Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene"

Transkript

1 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige. Grdlæggede smbolmipltio, herder kvdrtsætiger. Forløbet:. Præsettio f emet med vægt på det glde sit.. Grppere rbejder og forvetes t hve ået midst til og med øvelse 6. i løbet f de første to lektioer. 3. Fælles smlig:. Afklrig f evetelle spørgsmål b. Præsettio f Fibocci-tllee c. Præsettio f idée i et idktiosbevis 4. Grppere rbejder videre og tger hrtigt ft på fsittet om Fibocci-tllee. Hver grppe fleverer e rpport. Rpporte skl ideholde: e præsettio med die ege ord f, hvd det glde sit er i kst, rkitektr mv., og hvd det hr med mtemtik t gøre (se evt. etdresse i pkt 5). løsig f øvelsere om det glde sit til og med øvelse 7. e præsettio med die ege ord f, hvd Fibocci-tllee er, hvor de optræder i vores omverde, og hvd de hr med det glde sit t gøre. (se evt. etdresse i pkt 5). løsig f øvelsere om Fibocci-tllee til og med øvelse 3. Hver grppe lver ete øvelse 7. eller fider e de geometrisk opgve på ettet, som de løser i stedet. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

2 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Det glde sit. D opsøger selv vi leksik, fgbøger eller iteret iformtioer om»det glde sit«d skl hve st dig id i det på e såd måde, t d med ege ord k give e mdtlig og skriftlig fremstillig f det.. De følgede mtemtiske del om det glde sit er bgget op geem øvelser, som d selv rbejder igeem. E øvelse begder med, t der står ØVELSE NR, og de sltter med, t der er givet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skl svre på, eller dregiger, d ærmere skl redegøre for. Id imellem øvelsere er der givet defiitioer og ført forskellige bemærkiger. DEFINITION Et rektgel ACD kldes et gldet rektgel, hvis det opflder følgede: Når vi skærer et kvdrt AEF væk, så får vi et t rektgel ECDF, E C A F D som er ligedet med det store rektgel ACD: + C C D A + D E F EMÆRKNING. Når rektglere er ligedede gælder, () dvs. forholdet mellem de lge og de korte side er es for de to rektgler. DEFINITION I et gldet rektgel kldes forholdet mellem de lge side og de korte side for det glde sit og beteges med det græske bogstv (dtles»phi«eller»fi«), dvs. (eller ). 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

3 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE (eregig f det glde sit) Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: Formel () omskrives til eller 0. Ligige omskrives videre til 0. () Læg mærke til t det ikke er eller, me derimod forholdet iteresseret i t berege. degrdsligige z, som er det glde sit, og som vi er er ltså de kedte størrelse og fides som e løsig til z 0. (b) Vis t løsige er 5 z. 5 Herf k vi kokldere: Det glde sit er lig med,68... (3) ØVELSE De de løsig beteges f og til '. Med dee betegelse hr vi ltså, t 5 5 og ' er løsigere til degrdsligige z z 0. Redegør for t der gælder, t ' og '. ØVELSE 3 Hvis et gldet rektgel hr side som de lge side og side som de korte side, så er de lge side de korte side (4) Idsæt i ' og vis, t de korte side ' de lge side. (5) Redegør også for t '. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

4 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 4 (Tilærmet kostrktio f det glde sit) Læg lijestkkere i forlægelse f hide: E C Vi øsker t fide d f, hvor stor e del dgør f hele lægde +. Vis t svret på dette er ' eller tilærmet 0,68 Dvs. dgør c. 6 % f hele lijestkket. Vi skl således dmåle 6% f lijestkket og dér fsætte et mærke, år et lijestkke skl deles i et forhold som det glde sit. Vi k trligvis måle d fr hvert edepkt, så der bliver to glde sit på e lije. ØVELSE 5. Hvord skl m dele et lijestkke på 0, således t de to stkker k dgøre sidere i et gldet rektgel? ØVELSE 5. Vi hr givet et lijestkke på. Vi øsker t dette skl dgøre de korte side i et gldet rektgel. Hvor stor skl de lge side være? de lge side emærk t dtrkket, der gælder for et gldet rektgel, k omskrives til de korte side de korte side de lge side. ØVELSE 5.3 Vi øsker t lve et gldet rektgel med rel 40. Hvor lge skl sidere være? ØVELSE 6. (Ekskt kostrktio f det glde sit) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svrede til beregigere i øvelse 5..) Kostrér e retviklet trekt, hvor de lægste ktete er (eheder), og de korte ktete er (ehed) se figre. D A E C Med e psser kostreres e cirkel med cetrm i og rdis C. Skærigspktet med A kldes D. Med pssere teges e cirkel med cetrm i A og rdis AD. Skærigspktet med AC kldes E. AC Vis t AE L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

5 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Vis t dette k omskrives til 5, dvs. det er lig med tllet Φ. Koklsio: Kostrktioe med de to cirkelber deler AC i det glde sit. ØVELSE 6. (Geometrisk kostrktio f et gldet rektgel d fr et givet kvdrt) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svrede til beregige i øvelse 5..) Vi hr givet et kvdrt med sidelægde E A og øsker t kostrere et rektgel ACD, som er et gldet rektgel. Lv følgede kostrktio (se tegige): E hlveres, og vi fider midtpktet M. Med M som cetrm og MF som rdis teges e cirkel. Dee cirkel skærer forlægelse f E i et pkt C. F M E C A F Påstd: Side C er de lge side i et gldet rektgel, hvor side A er de korte side, dvs. rektglet ACD er gldet, hvor D fides på forlægelse f AF. C 5 evis påstde, dvs. bevis følgede t. A 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

6 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 7. Teg e ligebeet trekt med topvikel 36. Viklere ved grdlije er så 7. Hlvér vikel A. Skærigspktet med side C kldes D. 36 Vis t ACD er esviklet med AC D Argmetér for t sidere AD og D hr smme lægde, som vi klder. A 7 C Lægde f DC kldes. Vis t. Omskriv til 0. Argmetér for t forholdet mellem sidere og i trekt ADC er lig med det glde sit. Formler dette som e sætig om dee tpe trekt. (Trekter med disse vikler kldes f og til for glde trekter.) ØVELSE 7. Teg e reglær femkt ACDE, dvs. e femkt, hvor sidere og viklere er lige store. A Teg også digolere AC, E og D. Argmetér for t viklere i e femkt, f.eks. hele vikel E, er 08. Gå på jgt efter ligebeede trekter ide i femkte, og rgmeter for t viklere mrkeret med v fktisk er lige store. (Hjælp: egd f.eks. med t se på trekt AE og dreg, hvor stor v er). v w Q v P v E Argmetér for t viklere mrkeret er lige store, og t = v. (Hjælp: se først på vikle mrkeret w.) v C v D Argmetér for t viklere mrkeret er lige store, og t de derfor må være lig med. Vis t 3v = 08, og ltså t v = 36. Herf får vi: = = 7. Agiv midst 3 glde trekter ide i femkte. Udt dette til t vise t CQ CP. QP PA Koklsio: Digolere skærer hide op i glde sit. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

7 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fibocci-tllee 3. Læs de egelske versio f Leordo f Pis s ki-problem. Leordo f Pis kldes ofte Fibocci. H levede i Norditlie omkrig år 00 og vr med t gøre de højtdviklede rbiske mtemtik kedt i Erop. H dede bl.. et stort bidrg til, t de rbiske tl blev kedt og efterhåde vedt i stedet for romertllee. Kiproblemet gv ledig til t stdere de mærkelige tlrække,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, som side er blevet kldt Fibocci-tllee. Giv e kort præsettio f kiproblemet, hvor d bl.. redegør for, hvd det hr med Fiboccitllee t gøre. 4. De følgede mtemtiske del om Fibocci-tllee er bgget op geem øvelser, som d selv rbejder igeem. E øvelse begder med, t der står ØVELSE NR, og de sltter med, t der er givet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skl svre på, eller dregiger, d ærmere skl redegøre for. DEFINITION Fibocci-tllee er de tlfølge,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, der opstår ved, t»det æste elemet«des som smme f de to foregåede (dette kldes i mtemtik e»rekrsiv defiitio«). Med smboler k dette dtrkkes således: Ld betege det te tl i tlfølge (f.eks. =, 6 = 8, 8 =, osv.) Regle om»det æste elemet«k så skrives således: (6) ØVELSE 8 Opskriv de første 5 Fibocci-tl i et skem som dette: ØVELSE 9 Idtst Fibocci-tllee som e tlfølge i dit CAS-værktøj. Hertil skl d først omstille mskies progrm til tlfølger (ædrig i»mode«). Der er plds til flere tlfølger, og d idtster f.eks. i de første, som hedder. Det 4. tl og det te tl i følge hedder i mskies sprog (4) og (). Regle om»det æste elemet«, som er formleret i (6), idtstes så. Edelig skl d give begdelsesværdier, og dette er de første to tl i følge, der idskrives således: {,}. I Tble k d se følges tl. Hvd er Fibocci-tl r. 40? ØVELSE 0 Udreg forholdet mellem ét tl i Fibocci-tlfølge og det foregåede tl, dvs.: 3 4 5,,,, K d se et møster et tl, som dee følge ærmer sig? 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

8 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Udreg tilsvrede: 3 4,,,, Hvilket tl ærmer dee følge sig tilseldede? ØVELSE Ld os klde brøkere fr forrige øvelse,, 3,..., dvs ,5 3 Lv e tllije med e stor ehed, f.eks. 8 eller 0 cm. Afsæt et så stort tl f tllee i tlfølge,,,..., t d k svre på følgede: eskriv med ord det møster, d ser. 3 DEFINITION (Græseværdi) Atg vi hr e tlfølge,, 3,... Hvis der fides et bestemt tl 0, som tlfølges elemeter ærmer sig mere og mere, jo lægere vi går frem i følge, så siger vi, t 0 er græseværdie for tlfølge, og vi skriver 0 år. (Læses:» går mod 0, år går mod edelig.«) EMÆRKNING Udtrkket»ærmer sig mere og mere«betder: Hvis vi øsker t komme tættere på ed e give lille forskel på f.eks. 0,000, så k vi fide et bestemt tri i tlfølge, hvorfr lle følgede tl er så tæt på som øsket. PÅSTAND Vi vil tge vores eksperimet med dregig og fsætig på tllije som et rgmet for, t tlfølge,,,... f brøker lvet d fr Fibocci-tllee fktisk hr e græseværdi (dee påstd vil vi bevise 3 seere se tillæg). Det ser d, som om græseværdie er tllet. K vi bevise dette? Det er opgve i de æste øvelse. ØVELSE (Når d er kommet igeem øvelse og hr fdet d f, hvd er, ved så tilbge og se, hvor kom fr. Så får d et bedre overblik over, hvorfor vi foretger omskrivigere.) Ld os begde med t klde græseværdie for, dvs. år. Af defiitioe på Fibocci-tl hr vi: (6) Vis dette k omskrives til. (7) Vi øsker t omskrive formel (7) til formel (8) edefor. Dertil hr vi brg for følgede to tig:.. (vis det sidste ved t begde med ) 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

9 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Idsættes. og. i (7), får vi (8) Når bliver meget stor vil både og ærme sig græseværdie. Ligige (8) gælder hele veje. Derfor må der også»til sidst«gælde, t Omskriv dette til eller (9) 0 (0) Argmeter for t = Φ ved simpelthe t løse ligige. D vr græseværdie for -følge, ved vi derfor, t år. Formler dette resltt med ord. EMÆRKNING Det er lidt besværligt t drege Fibocci-tl lgt fremme i følge, fordi vi skl rbejde os frem tri for tri. CAS-værktøjet er trligvis e stor hjælp. Me ke m fide e formel for dregig f et givet Fibocci-tl, vr det eklere. Og der fides fktisk e gske mærkelig formel, som giver os mlighed for direkte t drege f.eks. Fibocci-tl r. 37 eller r. 73. Formle blev fdet f e mtemtiker ved v iet, og år m ser de, tror m, det er løg, t de formel ltid giver et helt tl. Fibocci-tllee bliver hrtigt meget store, så formle hr hovedsgelig teoretisk iteresse. Som e hjælp til t vise formle skl vi først klre følgede: SÆTNING Hvis tllet opflder, så gælder for ethvert trligt tl, t, () hvor ere er Fibocci-tllee. (emærk: Tllet keder vi godt: Det er ete eller '.) ØVELSE 3 (eviset for sætige) eviset lves trivist, dvs. vi idser, det gælder for =, = 3, = 4 osv. I hvert tri dtter vi det, vi ved om, emlig t formel (9) gælder:. tri: Vi ved, t, og det er det smme som (hvorfor?). 3. tri: Vi gger ligige (9) igeem med på begge sider og får. 3 Vis t dette k omskrives til. 3 Me det er det smme som (hvorfor?) () 3 3. tri: Vi gger ligige () igeem med på begge sider og får. 4 Vis t dette k omskrives til Me det er det smme som osv. Ld os sige, t vi hr vist formle id til tri r. 9, dvs. vi hr vist formle L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

10 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee 0. tri: Vi gger prøv selv t geemføre dette tri, så d år frem til. 0 Vi k således ltid komme et skridt derligere fremd. Derfor siger vi, t sætige er bevist ved de tekik, der kldes mtemtisk idktio. SÆTNING (iets formel) Det te led i Fibocci-tlfølge k dreges således: (3) EMÆRKNING Prøv t drege ogle eksempler, som 5, 8 og 30, for t se, t formle giver det øskede. ØVELSE 4 (eviset for iets sætig) 5 5 De to tl og ' er løsiger til ligige, så derfor gælder ifølge sætige ovefor og øvelse 3 for ethvert trligt tl : ' ' Vis t d herf k få ' '. Vis t ' 5. Idsættes dette, får vi ' 5. Vis edelig t vi herfr får iets formel. 5. Der fides på ettet et væld f dresser vedrørede Fibocci-tllee. På dresse k d fide e omfttede iformtio. Prøv t gå id på de og led efter: Fibocci-tl og det glde sit i tre Fid på hjemmeside midst to mtemtiske smmehæge, som ikke er omtlt i disse oter og gør rede for dem. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

11 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Tillæg Dette tillæg hdler om, hvorfor tlfølge f forhold mellem Fibocci-tllee opfører sig som de gør, og som vi bl.. så i øvelse. ØVELSE 5 etrgt de første Fibocci-tl: i i Læg mærke til: 35 0 og og og smt følgede: og og og Formler med ord de regler d k se d f dette møster. ØVELSE 6 Vi så i foregåede øvelse, t vi f og til hr brg for t skele mellem lige tl (, 4, 6, ) og lige tl (, 3, 5, ). Når vi skl ræsoere mtemtisk om lige og lige tl, er vi ødt til t ke skele mellem tllee ved hjælp f mtemtisk smbolsprog. Det gør vi ved t skrive de lige tl som, eller, eller + osv., hvor er et tilfældigt trligt tl. De lige tl skrives som +,, +3 osv. Et lige eller et lige tl k skrives på flere måder, f.eks. 8 = 4 eller 8 = 3 + eller 8 = 5 eller og 9 = 4 + eller 9 = eller 9 = 5 eller Det fgørede er, t vi får dtrkt, om går op eller ikke går op i tllet. Når vi skriver lige tl og lige tl således, k regle fr øvelse 5 formleres således: For efterfølgede lige mre i Fibocci-tlfølge (som 6 og 8 ) gælder: (4) For efterfølgede lige mre i Fibocci-tlfølge (som 7 og 9 ) gælder: (5) Dette vises trivist med smme tekik, som vi vedte i øvelse 3. Vi hr set, t formlere (4) og (5) gælder for Fibocci-tllee op til 9. Vi ke blive ved et stkke tid ed; me i stedet spørger vi : Hvis formlere (4) og (5) gælder op til e bestemt værdi f, k vi så vise, t de også gælder for de æste Fibocci-tl? Hvis vi k det, så siger vi, t formlere er vist for lle tl ved hjælp f mtemtisk idktio. Vi øsker t vise de æste to formler. Overvej t disse skrives: (4') 3 (5') 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

12 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Vi viser (4') ved t drege vestre side og her bette, t det er Fibocci-tl. (Gør øje rede for hvert skridt i det følgede.) hvilket vr det øskede. Prøv selv med smme metode t vise (5'), dvs. vise, t EMÆRKNING Fid tilbge til de første dregiger f forholdet mellem Fibocci-tllee og fsætig f disse på e tllije. Vi kldte for emheds skld:, 3, 4 3, 3 For følge,, 3,... så vi følgede:. Forskelle mellem efterfølgede tl i følge bliver midre og midre.. Tllee, 4, 6,... (de lige mre) bliver midre og midre. 3. Tllee, 3, 5,... (de lige mre) bliver større og større. 4. For hvert tri i -følge bliver tllet skiftevis større og midre ed det foregåede, dvs. er større ed, 3 er midre ed, 4 er større ed 3, Tilsmme giver dette, t følge f -tl sviger frem og tilbge og lgsomt ærmer sig e græseværdi (som, vi i øvelse beviste, vr lig med ). Vi beviser påstdee -4 ved hjælp f formlere (4) og (5) fr øvelse 6. ØVELSE 7 Formler påstdee, 3 og 4 ved hjælp f smbolere,, og. ØVELSE 8 Påstd r. : Forskelle mellem to efterfølgede tl dreges: Argmeter for t. Smmeftter vi, hr vi derfor: 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

13 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Tllee og bliver større og større, hvorfor brøke bliver midre og midre. Koklsio: Forskelle mellem efterfølgede tl bliver midre og midre og ærmer sig 0, år går mod edelig. Påstd r. : Vi ser på tllee, 4, 6,..., og vil vise, t. Overvej t dette dtrkker, t tllee med lige mre bliver midre og midre. Af (4) får vi: Vi reger videre (gør øje rede for hvert skridt): der også k skrives: Koklsio: Tllee med lige mre bliver midre og midre. Påstd r. 3: Prøv selv t vise, t,ltså t, med brg f formel (5). Koklsio: Tllee med lige mre bliver større og større. Påstd r. 4: Formel (4) giver som ævt:, hvilket k omskrives til: der også k skrives: (6) Koklsio: Et tl med lige mmer er midre ed det foregåede med lige mmer Formel (5) giver tilsvrede: 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

14 ISN Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee, hvilket k omskrives til: der også k skrives: (7) Koklsio: Et tl med ige mmer er større ed det foregåede med lige mmer Prøv t skeliggøre de to resltter fr (6) og (7) med = 4, = 5 og = 6. Koklsioe bliver, t for hvert tri bliver -tllet skiftevis større og midre. Smlet hr vi set, t -følges led sviger frem og tilbge, de lige mre bliver midre, de lige bliver større, mes forskelle mellem efterfølgede tl ærmer sig 0. Derfor må følge hve e græseværdi. Vi rgmeterede i forrige fsit for, t vr der e græseværdi, så ville dee være det glde sit. Altså hr vi lt i lt vist, t forholdet mellem efterfølgede Fiboccitl ærmer sig tllet det glde sit. 03 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil:

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse 2013 Fra vide til hadlig Få flere uge, især med ade etisk baggrud ed dask, til at begyde på og geemføre e erhvervsfaglig uddaelse Tekst/forfatter LG Isight Udgivet af Fastholdelseskaravae/- Miisteriet

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Tid til refleksion. - at opdage dét du tror, du ikke ved...

Tid til refleksion. - at opdage dét du tror, du ikke ved... Tid til refleksion - at opdage dét du tror, du ikke ved... Refleksion er en aktiv vedvarende og omhyggelig granskning af den eksisterende viden, og af forholdet mellem det vi tænker og det der sker i virkeligheden

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Vejledning til brug ved ansøgning om patent

Vejledning til brug ved ansøgning om patent Vejledig til brug ved asøgig om patet Idhold: Hvad ka pateteres hvorår og hvorda? 1 Såda søger De patet i Damark 3 Et praktisk eksempel 5 Hvorda behadles asøgige? 12 Patetbeskyttelse i flere lade 14 Biblioteks-liste

Læs mere

Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen

Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen Denne test af, hvordan din hest arbejder, tager ca. tre minutter og bør indgå i opvarmningen hver dag. Du må vide, nøjagtig hvad der

Læs mere

Når mor eller far har en rygmarvsskade

Når mor eller far har en rygmarvsskade Når mor eller far har en rygmarvsskade 2 når mor eller far har en rygmarvsskade Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder med en rygmarvsskade. Kan dit barn læse,

Læs mere

Hvis din hest er død - så stå af

Hvis din hest er død - så stå af Roller Individuel øvelse 1. Hvilke roller har du på arbejdet? Jeg er den: 2. Hvilken rolle er du mest træt af, og hvorfor? 3. Er der roller, du føler, du er blevet påduttet af andre? 4. Hvilke roller sætter

Læs mere

AT-EKSAMEN: HVAD ER ET TALEPAPIR?

AT-EKSAMEN: HVAD ER ET TALEPAPIR? AT-EKSAMEN: HVAD ER ET TALEPAPIR? Fra synopsis til talepapir Formålet med dette papir er at give dig en indføring i hvordan du kan forberede dig til en AT-eksamen. Der er to dele, der overlapper en smule:

Læs mere

Det vi skal gøre, og det vi kan gøre

Det vi skal gøre, og det vi kan gøre TEMA Stress Værktøj 2 Det vi skal gøre, og det vi kan gøre Hvis der er tid og overskud 1 Indhold Introduktion Formålet med dette værktøj Prioritering af tiden Kerneydelserne og det ekstra Kerneydelserne

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

"Mød dig selv"-metoden

Mød dig selv-metoden "Mød dig selv"-metoden af Bjarne W. Andresen En lille plante løfter en tung sten for at kunne udfolde sig til sit fulde potentiale. Egå Engsø forår 2014. Bjarne W. Andresen 1. udgave. Aarhus, april 2015

Læs mere

Jeg vil se Jesus -2. Natanael ser Jesus

Jeg vil se Jesus -2. Natanael ser Jesus Jeg vil se Jesus -2 Natanael ser Jesus Mål: Skab forventning til Jesus i børnene. Gennem undervisningen vil vi se på, hvordan Natanael møder Jesus, og hvad det gør i ham, og vi vil se på, hvordan vi kan

Læs mere

INTERVIEW: HVAD ER TILLIDENS NUANCER?

INTERVIEW: HVAD ER TILLIDENS NUANCER? INTERVIEW: HVAD ER TILLIDENS NUANCER? Tillid er som at tage hinanden i hånden og gå ud på isen sammen. Skridt for skridt ser man, om isen kan bære. Tina Øllgaard Bentzen skriver ph.d.-afhandling om tillid

Læs mere

Hvordan høre Gud tale?

Hvordan høre Gud tale? Hvordan høre Gud tale? Forord til læreren For flere år siden sad jeg sammen med en gruppe børn i 10-11 års alderen. Vi havde lige hørt en bibeltime, der handlede om at have et personligt forhold til Jesus.

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

Gør en forskel for en ung - bliv mentor

Gør en forskel for en ung - bliv mentor Gør en forskel for en ung - bliv mentor Der er brug for virksomhederne Nogle unge er ikke klar til at starte på en ungdomsuddannelse lige efter folkeskolen. De har brug for at gå en anden vej ofte en mere

Læs mere

Gør den svære samtale til et frugtbart samarbejde

Gør den svære samtale til et frugtbart samarbejde Gør den svære samtale til et frugtbart samarbejde Af Ianneia Meldgaard, cand. mag. Kursus- og foredragsholder og coach. www.qcom.dk Den svære samtale er et begreb, der bliver brugt meget i institutioner

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere