faktor 1) ferritten øger dog tabet og sænker dermed Q et

42 LCR ækvivalent kredsløb I g : RF generatoren I b : Beam induceret Ser vi bort fra her

43 LCR ækvivalent kredsløb University Physics: Indføres nu får vi Med fås C L C L Z LC 1 og 1 ω ω ω 4 ) ( 1 ) ( ω ω ω ω + Z R R Z samt og ω ω ω ω ω << Δ Δ Q Z R ) 4( 1 ) ( ω ω ω Δ + Q R Z

44 LCR ækvivalent kredsløb 3 Energien lagret i en kondensator: Q var i en kavitet forholdet mellem lagret og afsat energi stemmer Ved hvilken frekvens er energien halveret? 1 idet, ) ( ω ω Z C Z V C VC C q W s Z R R V Z V P W Q d s ω ω ω db db Q R Z 3 3 ) ( 1 )) ) (( ( ω ω ω Δ Δ

45 Svingningstiden (dæmpningstiden/fyldningstiden) Slukker vi generatoren svinger kredsen jo stadig Pga. modstanden vil svingningen langsomt dø ud En ren RC kreds vil aflades med τrc Pga. svingningerne (ml. L og C) fås dog L Q Q τ RC QZC Q C Q LC C ω πf X

46 RF power generering Transistor baseret (solid state) Dækker stort set alle frekvenser (DC- 3 GHz) Ofte bredbåndet Fra få Watt til -5 kw (DC) DC eller pulseret Rør baseret (tetrode el. triode) Op til nogle få 1 MHz (typisk f.eks. til FM udsendelse (radio)) Smal- eller bredbåndet Up til i hvert fald 1 kw DC Klystron ~3 MHz til ~1GHz Meget smalbåndet Meget power (op til 1 MW DC, og 5 MW pulseret) IOT 3-5 MHz (UHF (TV) udsendelse) Meget smalbåndet Hel del power (5 kw DC) Moderne Klystron i den lavere ende af klystronens frekvensområde

47 Klystron

48 Styring / kontrol Man er selvfølgelig nødt til at have elektronik der sikre konstant amplitude konstant på resonans Low-Level RF