Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Transkript

1 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige. Grdlæggede smbolmipltio, herder kvdrtsætiger. Forløbet:. Præsettio f emet med vægt på det glde sit.. Grppere rbejder og forvetes t hve ået midst til og med øvelse 6. i løbet f de første to lektioer. 3. Fælles smlig:. Afklrig f evetelle spørgsmål b. Præsettio f Fibocci-tllee c. Præsettio f idée i et idktiosbevis 4. Grppere rbejder videre og tger hrtigt ft på fsittet om Fibocci-tllee. Hver grppe fleverer e rpport. Rpporte skl ideholde: e præsettio med die ege ord f, hvd det glde sit er i kst, rkitektr mv., og hvd det hr med mtemtik t gøre (se evt. etdresse i pkt 5). løsig f øvelsere om det glde sit til og med øvelse 7. e præsettio med die ege ord f, hvd Fibocci-tllee er, hvor de optræder i vores omverde, og hvd de hr med det glde sit t gøre. (se evt. etdresse i pkt 5). løsig f øvelsere om Fibocci-tllee til og med øvelse 3. Hver grppe lver ete øvelse 7. eller fider e de geometrisk opgve på ettet, som de løser i stedet. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

2 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Det glde sit. D opsøger selv vi leksik, fgbøger eller iteret iformtioer om»det glde sit«d skl hve st dig id i det på e såd måde, t d med ege ord k give e mdtlig og skriftlig fremstillig f det.. De følgede mtemtiske del om det glde sit er bgget op geem øvelser, som d selv rbejder igeem. E øvelse begder med, t der står ØVELSE NR, og de sltter med, t der er givet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skl svre på, eller dregiger, d ærmere skl redegøre for. Id imellem øvelsere er der givet defiitioer og ført forskellige bemærkiger. DEFINITION Et rektgel ACD kldes et gldet rektgel, hvis det opflder følgede: Når vi skærer et kvdrt AEF væk, så får vi et t rektgel ECDF, E C A F D som er ligedet med det store rektgel ACD: + C C D A + D E F EMÆRKNING. Når rektglere er ligedede gælder, () dvs. forholdet mellem de lge og de korte side er es for de to rektgler. DEFINITION I et gldet rektgel kldes forholdet mellem de lge side og de korte side for det glde sit og beteges med det græske bogstv (dtles»phi«eller»fi«), dvs. (eller ). 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

3 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE (eregig f det glde sit) Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: Formel () omskrives til eller 0. Ligige omskrives videre til 0. () Læg mærke til t det ikke er eller, me derimod forholdet iteresseret i t berege. degrdsligige z, som er det glde sit, og som vi er er ltså de kedte størrelse og fides som e løsig til z 0. (b) Vis t løsige er 5 z. 5 Herf k vi kokldere: Det glde sit er lig med,68... (3) ØVELSE De de løsig beteges f og til '. Med dee betegelse hr vi ltså, t 5 5 og ' er løsigere til degrdsligige z z 0. Redegør for t der gælder, t ' og '. ØVELSE 3 Hvis et gldet rektgel hr side som de lge side og side som de korte side, så er de lge side de korte side (4) Idsæt i ' og vis, t de korte side ' de lge side. (5) Redegør også for t '. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

4 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 4 (Tilærmet kostrktio f det glde sit) Læg lijestkkere i forlægelse f hide: E C Vi øsker t fide d f, hvor stor e del dgør f hele lægde +. Vis t svret på dette er ' eller tilærmet 0,68 Dvs. dgør c. 6 % f hele lijestkket. Vi skl således dmåle 6% f lijestkket og dér fsætte et mærke, år et lijestkke skl deles i et forhold som det glde sit. Vi k trligvis måle d fr hvert edepkt, så der bliver to glde sit på e lije. ØVELSE 5. Hvord skl m dele et lijestkke på 0, således t de to stkker k dgøre sidere i et gldet rektgel? ØVELSE 5. Vi hr givet et lijestkke på. Vi øsker t dette skl dgøre de korte side i et gldet rektgel. Hvor stor skl de lge side være? de lge side emærk t dtrkket, der gælder for et gldet rektgel, k omskrives til de korte side de korte side de lge side. ØVELSE 5.3 Vi øsker t lve et gldet rektgel med rel 40. Hvor lge skl sidere være? ØVELSE 6. (Ekskt kostrktio f det glde sit) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svrede til beregigere i øvelse 5..) Kostrér e retviklet trekt, hvor de lægste ktete er (eheder), og de korte ktete er (ehed) se figre. D A E C Med e psser kostreres e cirkel med cetrm i og rdis C. Skærigspktet med A kldes D. Med pssere teges e cirkel med cetrm i A og rdis AD. Skærigspktet med AC kldes E. AC Vis t AE L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

5 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Vis t dette k omskrives til 5, dvs. det er lig med tllet Φ. Koklsio: Kostrktioe med de to cirkelber deler AC i det glde sit. ØVELSE 6. (Geometrisk kostrktio f et gldet rektgel d fr et givet kvdrt) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svrede til beregige i øvelse 5..) Vi hr givet et kvdrt med sidelægde E A og øsker t kostrere et rektgel ACD, som er et gldet rektgel. Lv følgede kostrktio (se tegige): E hlveres, og vi fider midtpktet M. Med M som cetrm og MF som rdis teges e cirkel. Dee cirkel skærer forlægelse f E i et pkt C. F M E C A F Påstd: Side C er de lge side i et gldet rektgel, hvor side A er de korte side, dvs. rektglet ACD er gldet, hvor D fides på forlægelse f AF. C 5 evis påstde, dvs. bevis følgede t. A 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

6 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 7. Teg e ligebeet trekt med topvikel 36. Viklere ved grdlije er så 7. Hlvér vikel A. Skærigspktet med side C kldes D. 36 Vis t ACD er esviklet med AC D Argmetér for t sidere AD og D hr smme lægde, som vi klder. A 7 C Lægde f DC kldes. Vis t. Omskriv til 0. Argmetér for t forholdet mellem sidere og i trekt ADC er lig med det glde sit. Formler dette som e sætig om dee tpe trekt. (Trekter med disse vikler kldes f og til for glde trekter.) ØVELSE 7. Teg e reglær femkt ACDE, dvs. e femkt, hvor sidere og viklere er lige store. A Teg også digolere AC, E og D. Argmetér for t viklere i e femkt, f.eks. hele vikel E, er 08. Gå på jgt efter ligebeede trekter ide i femkte, og rgmeter for t viklere mrkeret med v fktisk er lige store. (Hjælp: egd f.eks. med t se på trekt AE og dreg, hvor stor v er). v w Q v P v E Argmetér for t viklere mrkeret er lige store, og t = v. (Hjælp: se først på vikle mrkeret w.) v C v D Argmetér for t viklere mrkeret er lige store, og t de derfor må være lig med. Vis t 3v = 08, og ltså t v = 36. Herf får vi: = = 7. Agiv midst 3 glde trekter ide i femkte. Udt dette til t vise t CQ CP. QP PA Koklsio: Digolere skærer hide op i glde sit. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

7 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fibocci-tllee 3. Læs de egelske versio f Leordo f Pis s ki-problem. Leordo f Pis kldes ofte Fibocci. H levede i Norditlie omkrig år 00 og vr med t gøre de højtdviklede rbiske mtemtik kedt i Erop. H dede bl.. et stort bidrg til, t de rbiske tl blev kedt og efterhåde vedt i stedet for romertllee. Kiproblemet gv ledig til t stdere de mærkelige tlrække,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, som side er blevet kldt Fibocci-tllee. Giv e kort præsettio f kiproblemet, hvor d bl.. redegør for, hvd det hr med Fiboccitllee t gøre. 4. De følgede mtemtiske del om Fibocci-tllee er bgget op geem øvelser, som d selv rbejder igeem. E øvelse begder med, t der står ØVELSE NR, og de sltter med, t der er givet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skl svre på, eller dregiger, d ærmere skl redegøre for. DEFINITION Fibocci-tllee er de tlfølge,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, der opstår ved, t»det æste elemet«des som smme f de to foregåede (dette kldes i mtemtik e»rekrsiv defiitio«). Med smboler k dette dtrkkes således: Ld betege det te tl i tlfølge (f.eks. =, 6 = 8, 8 =, osv.) Regle om»det æste elemet«k så skrives således: (6) ØVELSE 8 Opskriv de første 5 Fibocci-tl i et skem som dette: ØVELSE 9 Idtst Fibocci-tllee som e tlfølge i dit CAS-værktøj. Hertil skl d først omstille mskies progrm til tlfølger (ædrig i»mode«). Der er plds til flere tlfølger, og d idtster f.eks. i de første, som hedder. Det 4. tl og det te tl i følge hedder i mskies sprog (4) og (). Regle om»det æste elemet«, som er formleret i (6), idtstes så. Edelig skl d give begdelsesværdier, og dette er de første to tl i følge, der idskrives således: {,}. I Tble k d se følges tl. Hvd er Fibocci-tl r. 40? ØVELSE 0 Udreg forholdet mellem ét tl i Fibocci-tlfølge og det foregåede tl, dvs.: 3 4 5,,,, K d se et møster et tl, som dee følge ærmer sig? 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

8 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Udreg tilsvrede: 3 4,,,, Hvilket tl ærmer dee følge sig tilseldede? ØVELSE Ld os klde brøkere fr forrige øvelse,, 3,..., dvs ,5 3 Lv e tllije med e stor ehed, f.eks. 8 eller 0 cm. Afsæt et så stort tl f tllee i tlfølge,,,..., t d k svre på følgede: eskriv med ord det møster, d ser. 3 DEFINITION (Græseværdi) Atg vi hr e tlfølge,, 3,... Hvis der fides et bestemt tl 0, som tlfølges elemeter ærmer sig mere og mere, jo lægere vi går frem i følge, så siger vi, t 0 er græseværdie for tlfølge, og vi skriver 0 år. (Læses:» går mod 0, år går mod edelig.«) EMÆRKNING Udtrkket»ærmer sig mere og mere«betder: Hvis vi øsker t komme tættere på ed e give lille forskel på f.eks. 0,000, så k vi fide et bestemt tri i tlfølge, hvorfr lle følgede tl er så tæt på som øsket. PÅSTAND Vi vil tge vores eksperimet med dregig og fsætig på tllije som et rgmet for, t tlfølge,,,... f brøker lvet d fr Fibocci-tllee fktisk hr e græseværdi (dee påstd vil vi bevise 3 seere se tillæg). Det ser d, som om græseværdie er tllet. K vi bevise dette? Det er opgve i de æste øvelse. ØVELSE (Når d er kommet igeem øvelse og hr fdet d f, hvd er, ved så tilbge og se, hvor kom fr. Så får d et bedre overblik over, hvorfor vi foretger omskrivigere.) Ld os begde med t klde græseværdie for, dvs. år. Af defiitioe på Fibocci-tl hr vi: (6) Vis dette k omskrives til. (7) Vi øsker t omskrive formel (7) til formel (8) edefor. Dertil hr vi brg for følgede to tig:.. (vis det sidste ved t begde med ) 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

9 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Idsættes. og. i (7), får vi (8) Når bliver meget stor vil både og ærme sig græseværdie. Ligige (8) gælder hele veje. Derfor må der også»til sidst«gælde, t Omskriv dette til eller (9) 0 (0) Argmeter for t = Φ ved simpelthe t løse ligige. D vr græseværdie for -følge, ved vi derfor, t år. Formler dette resltt med ord. EMÆRKNING Det er lidt besværligt t drege Fibocci-tl lgt fremme i følge, fordi vi skl rbejde os frem tri for tri. CAS-værktøjet er trligvis e stor hjælp. Me ke m fide e formel for dregig f et givet Fibocci-tl, vr det eklere. Og der fides fktisk e gske mærkelig formel, som giver os mlighed for direkte t drege f.eks. Fibocci-tl r. 37 eller r. 73. Formle blev fdet f e mtemtiker ved v iet, og år m ser de, tror m, det er løg, t de formel ltid giver et helt tl. Fibocci-tllee bliver hrtigt meget store, så formle hr hovedsgelig teoretisk iteresse. Som e hjælp til t vise formle skl vi først klre følgede: SÆTNING Hvis tllet opflder, så gælder for ethvert trligt tl, t, () hvor ere er Fibocci-tllee. (emærk: Tllet keder vi godt: Det er ete eller '.) ØVELSE 3 (eviset for sætige) eviset lves trivist, dvs. vi idser, det gælder for =, = 3, = 4 osv. I hvert tri dtter vi det, vi ved om, emlig t formel (9) gælder:. tri: Vi ved, t, og det er det smme som (hvorfor?). 3. tri: Vi gger ligige (9) igeem med på begge sider og får. 3 Vis t dette k omskrives til. 3 Me det er det smme som (hvorfor?) () 3 3. tri: Vi gger ligige () igeem med på begge sider og får. 4 Vis t dette k omskrives til Me det er det smme som osv. Ld os sige, t vi hr vist formle id til tri r. 9, dvs. vi hr vist formle L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

10 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee 0. tri: Vi gger prøv selv t geemføre dette tri, så d år frem til. 0 Vi k således ltid komme et skridt derligere fremd. Derfor siger vi, t sætige er bevist ved de tekik, der kldes mtemtisk idktio. SÆTNING (iets formel) Det te led i Fibocci-tlfølge k dreges således: (3) EMÆRKNING Prøv t drege ogle eksempler, som 5, 8 og 30, for t se, t formle giver det øskede. ØVELSE 4 (eviset for iets sætig) 5 5 De to tl og ' er løsiger til ligige, så derfor gælder ifølge sætige ovefor og øvelse 3 for ethvert trligt tl : ' ' Vis t d herf k få ' '. Vis t ' 5. Idsættes dette, får vi ' 5. Vis edelig t vi herfr får iets formel. 5. Der fides på ettet et væld f dresser vedrørede Fibocci-tllee. På dresse k d fide e omfttede iformtio. Prøv t gå id på de og led efter: Fibocci-tl og det glde sit i tre Fid på hjemmeside midst to mtemtiske smmehæge, som ikke er omtlt i disse oter og gør rede for dem. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

11 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Tillæg Dette tillæg hdler om, hvorfor tlfølge f forhold mellem Fibocci-tllee opfører sig som de gør, og som vi bl.. så i øvelse. ØVELSE 5 etrgt de første Fibocci-tl: i i Læg mærke til: 35 0 og og og smt følgede: og og og Formler med ord de regler d k se d f dette møster. ØVELSE 6 Vi så i foregåede øvelse, t vi f og til hr brg for t skele mellem lige tl (, 4, 6, ) og lige tl (, 3, 5, ). Når vi skl ræsoere mtemtisk om lige og lige tl, er vi ødt til t ke skele mellem tllee ved hjælp f mtemtisk smbolsprog. Det gør vi ved t skrive de lige tl som, eller, eller + osv., hvor er et tilfældigt trligt tl. De lige tl skrives som +,, +3 osv. Et lige eller et lige tl k skrives på flere måder, f.eks. 8 = 4 eller 8 = 3 + eller 8 = 5 eller og 9 = 4 + eller 9 = eller 9 = 5 eller Det fgørede er, t vi får dtrkt, om går op eller ikke går op i tllet. Når vi skriver lige tl og lige tl således, k regle fr øvelse 5 formleres således: For efterfølgede lige mre i Fibocci-tlfølge (som 6 og 8 ) gælder: (4) For efterfølgede lige mre i Fibocci-tlfølge (som 7 og 9 ) gælder: (5) Dette vises trivist med smme tekik, som vi vedte i øvelse 3. Vi hr set, t formlere (4) og (5) gælder for Fibocci-tllee op til 9. Vi ke blive ved et stkke tid ed; me i stedet spørger vi : Hvis formlere (4) og (5) gælder op til e bestemt værdi f, k vi så vise, t de også gælder for de æste Fibocci-tl? Hvis vi k det, så siger vi, t formlere er vist for lle tl ved hjælp f mtemtisk idktio. Vi øsker t vise de æste to formler. Overvej t disse skrives: (4') 3 (5') 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

12 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Vi viser (4') ved t drege vestre side og her bette, t det er Fibocci-tl. (Gør øje rede for hvert skridt i det følgede.) hvilket vr det øskede. Prøv selv med smme metode t vise (5'), dvs. vise, t EMÆRKNING Fid tilbge til de første dregiger f forholdet mellem Fibocci-tllee og fsætig f disse på e tllije. Vi kldte for emheds skld:, 3, 4 3, 3 For følge,, 3,... så vi følgede:. Forskelle mellem efterfølgede tl i følge bliver midre og midre.. Tllee, 4, 6,... (de lige mre) bliver midre og midre. 3. Tllee, 3, 5,... (de lige mre) bliver større og større. 4. For hvert tri i -følge bliver tllet skiftevis større og midre ed det foregåede, dvs. er større ed, 3 er midre ed, 4 er større ed 3, Tilsmme giver dette, t følge f -tl sviger frem og tilbge og lgsomt ærmer sig e græseværdi (som, vi i øvelse beviste, vr lig med ). Vi beviser påstdee -4 ved hjælp f formlere (4) og (5) fr øvelse 6. ØVELSE 7 Formler påstdee, 3 og 4 ved hjælp f smbolere,, og. ØVELSE 8 Påstd r. : Forskelle mellem to efterfølgede tl dreges: Argmeter for t. Smmeftter vi, hr vi derfor: 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

13 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Tllee og bliver større og større, hvorfor brøke bliver midre og midre. Koklsio: Forskelle mellem efterfølgede tl bliver midre og midre og ærmer sig 0, år går mod edelig. Påstd r. : Vi ser på tllee, 4, 6,..., og vil vise, t. Overvej t dette dtrkker, t tllee med lige mre bliver midre og midre. Af (4) får vi: Vi reger videre (gør øje rede for hvert skridt): der også k skrives: Koklsio: Tllee med lige mre bliver midre og midre. Påstd r. 3: Prøv selv t vise, t,ltså t, med brg f formel (5). Koklsio: Tllee med lige mre bliver større og større. Påstd r. 4: Formel (4) giver som ævt:, hvilket k omskrives til: der også k skrives: (6) Koklsio: Et tl med lige mmer er midre ed det foregåede med lige mmer Formel (5) giver tilsvrede: 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk

14 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee, hvilket k omskrives til: der også k skrives: (7) Koklsio: Et tl med ige mmer er større ed det foregåede med lige mmer Prøv t skeliggøre de to resltter fr (6) og (7) med = 4, = 5 og = 6. Koklsioe bliver, t for hvert tri bliver -tllet skiftevis større og midre. Smlet hr vi set, t -følges led sviger frem og tilbge, de lige mre bliver midre, de lige bliver større, mes forskelle mellem efterfølgede tl ærmer sig 0. Derfor må følge hve e græseværdi. Vi rgmeterede i forrige fsit for, t vr der e græseværdi, så ville dee være det glde sit. Altså hr vi lt i lt vist, t forholdet mellem efterfølgede Fiboccitl ærmer sig tllet det glde sit. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk