Jordens mærkelige følgesvende

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Jordens mærkelige følgesvende"

Transkript

1 Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide Af Tobias Cornelius Hinse, Korea Astronomy and Space Science Institute og René Michelsen Blandt Solsystemets utallige asteroider, findes der nogle, der er løst bundne til planeterne via Lagrange-punkterne. For nylig blev det opdaget, at også Jorden har sin egen følgesvend. I denne artikel gives baggrunden til forståelsen af den komplicerede dynamik, og forskellige virkelige eksempler på nogle af Jordens mærkelige følgesvende. Indledning Blandt resterne fra dannelsen af Solsystemet finder vi asteroider og kometer. Disse objekter er dynamisk meget aktive, da de er prisgivet gravitationelle vekselvirkninger med Solsystemets planeter. De fleste asteroider befinder sig i Asteroidebæltet mellem Mars og Jupiter, men de jordnære asteroider kan have baner, der krydser gennem det indre Solsystem. Det resulterer undertiden i spektakulære hændelser, som f.eks. den nære passage mellem Jorden og asteroiden 2005 YU 55 i november Andre asteroider afslører imidlertid en langt mere underfundig dynamisk natur end blot en simpel tæt passage: I 2011 viste to studier, at to asteroider er følgesvende til Jorden og udviser nogle højst komplekse dynamiske forhold. Et gammelt problem Et af fysikkens mest studerede systemer er tre-legeme problemet og dets anvendelser i forskellige formuleringer indenfor astronomien. På engelsk findes ordsproget two is company, three is a crowd, som meget passende beskriver tre-legeme problemet. Mens to-legeme problemet kan løses analytisk ud fra Newtons gravitationslov, og elegant beskrives ved Keplers tre love, så findes der ingen tilsvarende løsning for tre-legeme problemet. Med andre ord, for det generelle tilfælde, så er det ikke muligt at give en analytisk beskrivelse af systemets tilstand til en vilkårlig tid i for- eller fremtiden. Problemet består derfor i, på anden vis at finde en beskrivelse for tidsudviklingen af tre massepunkter, som påvirker hinanden via gravitationskraften. Et specielt tilfælde af tre-legeme problemet giver anledning til to slags mulige ko-orbitale baner: 1) hestesko og 2) haletudse -baner. Anledningen til den sære navngivning kræver en nærmere analyse, som gives i det følgende. Et velkendt eksempel på objekter i haletudsebaner er de såkaldte trojanske asteroider, som danner en selvstændig population ved planeterne Mars, Jupiter og Neptun omkring de såkaldte Lagrangepunkter L4 og L5 (se senere). Disse asteroider har ko-orbitale baner (dvs. de ligger i samme bane som planeten) og kan manifestere særheder i deres geometriske tidsudvikling afhængig af deres dynamiske tilstand. Et eksempel på hesteskobaner er Saturns satellitter Janus og Epimetheus. Selve betegnelsen trojansk asteroide stammer fra en tradition med at opkalde asteroider i Jupiters L4 og L5 efter personer fra den trojanske krig i Homers Iliade. Sprogbrugen er generaliseret til at betegne asteroider i et vilkårligt L4/L5 punkt. En banebrydende opdagelse Først fornylig, ved brug af et rumbaseret teleskop, blev den første jordiske trojanske haletudse-følgesvend med betegnelsen 2010 TK 7 opdaget [1]. At en sådan opdagelse ikke er gjort tidligere, skyldes den vanskelige geometri af jordiske trojanere, da de befinder sig tæt på retningen mod Solen (set fra Jorden). Dette forhold vanskeliggør jordbaserede observationer af disse lyssvage og relativt små objekter. Den banebrydende opdagelse af asteroiden 2010 TK 7 giver anledning til spekulation om størrelsen af populationen af jordnære haletudse(trojaner)/hestesko asteroider, deres dynamik, banestabilitet og levetid. Tre-legeme problemet og dets anvendelser Der findes flere varianter af tre-legeme problemet, som adskiller sig fra hinanden igennem forskellige antagelser omkring masserne og begyndelsesbetingelserne. Specielt interessant er det restringerede tre-legeme problem med to store masser (f.eks. Solen, Jorden) og et masseløst tredje legeme (f.eks. en asteroide). Dette problem beskriver bevægelsen af en masseløs testpartikel i forhold til gravitationsfeltet fra det traditionelle Keplerproblem. Tilfældigvis er dette system genkendeligt fra mange forskellige situationer i vores Solsystem. Der er udviklet analyseværktøjer, som kan beskrive om dynamikken er kaotisk (ustabil) eller stabil, uden at der nødvendigvis skal opstilles en analytisk løsning. Specielt kan de dynamiske forhold for små legemer som asteroider og satellitter omkring planeterne beskrives passende nøjagtigt, ved kun at betragte den gravitationelle indflydelse af Solen og Jupiter. Et meget velkendt eksempel er eksitation af baneexcentriciteten af asteroider omkring Solen forårsaget af Jupiters påvirkning over forholdsvis korte tidsrum. De langstrakte baner giver anledning til at krydse de indre planeters baner, og dermed forøges sandsynligheden for sammenstød. Den samlede effekt er en slags støvsugning af asteroider, som er ansvarlig for udformning af de såkaldte Kirkwood-gab indenfor Asteroidebæltet. Disse huller er sammenfaldende med placeringen af såkaldte ba- 18 Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide

2 neresonanser, som er beskrevet ved forholdet mellem middelbevægelsen af en asteroide og Jupiter. I andre tilfælde er det dog nødvendigt at medtage påvirkninger fra andre planeter for at give en passende nøjagtig beskrivelse af dynamikken. Her vil vi se på et særligt tilfælde af det restringerede tre-legeme problem. Den mest almindelige forståelse af Solsystemet bygger på Keplers billede, hvor planeter og asteroider kredser omkring Solen på elliptiske baner, og det er lige ud ad landevejen at udlede systemets bevægelsesligninger. Det er nogle gange en fordel at betragte bevægelsen i et roterende, såkaldt synodisk, system. Her roterer koordinatsystemet med samme vinkelfrekvens som planetens omløbsfrekvens, hvilket resulterer i, at planeten tilsyneladende står stille i forhold til Solen. Det synodiske system er således ikke et inertialsystem, men et accelereret system. I det følgende vil vi kort gennemgå de vigtigste egenskaber, der ligger til grund for det restringerede tre-legeme problem formuleret i et synodisk koordinatsystem. Synodiske bevægelsesligninger Sætter man sig ved skrivebordet ved den grønne lampe og skriver de synodiske bevægelsesligninger for den masseløse testpartikel ned, så finder man frem til følgende sæt af ikke-lineære koblede differentialligninger: ẍ 2nẏ = U x ÿ + 2nẋ = U y Figur 1. Illustration af tre-legeme problemet i (x, y)-planet, som roterer med vinkelfrekvensen nt. Testpartiklen er angivet med P og bevæger sig i tyngdefeltet af m 1 og m 2. I figuren er µ 1 = m1/(m 1 + m 2 ) og µ 2 = 1 µ 1. I et simplificeret tilfælde, og med henvisning til figur 1, betragtes problemet hvor alle tre legemer bevæger sig i samme (x, y)-plan (og hvor de to store legemer bevæger sig i cirkelbaner om det fælles tyngdepunkt). Vinkelfrekvensen hvormed koordinatsystemet roterer, er angivet ved n, som er lig med planetens (Jordens) middelbevægelse ([n] = /dag). Det synodiske koordinatsystem er ikke et inertialsystem og i udledningen fremkommer der led, som beskriver Coriolis- og centrifugalkræfter på testpartiklen (P ). Funktionen U er en skalar. I litteraturen kaldes U-funktionen et pseudopotentiale, og er en funktion af testpartiklens position i (x, y)-planet, den frekvens hvormed systemet roterer og masserne af de to stationære legemer. Gradienten af U giver kun nogle af kræfterne, der virker på partiklen P. Dermed beskriver U ikke alle kræfter der findes i systemet. Har man en computer i nærheden, så er det ikke svært at implementere ovenstående ligningssæt, for at finde en numerisk løsning af testpartiklens position i (x, y)-planet for forskellige begyndelsesbetingelser. Jacobikonstanten en bevaret størrelse En vigtig pointe i det synodiske restringerede trelegeme problem er, at hverken systemets energi eller det samlede baneimpulsmoment er bevarede størrelser. Det kan virke underligt i første omgang, men fordelen ved det roterende system er at opnå en kvalitativ-kinematisk beskrivelse, der bekvemt beskriver partiklens bevægelse, uden først at forlange en analytisk løsning. Der findes således en anden bevaret størrelse, ved navn Jacobikonstanten C J, som viser sig at være den eneste bevarede størrelse i systemet. Den numeriske værdi af C J afhænger både af begyndelsesbetingelserne og massen af de to masserige legemer (Jorden og Solen i vores tilfælde). Der findes følgende sammenhæng mellem Jacobikonstanten og størrelsen af pseudo potentialet U: C J = 2U v 2 hvor v måler testpartiklens øjeblikkelige fart. Størrelsen 2U v 2 er konstant, uanset hvor i (x, y)-planet testpartiklen opholder sig. Selvom der ikke findes et analytisk udtryk for testpartiklens tidsudvikling, så findes der dog begrænsninger for partiklens bevægelsesfrihed. Den rummelige indskrænkning afgøres af Jacobikonstanten: Netop fordi kvadratet på hastigheden altid er nul eller positiv, så har vi 2U C J, hvilket er betingelsen, der opdeler eller afgrænser to specielle områder. I det ene område er det tilladt for testpartiklen at bevæge sig frit omkring, mens det er fysisk umuligt at bevæge sig i det andet område. Områderne afgrænses af det tilfælde hvor testpartiklen ligger stille i det synodiske system (dog følger testpartiklen stadig en keplerbane i det sideriske system), dvs. v = 0. I dette tilfælde er udtrykket for Jacobikonstanten givet ved: ( C J = 2U = n 2 (x 2 + y 2 µ1 ) µ ) 2 r 1 r 2 Her er r 1 og r 2 testpartiklens afstand til de andre to legemer med (reducerede) masser µ 1 og µ 2 (se evt. figur 1). KVANT, marts

3 For en bestemt værdi af Jacobikonstanten definerer ovenstående ligning en familie af konturkurver i (x, y)- planet, kaldet nulhastighedskurver. En nulhastighedskurve kan ikke krydses, fordi testpartiklens fart altid er nul eller større. Netop for v = 0 er C J udelukkende udtrykt ved potentialet U. Nulhastighedskurverne beskriver derfor samtidig en ækvipotentialkurve, hvor partiklen frit kan bevæge sig rundt. Figur 2. Nulhastighedskonturkurver for en testpartikel (P ) for forskellige værdier af Jacobikonstanten C J. 20 Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide

4 I figur 2 har vi tegnet disse nulhastighedskurver af en testpartikel i Jord-Sol systemet for forskellige værdier af Jacobikonstanten (vi ser på det simplificerede tilfælde hvor Månen som fjerde legeme ignoreres, og der anvendes normaliserede enheder). For alle C J værdier er Solen placeret i (0, 0) og Jorden er beliggende til højre for Solen, lige til venstre for (1, 0). Startende med C J = 5.0 i figur 2a, ses en ringformet konturkurve omkring Solen, og en lille prik ved Jorden, som faktisk også er en ring (som vi kommer til at overbevise os om i det følgende). Derudover ses også en større konturkurve, som omslutter begge masser. Arealet mellem denne ydre kurve og kurven omkring Solen/Jorden er forbudt område for en heliocentrisk/geocentrisk testpartikel at bevæge sig i. En testpartikel, som, til at begynde med, startes i enten en bane omkring Solen eller Jorden, vil for altid forblive i en hhv. helio- eller geocentrisk omløbsbane. Et skiftende besøg mellem masserne er dermed ikke muligt i dette tilfælde. Dette forhold giver anledning til definitionen af Hills banestabilitet. Konturkurven omkring Solen kaldes for Solens Hill-sfære, og en given testpartikel forbliver på en stabil bane indenfor dette område i al evighed. Vælges mindre værdier af C J, som vist i figur 2a til figur 2d, så forøges radius af Solens Hill-sfære. Samtidig skrumper den ydre konturkurve; det er stadigvæk ikke muligt for testpartiklen at skifte mellem en heliocentrisk og en geocentrisk bane. I figur 2e ses en forstørrelse af området omkring Jorden, og det er nu muligt at få øje på Jordens Hill-sfære, som minder om en rugbybold i (x, y)-planet. Formindskes Jacobikonstanten en smule yderligere, bevirkes (figur 2f og figur 2g) at konturkurverne, som definerer massernes Hillsfærer, nu forbindes i et punkt kaldet Lagrangepunktet L1. Tilsvarende er punktet L2 vist i figur 2h et resultat af en sammensmeltning mellem Jordens Hill-sfære og den ydre nulhastighedskurve. I figur 2h ses også, at området omkring L1-punktet nu åbner op og dermed giver muligheden for, at testpartiklen kan skifte mellem en heliocentrisk og geocentrisk bane. Det er dog ikke nemt at smutte igennem L1-punktet, da det er et lille nåleøje for relativt høje værdier af Jacobikonstanten. Sammenslutning af den ydre konturkurve med Jordens Hill-sfære i Lagrangepunktet L2 bryder ligeledes op i takt med mindre værdier af Jacobikonstanten (figur 2i og figur 2j). Afhængig af begyndelsesbetingelserne er det muligt for testpartiklen, ved at benytte gabet i kurven (figur 2j), at skifte mellem baner omkring Solen eller Jorden. Desuden kan den undslippe Jord-Sol systemet igennem L2-punktet. I figur 2k zoomes ud igen og det ses, at det forbudte område afgrænset af nulhastighedskurven ligner en hestesko. En partikel med v = 0 og med den givne værdi af C J vil kunne bevæge sig rundt på kurven i en hesteskobane i en bane ko-orbital med Jorden. Formindskes Jacobikonstanten yderligere, så vil hesteskoen bryde op i L3-punktet (figur 2l, det venstre gab). Fortsætter man med mindskning af C J afsløres slutteligt Lagrangepunkterne L4 og L5 (figur 2m, 2n og 2o). Kurverne minder om formen af haletudser, og det er nu muligt for testpartiklen, at udføre haletudseformet bevægelse, dvs. librationer, omkring L4 eller L5. Amplituden af denne libration bliver mindre for mindre værdier af testpartiklens Jacobikonstant. Som det ses af figur 2o, danner placeringen af L4 og L5 hver især en ligesidet trekant med Solen og Jorden. Set fra Solen ligger de ved ±60 fra Jorden. For at detektere haletudseobjekter tæt ved L4/L5 skal man observere lige før/efter sol opgang/nedgang [2]. Stabiliteten af Lagrangepunkterne For en given værdi af C J kan U og v variere frit, så længe C J er konstant, og kun i de områder hvor v 2 er nul eller større end 2U. Da udtrykket for U ovenfor afhænger af både x, y, r 1 og r 2, har pseudopotentialet stor variation over (x, y)-planet. Dette fremgår af nulhastighedskurverne, som jo er et udtryk for ækvipotentialkurver: Lader vi v vokse fra nul for en given værdi af potentialet U, svarer det til at gå fra figur 2a til figur 2o. Arealet af de forbudte områder bliver mindre, bevægelsen for P mere fri over et større rumareal. Lagrangepunkterne er lokaliseret de steder, hvor topologien af nulhastighedskurverne ændres. De fem punkter (L1 til L5) har vidt forskellige dynamiske egenskaber, ligesom dynamikken er afhængig af masserne; der er f.eks. stor forskel på dynamikken af baner omkring L4/L5-punkterne for hhv. Jord-Sol og Jord-Måne konfigurationerne. Dynamisk betragtet definerer Lagrange-punkterne i det cirkulære restringerede tre-legeme problem områder, hvor gravitationskræfterne på en testpartikel nøjagtigt svarer til centripetalkraften, der får partiklen til at ko-rotere med de masserige legemer. Med andre ord er summen af gravitationskraften og centrifugalkraften nul i Lagrange-punkterne. Betragtes problemet i det synodiske system, er testpartiklens hastighed i disse punkter nul, og de kaldes for fix- eller ligevægtspunkter. Man kan måske fornemme, at stabiliteten af punkterne er afhængig af en nøje balance i begyndelsesbetingelserne. Stabiliteten af punkterne kan undersøges ved at linearisere bevægelsesligningerne og udlede stabilitetskriterier. Ligevægtspunkterne L1, L2 og L3 ligger på den linie, som forbinder masserne µ 1 og µ 2. Det viser sig, at disse punkter er ustabile i den forstand, at en testpartikel (for eksempel en satellit) med tiden vil bevæge sig med en større afstand fra et sådant punkt. De dynamiske forhold omkring L4- og L5-punkterne er anderledes, og disse punkter er stabile for visse µ 1 /µ 2 forhold. Netop for alle kendte Sol-planet og planetmåne par i Solsystemet er stabilitetskravene overholdt. Man skulle dermed formode, at alle planeter har en sværm af følgesvende tæt omkring L4 og L5, f.eks. netop som det er tilfældet med Jupiter-trojanerne. Sådan er det imidlertid ikke: I ovenstående diskussion betragtede vi en forsimplet beskrivelse med udgangspunkt i det cirkulære restringerede tre-legeme problem. For det faktiske Sol-Jord-asteroide problem har Jorden en svagt elliptisk bane, og systemets bevægelse foregår ikke KVANT, marts

5 nødvendigvis i planen. Samtidig vil en asteroide opleve gravitationelle perturbationer fra Månen og de øvrige planeter, og altså ikke bevæge sig som i et isoleret tre-legeme problem. Desuden vil dynamikken generelt være følsomt afhængig af begyndelsesbetingelserne, hvilket netop er definitionen på kaos. I det følgende vil vi præsentere eksempler på både stabile og kaotiske baner. Hestesko- og haletudse-baner i Jord-Sol-systemet Den foregående beskrivelse af det restringerede trelegeme problem danner grundlag for forståelsen af hestesko- og haletudsebaner. Den første kendte asteroide (3753) Cruithne, som viste sig at besidde en højst usædvanlig banekarakteristik blev opdaget af Paul Wiegert (og medvirkende) tilbage i 1997 [3]. Asteroiden (3753) Cruithne bevæger sig ift. Jorden i en velsynkroniseret bane. Figur 3. Illustration af hesteskobaner i det restringerede trelegeme problem. Farvede pile viser retningen af gradienten i potentialfeltet omkring Lagrangepunkterne L1 til L5. Jordens bane er kendetegnet med en cirkel og konturkurver repræsenterer nulhastighedskurver. Billedet blev hentet fra NASA. Credit: NASA/WMAP Science Team. I et system, som roterer med Jorden, følger Cruithne en kompliceret hesteskobane. Denne bane fremkommer ved en skiftende vekselvirkning mellem Jorden, Cruithne og Solen. I figur 3 vises en sådan hesteskobane ift. nulhastighedskurverne. Startende i punkt A, er asteroiden på en mindre bane end Jorden, og har følgelig en kortere omløbsperiode omkring Solen. Asteroiden er dermed en smule hurtigere end Jorden. I stedet for at overhale Jorden indenom, så bliver Cruithne tiltrukket af Jorden og accelereret (B) og dermed løftet op i en større bane (C) med en længere omløbsperiode sammenlignet med Jorden. Cruithne er nu langsommere end Jorden og falder lidt efter lidt bagud (baneafsnit mellem C og D), indtil Cruithne igen møder Jorden i punkt D. Her bliver asteroiden igen tiltrukket af Jordens tyngdefelt, som bevirker at Cruithne accelereres ned i en bane med kortere omløbsperiode end Jorden. Det er nu Jorden, der lidt efter lidt halter bagefter, indtil hesteskoringen sluttes igen i punkt A. Det er vanskeligt at gengive denne bevægelse i et inertielt system, og det er vigtigt at huske, at asteroidebanen i et ikke-roterende heliocentrisk system følger en klassisk Keplerbane omkring Solen. Sidenhen har astronomer opdaget andre jordnære asteroider, som også følger en hesteskobane som Cruithne. Det nyeste skud på stammen er asteroiden 2010 SO 16, som blev opdaget i september 2010 med NASA s WISE (Wide-field Infrared Survey Explorer) 40 cm infrarøde satellit, sendt i kredsløb omkring Jorden i Asteroiden 2010 SO 16 blev efterfølgende observeret med forskellige teleskoper og dens bane undersøgt i detaljer af astronomer ved det nordirske Armagh Observatory [5]. Opdagelsen blev mulig, fordi 2010 SO 16 netop nu befinder sig i position B i figur 3. Om ca. 88 år befinder den 200 til 400 meter store asteroide sig bagved Solen (set fra Jorden), og vil dermed være godt gemt væk i et stykke tid før og efter. På grund af vekselvirkningen med Jorden svinger dens halve storakse mellem AU (indre bane) og AU (ydre bane). Mens baneperioden er på omkring 1 år, så tager en hesteskoperiode omkring 350 år i det roterende system. Dermed kommer 2010 SO 16 tæt på Jorden omkring hvert 175. år. Dog bliver afstanden aldrig mindre end cirka 20 millioner kilometer, som svarer til omkring 50 gange Jord-Måne afstanden. I [5] kaldes denne situation for terrafob pga. asteroidens tilsyneladende sky opførsel overfor Jorden. En anden egenskab, der er bemærkelsesværdig for 2010 SO 16, er dens banestabilitet. Som enhver anden observation, så er banebestemmelsen påhæftet usikkerheder, som kan minimeres ved opsamling af et større antal observationer. Ved numerisk at følge flere forskellige kloner af 2010 SO 16, hver med startbetingelser indenfor baneparametrenes usikkerhedsområde, så viser det sig at banen, som asteroiden følger, er usædvanligt stabil eller langtlevende. Undersøgelsen viser, ved brug af numerisk-statistiske metoder, at den vil forblive i sin nuværende hesteskobane i mindst år. Dette er forholdsvis lang tid, når denne levetid sammenlignes med de andre hesteskoasteroider, som kun følger deres nuværende baner i nogle få tusinde år. Ifølge [5], så kan banestabiliteten tilskrives 1) banens lille excentricitet og 2) værdien af Jacobikonstanten. Førstnævnte egenskab forhindrer asteroiden i at krydse sin bane med andre terrestriske planeter (Mars eller Venus), og forbliver derfor tæt på Jordens bane. Endvidere er Jacobikonstanten for 2010 SO 16 finjusteret således, at asteroiden befinder sig i en dynamisk tilstand, som forhindrer en overgang til andre banetyper. Havde værdien af asteroidens Jacobikonstant været en anden, så ville det have været lettere at skifte mellem hesteskoog/eller haletudse-librationer. En anden mulighed ville være et escape -scenario, hvor 2010 SO 16 undslipper den nuværende dynamik, og bliver slynget ud på en kvalitativt markant anderledes bane. 22 Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide

6 Figur 4. Grafisk illustration af banegeometrien for en jordisk kvasi-satellit (engelsk: quasi-satellite). Venstre panel viser kvasisatellitten på en excentriske bane omkring Solen. Dog er den stadigvæk i en 1:1 bane-resonans med planeten. Satellittens perihelafstand ligger indenfor og dens aphelionafstand udenfor planetens bane. Højre panel: Kvasi-satellittens tilsyneladende bane omkring planeten (f.eks. Jorden) for en observatør beliggende på planeten. Figur (oversat) fra: Paul Wiegert (University of Western Ontario). Kvasi-satellitter En anden klasse af legemer i en 1:1 bane-resonans med en planet er såkaldte kvasi-satellitter. Disse objekter bevæger sig i en bane omkring Solen med den halve storakse svarende til planetens baneradius (som regel ret cirkulær for planeter i Solsystemet). Denne egenskab sikrer, at de to objekter er i resonans med hinanden og dermed har samme velsynkroniserede baneomløbsperiode. Forskellen i deres baneegenskaber er en højere excentricitet for kvasi-satellittens bane. Eksistensen af kvasi-satellitter kendes for de ydre gasplaneter i Solsystemet og den første jordiske kvasi-satellit blev annonceret i 2004 med betegnelsen 2003 YN 107 [7]. I et heliocentrisk system følger kvasi-satelliten og Jorden hver sin bane omkring Solen. Figur 4 illustrerer banegeometrien grafisk. Placeres observatøren på Jorden (stadigvæk i et ikke-roterende, heliocentrisk system), så kan det tilsyneladende se ud som om kvasi-satelliten følger en bane omkring Jorden netop på grund af 1:1 bane-resonansen. Dette forhold giver anledning til betegnelsen kvasi-satellit og i dette tilfælde ligner kvasi-satellitens bane en bønne befindende sig i en (tilsyneladende) bane omkring Jorden. Denne bønneform af dens bane skal dog ikke forveksles med en haletudse- eller hesteskobane som før nævnt. Det skal hermed understreges, at en kvasi-satellit ikke udfører haletudse- eller hesteskobaner og læseren henvises til følgende webside: wiegert/quasi/quasi.html, som byder på en glimrende animation af banegeometrien for en kvasi-satellit. Opdagelsen af Jordens første trojaner 2010 TK 7 En mere opsigtsvækkende opdagelse blev gjort af NEOWISE-teamet (Near Earth Object WISE, se [4]) i oktober NEOWISE er en fortsættelse af WISE missionen, efter satelliten var løbet tør for kølevæske, som er nødvendig til at nedkøle det følsomme infrarøde måleudstyr. NEOWISE brugte to af de fire infrarøde CCD kameraer til at lede efter jordnære asteroider og kometer. Ved at kigge igennem NEOWISE data (se figur 5) opdagede gruppen omkring NEOWISE missionen Jordens første trojaner med betegnelsen 2010 TK 7 (Connors et al. 2011). Figur 5. Opdagelse af haletudse -satelliten 2010 TK 7 med NEOWISE satelliten. Billedet blev hentet fra NASA. Credit: NASA/NEOWISE Science Team. KVANT, marts

7 Denne jordnære asteroide (med en anslået diameter på 300 m) deler ligeledes sin bane med Jorden, og følger en haletudsebane. Baseret på NEOWISE data og data indsamlet fra jordbaserede teleskoper har astronomerne med sikkerhed fastslået, at 2010 TK 7 for tiden udfører temporære stabile librationer (oscillationer i banens halve storakse) omkring Jordens L4-punkt med en forholdsvis stor amplitude. Denne karakteristik er vist i panelerne a+b i figur 6. Figur 6. Jordens første haletudse-asteroide. Panel a): Den røde kurve viser middelbevægelsen af 2010 TK 7, som oscillerer omkring L4-punktet. Panel b): Vinkelafstanden mellem asteroiden og Jorden. Panel c): Oscillation af asteroidens halve storakse [1]. Figur fra Nature. Dog er denne banetilstand kun midlertidig og kortvarig set på astronomisk tidskala. På baggrund af numeriske banesimuleringer og med henvisning til figur 6, viser det sig, at 2010 TK 7 til tider hopper fra L5 til L4 og muligvis tilbage igen med kortvarige ophold tæt på disse to ligevægtspunkter. Det sidste hop fra L5 fandt sted for omkring 1600 år siden. Indenfor det restringerede tre-legeme problem kan dette skift kun ske igennem L3. Desuden er det kun bestemte værdier af asteroidens Jacobikonstant, som tillader et sådant hop (jævnfør figur 2k, 2l og 2m). For mindre værdier af C J bliver L4 og L5 separeret fra hinanden, og eventuelle hop er ikke længere mulige uden at betragte andre forstyrrende effekter som for eksempel Jupiters gravitationelle indflydelse. Banesimuleringerne tyder også på, at det er muligt for 2010 TK 7 at skifte banekarakteren fra en haletudse- til en hestesko-bane. I dette tilfælde vil 2010 TK 7 have samme banekarakter som 2010 SO 16. På grund af dens forholdsvis store banehældning kan det desuden forekomme, at 2010 TK 7 bliver indfanget tæt omkring L3-punktet, som, set fra Jorden, ligger lige bag Solen (se figur 3). Selvom denne type bane omkring L3-punktet teoretisk set kan forekomme, så har man dog aldrig observeret objekter med denne bane for Jord- Sol L3-punktet (de er svære at lede efter på grund af Solen) eller L3 for de andre planeter i Solsystemet. Ifølge [1] er dynamikken af 2010 TK 7 så kaotisk, at dens bane kun kan beregnes præcist over en periode på 250 år, mens den generelle dynamik kun kan beskrives over en periode på ca år. Hvor kommer de fra og hvad kan vi lære fra dem? Indtil videre er der kun opdaget en håndfuld af disse sære følgesvende til Jorden. Deres antal og hvor de kommer fra er ikke rigtigt forstået på nuværende tidspunkt. Eksistensen af en eventuel større population af jordiske trojaner vil stille spørgsmål omkring deres oprindelse. En forklaring kunne være indfangning fra Asteroidebæltet. Som kort beskrevet i starten, så er det muligt for Jupiter at have tilpas stor indflydelse til at transportere objekter fra Asteroidebæltet til omegnen af de terrestriske planeter. Denne mekanisme kunne føre til en indfangning omkring L4 eller L5 for Jordens vedkommende. Selvom en sådan indfangning ikke er umulig, så er denne mekanisme ikke særligt effektiv, da den kræver finjusterede parametre. En indfangning ville være væsentligt nemmere ved virkning af en eller flere dissipative kræfter (såsom gnidning mellem trojaneren og masse i form af gas eller støv) for at tabe en tilpas mængde energi for at mindske banens halve storakse. Et aktuelt eksempel er, at Solens strålingsindvirkning på asteroider kan bidrage til, at banens radius formindskes. Denne effekt er kendt som Yarkovsky-effekten, og kan også have en betydning for ændringer i asteroidens rotationshastighed som det blev observeret for asteroiden med betegnelsen YORP. Yarkovsky-effekten for jordnære asteroider kan ændre den halve storakse med 10 9 AU/år [5]. Selvom denne effekt synes at være effektiv til at fjerne jordnære asteroider gennem den tid Solsystemet har eksisteret, så viser nogle studier med fokus på Mars trojanere, at Yarkovsky-effekten alligevel ikke har en destabiliserende effekt, som kunne fjerne disse objekter. Der er på nuværende tidspunkt stor fokus på denne forskningsgren. Det første skridt er at bestemme antallet af jordiske trojanere. En jordbaseret fotometrisk opfølgningskampagne vanskeliggøres netop, fordi observationstidsrummet er lille, og ligger i minutterne lige før solopgang (L4) og lige efter solnedgang (L5). Der er derfor planer om at bruge GAIA satelliten (som er planlagt at blive placeret tæt på L2-punktet) i den nære fremtid, for at opdage en eventuel større population af disse følgesvende. Der er ingen tvivl om, at eksistensen af denne specielle klasse af asteroider, vil give mulighed for at studere solsystemets beskaffenhed og muligvis kaste nyt lys på Jord-Måne systemets oprindelse og Solsystemets dynamiske udvikling. Litteratur [1] Connors, M., Wiegert, P. and Veillet, C. (2011), Nature vol. 475, p [2] Todd M., Tanga, P., Coward, D.M., Zadnik, M.G. (2011), (indsendt til MNRAS). [3] Wiegert, P., Innanen, K., Mikkola, S. (1997), Nature vol. 387, p [4] NEO-WISE: 24 Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide

8 [5] Christou, A. & Asher, D. (2011), MNRAS vol. 414, p [6] Wajer, P. et al. (2009), 2002 AA29: Earth s recurrent quasi-satellite?, Icarus vol. 200, p [7] Connors, M. et al. (2004), Discovery of Earth s quasi-satellite, M&PS vol. 39, p [8] Mikkola et al. (2006), Stability limits for the quasi-satellite orbits, MNRAS vol. 369, p. 15. [9] Murray, C. D. and Dermott, S. F. (2001), Solar System Dynamics, Cambridge University Press. René Michelsen er ph.d. i astronomi og har en baggrund i celestmekanik og dynamik, spektroskopi af jordnære asteroider og meteoritter, samt rumfartsindustrien. Han arbejder i dag som projektleder. Tobias Cornelius Hinse er post-doc ved Korea Astronomy and Space Science Institute i Sydkorea. Han er astronom fra NBI, KU og ph.d. fra Armagh Observatoriet/Queens University Belfast, Nordirland, UK. Han arbejder med dynamiske problemer indenfor Solsystemet og udfører både teoretisk og observationel forskning indenfor extrasolare planeter blandt andet ved brug af den Danske 1,5 m kikkert ved ESO, La Silla-observatoriet i Chile. For tiden arbejder han på dynamikken indenfor extrasolare cirkumbinære planeter (planeter der kredser om dobbeltstjerner). KVANT, marts

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT

Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Analyse af data fra to forskningssatellitter Af Hans Kjeldsen, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet I denne artikel demonstreres det hvordan man kan

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Formelsamling i astronomi. November 2015.

Formelsamling i astronomi. November 2015. Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Solens dannelse. Dannelse af stjerner og planetsystemer

Solens dannelse. Dannelse af stjerner og planetsystemer Solens dannelse Dannelse af stjerner og planetsystemer Dannelsen af en stjerne med tilhørende planetsystem er naturligvis aldrig blevet observeret som en fortløbende proces. Dertil tager det alt for lang

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Kometer. Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium. http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.

Kometer. Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium. http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2. Kometer Af Mie Ibsen & Marcus Guldager Nordsjællands Grundskole & Gymnasium http://esamultimedia.esa.int/images/science/rosetta2.jpg Indholdsfortegnelse side Introduktion... 2 Problemformulering... 2 Baggrund...

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Vort solsystem Ny Prisma Fysik og kemi 8. Skole: Navn: Klasse:

Vort solsystem Ny Prisma Fysik og kemi 8. Skole: Navn: Klasse: Vort solsystem Ny Prisma Fysik og kemi 8 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Hvilken måleenhed måles kræfter i? Der er 5 svarmuligheder. Sæt et kryds. joule newton pascal watt kilogram Opgave 2 Her er forskellige

Læs mere

Vores solsystem blev dannet af en stjernetåge, der kollapsede under sin egen tyngde for 4,56 milliarder år siden.

Vores solsystem blev dannet af en stjernetåge, der kollapsede under sin egen tyngde for 4,56 milliarder år siden. Vores solsystem blev dannet af en stjernetåge, der kollapsede under sin egen tyngde for 4,56 milliarder år siden. Denne stjernetåge blev til en skive af gas og støv, hvor Solen, der hovedsageligt består

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Et temanummer om astronomi og astronomiundervisning

Et temanummer om astronomi og astronomiundervisning NATUR 2008 Et temanummer om astronomi og astronomiundervisning i folkeskolen Udarbejdet af: Fagkonsulent for naturfag Lars Poort Inerisaavik 2008 NATUR 2008 Astronomi i folkeskolen Med evalueringsbekendtgørelse

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet RØNTGENSTRÅLING FRA KOSMOS: GALAKSEDANNELSE SET I ET NYT LYS Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet KOSMISK RØNTGENSTRÅLING Med det blotte øje kan vi på en klar

Læs mere

Teknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5.

Teknikken er egentlig meget simpel og ganske godt illustreret på animationen shell 4-5. Fysikken bag Massespektrometri (Time Of Flight) Denne note belyser kort fysikken bag Time Of Flight-massespektrometeret, og desorptionsmetoden til frembringelsen af ioner fra vævsprøver som er indlejret

Læs mere

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer

Læs mere

Horsens Astronomiske Forening

Horsens Astronomiske Forening Mødeplan 2004-2005 : Vi vil tilstræbe, at der afholdes en observationsaften i hver af månederne fra september til marts. De månedlige medlemsmøder: Alle møder afholdes på søndage. Hver mødeaften vil være

Læs mere

Exoplaneter. Rasmus Handberg. Planeter omkring andre stjerner end Solen. Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet rasmush@phys.au.

Exoplaneter. Rasmus Handberg. Planeter omkring andre stjerner end Solen. Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet rasmush@phys.au. Exoplaneter Planeter omkring andre stjerner end Solen Rasmus Handberg Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet rasmush@phys.au.dk Er der andre jordkloder derude? Med liv som vores? Du er her!

Læs mere

Nattehimlen marts 2015

Nattehimlen marts 2015 Nattehimlen marts 2015 Om ikke andet i denne måned, kommer foråret til de betrængte stjernekiggere i det østlige Nordamerika, som har udholdt endnu en absurd kold vinter. Denne måned kaldes Ormemåned,

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Kvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900

Kvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Kvantefysik Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Indhold 1. Formål med foredraget 2. Den klassiske fysik og determinismen 3. Hvad er lys? 4. Resultater fra atomfysikken 5. Kvantefysikken og dens konsekvenser

Læs mere

STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER

STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER Spiral galaksen NGC 2903 - et af klubbens mange amatørfotos Marts 2009 ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER Ole Rømer Observatoriet Observatorievejen 1 8000

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

Begge bølgetyper er transport af energi.

Begge bølgetyper er transport af energi. I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling(em-stråling). Herunder synligt lys, IR-stråling, Uv-stråling, radiobølger samt gamma og røntgen stråling. I skal stifte bekendtskab med EM-strålings

Læs mere

10 milliarder planeter som Jorden

10 milliarder planeter som Jorden 16 10 milliarder planeter som Jorden Forfatter Uffe Gråe Jørgensen, lektor, Niels Bohr Institutet og Center for Stjerne- og Planetdannelse, Københavns Universitet uffegj@nbi.dk En kunstners indtryk af

Læs mere

Særtryk. Elevbog/Web. Ida Toldbod Peter Jepsen Anders Artmann Jørgen Løye Christiansen Lisbeth Vive ALINEA

Særtryk. Elevbog/Web. Ida Toldbod Peter Jepsen Anders Artmann Jørgen Løye Christiansen Lisbeth Vive ALINEA Elevbog/Web Ida Toldbod Peter Jepsen Anders Artmann Jørgen Løye Christiansen Lisbeth Vive ALINEA Vildt sjovt! 3.-6. klasse Sig natur er et grundsystem til natur/teknologi, der appellerer til elevernes

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Har du hørt om Mælke-vejen? Mælke-vejen er en ga-lak-se. I en ga-lak-se er der mange stjer-ner. Der er 200 mil-li-ar-der stjer-ner i Mælke-vejen.

Har du hørt om Mælke-vejen? Mælke-vejen er en ga-lak-se. I en ga-lak-se er der mange stjer-ner. Der er 200 mil-li-ar-der stjer-ner i Mælke-vejen. Har du hørt om Mælke-vejen? Mælke-vejen er en ga-lak-se. I en ga-lak-se er der mange stjer-ner. Der er 200 mil-li-ar-der stjer-ner i Mælke-vejen. Solen er en stjer-ne. Solen er en stjer-ne i Mælke-vejen.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Astronomernes værktøj

Astronomernes værktøj Astronomernes værktøj Teleskoper Spejlkikkerter Refraktorer Kikkertens fordele Den samler lys ind på et stort overfladeareal i forhold til øjet. Den kan opløse små detaljer bedre end øjet kan gøre. Den

Læs mere

Solsystemet. Solsystemet. Solsystemet. Side 1 Til læreren

Solsystemet. Solsystemet. Solsystemet. Side 1 Til læreren Side 1 Til læreren er dannet ved sammentrækning af en stor interstellar sky af støv og gas. Skyen bestod hovedsagelig af grundstofferne brint og helium de to simpleste grundstoffer men var tillige beriget

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

5. Kometer, asteroider og meteorer

5. Kometer, asteroider og meteorer 5. Kometer, asteroider og meteorer 102 1. Faktaboks 2. Solsystemet 3. Meteorer og meteoritter 4. Asteroider 5. Kometer 6. Kratere på jorden 7. Case A: Bedout nedslaget Case B: Tunguska nedslaget Case C:

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Solen - Vores Stjerne

Solen - Vores Stjerne Solen - Vores Stjerne af Christoffer Karoff, Aarhus Universitet På et sekund udstråler Solen mere energi end vi har brugt i hele menneskehedens historie. Uden Solen ville der ikke findes liv på Jorden.

Læs mere

Naturlove som norm. n 1 n 2. Normalen

Naturlove som norm. n 1 n 2. Normalen Normalen u n 1 n 2 v Descartes lov, også kaldet Snels lov (efter den hollandske matematiker Willebrord Snel (1580-1636), som fandt den uafhængigt af Descartes), bruges til at beregne refraktionsindekset

Læs mere

Astrologi & Einsteins relativitetsteori

Astrologi & Einsteins relativitetsteori 1 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Samuel Grebstein www.visdomsnettet.dk 2 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Af Samuel Grebstein Fra The Beacon (Oversættelse Ebba Larsen) Astrologi er den

Læs mere

Solen og dens 8(9) planeter. Set fra et rundt havebord

Solen og dens 8(9) planeter. Set fra et rundt havebord En gennemgang af Størrelsesforhold i vort Solsystem Solen og dens 8(9) planeter Set fra et rundt havebord Poul Starch Sørensen Oktober / 2013 v.4 - - - samt meget mere!! Solen vores stjerne Masse: 1,99

Læs mere

Stor prisforvirring på boligmarkedet under finanskrisen

Stor prisforvirring på boligmarkedet under finanskrisen N O T A T Stor prisforvirring på boligmarkedet under finanskrisen Med introduktionen af den nye boligmarkedsstatistik fra Realkreditforeningen og tre andre organisationer er en række interessante tal blevet

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Lærervejledning til Kampen om solsystemet

Lærervejledning til Kampen om solsystemet Lærervejledning Lærervejledning til Kampen om solsystemet Indhold 1. Kampen om solsystemet 2. Tekniske krav 3. Spillereglerne 4. Fire klik og så er I i gang 5. Fagligt indhold 6. Flere links Kampen om

Læs mere

Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer?

Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer? Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer? Indhold 1. Vejrudsigter 2. Solsystemet 3. Lemminger 4. Fraktaler Overordnet handler det hele om kaos. Vejrudsigter Matematikken der beskriver vejret

Læs mere

FYSIK C. Videooversigt. Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4. 43 videoer.

FYSIK C. Videooversigt. Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4. 43 videoer. FYSIK C Videooversigt Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4 43 videoer. Intro video 1. Fysik C - intro (00:09:20) - By: Jesper Nymann Madsen Denne video er en

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Nattehimlen april 2015

Nattehimlen april 2015 Nattehimlen april 2015 4. april. Fuldmåne 13.05 UT. I nogle lande kaldes den lyserød måne, æggemåned eller græsmåne. 4. april. En kort måneformørkelse indtræffer tæt på dagens fuldmåne blot to måneder

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Forside til beskrivelse af projekt til DM i Naturfag. Bellahøj Skole. Tværfagligt

Forside til beskrivelse af projekt til DM i Naturfag. Bellahøj Skole. Tværfagligt Forside til beskrivelse af projekt til DM i Naturfag Deltagers navn: Carsten Andersen Skole: Bellahøj Skole Klassetrin: 4.-6. kl. Fag: Tværfagligt Titel på projekt: Børn af Galileo Antal sider: 6 inkl.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Håndvask i Afrika. Benny Lautrup Niels Bohr Institutet 22. januar 2004

Håndvask i Afrika. Benny Lautrup Niels Bohr Institutet 22. januar 2004 Håndvask i Afrika Benny Lautrup Niels Bohr Institutet 22 januar 2004 At jordens rotation får badevand til at løbe ud af karret i en hvirvel, der set oppefra drejer mod uret på den nordlige halvkugle og

Læs mere

Arbejdsopgaver i emnet bølger

Arbejdsopgaver i emnet bølger Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Mads Toudal Frandsen. frandsen@cp3- origins.net. Mørkt Stof 4% Dark. Dark 23% 73% energy. ma)er

Mads Toudal Frandsen. frandsen@cp3- origins.net. Mørkt Stof 4% Dark. Dark 23% 73% energy. ma)er Mads Toudal Frandsen frandsen@cp3- origins.net Mørkt Stof 4% Dark 73% energy Dark 23% ma)er Disposition! Ø Hvad er mørkt stof?! Astronomisk, partikelfysisk, astropartikelfysisk! Ø Hvorfor mørkt stof?!

Læs mere

STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER

STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER STJERNESKUDDET MEDLEMSBLAD FOR ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER Amatørastronomi ved MAF Starparty Oktober 2009 ØSTJYSKE AMATØR ASTRONOMER Ole Rømer Observatoriet Observatorievejen 1 8000 Århus C www.oeaa.dk

Læs mere

Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155

Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155 Bringing Mathematics to Earth... using many languages 155 Rumrejser med 1 g acceleration Ján Beňačka 1 Introduktion Inden for en overskuelig fremtid vil civilisationer som vores være nødt til at fremskaffe

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Spontan biologisk mønsterdannelse på basis af reaktions-diffusions mekanismer: Turing strukturer

Spontan biologisk mønsterdannelse på basis af reaktions-diffusions mekanismer: Turing strukturer Spontan biologisk mønsterdannelse på basis af reaktions-diffusions mekanismer: Turing strukturer Axel Hunding Spontan dannelse af komplekse strukturer i biologien kan synes at stride mod sund fornuft (og

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget!

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! E1 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! Vi har tidligere lært, at ethvert legeme tiltrækker ethvert andet legeme med gravitationskraften, eller massetiltrækningskraften.

Læs mere

Planetatmosfærer. Hvorfor denne forskel?

Planetatmosfærer. Hvorfor denne forskel? Planetatmosfærer De indre planeter Venus og Jorden har tykke atmosfærer. Mars' atmosfære er kun 0,5% af Jordens. Månen har nærmest ingen atmosfære. De ydre planeter De har alle atmosfærer. Hvorfor denne

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Atomers elektronstruktur I

Atomers elektronstruktur I Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære

Læs mere

Fang Prikkerne. Introduktion. Scratch

Fang Prikkerne. Introduktion. Scratch Scratch 2 Fang Prikkerne All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your club. Introduktion

Læs mere

Føreren gør holdt ca. ½ meter fra skiltet. Hunden sætter sig i udgangsstillingen (ved førerens venstre side). Dette kan

Føreren gør holdt ca. ½ meter fra skiltet. Hunden sætter sig i udgangsstillingen (ved førerens venstre side). Dette kan Rally Lydighed 1. Stop Når hunden har sat sig, kommanderes den til igen at følge med ved dennes venstre side indtil næste øvelse. Skævt-sidninger på under 45 trækker ikke fra. Hvis hunden selv rejser sig

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Stjernetællinger IC 1396A

Stjernetællinger IC 1396A Galakser-Mælkevejen Mælkevejen Aktører: William Herschel (1738-1822) Jacobus Kapteyn (1851-1922) Harlow Shapley (1885-1972) Robert Trumpler (1886-1956) Edwin Hubble (1889-1953) Stjernetællinger Herschel

Læs mere

1.x 2004 FYSIK Noter

1.x 2004 FYSIK Noter 1.x 004 FYSIK Noter De 4 naturkræfter Vi har set, hvordan Newtons. lov kan benyttes til at beregne bevægelsesændringen for en genstand med den træge masse m træg, når den påvirkes af kræfter, der svarer

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

1. Vibrationer og bølger

1. Vibrationer og bølger V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Den astronomiske enhed

Den astronomiske enhed Bestemmelse af Den astronomiske enhed Snapshot fra Stellarium Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus Juni 2012. (Redigeret maj 2015.) Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 1/10

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

LYS I FOTONISKE KRYSTALLER 2006/1 29

LYS I FOTONISKE KRYSTALLER 2006/1 29 LYS I FOTONISKE KRYSTALLER OG OPTISKE NANOBOKSE Af Peter Lodahl Hvordan opstår lys? Dette fundamentale spørgsmål har beskæftiget fysikere gennem generationer. Med udviklingen af kvantemekanikken i begyndelsen

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere