Elementær Matematik. Plangeometri

Transkript

1 Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006

2 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5. De 4 kongruenssætninger De 5 trekntstilfælde Geometriske steder Midtnormler Vinkelhlveringslinie Konstruktion f korderne k 0 og k Det gyldne snit...3 Kp 3. Treknter og firknter...6. Den retvinklede treknt...6. Firknter Trnsversler Mediner Midtnormler. Trekntens omskrevne cirkel Trekntens indskrevne cirkel Højder... Kp 3. Cirkler.... Tngentvinkler og periferivinkler.... Synsvinkel Synsvinkelkonstruktionen Indskrivelige og omskrivelige firknter Herons formel Om t bevise den omvendte sætning til en sætning...7

3 Plngeometriens ksiomer. Plngeometriens Aksiomer Den klssiske geometri omhndler egenskber ved punkter, linier og geometriske figurer i plnen. Vi vil ikke give en streng bstrkt definition f disse begreber, men nøjes med en forklrende definition. Definition (.) Et punkt hr ingen udstrækning, men ngiver blot en position i plnen. (.) Den korteste vej mellem to forskellige punkter er et ret liniestykke. Forlænges liniestykket ud over de to punkter, får mn en ret linie. En linie hr kun udstrækning i en retning. (.3) To hlvlinier med smme begyndelsespunkt siges t dnne en vinkel. (.4) To linier siges t være prllelle, hvis de ikke skærer hinnden Geometrien er som lt ndet i mtemtikken ksiomtisk deduktivt opbygget. Aksiomtisk betyder, t hele teorien hviler på nogle grundlæggende ntgelser, som kldes ksiomer. Aksiomer kn ikke bevises. Deduktivt betyder t teorien opbygges trinvis ud fr ksiomerne ved beviser, som er logiske følgeslutninger. Det mn beviser kldes sætninger eller teoremer. Aksiomerne kn vælges med en vis vilkårlighed. Nogle sætninger kn byttes om med ksiomer. Vi hr vlgt følgende 5 ksiomer. (A) (A) (A3) (A4) (A5) Gennem to punkter kn tegnes netop en ret linie. Gennem et givet punkt, kn der tegnes netop ret linie, som er prllel med en given linie. Når to prllelle linier overskæres f en tredie, er ensliggende vinkler lige store. Når to linier skærer hinnden, er modstående vinkler lige store. I to ensvinklede treknter, er forholdet mellem ensliggende sider konstnt

4 Kp Nedenfor er betydningen f ksiomerne skitseret. Bemærk især ksiom A5. b b c c Ofte ser mn i (A5) proportionliteten skrevet på en nden måde, idet b b b b og tilsvrende for de ndre sider.. Vinkler m To hlvlinier med fælles begyndelsespunkt, siges t dnne en vinkel med hinnden. Hlvliniernes begyndelsespunkt O l kldes for vinklens toppunkt. Set fr vinklens toppunkt tler mn om vinkens venstre ben og højre ben. For t definere grdtllet for en vinkel, tegnes en vilkårlig cirkel med centrum i vinklens toppunkt O. Cirkelbuen inddeles i 360 lige store stykker, som hver kldes for en grd. Med denne enhed (/360 f hele cirkelbuen) måles så buen, som fskæres f vinklens to ben. Måltllet kldes for vinklens grdtl. Grdtllet g 0 udgør den smme brøkdel f som buen b udgør f cirkelns omkreds. Hvis r betegner cirklens rdius, kn dette udtrykkes: 0 g b o b o eller g πr π r Grdtllet for den hlve cirkelbue er 80 o, svrende til t hlvlinierne l og m på figuren dnner en ret linie. Hvis de to hlvlinier fskærer /4 f cirkelbuen er grdtllet 90 o. Dette kldes for en ret

5 Plngeometriens ksiomer 3 vinkel. Når to hlvlinier dnner en vinkel på 90o, siges de t stå vinkelret på hinnden. De siges også t være ortogonle. To vinkler, som tilsmmen er 80o kldes for supplementsvinkler, og to vinkler som tilsmmen er 90o kldes for komplementsvinkler. Se figuren ovenfor.. Et pr simple geometriske sætninger Vi beviser først en sætning, der kn forekomme indlysende, hvilket den også er, men vi vil vise t den er en konsekvens f ksiom A. Sætningen kn ersttte ksiom A, og ksiom A ville så være en sætning. Grunden til t vi beviser sætningen er, t vi vil gøre hyppigt brug f den.. Sætning: Hvis to linier hver er prllel med en tredie, så er de indbyrdes prllelle. Bevis: (indirekte). Hvis de to linier ikke vr prllelle ville de skære hinnden. Gennem skæringspunktet går d to linier prllelle med den tredie linie, hvilket er umuligt ifølge ksiom A. Altså er de prllelle. Den næste sætning er mere velkendt og interessnt.. Sætning: Vinkelsummen i en treknt er 80 o Beviset fremgår f figuren ovenfor. Der er tegnet een linie gennem B prllel med AC. (Aksiom A). Endvidere er liniestykkerne AC, AB og BC forlænget. Linien AB overskærer to prllelle linier, der for genfinder vi vinkel A, som mrkeret på figuren. (Aksiom A3: ensliggende vinkler lige store). Linien BC overskærer ligeledes to prllelle linier, så vi genfinder vinkel C, som mrkeret på figuren. Endelig skærer AB og BC hinnden i B, og modstående vinkler er lige store, (ksiom A4)

6 Kp så vi genfinder B, som mrkeret på figuren. Som det fremgår f figuren er summen f de tre mrkerede vinkler 80o, og derfor er A + B + C 80o.

7 Cirkler 5 Kp. Trekntskonstruktion. Kongruenssætningerne Trditionelt foregår konstruktion i geometrien udelukkende ved brug f psser og linel. Linelen må kun nvendes til t tegne rette linier. I princippet må linelen ikke nvendes til t måle med. Udmåling f et liniestykke skl foretges med psseren. Der er en dybere årsg til dette. I trigonometrien lærer mn t beregne ukendte stykker i geometriske figurer. Smmenhængen med geometrien er netop den, t hvis mn kn beregne de ukendte stykker i en geometrisk figur, kn mn også konstruere figuren med psser og linel. Kongruent betyder "ens". At to geometriske figurer er kongruente, betyder t de kn bringes til t dække hinnden ved en flytning. Til flytninger hører trnsltion (en forskydning lngs en ret linie), rottion (om et drejningspunkt) og spejling i en linie. En kombintion f de tre flytninger er også en flytning.. De 4 kongruenssætninger K: To treknter er kongruente, hvis de hr 3 sider fælles. K: To treknter er kongruente, hvis de hr to sider og den mellemliggende vinkel fælles. K3: To treknter er kongruente, hvis de hr en side og de to hosliggende vinkler fælles. K4: To treknter er kongruente, hvis de hr en side en hosliggende og en modstående vinkel fælles. Beviset for kongruenssætninger føres ved t konstruere en treknt ud fr de givne stykker og godtgøre t konstruktionen højst hr en løsning. Bevis for K: Nedenfor er fst 3 stykker (de tre sider,b og c). Forklring: Siden BC fsættes. Med centrum i C og rdius b, tegnes en cirkel. Med centrum i B og rdius c, tegnes en nden cirkel. A bestemmes d som skæringspunktet mellem de to cirkler. D to cirkler højst kn hve to skæringspunkter, hr opgven højst to løsninger. Af konstruktionen fremgår imidlertid, t de to løsninger er kongruente (ved spejling i linien gennem BC). Treknten ABC er derfor entydigt bestemt f de tre sider,b og c, og to treknter med 3 sider fælles er derfor kongruente.

8 6 Kp 4 Diskussion: Af konstruktionen fremgår, t en betingelse for løsning er, t <b+c. Tilsvrende må gælde for de ndre to sider c<+b og b<+c. Løses disse tre uligheder med hensyn til c finder mn: c < + b c > - b c > b - Disse 3 uligheder kn smmenfttes i en dobbeltulighed: - b < c < + b Som i lle tilfælde er betingelsen for løsning. Bevis for K: Forklring: Den givne vinkel er tegnet, smmen med de to sider. For t konstruere den smme vinkel med toppunkt i A gøres følgende. Siden b med endepunkterne A og C fsættes. Med centrum i henholdsvis vinklens toppunkt og i A tegnes to cirkler med smme rdius. Buen som vinklen fskærer på cirklen udmåles med psseren, og den smme bue fsættes fr det punkt, hvor den tegnede cirkel skærer siden b. (Vinkel A's højre ben). Nu kn vinkel A's venstre ben tegnes. c fsættes ud f denne hlvlinie, hvormed B er bestemt. Diskussion: Hvis vinklen er mindre end 80 o hr opgven ltid én og kun én løsning. Hermed følger kongruenssætningen. Bemærkning: Vi hr ovenfor detilleret redegjort for hvorledes mn konstruerer en vinkel, som er kongruent med en given vinkel. I det følgende vil vi udelde den detillerede forklring og blot skrive: F.eks. "Vinkel A fsættes.." Bevis for K3: Nedenfor er de givne stykker: En side og to hosliggende vinkler vist smmen med konstruktionen

9 Cirkler 7 Forklring: fsættes med endepunkter B og C. I henholdsvis B og C fsættes vinkel B og vinkel C. A bestemmes som skæringspunktet mellem vinkel B's venstre ben og vinkel C's højre ben. Diskussion: Konstruktionen hr ltid netop en løsning, hvis B+C < 80o. Bevis for K4: Hvis to treknter hr to vinkler fælles, hr de lle tre vinkler fælles, og K4 kn føres tilbge til K3, hvis mn blot viser hvorledes mn kn konstruere en vinkel w som er 80 o - (u+v), når u og v er givne vinkler. Dette er vist nedenfor. Forklring: Ld siden og vinklerne A og B være givne. Vi vil konstruere vinkel C. Vinkel A fsættes og vinkel A's højre ben forlænges til venstre ud over A. Vinkel B fsættes ud fr vinkel A's venstre ben. Vinkel C findes d mellem vinkel B's venstre ben og forlængelsen f vinkel A's højre ben. Idet mn nu kender en side og to hosliggende vinkler (, B og C), kn treknten konstruerers. 3. De 5 trekntstilfælde Mn tler i geometrien om de 5 trekntstilfælde, og refererer her til de 5 muligheder, der er for t kosntruere en treknt ud fr 3 givne vinkler eller sider. Egentlig er der 6 muligheder for vlg f 3 stykker, men den 6. mulighed svrer til t de 3 vinkler er givne, hvilket jo ikke er tilstrækkeligt til t konstruere treknten. De 4 første trekntstilfælde svrer netop til de 4 kongruenssætninger, idet konstruktionen højst hr en løsning (bortset fr spejlvending). Vi skl nu se på 5. trekntstilfælde: Givet: En vinkel, en hosliggende og en modstående side. F.eks. A, c og.

10 8 Kp 4 Forklring: Vinkel A fsættes. Ud fr vinkel A's højre ben fsættes c. B er hermed bestemt. Med centrum i B og rdius tegnes en cirkel. Hvor denne vinkel skærer vinkel A's venstre ben ligger C. Diskussion: Af konstruktionen ses, t der i det vlgte tilfælde er to løsninger. Antllet f løsninger fhænger imidlertid f de givne stykker.. Hvis siden er for kort, vil cirklen ikke skære A's venstre ben og opgven hr ingen løsning. Grænsen for løsning er t cirklen tngerer A's venstre ben. I dette tilfælde er treknten retvinklet og der vil gælde: c b. (idet c + b ).. Hvis > c vil cirklen kun skære A's venstre ben et sted, og opgven hr kun en løsning. Vi kn smmen ftte resultterne: Hvis Hvis Hvis < c b hr opgven ingen løsning. c b hr opgven netop een løsning. c b < < c hr opgven netop løsninger. Hvis c hr opgven netop een løsning.

11 Cirkler 9 4. Geometriske steder Et geometrisk sted er en - lidt gmmeldgs - betegnelse for en punktmængde med en bestemt geometrisk egenskb. Vi definerer først cirkel og ellipse: En cirkel er det geometriske sted for de punkter, som hr smme fstnd fr et givet punkt. Punktet kldes for cirklens centrum og fstnden kldes for cirklens rdius. En ellipse er det goemetriske sted for de punkter, hvis fstnde fr to givne punkter hr en given sum. De to punkter kldes for ellipsens brændpunkter, og kldes for ellipsens hlve storkse. En cirkel tegnes som bekendt med en psser, mens en (ægte) ellipse kn tegnes ved t plcere endepunkterne for en snor med længden i to punkter, lde en blynt nbringe lngs snoren og med strm snor lde blynten føre 360 o rundt. På denne måde lver f.eks. grtnere elliptiske blomsterbede. 4. Midtnormler En midtnorml er en linie, der står vinkelret på et liniestykke gennem dets midtpunkt. Hvis liniestykket kldes AB vil vi vise, t ethvert punkt på midtnormlen hr smme fstnd til A og B.

12 0 Kp 4 Bevis: Ifølge definitionen er AM BM. P er et vilkårligt punkt på midtnormlen. APM og BPM hr siden PM fælles, AM BM og AMP BMP 90 o. De to treknter hr derfor to sider og en mellemliggende vinkel fælles og er derfor kongruente i følge K. Derfor er også AP BP, hvilket skulle vises. Midtnormlen kn således beskrives som det geometriske sted for de punkter, som hr den smme fstnd fr to givne punkter. Denne definition nvendes, når mn skl konstruere midtnormlen på et givet liniestykke. Konstruktionen foregår d som følger: Liniestykket betegnes med AB. Med centrum i henholdsvis A og k og med rdius r > ½ AB tegnes to cirkler. Cirklerne vil skære hinnden i to punkter, som hr smme fstnd fr A og B, og de ligger derfor på midtnormlen for AB. Tegner mn derfor linien gennem de to skæringspunkter, hr mn konstrueret midtnormlen på AB. Den smme konstruktion kn også nvendes til t oprette den vinkelrette i et punkt på en linie. Anbringes nemlig psseren i punktet og fsættes to punkter i smme fstnd til hver side, kn normlen konstrueres ved t fsætte midtnormlen på liniestykket mellem de fstte punkter. 4. Vinkelhlveringslinie En vinkelhlveringslinie er en linie, der hlverer vinklen mellem to linier. Vi vil nu vise. t vinkelhlveringslinien er det geometriske sted for de punkter, som hr smme fstnd fr to linier. (hlvlinier med fælles begyndelsespunkt). Før vi beviser dette, må vi redegøre for, hvd vi forstår ved fstnden fr et punkt til en linie. En norml til en linie er en (hlv)-linie, som står vinkelret på linien. Ved fstnden fr et punkt til en linie forstår mn fstnden målt på en norml til linien gennem punktet.

13 Cirkler På figuren til venstre er vist, hvorledes mn konstruerer fstnden fr et punkt til en linie. Punktet betegnes P og linien betegnes l. Med centrum i P tegnes en cirkel, som skærer linien i to punkter Q og R. Q og R hr smme fstnd fr P, så P ligger på midtnormlen for QR. Konstrueres midtnormlen for QR hr mn smtidig konstrueret en norml til l gennem P. På figuren til højre er vinkelhlveringslinien for vinkel O tegnet. Vi vil begynde med t vise, t vinkelhlveringslinien hr smme fstnd till vinklens to ben. På figuren skl vi vise t PQ PR. Betrgtes OPQ og OPR, så hr de siden OP fælles, de er begge retvinklede, og POQ POR ½ O. Treknterne hr en side OP, en hosliggende og en modstående vinkel fælles, så de er kongruente. Hermed er PQ PR. Hermed er vist: Vinkelhlveringslinien er det geometriske sted for de punkter, som hr smme fstnd til to linier. Endvidere finder vi, t OQ OR (fordi treknterne er kongruente). Punkterne O og P ligger således lige lngt fr Q og R, og de ligger derfor begge på midtnormlen for QR. Dette nvendes til t konstruere vinkelhlveringslinien for en given vinkel. Med centrum i O fsættes med psseren to punkter Q og R på vinklens ben i smme fstnd fr O. Konstrueres derefter midtnormlen på QR hr mn smtidig konstrueret vinkelhlveringslinien for vinkel O. Om vinkelhlveringslinien til en vinkel i en treknt gælder følgende sætning: Vinkelhlveringslinien deler den modstående side i det smme forhold som de hosliggende sider.

14 Kp 4 Bevis: I treknt ABC er tegnet vinkelhlveringslinien til vinkel A. Denne forlænges ud over siden. Gennem B tegnes en linie prllel med siden b. Skæringspunktet mellem vinkelhlveringslinien og denne linie betegnes D. Det ses nu, t DAC ½ A ADB Endvidere er CBD BCA. så AC EC AEC ~ DEB. Herf følger:, men DAB ADB, så ABD er ligebenet, så DB EB AB DB. Det følger så, t AC AB EC EB, hvilket skulle vises. 5. Konstruktion f korderne k 0 og k 5. Længden f korden i en regulær 0-knt betegnes k 0. Den spænder over en bue på / Den søgte korde betegnes for nemheds skyld med k. På figuren er tegnet korden som grundlinie i en ligebenet treknt, hvis ben er rdier, og vinklen ved toppunktet O er Vinklerne ved grundlinien er derfor 7 0. Hlveres den ene f disse vinkler ved linien AC, bliver ABC ligebenet, d B C 7 0. Altså er AC k. ACO er også ligebenet, d 0 O OAC 36, så OC AC k. Vi nvender d sætningen om vinkelhleringslinien på OAB. AO AC OC r k k + rk r 0 CB k r k Løses denne ligning, idet vi bortkster den negtive løsning, finder mn: k r + r + 4r r ( 5 ) Dette udtryk, kn nu nvendes til t konstruere korden k 0. Mn tegner en hlvcirkel med rdius r. I Centrum O for cirklen oprettes den vinkelrette, som skærer cirklen i punktet B. OD hlveres f punktet A. Med Centrum i A tegnes en cirkel gennem B, som skærer dimeteren i punktet C. r r. Rdius i denne cirkel er AB ( ) + r 5

15 Cirkler 3 Mn finder derfor t r r OC 5 r ( 5 ) Hvilket ifølge ovenstående er lig med længden f korden k 0. Når mn kn konstruere k 0, så er det let t konstruere k 5, i det mn i den konstruerede 0-knt, blot tegner korden over 3 hjørner i 0-knten. Ligeledes kn mn konstruere k 0 ved t hlvere korden k 0 og så forbinde mindtpunktet med centrum f cirklen og finde skæringspunktet for denne linie med cirklen. Det er kun lidt mere kompliceret t få et udtryk for k 5 uden nvendelse f trigometri. Mn tegner mn en cirkel med rdius r og tegner to korder k 0 i forlængelse f hinnden. Forbindelseslinien mellem kordernes endepunkter er k 5. Vi betrgter to retvinklede treknter. Den ene med hypotenuse OP og den nden med hypotenuse PQ. Der gælder ifølge Phytgors sætning. Vi sætter r ( x) + ( k 5 ) x x + ( k 5 ) 0 x + ( k 5) k0 den Ved t subtrhere den øverste ligning fr den nederste, får mn: x k x k 0 0 Indsættes dette i den nederste ligning, finder mn: ( 4 k ) k k k (4 k ) Vi indsætter d k ( 5 ) ( ) k (4 + k 0 ) ( ( 5 )) (4 ( k ( 5 )) ) k k ( 5 5)(4 (5 5)) (3 5)( (3 5)) (3 5)( ( 3 5)(5 5) 5 + (5 5 5) (0 5) ) k Med rdius r. k r Som ses, t være det smme udtryk, som vi hr fundet tidligere ved hjælp f trigonometri. 6. Det gyldne snit

16 4 Kp 4 Det gyldne snit er betegnelsen for det, t dele et liniestykke i to stykker og b, som opfylder reltionen: + b b Dette kn omskrives til: b +. Sætter mn forholdet x vil det gyldne snit opfylde lignin- b gen: b ± 5 x + x x 0 x. x + 5 Forholdet mellem de to stykker, der deler liniestykket er derfor: x, 68 b Den geometriske deling f et liniestykke i det gyldne snit er ikke helt ligetil. Konstruktionen nedenfor kn føres tilbge til Euklid. Liniestykket betegnes AB. Uden indskrænkning, (og fordi det forsimpler regningerne) sætter vi AB. I punktet A oprettes en norml til AB og mn fsætter stykket, vinkelret på AB. Endepunktet for liniestykket betegnes D. ABD er retvinklet med kteterne og. vi Mn finder derfor BD + 5. Med centrum i D og rdius 5 tegnes en cirkel. Punktet, hvor cirklen skærer normlen i A betegnes E. Det ses t AE 5. Med centrum i A og rdius AE tegnes en cirkel. Skæringspunktet med AB betegnes C. Påstnden er, t C deler AB i det gyldne snit. AC AE 5 følgelig er CB - AC 3 5.

17 Cirkler 5 Vi udregner d forholdet: AC CB 5 ( 5 )( (3 5)(3 + 5) 5) som ses, t give det gyldne snit. Det gyldne snit dukker op i utllige mere eller mindre tilnærmede og spekultive smmenhænge. Geometrisk kn mn vise, t to digonler i en femknt deler hinnden ekskt i et forhold, som er det gyldne snit. Siden i en femknt er en korde, der spænder over en en vinkel på 7 0. Ifølge kordeformlen: v k Rsin er siden i en femknt: k 7 R sin36. En digonl i femknten spænder over 44 0 og følgelig er længden f digonlen: k 44 R sin7. En digonl i en femknt er (på grund f symmetrien) prllel med den modstående side. De to viste treknter er hermed ensvinklede, så forholdet mellem k 44 og k 7 er det smme som forholdet mellem stykkerne og b. k k 44 7 b b Rsin 7 cos(90 7) Rsin36 sin36 cos8 sin8cos8 sin8 Vi hr ovenfor nvendt formlen: sinv sinv cosv. Sin 8 0 er imidlertid kendt fr udledningen f 5 et udtryk for korden k 0 (korden i en regulær 0 knt). sin8. Indsættes dette finder mn 4 b k k 7 sin8 5 ( ( 5 + ) ( 5 + ) 5 )( 5 + ) (Det gyldne snit)

18 6 Kp 4 Kp 3. Treknter og firknter. Den retvinklede treknt En retvinklet treknt er en treknt, hvor en vinkel er 90 o. Mn betegner trditionelt den rette vinkel med C. Siden der ligger overfor den rette vinkel kldes for hypotenusen, og de to ndre sider i treknten betegnes som kteter. Højden h c er en norml på siden c, som går gennem C. På figuren ovenfor betegner H denne højdes fodpunkt. D C 90 o og A + B + C 80 o gælder t A + B 90 o, hvorf følger t B 90 o - A og A 90 o -B. På figuren er treknterne ACH og CBH ligeledes retvinklede, d H 90 o i begge tilfælde. Endvidere ses, t ACH (lig med vinkel C i ACH) lig med 90 o - A B. ACH B. På smme måde ses, t i treknt CBH er BCH A. Treknterne ACH og CBH er tegnet seprt på figuren. Hvd vi opdger er ltså, t disse to treknter er ensvinklede med treknt ABC. De hr nemlig begge en ret vinkel, en vinkel A og en vinkel B. Skrevet symbolsk: (4.) ABC ACH CBH Ifølge ksiom A5 er forholdet mellem ensliggende sider konstnt for disse 3 treknter. Mn betegner trditionelt de stykker, hvori højden h c deler hypotenusen med α og β. (Se figuren) For t udlede nogle kendte sætninger for den retvinklede treknt, vil vi nu opskrive smtlige forhold, som følger f de tre ensvinklede treknter. For t opskrive disse forhold behøver vi kun t se på (4.) og ikke på figuren. (Vi skl ikke nvende smtlige ligninger, men det er nær umuligt t se hvilke, mn skl nvende før de opskrives). AB AC BC c b ABC ACH AC AH CH b α h c ABC CBH AB CB AC CH BC BH c b h c β

19 Cirkler 7 AC AH CH b α ACH CBH CB CH BH h Af den tredie linie den sidste ligning finder mn: Denne sætning udtrykkes ved t: h c αβ c hc β α hc som giver: h β Højden er mellemproportionl (geometrisk gennemsnit) mellem de stykker, hvori den deler hypotenusen. Sætningen kn nvendes, hvis mn ønsker t konstruere det geometriske gennemsnit mellem to stykker. Konstruktionen kræver dog kendskb til begrebet synsvinkelbue, som vi vil vende tilbge til. c b Af den første linie flæser mn: b cα b α c Af den nden linie flæser mn: cβ. Adderes disse to ligninger finder mn: β (4.) + b cβ + cα c(β + α) c c c + b c Denne sætning er nok den mest velkendte f lle mtemtiske sætningen. Den kldes for: Den Pythgoræiske læresætning (Phythgors sætning): Kvdrtet på hypotenusen er lig med summen f kteternes kvdrter. Bemærk, t vi hr bevist sætningen udelukkende ved nvendelse f ksiom A5 (plus lidt snedighed).. Firknter c

20 8 Kp 4 Figuren ovenfor viser en vilkårlig firknt, smt 5 specielle firknter med nvne som ngivet. Deres egenskber skulle være velkendte og fremgår iøvrigt f figuren. Vi vil vise et pr små sætninger. Sætning: Vinkelsummen i en firknt er 360 o. En linie, der forbinder to modstående vinkelspidser i en firknt kldes for en digonl. På den første f figurene er trukket en digonl mellem B og D. Digonlen deler firknten i to treknter. Vinkelsummen i firknten er lig med vinkelsummen i treknterne ABD og treknt BDC. Vinkelsummen er således 360 o. Det er nemt t vise, t vinkelsummen i en n-knt er (n-)*80 o. n-knten kn nemlig opdeles i n- treknter, således t n-kntens vinkelsum er summen f de n- treknters vinkelsum. Sætning: I et prllellogrm hlverer digonlerne hinnden. På figuren betegnes digonlernes skæringspunkt med M. CAD ACB på grund f ksiomerne A3 og A4. Tilsvrende er DBC BDA. Endvidere er BC AD og AB CD ifølge definitionen på et prllellogrm Herf følger, t AMD er kongruent med CMB, ifølge K3. Af dette flæses så, t AM CM og MD MB. Digonlen AC hlverer digonlen BD. På helt tilsvrende måde, kn mn vise, t digonlen BD hlverer digonlen AC. Vi hr derfor vist, t i en prllellogrm hlverer digonlerne hinnden. 3. Trnsversler I treknt ABC er tegnet et liniestykke MN, som er prllelt med AC. Et sådnt liniestykke kldes for en trnsversl. D ABC MBN gælder: MB AB BN BC MN AC Specielt, hvis MB ½ AB følger t BN ½ BC og MN ½ AC. Trnsverslen kldes d for en midtpunktstrnsversl, idet den forbinder midtpunkterne f siderne AB og BC. Bemærk, t længden f midtpunktstrnsverslen er ½ AC. Omvendt vil der gælde Midtpunktstrnsverslsætningen:

21 Cirkler 9 Hvis en linie forbinder midtpunkterne f to sider i en treknt, vil den være prllel med den tredie, og hlvt så stor som denne. Dette følger f, t der kun er en linie, som forbinder midtpunkterne f de to sider ifølge det foregående er det netop midtpunktstrnsverslen. 4. Mediner En linie, der forbinder en vinkelspids med midtpunktet f den modstående side kldes for en medin. Vi vil bevise sætningen: I en vilkårlig treknt går de tre midiner gennem smme punkt og skæringspunktet deler enhver f medinerne i forholdet : regnet fr vinkelspidsen. Bevis: Ld L og M være midtpunkterne f siderne b og c. Vi tegner medinerne BL og CM. Deres skæringspunkt betegnes G. Vi tegner d en linie fr A gennem G. (Vi ved ikke om det er en medin...endnu). Linien skærer BC i N. (Vi ved ikke om N er midtpunktet f BC...endnu) Vi forlænger d linien ud over N til punktet K, således t AG GK. Vi betrgter d treknten ABK. I denne treknt er GM en midtpunktstrnsversl, idet M er midtpunktet f AB og G er midtpunktet f AK (ifølge konstruktionen). Herf følger: GM ½ BK og GM BK CG BK. På helt tilsvrende måde finder mn ved t betrgte AKC: GL ½ KC og GL KC BG KC. V hr ltså: CG BK og BG KC firknt CGBK er et prllellogrm I et prllellogrm hlverer digonlerne hinnden, så N er midtpunktet f BC. Linien fr A gennem G er derfor medinen fr A. Medinerne går gennem smme punkt. Dette vr sætningens første del. D GM er en midtpunktstrnversl i ABK er GM ½ BK ½ CG ( BK CG, d modstående sider i et prllellogrm er lige store). G deler ltså medinen CM i forholdet :.

22 0 Kp 4 Tilsvrende finder mn, t G deler medinen BL i forholdet :. Dette gælder også for medinen AN ifølge konstruktionen. Hermed er sætningens nden del bevist. 5. Midtnormler. Trekntens omskrevne cirkel Vi vil vise sætningen: I en vilkårlig treknt går midtnormlerne på trekntens sider gennem smme punkt, og dette punkt er centrum for trekntens omskrevnne cirkel. Bevis: På figuren er konstrueret midtnormlerne på siderne AB og BC. Der skæringspunkt betegnes O. Der gælder således: OA OB OB OC, hvorf følger t OA OC. O ligger således på midtnormlen for AC. Midtnormlerne går gennem smme punkt. D A, B og C ligger i smme fstnd fr O, liggger de på en cirkel med centrum i O. Denne cirkel kldes for trekntens omskrevne cirkel. 5. Trekntens indskrevne cirkel Ved en treknts indskrevne cirkel forstår mn en cirkel, som tngerer trekntens 3 sider. Vi vi bevise sætningen: Vinkelhlveringslinierne i en treknt går gennem smme punkt, og dette punkt er centrum for trekntens indskrevne cirkel. Bevis: På figuren er konstrueret vinkelhlveringslinierne fr A og C. Deres skæringspunkt betegnes O. O hr smme fstnd fr siderne b og c, d O ligger på vinkelhlveringslinien fr A, og O hr smme fstnd fr siderne og b, d O ligger på vinkelhlveringslinien fr C. Derfor hr O smme fstnd fr siderne og c, og O ligger således på vinkelhlveringslinien fr B. Vinkelhlveringslinierne går gennem smme punkt. Tegner mn derfor en cirkel med rdius r O bo co, (hvor O fstnden fr siden til punktet O osv.), vil denne cirkel tngerer de tre sider i treknten. Den betegnes som trekntens indskrevne cirkel. Der gælder en lille sætning om smmenhængen mellem trekntens rel T, rdius r i den indskreve cirkel og trekntens hlve perimeter (omkreds) s hvor s + b + c. T r s Deles treknten nemlig op i de 3 treknter AOC, COB og AOB, kn relet f hver f disse treknter udregnes som (½ højde*grundlinie) ½r b, ½r og ½r c. Derfor er

23 Cirkler T ½r b + ½r + ½r c ½r(b + + c) ½ r s r s 6. Højder Vi vil vise sætningen: I en vilkårlig treknt skærer de tre højder hinnden i smme punkt. Beviset er en nelse mere kompliceret ed de tilsvrende sætninger for midtnormler og vinkelhlveringslinier. Beviset kræver et lille trick. Se figuren. Gennem vinkelspidserne tegnes linier prllelle med den modstående side. Disse linier dnner en ny treknt, som betergnes PQR. Vi betrgter firknt ABPC. I denne firknt gælder, t BP AC og AB PC. Firknten er et prllellogrm, så BP AC og PC AB. Dernæst betrgtes firknt ARBC. I denne firknt gælder AR BC og RB AC. Firknten er et prllellogrm, så RB AC og AR BC. Smmenholdes nu de to firknter, ses t BP AC og RB AC. Vi finder derfor, t BP RB, så B er midtpumktet f PR. Højden fr b, h b er derfor midtnorml i på siden PR i treknt PQR. Tilsvrende for de to ndre højder. D de tre højden h, h b og h c er midtnormler i treknt PQR, går de gennem smme punkt, hvorefter sætningen er bevist.

24 Kp 4 Kp 3. Cirkler. Tngentvinkler og periferivinkler Vi giver først et pr definitioner: En tngent til en cirkel er en linie, der kun skærer cirklen i et punkt. En seknt er en linie, der skærer cirklen i to punkter. En korde er et liniestykke, der forbinder to punkter på cirkelperiferien. Hvis liniestykket gåt gennen cirklens centrum, kldes det for en dimeter. En centervinkel er en vinkel, der hr toppunkt i cirklens centrum. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. (Nturligvis pr. definition f grdtllet.) En tngentvinkel er en vinkel, hvis ben tngerer cirklen. (Se figuren). En periferivinkel er en vinkel, som hr toppunkt på cirkelperiferien. Vi beviser først sætningen: En tngentvinkel måles ved 80 o - buen den spænder over. Bevis: På figuren er CQP CRP 90 o. Herf følger: C+ P 80 o (D vinkelsummen i en firknt er 360 o.) Hvorf sætningen følger. Vi beviser dernæst sætningen: En periferivinkel måles ved den hlve bue den spænder over.

25 Cirkler 3 Bevis: Se figuren. Beviset deles op i 3 dele. Først ser vi på tilfældet, hvor periferivinklens ene ben går gennem cirklens centrum O. Periferivinklen er P, med måltl v. Vi hr tegnet en hjælpelinie BC. Vinklerne P og B er begge lig med v, d treknten er ligebenet, og AOB er supplementvinkel til POB 80 o -v, så AOB v. Periferivinklen P med måltl v spænder over buen AB med måltl v, ltså kn vi i dette tilfælde slutte, t en periferivinkel måles ved den hlve bue den spænder over. På fig. ligger vinklens ben på hver side f linien, som forbinder P med cirklens centrum O. Forlænges denne linie, hr vi delt periferivinklen op i to periferivinkler, som begge hr et ben, som går gennem centrum. D sådnne periferivinkler måles ved den hlve bue de spænder over er sætningen vist også i dette tilfælde, idet v u + w ½AB + ½CB ½AB. Endelig ser vi på fig. 3. Her ligger begge ben på smme side f f OP. Igen forlænges linien PO så den skærer i C. Der vil så gælde: v u - w ½CB - ½ CA ½AB, hvorefter sætningen er bevist. Vi mngler nu kun, t behndle to typer f vinkler i forbindelse med en cirkel. En kordetngentvinkel er en vinkel, hvis ene ben tngerer cirklen, og hvis ndet ben er en korde. (Se figuren nedenfor). Der gælder sætningen: En kordetngentvinkel måles ved den hlve bue den spænder over. Sætningen følger f sætningen om periferivinkler, idet en kordetngentvinkel blot er en grænsestilling for en periferivinkel, når den ene korde udrtes til en tngent. Men det kn også ses direkte som vis på figuren. Tegnes de to rdier til P og Q, og kldes vinklerne ved grundlinien for u, så er u 90 v. w PQ 80 u > u 90 - ½PQ. Så v ½PQ (Den hlve bue den spænder over). En sekntvinkel er en vinkel, hvis to ben er seknter i en cirkel. (Se figuren). Der gælder sætningen: En sekntvinkel måles ved den hlve differens mellem de buer den fskærer på cirklen Bevis: (Se figuren) Sekntvinklens ben skærer cirklen i punkterne A, B, C og D. Vi tegner en hjælpelinie AC, som definerer vinklerne u og w. u er supplementvinkel til PCA, så u v+w. Herf

26 4 Kp 4 følger: v u-w ½AB - ½CD, hvorefter sætningen er bevist. (Vi hr nvendt t u og w er periferivinkler).. Synsvinkel På figur er tegnet en cirkel med en korde AB. AB fskærer buen AB (og 360 o - AB) på cirklen. Alle periferivinklerne C, C og C 3 fskærer den smme bue AB og de er derfor lige store. Buen AB (og 360 o - AB) kldes for synsvinkelbuerne for korden AB, idet AB ses under den smme vinkel for ethvert punkt, der ligger på buen AB. 3. Synsvinkelkonstruktionen Det er ikke helt ukompliceret t konstruere den synsvinkelbue, hvorunder et givet liniestykke ses under en given vinkel. Konstruktionen er vist på figur. Liniestykket betegnes AB og vinklen C. Vinkel C fsættes i A, således t AB er vinkel C's venstre ben. En cirkel, der går gennem A og B, og som tngerer den fstte vinkels højre ben i A, vil hvde den fstte vinkel som kordetngentvinkel, og buen AB (for neden) vil derfor være det dobbelte f C. Alle periferivinkler på den øverste del f buen AB, hvis ben skærer i A og B måles ved den hlve bue AB, og vil derfor være lig med C. Den omtlte cirkel vil derfor være den søgte synsvinkelbue. Cirklen konstrueres nu, idet centrum må ligge på midtnormlen for AB, og centrum må ligeledes ligge på en norml til den fstte vinkels højre ben i A, d cirklen skl tngerer dette ben (kordetngentvinkel). Ved t konstruere midtnormlen på AB og en norml i A, bestemmes cirklens centrum d som de to liniers skæringspunkt. Hvis c AB og C er kendte kræver det en synsvinkelkonstruktion og endnu en oplysning for t kunne konstruere ABC. Det kn f.eks. være h c (højden på siden c) eller m c (medinen på siden c).

27 Cirkler 5 Øvelse: Konstruer ABC, når C 45 o, c 6 og m c Indskrivelige og omskrivelige firknter Vi hr vist t enhver treknt hr en indskreven og en omskreven cirkel, men noget tilsvrende gælder ikke for firknter, eller n-knter hvor n > 3. En firknt kldes for indskrivelig, hvis den hr en omskreven cirkel, ltså en cirkel, som går gennem de fire vinkelspidser. En firknt kldes for omskrivelig, hvis den hr en indskreven cirkel, ltså en cirkel, som tngerer firkntens sider. Der gælder følgende sætninger: En firknt hr en omskreven cirkel, hvis og kun hvis summmen f modstående vinkler i firknten er 80 o. En firknt hr en indskreven cirkel, hvis og kun hvis summen f det ene pr modstående sider er lig med summen f det ndet pr. Bevis: På fig. er vist en firknt med en omskreven cirkel. A og C er begge periferivinkler, som måles ved den hlve bue de spænder over. D de tilsmmen spænder over hele cirkelbuen er A+C 80 o. Tilsvrende med B og D. På fig. er vist en firknt med en indskreven cirkel. A, B, C og D er d fire tngentvinkler. Afstndene fr vinkelspidserne til tngeringspunkterne med cirklen kldes for e, f, g og h. Det ses t: AB + CD h+e+g+f, og BC + AD e+f+g+h, hvorf følger t,

28 6 Kp 4 AB + CD BC + AD, hvormed sætningen er bevist. 5. Herons formel Der findes utllige sætninger i geometrien, og vi hr i disse noter kun nævnt de de llermest elementære og kendte. I lærebog i Geometri for mellemskolen, fluttedes bogen for 4. mellem (9. klsse) med en indviklet sætning, som kldes for Herons formel. Vi vil nu bevise denne sætning. Kldes trekntens sider for, b og c, den hlve perimeter (omkreds) for s, så s + b + c. For trekntens rel T gælder formlen: T s( s )( s b)( s c) På figuren nedenfor er tegnet en treknt, dens indskrevne cirkel, smt den ydre røringscirkel til siden. Den ydre røringscirkel tngerer forlængelsen f siderne b og c, smt siden. Centrum for den ydre røringscirkel O A ligger på vinkelhlveringslinien for A, smt vinkelhlveringslinierne for supplementvinklerne for A og C. Rdius i den ydre røringscirkel betegnes r. Røringspunkterne for den indskrevne cirkel på siderne, b og c betegnes med A, B og C. Afstnden fr en vinkelspids til røringspunktet for den indskrevne cirkel betegnes x, y og z. Der gælder: y+z, x+z b og x+y c hvorf følger, t x+y+z +b+c s x + y + z s Subtrheres fr denne ligning y+z, finder mn: x s- og to tilsvrende ligninger, ilt x s- og y s-b og z s - c. Endvidere hr mn, idet AD AE: AD AB +BD AB+BF og AE AC + CE AC + CF.

29 Cirkler 7 Ved ddition f disse to ligninger findes: AD + AE AD AE AB + AC + BF + CF c + b + s AD AE s (Adstnden fr en vinkelspids til tngeringspunktet for den ydre røringscirkel for den modstående side er lig med trekntens hlve perimeter) Endvidere får mn: BD AD - AB s - c. (og tilsvrende for de ndre stykker). Vi er nu rede til t opstille nogle forhold for nogle ensvinklede treknter. D vinkelhlveringslinierne for to supplementvinkler er ortogonle (tilsmmen er de to hlveringsvinkler for 80 o jo 90 o ) er OBC 90 o - O BD BO D OBC ½B. Vi hr d: BOC O BD, som giver: OC BD BC O D r s b s c r Tilsvrende finder mn idet AOC AO D OC O D AC AD r r s s Multipliceres de to ligninger med hinnden finder mn, idet r kn bortforkortes: r ( s )( s b)( s s Anvendes derefter formlen T r s, fremkommer Herons formel. c) T s( s )( s b)( s c) 6. Om t bevise den omvendte sætning til en sætning Hvis mn skl bevise den omvendte sætning til en sætning gøres det ofte på den smme måde i geometrien. Her vil vi illustrere metoden til t bevise den omvendte sætning til Pythgors' sætning. Hvis der i en treknt gælder, t c + b, så er C 90 o.

30 8 Kp 4 Bevis: Vi dnner en retvinklet treknt med kteterne og b. For denne treknt vil gælde, t c + b. D denne treknt og den oprindelige så hr tre sider fælles er de kongruente, og dem oprindelige treknt er retvinklet.