Forelæsning 11a: Resumé. Energi og impuls

Transkript

1 Forelæsning 11a: Resumé Resumé over de indledende forelæsninger Overblik og sammenhæng 1 Energi og impuls Einstein: E 0 =m 0 c 2 Total energi, E = E 0 +E k,hvor E k er kinetisk energi v β = c γ = 1 1 β 2 E=γE 0, E k =E 0 *(γ-1), m=γm 0, p=γm 0 v E 2 =E 02 +(pc) 2 p angives ofte i energi/c, f.eks. i GeV/c E m 0 c 2 pc Ovenstående gælder altid, men glem ikke at for v<<c gælder stadig de klassiske udtryk, p=m 0 v, E k =½m 0 v 2 = ½(m o c 2 )*v 2 /c 2 etc. 2 1

2 Acceleration af elektrisk ladede partikler En elektrisk ladet partikel påvirkes af elektriske og magnetiske felter: Lorentzkraften: r dp r r r r = F = e * (E + v B) dt Dvs. at vi KUN kan øge partiklens energi med et E-felt, mens vi kan ændre partiklens retning med både et E- og B-felt. Men et B-felt på 1T er lige så effektivt til styring af en enkeltladet, relativistisk partikel som et E-felt på 3*10 8 V/m! Derfor anvendes E-felter kun til styring af partikler med v<<c, dvs lavenergetiske ioner. 3 Styring: Dipolmagneter En dipolmagnet I en dipolmagnet som vist ovenfor bestemmer feltet B og energien E partiklens afbøjningsradius r. B Generelt gælder p,q BR = p/q R 4 2

3 I nedenstående betegner E den kinetiske energi Centrifugalkraft = Lorenzkraft pv / R = qvb BR = p q Generelt : B R = E + 2 E m0c / q (SI enheder! ) c Enheder benyttet nedenfor : B : tesla, R : meter, E :MeV, q : e Dvs B R = eller B R = Afbøjning i magnetfelt 3 3 E E E m [ amu] / q + 2 E m [ MeV ] / q 0 0 For E << m, dvs v << c, typisk for tunge partikler (ioner) 0 ( v << c): B R = E m [amu] / q 0 For E >> m, dvs v~c ( v c): 0 B R = , typisk for lette partikler 3 E / q (elektroner) Elektroner: m 0 =0.511MeV, q=-e Protoner: m 0 = 1.008amu = 938MeV, q=e 1 MeV=1.602*10-13 J e=1.602*10-19 C 1 amu = 931MeV 5 Koordinatsystem Vi vil benytte et koordinatsystem der følger en ideel partikel, altså en partikel der bevæger sig på idealbanen. Vi antager, at partiklen hovedsagelig bevæger sig i s- retningen, så dens hastighed kan skrives v=(0,0,v s ), og at B-feltet kun har komponenter vinkelret på s, dvs B=(B x,b z,0). 6 3

4 Maskinfunktioner Når en accelerator planlægges lægger man sig fast på et orbit, der er den bane en ideel partikel vil følge. Beamet styres rundt på orbit af dipolmagneter. En ikke-ideel partikel får afvigelser fra orbit. For at holde den på plads må man have fokuserende elementer (kvadrupolmagneter) i strukturen. Disse får partiklen til at oscillere om orbit. Disse oscillationer kaldes betatronoscillationer. Oscillationernes forløb i de to planer er beskrevet ved betafunktionerne, β x (s) og β z (s). En partikel med impulsafvigelse vil få en bane der afviger fra orbit, da afbøjningen i dipolerne er afvigende. Denne effekt kaldes dispersion og beskrives ved dispersionsfunktionerne D x (s) og D z (s). Desuden bliver banelængden ændret. Den relative ændring i forhold til impulsafvigelsens størrelse kaldes strukturens momentum compaction factor, α. Alle ovenstående begreber er maskinfunktioner, dvs de er givet af maskinens optik, altså position, styrke og type af de magnetiske elementer. 7 Feltet som sum af multipoler Da har vi altså (efter at der er multipliceret med e/p) Bevægelsen kan altså opdeles i bidrag fra multipoler. Betragter vi kun de to første led taler vi om lineær beamoptik. 8 4

5 Multipoler Enheder: 1/R: m -1, k: m -2, m: m -3, o: m Rigtige felter, gradienter etc. fås ved at gange med stivheden, BR 9 Bevægelsesligningen (4) Efter lidt regnerier med ovenstående tilnærmelser finder man Så skal vi se på impulsen: Vi antager, at partiklens impuls kun afviger lidt fra den ideelle partikels impuls, dvs p = p 0 + Δp Δp Vi har da, at = = 1 p p + Δ + Δ 0 p p0 1 p p0 p0 p Fra rækkeudviklingen af feltet har vi at Da både x, z, og Δp/p er små, ser vi bort fra alle produkter af dem. Så ender vi med: Endelig har vi den søgte bevægelsesligning. 0 og Den kaldes også Hill s ligning, og er den centrale ligning i 10 lineær beamoptik 5

6 Løsninger til Hill s ligning: Kvadrupoler 3 Ganske tilsvarende finder vi for en fokuserende kvadrupol (k<0): med Her er bevægelsen oscillerende om den ideelle bane, svarende til bevægelsen af en kugle der triller i en tagrende: 11 Løsninger til Hill s ligning: Dipol Hill s ligning: Hvis vi erstatter k med 1/R 2 ses, at løsningen ligner den for k<0, altså En dipol fokuserer altså i det horisontale plan. Det er dog en svag fokusering. I en typisk kvadrupol er k~5 m -2, mens R i en dipol sjældent er under et par meter, svarende til k<0.25m -2. De første synkrotroner der blev bygget havde kun svag fokusering, og dermed et meget stort beam. 12 6

7 Én transfermatrix for hele acceleratoren. Nu da vi kan beskrive beamet ved ind- og udgang af et element kan vi finde én matrix der beskriver hele systemet ved at gange matricerne for de enkelte elementer sammen. Et eksempel: 13 Impulsafvigelse: Dispersion (3) Konstanterne A og B bestemmes af startbetingelserne D(0)=D 0 og D (0)=D 0. De bliver og Så har vi udtrykket for dispersionsfunktionen: Eller på matrixform i H-planen (3x3 matrix p.g. af konstantleddet) : En partikel med impulsafvigelse har altså positionen Hvor x(s) er banen uden impulsafvigelse 14 7

8 Momentum Compaction Factor (2) Vi kan nu finde banelængden ved at integrere langs hele strukturen: Da det første integral jo er den ikke-dispersive banelængde, har vi altså at forøgelsen på grund af dispersion bliver: Da momentum compaction factor er defineret som har vi: 15 Betafunktion 3 Løsningen til Hill s ligning bliver da Med β(s): Betafunktionen (enhed af meter) Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for den enkelte partikel) ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen Ψ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset Indhylningskurven er givet ved: 16 8

9 Betafunktion 4 17 Betatron Bølgelængde Lad os igen betragte betatron bevægelsen Analogt til en harmonisk bølge kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λ b 2π y = sin x λ Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt som det også ses på foregående figur 2π 1 = Ψ ( s) = λ b β ( s) λ b = β (s) 2π 2π er fasetilvæksten per vejlængde λ b 18 9

10 Beamfunktioner Et beam (stråle) af består af mange partikler, der for en given position s i strukturen hver især kan karakteriseres ved koordinaterne ( x(s), x (s), z(s), z (s), Δp x, Δp z ). For at beam kan hver af disse koordinater kan beskrives med en normalfordeling. Fordelingernes standardafvigelser defineres beamets emittans i hvert af de to planer. Således er ε x =σ x (s)*σ x (s) og tilsvarende for z. Så længe beamet KUN er udsat for konservative kræfter (Dvs. ingen udveksling af energi med omgivelserne, altså ingen acceleration, ingen friktion m.m.) er emittansen bevaret og uafhængig af s. Emittansen er altså en ren beamfunktion, uafhængig af systemets optik. Impulsafvigelserne er under de samme omstændigheder uafhængige af s og er ligeledes bevarede. De er også rene beamfunktioner. 19 Betafunktion 5: emittansellipsen Position og vinkel af en partikel hvor Sammenskriver man de to ligninger og eliminerer og fås Hvilket beskriver en ellipse i (x, x )-rum 20 10

11 Betafunktion 6: emittansellipsen (α, β og γ kaldes ogsåtwiss eller Courant-Snyder parametre) 21 Betafunktion 7: emittansellipsen Betafunktion emittans ellipse 22 11

12 Emittansellipsen: Louville s sætning For konservative kræfter gælder at arealet af faserumsellipsen er bevaret Vi kan ændre formen, men aldrig arealet Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels) for et ensemble af partikler 23 Emittans Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel] med enheden m rad Ofte bruges mmmrad (millimeter milli-radian) samme som µmrad (10-6 mrad) eller nmrad (10-9 mrad) Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad Bemærk også at rad er dimensionsløs, så ved udregning af f.eks. en strålestørrelse forsvinder rad σ = εβ = 1 μmrad 1m = 1mm 24 12

13 ASTRID lattice 25 Beam envelope og β Beam envelope = βε ε er konstant, men β=β(s) Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldes hele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ. Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, 26 13

14 ASTRID 2 Twiss parametre, emittans 12.5nm 27 Periodisk løsning til Hill s ligning Vi har så Hill s ligning: hvor længde som periode, altså: Antag, at Δp/p = 0. er en periodisk funktion med ringens, L er ringens længde. Løsningen blev fundet sidste gang: Men i en ring er betafunktionen β(s) jo periodisk, og med samme periode som K(s). Betatronfasen er central for resonant opførsel

15 Q: Ringens tune Vi gentager lige og (3.125) og definerer Q som antallet af betatronoscillationer pr omløb i ringen, altså Q kaldes maskinens tune. Det er en maskinparameter, altså en konstant, og uafhængig af både position i ringen og beamparametre som emittans etc. De to planer, x og z, har hver deres tune, Q x og Q z. Ringens tune er bestemt af dens optik, altså f.eks. styrke og position af de fokuserende elementer. 29 Integer stopband Løsningen er: Af nævneren i første led ses, at hvis Q går mod et helt tal, går løsningen mod uendelig, dvs der er ikke noget stabilt beam. Området tæt på en heltallig værdi af Q kaldes et Integer stopband, og er altid fatalt for beamet. Figuren til højre illustrerer hvorfor det går galt

16 Resonanser og multipoler Optiske resonanser og de multipoler de skyldes: Man skal huske, at selv om der ikke er f.eks. sextu- og octupoler i en ring kan feltfejl i dipoler og kvadrupoler sagtens give anledning til højere ordens multipoler. Der er således altid resonans, når m*q=p, hvor m og p er heltal. 31 Resonansbetingelsen Husk, at der er to tuneværdier, nemlig en i hvert plan: Q x og Q z I lineær beamoptik er de to tunes uafhængige, men da ikke-lineære multipoler (sextu-, octupoler etc) kobler x og z bevægelsen, dvs. z-bevægelsen afhænger af x og omvendt. Vi kan således få koblede resonanser, så vores generelle betingelse for resonans kommer til at være Summen m + n kaldes resonansens orden. Vi skal altså ved at vælge vores optik rigtigt finde et arbejdspunkt for maskinen hvor ovenstående ligning ikke er opfyldt. Da resonansers virkning falder hurtigt med ordenen forsøger man normalt at undgå resonanser op til femte orden

17 Tunediagrammet Resonansbetingelsen for tunes i de to planer kan med fordel tegnes i et tunediagram som vist til højre. Her vist resonanser op til tredie orden. De lodrette og vandrette linier er resonanser i hhv x og z, mens alle de skrå linier er koblede resonanser. Arbejdspunktet bør vælges i et tomt område af diagrammet. 33 ASTRID tunediagram op til 4. orden 34 17

18 Kromaticitet 2 Vi har lige regnet ud, at en kvadrupolfejl giver anledning til et tuneskift af størrelsen Partiklen ændrer ikke nævneværdigt impuls under een omgang i ringen, dvs. at partiklen ser samme Δk i alle ringens kvadrupoler. Vi må derfor integrere over dem alle: De dimensionsløse størrelser ξ x ξ z kaldes ringens kromaticitet og giver forholdet mellem tuneskift i de to planer og impulsafvigelsen. At en partikel med impulsafvigelse får et tuneskift, og altså en anden fokusering, har givet parameteren dens navn. Croma (græsk) betyder jo farve, og kromaticitet antyder, at forskellige farver (impulser) fokuserer forskelligt, analogt med klassisk optik 35 Kromaticitet 3 I lagerringe benyttes ofte stærk fokusering, sammenlagt fokuserende. Derfor bliver kromaticiteten som regel negativ. (k<0) En negativ kromaticitet fører til kollektive instabiliteter (head-tail), så vi må korrigere kromaticiteten til en positiv værdi. Da effekten skyldes ændret fokusering af partikler med afvigende impuls, er det oplagt at sætte ind med en korrektion på et sted i ringen hvor partikler med forskellig impuls er rumligt adskilt. Her er det godt at huske på dispersion: En partikel med impulsafvigelse Δp/p har en afvigende x-position i forhold til en partikel med Δp/p=0 netop hvor den horisontale dispersion er forskellig fra 0: Et sådant sted ville være det rigtige til et element, hvis fokusering afhænger af x, altså at k er proportional med x, i modsætning til q-poler, hvor gradienten og dermed k jo er uafhængig af x. Her kommer sekstupoler ind i billedet

19 Kromaticitet og sekstupoler 1 Som vi så i starten af kapitel 3 er en sekstupol karakteriseret ved sin styrke: Dvs vi kan skrive dens fokusering som funktion af x: k sext =mx eller, for en partikel på en dispersiv bane: Effekten af en sekstupol er illustreret her til venstre. Sekstupolen er altså fokuserende for x>0 og defokuserende for x<0. På denne måde korrigeres fokuseringen af partikler med impulsafvigelse, som vist på tegningen 37 Kromaticitet og sekstupoler 2 På tegningen af sekstupolens geometri ses, at den er en dipol hvis styrke er nul på aksen, men som tiltager i samme retning uanset på hvilken side af x-aksen man er på. Effekten af impulsafvigelse består altså af to dele: Dels en impulsafhængig ændring af k i kvadrupoler, dels en impulsafhængig fokusering/defokusering i sekstupoler. Δp k = k p Δ 0 Δp = md p Den totale kromaticitet bliver så: k sext NB: fejl i bogen i Δk og k sext Med sekstupoler med passende placering (D>0) og styrke kan man altså kompensere så negativ kromaticitet kan undgås. I praksis justerer man til en lille positiv værdi, for at undgå at små ændringer skulle kunne give en negativ kromaticitet

20 2 kicker bump Fase Kicker forhold κ = β 1 2 κ1 β kicker bump Vi ser at for givet HK1 vinkel kan HK2 og HK3 bestemmes for alle kicker positioner. Dog kan både position og vinkel ikke bestemmes uafhængigt af hinanden

21 4 kicker bump Her kan både position og vinkel i punktet P bestemmes arbitrært 41 Injektion og Akkumulering Efter en ny injektion skal beam et køles før en ny injektion

22 ASTRID- ASTRID2 43 ASTRID- ASTRID2 transport line 44 22

23 ASTRID- ASTRID2 transport line 45 ASTRID2 injektion Bumpers ½ sinus 1.6 μs Inj. 0.9 μs 3 bumpers ( 2.0,1.8, 2.2)mrad Cirkulerende beam Injiceret beam 10 turns efter injektion 46 23

24 ASTRID2 injektion 10 turns efter injektion Cirkulerende beam Injiceret beam septum 47 ASTRID2 injektion 490 turns efter injektion Cirkulerende beam Injiceret beam 48 24

25 Longitudinal dynamik: Nogle definitioner Omløbsfrekvens: f=βc/l=βc/2πr m RF frekvensen skal være et helt multiplum af omløbsfrekvensen: f RF =q f q er den harmoniske (ofte kaldet h) Spænding per omgang: U U er den samlede spænding en partikel ser Kunne godt hidrøre fra flere kaviteter U=U 0 sin(ψ) hvor Ψ er fasen af partiklen i forhold til RF en (under forudsætning af at RF en svinger sinusformet) Synkron partikel: Modtager lige præcis den rigtige energitilvækst hver omgang E 0 =U 0 sin(ψ 0 )-W 0 hvor W 0 er energitab til Synkrotron Stråling (SR) og E 0 (hvis <>0) leder til acceleration at gøre Ψ har her ikke noget med betatron fasetilvækstfunktionen 49 Bundter og Buckets 1 Den synkrone partikel ser altid den rigtige (passende) spænding Andre partikler vil ikke altid se den passende spænding, men vil i faserummet (ΔΨ, ΔE) oscillere i energi og tid (fase), omkring den synkrone partikel En partikel der er langsommere bliver bagefter, og kommer til kaviten senere. Den ser da en større spænding, og udsættes derfor for en større acceleration, hvilket vil øge partiklens hastighed Ψ 0 Ψ 50 25

26 Angular distribution I Similar to Hertz dipole in frame of electron Relativistic transformation 51 Circular accelerators Perpendicular acceleration: Energy constant... dp = pdα dp/dt = pω = pv/r E pc, γ = E/m 0 c 2 dv v dt In praxis: Only SR from electrons 52 26

27 Useful equations (Electrons ONLY) Bending radius Critical energy ε c [kev] Total power radiated by ring Total power radiated by wiggler Undulator/wiggler parameter Undulator radiation Grating equation λ w, n λ u K = 1+ 2 n 2λ γ Θ 0 λ E =1240 nm ev Focusing by curved mirror (targentical=meridian / saggital) cos( θ ) + = + = r r' cos( θ ) r r' R m R s