K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

Transkript

1 K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri

2 Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten Odense SØ Telefon Telefx E-mil ef@ef.dk Internet opyright Enhver mngfoldiggørelse f tekst eller illustrtioner er forbudt i henhold til Lov om ophvsret. Forbudet gælder lle former for mngfoldiggørelse ved trykning, fotogrfering og elektronisk dtbehndling. Kontkt os! For t kunne forbedre kommende udgver vil vi meget gerne modtge kommentrer til bogen. Denne opfordring gælder lle brugere, lærere såvel som elever. Undervisningsbnken Denne bog er produceret ved hjælp f Erhvervsskolernes Forlgs Undervisningsbnk som findes på Internettet I denne vidensdtbse ligger mere end kpitler som kn smmensættes helt frit til bøger. Således kn en lærer nu blive redktør og dnne sit eget målrettede undervisningsmterile. æøåæøå æøåæøå æøåæøå

3 Indhold Plngeometri 1 Rumgeometri 9 Konstruktion 17 Pythgors 29 Trigonometri 35 Temopgver 51 Mssefylde 53 Formelsmling 55 Fcitliste 57 æøåæøå æøåæøå æøåæøå

4

5 Plngeometri Plngeometri rel og omkreds Rektngel 3 cm Omkreds (O): ( ) cm = 10 cm 2 cm rel (): (3 2) cm 2 = 6 cm 2 (Flden består ltså f 6 tern på hver 1 cm 2 ). go cdr irkel O = 2 π r = π r 2 r d r = rdius d = dimeter O = omkreds (Længden rundt om cirklen) = rel (Det ntl tern, flden består f) π = 3, ( π er den konstnt, mn skl gnge en cirkels dimeter med for t finde omkredsen f cirklen (O = π d)) go cdr Treknt h h rel () = 0,5 h g g g go cdr Prllelogrm Trpez h = h g h = 0,5 h ( + b) g g go cdrgo cdr Erhvervsskolernes Forlg go060.fm

6 Plngeometri Opgver 1. eregn rel og omkreds f disse 2 rektngler. 4 m 6,2 m 3 m 1,9 m go cdr 2. eregn rel og omkreds f dette kvdrt. 3. eregn omkreds og rel f et kvdrt med siden 7,5 m. 12 m go cdr 4. eregn relet f disse 2 treknter. 4,5 m h = 25 m 10,2 m 70 m go cdr 5. eregn omkreds og rel f disse 2 cirkler. r = 8m r = 20,5 m go cdr 6. En plde ser ud som på tegningen. eregn pldens rel. 560 mm 320 mm 870 mm go cdr 7. eregn relet f prllelogrmmet. 25 mm 40 mm go cdr 2 Erhvervsskolernes Forlg - go060.fm

7 Plngeometri 8. eregn det skrverede rel. 80 cm 1,6 m go cdr 9. eregn relet f trpezet. = 5 cm 3 cm h b = 8 cm go cdr 10. eregn det skrverede rel. 0,8 m 1,2 m 2,3 m go cdr 11. Mål dimeteren, og beregn omkreds og rel f disse 3 cirkler b c go cdr 12. eregn de skrverede reler på de 2 tegninger. 64 mm r = 28 mm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go060.fm

8 Plngeometri 13. Tegningen viser en kvdrtisk plde.. eregn kvdrtpldens rel. b. eregn cirkelpldens rel. c. Hvor stort er spildet? 320 cm go cdr 14. Tegningen viser 2 koncentriske cirkler (cirkler, som hr smme centrum). R = 23 mm og r = 18 mm. Hvor stort er det frvede rel? r R go cdr 15. En plde udskæres efter mål, som vist på tegningen. Hvor stor er pldens rel? 0,8 m 1,1 m 0,5 m 1,9 m go cdr 16. Tegningen viser en udskåret pldedel. estem pldens rel. lle mål er i mm go cdr 17. En plde hr mål som tegningen. lle mål er i mm. eregn det skrverede rel. 56, ,4 75,4 go cdr 4 Erhvervsskolernes Forlg - go060.fm

9 Plngeometri 18. eregn relet f det skrverede område på nedenstående plde (mål i mm). 184 Huller d = 16 24,5 go cdr 19. eregn omkreds og rel f det frvede område. 586 mm 122 mm go cdr 20. Tegningen viser en udskåret plde. eregn pldens rel. 230 mm 340 mm 160 mm go cdr 21. relet f en cirkel er 615,75 cm 2 b. eregn cirklens rdius. c. eregn cirklens omkreds. = 615,75 cm 2 go cdr 22. Rektnglet på tegningen hr et rel, der er 3 gnge så stort som cirklens. eregn cirklens rdius. 130 mm 280 mm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go060.fm

10 Plngeometri Kegler eregning f cirkelbue 40 r = 140 mm Længden f den cirkelbue, de 40 spænder over, ønskes beregnet. irklens omkreds beregnes: O = 879,65 mm irkelbuen: ,65 mm = 97,74 mm go cdr eregning f cirkeludsnit 40 r = 140 mm relet f det cirkeludsnit, de 40 spænder over, ønskes beregnet. irklens rel beregnes: = ,22mm 2 rel f cirkeludsnit: ,22mm = 6 841,69 mm 2 go cdr eregning f overflde s = 800 mm 425 mm Overflden f en kegle beregnes med formlen: O = π r s hvor r = rdius i keglens grundflde og s = keglens sidelængde. Eksempel O = π 425 mm 800 mm O = ,5 mm 2 go cdr 6 Erhvervsskolernes Forlg - go060.fm

11 Plngeometri Opgver 23. Et cirkeludsnit (65 ) skæres f en cirkelformet plde.. eregn cirkeludsnittets rel. b. eregn længden f den cirkelbue, de 65 spænder over. 65 r = 390 mm go cdr 24. eregn den krumme overflde f de 2 kegler. 700 mm 200 mm 400 mm 120 mm go cdr 25. Hvor mnge mm 2 plde skl nvendes for t fremstille denne keglestub med bund og låg? 200 mm 275 mm 150 mm go cdr 26. På et værksted skl der udklippes et emne til en keglekonstruktion. Emnet er et cirkelring-udsnit. v = 290 Emnet hr disse mål: r = 175 mm R = 350 mm v = 290 R r På et værksted vælges en pldestørrelse på mm. Hvor stor en procentdel f plden udnyttes? go cdr! Erhvervsskolernes Forlg go060.fm

12 Plngeometri 8 Erhvervsskolernes Forlg - go060.fm

13 Rumgeometri Rumgeometri eregning f rumfng (V) V = G h h V= rumfng G = grundfldens rel h = højden b Eksempel 90 mm N Højden skl ltid stå vinkelret på grundflden. emærk ved tegningen: Grundflden (G) = b Højden = h V = G h V = (140 mm 540 mm) 90 mm V = mm mm 140 mm go cdr Opgver 1. eregn rumfng (V) f en ksse med målene: Længde = 550 mm redde = 400 mm Højde = 150 mm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go061.fm

14 Rumgeometri 2. En ksse hr dimensionerne 80 mm, 170 mm og 320 mm.. eregn kssens rumfng. b. eregn kssens smlede overflde go cdr 3. eregn rumfnget f en terning, hvis kntlængde er 150 mm go cdr 4. eregn rumfnget f terninger, hvis kntlængde er:. 2,6 cm b. 105 mm c. 0,8 m d. 12 dm V =? go cdr 5. eregn kntlængden i en terning, hvis rumfng er:. 27 mm 3 b. 125 cm 3 c mm 3 d. 274,625 cm 3 e m 3 3 (Prøv t finde på din lommeregner).??? go cdr 6. En glsprisme hr mål, som vist på tegningen.. eregn prismets rumfng. Mssefylden for gls er: 2,6 g/cm 3. b. eregn prismets msse. 5 cm 5cm 13 cm go cdr 7. Hvilken msse vil prismet i opgve 6 hve, hvis det er fremstillet i jern? Mssefylde for jern er 7,86 G/cm Erhvervsskolernes Forlg - go061.fm

15 Rumgeometri 8. Udregn rumfnget f en cylinder, hvis:. Grundflden (G) hr relet 68 cm 2, og højden er 18 cm lng. b. Grundflden (G) hr relet 94 cm 2, og højden er 12,7 cm lng. c. Grundflden (G) hr relet 288 cm 2, og højden er 6,6 dm lng. G h go cdr 9. En cylinder hr højden 44 cm. eregn rumfnget f cylinderen, hvis rdius i grundflden er:. 12 cm b. 7,8 dm c. 1,2 m h r go cdr 10. En cylindrisk olietønde hr indvendige mål, som vist på tegningen. Mssefylde olie: 0,9 g/cm 3. Den tomme tønde vejer 28,5 kg.. Hvor mnge liter kn tønden rumme? b. Hvor meget vejer tønde + olie smlet? h = 2 dm d = 75 cm go cdr 11. En fbrik skl fremstille cylindriske dåser. Dåserne skl kunne rumme 2,5 liter. Dimeteren på dåsen skl være 1,6 dm. Hvor høj skl dåsen være? Rumfng 2,5 l d = 1,6 dm go cdr 12. Den krumme overflde på en cylindrisk dåse foldes ud. Målene er, som vist på tegningen. Hvor stort er dåsens rumindhold i liter? ØL ØL 34 cm 12 cm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go061.fm

16 Rumgeometri Rør r R Tegningen viser tværsnittet f et metlrør: relet f tværsnittet (skrveret) udregnes med formlen: = π (R 2 r 2 ) go cdr Opgver 13. Tegningen viser et rør.. eregn tværsnitsrelet (skrveret) f det skitserede rør, når R = 13,5 mm og r = 11,0 mm. b. eregn rumfnget f jernmssen, når længden f røret er 2,5 m. c. eregn rørets msse, når mssefylden for jern er 7,86 g/cm 3. (7,86 g/cm 3 = 7,86 kg/dm 3 = 7,86 t/m 3 ). d. Røret fyldes med olie (mssefylde: 0,9 g/cm 3 ). Hvor mnge cm 3 olie kn røret indeholde? e. Hvd vejer olien? l = 2,5 m go cdr 14. eregn mssen f et jernjør, hvor: R = 26 mm og r = 20 mm l = 2500 mm go cdr 15. Et metlrør med mssen 616,51 g hr en udvendig rdius (R) = 6 mm og en indvendig rdius (r) = 5 mm. Hvilket metl er røret fremstillet f? l = 2000 mm go cdr 12 Erhvervsskolernes Forlg - go061.fm

17 Rumgeometri Hmmerhoved 16. f et stykke firkntstål med kvdrtisk endeflde skl der fremstilles et hmmerhoved ved t sve en kile f. eregn mssen f hmmerhovedet, når kilen er fjernet. (Mssefylde: 7,86 g/cm 3 ). 16 mm 48 mm 52 mm 125 mm go cdr eholder 17. Tegningen viser de indvendige mål i en beholder med trpez-formet endeflde. eregn, hvor mnge liter beholderen kn rumme. 300 mm 2000 mm 900 mm 520 mm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go061.fm

18 Rumgeometri Kegler eregning f rumfng (V) Eksempel r = 48 mm h = 54 mm 1 V = -- π r 2 h 3 1 V = -- π V = ,13 mm 3 go cdr Opgver 18. Tegningen forestiller en mssiv kegle, der er lvet i et stykke metl. Keglen vejer grm.. eregn rumfnget f keglen. b. Find metllets mssefylde. c. Hvilket metl er keglen lvet f? r = 60 mm h = 10 cm go cdr 19. En mssiv plstickomponent hr form som en kegle. Keglen er 12 cm høj og hr en rdius i grundflden på 5 cm. eregn keglens smlede msse, når det oplyses, t den nvendte type plstic hr mssefylden 0,9 g/cm 3. r = 5 cm h = 12 cm go cdr 20. Tegningen forestiller et vndtårns vndbeholder (indvendige mål). eregn hvor mnge m 3 vnd (helt tl), tårnet kn rumme. r = 20 m 12 m r = 8 m go cdr 14 Erhvervsskolernes Forlg - go061.fm

19 Rumgeometri 21. En olieknde skl fremstilles som en keglestub. Knden skl kunne indeholde 1,7 liter. Dimeteren foroven skl være d = 100 mm og forneden D = 150 mm (indvendige mål).. estem kndens højde. b. estem kndens krumme overflde. d = 100 D = 150 go cdr 22. Et engngsbæger med form som en keglestub hr følgende mål: d = 4,7 cm D = 7,0 cm h = 8,5 cm D = 7 cm d = 4,7 cm go cdr! Erhvervsskolernes Forlg go061.fm

20 Rumgeometri 16 Erhvervsskolernes Forlg - go061.fm

21 Konstruktion Konstruktion Polygoners vinkelsum En treknts vinkelsum er 180, idet: lle ndre polygoner kn opdeles i treknt ved t tegne smtlige digonler fr en f polygonens vinkler. go cdr Opgver 1. Tegn på et stykke ppir en firknt, en femknt og en seksknt. Tegn derefter digonlerne (fr én f vinklerne) i denne firknt, femknt og seksknt. go cdr 2. Tegn derefter et skem i lighed med nedenstående, prøv t udlede en formel for vinkelsummen i en polygon og beregn til sidst vinkelsummen i en 100-knt. n-knt treknt firknt femknt seksknt tiknt ntl treknter 1 Vinkelsum 180 Erhvervsskolernes Forlg go063.fm

22 Konstruktion Treknter c b Treknters vinkler benævnes med store bogstver. Treknters sider kn benævnes med små bogstver. Hvis en treknts ene vinkel er 90, kldes treknten retvinklet. 180 En vinkel i en treknt skl være større end 0 og mindre end er en ret linje. En vinkel mellem 0 og 90 kldes en spids vinkel. En vinkel mellem 90 og 180 kldes en stump vinkel. En treknt, hvor to f benene er lige lnge, kldes en ligebenet treknt. De to vinkler ved grundlinjen er lige store. Vinkel kldes topvinklen. En treknt, hvis sider er lige lnge, kldes en ligesidet treknt. I en ligesidet treknt er lle vinklerne 60. go cdr 18 Erhvervsskolernes Forlg - go063.fm

23 Konstruktion Konstruktion f midtnorml Et linjestykkes midtnorml er en linje, der står vinkelret på linjestykket og deler linjestykket i 2 lige store stykker. 1. Strt med t fsætte linjen. 2. fsæt godt hlvdelen f linjens længde i psseren. Tegn nu to cirkelbuer med denne rdius. Først med centrum i, og så med centrum i. L M 3. irkelbuerne skærer hinnden i punkterne L og M. Tegn den linje, der går gennem punkterne L og M. L M Midtnorml 4. Linjen gennem L og M kldes linje s midtnorml. Midtnormlen står vinkelret på linjen. Midtnormlen deler linjen i 2 lige store dele. go cdr Erhvervsskolernes Forlg go063.fm

24 Konstruktion Konstruktion f vinkelhlveringslinje En vinkelhlveringslinje er en linje, der hlverer en vinkel. Vinkelhlveringslinje en 1. Tegn først en vilkårlig vinkel. Toppunkt en 2. Sæt psseren i vinklens toppunkt, og tegn en cirkelbue, der skærer begge ben. De to skæringspunkter kldes og. S 3. Flyt psseren til henholdsvis og, og tegn en cirkelbue fr hver, så de skærer hinnden mellem vinklens ben. Skæringspunktet kldes S. S 4. Tegn en ret linje, der går gennem S og vinklens toppunkt. Denne linje er vinkelhlveringslinjen. go cdr 20 Erhvervsskolernes Forlg - go063.fm

25 Konstruktion Konstruktion f højde 1. Tegn linjen og punktet. L M 2. Sæt psseren i punktet, og tegn en cirkelbue, der skærer linjen 2 forskellige steder (L og M). L D M 3. ehold smme rdius i psseren. Sæt psseren i punkterne L og M, og tegn buestreger over og under linjen. De skærer hinnden i punktet og det tilsvrende punkt D (på den nden side ). L M 4. Punkterne og D forbindes med en linje. Linjen står vinkelret på. En del f linjen er højde i. D go cdr Erhvervsskolernes Forlg go063.fm

26 Konstruktion Konstruktion f en treknts omskrevne cirkel P Tegn en vilkårlig treknt. Konstruer midtnormlerne til trekntens sider. Sæt psseren i midtnormlernes skæringspunkt P, og tegn trekntens omskrevne cirkel. go cdr Konstruktion f en treknts indskrevne cirkel V O V V Tegn en vilkårlig treknt. Konstruer trekntens vinkelhlveringslinjer. Sæt psseren i vinkelhlveringslinjernes skæringspunkt, og tegn trekntens indskrevne cirkel. go cdr Korde og tngent Korde En tngent er en linje, der rører en cirkel i kun ét punkt. En korde er et linjestykke, der går fr ét punkt på cirkelperiferien til et ndet. (Dimeteren er en korde, der går gennem centrum). Tngent go cdr 22 Erhvervsskolernes Forlg - go063.fm

27 Konstruktion Konstruktion f Eulers linje Opgve 3. Tegn en vilkårlig treknt (ikke for lille):. Konstruer midtnormlerne til trekntens sider. b. Konstruer trekntens 3 højder. c. Konstruer trekntens mediner Medinerne går fr en vinkelspids til midten f den modstående side). Konsttering Midtnormlerne skærer hinnden i smme punkt (M). Højderne skærer hinnden i smme punkt (H). Medinerne sskærer hinnden i smme punkt (D). d. Tegn den linje, der går gennem punkterne M, H og D. e. Er linjen en ret linje? Erhvervsskolernes Forlg go063.fm

28 Konstruktion eregning f vinkler Opgver 4. eregn vinkel go cdr 5. Hvor stor er vinkel? go cdr 6. I en ligebenet treknt er topvinklen 30. eregn de 2 vinkler ved grundlinjen. 30 go cdr 7. I en ligebenet treknt er en f vinklerne ved grundlinjen 81. eregn de øvrige vinkler. 81 go cdr 8. Vinkel s hlveringslinje hedder v.. eregn vinkel D. b. eregn vinkel D. 58 D v 42 go cdr 9. Linjen»l«er vinkelhlveringslinje til vinkel. eregn:. Vinkel D b. Vinkel D c. Vinkel d. Vinkel D 20 D 40 l go cdr 24 Erhvervsskolernes Forlg - go063.fm

29 Konstruktion 10. Hvor stor er vinkel, når vinkel er ret? 25 go cdr 11. Hvor stor er vinkel D?? D go cdr 12. Treknt er ligebenet. eregn vinkel D. 34? D go cdr 13. I den retvinklede treknt tegnes linjen DE.. Hvor stor er vinkel? b. Hvor stor er vinkel DE? 23 D 87 E?? go cdr 14. Er linjen»l«vinkelhlveringslinje til vinkel? l D 68 go cdr 15. Hvor stor er hver vinkel i en ligesidet treknt? 16. Hvor store er vinklerne i en ligebenet, retvinklet treknt? Erhvervsskolernes Forlg go063.fm

30 Konstruktion Vinkler, rel og msse Opgver D 17. eregn vinkel og vinkel. eregn vinkel D. lle længdemål er i mm. Konstruer firknten. 60 mm 60 mm mm go cdr 18. eregn vinkel. eregn vinkel. 50 mm mm go cdr 19. f en trekntet plde E udskæres en trpezformet pldedel DE. eregn:. Vinkel ED b. Vinkel F c. Vinkel d. Vinkel e. Plden DE s rel 380 mm F mm 838 mm D 50 E go cdr 20. Tegningen viser en 6 mm kobberplde.. eregn de mnglende vinkler på tegningen b. eregn pldens msse. (Mssefylde kobber: 8,92 g/cm 3 ). 52 mm? 30 mm? mm? go cdr 26 Erhvervsskolernes Forlg - go063.fm

31 Konstruktion Konstruktion Det er ltid en god ide t tegne en prøvefigur, før der konstrueres. 21. Konstruer treknt, når = 60 mm, = 40 mm og vinkel = Konstruer en ligesidet treknt, hvis omkreds skl være 90 mm. 23. Konstruer firknt D ud fr følgende oplysninger: = 3 cm, = 4 cm, = 5 cm og D = D = 3 cm. 24. Konstruer en treknt, hvori vinkel = 0, = 60 mm og = 50 mm. 25. Konstruer en treknt, hvori vinkel = 110, = 5 cm og = 6 cm. 26. Konstruer treknt ud fr følgende oplysninger: = 7,5 cm, vinkel = 80 og vinkel = Vinkel er 60, vinkel er 80 og linjestykket er 9 cm. Konstruer treknten, og mål siden. 28. Konstruer en retvinklet W, hvor vinkel = 35 og = 50 mm. Konstruer W s indskrevne cirkel. 29. Konstruer W, hvor = 60 mm, vinkel = 52 og vinkel = 42.. Konstruer W s omskrevne cirkel. b. Mål rdius i den omskrevne cirkel. c. eregn cirklens omkreds og rel. 30. Konstruer treknt KLM, hvor KL = 80 mm, KM = 90 mm og vinkel K = 63. Konstruer W KLM s tyngdepunkt (medinernes skæringspunkt). 31. Konstruer et prllelogrm D, hvor vinkel = 40, D = 50 mm og = 40 mm. Find grdtllet for vinklerne, og D. 32. Konstruer treknt DEF, hvor vinkel D = 61, DE = 70 mm og EF = 65 mm. (Konstruer begge løsninger). Erhvervsskolernes Forlg go063.fm

32 Konstruktion Konstruktion uden brug f vinkelmåler Vinkel på Rdius til en cirkel nvendes, når vi fx konstruerer en vinkel på 60. entrum mrkeres, rdius fsættes i psseren og en cirkel tegnes. Psseren flyttes nu ud på cirkelperiferien. fsæt nu et mærke med psseren på cirkelperiferien. Flyt til mærket, og gentg. Vinkelbenene fr centrum og til de to mærker er nu 60. go cdr Opgver Prøv nu selv t konstruere følgende vinkler uden brug f vinkelmåler (brug vinkelhlveringslinjer). 33. Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på 37, Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på 82, Konstruer en treknt, hvor vinkel = 45, siden b = 60 mm og vinkel = 60. Konstruer trekntens omskrevne cirkel.! 28 Erhvervsskolernes Forlg - go063.fm

33 Pythgors Pythgors Pythgors læresætning Pythgors vr en græsk filosof, der slog sig ned på Sicilien omkring år 500 før vor tidsregning. (Filosof betyder:»den, der dyrker visdom«). Hn fndt bevis for det, vi i dg klder» Den pythgoræiske læresætning«. evis 1 b b 2 4 = = 9 b b c c c c 2 5 = b 2 = c = = b 2 = c 2 c 2 2 = b 2 c 2 b 2 = 2 go cdr Erhvervsskolernes Forlg go064.fm

34 Pythgors evis 2 Her er en nden måde t bevise»den pythgoræiske læresætning«på. 1 2 b c b c 1 2 b 1. f denne tegning kn ses: rel D = 1 2 c c b = c 2 + 2b 1 2 b c c 1 2 b b D b b 2 2. f denne tegning kn ses: rel D = + b b + b + b = 2 + b 2 + 2b b 2 b b D 3. Smmenlign de 2 udtryk for rel D: 2 + b 2 + 2b = c 2 + 2b 2 + b 2 = c 2 go cdr 30 Erhvervsskolernes Forlg - go064.fm

35 Pythgors Opgver 1. eregn længden f hypotenusen i disse treknter ,4 6,6 3,4 7,1 3,3 5,2 go cdr 2. eregn digonlerne i disse 3 rektngler (1 deciml) , ,4 go cdr 3. eregn relet f disse 2 treknter (1 deciml). 150 mm 9,4 140 mmh 5,4 9,5 h = 80 mm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go064.fm

36 Pythgors 4. eregn længden f den mnglende side i disse retvinklede treknter. 18,8 7, m 14,2 5,76 5,76 go cdr 5. eregn relet f disse rektngler (1 deciml). 5,8 m 22 m 18 m 16,6 m 8,2 m 12,8 m go cdr 6. f en rektngulær plde bortskæres en trekntet pldedel (skrveret). Længden er 280 mm. eregn relet f den skrverede pldedel (helt ntl mm 2 ). 280 mm 220 mm D go cdr 7. Tegningen viser et prllellogrm.. eregn længden f E. b. Find relet f prllellogrmmet. c. Find omkredsen f prllellogrmmet. d. Hvis denne figur skl udskæres f en rektngulær plde, hvor stort vil spildet så mindst være? 175 mm h E 130 mm h = 140 mm D go cdr 32 Erhvervsskolernes Forlg - go064.fm

37 Pythgors 8. I en ligesidet treknt hr siderne længden 80 mm. eregn længden f højden i treknten. 9. Siden i et kvdrt er 86 mm. eregn længden f en digonl (1 deciml) 10. Denne tegning er en skitse f en plde.. eregn pldens rel. b. eregn pldens omkreds. 800 mm 800 mm 500 mm 1200 mm go cdr 11. Tegningen viser en pldedel. eregn pldens omkreds og rel. 68 mm 28 mm 32 mm 102 mm go cdr 12. relet f er 660 mm 2. Længden f D er 41 mm. Højden er 22 mm. eregn omkredsen f treknten. h D go cdr 13. Tegningen viser en kegle.. eregn keglens krumme overflde. b. eregn keglens rumfng. h = 44 mm s r = 20 mm go cdr Erhvervsskolernes Forlg go064.fm

38 Pythgors Den omvendte Pythgors Den omvendte Pythgors. (Hvis 2 + b 2 = c 2 er treknten retvinklet). 14. Hvilke f disse 5 treknter er retvinklede? 52 mm mm 57 mm 58,5 mm 22,5 mm D 54 mm 16,4 m E 21,2 m 26,7 m go cdr 15. I er følgende givet: = 3,6 m, = 4,8 m og h = 2,4 m Er retvinklet? h D go cdr 16. Er firknt D et rektngel eller et prllellogrm? D = og D l = D og l D 9,9 16,5 D 13,2 E go cdr! 34 Erhvervsskolernes Forlg - go064.fm

39 Trigonometri Trigonometri Om treknter c b Vinkler skrives med store bogstver. Sider skrives med små bogstver. = en ktete b= en ktete c = hypotenusen go cdr Opgver 1. Hvd hedder vinkel s hosliggende ktete? 2. Hvd hedder vinkel s modstående ktete? 3. Hvd hedder vinkel s hosliggende ktete? 4. Hvd hedder vinkel s modstående ktete? 5. Hvd hedder s modstående vinkel? 6. Hvd hedder b s modstående vinkel? 7. Hvd hedder b s hosliggende vinkler? 8. Hvd hedder s hosliggende vinkler? Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

40 Trigonometri Ligednnede treknter 9. eregn og DE, når: = 111,63 og = 100 D = 156,61 og E = 140 D 111,63 mm 156,61 mm 100 mm E 140 mm go cdr 10. Skriv tllene ind i et skem som herunder, og udregn (2 decimler) D = = E DE = = = = 36 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

41 Trigonometri Forholdet mellem siderne i en treknt c 15 b c c 30 b c c b b b go cdr Øvelse Ovenstående tegninger er målfste. rug linel, og mål treknternes sider. Tegn nedenstående skem på et stykke ppir, og skriv målene i felterne. Udfør til sidst divisionerne i kolonne 1, 2 og b c -- c b -- c -- b 15 0,26 0,97 0, Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

42 Trigonometri Sinus, cosinus og tngens Fremstil nedenstående tegning på millimeterppir (rdius i cirkelbuen = 10 cm). y 1,0 tn v sin v sin v flæses på y-ksen tn v flæses på y-ksen cos v flæses på x-ksen v 0,0 0,5 1,0 (10 cm) cos v x go cdr Tegn nedenstående skem på et stykke ppir. fsæt dernæst nedenstående vinkler på millimeterppiret, og flæs de tilsvrende værdier for: sin v, cos v og tn v Vinkel v sin v cos v tn v Smmenlign kolonne 1, 2 og 3 med kolonne 1, 2 og 3 på foregående side. 38 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

43 Trigonometri Trigonometri for den retvinklede treknt Efter t hve smmenlignet skemerne på de 2 foregående sider kn vi nu smmenftte følgende: sin v = cos v = tn v = Vinklens modstående side Hypotenusen Vinklens hosliggende side Hypotenusen Vinklens modstående side Vinklens hosliggende side Opgver 11. Tegn nedenstående skem på et stykke ppir. Find ved hjælp f lommeregneren funktionsværdierne til følgende vinkler: Vinkel v sin v cos v tn v Hvd sker der med henholdsvis sinus-, cosinus- og tngensværdierne, når vinklen vokser? 12. Find ved hjælp f lommeregneren vinklen til følgende funktionsværdier:. sin 0,2355 b. sin 0,9247 c. sin 0,5 d. cos 0,2355 e. cos 0,9247 f. cos 0,5 g. tn 0,2355 h. tn 0,9247 i. tn 0,5 13. Find følgende funktionsværdier:. sin v, når v = 16,3 b. sin v, når v = 26,8 c. sin v, når v = 79,8 d. cos v, når v = 12,3 e. cos v, når v = 67,7 f. cos v, når v = 85,9 g. tn v, når v = 13,4 h. tn v, når v = 87,4 Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

44 Trigonometri Løs følgende ligninger, og find det ubestemte led. Eksempel 7,6458 sin v = v = 55,71 9,2541 7, sin v = cos v = tn v = 9, , , sin 36,5 = , sin v = cos 87,3 = 1,353 1, b 3,14 0, cos = tn 89 = tn = 3,14 14,6 0, sin 36,5 = tn 2 = cos 46,3 = b b 836, ,6 2, b Trigonometriske beregninger Eksempel c = 9,0 Find vinkel, hypotenusen c og siden b. 38 b go cdr. Vinkel : = ,0 b. Hypotenusen c: sin 38 = c = ,0 c = 14, ,62 c sin 38 c. Siden b: cos 38 = b cos 38 14,6184 b = 11,52 14, Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

45 Trigonometri Modstående sin v = side Hosliggende cos v = side tn v = Modstående side Hypotenusen Hypotenusen Hosliggende side Opgver b = 4 b = 7 c = 8,0 = 5 35 = 5 42 c = c = 13 c = go cdr go cdr go cdr go cdr go cdr go cdr eregn vinkel. eregn vinkel. eregn siden b. eregn siden c. eregn vinkel. eregn siden b. eregn siden. eregn vinkel. eregn siden b. eregn vinkel. eregn siden. eregn siden c. eregn vinkel. eregn siden. eregn vinkel. eregn siden. eregn siden b. eregn vinkel. Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

46 Trigonometri Modstående sin v = side Hosliggende cos v = side tn v = Modstående side Hypotenusen Hypotenusen Hosliggende side 32. = 27 c = 5 eregn, og b. 33. go cdr = 4 c = 6 eregn, og b. 34. = 29 = 15 eregn c, og b. 35. b = 8 c = 15 eregn, og. 36. c = 18 = 38 eregn, og. 37. b = 7,50 = 53,35 eregn c, og. 42 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

47 Trigonometri 38. b c go cdr eregn de ukendte stykker i den retvinklede treknt, når: = 63 og = 12,57 cm 39. b c eregn de ukendte stykker i den retvinklede treknt, når: = 5 cm og b = 12 cm 40. = 36,8, c = 6,38 mm og = 90. eregn og b. 41. = 35,7, b = 19,3 dm og = 90. Find vinkel og siderne og c. 42. = 25,1 mm, b = 12,3 mm og = 90. Find vinklerne og og siden c. 43. = 37,2, = 90 og c = 182 mm. eregn trekntens rel. 44. Stige h 70 Hvor højt (h) når stigen op? 2 m go cdr v 40 Enden f et stykke firkntstål bnkes ud som vist på tegningen. Mål i mm. eregn vinklen (v). go cdr Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

48 Trigonometri 46. v r k I forbindelse med udskæringen f et stykke plde til en røght ønskes korden (k) bestemt. eregn længden f korden, når r = 180 mm og v = 46 go cdr 47. v Enden f en ksel er udformet, som vist på tegningen. eregn vinkel v. 36 go cdr L go cdr eregn længden L. estem længden f de mnglende sider. Mål i mm. 49. n Tegningen viser en møtrik. eregn nøglevidden n. 23,094 mm go cdr 44 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

49 Trigonometri 50. go cdr K 15 En krn fremstilles, så den er i stnd til t udføre rbejde i et vinkelintervl mellem 15 og 80. Længden på krnens rm er 14 m. eregn den korteste og længste vndrette fstnd fr krnen (K), hvor krnens rm er i stnd til t virke mm s eregn længden f s på skitsen. go cdr mm 230 mm x 60 mm eregn vinklen x. go cdr mm 65 mm I en flnge bores 8 huller ( 12 mm). Der er lige stor fstnd mellem hullerne.. eregn den lige fstnd mellem to hullers centrum. b. Konstruer flngen i nturlig størrelse. go cdr Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

50 Trigonometri ,6 m go cdr r R Et spær skl fremstilles i jernrør.. Hvor mnge meter rør skl der bruges i lt? b. eregn relet f det skrverede område. R = 20 mm og r = 17 mm. c. eregn rørets smlede msse (helt ntl grm). Enhedscirklen y (0,1) ( 1,0) (0,0) v (1,0) x I et koordintsystem med centrum i (0,0) og en rdius på 1 tegnes en cirkel. irklen skærer kserne i punkterne (1,0), (0,1), ( 1,0) og 0, 1). Denne cirkel er en enhedscirkel. (0, 1) go cdr y (0,1) c Tegningen viser 3 ensvinklede treknter, som kn nvendes til opstilling f følgende forhold: (0,0) 1 cos tn sin (1,0) b x sin cos b 1 = -- sin = -- = c c 1 = -- b cos = -- = c c modstående side hypotenusen hosliggende side hypotenusen go cdr tn = -- tn = -- = b b modstående side hosliggende side 46 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

51 Trigonometri Sinus y (0,1) ( 1,0) sin v (0,0) (1,0) x Vi fsætter en vilkårlig vinkel v. Vi kn finde tlværdien til sinus v ved t måle direkte på y-ksen. På tegningen ses det, t der kn være 2 vinkler til 1 sinusværdi. (0, 1) go065-27,cdr osinus y (0,1) ( 1,0) (0,0) cos v (1,0) x Vi fsætter en vilkårlig vinkel v. Vi kn finde tlværdien til cosinus v ved t måle direkte på x-ksen. På tegningen ses det, t der kn være 2 vinkler til 1 cosinusværdi. (0, 1) go065-27b.cdr Tngens ( 1,0) y (0,1) (0,0) (0, 1) tn v (1,0) x Vi fsætter en vilkårlig vinkel v. I punktet (1,0) lves en tngent til enhedscirklen. Længden f linjestykket fr (1,0) og til vinklens skæring med tngenten defineres som tngens v. Vi kn finde tlværdien til tngens v ved t måle direkte på tngenten fr (1,0) og til skæring med vinklen. På tegningen ses det, t der kn være 2 vinkler til 1 tngensværdi. go065-27c.cdr Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

52 Trigonometri Vilkårlige treknter R b c Formler go cdr Sinusreltionen b = = c = 2R sin sin sin osinusreltionerne 2 = b 2 + c 2 2bc cos b 2 = 2 + c 2 2c cos + 1 oplysning c 2 = 2 + b 2 2b cos cos = cos = cos = b 2 + c bc 2 + c 2 b bc 2 + b 2 c bc relformler rel = 1 -- b sin 2 rel = 1 -- c sin 2 rel = 1 -- bc sin 2 Herons formel rel = Hvor s = ss ( ) ( s b) ( s c) b + c 2 48 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

53 Trigonometri Opgver 55. = 65, = 70 mm og b = 45 mm. eregn siden c og vinklerne og. 56. = 38,5, = 47,2 og = 123 mm. Find vinkel og siderne b og c. 57. = 35,2, b = 67 mm og c = 45 mm. eregn vinklerne og og siden. 70 mm mm Opgve 55 go cdr 58. = 120 mm, b = 70 mm og = 55. eregn siden c og vinklerne og. 59. = 95, b = 52 mm og c = 77 mm. eregn siden og vinklerne og. 120 mm 60. = 140 mm, b = 209 mm og c = 183 mm. eregn vinklerne, og mm go cdr 61. I er givet: = 80 mm, b = 120 mm og c = 150 mm. eregn trekntens rel. Opgve I er givet: = 72 mm, b = 115 mm og = 120,5. eregn s rel 183 mm 140 mm 63. I er givet: = 128, b = 54 mm og c = 63 mm. eregn trekntens rel 209 mm Opgve 60 go cdr 64. I D er = 23 mm, = 26 mm, = 32 mm, D = 38 og D = D. Find firkntens ubekendte sider, vinkler smt rel. 72 mm 65. Konstruktion.. Konstruer en treknt, hvor = 70 mm, = 100 mm og vinkel = 25. b. Tegn treknt s omskrevne cirkel. c. eregn cirklens rdius. d. eregn treknt s rel. 120,5 115 mm Opgve 62 go cdr Erhvervsskolernes Forlg go065.fm

54 Trigonometri 66. relet f rektnglet D ønskes bestemt. EF = 250 mm og D = 200 mm. 67. Nedenfor ses en tegning f en plde, der skl fremstilles i 6 mm luminium. eregn pldens msse (helt ntl grm) E F D go cdr mm h go cdr 68. Nedenfor ses et gitterspær udført i stålrør. x y cm 450 cm go cdr. Lv en tegning f spæret i målestoksforholdet 1:20. b. eregn længden f stængerne 1, 2 og 3 (1 deciml). c. Kontroller resultterne med tegning (bemærk vinkel x og y). 69. Et stykke 6 mm jernplde hr form som et trpez og mål som på tegningen.. eregn digonlen (fcit ngives med 1 deciml). b. eregn relet f trpezet D. c. eregn pldens msse (fcit ngives i helt ntl grm). 520 mm mm D go cdr! 50 Erhvervsskolernes Forlg - go065.fm

55 Temopgver Temopgver Udfoldet kegle Vndbeholder go cdr Kegle 1 I kegle 1 er r = mm og k = 965 mm. 1. eregn udsnitsvinklen (v). 2. eregn højden i keglen. 3. eregn keglens rumfng. 4. Hvor meget plde går der til den krumme overflde? Kegle 2 I kegle 2 er v = 54 og r = mm. 5. eregn kordelængden k. 6. eregn højden i keglen. 7. eregn keglens rumfng. 8. Hvor meget plde går der til den krumme overflde? Kegle 1 og 2 9. Hvilken f keglerne hr det største rumfng? 10. Hvilken f keglerne hr den største krumme overflde? v r k 1. I skl fremstille en rbejdstegning f en lukket vndbeholder. Tegningen fremstilles Vnd i retvinklet projektion. Tegningen skl vise beholderen set forfr, fr oven, og der skl tegnes et snitbillede (snittet lægges i beholderens midtlinje). 2. Når beholderen er helt fyldt, skl den kunne rumme l vnd, og dimeteren skl være 850 mm udvendig. 3. Mteriler: Hvilken tykkelse plde? Sort eller rustfst stål? 4. Udregn pldeforbrug og pris. eregn vægten f beholderen, når den er tom, og når den er fuld f vnd. 5. Hvor mnge rbejdstimer skl I bruge for t fremstille beholderen? rbejdsløn? Hvd bliver beholderens smlede pris? 6. eskriv den rbejdsrækkefølge, I vil følge ved fremstilling f beholderen. 7. Skriv om sikkerhed og rbejdsmiljø ved fremstilling f beholderen. 8. Kvlitetsbedømmelse. Hvd synes I skl være i orden for t sige, t beholderens kvlitet er ok? Der er ltid fordele og ulemper ved t træffe et vlg, så derfor: egrund de vlg, I foretger!! Erhvervsskolernes Forlg go067.fm

56 Temopgver 52 Erhvervsskolernes Forlg - go067.fm

57 Mssefylde Mssefylde Mssefyldetbel Stof Formel Mssefylde luminium l 2,7 ly Pb 11,34 Guld u 19,3 Jern Fe 7,86 Dimnt 3,51 Kobber u 8,92 Krom r 6,2 Kviksølv Hg 13,55 Mgnesium Mg 1,74 Mngn Mn 7,4 Messing u,zn 7,13 Nikkel Ni 8,5 Pltin Pt 21,45 Sølv g 10,5 Tin Sn 7,31 Vndium V 5,5 Wolfrm W 19,1 Zink Zn 7,14 Urn U 18,7 Mssefylde måles i g/cm 3 eller kg/dm 3 eller t/m 3. Erhvervsskolernes Forlg go069.fm

58 Mssefylde Mssefylde, msse og vægt Msse = rumfng mssefylde Msse måles med en skålvægt. Mssen fhænger ikke f tyngdekrften. Mssen f et kilogrmslod er ens overlt på jorden. På månen hr et 1 kg lod mssen 1 kg. Vægt måles med en fjedervægt. vægt er fhængig f tyngdekrften. Vægten f et 1 kg lod er forskellig ved polerne og ved ækvtor. go cdr! 54 Erhvervsskolernes Forlg - go069.fm

59 Formelsmling Formelsmling h Prllelogrm højde h grundlinie g rel h Trpez højde h og b er prllelle rel g = h g b 1 = -- h ( + b) 2 h g Treknt højde h grundlinie g rel 1 = -- h g 2 b c Retvinklet treknt hypotese c kteder og b 2 + b 2 = c 2 c = b c 2 b 2 = 2 d r irkel rdius r dimeter d rel omkreds O = π r 2 O = 2 π r 2 (O = π d) h r ylinder højde h grundflderdius r krumme overflde O rumfng V O = 2 π r h V = π r 2 h G h h G Prisme højde h grundflde G rumfng V V = h G r Keglestub rdius r overflde O rumfng V O = 4 π r 2 4 V = -- π r 3 3 h s Kegle højde h sidelinje s grundflderdius r krumme overflde O rumfng V h r s Keglestub højde h sidelinje s grundfl.rdier r og R krumme overflde O rumfng V r O = π r s 1 V = -- π r 2 h 3 R O = π s (R + r) 1 V = -- h( G+ g+ Gg) 3 h Pyrmide højde h grundflde G rumfng V g h Pyrmidestub højde h grundflder G og g rumfng V G V = h G G 1 V = -- h ( G + g + Gg) 3! Erhvervsskolernes Forlg go070.fm

60 Formelsmling 56 Erhvervsskolernes Forlg - go070.fm

61 Fcitliste Fcitliste fvigelser fr fcitlistens tl kn bl.. skyldes frundinger. rug derfor fcitliten med fornuft. Listen må ikke opfttes som et udtryk for indiskutble sndheder. Plngeometri 1. = 12m 2 O= 14 m = 11,78 m 2 O= 16,2 m 2. = 144 m 2 O= 48 m 3. O = 30 m = 56,25 m 2 4. = 22,95 m 2 = 875 m 2 5. O = 50,27 m = 201,06 m 2 5b. O = 128,81 m = 1 320,25 m 2 6. = mm 2 7. = mm 2 8. = 1,28 m 2 9. = 19,5 cm = 1,86 m d = 12 mm O= 37,7 mm = 113,1 mm 2 11b. d = 20 mm O = 62,83 mm = 314,16 mm 2 11c. d = 32 mm O = 100,53 mm = 804,25 mm = 1 608,50 mm 2 = 615,75 mm mm 2 b ,77 mm 2 c ,23 mm = 644,03 mm = 1,28m = mm = 2 088,27 mm = 3 301,63 mm O = 1 555,27 mm = ,87 mm = ,81 mm cm b. 87,96 cm 22. r = 62,15 mm ,99 mm 2 b. 442,44 mm ,94 mm ,22 mm ,13 mm ,63 % Rumgeometri mm mm 3 b mm mm ,58 cm 3 b mm 3 c. 0,51 m 3 d dm mm b. 5 cm c. 23 mm d. 6,5 cm e. 13 m ,5 cm 3 b. 422,5 g ,25 g cm 3 b ,8 cm 3 c cm ,13 cm 3 b. 840,99 dm 3 c. 1,99 m ,14 liter b. 505,63 kg 11. 1,24 dm 12. 1,1 liter ,9242 cm 2 b. 481,05 cm 3 c ,1 g d. 950,33 cm 3 e. 855,3 g ,11 g 15. Kobber ,5 g liter ,99 cm 3 b. 2,7 g/cm 3 c. luminium ,74 g m ,71 mm b ,32 mm ,31 dl Erhvervsskolernes Forlg go071.fm

62 Fcitliste Rørlængder 1,5" 1 067,16 mm 1" 1 017,13 mm 3 4 " 1 379,70 mm Konstruktion 2. 1 treknt = treknter = treknter = treknter = treknter = treknter = e. J og b b. 120 c. 100 d b Nej , 45, og = 65 = b. 30 c. 60 d. 70 e mm , 30, 60 b. 125,24 g 27. = 13,8 cm 29. b. 38 mm c. O = 238,76 mm = 4 536,46 mm = 140 = 40 D = 140 Pythgors ,6 6,1 11,8 7,4 2. 9,8 3,9 11, , mm ,3 4,29 164,72 m 5. 12,65 m 10,57 m 5,8 m mm mm b mm 2 c. 820 mm d mm ,28 mm ,6 mm mm 2 b mm 11. O = 348,8 mm = mm ,6 mm ,8 mm 2 b ,68 mm og D 15. Nej 16. Rektngel Trigonometri 1. b b og 8. og 9. = 49,61 mm DE = 70,19 mm 10. 0, Vinkel 18: 0,3090 0,9511 0,3249 Vinkel 37 : 0,6018 0,7986 0,7536 Vinkel 58 : 0,8480 0,5299 1,6003 Vinkel 89 : 0,9998 0, , Erhvervsskolernes Forlg - go071.fm

63 Fcitliste Trigonometri fortst ,62 b. 67,62 c. 30 d. 76,38 e. 22,38 f. 60 g. 13,25 h. 42,76 i. 26, ,2807 b. 0,4509 c. 0,9842 d. 0,9770 e. 0,3795 f. 0,0715 g. 0,2382 h. 22, , , , , , , , , , , , ,68 51,32 6, , , , , ,93 15, ,58 10,95 57, ,86 17, , , ,81 48,19 4, , , ,23 12,69 57, ,08 14, ,35 36,65 5, b = 6,40 cm c = 14,11 cm = c = 13 cm = 22,62 = 67, = 3,82 mm b = 5,11 mm 41. = 54,3 = 26,86 dm c = 33,07 dm 42. = 63,89 = 26,11 c = 28 mm 43. = mm h = 5,49 m 45. v = 7, k = 140,66 mm 47. v = L = 112,1 mm 62,12 mm 113,22 mm 49. n = 20 mm 50. 2,43 m 13,52 m ,5 mm 52. x = 16, = 49,75 mm ,03 m b. 348,72 mm 2 c g 55. = 35,64 = 79,36 c = 75,91 mm 56. = 94,3 b = 144,97 mm c = 197,03 mm 57. = 85,68 = 59,12 = 77,84 mm 58. = 89,11 = 35,89 c = 98,31 mm Erhvervsskolernes Forlg go071.fm

64 Fcitliste Trigonometri fortst 59. = 32,43 = 52,57 = 96,6 mm 60. = 41,18 = 79,42 = 59,4 61. = 4 781,15 mm = 3 567,14 mm = 1 340,41 mm D = 49,14 mm D = 49,14 mm = 124,43 = 81,3 = 116,27 = 1 038,89 mm r = 55,64 mm = 1 479,16 mm ,5 mm m = g = 102,6 cm 2 = 158,8 cm 3 = 205,2 cm 69. = 1 245,5 mm = ,64 mm 2 m = g Svejsefuger 1. = 109,15 mm 2 m = 1,373 kg/m 2. = 102,35 mm 2 m = 1,689 kg/m! 60 Erhvervsskolernes Forlg - go071.fm