Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet

Transkript

1 , den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet Videregående algoritmik Cormen et al Fredag den 19. december 2008

2 1 N P-fuldstændige problemer

3 1 N P-fuldstændige problemer 2 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP

4 1 N P-fuldstændige problemer 2 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP 3

5 Overordnet plan for reduktioner Plan: CIRCUIT-SAT SAT 3-CNF-SAT 3 CLIQUE VERTEX-COVER HAM-CYCLE TSP SUBSET-SUM

6 N P-fuldstændige problemer Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP En hamiltonkreds (hamiltonian cycle) i en graf er en kreds, der netop besøger hver af knuderne en gang. Som afgørlighedsproblem: HAM-CYCLE = { G G har en hamiltonkreds} En systematisk kombinatorisk dybde-først-gennemsøgning fra knude til knude ville være meget ineffektiv. Men: Sætning HAM-CYCLE N P Bevis Brug en påstået hamiltonkreds som attest; let at kontrollere (i polynomiel tid)

7 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (1) Nu godtgøres VERTEX-COVER pol HAM-CYCLE. For en forelagt graf G = (V, E) og et heltal k skal vi med andre ord anvise en graf G = (V, E ), der netop har en hamiltonkreds, hvis G har en knudeoverdækning af størrelse k. For hver kant (u, v) E konstrueres en widget (tingest, dims, dippedut, dingenot) W uv med 12 knuder og 14 kanter: For en kant (u, v) E benævnes de 12 knuder [u, v, 1], [u, v, 2],..., [u, v, 6], [v, u, 1], [v, u, 2],..., [v, u, 6]. Da grafen er ikke-orienteret, er (u, v) samme kant som (v, u) (burde egentlig skrives {u, v}), og man kan vælge at opfatte W uv som W vu.

8 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (2) V består af s 1,..., s k samt af knuderne i W uv, (u, v) E.

9 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (2) V består af s 1,..., s k samt af knuderne i W uv, (u, v) E. Som et eksempel vil denne knudeoverdækningsinstans give anledning til knuderne herunder

10 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (3) For hver knude u V vælges en ordning ((u, u (1) ), (u, u (2) ),..., (u, u (deg(u)) )) af kanterne incidente med knuden.

11 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (3) For hver knude u V vælges en ordning ((u, u (1) ), (u, u (2) ),..., (u, u (deg(u)) )) af kanterne incidente med knuden. Denne (vilkårlige) ordning bruges i definitionen af E : E består af tre typer kanter: 1 Kanterne i W uv erne 2 Kanter ([u, u (i), 6], [u, u (i+1), 1]) for alle u V, 1 i < deg(u) 3 Kanter (s j, [u, u (1), 1]) og ([u, u (deg(u)), 6], s j ) for alle u V, 1 j k

12 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (3) For hver knude u V vælges en ordning ((u, u (1) ), (u, u (2) ),..., (u, u (deg(u)) )) af kanterne incidente med knuden. Denne (vilkårlige) ordning bruges i definitionen af E : E består af tre typer kanter: 1 Kanterne i W uv erne 2 Kanter ([u, u (i), 6], [u, u (i+1), 1]) for alle u V, 1 i < deg(u) 3 Kanter (s j, [u, u (1), 1]) og ([u, u (deg(u)), 6], s j ) for alle u V, 1 j k Konstruktionen kan foretages i polynomiel tid; specielt optælles V = 12 E + k 12 E + V E = 14 E + (2 E V ) + 2k V = 16 E + (2k 1) V 16 E + (2 V 1) V

13 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (4) Vi gør eksemplet færdigt. De valgte ordninger er: fra w : ((w, x), (w, y), (w, z)), fra x : ((x, w), (x, y)), fra y : ((y, x), (y, w)), fra z : ((z, w)).

14 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (5) Fra delgraferne W uv er det kun knuderne [u, v, 1], [v, u, 1], [u, v, 6] og [v, u, 6], der forbindes udadtil. En eventuel hamiltonkreds i G må derfor internt inden for W uv forløbe på en af følgende måder:

15 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (5) Fra delgraferne W uv er det kun knuderne [u, v, 1], [v, u, 1], [u, v, 6] og [v, u, 6], der forbindes udadtil. En eventuel hamiltonkreds i G må derfor internt inden for W uv forløbe på en af følgende måder: Egentlig er der kun to forskellige måder: Idet (u, v) og (v, u) jo er samme kant, er også W uv = W vu og (b) = (d) (ved u v).

16 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (6) Lemma For alle 1 i, j k findes der i G for hvert u V en vej P iuj fra s i til s j, som ikke indeholder indre punkter af form s l. Disse veje er de eneste fra s i til s j, som ikke indeholder indre punkter af form s l, og pånær forløbet gennem delgraferne W vw er de entydige.

17 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (6) Lemma For alle 1 i, j k findes der i G for hvert u V en vej P iuj fra s i til s j, som ikke indeholder indre punkter af form s l. Disse veje er de eneste fra s i til s j, som ikke indeholder indre punkter af form s l, og pånær forløbet gennem delgraferne W vw er de entydige. Bevis Ved inspektion af de forskellige kanttyper. W vw Kanter gennem W vw ; forløb som enten (b) eller (c) ovenfor (2) Kant af type 2 (3) Kant af type 3 P iuj = s i (3)[u, u (1), 1]W uu (1)[u, u (1), 6](2)[u, u (2), 1]W uu (2)[u, u (2), 6]... (2)[u, u (deg(u)), 1]W uu (deg(u))[u, u (deg(u)), 6](3)s j

18 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (7) Sætning G, k VERTEX-COVER, hvis og kun hvis G HAM-CYCLE. Bevis

19 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (7) Sætning G, k VERTEX-COVER, hvis og kun hvis G HAM-CYCLE. Bevis Antag, U = {u 1,..., u k } overdækker G; da vil P 1u1 2P 2u P kuk 1 være en hamiltonkreds i G, idet vi udformer passagerne gennem delgraferne W vw som henholdsvis (b) eller (c), efter som kun det ene af punkterne v, w eller de begge ligger i overdækningen U.

20 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (7) Sætning G, k VERTEX-COVER, hvis og kun hvis G HAM-CYCLE. Bevis Antag, U = {u 1,..., u k } overdækker G; da vil P 1u1 2P 2u P kuk 1 være en hamiltonkreds i G, idet vi udformer passagerne gennem delgraferne W vw som henholdsvis (b) eller (c), efter som kun det ene af punkterne v, w eller de begge ligger i overdækningen U. Hvis der omvendt er forelagt en hamiltonkreds i G, vil den efter tur gå gennem en permutation s p(1), s p(2),..., s p(k) af knuderne s l og derfor have form P p(1)u1 p(2)p p(2)u2 p(3)... P p(k)uk p(1). Men så vil {u 1, u 2,..., u k } overdække G.

21 Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE (7) Sætning G, k VERTEX-COVER, hvis og kun hvis G HAM-CYCLE. Bevis Antag, U = {u 1,..., u k } overdækker G; da vil P 1u1 2P 2u P kuk 1 være en hamiltonkreds i G, idet vi udformer passagerne gennem delgraferne W vw som henholdsvis (b) eller (c), efter som kun det ene af punkterne v, w eller de begge ligger i overdækningen U. Hvis der omvendt er forelagt en hamiltonkreds i G, vil den efter tur gå gennem en permutation s p(1), s p(2),..., s p(k) af knuderne s l og derfor have form P p(1)u1 p(2)p p(2)u2 p(3)... P p(k)uk p(1). Men så vil {u 1, u 2,..., u k } overdække G. I forbindelse med det tidligere resultat HAM-CYCLE N P følger heraf HAM-CYCLE N PC.

22 Den handelsrejsendes problem Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP For en ikke-orienteret graf med heltallige kantvægte søges den billigste rundtur (dvs. hamiltonkreds). Uønskede kanter kan gøres urimeligt dyre, så vi kan lige så godt antage grafen fuldstændig, det vil sige c : V V Z. Som afgørlighedsproblem: TSP = { n, c, k K n har en hamiltontur, der højst koster k} Sætning TSP N P Bevis Turen kan bruges som attest

23 Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Sætning HAM-CYCLE pol TSP Bevis For { en forelagt graf G = (V, E) defineres 0 hvis (u, v) E c(u, v) = og k = 0. 1 hvis (u, v) / E Instans af HAM-CYCLE Instans af TSP

24 Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Sætning HAM-CYCLE pol TSP Bevis For { en forelagt graf G = (V, E) defineres 0 hvis (u, v) E c(u, v) = og k = 0. 1 hvis (u, v) / E Instans af HAM-CYCLE Instans af TSP Konstruktionen af ( V, c, k) kan foretages i polynomiel tid.

25 Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Reduktion af VERTEX-COVER til HAM-CYCLE Reduktion af HAM-CYCLE til TSP Sætning HAM-CYCLE pol TSP Bevis For { en forelagt graf G = (V, E) defineres 0 hvis (u, v) E c(u, v) = og k = 0. 1 hvis (u, v) / E Instans af HAM-CYCLE Instans af TSP Konstruktionen af ( V, c, k) kan foretages i polynomiel tid. G har en hamiltonkreds, hvis og kun hvis K V har en rundtur med omkostning 0. Sætning TSP N PC.

26 Betragt {4, 7, 10, 12, 15, 24}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38?

27 Betragt {4, 7, 10, 12, 15, 24}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38?

28 Betragt {4, 7, 10, 12, 15, 24}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38? SUBSET-SUM = { (s 1,..., s n ), t m N 1 i 1 <...<i m n : m j=1 s i j = t} idet {n, s 1,..., s n, t} N.

29 Betragt {4, 7, 10, 12, 15, 24}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38? SUBSET-SUM = { (s 1,..., s n ), t m N 1 i 1 <...<i m n : m j=1 s i j = t} idet {n, s 1,..., s n, t} N. Sætning SUBSET-SUM N P Bevis Man kan bruge {i 1,..., i m } som attest

30 Betragt {4, 7, 10, 12, 15, 24}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38? SUBSET-SUM = { (s 1,..., s n ), t m N 1 i 1 <...<i m n : m j=1 s i j = t} idet {n, s 1,..., s n, t} N. Sætning SUBSET-SUM N P Bevis Man kan bruge {i 1,..., i m } som attest Sætning 3-CNF-SAT pol SUBSET-SUM

31 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (1) Bevis Vi får forelagt et udtryk ϕ = C 1... C k på 3-CN-form, det vil sige hver klausul C j er en disjunktion af netop tre litteraler (variable eller deres negation) dannet af logiske variable x 1,..., x n. Vi antager, ingen klausul både indeholder en variabel og dens negation, samt at alle variable bliver brugt.

32 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (1) Bevis Vi får forelagt et udtryk ϕ = C 1... C k på 3-CN-form, det vil sige hver klausul C j er en disjunktion af netop tre litteraler (variable eller deres negation) dannet af logiske variable x 1,..., x n. Vi antager, ingen klausul både indeholder en variabel og dens negation, samt at alle variable bliver brugt. Delmængdesumproblemet får 2n + 2k tal, nemlig to (som vi vil kalde v i og v i ) for hver logisk variabel x i og to (som vi vil kalde s j og s j ) for hver klausul C j. Disse addender tilligemed måltallet konstrueres som n + k-cifrede tal i titalssystemet, idet vi lader de enkelte cifre (fra venstre mod højre) svare til x 1,..., x n, C 1,..., C k.

33 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (2) Måltallet t skal have 1 i hvert ciffer svarende til en variabel og 4 i hvert ciffer svarende til en klausul. v i skal have 1 i cifferet svarende til x i og i cifre svarende til klausuler med x i og 0 på alle andre pladser. v i skal have 1 i cifferet svarende til x i og i cifre svarende til klausuler med x i og 0 på alle andre pladser. s j skal have 1 i cifferet svarende til C j og ellers 0 på alle andre pladser. s j skal have 2 i cifferet svarende til C j og ellers 0 på alle andre pladser. Forudsætningen om, at alle logiske variable bruges, og at ingen klausul både indeholder en variabel og dens negation, indebærer, at alle disse tal bliver forskellige.

34 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (3) Som et eksempel kodes dette logiske udtryk som delmængdesumproblem: ϕ = C 1 C 2 C 3 C 4 = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 )

35 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (3) Som et eksempel kodes dette logiske udtryk som delmængdesumproblem: ϕ = C 1 C 2 C 3 C 4 = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) Transformationen kan foretages i polynomiel tid (måltallets n + k cifre hver i O(1), de 2n + 2k addenders n + k cifre hver i O(k)).

36 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (4) Sætning ϕ har en tilfredsstillende tildeling, hvis og kun hvis det konstruerede delmængdesumproblem kan løses.

37 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (4) Sætning ϕ har en tilfredsstillende tildeling, hvis og kun hvis det konstruerede delmængdesumproblem kan løses. Bevis Bemærk først, at de enkelte cifferpladser kan adderes uden mente (blot grundtallet er 7; og vi har valgt grundtal 10).

38 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (4) Sætning ϕ har en tilfredsstillende tildeling, hvis og kun hvis det konstruerede delmængdesumproblem kan løses. Bevis Bemærk først, at de enkelte cifferpladser kan adderes uden mente (blot grundtallet er 7; og vi har valgt grundtal 10). kun hvis : Vælg de tal blandt {v 1, v 1,..., v n, v n}, som svarer til sande litteraler. (Så passer summen i de n mest betydende pladser.) Tilpas ved passende valg af {s 1, s 1,..., s k, s k }. (Hver af de k mindst betydende pladser bidrager allerede med 1, 2 eller 3.)

39 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (5) S = {1, 2, 10, 20, 100, 200, 1.000, 2.000, , , , , , }, t =

40 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (5) S = {1, 2, 10, 20, 100, 200, 1.000, 2.000, , , , , , }, t =

41 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (5) S = {1, 2, 10, 20, 100, 200, 1.000, 2.000, , , , , , }, t = x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0

42 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (5) S = {1, 2, 10, 20, 100, 200, 1.000, 2.000, , , , , , }, t = x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0 hvis : En delmængde S med sum t må for i = 1,..., n netop indeholde enten v i eller v i. Vælges sandhedsværdien af x i tilsvarende, vil tildelingen tilfredsstille ϕ. (For s j og s j kan højst bidrage til position j med en sum på 3.)

43 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (5) S = {1, 2, 10, 20, 100, 200, 1.000, 2.000, , , , , , }, t = x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0 hvis : En delmængde S med sum t må for i = 1,..., n netop indeholde enten v i eller v i. Vælges sandhedsværdien af x i tilsvarende, vil tildelingen tilfredsstille ϕ. (For s j og s j kan højst bidrage til position j med en sum på 3.) Sætning SUBSET-SUM N PC

44 Reduktion af 3-CNF-SAT til SUBSET-SUM (5) S = {1, 2, 10, 20, 100, 200, 1.000, 2.000, , , , , , }, t = x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0 hvis : En delmængde S med sum t må for i = 1,..., n netop indeholde enten v i eller v i. Vælges sandhedsværdien af x i tilsvarende, vil tildelingen tilfredsstille ϕ. (For s j og s j kan højst bidrage til position j med en sum på 3.) Sætning SUBSET-SUM N PC Samlinger af N P-fuldstændige problemer findes i Garey & Johnson: Computers and Intractability, a guide to the theory of NP-completeness, 1979 Pierluigi Crescenzi & Viggo Kann (eds.): A compendium of NP optimization problems, (Reference fra hjemmesiden)

45 En hemmelig kode skal være svær at bryde, så det kunne være en god ide at tage afsæt fra et N P-fuldstændigt problem! Vælg et så omfattende addendsystem S = {s 0,..., s n 1 }, at det bliver uoverkommeligt at prøve alle 2 n muligheder (det vil sige n 80), og send meddelelsen x = n 1 i=0 x i2 i som y = n 1 i=0 x is i. At genfinde x fra y, selv med kendskab til S, er umedgørligt.

46 En hemmelig kode skal være svær at bryde, så det kunne være en god ide at tage afsæt fra et N P-fuldstændigt problem! Vælg et så omfattende addendsystem S = {s 0,..., s n 1 }, at det bliver uoverkommeligt at prøve alle 2 n muligheder (det vil sige n 80), og send meddelelsen x = n 1 i=0 x i2 i som y = n 1 i=0 x is i. At genfinde x fra y, selv med kendskab til S, er umedgørligt. Men indkodningen skal have en bagdør, så den rette modtager kan afkode!

47 Strengt voksende addendmængde Betragt {2, 3, 6, 13, 27, 52}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38?

48 Strengt voksende addendmængde Betragt {2, 3, 6, 13, 27, 52}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38?

49 Strengt voksende addendmængde Betragt {2, 3, 6, 13, 27, 52}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38? Et addendmængde S = {s 1,..., s n } kaldes strengt voksende, hvis det for alle j = 1,..., n gælder, at j 1 i=1 s i < s j.

50 Strengt voksende addendmængde Betragt {2, 3, 6, 13, 27, 52}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38? Et addendmængde S = {s 1,..., s n } kaldes strengt voksende, hvis det for alle j = 1,..., n gælder, at j 1 i=1 s i < s j. Hvis S er strengt voksende, kan alle delmængdesum-problemer S, t løses efter det grådige princip: Betragt efter faldende størrelse hver addend, og medtag den, hvis der stadig er plads.

51 Strengt voksende addendmængde Betragt {2, 3, 6, 13, 27, 52}. Kan man herfra udvælge tal med sum 38? Et addendmængde S = {s 1,..., s n } kaldes strengt voksende, hvis det for alle j = 1,..., n gælder, at j 1 i=1 s i < s j. Hvis S er strengt voksende, kan alle delmængdesum-problemer S, t løses efter det grådige princip: Betragt efter faldende størrelse hver addend, og medtag den, hvis der stadig er plads. R. Merkle og M. Hellman foreslog i 1978 en metode, hvor en strengt voksende addendmængde (via modulo-regning) blev maskeret som et generelt umedgørligt problem til brug i et krypteringssystem med den beskrevne struktur.