Projekt Planlægning: PERT/CPM
|
|
- Camilla Hansen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne er typisk linket tidsmæssigt. En given aktivitet kan ikke påbegyndes, før et antal andre aktiviteter er afsluttet. Idet det forudsættes, +> +> varigheden af hver aktivitet kan bestemmes og mængden af aktiviteter, der skal være afsluttet, før en given aktivitet kan påbegyndes, kan identificeres består problemet nu i at bestemme, hvilke aktiviteter, som ikke kan forsinkes, uden at dette indebærer en forsinkelse af hele projektet. Dette problem løses med udgangspunkt i et netværk, der afspejler de tidsmæssige links mellem projektets aktiviteter.
2 Eksempel: Umidelbar Aktivitet Beskrivelse Forgænger Varighed A forbered tegninger - 5 B identificer potentielle kunder - 6 C forbered prospekt A 4 D vælg entrepenør A 3 E forbered byggetilladelser A 1 F godkendelse af byggetilladelser E 4 G udførelse af byggeri D, F 14 H salg af byggeri B, C 12 I indflytning G, H 2 Her angiver umiddelbar forgænger for en given aktivitet de aktiviteter, der må være afsluttet umiddelbart inden påbegyndelse af aktiviteten selv. Bemærk: G har D og F som umiddelbare forgængere. D har selv A som umiddelbar forgænger. F har E som umiddelbar forgænger, og E har A som umiddelbar forgænger. Det betyder, at også A og E må være afsluttet før igangsættelse af G. Men hverken A eller E er umiddelbar forgænger for G, for A må følges af D og E af F, før G kan sættes i gang. Det er herefter muligt at konstruere følgende netværk, der afspejler den angivne tidsfølge mellem aktiviteter; noder i netværket svarer her til aktiviteter.
3 E ÊÊ F 1 4 A Ê D ÊÊÊÊÊ G start C ÊÊ H ÊÊ I ÊÊ slut B... 6 Den aktivitet, der svarer til en bestemt node, er angivet i cellens første søjleindgang i første række, og dens varighed i første søjleindgang i anden række. Vi vil nu undersøge, hvor hurtigt projektet kan afsluttes. Samtidig identificeres de aktiviteter, der ligger på den såkaldte kritiske vej. Det første sker ved et forward pass i netværket, d.v.s. en bevægelse fra start til slut node, og det andet ved et backward pass, d.v.s. en bevægelse fra slut til start node. Forward pass definerer for hver aktivitet /+<63/=> =>+<> (ES) og /+<63/=> 0 383=2 (EF). Lad t betegne varigheden af en given aktivitet. Da gælder pr. definition: () é (6 W En aktivitet kan ikke påbegyndes, før enhver af dens umiddelbare forgængere er afsluttet. Det betyder
4 (6IRUHQDNWLYLWHWHUVHQHVWH()EODQGWDOOHGHQV XPLGGHOEDUHIRUJ QJHUH ES for en aktivitet markeres i celle (1, 2) og EF i celle (1,3): E 5 6 ÊÊ F A 0 5 Ê D 5 8 ÊÊÊÊÊ G start 0 0 C 5 9 ÊÊ H 9 21 ÊÊ I ÊÊ slut B Forward pass indikerer, at projektet tidligst kan afsluttes efter 26 tidsperioder.
5 Hvornår skal en aktivitet senest være afsluttet, hvis projektet ikke skal forsinkes? Dette spørgsmål besvares ved et backward pass i netværket. Vi må her starte i slutnoden, fordi vi ved, at den skal være realiseret senest tidspunkt 26, hvis ikke projektet skal forsinkes! Bacward pass definerer for hver aktivitet ODWHVWILQLVK (LF) og ODWHVWVWDUW (LS). Lad t betegne varigheden af en given aktivitet. Da gælder pr. definition: /6 é /) W En aktivitet skal senest være afsluttet på det seneste start tidspunkt for enhver af dens umiddelbare efterfølgere. Det betyder /)IRUHQDNWLYLWHWHUWLGOLJVWH/6EODQGWDOOHGHQV XPLGGHOEDUHHIWHUI OJHUH LF for en aktivitet markeres i celle (2, 3) og LS i celle (2,2): E 5 6 ÊÊ F A 0 5 Ê D 5 8 ÊÊÊÊÊ G start 0 0 C 5 9 ÊÊ H 9 21 ÊÊ I ÊÊ slut B
6 Det er efter afslutningen af backward pass for enhver aktivitet muligt at bestemme dens såkaldte slack: slack é /6 (6 é /) () Betragt f.eks. aktivitet H. Her PW é 12, (6 é 9, /) é 24 og () é 21; slack for denne aktivitet er derfor 3. Det forhold, at H kan startes tidspunkt 9, har en varighed på 12, og senest skal være afsluttet tidspunkt 24, betyder, at H kan forsinkes 3 tidsenheder, uden at dette indebærer en forsinkelse af det totale projekts varighed på 26 tidsenheder; H er derfor ikke en kritisk aktivitet. Betragt herefter f.eks. aktivitet aktivitet F. Her PW é 6, (6 é 6, /) é 10 og () é 10; slack for denne aktivitet er derfor 0. Det forhold, at F tidligst kan startes tidspunkt 6, har en varighed på 4, og senest skal være afsluttet tidspunkt 10, betyder, at F ikke kan forsinkes, uden at dette indebærer en forsinkelse af det totale projekts varighed på 26 tidsenheder; F er derfor en kritisk aktivitet.
7 Beregning af slacks: Akt. (6 /6 () /) slack critical path A yes B C D E yes F yes G yes H I yes Den kritiske vej består således af sekvensen start A E F G I slut Hvis en varigheden af en aktivitet på den kritiske vej forlænges, vil projektets varighed forlænges.
8 Sammenfatning: 1) Forbered liste over projektaktiviteter. 2) Identificer for hver aktivitet dens umiddelbare forgænger(e). 3) Beregn varighed af hver aktivitet. 4) Konstruer netværk, der afspejler tidsafhængighed mellem aktiviteter; noder svarer her til aktiviteter. 5) Beregn for hver aktivitet IW og IJ ved et forward pass i netværket. 6) Beregn for hver aktivitet PW og PJ ved et backward pass i netværket. 7) Beregn for hver aktivitet dens slack. 8) Identificer aktiviteter med 0-slack; disse betegnes kritiske aktiviteter og definerer sammen den kritiske vej.
9 Indarbejdelse af usikkerhed i CPM/PERT: Det blev i eksemplet ovenfor forudsat, at varighed for hver aktivitet kendtes med sikkerhed. Den antagelse er selvsagt problematisk. Vi vil derfor introducere usikkerhed i modellen. Det kan ske ved for hver aktivitet at antage, at dens varighed følger en bestemt sandsynlighedsfordeling. Ofte antages varigheder at følge en "-fordeling. "-fordelingen er skæv og tillader specielt, at at at sandsynligheden for varigheder kortere end et lower bound + eller længere end et upper bound, er 0, sandsynligheden for varigheder længere end det mest sandsynlige er større end sandsynligheder for varigheder kortere end det mest sandsynlige (fordi fordelingen er skæv), og forventet varighed samt spredningsmål for varighed kan estimeres på grundlag af følgende 3 parametre: 9:>373=>3=5 >3. é + 7/=> é 7 :/==373=>3=5 >3. é, + angiver kortest mulig tid for en aktivitet, hvis alt forløber mest hensigtsmæssigt (lower bound for varighed). 7 angiver den mest sandsynlige varighed for en aktivitet under forventede betingelser., angiver varighed for en aktivitet under de værst tænkelige forhold (upper bound for varighed).
10 Akt. + 7, umiddelbar forgænger A B C A D A E A F C G D H B, E I H J F, G, I Forventet varighed af en aktivitet: >é + %7, ' Varians for varighed af en aktivitet: 5 # ž, + # ' ¹
11 Vi konstruerer nu netværket, idet forventet varighed for hver aktivitet angives i celle (2, 1) i hver node: C 6 9 ÊÊ F A 0 6 Ê D 6 11 ÊÊ G ÊÊ J ÊÊ slut start 0 0 E 6 9 ÊÊ H 9 13 ÊÊ I B Beregning af slacks: Akt. (6 /6 () /) slack critical path A yes B C D E yes F G H yes I yes J yes
12 Den kritiske vej består således af sekvensen start A E H I J slut med en forventet varighed é 17 Antag nu at varigheder er uafhængigt fordelt. Så er varians på varighed af projektet approximeret ved summen af varianserne på varighed af aktiviteter på den kritiske vej # é é projekt og standardafvigelsen følgelig 5 projekt é 2.72 é 1.65 Under visse antagelser kan projektets varighed nu approximeres med en normalfordeling med forventningsværdi 17 og standardafvigelse Det betyder, at vi kan beregne sandsynligheden for, at projektets varighed er kortere end et bestemt antal dage, f.eks. 21. Eller sandsynligheden for, at varigheden vil overstige en kritisk værdi, f.eks. 30 dage.
13 Indarbejdelse af trade-off mellem varighed og omkostninger i CPM/PERT. Det er i mange applikationer muligt at påvirke varigheden af en aktivitet. Varigheden kan forkortes ved at tilføre aktiviteten flere ressourcer og forlænges ved at fratage den ressourcer; tilførsel af ressourcer betegnes -<+=2381. Tilførsel af ressourcer er forbundet med omkostninger. Hvis varigheden af et projekt forkortes ved at tilføre en eller flere aktiviteter flere ressourcer, bliver projektet derfor dyrere. Vi vil i det følgende formalisere det heraf følgende trade-off mellem varighed og omkostninger. Lad os tage udgangspunkt i følgende lille eksempel: Aktivitet Umidelbar Forgænger A - 7 B A 3 C - 6 D C 3 E B, D 2 Varighed (dage) A 0 7 ÊÊ B start 0 0 E ÊÊ slut C 0 6 ÊÊ D
14 Beregning af slacks: Akt. (6 /6 () /) slack critical path A yes B yes C D E yes Den kritiske vej består således af sekvensen start A B E slut hvilket indebærer en varighed på ialt 12 dage. Antag nu, at projektet =5+6 afsluttes inden 10 dage. Hvilke aktiviteter skal crashes og hvor meget? Det er til besvarelse af det spørgsmål nødvendigt at vide, hvor meget hver enkelt aktivitet kan crashes og hvad de hermed forbundne omkostninger er. Den information kan f.eks. genereres fra følgende data: 1) 7 3 é forventet varighed af aktivitet 3 2) 7 w 3 é varighed af aktivitet 3ved maximal crashing, d.v.s. kortest mulige varighed af aktiviteten 3) C3 é totalomkostninger for aktivitet 3 ved normal indsættelse af ressourcer w 4) C 3 é totalomkostninger for aktivitet 3 ved maximal crashing
15 Herefter kan for hver aktivitet 3 beregnes M 3 é 73 7 w 3 - maximalt antal dage varighed af aktivitet 3 kan reduceres ved crashing w C C 3 3 K3 é M - omkostninger forbundet med 3 reduktion af varighed af aktivitet 3 med en dag p.g.a. crashing Disse data er angivet i nedenstående tabel: tid (dage) Total Cost ($) M Act. normal crash normal crash (dage) A B C D E K ($ pr. dag) 3 3 Hvilke aktiviteter skal crashes og hvor meget? Intuitionen er, at vi skal crashe billige aktiviteter på den kritiske vej. Det indikerer, at vi skal crashe på aktivitet A. Crashing af A til 5 dage betyder godt nok at længden af den oprindelige kritiske vej er reduceret til 10 som ønsket, men en anden vej er i mellemtiden blevet kritisk (nemlig start C D E slut), og den indebærer en varighed af projektet på 11 dage. Vi har derfor brug for en mere systematisk procedure til bestemmelse af hvilke aktiviteter, der skal crashes, og hvor meget de skal crashes med. LP giver mulighed for en sådan procedure.
16 Lad os for hver aktivitet 3 introducere 2 variable: x 3 måler EF3 y 3 måler reduktion af varighed for aktivitet 3 p.g.a. crashing Bemærk: EF kan ikke længere beregnes som ovenfor, 3 fordi den afhænger af crashing af aktiviter! Husk nu, at EF é ES 3 3 YDULJKHGDIDNWLYLWHWL og at ES 3 IRUDNWLYLWHW3 HUVHQHVWHEF 4 EODQGWDOOHGHQV XPLGGHOEDUHIRUJ QJHUH 4
17 Følgende LP løser derfor crashing problemet i det lille eksempel: min 100yE 150yF 200yG 150yH 250yI s.t. xe ˆ 0 (7 y E) xf ˆ x E (3 y F) xg ˆ 0 (6 y G) xh ˆ x G (3 y H) ye ì 3 yf ì 1 yg ì 2 yh ì 2 y 1 xi ˆ x F (2 y I) xi ˆ x H (2 y I) I ì xi ì 10 x,x,x,x,x,y,y,y,y,y 0 E F G H I E F G H I ˆ Kriteriefunktionen indebærer, at de samlede crashomkostninger minimeres. Den første begrænsning siger, at det tidligste tidspunkt for afslutning af aktivitet E, er givet ved E's varighed (der er aktivitetens normale varighed minus antal dage, der er crashed) plus det tidspunkt hvor E's umiddelbare forgænger (start noden) er afsluttet. Den anden begrænsning siger, at det tidligste tidspunkt for afslutning af aktivitet F, er givet ved F's varighed plus det tidspunkt hvor F's umiddelbare forgænger E er afsluttet. Tredie og fjerde begrænsning læses tilsvarende. Bemærk, at der er indført 2 begrænsninger af denne type for aktivitet I. Det skyldes, at I har to umiddelbare forgængere, nemlig Fog HÆAktivitet I kan derfor ikke sættes i gang, før både F og H er afsluttede. Begrænsningerne 7-11 siger, at det ikke er muligt at crashe en aktivitet mere end forskellen mellem normal varighed og kortest mulig varighed. Begrænsning 12 siger, at projektets sidste akivitet I skal være afsluttet tidspunkt 10. Og de sidste begrænsninger er blot krav om ikke-negative crash- og EF-tider.
18 Generalisering af LP til løsning af crashing problemet: min! K y normal s.t. x3 ˆ x 4 (t3 y 3) for alle 3og for alle 4, der er umiddelbar forgænger for 3 normal crash y ì t t x 3 ìx for det 3der er projektets sidste aktivitet x 3, y 3 ˆ! for alle 3 normal Her angiver t 3 den normale varighed af aktivitet 3 (d.v.s. crash varighed uden crashing) og t 3 varigheden ved maximal crashing. X er en fast parameter, der måler den ønskede varighed af projektet. Kriteriefunktionen indebærer, at de samlede crashomkostninger minimeres. Den første begrænsning siger, at det tidligste tidspunkt for afslutning af en aktivitet 3, er givet ved varigheden af aktivitet 3 (der er aktivitetens normale varighed minus antal dage, der er crashed) plus det tidspunkt hvor enhver af 3 s umiddelbare forgængere er w afsluttet. Den anden begrænsning siger, at det ikke er muligt at crashe en aktivitet mere end forskellen mellem normal varighed og kortest mulig varighed. Den tredie begrænsning siger, at den aktivitet, der slutter projektet, senest skal være afsluttet tidspunkt X. Og den sidste begrænsning siger, at negative crashtider og EF-tider ikke kan forekomme.
Kapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereHvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges
Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Er det en god idé? Hvad har vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse
Læs mereOnsdag: PROJEKTPLANLÆGNING
Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Hvad Er det en god har idé? vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse
Læs mereSamtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereProfitten i det første år kan da beregnes som (i kr.)
Chapter 13: Simulation Simulation er en kvantitativ metode til bestemmelse af et real life systems basale karakteristika under usikkerhed v.h.a. eksperimenter indenfor en modelramme, der repræsenterer
Læs mereKapitel 9: Netværksmodeller
Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereChapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative
Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle
Læs mereOvenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder
Læs mereUdvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereChapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer
Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper
Læs mereChapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP
Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereSimplex metoden til løsning af LP
Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mere2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut
Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereTest nr. 5 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereBilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet.
Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 FØLSOMHEDSANALYSEN...
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereFormålet med dette notat er at danne grundlag for denne beslutning. Notatet består af følgende 4 afsnit:
Notat Vedrørende: Notat om valg mellem statsgaranti og selvbudgettering i 2017 Sagsnavn: Budget 2017-20 Sagsnummer: 00.01.00-S00-5-15 Skrevet af: Brian Hansen E-mail: brian.hansen@randers.dk Forvaltning:
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereUndervisningsnoter til øvelse i Panel Modeller. %, it. E(x kjs
4 I afsnit 3 beskæftigede vi os med 1EC modellen og viste, hvordan den kunne estimereres med FGLS - bla under forudsætning af, at det individspecifikke stokastiske led er ukorreleret med de forklarende
Læs mereEksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet
Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs merea) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?
Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereNOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet
NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereBilag 2: Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet.
Bilag 2: Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet. FORSYNINGSSEKRETARIATET JUNI 2012 INDLEDNING... 3 FØLSOMHEDSANALYSE... 3
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereTest nr. 4 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereFagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hh123-mat/b-17122012 Mandag den 17. december 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Læs mereModul 12: Exercises. 12.1 Sukkersygepatienters vægt
Modul 12: Exercises 12.1 Sukkersygepatienters vægt............... 1 12.2 Newfoundlandske kvinders blodtryk.......... 4 12.3 Korrelationskoefficient.................. 6 12.4 Højde og vægt......................
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs meredpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer
Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mere12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse
. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
STTUT FR DTG, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige
Læs mereBilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)
Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-2) Opsamling
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereBilag 6: Bootstrapping
Bilag 6: Bootstrapping Bilaget indeholder en gennemgang af bootstrapping og anvendelsen af bootstrapping til at bestemme den konkurrencepressede front. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereTeknisk bilag til Aftale om servicemål for kommunal erhvervsrettet sagsbehandling
Teknisk bilag til Aftale om servicemål for kommunal erhvervsrettet sagsbehandling Regeringen og KL er enige om at nedbringe sagsbehandlingstiderne for erhvervsrettede myndighedsopgaver i kommunerne med
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereBilag 3. Notat. BORGMESTERENS AFDELING Aarhus Kommune. Valg mellem statsgaranti og selvbudgettering for Drøftelse ved 2.
Bilag 3 Notat Side 1 af 7 Til Til Byrådet Drøftelse ved 2. Fællesmøde Valg mellem statsgaranti og selvbudgettering for 2016 Byrådet skal ved vedtagelsen af budgettet træffe et valg mellem selvbudgettering
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereBilag 4. Notat. Valg mellem selvbudgettering og statsgaranti for 2014. 1. Fællesmøde mellem Magistraten og Økonomiudvalget.
Bilag 4 Notat Til: Kopi: til: 1. Fællesmøde mellem Magistraten og Økonomiudvalget Byrådets medlemmer Aarhus Kommune Borgmesterens Afdeling Den 12. september 2013 Valg mellem selvbudgettering og statsgaranti
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mere