4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter"

Transkript

1 Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi vender nu tilbage til tabellen på SKALAGENERATOREN s Skærm B, for at se nærmere på de fire sidste kolonner. Som eksempel vil vi vælge snittet 31/53 = 0, (dette snit spille en vis rolle i den musikalske fortolking, og valget er således ikke tilfældigt). Figur 4.1 Fra gennemgangen af den algoritme til beregning af delingssekvensen, som er beskrevet i kap.2, husker vi, at der på visse steder af forløbet sker en ombytning af det store og den lille interval. Denne ombytning kan vi i ovenstående eksempel følge i de to første kolonner, men den er også markeret med et kryds i den kolonne, hvor der som overskrift står ombyt. Det viser sig nu, at ombytningen er nært forbundet med snittets kædebrøksfremstilling. Her tør jeg ikke forudsætte, at alle ved hvad en kædebrøk er, så derfor først en kort forklaring: En kædebrøk kan populært beskrives som en brøk, hvis nævner selv indeholder en brøk, hvis nævner igen indeholder en brøk... og så fremdeles. Enhver almindelig brøk og enhver decimalbrøk kan skrives som en kædebrøk, og omvendt kan enhver kædebrøk reduceres til en almindelig brøk eller en decimalbrøk. Hvis det oprindelige udtryk er rationelt, vil kædebrøken være endelig, er det irrationelt, vil kædebrøken være uendelig. I opstillingen herunder ses til venstre kædebrøken for 31/53 (det snit der er valgt i eksemplet fig.4.1), og i de efterfølgende opstillinger ser vi, hvordan kædebrøken nedefra reduceres, så den ender med at blive 31/53: = = = = En mere pladsbesparende måde at skrive ovennævnte kædebrøk på er følgende opsætning, hvor man kun anfører første led i hver linje (andet led, der fungerer som tæller i næste brøk i kæden, er overalt 1); denne opsætning kaldes også brøkens spektrum. Det første tal, efterfulgt af et semikolon, angiver brøkens eventuelt heltallige del; i dette tilfælde er det 0: 31 / 53 = [0; 1, 1, 2, 2, 4]

2 2 Det vi nu skal lægge mærke til er, at nævnerne i kædebrøksfremstillingen subs. elementerne i spektret trin for trin svarer til afstanden mellem afmærkningerne i tabellens ombyt -kolonne. Med andre ord afspejler kædebrøken eller spektret, hvor det store og det lille interval bytter plads. Denne afstand udregner programmet løbende og noterer den i næste kolonne som altså dermed bliver en fremstilling af snittets kædebrøk eller spektrum. Samtidig udregnes konvergenten, altså den tilnærmede værdi til snittet på det pågældende trin af forløbet (konvergenterne og deres beregning er omtalt i kap.1 og 2). Her benyttes den metode med heltaltsdivision, der er omtalt i kap.2 1 : tæller = snit nævner \ 1 Konvergenterne finder vi i næstsidste kolonne. I første omgang udregnes kun konvergenterne på de pladser, der svarer til kædebrøkens ellers spektrets elementer. Dermed får vi nemlig en række oscillerende konvergenter, såedes som vi så det i fig.1.3, hvor det handlede om det gyldne snit og Fibonacci-rækken. At konvergenterne er oscillerende, altså skiftevis større og mindre end snittet, er symboliseret ved de skiftevis opad- og nedadpegende pile i sidste kolonne. Som det fremgår af fig. 4.1, kan man også vælge at få udregnet konvergenterne på hvert trin i tabellen (man skal så sætte et flueben i checkboksen alle ). * * * Vi har nu set flere eksempler på, at SKALAGENERATOREN kan bruges til meget andet end til at generere skalaer med. Ved hjælp af programmet kan vi anskueliggøre sammenhænge fra vidt forskellige grene af matematikken, og mens vi er ved emnet kædebrøker, vil vi nu nærmere undersøge en speciel type af disse, nemlig de periodiske kædebrøker. Derved forstås kædebrøker, hvor det samme tal gentages uforandret. Et særligt kendt eksempel er igen det gyldne snit (0,618034), hvis kædebrøksfremstilling består af lutter 1-taller: 1 eller skrevet som spektrum: [0; 1, 1, 1, 1, 1 ] Nu kunne det være interessant at finde de tal, hvis spektrum består af lutter 2-taller, 3-tallet, 4-taller, for ikke at tale om sammensatte periodiske spektre som eksempelvis [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2 ] [0; 2, 3, 2, 3, 2, 3 ] [0; 1, 1, 2, 1, 1, 2 ] [0; 1, 1, 3, 1, 1, 3 ] Dertil kan SKALAGENERATOREN også bruges. Fælles for alle periodiske spektre er nemlig, at tallet er kvadratisk, dvs. kan skrives som ( a b) / c. Et sådan tal er netop det gyldne snit, der som vi så i 1. kap. er løsningen på ligningen x = ( 5-1) / 2. For at undersøge de periodiske spektre mere systematisk har jeg tilføjet en funktion til SKALAGENERATOREN, hvor formlen kan udregnes for enhver værdi af a, b og c, og hvor resultatet derefter kan indsættes som snit. Når man på SKALAGENERATOREN s Skærm B klikker på knappen Åben kvadratiske snit kommer denne lille 1 Eksemplet kunne forlede til den opfattelse, at konvergenten kan findes som forholdet mellem antallet af små intervaller (tælleren) og summen af store og små intervaller (nævneren), for det passer her med de fire første konvergenter. Men det er blot et tilfælde.

3 3 REN s Skærm B klikker på knappen Åben kvadratiske snit kommer denne lille regnemaskine til syne: Figur 4.2 Bruger vi de tre værdier, som er valgt i fig.4.2, og åbner vi dernæst tabellen, vil vi opdage, at vi har fundet det tal, der har det periodiske spektrum [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1 ] Figur 4.3 Læg mærke til, at der i dette tilfælde består en simpel forbindelse konvergenterne. Betegner vi to efter hinanden følgende brøker som henholdsvis n 1 / d 1 og n 2 / d 2, gælder det nemlig at n 1 d 2 = n 2 d 1 +1

4 4 For at se, om det er muligt at få øje på et mønster i forholdet mellem formlen og spektret, har jeg bl.a. systematisk gennemregnet denne version af formlen: ( a +1) / 2 for samtlige værdier af a mellem 1 og 50, og resultatet har jeg opstillet i den tabel, som følger her. Den heltallige del af spektret er udeladt, og på de steder, hvor talværdien bliver rationel, er rubrikken med spektret tom, da et sådant tal jo ifølge sagens natur ikke har et periodisk spektrum: formel talværdi spektrum formel talværdi spektrum ( 1 +1)/2 1 ( 26 +1)/ , 5 ( 2 +1)/ , 1 ( 27 +1)/ , 5 ( 3 +1)/ , 1 ( 28 +1)/ , 1, 6, 5 ( 4 +1)/2 1.5 ( 29 +1)/ ( 5 +1)/ ( 30 +1)/ , 5 ( 6 +1)/ , 2, 1, 1 ( 31 +1)/ , 1, 1, 10, 1, 1, 3, 5 ( 7 +1)/ , 4, 1, 1 ( 32 +1)/ , 22, 3, 5 ( 8 +1)/ , 10, 1, 1 ( 33 +1)/ , 1, 2, 5 ( 9 +1)/2 2 ( 34 +1)/ , 2, 2, 5 ( 10 +1)/ , 3 ( 35 +1)/ , 5 ( 11 +1)/ , 3 ( 36 +1)/2 3.5 ( 12 +1)/ , 3 ( 37 +1)/ , 1, 5 ( 13 +1)/ ( 38 +1)/ , 1, 2, 1, 1, 5 ( 14 +1)/ , 1, 2, 3 ( 39 +1)/ , 1, 1, 1, 1, 5 ( 15 +1)/ , 3 ( 40 +1)/ , 1, 1, 24, 1, 1, 1, 5 ( 16 +1)/2 2.5 ( 41 +1)/ , 2, 2, 1, 5 ( 17 +1)/ , 1, 3 ( 42 +1)/ , 2, 1, 5 ( 18 +1)/ , 1, 1, 1, 1, 3 ( 43 +1)/ , 3, 1, 1, 12, 1, 1, 3, 1, 5 ( 19 +1)/ , 2, 8, 2, 1, 3 ( 44 +1)/ , 4, 2, 4, 1, 5 ( 20 +1)/ , 2, 1, 3 ( 45 +1)/ , 5 ( 21 +1)/ , 3 ( 46 +1)/ , 8, 5, 3, 5, 8, 1, 5 ( 22 +1)/ , 5, 2, 5, 1, 3 ( 47 +1)/ , 12, 1, 5 ( 23 +1)/ , 8, 1, 3 ( 48 +1)/ , 26, 1, 5 ( 24 +1)/ , 18, 1, 3 ( 49 +1)/2 4 ( 25 +1)/2 3 ( 50 +1)/ , 7 Her fornemmer vi nok en vis form for mønster, men det er langt fra tilstrækkeligt til, at vi uden videre kan slutte os til, hvordan en bestemt periode fremkommer. Denne version af formlen dækker naturligvis også kun en bestemt delmængde af de periodiske spektre. Den omfatter f.eks. de ulige monotone spektre (altså de spektre der består af lutter 1-taller, 3-taller, 5-taller osv.), hvorimod vi leder forgæves efter de lige monotone spektre. Imidlertid har vi allerede i kap.2 set, at spektret bestående af lutter 2-taller fremkommer, når snittet er 2 1. Dog kunne vi lige så godt bare have skrevet 2 (eller mere generelt 2 ± n), for decimaldelen vil under alle omstændigheder være den samme. En nærmere undersøgelse vil afsløre, at de lige monotone spektre fremkommer, når ovennævnte formel reduceres, så den alene består af en bestemt serie af kvadratrødder. I den næste tabel viser jeg de 6 første led i denne serie. Det er ikke svært at gennemskue, hvad det næste led i rækken er, og dermed er det også muligt at udtrykke princippet i en formel men en formel der altså kun kan bruges på denne specielle serie). Prøv selv!.

5 5 kvadratisk form talværdi spektrum 2 0, , , , , , Skulle man få lyst til at tage udfordringen op, er det også muligt at finde en fælles formel for de lige og de ulige monotone spektre. I det hele taget er dette et spændende område for matematiske skattejægere. SKALAGENERATOREN tilbyder i denne forbindelse et godt værktøj. Men her må vi igen huske, at irrationelle tal kun kan beregnes og indsættes som tilnærmede værdier. På et eller andet tidspunkt af forløbet vil elementerne i kædebrøken eller spektret, ikke længere være korrekte. Man bør derfor ikke drage konklusioner om perioden, med mindre den i tabellen optræder mindst to gange. Der findes imidlertid også en anden metode, hvormed man systematisk og mere effektivt kan eftersøge tal med periodiske spektre. Jeg vil ikke komme ind på denne metode her, men vil henvise til min artikel Periodiske kædebrøker og til programmet af samme navn. En enkelt funktion fra dette program har jeg dog medtaget i SKALAGENERATOREN. Som man kan se i fig.4.2 kan man søge efter det snit, hvis kædebrøksfremstilling udelukkende består af et givet tal (altså er monoton). Dette tal indtaster man, hvorefter programmet sørger for resten. * * * Når kædebrøkesudviklingen er monoton periodisk, er der en klar forbindelse mellen konvergenterne. Betragt engang dette eksempel, hvor snittet er her 0, og perioden er 4: Figur 4.4 Her bemærker vi for det første, at tælleren for en given konvergent er lig med den foregående konvergents nævner (altså ganske som det er tilfældet med det gyldne snits konvergenter), og videre bemærker vi, at den før nævnte sammenhæng mellem konvergenterne: n 1 d 2 = n 2 d 1 +1, også gælder her. Nævneren er per definition lig med antallet af intervaller i den pågældende skala, og spørgsmålet er nu, om vi kan se et mønster i den måde, denne række udvikler sig på. Betragt den følgende opstil-

6 6 ling, hvor jeg har opløst hver af rækkens tal i to led, der begge selv, som række betragtet, er sammensat af rækkens tal (de to sidste led er ikke medtaget i fig.4.4): = = = = = = 5473 Når perioden er defineret (i dette tilfælde som 4), og vi kender et led i rækken, finder vi det næste led ved at gange perioden med det aktuelle led og addere det foregående led. Det kan vi udtrykke i denne formel, hvor s n står for det søgte led, s n -1 står for det aktuelle led, og s n -2 står for det foregående led: s n = s n s n -2 Det viser sig imidlertid, at formlen gælder for alle delingsforløb, hvortil der svarer en monoton periodisk kædebrøk. Kalder vi perioden p, kan formlen altså skrives som: s n = s n -1 p + s n -2 I det tilfælde, hvor p = 1, er det slet og ret den klassiske definition på Fibonacci-rækken. Vi har med andre ord igen fundet en formel, der også gælder for Fibonacci-rækkens søskende, og den nye formel er tilmed mere anvendelig, end den vi fandt i kap.1, fordi vi undgår at skulle inddrage størrelsen antallet af større intervaller. Uden støtte i SKALAGENERATOREN kan vi altså nu som endnu et eksempel finde konvergenterne, når perioden er 7: beregning af nævneren konvergenterne = 7 1 / = 50 7 / = / = / = / = / Efterfølgende kan vi så ved hjælp af SKALAGENERATOREN få bekræftet, at det er korrekt. Vi vil da også få at se, hvordan det periodiske forløb afspejler sig i den grafiske fremstilling af skalaerne: Figur 4.5 Det er de trappeformede forløb, vi skal lægge mærke til. Hver af disse forløb består af 7 trin (svarende til perioden), og de bevæger sig skiftevis mod højre og mod venstre (svarende til den ombytning, der i tabellen også er markeret med pile). Hvert nyt forløb gentager sig inden for hvert enkelt

7 7 trappetrin i det foregående forløb. På figuren kan vi kun følge de første tre forløb, men hvis vi kunne zoome ind på detaljerne, ville vi se, at de fortsætter i det uendelige. * * * Helt så nemt går det ikke, når perioden ikke er monoton for ikke at tale om de tilfælde hvor kædebrøksudviklingen slet ikke er periodisk. Ganske vist kan vi i begge disse tilfælde stadig bruge den sidste formel, men vi må nu erstatte p (perioden) med det til enhver tid aktuelle tal i kædebrøken, og desuden skal formlen nu anvendes på tæller og nævner hver for sig. I denne udformning er metoden kendt som Wallis algoritme 2. Den formuleres sædvanligvis sådan: Lad N k-2, N k-1 og samt D k-2, D k-1 og D k være hhv. tællerne (latin: Nominator) og nævnerne (latin: Denominator) i tre på hinanden følgende konvergenter. Lad endvidere g k være det led i kædebrøken, der svarer til den k te konvergent. Der gælder da følgende sammenhæng: N k = g k N k-1 + N k-2 og D k = g k D k-1 + D k-2 Som eksempel vil vi afprøve Wallis algoritme på det snit, vi senere skal lære at kende som musikkens gyldne snit: log 2 (3/2) = 0, Spektret eller kædebrøken er i dette tilfælde aperiodisk. Begyndelsen af forløbet fremstilles i SKALAGENERATOREN således: Figur 4.6 Vi vil beregne konvergenten til 7. led (hvor der i spektret står 5). Ombytter vi nu diverse indices med tal, ser de to formler således ud: N 7 = g 7 N 6 + N 5 og D 7 = g 7 D 6 + D 5 Vi opsøger nu de respektive tal i tabellen og indsætter dem i formlen: N 7 = = 179 og D 7 = = 306 Som vi ser, stemmer resultatet overens med SKALAGENERATOREN s udregning: konvergenten er på dette trin 179 / Opkaldt efter John Wallis ( ), professor i matematik ved universitetet i Oxford; var bl.a. Newtons lærer.

8 Når vi tolker forløbet som som en delingssekvens, kan vi imidlertid aflede tælleren direkte af nævneren, således som vi tidligere har set eksempler på, nemlig ved at at gange nævneren med snittet og bortkaste den heltallige det (dvs. udføre en heltalsdivision med 1). I eksemplet finder vi da tælleren sådan: (306 0, ) \ 1 = 179 8

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit

2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit Dette er den anden af fem artikler under den fælles overskrift Matematiske Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Vejledning til opdatering på hjemmesiden www.ifskjoldsaeby.dk

Vejledning til opdatering på hjemmesiden www.ifskjoldsaeby.dk Vejledning til opdatering på hjemmesiden www.ifskjoldsaeby.dk Du logger på fra forsiden. Når du har indtastet brugernavn og password, vil der i højre side fremkomme en menu med punkterne: Redigér denne

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden.

Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden. Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden. VENSTRE kolonne indeholder flere elementer (se illustration

Læs mere

Brugermanual til MOBI:DO Make på Internettet

Brugermanual til MOBI:DO Make på Internettet Brugermanual til MOBI:DO Make på Internettet Introduktion Med MOBI:DO Make kan du oprette guides, som kan ses i MOBI:DO. En guide virker som en checkliste, der fører brugeren hele vejen igennem en arbejdsopgave.

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Heldigvis har systemet indbygget en hjælp, som man kan benytte, hvis denne vejledning ikke berører det opståede problem.

Heldigvis har systemet indbygget en hjælp, som man kan benytte, hvis denne vejledning ikke berører det opståede problem. Indhold Introduktion...2 Hjælp...2 Office knappen...2 Menulinjen...3 Fast værktøjslinje Hurtig adgang...3 Menupunkter...4 Startside...4 Indsæt...5 Sidelayout...5 Referencer...6 Forsendelser...6 Gennemse...6

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel)

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Indhold Introduktion...1 Eksport og tilpasning af tabeldata MUD...1 Direkte til Excel...1 Via Rapport i Word-format til Excel...1

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Huskesedler. Anvendelse af regneark til statistik

Huskesedler. Anvendelse af regneark til statistik Huskesedler Anvendelse af regneark til statistik August 2013 2 Indholdsfortegnelse Aktivere Analysis Toolpak... 4 Dataudtræk fra Danmarks Statistik... 4 Kopiering af formler... 4 Målsøgning... 5 Normalfordeling...

Læs mere

Indlæsning og anvendelse af kontoskema Res_14 til resultatopgørelse 2014. Vejledning

Indlæsning og anvendelse af kontoskema Res_14 til resultatopgørelse 2014. Vejledning Indlæsning og anvendelse af kontoskema Res_14 til resultatopgørelse 2014 Vejledning December 2014 1 Indholdsfortegnelse 1 Formål med denne vejledning... 3 2 Hent filer med kontoskema og kolonneformat...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

BRUGERVEJLEDNING TIL BRUG AF MC IKAST HJEMMESIDE.

BRUGERVEJLEDNING TIL BRUG AF MC IKAST HJEMMESIDE. BRUGERVEJLEDNING TIL BRUG AF MC IKAST HJEMMESIDE. www.mcikast.dk På hjemmesiden kan du se alle de kommende ture både i indland og udland. Du kan også se de ture, som er kørt. Alle turene er placeret i

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Indhold. Nyheder og vejledninger. 2. maj 2016 Manuel tilpasning af investeringsbevisnote

Indhold. Nyheder og vejledninger. 2. maj 2016 Manuel tilpasning af investeringsbevisnote 2. maj 2016 Manuel tilpasning af investeringsbevisnote Indhold Manuel tilpasning af investeringsbevisnote... 2 Rettelse af summer fælles... 2 Rettelse af summer person 1... 5 Rettelser af summer person

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Import-vejledning. Fra NP Privatskole til UNI Login. - For UNI Login brugeradministratorer. 1. udgave, januar 2009

Import-vejledning. Fra NP Privatskole til UNI Login. - For UNI Login brugeradministratorer. 1. udgave, januar 2009 Import-vejledning Fra NP Privatskole til UNI Login - For UNI Login brugeradministratorer 1. udgave, januar 2009 UNI C 2009 Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf: 35 87 88 89 1 Eksporter fra NP Privatskole...

Læs mere

Rationel VinduesDesigner TM Brugervejledning

Rationel VinduesDesigner TM Brugervejledning Rationel VinduesDesigner TM Brugervejledning indhold: introduktion Side 2 Funktionsliste Side 3 Få adgang til systemet Side 4 opload dine billeder Side 5 Sådan bruges systemet Side 6 Gem dine eksempler

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

www.kjellerupskole.dk

www.kjellerupskole.dk ForældreIntra er et lukket univers, hvor forældre skal angive brugernavn og adgangskode for at blive lukket ind. I denne lille folder beskrives nogle af de vigtigste funktioner i ForældreIntra. Man finder

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Demo-udgave (kapitel 1 og 2) Udleveret frit på www.praktisk-it.dk

Demo-udgave (kapitel 1 og 2) Udleveret frit på www.praktisk-it.dk Demo-udgave (kapitel 1 og 2) Udleveret frit på www.praktisk-it.dk Vælg fanen Indsæt --> knappen Tabel Hvis du ikke kan se tabellen så vælg Fanen Layout --> knappen Vis Gitterlinje Brug musen til at trække

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Afgrænsning/filtrering, sortering m.v. i Klienten

Afgrænsning/filtrering, sortering m.v. i Klienten Afgrænsning/filtrering, sortering m.v. i Klienten Afgrænsning/filtrering I det efterfølgende gennemgås de tre standard afgrænsnings-/filtrerings metoder i Prisme Klient: Avanceret filter Er den overordnede

Læs mere

Oktober Dokumentpakker

Oktober Dokumentpakker Oktober 2017 Dokumentpakker Dokumentpakkerne er et værktøj til at udskrive dynamiske breve, som har en standardtekst i brevet, og hvor der automatisk sættes blandt andet patientens navn, adresse og aftaletid

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Photo Story 3. Photo Story 3

Photo Story 3. Photo Story 3 Side 1 af 8 Photo Story 3 Introduktion Når jeg tager på ferie, tager jeg altid en masse videoer og billeder, som jeg så efter hjemkomsten redigerer, så jeg selv og andre kan have glæde af at se indtryk

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Regneark for begyndere

Regneark for begyndere Regneark for begyndere Regneark i Open- og LibreOffice Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er et regneark?...4 Grundlæggende opbygning...4 Kast dig ud i det!...5 Du arbejder med: Din første

Læs mere

Beregn operationsalder

Beregn operationsalder Beregn operationsalder I denne vejledning kigges på hvordan man beregner den alder patienten har ved operation. Data til dette findes i dataudtræk fra Skema 1A eller dataudtræk med data fra alle skemaer.

Læs mere

Login. www.samsoegades-skole.skoleintra.dk. I denne lille folder beskrives nogle af de vigtigste funktoner i ForældreIntra:

Login. www.samsoegades-skole.skoleintra.dk. I denne lille folder beskrives nogle af de vigtigste funktoner i ForældreIntra: Login I denne lille folder beskrives nogle af de vigtigste funktoner i : Man finder som et link nederst til venstre på skolens offentlige Informationsportal. Adressen er: www.samsoegades-skole.skoleintra.dk

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S. Instruktion og nyheder i TAL. Automatisk ro Ny forbedret udtalebog. Automatisk ro

ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S. Instruktion og nyheder i TAL. Automatisk ro Ny forbedret udtalebog. Automatisk ro ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S Instruktion og nyheder i TAL Automatisk ro Ny forbedret udtalebog Automatisk ro ScanDis A/S ViTre version 91 opdatering Side 1 Ny indstilling af oplæsning med funktionen

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Excel light. Grundlæggende talbehandling med Excel til matematik

Excel light. Grundlæggende talbehandling med Excel til matematik Excel light Grundlæggende talbehandling med Excel til matematik Forfatter: Thorkil S. Hansen, CFV Redigeret af Claus Larsen, VUC Århus Version til Windows Vista LEKTION 1 I denne lektion skal du: - have

Læs mere

Linket viser jer frem til billedet nedenfor, her skal du blot skrive jeres brugernavn og adgangskode. Indtast din adgangskode her:

Linket viser jer frem til billedet nedenfor, her skal du blot skrive jeres brugernavn og adgangskode. Indtast din adgangskode her: Brugervejledning til håndtering af respondenter til MUS i SurveyXact Indledning Denne manual beskriver, hvordan SurveyXact kan anvendes til forberedelse af MUS. Der tages udgangspunkt i handlinger, den

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Gå ind på forsiden til hjemmesiden. Skriv typo3 i adresselinjen og tryk på retur.

Gå ind på forsiden til hjemmesiden. Skriv typo3 i adresselinjen og tryk på retur. Adgang til Back-end Gå ind på forsiden til hjemmesiden. Skriv typo3 i adresselinjen og tryk på retur. typo3 Skriv herefter brugernavn og adgangskode i de respektive felter og klik på Login Den følgende

Læs mere

Pivottabeller, diagrammer og databehandling. Underviser: Nina Kirkegaard Schou Mobil

Pivottabeller, diagrammer og databehandling. Underviser: Nina Kirkegaard Schou Mobil Pivottabeller, diagrammer og databehandling Underviser: Nina Kirkegaard Schou Mobil 21 48 65 16 E-mail: ns@teamcrm.dk Emner: Excel Pivottabeller/diagrammer og databehandling Brugerfladen Import af data

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere