Lineær beamoptik 1. Vi starter med en meget kort repetition fra sidste gang. Derefter: Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.
|
|
- Simone Lærke Mølgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lineær beamoptik 1 1 Vi starter med en meget kort repetition fra sidste gang Derefter: Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Indledning / overblik Koordinatsystem Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen Løsning af bevægelsesligningen Transportmatricer og partikelbaner Dispersion Momentum compaction factor Energi og impuls 2 Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi, E = E 0 +E k, hvor E k er kinetisk energi v β = c γ = 1 1 β 2 E=γE 0, E k =E 0 *(γ-1), m=γm 0, p=γm 0 v E 2 =E 02 +(pc) 2 p angives ofte i energi/c, f.eks. i GeV/c E m 0 c 2 pc Glem ikke, at for v<<c gælder stadig de klassiske udtryk, p=m 0 v, E k =½m 0 v 2 etc. 1
2 Afbøjning i magnetfelt I nedenstående betegner E den kinetiske energi 3 Centrifugalkraft = Lorenzkraft pv / R = qvb BR = p q 1 2 Generelt : B R = E + 2 E m0 / q c Enheder benyttet nedenfor : B : tesla, R : meter, E :MeV, q : e Dvs B R = eller B R = E E E m [ amu] / q + 2 E m [ MeV ] / q 0 0 For E << m, dvs v << c, typisk for tunge partikler (ioner) 0 ( v << c): B R = E m [amu] / q 0 For E >> m, dvs v~c ( v c): 0 B R = , typisk for lette partikler 3 E / q (elektroner) Elektroner: m 0 =0.511MeV, q=-e Protoner: m 0 = 1.008amu = 938MeV, q=e 1 MeV=1.602*10-13 J e=1.602*10-19 C 1 amu = 931MeV 4 V~c V<<c 2
3 Lineær beamoptik 1 5 Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Koordinatsystem Indledning / overblik Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen Løsning af bevægelsesligningen Transfermatricer og partikelbaner Dispersion Momentum Compaction factor Koordinatsystem 6 Vi vil benytte et koordinatsystem der følger en ideel partikel, altså en partikel der bevæger sig på idealbanen. Vi antager, at partiklen hovedsagelig bevæger sig i s-retningen, så dens hastighed kan skrives v=(0,0,v s ), og at B-feltet kun har komponenter vinkelret på s, dvs B=(B x,b z,0). 3
4 Indledning/overblik 7 Ved design af en accelerator planlægger man hvordan den ideelle bane af partiklerne skal være. Denne bane kaldes idealbanen (the orbit i bogen). Idealbanen er sammensat af både lige og krumme strækninger. Partiklerne bliver holdt fast på idealbanen af dipolmagneter hvor banen ikke er en ret linie. Denne bane vil kun følges af en ideel (teoretisk) partikel, i.e. en partikel med nominel impuls (Δp=0) og ideelle startbetingelser (x,x,z,z )=(0,0,0,0). I virkeligheden har partikler små afvigelser i position, vinkel og impuls. Desuden er de magnetiske elementer ikke perfekte. Derfor må man have fokuserende elementer der styrer partiklerne ind mod idealbanen, og dermed bevirker at de oscillerer om denne. Lineær beamoptik handler om at beskrive partiklernes bane i en sådan maskine Bevægelse af en ladet partikel i et B-felt 8 Bevægelse i et B-felt: BR=p/e. (Magnetisk stivhed (Rigidity)) Denne ligning fandt vi sidste gang ved at sætte Lorentzkraften evb lig centripetalkraften pv/r I horisontalt plan: Rækkeudvikling af B z i omegnen af B z0 giver Med dette udtryk for B z (x) kan vi nu finde partikel med en afvigelse i x-retningen. 1 R( x, z, s) for en 4
5 Feltet som sum af multipoler 9 Da har vi altså (efter at der er multipliceret med e/p) Bevægelsen kan altså opdeles i bidrag fra multipoler. Betragter vi kun de to første led taler vi om lineær beamoptik. Multipoler 10 Enheder: 1/R: m -1, k: m -2, m: m -3, o: m Rigtige felter, gradienter etc. fås ved at gange med stivheden, BR 5
6 Fokusering i feltet fra en kvadrupol 11 Denne kvadrupol er fokuserende i det horisontale, og defokuserende i det vertikale plan. Feltet øges lineært med afstanden fra centrum. Fokusering med kvadrupoler 12 Horisontalt Vertikalt Man benytter ofte flere q-poler efter hinanden. Herved fås fokusering i begge planer, da den fokuserende q-pol gennemløbes i størst afstand fra den optiske akse. 6
7 Sekstupol 13 Sekstupoler benyttes til korrektion af fokuseringsfejl i kvadrupoler på grund af impulsafvigelser, den såkaldte kromaticitet. Den vender vi tilbage til næste gang. Bevægelsesligningen (1) 14 Vi beskriver bevægelsen af en partikel i et koordinatsystem der følger idealbanen. Vort mål er at finde en differentialligning hvis løsning giver x(s) og z(s) når vi kender B x (s), B z (s) samt x,x,z og z i ét punkt, altså for én værdi af s. Det kræver dog en lille omvej. Vi starter: I områder med B-felt må koordinatsystemet roteres. Rotation med en vinkel ϕ fører vektorene x 0A og s 0A over i vektorene x 0 og s 0. Transformationen kan skrives: Vi differentierer mht ϕ, og ser let at: og 7
8 Bevægelsesligningen (2) 15 Nu kommer tiden ind i billedet. Vi kender de vinkelafledede af s og x, så den tidafledede af disse vektorer kan findes hvis vi kender vinkelens tidsafledede. Denne findes dog let, idet: og dermed Vi har altså nu (i xs planet): Dette var et vigtigt skridt, idet partiklens positionsvektor jo kan skrives: Vi kan nu finde første og anden tidsafledede af r (3.12). Disse indgår også i udtrykket for Lorentzkraften (via F og p), så nu får vi B-feltet med i ligningerne. Bevægelsesligningen (3) 16 Vi har altså fundet udtryk for og. Men samtidig har vi jo Lorentzkraften som, hvis vi udnytter at, samt at B s er 0, giver os flg udtryk og Vi kan nu sætte de to udtryk for lig hinanden, og forenkle det ved kun at betragte x og z koordinaterne, idet feltets virkning på s-hastigheden kan negligeres. Endelig bruger vi, at p=mv. Ved hjælp af tegningen til højre ses, at 8
9 Bevægelsesligningen (4) 17 Efter lidt regnerier med ovenstående tilnærmelser finder man Så skal vi se på impulsen: Vi antager, at partiklens impuls kun afviger lidt fra den ideelle partikels impuls, dvs p = p 0 + Δp Δp Vi har da, at = = 1 p p + Δ + Δ 0 p p0 1 p p0 p0 p Fra rækkeudviklingen af feltet har vi at Da både x, z, og Δp/p er små, ser vi bort fra alle produkter af dem. Så ender vi med: Endelig har vi den søgte bevægelsesligning. 0 og Den kaldes også Hill s ligning, og er den centrale ligning i lineær beamoptik Løsninger til Hill s ligning: Forudsætninger 18 Vi betragter kun horisontal bevægelse, da horisontal og vertikal bevægelse er uafhængige af hinanden. Vi benytter den tilnærmelse, at felter (udtrykt ved 1/R og k) er konstante gennem et magnetisk element, og falder brat til nul ved enderne (hard-edge model). Vi antager foreløbig, at der ikke er nogen impulsspredning (Δp = 0). Vi vil kun betragte separate multipoler (ingen combined function magneter). Vi vælger den konvention for kvadrupoler, at k<0 i en horisontalt fokuserende kvadrupol, og k>0 i en defokuserende. Vi vil starte med at finde udtryk for bevægelsen i ét element af gangen. 9
10 Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 1 19 Da der ikke er noget dipolfelt er R uendelig, og altså 1/R=0, Hill s ligning er så: x (s) kx(s) = 0 Vi starter med en horisontalt defokuserende kvadrupol, og har altså k>0. Ligningen kan løses analytisk. Løsningen er: Konstanterne A og B er bestemt af startbetingelserne, dvs af x 0 og x 0, altså hhv. position og vinkel med s ved indgangen til magneten. Da sinh(0)=0 og cosh(0)=1 fås ved at sætte s=0 at A = x og B 0 = Vi har altså følgende ligning for banens forløb i en defokuserende kvadrupol: x0 k Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 2 20 Det er praktisk at skrive løsningen i matrixnotation: hvor Som det ses af forløbet af sinh og cosh funktionenerne stemmer løsningen meget godt overens med vore forventninger til banen i et defokuserende element. En partikelbane vil altid blive bøjet væk fra aksen. 10
11 Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 3 21 Ganske tilsvarende finder vi for en fokuserende kvadrupol (k<0): med Her er bevægelsen oscillerende om den ideelle bane, svarende til bevægelsen af en kugle der triller i en tagrende: 22 Kvadrupoler: Fokallængde (ikke nævnt i lærebogen) Sammenlign med en samlelinse: Hvis lys rammer linsen i afstanden x fra den optiske akse, er vinkelændringen θ = x/f, hvor f er linsens fokallængde. For en fokuserende kvadrupol med længde s får vi, med x 0 =1, x 0 =0 at 1 x( s) cos( k s) sin( k s) 1 = = cos( k s) k x ( s) 0 k sin( k s) k sin( k s) cos( k s) Dvs, at vinkelændringens størrelse er k sin( k s) Da sin(x)~x for små værdier af x, bliver vinkelændringen - k s for lille værdi af s, dvs en tynd kvadrupol. Sammenlign nu med ligningen for fokallængde i en optisk linse med x=1 : Vi har da: 1/f = -ks, og altså at fokallængden er f=-1/ks. Produktet ks kaldes også den integrerede gradient. Vi så før, at to kvadrupolmagneter med modsat fortegn af k vil fokusere i begge planer. Det gælder dog kun, hvis deres indbyrdes afstand er mindre end f. 11
12 Løsninger til Hill s ligning: Dipol 23 Hill s ligning: Hvis vi erstatter k med 1/R 2 ses, at løsningen ligner den for k<0, altså En dipol fokuserer altså i det horisontale plan. Det er dog en svag fokusering. I en typisk kvadrupol er k~5 m -2, mens R i en dipol sjældent er under et par meter, svarende til k<0.25m -2. De første synkrotroner der blev bygget havde kun svag fokusering, og dermed et meget stort beam. Løsninger til Hill s ligning: Driftstrækning 24 For en strækning uden B-felter bliver matricen Bemærk, at for alle de løsninger vi har fundet gælder, at det(m)=1. Når en afbildning har en determinant på 1, betyder det at skalaforholdet er 1, dvs at arealer er bevaret. Det kommer vi til at høre mere om. 12
13 Dipol: kantfokusering 25 I en sektormagnet er polenderne vinkelret på orbit. I en rektangulær magnet er polenderne parallelle, dvs der er en vinkel Ψ mellem orbit og polkanten. Dette giver en horisontal defokusering af beamet. Afbøjningen i vinkel som fkt af x 0 bliver tan( Ψ) Δα = x0 R Vertikalt: Af figuren til venstre ses, at der sker en vertikal fokusering i randfeltet på en rektangulær dipol. Man kan vise, at afbøjningen i vinkel som funktion af z 0 bliver tan( Ψ) Δα = z0 R Kantfokusering fungerer altså præcis som en defokuserende kvadrupol. Mere om det senere i denne forelæsning Matrixformulering: 4-vektor format 26 Vi kan behandle både x,x,z og z på een gang ved at introducere Herunder er et par eksempler på 4x4 transfermatricer: (Bemærk: ingen xz kobling: masser af nuller!) 13
14 Én transfermatrix for hele acceleratoren. 27 Nu da vi kan beskrive beamet ved ind- og udgang af et element kan vi finde én matrix der beskriver hele systemet ved at gange matricerne for de enkelte elementer sammen. Et eksempel: Eksempel: Rektangulær magnet: 28 Hvis magnetens længde er l og radius af orbit i magneten er R, bliver de to kantvinkler Antag at l<<r. Da har vi Med får vi nu Med l 2 /2R 2 ~ 0 får vi Sammenlign nu dette med udtrykket for en sektormagnet (midterste matrix i udtrykket ovenfor). Bemærk: Den horisontale fokusering er blevet vertikal. 14
15 Impulsafvigelse: Dispersion (1) 29 Jvf. Hill s ligning har impulsafvigelse (Δp<>0) kun betydning hvis 1/R<>0, dvs at partiklen bevæger sig i et dipolfelt. I et dipolfelt får vi så den inhomogene differentialligning Vi ønsker nu at finde partikelbanen, x(s), der hører til en givet impulsafvigelse. Det er praktisk at finde denne bane for en bestemt afvigelse, Δp/p=1. Denne bane vil vi kalde D(s). Den er altså løsning til Kender vi nemlig D(s), kan vi let finde baneafvigelsen for en vilkårlig impulsafvigelse ved at gange med impulsafvigelsen, altså x D (s)=d(s)*δp/p Impulsafvigelse: Dispersion (2) 30 Vi gentager lige ligningen for D: Dette er en inhomogen differentialligning. Standardmetode til løsning: Find løsning til den homogene ligning (højreside 0), find een løsning til den inhomogene ligning og addér de to. Vi fandt tidligere den generelle løsning til den homogene ligning da vi så på løsning af Hill s ligning for en dipol. Da nu konstanten D p =R er løsning til den inhomogene ligning har vi altså den generelle løsning: 15
16 Impulsafvigelse: Dispersion (3) 31 Konstanterne A og B bestemmes af startbetingelserne D(0)=D 0 og D (0)=D 0. De bliver og Så har vi udtrykket for dispersionsfunktionen: Eller på matrixform i H-planen (3x3 matrix p.g. af konstantleddet) : En partikel med impulsafvigelse har altså positionen Hvor x(s) er banen uden impulsafvigelse Flere matricer (1) 32 Da partikler med afvigende impuls altså følger en dispersiv bane må vi udvide vores tidligere 2x2 matrice i det horisontale plan. Fokusering afhænger også af partiklens impulsafvigelse (kromaticitet), men det vil vi foreløbig se bort fra. I det horisontale plan kan vi altså finde partikelbanen ved hjælp af: For kvadrupoler, driftstrækninger og kantfokusering bliver M Her er de 4 elementer øverst til venstre de 2x2 matrixelementer vi allerede har fundet. Nullerne angiver, at impulsafvigelse ikke ændrer noget. I dipoler ser det dog anderledes ud som vi så på forrige slide. 16
17 Flere matricer (2) 33 For en dipol fandt vi 3x3 matricen i horisontalt plan: Vi kan nu igen udvide matrixformalismen til begge planer. Transformationen bliver da: Flere matricer (3) Igen har vi, at for alle elemter undtagen dipoler har vi 5x5 matricer der er sammensat af de velkendte 2x2 matrixelementer: 34 For en dipol finder vi derimod (jvf ) De to led i kolonne 5 øverst viser effekten af dispersionen på den horisontale bevægelse. I vertikalt plan er dipolen en driftstrækning. Nu har vi altså værktøjet til at finde partikelbaner i en vilkårlig struktur inklusiv indflydelse af impulsafvigelse. 17
18 Momentum Compaction Factor (1) 35 Vi har set, hvordan en partikel med impulsafvigelse følger en dispersiv bane der afviger fra den bane partikler uden impulsafvigelse følger. I en cirkulær maskine fører det til, at banelængden L og dermed omløbstiden bliver en smule anderledes. Omløbstiden er vigtig for fasefokusering (kommer senere), og vi er derfor interesserede i at kende denne forøgelse af banelængde. Vi definerer derfor en momentum compaction factor, α: Det at en bane er dispersiv gør kun en forskel i dipoler. Her vil banelængde afvige med Δp>0 Δp=0 Momentum Compaction Factor (2) 36 Vi kan nu finde banelængden ved at integrere hele ringen rundt: Da det første integral jo er den ikke-dispersive banelængde, har vi altså at forøgelsen på grund af dispersion bliver: Da momentum compaction factor er defineret som har vi: 18
Lineær beamoptik 1. Koordinatsystem
Lineær beamoptik 1 1 Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Koordinatsystem Indledning / overblik Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen Løsning af bevægelsesligningen Transfermatricer og
Læs mereForelæsning 11a: Resumé. Energi og impuls
Forelæsning 11a: Resumé Resumé over de indledende forelæsninger Overblik og sammenhæng 1 Energi og impuls Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi, E = E 0 +E k,hvor E k er kinetisk energi v β = c γ = 1 1 β
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 2 Transverse motion, Lattices Optiske elementer: Styring og fokusering. Bevægelsesligningen og dens løsning. Stabilitet. Typiske latticekonfigurationer.
Læs mereEnergi og impuls. v c. 1 g. Forelæsning 13a: Resumé. Hvilemasse: Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi: E = E 0 +E k, hvor E k er kinetisk energi
Forelæsning 13a: Resumé Resumé over de indledende forelæsninger Overblik og sammenhæng 1 Energi og impuls Hvilemasse: Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi: E = E 0 +E k, hvor E k er kinetisk energi v c
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 4b, uge 6/08, mandag d. 4/2 16:15-17:00 Kapitel 6 i Wilson: Imperfections and multipoles. Cirkeldiagrammet Closed-orbit distortions Orbitkorrektion
Læs mereLineær Beamoptik 3. Først lidt repetition fra sidste gang
Lineær Beamoptik 3 Først lidt repetition fra sidste gang 1 2 3 Lineær beamoptik 3.14-3.17 Tune Optiske resonanser Fejl i de optiske elementer Kromaticitet 4 Optisk resonans Vi snakker i dag kun om cirkulære
Læs mereBevægelse i (lineære) magnetfelter
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 4 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans
Læs mereBevægelse i (lineære) magnetfelter
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 3 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans
Læs mereLongitudinal dynamik: Indledning. Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration
Moderne acceleratorers ysik og anvendelse 5 Forelæsning 9a Longitudinal Dynamik Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Transitionsenergien Synkrotron bevægelse Longitudinal
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereForelæsning 7a. Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler) Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Moderne acceleratorers fsik og anvendelse Forelæsning 7a Ikke-linariteter og Instabiliteter Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Læs mereForelæsning 11a/b NH. Repetition af centrale begreber Mere WinAgile Acceleratorer udenfor sundhedsvæsenet
Forelæsning 11a/b NH Repetition af centrale begreber Mere WinAgile Acceleratorer udenfor sundhedsvæsenet Energi og impuls Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi, E = E 0 +T, hvor T er kinetisk energi β =
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q3-1 Large Hadron Collider (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner fra den separate konvolut, før du starter på denne opgave. Denne opgave handler om fysikken bag partikelacceleratorer LHC (Large
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereManipulationer af banen
Orbit bumps, Injektion/Ekstraktion, orbit korrektion og beamlines Wille: kapitel 3.18 og 4 og 10.4.2 Orbit bumps: 1,2,3 og 4 bumpers Injektion og ekstraktions elementer Septa, kickers og bumpers Magnetiske,
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 6 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Dispersion Transitionsenergien Synkrotron
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereSynkrotron accelerator facilitet
Orbit bumps, Injektion/Ekstraktion, orbit korrektion og transfer beamlines Wille: kapitel 3.15.1, 3.18 og 4 og 10.4.2 Orbit bumps: 1, 2, 3 og 4 bumpers Injektion og ekstraktions elementer Septa, kickers
Læs mereOpgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.
2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereKapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)
Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede
Læs mereBilledanalyse, vision og computer grafik. NAVN :..Lærerne... Underskrift :... Bord nr. :...
År: 3 Kursusnr: 5 Billedanalyse, vision og computer grafik Skriftlig prøve, den 5. december 3. Kursus navn: Billedanalyse, vision og computer grafik. Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige. "Vægtning":
Læs mereStern og Gerlachs Eksperiment
Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her
Læs merePartikelacceleratorer: egenskaber og funktion
Partikelacceleratorer: egenskaber og funktion Søren Pape Møller Indhold Partikelaccelerator maskine til atomare partikler med høje hastigheder/energier Selve accelerationen, forøgelse i hastighed, kommer
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereAcceleratorer i verden
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Q2, 2009 Niels Hertel Henrik Kjeldsen Søren Pape Møller Jørgen S. Nielsen Christian Søndergaard http://www.isa.au.dk/accfys 1 Acceleratorer i verden Tallene er
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 14 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Q3, 2008. http://www.phys.au.dk/accfys
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Q3, 2008 http://www.phys.au.dk/accfys Acceleratortyper Kinetic energy T Electrons Protons/ions Electrostatic Van de Graaf &Tandems 1-200 kev 1-200 kev (q=1) 1-35
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereVejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter
Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereAARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen
AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato:
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereDETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE
DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereAARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen
AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11.
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereProtoner med magnetfelter i alle mulige retninger.
Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereFREMSTILLING AF VEKSELSPÆNDING. Induktion Generatorprincippet
AC FREMSTILLING AF VEKSELSPÆNDING Induktion Generatorprincippet Induktion: Som vi tidligere har gennemgået, så induceres der en elektromotorisk kraft i en ledersløjfe, hvis denne udsættes for et varierende
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 2. juni 2017 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereModerne acceleratorers fysik og anvendelse Q2, 2015
Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Q2, 2015 Niels Hertel Philip Hofmann Søren Pape Møller Jørgen S. Nielsen Lars Præstegaard Christian Søndergaard http://www.isa.au.dk/accfys 1 2 1 3 4 2 Motivation
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mere