13. december. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP = P fås 1 million dollar

Transkript

1 3. december Datalogiens største spørgsmål NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polnomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses hvorfor? NP = P er et af datalogiens største åbne problemer Det vrimler med problemer som ikke kan løses effektivt Det er ikke nemt at se forskel på svære og lette problemer Reduktion (transformation) er generelt anvendelig (NP = P forekommer i The Simpsons ) Hvis kan bevise NP = P fås million dollar Prie Problems/ MILLENNIUM PRIZE PROBLEMS Statement from the Directors and Scientific Advisor Board Birch and Swinnerton-Der Conjecture Hodge Conjecture Navier-Stokes Equations P vs NP Poincare Conjecture Riemann Hpothesis Yang-Mills Theor Rules etc In order to celebrate mathematics in the new millennium, The Cla Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI) has named seven?millennium Prie Problems.? The Scientific Advisor Board of CMI selected these problems, focusing on important classic questions that have resisted solution over the ears. The Board of Directors of CMI have designated a $7 million prie fund for the solution to these problems, with $ million allocated to each. During the Millennium meeting held on Ma 24, 2000 at the Collège de France, Timoth Gowers presented a lecture entitled?the Importance of Mathematics,? aimed for the general public, while John Tate and Michael Atiah spoke on the problems. The CMI invited specialists to formulate each problem. One hundred ears earlier, on August 8, 900, David Hilbert delivered his famous lecture about open mathematical problems at the second International Congress of Mathematicians in Paris. This influenced our decision to announce the millennium problems as the central theme of a Paris meeting. The rules that follow for the award of the prie have the endorsement of the CMI Scientific Advisor Board and the approval of the Directors. The members of these boards have the responsibilit to preserve the nature, the integrit, and the spirit of this prie. Millennium Prie Problem.ram Paris, Ma 24, 2000 Please send inquiries regarding the Millennium Prie Problems to prie.problems@clamath.org. Birch and Swinnerton-Der Conjecture Hodge Conjecture Navier-Stokes Equations P vs NP 2 Effektive algoritmer Gare og Johnson Lette og svære problemer P (let) Euler ccle Given a graph G = (V, E). Is there a ccle which visits each edge exactl once? Shortest path Given a weighted graph G = (V,E,c). Is there a path from a to b with length k? Edge cover Given a graph G = (V,E). Is it possible to choose k edges so ever node is incident to a chosen edge? Chinese postman Given a weighted graph G = (V,E,c). Is there a ccle which visits each edge at least once and has length k? 2CNF-SAT Given a boolean expression in 2CNF-form. Is it possible to assign truth values to variables so expression becomes true? NP -fuldstændig (svær) Hamilton ccle Given a graph G = (V,E). Is there a ccle which visits each node exactl once? Longest path Given a weighted graph G = (V,E,c). Is there a path from a to b with length k? Node cover Given a graph G = (V,E). Is it possible to choose k nodes so ever edge is incident to a chosen node? Traveling salesman Given a weighted graph G = (V,E,c). Is there a ccle which visits each node at least once and has length k? 3CNF-SAT Given a boolean expression in 3CNF-form. Is it possible to assign truth values to variables so expression becomes true? 3 4

2 Oversigt Afgørlighedsproblemer Hvad er P, NP og NP -fuldstændighed Eksistens af NP -fuldstændigt problem Bevis af NP -fuldstændighed ved reduktion Grænsen mellem NP -fuldstændigt og P Løsning af NP -fuldstændige problemer Branch-and-bound Approximation (Meta)heuristikker Formalisme Nemt at nå fejlagtige konklusioner. Derfor stringent formalisme. Abstrakt problem Probleminstans SHORTEST-PATH Optimeringsproblem for generelt Afgørlighedsproblem Nemt at transformere løsninger Intet tab af generalitet 5 6 Afgørlighedsproblem Alfabet: Instans: PATH = { < G,u,v,k >: G = (V, E) is an undirected graph u,v V, k 0 is an integer, there exists a path from u to v in G whose lenght is at most k} { } ciffer, {, },, 2 4 I = < {,2,3,4},{{,2},{2,3},{3,4},{,4}},,3,2 > Afgørlighedsproblemet: PATH(I) =? 7 3 Probleminstans, effektiv kodning Ideelt set skulle vores argumentation være uafhængig af inddataformat. Men inddataformat har betdning. Primtalstest Input: tal k For i = to k do prøv om i k Kodning af input unær kodning n = Θ(k) Θ(n) binær kodning n = Θ(log 2 k) Θ(2 n ) decimal kodning n = Θ(log 0 k) Θ(0 n ) unit cost kodning n = Θ()? Standard kodning < G > Effektiv (binær eller polnomielt relateret) Polnomielt relaterede kodninger Krav: findes polnomiel tids funktioner som afbilder instanser mellem de to kodninger. 8

3 Afgørlighedsproblemer som sprog Genkendelse med algoritmer Afgørlighedsproblem: instans {0, } Instans: alfabet ( { }, tal) Binært alfabet: Σ = {0, } Σ = {ε,0,,00,0,0,,000,...} Afgørlighedsproblem er et sprog L L = {x Σ problem(x) = } Σ L 0 Streng x Σ accepteres (genkendes) af algoritme A A standser med værdien x A Streng x Σ afvises af algoritme A x Note Hvis streng x Σ ikke repræsenterer en instans ( sntaxfejl ) returneres 0. 9 A standser med værdien 0 A 0 0 Genkendelse med algoritmer Sprog L = afgørlighedsproblem Sprog L accepteres (genkendes) af algoritme A x L : x accepteres af A {0, } Accept i polnomiel tid L accepteres i polnomiel tid af en algoritme A k : x L, x = n : x accepteres af A i tid O(n k ) L afgøres i polnomiel tid af en algoritme A k : x {0,}, x = n : x accepteres eller afvises af A i tid O(n k ) L Klassen P er mængden af sprog L for hvilke der findes en algoritme A som afgør L i polnomiel tid. Sprog L afgøres af algoritme A x {0,} : x accepteres eller afvises af A {0,} {0, } L 0 L 0 2

4 Accept i polnomiel tid Verifikation afgøres polnomiel tid x L x L 0 accepteres polnomiel tid x L Verificere : at bekræfte at en forelagt potentiel løsning vitterlig er en løsning. Certifikat : ægte løsning Husk L accepteres i polnomiel tid af A c,k,n : x L, x = n : x accepteres af A i tid cn k for n > n L afgøres i polnomiel tid af A Bevis c,k,n : x {0,}, x = n : x accepteres eller afvises af A i tid cn k for n > n oplagt Antag n > n. For givne konstanter c,k lad algoritme køre i tid cn k. Hvis ej standset udskriv 0. HAM-CYCLE = { < G >: G har en Hamilton kreds} Certifikat : liste af knuder (v,v 2,...,v n ) Verificere : kontroller (v,v 2,...,v n ) er Hamilton kreds 3 4 Verifikation Verifikation Algoritme A: ordinært input x, ekstra input x Bemærk P NP A A verificerer x hvis der findes så A accepterer (x,) HAM-CYCLE er i klassen NP. Sproget L verificeret af A er {x L : {0,} så A accepterer (x,)} NP er klassen af problemer for hvilke der findes polnomiel-tids verificerende algoritme. L NP hvis og kun hvis der eksiterer polnomiel verifikationsalgoritme A, og konstant c så x L,, = O( x c ) : A accepterer (x,) 5 6

5 Nondeterministisk polnomiel Historisk: NP er klassen af problemer der kan løses af en nondeterministisk Touring Maskine i polnomiel tid. NP og co-np co-np er mængden af sprog L så L NP hvor komplement L = {x Σ problem(x) = 0} A δ(p,a) = (q,b,d) Når i tilstand p læser smbol a : skriv smbol b, flt i retning d, og antag tilstand q. δ(p,a) = (q,b,d ) (q 2,b 2,d 2 )... (q m,b m,d m ) HAM-CYCLE = {< G >: G is a hamiltonian graph} HAM-CYCLE-COMPLEMENT = {< G >: G is a not a hamiltonian graph} formentlig ikke i NP. Certifikat? 7 8 NP og co-np Oplagt at P co-np. Reduktion At løse et problem v.h.a. et andet Parring i todelt graf: BIP-MATCH Givet et NP -fuldstændigt problem L. Hvis L NP så er NP = co-np. Find en parring M (i.e. en delmængde af kanter så ingen har fælles endepunkter) med flest mulige kanter. s BIP-MATCH MAX-FLOW t f er max strømning med heltallig værdi. midterste kanter udgør en maximal parring. 9 20

6 Reduktion L L 2 f : {0,} {0,}, x L hvis og kun hvis f (x) L 2 Reduktion Hvis (L pol L 2 og L 2 P ) så L P {0, } {0,} L L 2 {0,} {0,} f L L 2 0 τ Polnomiel reduktion L pol L 2 f er polnomieltids afbildning 2 22 NP -fuldstændige problemer Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt Q NP 2 R NP : R pol Q Et problem som opflder (2) kaldes NP -hårdt. Eksistens af NP -fuldstændigt problem Alle problemer i NP skal kunne reduceres til Q Ethvert NP -problem har polnomiel verifikationsalgoritme En verifikationsalgoritme kan afvikles på en computer Naivt gæt: Computeren er NP -fuldstændig Computeren som et kredsløb Sætning Hvis der findes et NP -fuldstændigt problem som er løseligt i polnomiel tid, så er NP = P. Hvis et problem i NP ikke kan løses i polnomiel tid så kan ingen NP -fuldstændige problemer løses i polnomiel tid. En computer består af gates x NOT AND OR x 0 0 x x x x NP N P C P 23 24

7 Circuit satisfiabilit Circuit satisfiabilit er i NP x 3 Certifikat Y = {x,...,x n } virker ikke x x Certifikat Y = {x,...,x n,,..., m } virker CIRCUIT-SAT: Givet et kredsløb, er det muligt at tildele værdier {0,} til indgangene x,...,x n så udgangen bliver x 3 x 3 x Verifikations algoritme: check alle gates, input og output. Kører i polnomiel tid. x Ovenstående instans har ingen tilfredsstillende tildeling Computeren som et kredsløb Circuit satisfiabilit er NP -fuldstændig, 2,..., n clock CPU algoritme A PC registre instans X certifikat Y variable V CPU Afvikling af verifikationsalgoritme A på computer En polnomiel algoritme A er ikke længere end X k. En polnomiel algoritme bruger ikke mere plads (variable) end X k CPU, central processing unit udfører aritmetisk-logiske operationer i hver klokcklus konstant antal gates, random access memor kan lagre algoritme A, instans X, certifikat Y, variable V, output Z A polnomiel i X Y polnomiel i X V polnomiel i X OUTPUT Værdi {0,} skrives til konstant antal gates 27 algoritme A PC registre instans X certifikat Y variable V CPU algoritme A PC registre instans X certifikat Y variable V CPU algoritme A PC registre instans X certifikat Y variable V 28 output

8 Resume Abstrakt problem: problemtpe Konkret problem, problem instans Kodning: effektiv (binær eller pol. relateret til binær) Abstrakte problemer: sprog over {0,} P = {L : L accepteres af en algoritme i polnomiel tid} x L verificeres af en algoritme hvis der findes certificat så algoritmen accepterer (x,) NP = {L : L verificeres af en polnomiel tids algoritme A} P NP Q er NP -fuldstændig hvis Q NP og R NP : R pol Q CIRCUIT-SAT er NP -fuldstændig. Store spørgsmål P = NP? 29