Projekt Planlægning: PERT/CPM

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt Planlægning: PERT/CPM"

Transkript

1 Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne er typisk linket tidsmæssigt. En given aktivitet kan ikke påbegyndes, før et antal andre aktiviteter er afsluttet. Idet det forudsættes, +> +> varigheden af hver aktivitet kan bestemmes og mængden af aktiviteter, der skal være afsluttet, før en given aktivitet kan påbegyndes, kan identificeres består problemet nu i at bestemme, hvilke aktiviteter, som ikke kan forsinkes, uden at dette indebærer en forsinkelse af hele projektet. Dette problem løses med udgangspunkt i et netværk, der afspejler de tidsmæssige links mellem projektets aktiviteter.

2 Eksempel: Umidelbar Aktivitet Beskrivelse Forgænger Varighed A forbered tegninger - 5 B identificer potentielle kunder - 6 C forbered prospekt A 4 D vælg entrepenør A 3 E forbered byggetilladelser A 1 F godkendelse af byggetilladelser E 4 G udførelse af byggeri D, F 14 H salg af byggeri B, C 12 I indflytning G, H 2 Her angiver umiddelbar forgænger for en given aktivitet de aktiviteter, der må være afsluttet umiddelbart inden påbegyndelse af aktiviteten selv. Bemærk: G har D og F som umiddelbare forgængere. D har selv A som umiddelbar forgænger. F har E som umiddelbar forgænger, og E har A som umiddelbar forgænger. Det betyder, at også A og E må være afsluttet før igangsættelse af G. Men hverken A eller E er umiddelbar forgænger for G, for A må følges af D og E af F, før G kan sættes i gang. Det er herefter muligt at konstruere følgende netværk, der afspejler den angivne tidsfølge mellem aktiviteter; noder i netværket svarer her til aktiviteter.

3 E ÊÊ F 1 4 A Ê D ÊÊÊÊÊ G start C ÊÊ H ÊÊ I ÊÊ slut B... 6 Den aktivitet, der svarer til en bestemt node, er angivet i cellens første søjleindgang i første række, og dens varighed i første søjleindgang i anden række. Vi vil nu undersøge, hvor hurtigt projektet kan afsluttes. Samtidig identificeres de aktiviteter, der ligger på den såkaldte kritiske vej. Det første sker ved et forward pass i netværket, d.v.s. en bevægelse fra start til slut node, og det andet ved et backward pass, d.v.s. en bevægelse fra slut til start node. Forward pass definerer for hver aktivitet /+<63/=> =>+<> (ES) og /+<63/=> 0 383=2 (EF). Lad t betegne varigheden af en given aktivitet. Da gælder pr. definition: () é (6 W En aktivitet kan ikke påbegyndes, før enhver af dens umiddelbare forgængere er afsluttet. Det betyder

4 (6IRUHQDNWLYLWHWHUVHQHVWH()EODQGWDOOHGHQV XPLGGHOEDUHIRUJ QJHUH ES for en aktivitet markeres i celle (1, 2) og EF i celle (1,3): E 5 6 ÊÊ F A 0 5 Ê D 5 8 ÊÊÊÊÊ G start 0 0 C 5 9 ÊÊ H 9 21 ÊÊ I ÊÊ slut B Forward pass indikerer, at projektet tidligst kan afsluttes efter 26 tidsperioder.

5 Hvornår skal en aktivitet senest være afsluttet, hvis projektet ikke skal forsinkes? Dette spørgsmål besvares ved et backward pass i netværket. Vi må her starte i slutnoden, fordi vi ved, at den skal være realiseret senest tidspunkt 26, hvis ikke projektet skal forsinkes! Bacward pass definerer for hver aktivitet ODWHVWILQLVK (LF) og ODWHVWVWDUW (LS). Lad t betegne varigheden af en given aktivitet. Da gælder pr. definition: /6 é /) W En aktivitet skal senest være afsluttet på det seneste start tidspunkt for enhver af dens umiddelbare efterfølgere. Det betyder /)IRUHQDNWLYLWHWHUWLGOLJVWH/6EODQGWDOOHGHQV XPLGGHOEDUHHIWHUI OJHUH LF for en aktivitet markeres i celle (2, 3) og LS i celle (2,2): E 5 6 ÊÊ F A 0 5 Ê D 5 8 ÊÊÊÊÊ G start 0 0 C 5 9 ÊÊ H 9 21 ÊÊ I ÊÊ slut B

6 Det er efter afslutningen af backward pass for enhver aktivitet muligt at bestemme dens såkaldte slack: slack é /6 (6 é /) () Betragt f.eks. aktivitet H. Her PW é 12, (6 é 9, /) é 24 og () é 21; slack for denne aktivitet er derfor 3. Det forhold, at H kan startes tidspunkt 9, har en varighed på 12, og senest skal være afsluttet tidspunkt 24, betyder, at H kan forsinkes 3 tidsenheder, uden at dette indebærer en forsinkelse af det totale projekts varighed på 26 tidsenheder; H er derfor ikke en kritisk aktivitet. Betragt herefter f.eks. aktivitet aktivitet F. Her PW é 6, (6 é 6, /) é 10 og () é 10; slack for denne aktivitet er derfor 0. Det forhold, at F tidligst kan startes tidspunkt 6, har en varighed på 4, og senest skal være afsluttet tidspunkt 10, betyder, at F ikke kan forsinkes, uden at dette indebærer en forsinkelse af det totale projekts varighed på 26 tidsenheder; F er derfor en kritisk aktivitet.

7 Beregning af slacks: Akt. (6 /6 () /) slack critical path A yes B C D E yes F yes G yes H I yes Den kritiske vej består således af sekvensen start A E F G I slut Hvis en varigheden af en aktivitet på den kritiske vej forlænges, vil projektets varighed forlænges.

8 Sammenfatning: 1) Forbered liste over projektaktiviteter. 2) Identificer for hver aktivitet dens umiddelbare forgænger(e). 3) Beregn varighed af hver aktivitet. 4) Konstruer netværk, der afspejler tidsafhængighed mellem aktiviteter; noder svarer her til aktiviteter. 5) Beregn for hver aktivitet IW og IJ ved et forward pass i netværket. 6) Beregn for hver aktivitet PW og PJ ved et backward pass i netværket. 7) Beregn for hver aktivitet dens slack. 8) Identificer aktiviteter med 0-slack; disse betegnes kritiske aktiviteter og definerer sammen den kritiske vej.

9 Indarbejdelse af usikkerhed i CPM/PERT: Det blev i eksemplet ovenfor forudsat, at varighed for hver aktivitet kendtes med sikkerhed. Den antagelse er selvsagt problematisk. Vi vil derfor introducere usikkerhed i modellen. Det kan ske ved for hver aktivitet at antage, at dens varighed følger en bestemt sandsynlighedsfordeling. Ofte antages varigheder at følge en "-fordeling. "-fordelingen er skæv og tillader specielt, at at at sandsynligheden for varigheder kortere end et lower bound + eller længere end et upper bound, er 0, sandsynligheden for varigheder længere end det mest sandsynlige er større end sandsynligheder for varigheder kortere end det mest sandsynlige (fordi fordelingen er skæv), og forventet varighed samt spredningsmål for varighed kan estimeres på grundlag af følgende 3 parametre: 9:>373=>3=5 >3. é + 7/=> é 7 :/==373=>3=5 >3. é, + angiver kortest mulig tid for en aktivitet, hvis alt forløber mest hensigtsmæssigt (lower bound for varighed). 7 angiver den mest sandsynlige varighed for en aktivitet under forventede betingelser., angiver varighed for en aktivitet under de værst tænkelige forhold (upper bound for varighed).

10 Akt. + 7, umiddelbar forgænger A B C A D A E A F C G D H B, E I H J F, G, I Forventet varighed af en aktivitet: >é + %7, ' Varians for varighed af en aktivitet: 5 # ž, + # ' ¹

11 Vi konstruerer nu netværket, idet forventet varighed for hver aktivitet angives i celle (2, 1) i hver node: C 6 9 ÊÊ F A 0 6 Ê D 6 11 ÊÊ G ÊÊ J ÊÊ slut start 0 0 E 6 9 ÊÊ H 9 13 ÊÊ I B Beregning af slacks: Akt. (6 /6 () /) slack critical path A yes B C D E yes F G H yes I yes J yes

12 Den kritiske vej består således af sekvensen start A E H I J slut med en forventet varighed é 17 Antag nu at varigheder er uafhængigt fordelt. Så er varians på varighed af projektet approximeret ved summen af varianserne på varighed af aktiviteter på den kritiske vej # é é projekt og standardafvigelsen følgelig 5 projekt é 2.72 é 1.65 Under visse antagelser kan projektets varighed nu approximeres med en normalfordeling med forventningsværdi 17 og standardafvigelse Det betyder, at vi kan beregne sandsynligheden for, at projektets varighed er kortere end et bestemt antal dage, f.eks. 21. Eller sandsynligheden for, at varigheden vil overstige en kritisk værdi, f.eks. 30 dage.

13 Indarbejdelse af trade-off mellem varighed og omkostninger i CPM/PERT. Det er i mange applikationer muligt at påvirke varigheden af en aktivitet. Varigheden kan forkortes ved at tilføre aktiviteten flere ressourcer og forlænges ved at fratage den ressourcer; tilførsel af ressourcer betegnes -<+=2381. Tilførsel af ressourcer er forbundet med omkostninger. Hvis varigheden af et projekt forkortes ved at tilføre en eller flere aktiviteter flere ressourcer, bliver projektet derfor dyrere. Vi vil i det følgende formalisere det heraf følgende trade-off mellem varighed og omkostninger. Lad os tage udgangspunkt i følgende lille eksempel: Aktivitet Umidelbar Forgænger A - 7 B A 3 C - 6 D C 3 E B, D 2 Varighed (dage) A 0 7 ÊÊ B start 0 0 E ÊÊ slut C 0 6 ÊÊ D

14 Beregning af slacks: Akt. (6 /6 () /) slack critical path A yes B yes C D E yes Den kritiske vej består således af sekvensen start A B E slut hvilket indebærer en varighed på ialt 12 dage. Antag nu, at projektet =5+6 afsluttes inden 10 dage. Hvilke aktiviteter skal crashes og hvor meget? Det er til besvarelse af det spørgsmål nødvendigt at vide, hvor meget hver enkelt aktivitet kan crashes og hvad de hermed forbundne omkostninger er. Den information kan f.eks. genereres fra følgende data: 1) 7 3 é forventet varighed af aktivitet 3 2) 7 w 3 é varighed af aktivitet 3ved maximal crashing, d.v.s. kortest mulige varighed af aktiviteten 3) C3 é totalomkostninger for aktivitet 3 ved normal indsættelse af ressourcer w 4) C 3 é totalomkostninger for aktivitet 3 ved maximal crashing

15 Herefter kan for hver aktivitet 3 beregnes M 3 é 73 7 w 3 - maximalt antal dage varighed af aktivitet 3 kan reduceres ved crashing w C C 3 3 K3 é M - omkostninger forbundet med 3 reduktion af varighed af aktivitet 3 med en dag p.g.a. crashing Disse data er angivet i nedenstående tabel: tid (dage) Total Cost ($) M Act. normal crash normal crash (dage) A B C D E K ($ pr. dag) 3 3 Hvilke aktiviteter skal crashes og hvor meget? Intuitionen er, at vi skal crashe billige aktiviteter på den kritiske vej. Det indikerer, at vi skal crashe på aktivitet A. Crashing af A til 5 dage betyder godt nok at længden af den oprindelige kritiske vej er reduceret til 10 som ønsket, men en anden vej er i mellemtiden blevet kritisk (nemlig start C D E slut), og den indebærer en varighed af projektet på 11 dage. Vi har derfor brug for en mere systematisk procedure til bestemmelse af hvilke aktiviteter, der skal crashes, og hvor meget de skal crashes med. LP giver mulighed for en sådan procedure.

16 Lad os for hver aktivitet 3 introducere 2 variable: x 3 måler EF3 y 3 måler reduktion af varighed for aktivitet 3 p.g.a. crashing Bemærk: EF kan ikke længere beregnes som ovenfor, 3 fordi den afhænger af crashing af aktiviter! Husk nu, at EF é ES 3 3 YDULJKHGDIDNWLYLWHWL og at ES 3 IRUDNWLYLWHW3 HUVHQHVWHEF 4 EODQGWDOOHGHQV XPLGGHOEDUHIRUJ QJHUH 4

17 Følgende LP løser derfor crashing problemet i det lille eksempel: min 100yE 150yF 200yG 150yH 250yI s.t. xe ˆ 0 (7 y E) xf ˆ x E (3 y F) xg ˆ 0 (6 y G) xh ˆ x G (3 y H) ye ì 3 yf ì 1 yg ì 2 yh ì 2 y 1 xi ˆ x F (2 y I) xi ˆ x H (2 y I) I ì xi ì 10 x,x,x,x,x,y,y,y,y,y 0 E F G H I E F G H I ˆ Kriteriefunktionen indebærer, at de samlede crashomkostninger minimeres. Den første begrænsning siger, at det tidligste tidspunkt for afslutning af aktivitet E, er givet ved E's varighed (der er aktivitetens normale varighed minus antal dage, der er crashed) plus det tidspunkt hvor E's umiddelbare forgænger (start noden) er afsluttet. Den anden begrænsning siger, at det tidligste tidspunkt for afslutning af aktivitet F, er givet ved F's varighed plus det tidspunkt hvor F's umiddelbare forgænger E er afsluttet. Tredie og fjerde begrænsning læses tilsvarende. Bemærk, at der er indført 2 begrænsninger af denne type for aktivitet I. Det skyldes, at I har to umiddelbare forgængere, nemlig Fog HÆAktivitet I kan derfor ikke sættes i gang, før både F og H er afsluttede. Begrænsningerne 7-11 siger, at det ikke er muligt at crashe en aktivitet mere end forskellen mellem normal varighed og kortest mulig varighed. Begrænsning 12 siger, at projektets sidste akivitet I skal være afsluttet tidspunkt 10. Og de sidste begrænsninger er blot krav om ikke-negative crash- og EF-tider.

18 Generalisering af LP til løsning af crashing problemet: min! K y normal s.t. x3 ˆ x 4 (t3 y 3) for alle 3og for alle 4, der er umiddelbar forgænger for 3 normal crash y ì t t x 3 ìx for det 3der er projektets sidste aktivitet x 3, y 3 ˆ! for alle 3 normal Her angiver t 3 den normale varighed af aktivitet 3 (d.v.s. crash varighed uden crashing) og t 3 varigheden ved maximal crashing. X er en fast parameter, der måler den ønskede varighed af projektet. Kriteriefunktionen indebærer, at de samlede crashomkostninger minimeres. Den første begrænsning siger, at det tidligste tidspunkt for afslutning af en aktivitet 3, er givet ved varigheden af aktivitet 3 (der er aktivitetens normale varighed minus antal dage, der er crashed) plus det tidspunkt hvor enhver af 3 s umiddelbare forgængere er w afsluttet. Den anden begrænsning siger, at det ikke er muligt at crashe en aktivitet mere end forskellen mellem normal varighed og kortest mulig varighed. Den tredie begrænsning siger, at den aktivitet, der slutter projektet, senest skal være afsluttet tidspunkt X. Og den sidste begrænsning siger, at negative crashtider og EF-tider ikke kan forekomme.

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Hvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges

Hvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Er det en god idé? Hvad har vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse

Læs mere

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING

Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Hvad Er det en god har idé? vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Profitten i det første år kan da beregnes som (i kr.)

Profitten i det første år kan da beregnes som (i kr.) Chapter 13: Simulation Simulation er en kvantitativ metode til bestemmelse af et real life systems basale karakteristika under usikkerhed v.h.a. eksperimenter indenfor en modelramme, der repræsenterer

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer

Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder

Læs mere

Test nr. 5 af centrale elementer 02402

Test nr. 5 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført

Læs mere

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen

Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet

NOTAT. Projekt om rejsetidsvariabilitet NOTAT Dato J. nr. 15. oktober 2015 2015-1850 Projekt om rejsetidsvariabilitet Den stigende mængde trafik på vejene giver mere udbredt trængsel, som medfører dels en stigning i de gennemsnitlige rejsetider,

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter

Læs mere

Formålet med dette notat er at danne grundlag for denne beslutning. Notatet består af følgende 4 afsnit:

Formålet med dette notat er at danne grundlag for denne beslutning. Notatet består af følgende 4 afsnit: Notat Vedrørende: Notat om valg mellem statsgaranti og selvbudgettering i 2017 Sagsnavn: Budget 2017-20 Sagsnummer: 00.01.00-S00-5-15 Skrevet af: Brian Hansen E-mail: brian.hansen@randers.dk Forvaltning:

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

a) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?

a) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl? Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

Sandsynlighed og Statistik

Sandsynlighed og Statistik 36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Løsning til eksamen 16/

Løsning til eksamen 16/ 1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens

Oversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,

Læs mere

Test nr. 4 af centrale elementer 02402

Test nr. 4 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Statistiske principper

Statistiske principper Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 12. februar 2007 Kvantitative metoder 2: F3 1 Program for i dag: Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-2) Opsamling

Læs mere

Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet.

Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet. Bilag 2 - Følsomhedsanalyse af netvolumenmålet Bilaget indeholder en teknisk gennemgang af følsomhedsanalysen af netvolumenmålet. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 FØLSOMHEDSANALYSEN...

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata

1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata 1 Intoduktion Før man springer ud i en øvelse om paneldata og panelmodeller, kan det selvfølgelig være rart at have en fornemmelse af, hvorfor de er så vigtige i moderne mikro-økonometri, og hvorfor de

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh123-mat/b-17122012 Mandag den 17. december 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Teknisk bilag til Aftale om servicemål for kommunal erhvervsrettet sagsbehandling

Teknisk bilag til Aftale om servicemål for kommunal erhvervsrettet sagsbehandling Teknisk bilag til Aftale om servicemål for kommunal erhvervsrettet sagsbehandling Regeringen og KL er enige om at nedbringe sagsbehandlingstiderne for erhvervsrettede myndighedsopgaver i kommunerne med

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Bilag 3. Notat. BORGMESTERENS AFDELING Aarhus Kommune. Valg mellem statsgaranti og selvbudgettering for Drøftelse ved 2.

Bilag 3. Notat. BORGMESTERENS AFDELING Aarhus Kommune. Valg mellem statsgaranti og selvbudgettering for Drøftelse ved 2. Bilag 3 Notat Side 1 af 7 Til Til Byrådet Drøftelse ved 2. Fællesmøde Valg mellem statsgaranti og selvbudgettering for 2016 Byrådet skal ved vedtagelsen af budgettet træffe et valg mellem selvbudgettering

Læs mere

Modul 12: Exercises. 12.1 Sukkersygepatienters vægt

Modul 12: Exercises. 12.1 Sukkersygepatienters vægt Modul 12: Exercises 12.1 Sukkersygepatienters vægt............... 1 12.2 Newfoundlandske kvinders blodtryk.......... 4 12.3 Korrelationskoefficient.................. 6 12.4 Højde og vægt......................

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π

Læs mere

Multipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression

Multipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende

Læs mere

Bilag 4. Notat. Valg mellem selvbudgettering og statsgaranti for 2014. 1. Fællesmøde mellem Magistraten og Økonomiudvalget.

Bilag 4. Notat. Valg mellem selvbudgettering og statsgaranti for 2014. 1. Fællesmøde mellem Magistraten og Økonomiudvalget. Bilag 4 Notat Til: Kopi: til: 1. Fællesmøde mellem Magistraten og Økonomiudvalget Byrådets medlemmer Aarhus Kommune Borgmesterens Afdeling Den 12. september 2013 Valg mellem selvbudgettering og statsgaranti

Læs mere

Bilag 7 - Revideret tidsplan for Femern Bælt-projektet kyst-kyst

Bilag 7 - Revideret tidsplan for Femern Bælt-projektet kyst-kyst Bilag 7 - Revideret tidsplan for Femern Bælt-projektet kyst-kyst 1. Indledning Som varslet i Aktstykke 140 (afgjort den 3. juni 2010) har Femern A/S på baggrund af drøftelser med de danske og tyske myndigheder

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

! Husk at udfylde spørgeskema 3. ! Lineær sandsynlighedsmodel. ! Eksempel. ! Mere om evaluering og selvselektion

! Husk at udfylde spørgeskema 3. ! Lineær sandsynlighedsmodel. ! Eksempel. ! Mere om evaluering og selvselektion Dagens program Økonometri 1 Dummy variable 4. marts 003 Emnet for denne forelæsning er kvalitative variable i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.5-7.6+8.1)! Husk at udfylde spørgeskema 3!

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

2 0.9245. Multiple choice opgaver

2 0.9245. Multiple choice opgaver Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for i dag: Kvantitative metoder Beskrivende statistik og analyse af kvalitatitive data 1. februar 007 Test i multinomialfordelingen: Q-testet (BL.13.1-) Opsamling fra sidste gang To eksempler To-dimensionale

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater

Læs mere

Hvad har vi lært? 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI. Torsdag: Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Er det en god idé?

Hvad har vi lært? 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI. Torsdag: Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Er det en god idé? Torsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI Er det en god idé? Hvad har vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål)

Læs mere

Mantel-Haenszel analyser. Stratificerede epidemiologiske analyser

Mantel-Haenszel analyser. Stratificerede epidemiologiske analyser Mantel-Haensel analyser Stratificerede epidemiologiske analyser 1 Den epidemiologiske synsvinkel: 1) Oftest asymmetriske (kausale) sammenhænge (Eksposition Sygdom/død) 2) Risikoen vurderes bedst ved hjælp

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere