Værdien af den traditionelle pensionskontrakt

Transkript

1 Handelshøjskolen i Århus Erhvervsøkonomisk Insiu Kandidaafhandling cand.merc. finansiering Værdien af den radiionelle pensionskonrak En opionsbasere synsvinkel Februar 2007 Opgaven er udarbejde af: Carsen Holmgård Rosser, Vejleder: Anders Grosen

2 1. Indholdsforegnelse 2 1 Indholdsforegnelse 1 INDHOLDSFORTEGNELSE PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING ENGLISH SUMMARY INTRODUKTION PRODUKTET GENERELT Kapial eller raepension Valg af produk DET TRADITIONELLE PRODUKT Bonus E eksempel SELSKABET MARKEDSVÆRDIREGNSKABET Baggrund De nye regler Regnskabsreglernes vigighed for konorenen Beinge bonus FORDELING OPTIONSTANKEGANGEN GENERELT UNIT-LINK TILBAGE TIL DET TRADITIONELLE PRODUKT SKALERING MODEL FOR KONTORENTEN PRISFASTSÆTTELSE MARTINGALE-PRISFASTSÆTTELSE BLACK-SCHOLES-LIGNINGEN RENTEAFHÆNGIGE AKTIVER MONTE CARLO ELLER FINITE DIFFERENCE MODELLEN GENERELT KUNDERNES PORTEFØLJE Obligaionsporeføljen Akieporeføljen SELSKABETS FORPLIGTIGELSER MODELLEN OG DE FORSKELLIGE GARANTITYPER Renegarani Ydelsesgarani Beinge renegarani Generel om garaniyperne SIMULATION AF KONTORENTEN Specifik beskrivelse Paramere RESULTATER DE FØRSTE RESULTATER... 66

3 1. Indholdsforegnelse RENTEFØLSOMHED PORTEFØLJEN DISKUSSION GENERALISERING TIL FLERPRÆMIEKONTRAKT PRISFASTSÆTTELSE BRUGBARHED Fra selskabes synsvinkel Fra kundernes synsvinkel KONKLUSION LITTERATURLISTE APPENDIKS A: TEST AF PSEUDOTILFÆLDIG TALGENERATOR

4 2. Problemformulering 4 2 Problemformulering I afhandlingen vil jeg analysere værdifassæelse af pensionsopsparinger af den radiionelle ype. Måle er ved a udvikle modellen af Grosen og Jørgensen (2000) a undersøge hvordan forskellige egenskaber ved konraken påvirker konrakens værdi. Herunder vil jeg forsøge a besvare følgende spørgsmål: Hvordan påvirkes værdien af konraken af, a renegaranien gøres beinge? Hvordan påvirkes værdien af konraken af de nye regnskabsregler? Hvordan påvirkes værdien af konraken af reneændringer? Hvordan påvirkes værdien af konraken af ændringer i sammensæningen af akivporeføljen? Hvor sor er brugbarheden af den opionsbaserede synsvinkel? 3 Afgrænsning Modellen ager udgangspunk i en én-præmiekonrak og anager ligeledes, a selskabes forpligigelser udelukkende besår af én-præmiekonraker. Tilbagekøb er ikke inkorporere i modellen. Modellen ignorerer kundernes kredirisiko. Dvs. risikoen for, a selskabe ikke kan beale hvad kunderne har krav på a modage.

5 4. English Summary 5 4 English Summary This hesis deals wih he life insurance and pension conracs ha are in Denmark behind he erm he radiional conrac. In oher counries hese conracs are called paricipaing conracs, wih-profi conracs, and universal conracs. The conrac defines a guaraneed benefi a reiremen. Furhermore, he conrac offers he holder of he conrac a disribued bonus. The size of he bonus is, in Denmark, decided on a yearly basis by he company. As a resul of he possibiliy of receiving bonus, he acual benefi a reiremen is mos likely higher han wha was promised upon incepion of he conrac. In he early 80 s, he Danish life insurance companies agreed on a minimum rae of reurn guaranee equal o 4.5% afer axes. A ha poin he nominal ineres raes in he marke were around 20%. As a resul, he companies were no paricularly worried abou he fulfillmen of hese guaranees. From he lae 90 s he marke ineres raes had, however, dropped o criical levels. The rae of reurn guaranees were for new conracs lowered firs o 2.5% and finally o 1.5%. The governmen saw he problem as well and lowered he axaion on he reurn from over 50% o now 15%. The companies hemselves were of he belief ha he rae of reurn guaranee was only applicable o he paid-in premiums and no he disribued bonus. In his way, hey could use earlier disribued bonus in order o ensure fulfillmen of he rae of reurn guaranee on he paid-in premiums. This pracice was, however, no widely acceped in he public, which is why he companies invened a new ype of bonus called coningen bonus wih exacly his propery. In order o help ensure ha difficuly wih he fulfillmen of rae of reurn guaranees would no arise in he fuure, he regulaors implemened new marke value based accouning sandards for dealing wih life insurance liabiliies. My hesis uses financial opion based mehodology o evaluae he price of he conracs by which he value of he conrac is spli up ino a bond-like guaraneed componen and an opion-like componen relaed o he possibiliy of collecing bonus. The opion-like componen is named he bonus opion. This approach is inspired by he paper by Grosen and Jørgensen Using his mehodology, I evaluae he effec on he value of he conracs resuling from he inroducion of coningen bonus disribuion. I also evaluae he effec of changing ineres rae levels and a change in accouning sandards on he value of he

6 4. English Summary 6 conracs. Finally, I evaluae he effec of a change in he naure and composiion of he company s porfolio of markeable securiies on he value of he conracs. Resuls-wise, I find ha he inroducion of coningen bonus lowers he value of he conracs, alhough his effec is raher modes. The value of he bonus opion is very sensiive o he general ineres rae level in he marke. A rise in ineres rae level increases he value of he bonus opion, whereas a fall in ineres rae level lowers he value of he bonus opion. A change in ineres level has he opposie effec on he value of he guaraneed componen of he conrac. Wheher he oal value of he conrac increases or decreases wih a change in ineres rae level depends on he inerplay beween he value of hese wo componens. The inroducion of he new accouning sandards regarding he life insurance liabiliies has made he value of he bonus opion more sensiive o swings in he ineres rae level. Wih respec o he porfolio of he company, I find ha a higher volailiy of he asses increases he value of he bonus opion, unless he asses in he porfolio are correlaed wih he marke ineres rae. When his is he case, he asses can hedge heir own expeced reurn and shocks from he accouning value of he guaraneed benefi, hereby lowering he value of he bonus opion. A major problem wih he conracs reaed in his hesis is ha he asse composiion of he marke porfolio of he company is far from opimal for mos pension savers. The companies overweigh bonds a he expense of socks hereby reducing volailiy and heir risk of no being able o fulfill heir obligaions regarding paymen of benefis. The problem for he cusomer is ha hey, by using his ype of conrac as a savings vehicle, forfei he higher expeced reurn ha comes from invesing in a more sock heavy porfolio. I argue ha, by uilizing he risk reducing properies of coningen bonus, he companies migh be able o aler he asse mix in a favorable direcion. This migh require ha all bonus in he fuure be made coningen, which will be o he benefi of boh company and cusomer. In my paper I have lef ou a leas wo imporan aspecs. Firsly, I don rea he cusomer s opion of abandoning he conrac before paymen of benefis. Secondly, I widely ignore he credi risk faced by he cusomers. By credi risk I mean he risk of he cusomers no receiving heir guaraneed benefis in case of company defaul. Boh areas are imporan and ineresing, bu have no been reaed in his paper due o space and ime consrains.

7 5. Inrodukion 7 5 Inrodukion I 1982 afale livsforsikrings og pensionsselskaberne 1 i de såkalde G82 grundlag en grundlags rene på 4,5%. Den lange rene var på de idspunk lige omkring 20%. Der var ingen som havde fanasi il a foresille sig, a en sådan pensionsgarani kunne give problemer, da problemerne førs ville opså ved e krafig langvarig renefald, hvor reneniveaue før ska fald il under 6%, og blev der i en årrække. Mid i oliekrisernes eferdønninger med høj inflaion og høje rener var e reneniveau under 6% i en længere periode svær a foresille sig. De var imidlerid lige præcis hvad der skee. I 1983 fald reneniveaue drasisk, og i begyndelsen af 1994 nåede den 10-årige sasobligaion for førse gang de 6%. Siden sluningen af 1997 har den 10-årige sasobligaion konsekven ligge under 6%, og er i dag lige omkring 4%. Figur 1: De hisoriske danske reneniveau Realreneafgifens indførsel, G82 grundlage, Renegarani på nyegnelser Lang rene efer ska Lang rene *Renen mellem 1948 og 2000 er af Danmarks Saisik definere som den lange rene. Renen mellem 2001 og 2006 er definere som den gennemsnilige effekive rene på en 10-årig sasobligaion. Kilde: Danmarks Saisik 2001, Danmarks Saisik 2007 og Skaeminiserie Fremover L&P-selskaberne eller bare selskaberne, der i denne opgave også dækker over pensionskasser

8 5. Inrodukion 8 E renefald medfører o problemer for L&P-selskaber. For de førse, medfører e renefald en signing i værdien af akiver såvel som passiver. Dog er varigheden af L&P-selskabernes pensionsforpligigelser ypisk højere end varigheden af deres akiver. Denne varighedsforskel kan ved renefald medføre en udmarvning af egenkapialen, hvilke igen kan medføre eknisk insolvens og diverse påbud fra Finansilsyne. For de ande, må L&P-selskaberne ved geninvesering nøjes med en lavere geninveseringsrene. Hvis man har garanere udbealinger il 4,5% og kun kan invesere il 3,5% efer ska, er de kun e spørgsmål om id, før pengekassen løber ør. Dee er især farlig hvis reneniveaue holder sig lav i en længere periode som de jo neop har være ilfælde. Udover den grundlæggende reneklemme for speciel de ældre L&P-selskaber blev selskabernes solvensproblemer forværre af udviklingen på akiemarkede efer 11. sepember 2001, jf. figur 2. Figur 2: Akiekursfalde efer 11. sepember apr-96 apr-98 apr-00 apr-02 apr-04 apr-06 OMXC20 (3. juli 1989 = 100) Kilde: Danmarks Saisik 2007 De blev eferhånden klar for enhver, a der måe juseres i den grundlæggende udformning af konrakerne. Finansilsyne reagerede ved i 2 omgange a nedsæe den maksimale grundlagsrene - i 1994 il 2,5% og igen i 1999 il 1,5%. Dee løse dog ikke probleme, da de nye grundlagsrener kun var gældende for nye afaler. Dvs. sore grupper sad sadigvæk med 4,5% garanier som sadig voksede i ak med indbealingerne. Hjælpen kom dog også i form af lavere beskaning af pensionsafkase. Realreneafgifen fald gradvis fra 56% i 1989 il 34% i Med indførslen af pensionsafkasloven i 2000 fald sasen il 26% for i 2001 a

9 5. Inrodukion 9 ende på 15% som den er den dag i dag (Skaeminiserie 2007). Selvom garanierne var give før realreneafgifens indførsel i 1984, blev de ved afgifens indførsel anage a garanierne garanerede e afkas efer ska. For L&P-selskaberne var den faldende realreneafgif derfor særdeles velkommen. L&P-selskaberne selv så selvfølgelig også skrifen på væggen. Der var dog ikke mange virkemidler ilbage, efer a renefalde allerede havde funde sed. Kreaivieen måe derfor findes frem. En åbenlys knap der kunne skrues på var udformningen af pensionsgaranien og her speciel garanien på bonusopskrivningerne. Spørgsmåle var om bonusilskrivninger, der var give i idligere gode år, også var garanere en årlig forrenning med grundlagsrenen, eller om de senere kunne mindskes for a opfylde renegaranien på indbealingerne. Opfaelsen bland mange var, a bonus også skulle forrenes med grundlagsrenen og ikke senere kunne mindskes. Da krisen kradsede, inroducerede Danica 1. januar 2001 på 4,5% konrakerne derfor den såkalde beingede bonus kalde konosyrkelse, som neop var definere ved a kunne ilbageføres hvis nødvendig (Danica 2007a og 2007c). I 2003 indføre Danica også konosyrkelse på 2,5% konrakerne (Danica 2007a). Nordea indføre konosyrkelse i 2004 og PFA har ligeledes indfør konosyrkelse (Nordea 2007, PFA 2007a og PFA 2007b). Konosyrkelsen er en kono ilhørende kunden, som indeholder de beløb der normal ville være bleve udbeal som bonus. Forskellen er bare, a konosyrkelsen kan benyes il a sikre den lovede forrenning af indskudde. Dvs. konosyrkelse dækker over en ugaranere bonushensæelse som kan, hvis de viser sig nødvendig, benyes il a sikre den lovede forrenning af indskudde. Dee mindsker selvfølgelig værdien af den oprindelig afgivne garani. Denne uklarhed over garaniens generelle naur har i de senese år medfør, a L&Pselskaberne er bleve rukke i reen af uilfredse kunder. Danica vand i december 2005 imidlerid en sag, hvor de i 1999 og 2000 havde rukke en bealing fra kundernes kono for a kunne sikre den lovede 4,5% forrenning (Dengsøe 2005). På samme vis har Nordea neop vunde en sag, som fasslår, a kunderne er love en gennemsnilig forrenning over konrakens løbeid og ikke en minimumsforrenning hver år (Rizau 2006). Selvom begge disse afgørelser peger i samme rening, må de dog forvenes, a de sidse ord i denne sag endnu ikke er sag.

10 5. Inrodukion 10 Hvis de imidlerid viser sig a pensionsgaranien også indbefaer bonusilskrivningerne, melder spørgsmåle sig med hvilken garanirene disse bonusilskrivninger er garanere. De afgørende er, hvornår bonusilskrivningerne finder sed. Bonusilskrivningerne er nemlig garanere med den med grundlagsrene som er akuel på de pågældende idspunk. De samme gælder for de indbealinger som ligger udover de afale indbealinger. De afale indbealinger er naurligvis forrene med den grundlagsrene som var gældende ved konrakens indgåelse, selvom grundlagsrenen senere er sænke. De kommercielle livsforsikringsselskaber giver kunderne en mulighed for a opsige deres konrak i uide og få udbeal de nominelle indesående på deres koni, frarukke e passende kursværn. Dee vil især være arakiv i en siuaion hvor pensionsselskabernes akiver har ab mege af deres værdi, hvilke har mindske den økonomiske værdi af pensionskonrakerne il e niveau som ligger under beløbe på kundens kono. Denne mulighed har selvfølgelig en værdi, og er benævn enen ilbagesalgsopionen eller ilbagekøbsopionen. En konrak med denne mulighed er også benævn en amerikansk konrak i modsæning il en europæisk konrak, der alene kan udnyes ved udløb. De er selvfølgelig i L&P-selskaberne ineresse a minimere værdien af denne opion. Dee gøres i sor sil vha. kursværne. Udover kundernes mulighed for a opsige konraken i uide, har L&P-selskaberne ligeledes en række opioner. Disse er benævn modopioner. De drejer sig om bonusildelingsopionen 2, inveseringsopionen og kursværnsopionen. Disse beskriver selskabe mulighed for a fassæe bonus, inveseringssraegi og kursværn. Disse opioner har givevis værdi, ide de vil blive brug fliig i krisesiuaioner. Borse fra ændringerne i de radiionelle produk har L&P-selskaberne i sor sil forsøg a flye kunderne over i de såkalde uni-link ordninger. Disse ordninger flyer risikoen fra L&P-selskaberne il kunderne, ide kundernes opsparing er direke bunde il udviklingen på de finansielle markeder. Derved bliver selskaberne mindre følsomme overfor udviklingen på de finansielle markeder. 2 Ikke a forveksle med bonusopionen som dækker over kundens mulighed for a modage bonusilskrivninger.

11 5. Inrodukion 11 Min opgave forsøger a belyse, hvorledes indførslen af beinge bonus har påvirke værdien af kundernes konrak. Derudover vil jeg undersøge hvordan selskabes inveseringsbesluning påvirker værdien af konraken. Jeg vil også belyse konrakens renefølsomhed og denne følsomheds afhængighed af indførslen af de nye markedsværdibaserede regnskabsregler.

12 6. Produke 12 6 Produke 6.1 Generel Kapial eller raepension Når man sparer op via en pensionsordning, har man overordne se o valgmuligheder. Man kan vælge enen en kapial- eller raepension. Udover skaemæssige konsekvenser afviger de o muligheder kun på udbealingen af ydelsen(erne) ved pensionering, hvorimod de løbende af kunden indbeale præmier er ens. Vælger man en kapialpension som ramme om sin opsparing, så udbeales ved pensionering en engangsydelse. Vælger man derimod en raepension som ramme om sin opsparing, så udbeales opsparingen i raer, hvor førse rae ypisk udbeales ved pensionering. Disse raer er ypisk spred ud over år. Pensionen kan også udbeales som en såkald livrene, hvor indehaveren af konraken udbeales e fas beløb fra pensionsidspunke indil sin død. Dee produk kan ses som en varian af raepensionen, hvori der er indbygge e forsikringselemen. Om man vælger en kapial eller en raepension beror førs og fremmes på kundens individuelle nuidige og forvenede fremidige skaeforhold. De o overordnede rammer om kundens pensionsopsparing er for denne afhandling mindre væsenlige, ide forskellene bygger på udbealingen. F.eks. kan en raepension direke sammenlignes med en kapialpension ved a ilbagediskonere raerne il kapialpensionens udbealingsidspunk. Denne afhandling vil derimod koncenrere sig om udviklingen af kundens kono indil pensionering. Hvordan pengene derefer bliver udbeal er mindre væsenlig. Fremover vil jeg gå ud fra, a der er ale om en kapialpension for simpelhedens skyld Valg af produk Efer valge af overordne ramme skal L&P-selskaberne udbud af pensionsproduker overvejes. Valge fassæer spillereglerne for forrenningen af præmierne. Forrenningen af de indbeale præmier er nemlig besemmende for sørrelsen af den udbeale ydelse ved pensionering. Selvsag er valge af produk mege vigig og bør overvejes nøje. Produkerne kan overordne se opdeles i uni-linkproduke, livscyklusproduke og de radiionelle produk (Jakobsen 2002, Grosen 2005). Uni-linkproduke er mere eller mindre lig a invesere i ege depo via sin bank. Forskellen ligger i a L&P-selskaberne har mulighed for a ilknye en garani il konraken. Derudover kan forskellige forsikringselemener også indgå i

13 6. Produke 13 pakken. Livscyklusproduke er e relaiv ny produk, hvor inveseringsfordelingen ilpasses kundens alder. Dvs. kundens akieandel mindskes med alderen. Forrenningen af kundens kono sker som udgangspunk som ved uni-link - dog med mindre kundeinvolvering i inveseringsbesluningen. De radiionelle produk er fokus for denne opgave og beskrives nu nærmere. 6.2 De radiionelle produk Den radiionelle pensionsopsparing bygger på e simpel princip. Kunden indbealer en afal præmie med fase inervaller, som så bliver forrene med en konorene 3, r k,, der fassæes af L&P-selskabe hver år forud for perioden hvori renen er gældende (Grosen og Jørgensen 2000). Disse præmier definerer efer a være frarukke diverse omkosninger og forsikringselemener sam illag en årlig forrenning med konorenen, de nominelle beløb på kundens kono K. Når kunden indbealer sine præmier, bliver disse af L&P-selskabe invesere i de finansielle markeder. Den resulerende porefølje kaldes kundens porefølje eller kundens akiver A. Selvom poreføljen juridisk se ilhører kunderne, er de dog selskabe, der sår for inveseringsbesluningerne. De er neop afkase på denne invesering, som giver L&P-selskabe mulighed for a forrene beløbe på kundens kono med konorenen. Ved konrakens indgåelse garanerer L&P-selskabe en minimumsforrenning af de nuidige og fremidige præmier. Denne minimumsforrenning er kalde grundlagsrenen, r g (Erhvervs og Økonomiminiserie 2003). A L&P-selskabe garanerer en minimumsforrenning af præmierne ved grundlagsrenen, er de samme som, a selskabe garanerer en enkel minimumsydelse 4 for en kapialpension, og en mindre månedlig minimumsydelse for en raepension. Som sag anager jeg a konraken er en kapialpension, hvorfor den garanerede ydelse er en engangsydelse benævn GY. Konorenen fungerer som link mellem indbealingerne og den senere fakiske ydelse. På samme måde fungerer grundlagsrenen som link mellem indbealingerne og den garanerede ydelse. Ide konorenen som regel ligger over grundlagsrenen i minds nogle af årene, vil kunden som regel selv uden yderligere indbealinger ved udløb få udbeal en ydelse, som ligger over GY. Dvs. hvis jeg i dag ved konrakens indgåelse ( = 0) indbealer 100 kr., og min konrak er opree på baggrund af en 1,5% grundlagsrene, er jeg ved konrakens udløb 3 Konorenen dækker over samme begreb som deporenen. 4 Eller reere e minimumsbeløb i ilfælde af en kapialpension

14 6. Produke 14 om 20 år ( = T = 20) garanere en engangsydelse på GY 0 = 100 1, = 134,69 kr., hvis vi ser bor fra yderlige indbealinger selvfølgelig. En forrenning på 1,5% er dog ikke speciel høj. Hvis vi anager a den effekive rene efer ska på en 20 års nulkupon-obligaion ligger på 3,0%, så er den garanerede ydelse p. kun 134,69 1,03-20 = 74,57 kr. værd. Dvs. hvis den garanerede udbealing var de enese jeg modog, var konraken ikke fair forsåe på den måde, a jeg kunne opnå en bedre forrenning i de finansielle markeder. De er klar, a jeg derfor skal modage noge eksra, for frivillig a ville indgå konraken. Dee eksra modager kunden i form af, a beløbe på kundens kono i nogle år bliver forrene med en konorene, som ligger over grundlagsrenen. Denne merrene er radiionel bleve benævn bonusrenen r b, (Grosen og Jørgensen 2000). Bonus ilskreve kundens kono på idspunke + 1 kan defineres som r b,+ 1 K, hvor bonusrenen er den rene der ligger over grundlagsrenen. I lyse af L&P-selskabernes senere innovaioner mh. bonusilskrivningen, kan der defineres o yper bonus: ubeinge, der er den normale bonusilskrivning og beinge, der er den nye Bonus De sore spørgsmål er nu om bonusilskrivningen il kundens kono er garanere en minimumsforrenning med grundlagsrenen eller ej. Jeg vil benævne en bonusilskrivning ubeinge hvis bonusilskrivningen er garanere en forrenning med grundlagsrenen. På samme måde vil jeg benævne en bonusilskrivning beinge hvis bonusilskrivningen kun er garanere en forrenning med grundlagsrenen, så længe visse beingelser ikke er opfyld. Med beinge menes i praksis a bonusilskrivningen senere kan forrydes ilbageføres - hvis L&P-selskabe skulle få problemer med a opfylde den afgivne forrenningsgarani på f.eks. de indbeale præmier.

15 6. Produke 15 Figur 3: To yper bonusilskrivning Bonusilskrivning Ubeinge Beinge Garanere forrenning med grundlagsrenen Garanere forrenning med grundlagsrenen med mindre beingelser er opfyld Om kundens kono bliver ilskreve en ubeinge eller beinge bonus har beydning for den garanerede ydelse ved konrakens udløb. Når kundens kono bliver ilskreve en bonus og bonus er ubeinge, bliver den garanerede ydelse ved konrakens udløb GY opskreve B X, med X B T (1 + rg ) hvor T- er iden il konrakens udløb. Hvis kundens kono ikke før er B T bleve ilskreve ubeinge bonus, så vil de gælde a GY = X (1 + rg ) + GY0. Hvis kundens kono derimod bliver ilskreve en beinge bonus, så opskrives den ved konrakens udløb garanerede ydelse ikke. Dog opskrives ydelsen ved udløb (Danica 2007c). Dee forolker jeg på den måde, a med mindre de specielle beingelser er opfyld, forpliger selskabe sig il a forrene den beingede bonus med grundlagsrenen. Dermed giver en beinge bonusilskrivning anledning il en opskrivning af den beingede ydelse, BY. Opskrivningen af den beingede ydelse er lig den beingede bonusilskrivning fremskreve med grundlagsrenen. Kunden modager således hele den beingede ydelse ved konrakens udløb, med mindre de specielle beingelser har være opfyld på e idspunk før konrakens udløb. De skal lige nævnes, a de kun er den ubeingede bonusilskrivning, der normal dækker over begrebe bonus. Den beingede bonusilskrivning går normal under navne som f.eks. konosyrkelse 5 (Danica 2007b). Vi kan nu så i en siuaion, hvor bonusilskrivningerne il ider har være ubeingede og il ider beingede. Dvs. vi kan opdele beløbe på kundens kono i o dele: e beløb garanere en forrenning med grundlagsrenen og e beløb der er garanere en beinge forrenning med 5 Bonusbegrebe er her dog udvide med beinge bonus, hvorfor konosyrkelse i denne afhandling hører under bonusbegrebe.

16 6. Produke 16 grundlagsrenen. Vi kan kalde den førse kono for U K og den anden kono for B K. På sår alle hidil indbeale præmier forrene med grundlagsrenen sam alle hidil ilskrevne ubeingede bonuser forrene med grundlagsrenen. På U K B K sår alle hidil ilskrevne beingede bonuser forrene med grundlagsrenen men frarukke idligere ilbageførsler. De noeres, a beløbe på U K er lig den med grundlagsrenen ilbagediskonerede garanerede ydelse, GY DISK.GRUNDLAG,. De er også klar a K = U K + B K. Figur 4: Kundens kono opdel på o underkoni Kundens kono Kono 1 (K U ): Garanere forrenning Kono 2 (K B ): Garanere forrenning med mindre beingelser er opfyld Nu kan jeg opsille en mere præcis definiion af bonus, som jeg vil benye mig af fremover. Bonus, beinge eller ubeinge, kan defineres som den forrenning der ligger over den garanerede forrenning af K eller mere formel som ligning (1). ( r K r K,0) = max( (r r ) K,0) B X + 1 = max k,+ 1 g k,+ 1 g (1) På samme måde kan en ilbageføring fra B K, lad os kalde den T X, defineres ved (2). ( r K r K,0) = max( (r r ) K,0) T X + 1 = max g k,+ 1 g k,+ 1 (2) Med differenieringen mellem beinge og ubeinge bonusilskrivning, kan re yper forrenningsgarani, som kan være ilknye pensionskonraken defineres. De re yper er: renegarani, ydelsesgarani og beinge renegarani. Ved en renegarani er alle bonusilskrivninger ubeingede. Ved en ydelsesgarani er alle bonusilskrivninger beingede. Ved en beinge renegarani er nogle af bonusilskrivningerne ubeingede, mens andre er beingede. Bonusilskrivningerne vil ofes gå fra a være ubeingede il beingede når L&P-

17 6. Produke 17 selskabe vil sikre sig, a de ikke får vanskeligheder med a opfylde forrenningen med grundlagsrenen af kono 1. Tabel 1: Garaniype og bonusilskrivning Garaniype Renegarani Ydelsesgarani Beinge renegarani Bonusilskrivning Ubeinge Beinge Ubeinge og beinge De re garaniyper kan også opdeles på baggrund af hvilke kono indskud og bonus bliver indsa på. Denne opdeling ses i abel 2. Tabel 2: Garaniype og koni Garaniype Renegarani Præmier og bonus Ydelsesgarani Præmier Bonus Beinge renegarani Præmier og bonus visse år Bonus visse år Hel generel kan konsaeres a vi ved indgåelse af konraken ikke ved noge om de fremidige bonusilskrivninger. Dee gælder mh. ilskrivningsidspunk, sørrelse og om ilskrivningerne vil være beingede eller ubeingede. De fremidige bonusilskrivninger U K afhænger bl.a. afkase på akiverne over perioden. B K E eksempel E ny eksempel ager udgangspunk i en konrak, hvor der beales 100 kr. om åre, og hvori pensionen indræffer efer 10 år. Førse præmie beales umiddelbar efer indgåelse af konraken i år 0. Grundlagsrenen er ved indgåelsen 2,5%. I dee ilfælde beregnes den garanerede ydelse ved indgåelsen af konraken, GY 0, som fremidsværdien af en simpel annuie og er lig 1148 kr. Hvis der ikke er mulighed for bonus, er konraken ligesom i de idligere eksempel ikke fair. Hvis vi anager a renesrukuren er flad og ligger på 4,0%, kan den præmiesørrelse, som konraken skulle have for a være fair, beregnes il 92 kr. Konraken vises i figur 5.

18 6. Produke 18 Figur 5: Pensionskonrak uden bonus med flerårige præmieindbealinger ,61 995, , , ,00 202,50 307,56 415,25 525,63 638,77 754, Præmier og ydelse Kundens kono Kilde: Egen beregning Lad os anage a der ikke har være udbeal bonus de førse fire år. I de ilfælde vil indesående på kundens kono være lig 525,63 kr., og den garanerede ydelse vil sadig være lig 1148,35 kr. Hvis vi nu anager a konraken har ilknye en renegarani og der på dee idspunk bliver annoncere bonus svarende il 3,0%, så vil de beyde, a kundens kono vil opnå en forrenning på 2,5% + 3,0% = 5,5% imellem idspunkerne 4 og 5. Dee vil igen beyde a kundens kono på idspunk 5 nu vil være opskreve il 525,63 (1,055) = 654,54 kr. Den garanerede ydelse er derved bleve opskreve il 1166,18 kr., som findes ved a forrene de 654,54 kr. sam de ilbageværende 4 præmier med grundlagsrenen på 2,5% frem il idspunk 10. Hvis der så senere kommer endnu en bonusilskrivning, så siger den garanerede ydelse yderligere. Lad os nu i sede anage, a renegaranien er beinge således, a bonus besem i år 4 og ilskreve i år 5 er beinge. Her vil kundens kono i år 5 sadig være 525,63 (1,055) = 654,54 kr. Forskellen er dog a 525,63 (1,025) = 638,77 kr. vil være ilknye kono 1, mens 525,63 0,03 = 15,77 kr. vil være ilknye kono 2. I år 5 hvor bonus sadigvæk er beinge annonceres en konorene på 4,0%. Beløbe på kundens kono i år 6 vil nu være 654,54 1, = 780,72 kr. Her vil 638,77 1, = 754,74 kr. være ilknye kono 1, mens (780,72 754,74) = 15,77 1,025 + (0,04 0,025) 654,54 = 25,98 kr. vil være

19 6. Produke 19 ilknye kono 2. I år 6 er bonus nu ubeinge og der annonceres en konorene på 3,5%. Beløbe på kundens kono er i år 7 nu 780,72 1, = 908,05 kr. Heraf vil 754,74 1,025 + (0,035 0,025) 780, = 881,42 kr. være ilknye kono 1, mens 25,98 1,025 = 26,63 kr. vil være ilknye kono 2. De ses også a i år 7 er GY 7 = 881,42 1, , ,025 1 = 1156,76 kr. De ses også a de 26,63 kr. fra kono 2 ikke indgår i denne beregning. Den beingede ydelse BY 7 = 26,63 1,025 3 = 28,68 kr. GY DISK.GRUNDLAG,7 er selvfølgelig 881,42 kr. 6.3 Selskabe Da vi senere skal se på den regnskabsmæssige opgørelse af L&P-selskabes hensæelser, vil de være en god ide a forsøge a danne sig e overblik over den del af selskabe, som har med de radiionelle produk a gøre. Som nævn indbealer kunderne præmier. Disse præmier inveseres af L&P-selskabe i de finansielle markeder. De resulerende akiver benævnes kundernes akiver eller kundernes porefølje il rods for, a sammensæningen af akiverne er syre af selskabe. Ved udbealing af ydelser bliver der ilsvarende solg ud af kundernes akiver. Om der ren fakisk bliver køb eller solg akiver afhænger hovedsaglig af neosørrelsen indbeale præmier frarukke udbeale ydelser. Når kunderne indgår deres konraker, lover selskabe en garanere ydelse. Dee er en forpligigelse selskabe har overfor kunderne. For a kunne opfylde denne forpligigelse, bliver kundernes indbealinger hensa under livsforsikringshensæelserne. For a sikre, a selskabe kan leve op il sine forpligigelser overfor kunderne, er der også indskud risikovillig kapial i form af egenkapial. Dee kapialindskud inveseres også i de finansielle markeder og udgør ejernes porefølje. Der er ikke nogen i vejen for, a kundernes akiver kan være invesere i andre akiver end ejernes akiver. Sammen udgør kundernes og ejernes porefølje selskabes porefølje. Indskyderne af risikovillig kapial skal selvfølgelig kompenseres for deres risikovillighed. Selvfølgelig modager indskyderne af risikovillig kapial afkase på deres andel af selskabes akivporefølje. Derudover modager indskyderne en eksra kompensaion for den risiko, der ligger i, a de miser en del eller hele deres invesering, såfrem selskabe ikke kan leve op il de afgivne garanier (Økonomi og erhvervsminiserie 2003). Denne risikokompensaion kaldes risikoillægge eller drifsherreillægge.

20 6. Produke 20 Lige for a give e hurig overblik har jeg skisere en mege simplificere balance. Kollekiv bonuspoeniale er en buffer som giver mulighed for senere bonusilskrivning af kundernes koni. Kollekiv bonuspoeniale ilhører kunderne. Figur 6: Selskabes balance Akiver Selskabes porefølje Passiver Egenkapial Kollekiv bonuspoeniale Livsforsikringshensæelserne 6.4 Markedsværdiregnskabe Baggrund Indil 1999 blev L&P-selskabernes livsforsikringshensæelser definere som selskabes fremidige forpligigelser, de garanerede ydelser, diskonere med grundlagsrenen (Økonomi og Erhvervsminiserie 2003). På den måde var livsforsikringshensæelserne ikke renefølsomme. I forbindelse med den øgede fokus på markedsværdier i regnskabe, var dee ikke ilfredssillende. E udvalg blev nedsa, og en opgørelse af livsforsikringshensæelserne il markedsværdi blev resulae. Fra 2003 skulle selskaberne nu opgøre hensæelserne il markedsværdi. De er disse nye regler som nu kor beskrives De nye regler Når pensionsselskabe opgør sine livsforsikringshensæelser i regnskabe, inddeles de i re besanddele: garanerede ydelser, bonuspoeniale på fripoliceydelser og bonuspoeniale på fremidige præmier. Derudover figurerer sørrelsen kollekiv bonuspoeniale, som kan ses som en slags kollekiv sikkerheds eller udjævningsbuffer. Mege forsimple modager kollekiv bonuspoeniale de overskydende afkas af kundernes akiver efer omkosninger, som ligger over konorenen. I de dårlige år, hvor afkase ligger under konorenen, frarækkes differencen kollekiv bonuspoeniale, så kunden sadig kan få udbeal den lovede konorene. De garanerede ydelser defineres som markedsværdien af den garanerede pensionssum frarukke markedsværdien af de fremidige præmieindbealinger (Finansilsyne 2002). Dvs. værdien af de garanerede ydelser er nuidsværdien af de garanerede ydelser

21 6. Produke 21 frarukke nuidsværdien af de fremidige præmieindbealinger, hvor en passende nulkuponrenesrukur er benye i nuidsværdiberegningerne. På den måde kan værdien af de garanerede ydelser ses som den reelle værdi af konraken på e given idspunk, hvis der ikke er nogen mulighed for, a konraken fremover kan ilskrives bonus. Denne værdi vil ofes ligge under kundens konoværdi, hvilke beyder, a kunden må skulle modage noge eksra hvis konraken skal være fair. De er her bonuspoeniale kommer ind i billede. Dvs. muligheden for a modage en bonusilskrivning af konoen såfrem de økonomiske forhold har være gunsige. Bonuspoeniale på fremidige præmier er lig markedsværdien af de il fripolicen knyede garanerede ydelser frarukke værdien af de garanerede ydelser (Finansilsyne 2002). Bonuspoeniale på de fremidige præmier kan forsås ved a age udgangspunk i værdien af den del af de garanerede ydelser, der er e resula af fremidige præmieindbealinger. Denne værdi sammenholdes med værdien af de fremidige præmieindbealinger. Med en markedsrene over grundlagsrenen ligger værdien af de fremidige præmieindbealinger over værdien af den resulerende andel af den garanerede ydelse. Igen er argumene, a hvis konraken skal være fair så må kunderne modage noge eksra udover den il de fremidige præmier ilknyede andel af den garanerede ydelse. Dee eksra benævnes regnskabsmæssig bonuspoeniale på fremidige præmier. Til sids kan bonuspoeniale på fripolicen opgøres il de med grundlagsrenen diskonerede garanerede ydelser frarukke værdien af de garanerede ydelser og værdien af bonuspoeniale på fremidige præmier. Denne sørrelse kan forsås vha. samme anagelse om en fair konrak. De ses her, a de markedsværdibaserede regnskabsregler ikke har karaker af en egenlig værdifassæelsesmodel, men læner sig op ad en anagelse om a konraken må forvenes a være fair. De skal for god ordens skyld nævnes, a ingen af sørrelserne kan være negaive, og a værdien af de garanerede ydelser kan oversige de med grundlagsrenen diskonerede garanerede ydelser i ilfælde af, a de generelle reneniveau falder il under grundlagsrenen. Boks 1 illusrerer beregningerne på idspunk 5, hvor vi neop har modage den il idspunke hørende præmie i begyndelsen af perioden.

22 6. Produke 22 Boks 1: Beregninger af regnskabssørrelser I begyndelsen af år 5 er saldoen på kundens kono kr. 638,77 ide der hidil ikke har være foreage bonusopskrivninger. Førs kan værdien af de garanerede ydelser besemmes som 1148, ,04 1,04 1, , ,04 = ,87 Værdien af de il fripoliceafalen knyede garanerede ydelser besemmes som 638,77 1, ,04 5 = 594,02 Nu kan bonuspoeniale på de fremidige præmier besemmes som 594,02 580,87 = 13,15. Til sids kan bonuspoeniale på fripoliceydelser opgøres il 638,77 580,87 13,15 = 44,75 Kilde: Egen beregning inspirere af Finansilsyne 2002 Over konrakens løbeid ændres undergruppernes relaive andel af hensæelserne. I figur 7 nedenfor ses denne udvikling for vores konrak, som har en grundlagsrene på 2,5%. Der har ingen bonusilskrivning være og markedsrenen er 4,0%. De ses, a bonuspoeniale på de fremidige præmiers andel er sor i begyndelsen, men svinder i ak med i ak med a fremidige præmier bliver konverere il garanerede ydelser og bonuspoeniale på fripoliceydelser.

23 6. Produke 23 Figur 7: Hensæelserne og regnskabes delkomponener 100% Bonuspoeniale på fripoliceydelser 80% Bonuspoeniale på fremidige ydelser 60% Garanerede ydelser 40% 20% 0% Kilde: Egen beregning Undergruppernes relaive andel af hensæelserne ændres ligeledes i ak med ændringer i diskoneringsrenen. Når diskoneringsrenen siger, så falder værdien af de garanerede ydelser, hvilke dermed øger bonuspoeniale på fripoliceydelser og fremidige præmier. Der kan argumeneres for denne sammenhæng ved a noere sig, a en signing i reneniveaue øger geninveseringsrenen, hvilke på sig undersøer muligheden for a ilskrive bonus. Her ses dog bor fra de negaive afkas e renefald umiddelbar vil påføre selskabes obligaionsbeholdning. Hvis diskoneringsrenen falder, så er effeken den omvende. Hvis diskoneringsrenen falder il under grundlagsrenen, siger værdien af de garanerede ydelser il over de med grundlagsrenen diskonerede garanerede ydelser, hvilke resulerer i en øgning af livsforsikringshensæelserne og en minimering af kollekiv bonuspoeniale svarende il forskellen mellem værdien af de garanerede ydelser og de med grundlagsrenen diskonerede garanerede ydelser. Meningen med kollekiv bonuspoeniale er neop, a de skal undersøe de afgivne garanier i ilfælde af renefald og ellers give mulighed for ilskrivning af bonus. Sammenhængen når grundlagsrenen er 2,5% kan ses i figur 8.

24 6. Produke 24 Figur 8: Hensæelsernes renefølsomhed Bonuspoeniale på fripoliceydelser Garanerede ydelser Bonuspoeniale på fremidige ydelser ,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% Kilde: Egen beregning De er nu klar, a der er adskillige årsager il, a sørrelsen og sammensæningen af hensæelserne ændres over forløbe af engagemene med den enkele kunde. For de førse, ændres sørrelsen af hensæelserne og kundens kono i ak med årenes konorener bliver ilskreve kundens kono. For de ande, ændres sørrelsen af hensæelserne og kundens kono i ak med a præmierne indbeales og evenuelle ydelser udbeales. For de redje, ændres sammensæningen af hensæelserne i ak med a iden går. For de fjerde, ændres sammensæningen og muligvis sørrelsen af hensæelserne, når markedsrenen ændres Regnskabsreglernes vigighed for konorenen Den regnskabsmæssige opgørelse af hensæelserne er i forbindelse med denne afhandling kun vigig såfrem den påvirker konorenen. Forbindelsen mellem de regnskabsmæssige hensæelser og konorenen går igennem selskabes buffer. Selskabes buffer kan økonomisk ses som den overdækning i selskabes akiver, der er i forhold il værdien af de ydelser selskabe har garanere kunderne. De er klar, a hvis bufferen er sor, så er selskabe i en god posiion mh. opfyldelse af des garanerede ydelser overfor kunderne. I en sådan siuaion vil selskabe ikke se noge problem i a ilskrive bonus.

25 6. Produke 25 Den regnskabsmæssige opgørelse af bufferen følger med de nye markedsværdibaserede regnskabsregler den økonomiske opgørelse af bufferen. Her kan bufferen defineres som markedsværdien af selskabes akiver frarukke markedsværdien af de garanerede ydelser. Dermed er de klar a bonuspoeniale på fripoliceydelser indgår i opgørelsen af bufferen. Dvs. bufferen besår nu af basiskapialen 6, kollekiv bonuspoeniale og bonuspoeniale på fripoliceydelser 7 (Naionalbanken 2004). Under de gamle regler er denne forolkning lid mere upræcis, da markedsværdien af de garanerede ydelser ikke opgøres. Dermed må vi nøjes med regnskabsværdien af livsforsikringshensæelserne. Således kan bufferen under de gamle regnskabsregler lid upræcis opgøres il selskabes akiver frarukke livsforsikringshensæelserne. Udover den i figur 9 markerede buffer skal der som sag også illægges basiskapial. I min model vil jeg dog i sil med Grosen og Jørgensen 2000 ignorere egenkapialen. Figur 9: Bufferen under de nye og gamle regnskabsregler Nye regler Gamle regler Kollekiv bonuspoeniale Kollekiv bonuspoeniale Bufferen Bufferen Bonuspoeniale på fremidige præmier Bonuspoeniale på fripoliceydelser Livsforsikringshensæelserne Livsforsikringshensæelserne Garanerede ydelser Figur 9 kunne umiddelbar god give indryk af bufferen hel universel er bleve sørre under de nye regnskabsregler. Dee er dog lid forsimple. Hvis markedsrenen falder il under grundlagsrenen, så siger værdien af de garanerede ydelser så mege, a bonuspoeniale på 6 Basiskapialen besår primær af egenkapialen. 7 Dermed indgår bonuspoeniale på fremidige præmier ikke i bufferen

26 6. Produke 26 fripoliceydelser forsvinder og kollekiv bonuspoeniale mindskes. Så mere korrek kan de konkluderes, a når markedsrenen er over grundlagsrenen, så giver de nye regnskabsregler anledning il en sørre buffer end de gamle regler. På samme måde giver de nye regnskabsregler anledning il en mindre buffer end de gamle regler, såfrem markedsrenen ligger under grundlagsrenen. Således er bufferen under de nye regler bleve reneafhængig. Generel må de dog formodes a markedsrenen ligger over grundlagsrenen. De er nu klar, a der på e give idspunk vil være forskel i den opgjore buffersørrelse al efer om de nye eller gamle regnskabsregler benyes. Nu skal buffersørrelsen bare sammenkædes med konorenen. For de førse, vil selskabe gerne ilbyde en så høj konorene som mulig for a ilrække nye kunder. For de ande, vil selskabe også gerne beskye egenkapialen. For de redje, skal selskabe også overholde diverse lovkrav. Af disse krav kan nævnes kapialkrave, som kræver e minimum af basiskapial svarende il en solvensmargen omkring 4,5% 8 af livsforsikringshensæelserne. Derudover er L&Pselskaberne underlag overvågning fra Finansilsyne i forbindelse med de såkalde rafiklysscenarier 9 (Finansilsyne 2006). Så selskabe vil derfor maksimere konorenen under hensynagen il egenkapial og lovgivning. En sørre buffer vil al anden lige mindske selskabes bekymring om a mise egenkapialen og komme under adminisraion af Finansilsyne. Derfor vil selskabe have en endens il a fassæe en højere konorene når bufferen er relaiv sor. Dee beyder opsummerende, a selskabe under de nye regnskabsregler vil være mere påpasselig, når konorenen fassæes i en siuaion med e lav reneniveau, end de ellers ville være under de gamle regler. Dee må siges a være hensigsmæssig adfærd, når man ser på risikoen for a markedsrenen forbliver lav i en årrække. De er her igen vigig a skelne mellem de i regnskabe oplyse hensæelser, som er selskabes hovedfokus, og kundernes koni som jo naurlig nok er kundernes hovedfokus. Disse o sørrelser behøves ikke a være ens, men kan være de. Hvis markedsrenen er falde il e niveau som ligger under grundlagsrenen, vil hensæelserne f.eks. værre sørre end 8 Beregnes som svarende il en procendel af risikosummerne illag 4% af livsforsikringshensæelserne (Økonomi og Erhvervsminiserie 2003). 9 Selskaberne skal kunne klare gul og rød scenario.

27 6. Produke 27 kundernes koni. De skyldes, a sørrelsen af kundernes koni ikke bliver direke påvirke af markedsrenen som de garanerede ydelser og dermed livsforsikringshensæelserne jo gør de Beinge bonus Når kundernes koni bliver ilskreve beinge bonus, øges livsforsikringshensæelserne ligesom ved ubeinge bonus. Forskellen er her under de nye regler, a hele bonusilskrivningen ilføres bonuspoeniale på fripoliceydelser, hvorimod en ubeinge ilskrivning også øger værdien af de garanerede ydelser (Finansilsyne 2005b). Under de gamle regler vil jeg gå ud fra, a der oprees en speciel kono for beinge bonus, som så kan ilbageføres il kollekiv bonuspoeniale, hvis der bliver brug for de 10. Selvom beinge bonus ilføjes bonuspoeniale på fripoliceydelser, så skal der sadig holdes syr på hvilken andel af bonuspoeniale på fripoliceydelser, der er forsage af beinge bonusilskrivning, og hvilken andel der ikke er forsage af beinge bonusilskrivning. Grunden er, a den andel af bonuspoeniale på fripoliceydelser, der er forsage af beinge bonusilskrivning, kun kan ilbageføres, såfrem de særlige beingelser er opfyld (Finansilsyne 2005b). Den normale del af bonuspoeniale på fripoliceydelserne kan derimod god mindskes, hvis kollekiv bonuspoeniale er væk pga. f.eks. dårlig markedsafkas, eller hvis reneniveaue falder og dermed øger regnskabsværdien af de garanerede ydelse (Finansilsyne 2002). I de begge ilfælde skal de låne leveres ilbage når de er mulig, mens en ilbageføring af beinge bonus er permanen. De er også værd a huske på, a en bonusilskrivning formel se er en illægsforsikring, som illægges den gamle konrak (Økonomi og Erhvervsminiserie 2003). Bekendgørelsen om finansielle rapporer for forsikringsselskaber og værgående pensionskasser gør brug af princippe om a opgøre den regnskabsmæssige værdi af hver forsikringskonrak uafhængig af de andre konraker (Finansilsyne 2005a). Sammenkædes dee med, a bonus anvendes il egning af illægsforsikringer, må konklusionen være a idligere ilskreve beinge bonus ikke kan mindskes af en øgning i værdien af de garanerede ydelser, som jo formel se er en hændelse i en separa konrak. Så selvom beinge bonus forøger bonuspoeniale på fripoliceydelser, skal denne andel af bonuspoeniale på fripoliceydelser ikke forveksles med den andel som skyldes a, værdien af de garanerede ydelser er mindre end værdien af de indbeale præmier. 10 Og visse beingelser er opfyld

28 6. Produke 28 De skal dog undersreges, a jeg er nåe il denne konklusion på egen hånd, hvorfor konklusionen er med forbehold. E ande komplicere spørgsmål ligger i, hvordan bufferen påvirkes af beinge bonus. Da en ilskrivning af beinge bonus jo kun øger bonuspoeniale på fripoliceydelser, så ville de være nærliggende a konkludere, a beinge bonus ikke påvirker bufferen, ide der jo bare overføres fra kollekiv bonuspoeniale il bonuspoeniale på fripoliceydelser. Denne konklusion ville dog være forsimple. Den del af bonuspoeniale på fripoliceydelserne der er e resula af beingede bonusilskrivninger repræsenerer en ydelsesopskrivning, som kunden modager med mindre beingelserne er opfyld. Dee er koncepuel anderledes end den reserende del af bonuspoeniale på fripoliceydelser, som er en mulighed for a få ilskreve bonus engang i fremiden. Beinge bonus besår derimod af fakisk ilskreve bonus, som selskabe er forpligige il a udbeale ved udløb og indil da forrene med grundlagsrenen, med mindre beingelserne opfyldes inden da. Dee peger i rening af, a en beinge bonusilskrivning må påvirke bufferen, og ikke være bufferneural. På den anden side vil beinge bonus kunne ilbageføres den dag selskabe virkelig kommer i knibe. Måske de i virkeligheden giver mere mening a omdefinere bufferen il a beskye både de garanerede ydelser og de beingede ydelser. Man kunne foresille sig a både selskabe og Finansilsyne gerne ville undgå ilbageførsel af beinge bonus i ide og uide, og derfor inern kalkulerer med en buffer, som også beskyer de beingede ydelsesopskrivninger i sede for kun a se dem som en buffer, der beskyer de garanerede ydelser. Denne logik finder jeg umiddelbar ilfredssillende. Hvis meodekonsisens skal opnås, så skal en del af den beingede bonusilskrivning sadig indgå i bufferen. Nemlig den del af den beingede bonusilskrivning, som ligger udover den beingede ydelse ilbagediskonere med markedsrenen, BY DISK.MR,. Hvis vi ignorer bonuspoeniale på fremidige præmier, kan bufferen opsilles i figur 10, hvor BY DISK.MR, er angive ved sørrelsen beingede ydelser under de nye regnskabsregler. Under de gamle regnskabsregler er beingede ydelser lig de beingede ydelser diskonere med grundlagsrenen, B K. På samme vis er de garanerede ydelser under de gamle regnskabsregler lig de garanerede ydelser diskonere med grundlagsrenen, U K.

29 6. Produke 29 Figur 10: Den nydefinerede buffer under nye og gamle regnskabsregler Nye regler Gamle regler Kollekiv bonuspoeniale Kollekiv bonuspoeniale Bufferen Bufferen Bonuspoeniale på fripoliceydelser frarukke beingede ydelser Beingede ydelser Livsforsikringshensæelserne Beingede ydelser Garanerede ydelser Livsforsikringshensæelserne Garanerede ydelser 6.5 Fordeling Når pensionsselskabe modager indbealingerne fra kunden, bliver disse invesere i akiver, som kan være eksempelvis obligaioner, akier og fas ejendom. På samme vis bliver ejernes indskude kapial invesere i akiver. Disse akiver giver anledning il e afkas som deles op mellem pensionsselskabes ejere og kunderne. Fordelingen af dee afkas er regulere ved lov, jf. Bekendgørelse om konribuionsprincippe udsed af Finansilsyne d. 14/ (Finansilsyne 2004). De realiserede resula er den cenrale sørrelse, som skal fordeles mellem ejerne og kunderne og kan simplificere beskrives som forskellen mellem afkase på kundernes akiver og konorenen frarukke drifsomkosningerne. De realiserede resula beskrives nærmere i Finansilsyne Definiionen ager udgangspunk i de forsikringsekniske resula, som besår af egenkapialens risikoforrenning, risikoillægge, og ilfør egenkapial fra skyggekonoen (Nordea ÅR 2005). Dermed indeholder de forsikringsekniske resula ikke egenkapialens inveseringsafkas. Risikoillægge, også kalde drifsherreillægge, er e illæg som egenkapialen modager som ak for a sille risikovillig kapial il rådighed. Hvis de i idligere år ikke har være mulig a give ejerne dee illæg, så er beløbe bleve ilskreve skyggekonoen, hvorfra de senere kan ilbageføres. Skyggekonoen opræder ikke eksplici på

30 6. Produke 30 balancen, hvorfor navne er som de er. For a gå fra de forsikringsekniske resula il de realiserede resula, skal de forsikringsekniske resula reguleres for forskellige sørrelser som de ses i abel 3. Tabel 3: Fra forsikringseknisk resula il realisere afkas Forsikringseknisk resula regulere for: Overfør inveseringsresula Pensionsafkasska Tilskrivning af bonus Ændringer i kollekiv bonuspoeniale og særlige bonushensæelser Ændringer i bonuspoeniale på fripoliceydelser Diverse poser som er indregne direke på egenkapialen = Realisere resula Kilde: Finansilsyne 2004 Fremsillingen i abel 3 er vend på hovede, hvilke besværliggør en meningsfuld analyse. I sede vil jeg sare med de realiserede resula. Fra de realiserede resula er som sag allerede frarukke den garanerede forrenning og omkosninger. Vi kan sare med a frarække pensionsafkasskaen. Dernæs kan de realiserede resula fordeles ud. Ejerne modager alid drifsherreillægge på omkring 0,5% af hensæelserne upåvirke af om de realiserede resula er posiiv eller negaiv i de enkele år. Efer drifsherreillægge er frarukke kan e evenuel posiiv realisere resula benyes il a ilskrive bonus eller hensæe under kollekiv bonuspoeniale. E evenuel negaiv realisere resula kan frarækkes kollekiv bonuspoeniale jf. 6 sk. 1. Hvis kollekiv bonuspoeniale ikke kan dække de negaive realiserede resula, kan bonuspoeniale på fripoliceydelser anvendes jf. 6 sk. 2. De anvende bonuspoeniale på fripoliceydelser skal hurigs mulig leveres ilbage jf. 6 sk. 3. De er disse anvendelser af kollekiv bonuspoeniale og bonuspoeniale på fripoliceydelser, der refereres il i abel 3. E overbliksbillede af fordelingen mellem kunder og ejere er forsøg opsille i figur 11.

31 6. Produke 31 Figur 11: Fordelingen af afkas Markedsafkas af kundernes porefølje Omkosninger Garanere forrenning Pensionsafkasska Bonus Kollekiv bonuspoeniale Drifsherreillæg Markedsafkas af ejernes porefølje Kunderne Bonuspoeniale på fripoliceydelser Ejerne I fordelingen af afkas kan der med ree silles spørgsmål ved drifsherreillægge. De er svær a se, hvorledes e risikofri eksraafkas på 0,5% af livsforsikringshensæelserne kan være fair. De afviger i hver ilfælde mege fra e normal selskab, hvor egenkapialens forrenning er residualbesem. Egenkapialen er heller ikke den enese risikovillige indskude kapial. Kunderne indskyder ligeledes indireke risikovillig kapial. For a illusrere kan vi foresille os e nyopree selskab med kun én kunde, som har egne en fripolice. Kunden indskyder præmien og ejerne indskyder egenkapial. Værdien af den garanerede ydelse kan beregnes som en andel af den indskude præmie og kan sammenlignes med indskud lånekapial. Residualen mellem den beale præmie og værdien af de garanerede ydelser kan ses som risikovillig kapial indskud af kunden. Hvis der havde være kollekiv bonuspoeniale, kunne også de ses som risikovillig kapial indskud af kunderne. Dermed kan en andel af den indbeale præmie reel ses som en egenkapiallignende sørrelse og skal derved vel kompenseres på samme måde som egenkapialen. Ren fakisk er kundens risikovillige kapial dårligere sille end egenkapialen, ide kunden førs alene skal dække udsving i værdien af de garanerede ydelser før egenkapialen bliver påvirke. Eferhånden som der bliver ilskreve bonus, bliver kundens risikovillige kapial omforme il lånekapial i form af de garanerede ydelser. En fair kompensering må førs og fremmes age udgangspunk i a ejernes og kundernes risikovillige kapial sammen må dække udsving i værdien af de garanerede ydelser ligesom egenkapialen i e normal selskab dækker udsving i værdien af lånekapialen. Dee kræver dog en udvikling af regnskabsreglerne. Hvis vi ager udgangspunk i afkase på selskabes

32 6. Produke 32 porefølje frarukke værdiændringen af de garanerede ydelser, kan dee beløb fordeles i forhold il ejernes risikovillige kapial (egenkapialen) og kundernes risikovillige kapial (bonuspoeniale på fripoliceydelser, bonuspoeniale på fripoliceydelser og kollekiv bonuspoeniale). Således skal ejerne også solidarisk med kundernes risikovillige kapial dække negaive afkas. Jeg synes umiddelbar, a denne fordelingsnøgle mellem ejerne og kunderne er nemmere a refærdiggøre end e fas årlig beløb il ejerne udover afkase på deres andel af selskabes porefølje. Denne fordelingsmæssige problemsilling vil dog ikke blive fulg il dørs, ide jeg i modellen ignorerer egenkapialen og dermed også bealingen il denne.

33 7. Opionsankegangen 33 7 Opionsankegangen 7.1 Generel Kunderne er som sag primær ineresserede i, hvad der sår på deres kono den dag de skal pensioneres. Denne sørrelse er en funkion af grundlagsrenen og de over årene ilskrevne bonusser. Eller med andre ord, en funkion af konorenerne over konrakens løbeid. Dvs. ved konrakens indgåelse er der sikkerhed om den garanerede grundlagsrene og dermed de garanerede ydelser man modager ved konrakens udløb. Usikkerhedsmomene ligger i, a vi ikke kan sige med sikkerhed hvad konorenerne vil være i hver år hel frem il udløb. Disse konorener vil i sidse konsekvens afhænge af inveseringsafkase på kundernes akiver over konrakens løbeid med de forbehold, a de jo er pensionsselskabe, som fassæer konorenen. Ide man som sag er garanere en udbealing lig de garanerede ydelser, er usikkerhedsmomene af posiiv naur. Dvs. der er mulighed for en højere udbealing end de garanerede ydelser, men ingen risiko for en lavere udbealing. For a yderligere klarlægge konrakens naur kan den sammenlignes med den noge simplere uni-link konrak. Fremover vil jeg fokusere på en konrak med en enkel præmieindbealing ved konrakens indgåelse for a simplificere analysen og modelleringen. Simplificeringen er dog ikke problemaisk, da en given konrak kan ses som en serie af enkele præmieindbealinger. 7.2 Uni-link Når pensionsopsparingen sæes i en uni-link ordning, bliver hver indbealing sa i akier eller obligaioner ligesom i den radiionelle ordning. Forskellen er, a beløbe på kundernes koni afhænger direke udviklingen af de akiver, som er linke direke med kundens kono. Dvs. en uni-link ordning kan direke sammenlignes med en invesering i ege frie depo, hvor akiverne selv vælges. Uni-link ordningen giver dog nogle muligheder man ikke umiddelbar har adgang il som priva invesor. Her ænkes navnlig på muligheden for sikring af indskudde. Dvs. indbealingerne kan være garanere en minimumsforrenning på f.eks. 2,5% p.a. På den måde er man garanere en minimumsydelse ved konrakens udløb ligesom ved den radiionelle konrak. Hvis de ilknyede akiver ved konrakens udløb viser sig a have give e afkas, som ligger over de 2,5% p.a., får man dee afkas i sede for de 2,5% p.a.

34 7. Opionsankegangen 34 Denne egenskab er illusrere i figur 12 ved en én gangs indbealing på 100 kr. Her ses bor fra diverse omkosninger. Figur 12: Uni-link konrak med garani Den garanerede ydelse I figur 12 ses de, a man er beskye mod e dårlig afkas, mens man sadig har muligheden for a nyde god af de gode afkas. Ligheden mellem denne uni-link konrak og udformningen af den radiionelle konrak bemærkes sraks. A man beskyes mod de dårlige afkas har selvfølgelig en merværdi sammenligne med en ren invesering i akiverne. I den virkelige verden skal kunden selvfølgelig beale for denne fordelagige afkasprofil, hvorfor en del af indskudde går il omkosninger som dermed dækker merværdien. I forbindelse med en uni-link konrak er vi i den heldige siuaion, a vi kender denne merværdi. Brennan og Schwarz indså i 1976, a merværdien kan besemmes ved a indse, a garanien er en pu-opion skreve på de() underliggende akiv(er) med en salgspris på 100 1, Hvis vi anager a prisudviklingen af akivbasen er log-normalfordel, så kan værdien af denne pu findes ved simpel brug af den analyiske Black-Scholes formel. Dvs. konraken besår af en porefølje plus en ilhørende pu-opion. Pu-call parieen gør de mulig a formulere denne sammenhæng på en alernaiv måde. Den underliggende porefølje plus puopionen er nemlig lig en nul-kupon obligaion med en udbealing ved udløb på 100 1,025 40

35 7. Opionsankegangen 35 plus en call-opion med en exercise pris på 100 1, Nulkupon-obligaionen kan direke sammenlignes med den garanerede ydelse ved den radiionelle konrak. Så mangler vi bare værdien af den il den radiionelle konrak ilhørende call-opion, bonusopionen, hvorefer vi er færdige og har prisfas vores samlede konrak il fair værdi. Denne værdi kan så sammenlignes med de indskud som kunderne bealer. 7.3 Tilbage il de radiionelle produk Uni-linkanalysen bidrog med den indsig, a der er o poenielle veje værdifassæelse af pensionskonrakerne basere på de radiionelle produk. For de førse, kan værdien ses som summen af værdien af den garanerede ydelse og en call-opion med en exercise pris lig den garanerede ydelse ved konrakens udløb. Denne call-opion er i forbindelse med de radiionelle produk radiionel bleve benævn bonusopionen, ide værdien af denne opion ved udløb afhænger af den ilskrevne bonus over konrakens løbeid (Grosen og Jørgensen 2000). For de ande, kan værdien af konraken ses som summen af værdien af de underliggende akiv og en pu-opion, der også har en exercise pris lig den garanerede ydelse ved konrakens udløb. Af disse o poenielle veje vælges den førse, hvor værdien af konraken V K, findes som summen af værdien af den garanerede ydelse V GY, og bonusopionen V BO,. V GY, er definere som de garanerede ydelser ved udløb GY diskonere med markedsrenen. V K, = V GY, + V BO, (3) De noes også a bonusopionens værdi ved konrakens udløb T er gives ved (4) hvor K T er beløbe på kundens kono ved udløb og GY er de garanerede ydelser ved udløb opgjor på idspunk. V BO,T = max(k T GY, 0) (4) Med andre ord kan man sige, a definere ud fra indgåelsesidspunke 0, giver bonusopionen ved konrakens udløb kunden mulighed for a modage K T ved a beale GY 0. GY 0 bliver dog selvfølgelig finansiere inern i konraken, således a kunden ved konrakens udløb alid modager K T. Sag på en anden måde kan de alid beale sig for kunden a benye sig af

36 7. Opionsankegangen 36 opionen, så hvorfor give ham valge? Dynamikken i K er nemlig således a K T GY for alle. Fra (4) kan vi også noere os, a vi kan direke observere hvad bonusopionen er værd, den dag vores konrak udløber. Probleme besår i, a når vi på e give idspunk sår og skal indgå konraken, så er V BO, sraks sværere a kvanificere. Vi kender imidlerid V GY,, hvilke dog ikke er ilsrækkelig il a opgøre V K,. Vi kommer ikke udenom a finde V BO,. Selvom indsigen fra uni-link konraken vigig, så er der én fundamenal forskel i forhold il de radiionelle produk. Hvor processen for de underliggende akiv bag uni-linkkonrakens call-opion nem defineres som f.eks. en geomerisk brownsk bevægelse, så er de underliggende akiv som bonusopionen er skreve på nemlig kundens kono. Dynamikken i K er en del mere komplicere end en geomerisk brownsk bevægelse. Den afhænger bl.a. af selskabes besluningsproces, regnskabsregler og overvågningen fra f.eks. Finansilsyne. Så nøglen il a finde værdier for V BO, ligger i a kunne definere processen som K følger. A modellere en menneskelig besluningsproces kan næppe siges a være en eksak videnskab. Derfor må enhver modellering af kundens kono anages a være mere eller mindre fejlbehæfe. De er dog vigig, a der gøres e forsøg på a opsille en passende model for K akiv grunde vigigheden af dee. Hvis vi ikke kan modellere K, så hjælper indsigen fra uni-link konraken os ikke. Hvad er f.eks. værdien af en call-opion eller pu-opion skreve på e underliggende akiv vi ikke kan modellere? Unøjagigheden i modelleringen holder mig dog ikke ilbage, da måle med denne opgave ikke så mege er a finde en eksak værdi for pensionskonrakerne, som de er a analysere hvad der påvirker værdien af disse konraker. For a kunne nærme os en mulig model for K, er de nødvendig a definere, hvad der som minimum må indgå i besluningsagernes besluning om ildeling af bonus i de enkele år. Den hel cenrale sørrelse er her buffersørrelsen. Ledelsen vil i ilfælde af en lille buffer være ilbageholdende med a uddele bonus. En anden vigig egenskab ved udviklingen i K er afkasudjævning. De er nemlig meningen a afkase på kundens kono ikke skal påvirkes for mege af de enkele års markedsafkas. Disse o egenskaber ved besluningsprocessen kan benævnes som hhv. bufferegenskaben og udjævningsegenskaben. Igen må vi heller ikke glemme a f.eks. regnskabsregler og andre reguleringer også påvirker K igennem selskabes besluningsproces.

37 7. Opionsankegangen Skalering De er vigig a gøre sig klar a der modelleres nedskalerede sørrelser. F.eks. er den akivporefølje, som er knye il vores en-præmie-konrak en vis brøkdel θ af kundernes samlede akivporefølje. På samme måde er den modellerede buffer, livsforsikringshensæelse og GY DISK.GRUNDLAG, alle sørrelser skalere med θ. 7.5 Model for konorenen Pensionskonraker basere på de radiionelle produk er forskellige al efer hvilke land man undersøger. Briys og Varenne beskriver kor konrakerne i USA, England og Frankrig (Briys og Varenne 1997). I USA kaldes konrakerne universal life insurance conracs. Her modager man udover den garanerede forrenning en eksra forrenning, som enen er en andel af selskabes akivporefølje eller merrene besem af selskabes besyrelse. I England hedder konrakerne wih profis conracs. Her modager man udover den garanerede forrenning bonus (profis), som besemmes ud fra markedsafkase. I Frankrig går konrakerne under navne paricipaion conracs. Her modager man også en garanere forrenning. Derudover modages minds 85% af selskabes omsæning som bonus. Fælles for konrakerne er en garanerede forrenning og en mulighed for bonus. Bonus kan enen besemmes af en besyrelse eller besemmes mere direke ud fra markedsafkase. I Danmark er bonus ikke direke bunde il markedsafkase. De er også ydelig, a når bonus lægger sig æ op ad markedsafkase, har konraken i virkeligheden mere a gøre med unilinkkonraken. Jeg definerer jo de radiionelle produk i kraf af a bonusilskrivningen ikke direke afhænger af markedsafkase. Briys og Varenne opsillede en model for ilskrivning af bonus som vis i ligning (5), hvor L 0 /A 0 = 1 i en model uden egenkapial. * L T er den ved udløb garanerede ydelse beregne ved konrakens indgåelse, de jeg kalder GY 0. L 0 * T = max 0, δ (A T A 0 ) (L T L ) (5) A 0 B 0 De ses a bonus i modellen opgøres ved konrakens udløb, som en engangsbealing. Denne engangsbealing afhænger af hvor god markedsafkase har væres over konrakens løbeid i forhold il den garanerede forrenning. Selvom Briys og Varennes model passer god il f.eks. den franske model, er den mindre egne under danske forhold, siden bonus i Danmark er e resula af selskabes besluningsproces og ikke direke afhængig af markedsafkase.

38 7. Opionsankegangen 38 Grosen og Jørgensen har idligere udled en model il beskrivelse af udviklingen af K (Grosen og Jørgensen 2000). Denne model er mege bedre ilpasse de danske forhold, hvor konorenen er e resula af en besluningsproces med buffer og livsforsikringshensæelser som inpus. Modellen opererer dog under de gamle regnskabsregler og inkluderer ikke beinge bonus. Dvs. der modelleres en konrak med en ilknye renegarani. Grosen og Jørgensen modellerede også under anagelse om en fas ikke sokasisk rene og ingen egenkapial. Jeg vil i denne afhandling udvide modellen il a inkludere beinge bonus, de nye regnskabsregler og en sokasisk reneudvikling. Modellen er give nedenfor (Grosen og Jørgensen 2000 og 2002). r k,+ 1 = max r g B, α L γ B r + = + α k, 1 rg max 0, L ψ (6) Hvor r g ψ = γ + α Her er r k,+1 konorenen modage på idspunke +1, r g er grundlagsrenen, B er bufferen på idspunke, L er livsforsikringshensæelsen på idspunke, α er en forsigighedsparameer og γ er de opimale relaive bufferniveau. Under de gamle regnskabsregler er L = K. Bufferen er under de gamle regnskabsregler og uden egenkapial give som forskellen mellem kundernes akiver og livsforsikringshensæelserne. Dvs. bufferen kan under de gamle regnskabsregler ses som kollekiv bonuspoeniale. Modellen er le forsåelig og elegan, ide konorenen relaiv simpel findes ud fra sørrelsen af bufferen og kundernes koni. E simulere konoforløb under de gamle regnskabsregler med alfa lig 0,2, gamma lig 0,2 og en iniial buffer lig 0 kan ses i figur 13.

39 7. Opionsankegangen 39 Figur 13: E simulere konoforløb under JG modellen % 10% 8% 6% 4% 2% 0 0% Kundens akiver Kundens kono Konorene I denne simulaion ender kundens kono med a være lig 423,70 ved konrakens udløb. Den posiive buffer ved udløb overgår indireke il de reserende og fremidige kunder, da den posiive buffer giver anledning il fremidige bonusilskrivninger af kundernes koni. Denne simulaion kan genages for den samme udvikling af kundens akiver men med forskellige paramere i konoreneildelingsligningen. Når alfa øges, bliver en sørre andel den buffer, som ligger over de opimale bufferniveau ildel som bonus. Dee vil have endens il a øge beløbe på kundens kono ved udløb. En øgning i gamma vil bevirke a selskabe ønsker a ilbageholde en sørre andel af bufferen i sede for a ilskrive den som bonus. Dee vil selvfølgelig al ande lige bevirke, a beløbe på kundens kono ved udløb mindskes. Dvs. hvis selskabes presses på opfyldelsen af garanierne, kan alfa sænkes eller gamma øges. Tabel 4: Beløbe på kundens kono ved udløb ved forskellige paramere Alfa Gamma 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,1 370,71 351,56 334,82 320,78 309,04 0,2 451,85 423,70 399,08 377,35 358,33 0,3 497,89 465,13 436,77 411,84 389,80 0,4 529,04 493,30 462,30 435,14 411,12 0,5 552,01 513,89 480,88 451,98 426,42 0,6 569,76 529,67 494,95 464,55 437,69 0,7 583,81 541,98 505,76 474,06 446,02 0,8 595,06 551,67 514,09 481,16 452,01 0,9 604,09 559,24 520,36 486,23 455,93 1,0 611,26 565,01 524,82 489,43 457,93

40 8. Prisfassæelse 40 8 Prisfassæelse 8.1 Maringale-prisfassæelse I denne del vil jeg førs gennemgå maringale-prisfassæelse. Førs i en 1 periode model og dernæs i en flerperiode model. Maringalemeoden er mege generel, men samidig mege brugbar. Fremsillingen er her i oversigsform, ide en uddybende fremsilling ligger udenfor rammerne af denne afhandling. Den førse del af min fremsilling læner sig op ad af Chrisensen og Felham 2003, men er her fremsille væsenlig forkore og er selvfølgelig fremsille og forolke med afhandlingens formål for øje. Lad os førs anage, a vi har N forskellige akiver. Disse N akivers værdi er kend på idspunk = 0 og udryk ved vekoren v 0. v 0 1 v 0 M n = v 0 M N v 0 Disse N akiver giver hver især anledning il en udbealing på idspunke = 1. Denne udbealing kan også ses som akives pris på idspunke = 1. Udbealingen er ikke kend på forhånd hvis denne er af sokasisk naur. Som beskrivelse af de sokasiske elemen, kan man anage, a der er en mængde udfald Ω. Der er uendelig mange forskellige udfald i en økonomi, der afhænger af al fra vejrforhold over geopoliiske forhold il en virksomhedsindjening. For a gøre beskrivelsen af de sokasiske elemen mere håndgribelig, kan vi opdele Ω i delmængder kalde hændelser indehold i F. Sluelig kan vi definere e sandsynlighedsmål P. Dee mål angiver sandsynlighederne for, a de forskellige hændelser indræffer. Med andre ord er sandsynlighedsfele definere ved (Ω, F, P). Lad os anage a der er M mulige hændelser y m for m = (1,, M). Udbealingen 11 u n m for akiv n 11 Også kald dividenden

41 8. Prisfassæelse 41 afhænger nu af hvilken hændelse m der realiseres. Nu kan udbealingsmaricen U for de N akiver opsilles. = N M N m N 1 n M n m n 1 1 M 1 m 1 1 u u u u u u u u u U L L M O M N M L K M N M O M L L Denne fremsilling er opsille i figurform nedenfor, hvor der er 3 hændelser og u i er den i e kolonne i udbealingsmaricen U. De kan nu vises, a hvis der ikke skal være arbiragemuligheder, så findes der som minimum e sæ ikke negaive hændelsespriser p, som når muliplicere med udfaldsmaricen U giver anledning il værdivekoren v 0. = M m 1 N M N m N 1 n M n m n 1 1 M 1 m 1 1 N 0 n p p p u u u u u u u u u v v v M M L L M O M N M L K M N M O M L L M M Her kommer vi il noge for denne afhandling cenral. A der findes e minds e sæ hændelsespriser, er bare en anden måde a sige på, a e afled akiv som giver anledning il samme sokasiske udbealing som e ande handle akiv eller en porefølje deraf, må have samme pris, hvis arbiragemuligheder skal undgås. Vores pensionskonrak ses her som de =0 =1 v 0 y 1 u 1 y 2 u 2 y 3 u 3

42 8. Prisfassæelse 42 aflede akiv, hvis pris defineres ud fra de handlede akiver, såfrem konraken kan repliceres og arbirage skal undgås. Derfor er krave a vi finder en replicerende porefølje. Når vi har funde denne replicerende porefølje, har vi også funde prisen på vores pensionskonrak. De er dog ikke alle finansielle konraker der lige umiddelbar kan repliceres, med mindre markede er komple. Hvis markede er komple findes der é unik sæ hændelsespriser. Med e komple marked menes, a enhver udbealing på idspunke = 1 kan konsrueres vha. en passende replicerende porefølje besående af de akiver hvis værdi indgår i v 0. Prisen på idspunke = 0 af denne udbealing kan findes som værdien af akiverne, der indgår i poreføljen. Dee er en mege arakiv egenskab, som beyder a prisen af ehver afled akiv kan findes ud fra des replicerende porefølje. Dee er ensbeydende med a muliplicere de aflede akivs udbealinger i = 1 med de respekive hændelsespriser. Hvis markede skal være komple, så skal der være M lineær uafhængige akiver. Dvs. rank(u) = M (Hansen og Olesen 2003). Som konsekvens af dee æller aflede akiver ikke med i opfyldelsen krave, ide aflede akiver er lineær afhængige af e eller flere handlede akiver. I virkeligheden er de dog mege lid sandsynlig a markede er komple, siden der mege sandsynlig er en del flere hændelser end der er lineær uafhængige handlede akiver. De gør egenlig heller ikke noge, da vi kan nøjes med den noge mildere anagelse om ingen arbirage og minds e sæ hændelsespriser. Eller med andre ord, a vores aflede akiv kan repliceres af de lineær uafhængige akiver, der rods al findes i markede. I e marked uden arbiragemuligheder har vi dermed minds e sæ hændelsespriser. Hændelsespriserne kan re nem omdannes il risikoneurale sandsynligheder q m hvor M p q = m m og β = p m. β m= 1 Dvs. β ses som prisen af e akiv som udbealer 1 i alle hændelser. Med andre ord en nulkupon-obligaion. Dermed har vi definere e ny sandsynlighedsmål Q. De noeres også, a de nye sandsynlighedsmål Q er ækvivalen med de oprindelige sandsynlighedsmål P, ide de giver anledning il samme nulmængder (Milersen 2005). Nu da de risikoneurale sandsynligheder er definere, kan de cenrale maringale begreb skrives som

43 8. Prisfassæelse 43 = β M m 1 N M N m N 1 n M n m n 1 1 M 1 m 1 1 N 0 n q q q u u u u u u u u u v v v M M L L M O M N M L K M N M O M L L M M Dvs. de forskellige udbealinger mulipliceres med deres risikoneurale sandsynligheder. Derefer diskoneres med den risikofri rene i form af β. Dee kan for e specifik akiv i opsilles som [ ] i Q i 0 u E v β =, hvor u i er sokasisk. Eller som en maringale = β 1 u E v i Q i 0. De enese krav er ingen arbirage og, a de aflede akiv kan repliceres. De valge sandsynlighedsmål er sammen med andre ækvivalene sandsynlighedsmål e ækvivalen maringale sandsynlighedsmål, som fremover beegnes Q. Modellen kan også uden de sore problemer udvides il flere perioder. I 2-periodemodellen ovenfor ses, a en flerperiodemodel kan ses som besående af flere 1-periodemodeller. I en flerperiodemodel behøver den replicerende porefølje ikke a være saisk, men må gerne være dynamisk. Med dynamisk menes, a poreføljen må genbalanceres ved begyndelsen af hver periode. Sraegien skal dog være selvfinansierende. Dvs. der må ikke løbende ilflyde poreføljen konaner udefra. I sede for a finde en saisk porefølje, der replicerer vores aflede akiv i alle 4 hændelser på idspunk 2, kan vi nøjes med a finde en porefølje, som replicerer vores aflede akiv i de 2 hændelser på idspunk 1. Derefer kan poreføljen genbalanceres al efer hvilken hændelse, der fakisk blev realisere. Da der er forskellige y 2,1 y 2,2 y 2,3 y 2,4 y 1,1 y 1,2 =0 =1 =2

44 8. Prisfassæelse 44 hændelsespriser al efer om vi ender på den øverse eller nederse gren, og disse hændelsespriser igen er forskellige fra de hændelsespriser vi var sille overfor på idspunk 0, er de klar a β varierer over id. Dermed varierer den risikofri rene over id og hændelser. I koninuer id med uendelig mange mindre perioder findes samme maringale sammenhæng. Således gælder, a prisprocesserne under e ækvivalen maringale sandsynlighedsmål opfylder ligning (7) (Björk 2004). Akiv j kan være e hvilke som hels akiv, selvom jeg idligere valge β. v v i j = E Q v v i + h j + h (7) Dvs. med andre ord er processerne maringales under de ækvivalene maringale sandsynlighedsmål Q. Sandsynlighedsmåle kaldes fremover de risikoneurale sandsynlighedsmål og benævnes sadig Q. Sandsynlighedsmåle kaldes risikoneural, da alle prisprocesser opfører sig som om invesorerne var risikoneurale. I e marked uden arbiragemuligheder, må e sådan sandsynlighedsmål findes (Björk 2004). Syrken i ligning (7) ligger i, a e hvilke som hels akiv kan fungere som nævner i brøken. Hvis vi anager, a processen v er en bankkono, der på idspunke indeholder 1 kr., så vil den i idspunke T indeholde j T r s ds e hvor r s er den kore rene på idspunke s. På den måde kan maringale sammenhængen skrives som ligning (8). v i 1 = E Q v T e i T T i Q rsds i v = E e vt s ds (8) r Ligning (8) angiver, a prisen på e give akiv i kan skrives som den forvenede diskonerede værdi under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. Denne prisfassæelsesmeode er også kalde risikoneural prisfassæelse. Hvis markede er komple, så vil der eksisere e unik sandsynlighedsmål Q (Björk 2004). Denne anagelse er urealisisk, dersom der i enhver periode vil være e uendelig anal hændelser. Dvs. i den virkelige verden vil der være flere forskellige risikoneurale sandsynlighedsmål. Hvis de aflede akiv kan repliceres via en dynamisk porefølje, så har dee dog ingen beydning, ide hver sandsynlighedsmål vil lede

45 8. Prisfassæelse 45 il den samme pris (Björk 2004). Derfor kan vi sagens bruge risikoneural prisfassæelse, selvom markede ikke er komple. Vi vælger bare e risikoneural sandsynlighedsmål Q og anager a de aflede akiv kan repliceres. Ligning (8) er e uhyre cenral og generel resula. Sammenhængen gælder for alle akiver, aflede og ikke aflede, og er ilmed re nem a implemenere i mone carlo. For a finde værdien af bonusopionen skal vi bare finde en numerisk værdi af udrykke i ligning (9). V BO, = E Q e T r ds s max (9) ( K GY,0) T De vil sige, a de vi nu mangler for a kunne prisfassæe V BO,, er a være i sand il a modellere beløbe på kundens kono og den kore rene under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q, hvilke vil være emae i næse kapiel. Tilsvarende kan værdien af de garanerede ydelser findes ved ligning (10). V GY, = E Q e T r ds s GY (10) Summen af disse o udgør værdien af kundens konrak på e give idspunk. Vi skal dog senere se, a ligning (10) kan løses eksplici, hvorfor jeg vil nøjes med a simulere for værdien af bonusopionen. For a benye risikoneural prisfassæelse skal vi dog kunne gå fra en verden med é sandsynlighedsmål il en verden med e ande sandsynlighedsmål. Dee gøres vha. den Radon-Nikodym aflede af Q i forhold il P, hvilke skrives dq/dp (Munk 2005). Sammenhængen opsilles i ligning (11). Q P dq E [ v T ] = E vt dp (11) Lad os definere den Radon-Nikodym aflede som (12) (Munk 2005). dq dp { } λ 1 T 2 sdx 2 sds = T exp 0 λ 0 (12)

46 8. Prisfassæelse 46 Girsanov s sæning foræller nu, a vi kan gå fra e sandsynligheds mål il e ande ved a jusere drifen med λ (Munk 2005). Dvs. hvis ændrer sandsynlighedsmål fra P il Q, kan dee opnås ved a ilføje en drif il Weiner processen under P. dx Q = dx P + λd (13) Dee resula er al hvad vi har brug for når vi ændrer sandsynlighedsmål. Lad os f.eks. sige vi har en sokasisk proces give under de oprindelige sandsynlighedsmål P ved (14). dv P = µ (V, )d + σ(v, )dx (14) Vi kan nu omskrive ligningen, så den kan modelleres under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. Dee gøres i (15). Q Q ( dx λd) = ( µ (V, ) σ(v, ) λ) d + σ(v, )dx dv = µ (V, )d + σ(v, ) (15) De noes, a den sokasiske proces (14) både kan være en akiv proces som f.eks. en akie eller f.eks. en reneproces. Under de risikoneurale sandsynlighedsmål skal reneprocessen derfor også juseres med σλ. 8.2 Black-Scholes-ligningen I denne sekion vil demonsrere dynamisk replicering og derved udlede Black-Scholesligningen basere på fremsillingen af Hull Derefer vil jeg kor vise vha. Feynman-Kac resulae, a en pris på e afled akiv funde på baggrund af den fundamenale Black-Scholes PDE ligesom alle andre akiver også er i overenssemmelse med maringale-prisfassæelse og dermed risikoneural prisfassæelse. Lad os førs anage a dynamikken i de underliggende akiv V er give ved følgende differenialligning; dv = µvd + σvdx hvor X er en wienerproces. Dee er en sandard geomerisk brownsk bevægelse. Ifølge Io s Lemma er dynamikken i de aflede akiv f give ved følgende differenialligning;

47 8. Prisfassæelse 47 df 2 f f 1 f 2 2 f = µv σ V d + σvdx 2 V V. V f Nu kan vi danne en risikofri porefølje ved a sælge 1 sk. afled akiv og købe sk. V underliggende akiv. Dynamikken i denne risikofrie porefølje skal nu være lig den rene e risikofri akiv jener over en mege lille periode. Dvs. vi har; f V 2 f σ 2 V d = r f f d V 2 f f f + rv + 2 σ V rf = 0 2 P V (16) som er Black-Scholes-ligningen. Denne ligning er dog ikke umiddelbar brugbar. Ligningen skal derimod løses fra konrakens udløb frem il i dag ved indsæelse af randbeingelser. Dee er ikke problemaisk, da vi jo normal kender en konraks værdi ved udløb. Ifølge Feynman-Kac resulae kan en PDE af Black-Scholes ypen løses som (17) (Björk 2004). f [ F ] r(t ) = e E T, hvor V har en drif µ lig r (17) Dee er nøjagig de samme resula som ved maringale prisfassæelse under en konsan kor rene r. Black-Scholes-ligningen kan udvides med flere akiver som underliggende eller idsvarierende paramere, som dog ikke ændrer på Feynman-Kac resulae (Björk 2004). 8.3 Reneafhængige akiver For reneafhængige akiver hvis værdi afhænger af reneudviklingen benyes en lignende noarbirage argumenaion som i udledningen af Black-Scholes-ligningen. Forskellen er, a den underliggende proces ikke er e handle akiv V som i Black-Scholes udledningen. Derimod er den underliggende proces selve reneudviklingen. På den måde berages også simple obligaioner som aflede akiver. Denne egenskab besværliggør prisfassæelsen af reneafhængige akiver en smule. Jeg vil ikke gå i dealjer med udledningen af en PDE for reneafhængige akiver, ide fremgangsmåden er den samme som i udledningen af Black- Scholes-ligningen. For dealjer henvises il f.eks. Wilmo 2001 eller Björk Den sørse

48 8. Prisfassæelse 48 forskel er som sag, a der ikke kan dannes en porefølje besående af de handlede underliggende akiv og de aflede akiv. Derimod dannes en risikofri porefølje besående af o reneafhængige aflede akiver, f.eks. obligaioner. Herved kan der udledes no-arbirage relaioner mellem alle reneafhængige aflede akiver, hvorimod selve niveaue må overlades il markede. For alle reneafhængige akiver med pris V og afhængige af reneprocessen 12 dr = u(r, )d + ω(r, )dx (18) der modelleres under de oprindelige risikomål P gælder a V V ω rv 2 r V r = ω(r, ) λ(r, ) u(r, ) 2 V 1 2 V V + 2 ω + (u λω) rv = 0 2 r r (19) hvor λ er den såkalde markedspris for risiko. (19) er en PDE for reneafhængige akiver og kan løses på samme måde som den ilsvarende Black-Scholes PDE. Vha. Feynman-Kac kan også denne PDE løses som den forvenede diskonerede værdi af de aflede akiv under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q jf. ligning (20) (Björk 2004). V = E Q e T r ds s VT (20) Dvs. ligning (8) holder. Under de risikoneurale sandsynlighedsmål følger reneprocessen dog ikke ligning (18) men derimod ligning (21). dr = (u λω)d + ωdx (21) 12 Som i dee ilfælde ikke er risikoneural

49 8. Prisfassæelse 49 Dvs. drifen i reneprocessen mindskes med en risikojusering lig λω når vi går fra de oprindelige sandsynlighedsmål P il de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. De er også den risikoneurale reneproces der benyes i ligning (8). Siden jeg ikke skal bruge reneprocessen under de oprindelige sandsynlighedsmål P il noge, vil jeg fremover modellere reneprocessen direke under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. 8.4 Mone Carlo eller Finie Difference Nu er spørgsmåle hvordan værdien af bonusopionen ren prakisk skal findes. Overordne se er der her o muligheder. Enen kan der udledes parielle differenialligninger (PDE) såsom ligning (16) og (19) eller også kan værdien af konraken findes ved a finde e numerisk udryk for (9). Den parielle differenialligning kan løses vha. finie difference meoden og de numeriske udryk for (9) kan findes vha. mone carlo. Grosen og Jørgensen har løs for pensionskonrakers værdi vha. finie difference (Grosen og Jørgensen 2001). De kunne reducere dimensionalieen af den parielle differenialligning il o ved a gøre brug af de fakum a beløbe på kundens kono kun opdaeres i årlige inervaller. Derfor kunne de bruge den normale Black-Scholes PDE sammen med en passende såkald hop-beingelse. I mi ilfælde kompliceres den parielle differenialligning af, a jeg har ilføje en sokasisk reneproces. Dee ilføjer en eksra dimension og gør derved programmeringen væsenlig mere komplicere. Den numeriske løsning vil også age en del længere id. Fordelen ved a løse den parielle differenialligning direke er, a de er forholdsvis nem a implemenere amerikanske egenskaber såsom ilbagekøb. Jeg har i denne afhandling valg a benye mig af mone carlo simulering. Dee primær pga. dimensionaliesprobleme. Jeg finder e numerisk udryk for (9) ved a simulere adskillige konoforløb. Hver sluværdi af bonusopionen diskoneres og værdien findes ved a age e simpel gennemsni af de diskonerede sluværdier. Den resulerende værdi er e esima på den rigige værdi. Gennemsnie af dee esima vil ifølge sore als lov i grænsen være lig den rigige værdi af bonusopionen (Wooldridge 2003). For a kunne simulere konoforløb er jeg også nød il a kunne simulere akivforløb. Deril får jeg brug for en række normalfordele ilfældig genererede al. Her er jeg nød il a gøre brug af en såkald pseudo-ilfældig algeneraor. Her har jeg valg a benye mig af Mersenne

50 8. Prisfassæelse 50 Twiser algorimen, som er implemenere i ZRandom programme (ZRandom 2005). Programme giver mig e VBA inerface, hvorved ilfældige normalfordele al kan rækkes. Mersenne Twiser algorimen har en række gode egenskaber over den i VBA indbyggede generaor (Masumoo og Nishimura 2002). Jeg har i appendiks A ese generaoren, hvor jeg ikke fand nogen problemer. Mersenne Twiser genererer uniform fordele al, som derefer bliver indsa i en invers kumulaiv disribuion for normalfordelingen (ZRandom 2007). Jeg har valg a fassæe e fas seed i begyndelsen af hver simulaion, så jeg alid rækker de samme ilfældig genererede al. Dee gør sammenligning nemmere.

51 9. Modellen 51 9 Modellen 9.1 Generel I ligning (9) så vi, a de enese vi mangler for a kunne prisfassæe bonusopionen er a være i sand il a simulere konoforløb og forløb for den kore rene under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. Derfor vil jeg formulere en mere præcis model for udviklingen af kundens kono fra konrakens indgåelse il konrakens udløb. Modellen vil naurligvis bygge på indsigerne fra kapiel 7. Dog eferlod jeg minds o omrum i kapiel 7 for ikke a abe overblikke i fremsillingen. For de førse, har jeg ikke beskreve hvordan ligning (6) skal ilpasses il også a kunne bruges i en siuaion med beinge bonus. For de ande, har jeg ikke definere en præcis dynamik for kundernes porefølje, bufferen og selskabes livsforsikringshensæelser. Disse o mangler vil der blive råde bod på i dee kapiel. Jeg vil sare med a belyse dynamikken i kundernes porefølje og selskabes livsforsikringshensæelser. 9.2 Kundernes porefølje I denne sekion vil jeg definere dynamikken for kundernes akiver. Denne opgave besår af o dele. Ide kundernes akiver besår af en blanding af obligaioner og akier skal vi både modellere en akieporefølje og en obligaionsporefølje. I den sammenhæng er de vigig a modellere poreføljerne under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q, siden de er dee sandsynlighedsmål som bruges når konrakerne værdifassæes vha. risikoneural prisfassæelse. I en risikoneural verden er alle invesorerne ligeglade med risiko, hvorfor de forvenede afkas må være ens for alle akiver, hvis arbirage skal undgås. Som nævn er de risikoneurale forvenede afkas ens for alle akiver. Risiko har i denne verden ingen indvirkning på de forvenede afkas. Dee medfører a de forvenede afkas af ehver akiv under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q over e mege kor idsrum d må være lig den risikofri kore rene r. Dee er opsille i ligning (22). E P P Q + d = P r d (22)

52 9. Modellen Obligaionsporeføljen Når jeg modellerer obligaionsporeføljen, besår min fremgangsmåde i a forudsæe en konsan varighed på obligaionsporeføljen. Poreføljen modelleres eferfølgende som en nulkupon obligaion med denne konsane varighed. Obligaionsporeføljen bliver koninuer jusere, så varigheden ikke mindskes med id men holdes konsan. Obligaionsporeføljen modelleres naurligvis under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. Lad os anage a prisen på denne obligaionsporefølje er give ved P obl, på idspunke. Lad os yderligere anage a processen for P obl, er give ved (23). dp obl, = µ P d + σ P dx (23) obl, obl, obl, obl, 1 Måle er nu a definere processen for P obl, mere præcis. Vi ved jf. ligning (22), a µ obl, må være lig r. Før vi kan definere σ obl,, er vi dog nød il a definere en proces for den kore rene under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. Til sids vil vi være i sand il a simulere værdier af P obl, over idsinervaller af længde h, som opfylder (23). Dee er opsille i (24). + h + h obl,+ h Pobl, = µ obl,pobl, d + σobl, P P dx (24) I Vasiceks arikel fra 1977 udledes en model for den hel kore rene under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q (Vasicek 1977). Denne model blev senere videreudvikle af Cox, Ingersoll og Ross, som ilføre modellen den ønskværdige egenskab, a den kore rene ikke kan blive negaiv (Cox, Ingersoll, Ross 1985). Selvom denne egenskab er ønskværdig, så beyder de som regel ikke noge i praksis a renen i visse siuaioner kan være negaiv. Derimod har Vasicek modellen den fordel a udviklingen i renen over længere inervaller er normalfordel. I CIR modellen er renen over længere inervaller derimod definere ved en ikke-cenral χ 2 fordeling. Jeg har af denne grund valg a benye Vasicek modellen 13. obl, 1 dr = κ( θ r )d + βdx (25) 1 Vasicek definerer udviklingen i den risikoneurale kore rene ved (25). En god egenskab ved denne model er a den er mean-revering. Dvs. renen vil have en endens il a rækkes ilbage mod θ, hvis renen ligger over eller under θ. Hasigheden hvormed dee sker er 13 Den her bruge noaion er forskellig fra den originale noaion

53 9. Modellen 53 definere ved κ. Udefrakommende choks definere ved dx 1 kan dog sørge for a r kommer væk fra θ i længere eller korere perioder. Renens følsomhed overfor disse choks er give ved β. Da prisen på obligaioner er afhængig af renen, er de samme sokasiske chok der indgår i både (23) og (25). Som sag er fordelingen af den fremidige rene i Vasicek modellen normalfordel. Den forvenede værdi er give ved (26) og variansen er give ved (27). E Var κ(t ) [ r ] θ + (r θ) e T = (26) 2 β 2κ(T ) [ r ] ( 1 e ) T = (27) 2κ De er dog på sin plads a knye en kommenar il forskellen mellem den virkelige og den risikoneurale verden. (25) defineres som modellen for den kore rene i den risikoneurale verden. I denne rene er fjerne den kompensaion for risiko, der ligger i den kore rene i den virkelige verden. Hvor mege renen i en risikoneural verden ligger under renen i den virkelige verden afhænger af risikopræmien λ. Vi er dog kun ineressere i reneudviklingen i den risikoneurale verden. Prisen på en nulkupon-obligaion T P med varighed (T-) er ud fra modellen give ved (28). P T T Q r u du = E e A(T ) B(T ) r = e (28) B(T ) = 1 κ κ(t ) ( 1 e ) A(T 2 β ) = θ 2κ 2 2 β 4κ 2 ((T ) B(T ) ) + B(T ) De noeres a processen for vores obligaionsporefølje i ligning (23) er en proces, der er afled af processen for den kore rene, som defineres i (25). Dynamikken i en proces afled af en anden veldefinere proces kan findes vha. Io s Lemma. Io s Lemma er gengive i ligning (29) (Hull 2003).

54 9. Modellen 54 Hvis den underliggende proces er definere ved, dx = a(x, )d + b(x, )dz, så kan processen for G(x,) defineres som 2 G G 1 G 2 G dg = a b d + bdz 2 x x (29) x I vores ilfælde er processen for x lig processen for den kore rene og funkionen G(x,) er i vores ilfælde G(r,) og lig ligning (28). Vi er dog ikke ineressere i de ikke sokasiske led i (29) den såkalde drif. Dee led har vi allerede definere som r P obl,. Derimod er de sidse led ineressan. Her er vi nød il a differeniere obligaionsprisen med den kore rene, hvilke gøres i (30). P r obl, = B(T ) P obl, (30) Da b i (29) er lig β i (25) og dz i (29) er lig dx 1 i (25), kan vi nu definere processen (23) mere nøjagig som (31). dp obl, = r P d B(T ) β P dx (31) obl, obl, 1 Dee er en geomerisk brownsk bevægelse med idsvarierende drif, som kan løses som (32) 14. P h 1 2 { rudu ( β) β 1, h 1, } 2 B h B (X X + obl,+ h = Pobl, exp + ) (32) De enese problem er ledde +h r udu, ide vi ikke kender de fakiske kore rener over inervalle h. Her indfører jeg jf. (28) en approksimaion som vis i (33). h + rudu = A(h) B(h) r (33) 14 Ved a definere en ny funkion ln(p obl, ) og dernæs bruge Io s Lemma

55 9. Modellen Akieporeføljen Ligesom obligaionsporeføljen modelleres akieporeføljen under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. De anages a prisen af akieporeføljen på idspunke er benævn P ak,. Denne porefølje anages definere ved processen give ved ligning (34). dp ak, = µ P d + σ P dx (34) ak, ak, ak, ak, 2 Som en konsekvens af, a akieporeføljen modelleres i en risikoneural verden, kan vi ligesom for processen for obligaionsporeføljen sæe µ ak, = r. Akievolailieen σ ak, er derimod den samme under alle sandsynlighedsmål og defineres som en konsan over id. Som i (32) kan (34) løses resulerende i (35). h 1 2 { rudu σak, + σak, 2, h 2, } 2 h (X X + ak,+ h = Pak, exp + ) P (35) Herved kan jeg nøjes med a simulere én sandard normalfordel sokasisk variabel per år, i sede for a skulle simulere på f.eks. dagsniveau. De samme gælder for obligaionsporeføljen akke være (32). Reneændringen kan også nem simuleres på årsbasis via (26) og (27). Al i al har jeg ved denne fremgangsmåde skåre simulaionsiden drasisk ned, hvor alernaive var a simulere daglige akivværdier indil disse skulle bruges ved årsskife. 9.3 Selskabes forpligigelser I denne sekion vil jeg forsøge a definere hvordan regnskabsopgørelsen af forsikringsselskabes livsforsikringshensæelser simuleres. Derudover vil jeg også definere bufferen benyes il simulaionen under både nye og gamle regnskabsregler. Både definiionen af livsforsikringshensæelserne og bufferen er jf. diskussionerne i 6.4 om markedsværdiregnskabe. Under de gamle regnskabsregler opgøres livsforsikringshensæelserne ved (36).

56 9. Modellen 56 L = K + K = K (36) U B Bufferen defineres under de gamle regnskabsregler ved (37). B = A - K = A K K (37) U B Følges derimod de nye markedsværdibaserede regnskabsregler, kan livsforsikringshensæelserne opgøres som (38). U B B ( K,GY ) + K = max( K, K GY ) L = max + (38) DISK.MR, DISK.MR, Her er GY DISK.MR, kundens andel af selskabes garanerede ydelser diskonere med renesrukuren. Denne sørrelse bliver mere præcis definere eferfølgende. Bufferen bliver under de nye regnskabsregler definere ved (39), BY DISK.MR, er kundens andel af selskabes beingede ydelser diskonere med renesrukuren. B = A GY DISK.MR, BY DISK.MR, (39) På samme måde som de anages a kundernes obligaionsporefølje har en konsan varighed, anages de også pensionsselskabes garanerede ydelser har en konsan varighed. Dvs. lid forsimple er den gennemsnilige id il udløb af kundernes konraker fas. Eller med andre ord, den gennemsnilige id il udbealing af de il kunderne garanerede ydelser er fas. Jeg anager a den med grundlagsrenen diskonerede garanerede ydelse ilknye vores modellerede fripolicekonrak GY DISK.GRUNDLAG, udgør en fas relaiv andel af forsikringsselskabes samlede med grundlagsrenen diskonerede garanerede ydelser GY TOT.DISK.GRUNDLAG,. GY DISK.GRUNDLAG = θ GY TOT.DISK.GRUNDLAG Hvor 0 < θ < 1 og mege æ på 0. (40) Når jeg i modellen beregner de med markedsrenen diskonerede garanerede ydelser ager jeg udgangspunk i GY DISK.GRUNDLAG,. Herefer findes θ GY TOT, ved a opskrive GY DISK.GRUNDLAG, med grundlagsrenen m anal år frem svarende il den gennemsnilige id il udløb for pensionsselskabes kunders garanerede ydelser.

57 9. Modellen 57 GY DISK.GRUNDLAG, m (1+ r g ) = θ GY TOT, (41) Nu skal de garanerede ydelser bare diskoneres med markedsrenen vha. formlen for en nulkupon-obligaion fra før ud fra (42). T P = exp{-a(t-)-b(t-)r }. Dvs. GY DISK.MR, kan nu defineres GY DISK.MR, = θ GY TOT.DISK.MR, = exp{-a(m)-b(m)r } θ GY TOT, (42) Jeg kunne også have valg bare a diskonere GY med markedsrenen i sede for al besvære med a definere θ GY TOT,. Dee ville dog ikke give nogen mening, da de jo er selskabes samlede garanerede ydelser diskonere med markedsrenen der er besemmende for bufferen og dermed konorenen - ikke de garanerede ydelser forbunde med vores specifikke konrak. 9.4 Modellen og de forskellige garaniyper Nu vil jeg forsøge a klargøre sammenhængen mellem konorenen, de forskellige koni og den garanerede ydelse under forskellige garaniyper. De anages, a konorenen løbende er beregne ud fra ligning (6). De specifikke beregninger og inpus bag beregningen af konorenen er dog gem af vejen for simpelhedens skyld. I hver af simulaionerne er de anage a konraken indgås 10 år før pensionering og a grundlagsrenen er 2,5% Renegarani Dee er den nemmese garaniype a simulere. Konorenen r k,+1 findes vha. (6) hvorefer K +1 = (1 + r k,+1 ) K. Tabel 5: Simulaion af renegarani År r k K K U K B GY 0 100,00 100, ,01 1 2,50% 102,50 102, ,01 2 2,50% 105,06 105, ,01 3 2,50% 107,69 107, ,01 4 3,30% 111,24 111, ,01 5 4,70% 116,47 116, ,78 6 2,50% 119,38 119, ,78 7 2,50% 122,37 122, ,78 8 4,10% 127,38 127, ,83 9 5,70% 134,65 134, , ,50% 138,01 138, ,01

58 9. Modellen 58 De ses a når der ilskrives bonus, så siger de ved udløb garanerede ydelser GY. Bonus bliver ilskreve de år hvor r k > r g. I år 5 bliver f.eks. ilskreve bonus B X 5 = (0,047-0,025) 111,24 = 2,45. Vi kan beregne K 5 som K 5 = (1+0,047) 111,24 = 2,45 + (1+0,025) 111,24 = 116,47. GY 5 kan beregnes som GY 5 = 116,47 (1+0,025) 10-5 = 131,78. De noeres også a B K = 0 for alle, efersom der jo ikke ilskrives beinge bonus under en renegarani. I figur 14 er lave en ny simulaion af kundens kono, og de ses hvordan den ved udløb garanerede ydelse opskrives i ak med ilskrivning af bonus. Da alle bonusilskrivninger medfører en opskrivning af GY, er de ubeingede. Figur 14: Den radiionelle konrak med en ilknye renegarani GY 3 GY GY Værdien af kundens kono indil år Ydelsesgarani Nu vil jeg illusrere hvordan en ydelsesgarani kan simuleres. En ydelsesgarani er i denne afhandling karakerisere ved, a al ilskreve bonus er beinge. Konraken opfører sig dermed som en renegarani med den forskel, a bonus indsæes på med grundlagsrenen. Indskudde på 100 kr. indsæes selvfølgelig på B K, hvor den forrenes U K, hvor de også forrenes med grundlagsrenen. Den sore forskel i forhold il en renegarani besår i a beløbe i B K kan ilbageføres, hvis visse beingelser er opfyld. Beingelsen for ilbageførsel vil jeg i denne afhandling som udgangspunk definere som (43) jf. ligning (6).

59 9. Modellen 59 Tilbageførsel fra K + hvis B 1 B L 2 ψ 3 og B K > 0 (43) Denne beingelse er i simulaionen nedenfor anage opfyld i år 6 il 10. Dvs. i år 6 fassæes konorenen som ilskrives kundens kono i år 7 il 1,50%, som ligger under grundlagsrenen på 2,5%. Dee resulerer i en ilbageførsel fra 1,19 jf. (2). Dermed er B K 7 - B 6 K på max( (0,025 0,015) 119,38,0) B 7 X T 7 = = K = 3,41 0,025 1,19 = -1,11. I år 9 er K B 9 = 0, hvorfor selskabe er nød il a forrene kundens kono med grundlagsrenen, selvom beingelsen er opfyld. De år hvor idligere ilskreve beinge bonus kan ilbageføres er markere med *. Dvs. hvis e give år er markere med *, så var (43) opfyld åre forinden. Tabel 6: Simulaion af ydelsesgarani År r k K K U K B GY 0 100,00 100,00 0,00 128,01 1 2,50% 102,50 102,50 0,00 128,01 2 2,50% 105,06 105,06 0,00 128,01 3 2,50% 107,69 107,69 0,00 128,01 4 3,30% 111,24 110,38 0,86 128,01 5 4,70% 116,47 113,14 3,33 128,01 6 2,50% 119,38 115,97 3,41 128,01 7* 1,50% 121,17 118,87 2,31 128,01 8* 1,50% 122,99 121,84 1,15 128,01 9* 1,54% 124,89 124,89 0,00 128,01 10* 2,50% 128,01 128,01 0,00 128,01 En brugbar regel for besemmelse konorenen som ilskrives konoen på idspunke +1, når (43) er opfyld på idspunke, er give ved (44). Med andre ord, når (43) er opfyld, så findes konorenen ikke ud fra (6) men derimod ud fra (44). B ψ L r k,+ 1 = rg max 1, 0 ψ (44) Tilbageførslen kan på vanlig vis beregnes ud fra ligning (2). De vil være en god ide a se lid nærmere på (44). Førs noeres a jeg har definere maksimeringsbeingelsen således a konorenen aldrig kan blive negaiv. Jeg går ud fra, a der skal en del il før selskabe ør a fassæe en negaiv konorene. Ide (43) sikrer a B L 2 ψ 3, kan vi nøjes med a analysere

60 9. Modellen 60 inervalle 0 B L 2 B ψ. Når 0 3 L B 2 +. Når = ψ, så har vi L 3 =, så er r = r max( 0,0) 0 k, 1 g = 2 ψ 3 ψ r k,+ 1 = rg max 1,0 = rg max 1 3 g 3 = ψ opfyld, så vil konorenen ligge mellem 0 og ( (1 ),0) = r max(,0) rg 3 g 3. Dvs. a når (43) er 2 r. Derved kan konorenen illusreres via figur 15 nedenfor under anagelse af α = 0,17 og ψ = 0,07 sam en grundlagsrene på 2,5%. Hvorfor lige disse parameerværdier er benye, vil blive afsløre senere. Figur 15: Konorenens afhængighed af bufferniveau Konorene 5% 4% B L = 2 ψ 3 3% 2% 1% 0% 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 B/L I figur 15 viser de solide linjer konorenens afhængighed af de relaive bufferniveau ilfælde af a der idligere er ilskreve beinge bonus og denne idligere ilskrevne beingede bonus er ilsrækkelig sor il a dække en konorene under grundlagsrenen. Konorenen er give ved (6) indil B L 2 ψ 3 er opfyld, hvorefer konorenen besemmes ud fra (44). Den siplede linje angiver den konorene der ville være gældende såfrem konoen ikke idligere ikke idligere er bleve ilskreve beinge bonus. B L i Såfrem K + ikke kan dække den under (44) fremkomne konorene, så vil konorenen ligge B 1 e sed mellem den solide og siplede linje. K + kan ikke dække konorenen når (45) er B 1

61 9. Modellen 61 opfyld. Eller med andre ord, K + kan ikke dække konorenen når den af konorenen B 1 krævede ilbageførsel er sørre end K +. B 1 T B X + 1 = (rg rk,+ 1) K > K (1 + rg ) (45) Når (45) er opfyld, findes konorenen via (46), hvilke sæer K + = 0. B 1 T B X + 1 = (rg rk,+ 1) K = K (1 + r r g ) B K + 1 = rg (1 rg ) K (46) k, + For a skabe e overblik har jeg lave figuren nedenfor. Under en renegarani vil (43) aldrig være opfyld, efersom K B = 0 for alle. Derfor findes konorenen under en renegarani alid via (6). Figur 16: Hvordan findes konorenen? r k, findes i førse omgang via (44) r k, findes endelig via (46) Ja Ja Er (43) opfyld? Er (45) opfyld? Nej r k, findes via (6) (6) Nej r k, fra (44) beholdes

62 9. Modellen Beinge renegarani En beinge renegarani ligger e sed mellem en ubeinge renegarani og en ydelsesgarani. Under en beinge renegarani er bonus enen beinge eller ubeinge. Hvis bonus er ubeinge, så havner den i U K. Hvis bonus derimod er beinge, så havner den i B K indil den måske ilbageføres. Hvorvid bonus bliver ilskreve beinge eller ubeinge, beror på e selskabes skøn mh. fremidig opfyldelse af de garanerede ydelser. Måske vil selskabe gerne ilskrive kundens kono bonus, efersom bufferen er relaiv sor, men selskabe kan samidig være lid bekymre over e måske lav reneniveau. Derfor vælger selskabe a ilskrive beinge bonus. Dee kan formaliseres ved (47), hvor r er den kore rene. Bonus beinge hvis r r g (47) Den lange rene vil i de ilfælde ligge over r, hvis de langsigede reneniveau for den kore rene ligger over r g, hvilke nok vil være ilfælde. I abel 7 nedenfor er de år, hvor beinge bonus kan ilskrives markere med +. Dvs. a hvis e give år er markere med +, så var (47) opfyld åre forinden. De år hvor idligere beinge bonus kan ilbageføres er markere med *. Dvs. hvis e give år er markere med *, så var (43) opfyld åre forinden. Hvis (43) er opfyld, findes konorenen derefer ud fra (44). I denne simple simulering er konorenen dog fassa lid ad hoc. Tabel 7: Simulaion af beinge renegarani År r k K K U K B GY 0 100,00 100,00 0,00 128,01 1 2,50% 102,50 102,50 0,00 128,01 2 2,50% 105,06 105,06 0,00 128, ,50% 107,69 107,69 0,00 128, ,30% 111,24 110,38 0,86 128, ,70% 116,47 113,14 3,33 128,01 6 2,50% 119,38 115,97 3,41 128,01 7 2,50% 122,37 118,87 3,50 128,01 8 4,10% 127,38 123,80 3,59 130,07 9* 1,00% 128,66 126,89 1,77 130,07 10* 1,25% 130,27 130,07 0,20 130,07 Bonusilskrivningens ype under en beinge renegarani, kan illusreres vha. figur 17.

63 9. Modellen 63 Figur 17: Er bonus beinge eller ubeinge under en beinge renegarani? Ja Bonus definere i (1) som resula af konorenen fassa i (6) er beinge (6) er beinge Er (47) opfyld? Nej Bonus definere i (1) som resula af konorenen fassa i (6) er ubeinge (6) er ubeinge Generel om garaniyperne Værdien af en renegarani, må være højere end værdien af en ydelsesgarani. De er selvfølgelig en fordel for kunden, a al bonus bliver liggende i på kundens kono og ikke pludselig senere kan ilbageføres. Værdien af bonusopionen i ilfælde af den beingede renegarani må anages a ligge imellem de o yderpunker. Dee er en konsekvens af, a den beingede renegarani kan ses som en blanding af den rene renegarani og ydelsesgaranien. Normal vil en konrak med en beinge renegarani opføre sig som en konrak med en ren renegarani, men når forholdende kræver de, så opfører konraken sig som en ydelsesgarani forsåe på den måde a bonusilskrivninger ikke opskriver den ved konrakens udløb garanerede ydelse. Figur 18: Værdien af bonusopionen ved forskellige garaniyper Renegarani Beinge renegarani Ydelsesgarani Værdi af bonusopionen

64 9. Modellen Simulaion af konorenen I denne sekion vil jeg førs vise hvorledes konorenen og dermed kundens kono kan simuleres fra begyndelse il slu. Beskrivelsen vil bære lid præg af programmering, dog uden af benye programmeringssynaks på nogen måde. Dee er for a give e præcis indblik i hvordan simulaionerne fungerer Specifik beskrivelse Til a begynde med sæes A 0, K 0 og B K 0 sæes lig 0. r 0 sæes lig begyndelsesrenen. U K 0 lig 100, som er kundens indskud efer omkosninger. På alle idspunker fra 0 il T-1 skal nedensående procedure følges. 1) GY DISK.MR, beregnes ud fra (42). BY DISK.MR, beregnes efer samme princip. 2) Sørrelsen livsforsikringshensæelserne besemmes ud fra (36) eller (38). Sørrelsen af bufferen besemmes ud fra (37) eller (39). 3) Nu skal konorenen findes. Som udgangspunk findes konorenen via (6). Hvis der er ale om en ydelsesgarani eller beinge renegarani, kompliceres fremgangsmåden en smule. Vi kan for en ydelses eller beinge renegarani sare med a jekke om der er ale om en ilbageførsel ved a se på om (43) er opfyld. Hvis der er ale om en ilbageførsel, findes konorenen i førse omgang ved (44). Nu undersøges om den af (44) fremkomne konorene kan dækkes af idligere ilskreve beinge bonus ved (45). Hvis der er dækning, beholdes konorenen fra (44). Ellers findes konorenen ved brug af (46). 4) Den fundne konorene bruges nu il enen a ilskrive bonus eller ilbageføre idligere ilskreve beinge bonus. Førs forrenes den beingede og ubeingede kono med grundlagsrenen. Dernæs jekkes om konorenen ligger over grundlagsrenen. Hvis konorenen ligger over grundlagsrenen ilskrives bonus via (1). Førs skal vi dog i ilfælde af en beinge renegarani finde ud af om bonus er beinge. Dee er ilfælde såfrem (47) er opfyld. I ilfælde af en ydelsesgarani er al bonus beinge. Hvis

65 9. Modellen 65 derimod konorenen ligger under grundlagsrenen ilbageskrives idligere beinge bonus via (2). 5) Nu simuleres en nye værdier af kundens akiver e år frem via (32) og (35). Derudover simuleres også nye værdier af den kore rene e år frem via egenskaberne (26) og (27). Dee gøres dog ikke når = T Paramere Nu vil jeg formulere nogle værdier for de forskellige paramere som indgår i modellen. Dee gøres for a skabe e realisisk udgangspunk. De er ikke så vigig a paramerene er hel korreke. De er som sag e udgangspunk for ligesom a have noge a gå ud fra. Jeg vil ikke gå ind i økonomeriske problemsillinger, da jeg derved ville gøre min afhandling mere empirisk end jeg har lag op il. Førs vil jeg esimere en akievolailie il brug i (34). Der ages udgangspunk i månedlige prisdaa på MSCI Europa i perioden 1/1/1990 il 1/1/2007. Sandardafvigelsen af den 1 naurlige logarime af de månedlige bruoafkas esimeres il 0,0442. Dvs. σ sk 12 = 0,0442 0,0442 σ = = 0,153. Derfor sæes udgangspunksværdien af σ ak = 0,15. ak 1 12 Dernæs skal der findes nogle udgangspunksværdier for κ, θ og β i Vasicek modellen. κ og β er sa lid ad hoc il hhv. 0,25 og 0,02. Langidsniveaue for den kore rene θ, er sa lig 0, Denne værdi er ikke valg ilfældig og en begrundelse gives senere. Til sids skal der findes værdier for α og ψ som begge indgår i (6). Disse o sørrelser er idligere esimere af (Grosen og Jørgensen 2002) il a være henholdsvis 0,17 og 0,07 for danske L&P-selskaber.

66 10. Resulaer Resulaer 10.1 De førse resulaer Nu vil jeg præsenere de førse resulaer. Før jeg gør dee, vil jeg dog lige opsille paramerene i modellen, og derefer kor gennemgå nøjagigheden af resulaerne. Jeg har opsille de forskellige paramere nedenfor, sam definiioner for livsforsikringshensæelserne og bufferen, som jo begge har en mege cenral indflydelse på konorenen via (6). Al der påvirker konorenen, påvirker selvfølgelig også værdien af konraken. Udgangsparameerværdierne i boks 2 benyes med mindre ande er nævn. Boks 2: Udgangsparameerværdier κ (Vasicek mean-reversion) 0,25 α (konorenemodel) 0,17 θ (Vasicek langidsniveau) 0,04725 ψ (konorenemodel) 0,07 β (Vasicek volailie) 0,02 Sarrene 4,725% Varighed af GY 20 år Akievolailie 15% Akieandel 30% Livsforsikringshensæelser Obligaionsvarighed 10 år Gamle regler K Nye regler U max( K, GY DISK.MR, ) + Konraklængde 40 år Buffer Grundlagsrene 4,5% Gamle regler A - K Anal simulaioner Nye regler A - GY DISK.MR, - BY DISK.MR, B K Mh. nøjagigheden af esimaerne på værdien af konrakerne, vil jeg beregne sandardfejlen ved forskellige anal simulaioner. Sandardfejlen er give ved σ / n. Her er σ sandardafvigelsen af de enkele udfald. Sandardfejlen er sandardafvigelsen af den esimerede middelværdi for de enkele udfald. Vi kender desværre ikke σ, hvorfor den esimeres ud fra n simulerede udfald. Den esimerede σ kaldes her bare sandardafvigelsen s. Sandardfejlen kan nu beregnes som s / n. Resulaerne er give i abel 8.

67 10. Resulaer 67 Tabel 8: Sandardfejl for værdiesimaerne ved forskellige anal simulaioner Esima 11,23 14,23 13,91 13,87 13,82 Sandardfejl 2,00 0,75 0,27 0,08 0,03 Tid (sek.) < Takke være Cenral Limi Theorem ved vi a middelværdiesimae vil være normalfordel, og a fordelingen vil ilnærme sig den rigige middelværdi i ak med a anal simulaioner øges. Denne indsig gør de mulig a udale sig om hvor de rigige gennemsni sandsynligvis ligger ud fra esimaværdien. Hvis sandardfejlen er 0,08 kan vi sige a den rigige værdi med 95% sandsynlighed ligger indenfor +/- 1,96 0,08 = +/- 0,157 ud fra esimae. Nøjagigheden er ikke hel opimal ved simulaioner, men de skal afvejes mod, a de ager ca. 31 sekunder per simulaioner på en moderne compuer. Hvis jeg øgede anal simulaioner fra il , så ville beregningsiden for hver esima gå fra 5 minuer il næsen en ime per esima. Nøjagigheden ville dog sige. I de flese ilfælde føler jeg a simulaioner er ilsrækkelig, men jeg har dog alid muligheden for a øge nøjagigheden ved a øge anal simulaioner. Sandardfejlen vil selvfølgelig være forskellig for hver esima, og jeg har derfor ilføje esimaernes sandardfejl i parenes. Før jeg gennemgår de førse resulaer, vil jeg dog førs illusrere den renesrukur som de 3 udgangsparamere i Vasiceks model giver anledning il. Dee er både for a få en generel føling med paramerene, men ligeså mege fordi værdien af den garanerede ydelse findes ved diskonering af den garanerede ydelse med renesrukuren. Renesrukuren er vis nedenfor.

68 10. Resulaer 68 Figur 19: Vasicek renesrukur med κ = 0,25, θ = 0,0475, β = 0,02 og r 0 = 0,0475 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% Den 40-årige nulkuponrene er i ilfælde af den vise renesrukur lig 0, Herved kan værdien af den garanerede ydelse ved konrakens indgåelse findes som V GY, 0 = 100 (1,045) 40 e -0, = 98,68. I abel 9 er opsille fundne værdier for bonusopionen for de 3 forskellige garaniyper under både de nye og gamle regnskabsregler. Værdierne er beregne ud fra parameerværdierne i boks 2. Tager vi f.eks. udgangspunk i bonusopionens værdi i ilfælde af en renegarani under de nye regnskabs regler, så ses de a værdien af bonusopionen er 13,87. I ligning (3) så vi a værdien af pensionskonraken er lig summen af værdien af de garanerede ydelser og værdien af bonusopionen. Dvs. pensionskonrakens værdi i ilfælde af en renegarani og under de nye regnskabsregler kan beregnes il V K, = 98, ,87 = 112,55. Tabel 9: Udgangspunk Nye regler Gamle regler Renegarani 13,87 (0,08) 15,45 (0,09) Beinge renegarani 11,67 (0,08) 9,62 (0,08) Ydelsesgarani 8,23 (0,07) 8,18 (0,07) De ses i også abel 9, a værdien af bonusopionen opfører sig som forvene. Værdien af bonusopionen er sørre under en renegarani end under en ydelsesgarani. Den beingede renegarani ligger derimellem. Dee er ilfælde både under de nye og gamle regnskabsregler. A værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler her ligger re æ på de ilsvarende

69 10. Resulaer 69 værdier under de gamle regnskabsregler, skal der ikke konkluderes noge ud fra på dee idlige idspunk. Paramerene er nemlig valg, så de er ilfælde. Mere om de senere. Tabel 10: Konorene kan være negaiv ved ilbageføring af beinge bonus Nye regler Gamle regler Renegarani 13,87 (0,08) 15,45 (0,09) Beinge renegarani 11,59 (0,09) 9,44 (0,07) Ydelsesgarani 7,90 (0,07) 7,79 (0,07) I ligning (44) definerede jeg, a konorenen ved ilbageførsel aldrig kan være negaiv. Vi kan derfor se på, hvordan denne forudsæning påvirker værdierne af bonusopionen. De er klar, a forudsæningen kun kan påvirke værdien af bonusopionen under en beinge renegarani og en ydelsesgarani, da konorenerne her kan falde il under grundlagsrenen som resula af en ilbageføring af beinge bonus. I abel 10 ses simulerede værdier af bonusopionen, hvor anagelsen er løfe. De ses, a værdierne ikke har ændre sig væsenlig. Tabel 11: α = 0,3 Nye regler Gamle regler Renegarani 16,82 (0,10) 18,87 (0,10) Beinge renegarani 14,30 (0,09) 11,46 (0,09) Ydelsesgarani 9,46 (0,08) 9,42 (0,08) Tabel 12: ψ = 0,2 Nye regler Gamle regler Renegarani 8,67 (0,07) 9,38 (0,07) Beinge renegarani 7,48 (0,06) 6,56 (0,06) Ydelsesgarani 5,81 (0,06) 5,81 (0,06) I de o abeller ovenfor er der eksperimenere lid med bonusildelingen. I abel 11 er α øge fra 0,17 il 0,3, hvilke svarer il a selskabe er bleve mere aggressiv i deres bonusildeling. Måske er konkurrencen øge? I forhold il udgangspunke giver den øgede aggressivie anledning il en højere værdi af bonusopionen. I abel 12 er ψ øge fra 0,07 il 0,2. Dee svarer il a selskabe er bleve mere forsigig. Resulae er, a værdien af bonusopionen sænkes i forhold il udgangspunke. Effeken af de o paramere er grundig behandle i Grosen og Jørgensen 2000.

70 10. Resulaer 70 Nu da vi har fåe en grundlæggende føling med resulaerne, kan vi forsæe med grundigere følsomhedsanalyser Renefølsomhed I dee afsni vil jeg se på hvordan værdien af bonusopionen og dermed konraken værdi ændres ved forskellige reneniveauer. Jeg vil sare med a variere den kore renes langidsniveau, som i Vasicek modellen er give ved θ. Jeg vil ved hver reneniveau sæe begyndelsesrenen lig θ. De o andre paramere i renemodellen ændres ikke. Figur 20: Renesrukuren ved forskellige θ = r 0 10% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% Som de ses i figur 20, så svarer en samidig ændring af θ og r 0 il e parallelskif i renesrukuren. I figur 21 er afbillede værdierne af bonusopionen under de nye regnskabsregler ved parallelle skif i renesrukuren. Den øverse linje er værdien af bonusopionen i ilfælde af en renegarani. Den nederse linje er værdien af bonusopionen i ilfælde af en ydelsesgarani. Den miderse linje er værdien af bonusopionen i ilfælde af en beinge renegarani.

71 10. Resulaer 71 Figur 21: Værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler ved parallelle skif i renen Værdi af bonusopion θ og kor rene ved sar 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Renegarani øvers, beinge renegarani i miden og ydelsesgarani neders De ses i figur 21, a værdien af bonusopionen er sigende i reneniveaue. De er en konsekvens af, a e højere reneniveau giver mulighed for e højere forvene afkas på både akier og obligaioner. Deso højere dee forvenede afkas er, deso sørre mulighed har kunden for a modage en forrenning af deres koni, der ligger over grundlagsrenen. En forrenning der ligger over grundlagsrenen, udmøner sig i en posiiv værdi af bonusopionen ved konrakens udløb jf. ligning (4). De ses dog a grafens hældning er afagende ved høje reneniveauer. De er her vigig a huske på, a værdien af bonusopionen ved udløb også skal diskoneres med reneniveaue. Dee får relaiv sørre effek ved højere reneniveauer. Værdispænde mellem de forskellige garaniyper er generel ikke sor. Spænde lader dog il a sige omkring grundlagsrenen. Spænde mindskes ved højere reneniveauer efersom høje forvenede afkas gør, a sørrelsen af bufferen får svær ved a falde ilsrækkelig il, a en ilbageførsel kan finde sed. Ved de hel lave reneniveauer mindskes spænde ligeledes, ide bonus sjælden ilskrives i de hele age. I figur 22 er værdien af bonusopionen afbillede under de gamle regnskabsregler ved parallelle skif i renen. Værdigrafen har under de gamle regnskabsregler samme form som under de nye regnskabsregler. Værdien af bonusopionen opnår dog ikke samme værdi under de gamle regnskabsregler som under de nye ved e høj reneniveau.

72 10. Resulaer 72 Figur 22: Værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler ved skif i reneniveau Værdi af bonusopion θ og kor rene ved sar 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Renegarani øvers, beinge renegarani i miden og ydelsesgarani neders Under de gamle regnskabsregler er spænde mellem renegaranien og de o andre garaniyper sørre end under de nye regnskabsregler ved lave reneniveauer. De skyldes, a der al ande lige bliver ilskreve bonus ofere under de gamle regnskabsregler end under de nye regler når reneniveaue er lav. De er e resula af, a e lav reneniveau under de gamle regler ikke direke mindsker bufferen og øger livsforsikringshensæelserne. Tidligere ilskreve bonus bliver dog under den beingede renegarani og ydelsesgaranien ofe ilbagefør når reneniveaue er lav, ide de lave reneniveau ikke kan holde bufferniveaue over ilbageføringsgrænsen. Som sag opnår bonusopionen værdi højere under de nye regnskabsregler når reneniveaue er høj. De modsae er ilfælde når reneniveaue er lav. Derfor vil de være ineressan direke a sammenligne værdien af bonusopionen under de nye og gamle regnskabsregler. Denne sammenligning opnår jeg ved a indegne værdien af bonusopionen i ilfælde af en renegarani under de o forskellige regnskabsregler ind i samme graf. Dee er gjor i figur 23.

73 10. Resulaer 73 Figur 23: Værdi af bonusopion under nye og gamle regnskabsregler ved skif i reneniveaue Værdi af bonusopion 120 De nye regnskabsregler ,725% De gamle regnskabsregler θ og kor rene ved sar 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% De ses i figur 23, a værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler ligger under værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler, såfrem reneniveaue for den kore rene ligger under ca. 4,725%. Hvis reneniveaue for den kore rene derimod ligger over 4,725%, er værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler højere end værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler. Spørgsmåle er imidlerid hvor de 4,725% kommer fra. Svare er, a når vi iniial fassæer paramerene θ og den kore sarrene i Vasiceks renemodel il a være lig 4,725%, så opnår vi en renesrukur, hvor den 20-årige rene er lig grundlagsrenen. Over id vil renesrukuren bevæge sig væk fra den iniiale srukur i ak med bevægelse i den kore rene, men renesrukuren vil have en endens il a vende ilbage il iniialsrukuren pga. mean-reversion. Dee er illusrere i figur 24, hvor de brede pile illusrerer mean-reversion.

74 10. Resulaer 74 Figur 24: Mean reversion i reneniveau 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 4,725% = θ = r 0 4,5% = grundlagsrenen 0% Den 20-årige rene er vigig som konsekvens af, a jeg har anage varigheden af selskabes garanerede ydelser il a være 20 år. Under de nye regnskabsregler skal de garanerede ydelser jo diskoneres med markedsrenen, hvorimod de garanerede ydelser under de gamle regnskabsregler skal diskoneres med grundlagsrenen på neop 4,5%. Når langidsniveaue for den kore rene er sa il 4,725%, vil der være en endens il, a den 20-årige markedsrene i gennemsni er lig grundlagsrenen. På den måde bliver sørrelsen af bufferen og livsforsikringshensæelserne i langidsniveaue ens under både de nye og gamle regnskabsregler. Dee medfører en gennemsnilig ens bonusilskrivning og dermed ens værdier af bonusopionen under både de nye og gamle regnskabsregler. Opgørelsen af livsforsikringshensæelserne vil under de nye regnskabsregler dog ikke gennemsnilig være lig opgørelsen af livsforsikringshensæelserne under de gamle regnskabsregler ved dee reneniveau pga. livsforsikringshensæelsernes asymmeriske egenskab under de nye regnskabsregler. Derfor er skæringen heller ikke præcis 4,725%, men ligger lid under. De 4,725% er dog analyisk belejlig og benyes i afhandlingen som skæringsrenen, hvilke heller ikke giver problemer når bare de huskes, a skæringsrenen kun approksimaiv er lig 4,725%. Som sag er værdien af bonusopionen sørre under de nye regnskabsregler end under de gamle når renen er høj og mindre når renen er lav. Dee skyldes definiionen af bufferen og livsforsikringshensæelserne under de o regnskabssysemer, som jo er definere i ligning (36) og ligning (38). Under de nye regnskabsregler er både buffer og hensæelser reneafhængige.

75 10. Resulaer 75 Derfor, når reneniveaue for den kore rene er under 4,725%, er livsforsikringshensæelserne i gennemsni sørre under de nye regnskabsregler end under de gamle. Tilsvarende er bufferen i gennemsni mindre under de nye regnskabsregler end under de gamle når reneniveaue for den kore rene er under 4,725%. Når reneniveaue for den kore rene ligger over 4,725%, er bufferen i gennemsni sørre under de nye regnskabsregler end under de gamle. Sørrelsen af livsforsikringshensæelserne er i gennemsni ens under begge regnskabssysemer når reneniveaue for den kore rene ligger under 4,725%. Dee er opsille i abel 13 Tabel 13: De nye regnskabsregler (NRR) sammenligne med de gamle (GRR) reneniveau < 4,725% reneniveau > 4,725% Buffer NRR < GRR NRR > GRR Livsforsikringshensæelser NRR > GRR NRR = GRR Når reneniveaue for den kore rene ligger over 4,725%, bevirker den sørre buffer under de nye regnskabsregler, a der generel bliver ilskreve en højere konorene. Dee påvirker værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler posiiv i forhold il værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler. Når reneniveaue for den kore rene ligger under 4,725%, påvirker den gennemsnilig lavere buffer og de gennemsnilig højere livsforsikringshensæelser værdien af bonusopionen negaiv under de nye regnskabsregler i forhold il værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler. Vi må dog igen ikke glemme a konraken jo besår af o dele. Den garanerede ydelse og bonusopionen. Værdien af den garanerede ydelse bliver også påvirke af reneskif. I figur 25 har jeg afbillede værdien af den garanerede ydelse ved de forskellige reneniveauer. Som de ses, så falder værdien af de garanerede ydelser ved en signing i reneniveaue. Dee er i modsæning il værdien af bonusopionen, som jo siger når reneniveaue siger. Om værdien af en given konrak er sege eller falde når renen siger, kommer således an på både værdisigningen på bonusopionen og de garanerede ydelser.

76 10. Resulaer 76 Figur 25: Værdien af de garanerede ydelser ved de forskellige reneniveauer Værdi af den garanerede ydelse , , , , , ,83 39,43 26,43 17,72 11,88 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% θ og kor rene ved sar De er også ineressan a se på hvordan e skif i den kore rene påvirker værdien af bonusopionen. Her holdes langidsniveaue θ konsan mens den kore rene ved konrakens indgåelse r 0 varieres. Dee giver anledning il de i figur 26 vise renesrukurer. Figur 26: Renesrukurer ved varierende r 0 10% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% Værdierne af bonusopionen er afbillede i figur 27 under de nye regnskabsregler. En signing i den kore rene vil al ande lige øge værdien af bonusopionen. Dee er som før pga., a en højere rene giver e højere afkas, som igen giver selskabe mulighed for a ilbyde en højere konorene. En signing i den kore rene giver dog ikke samme dramaiske signing i værdien

77 10. Resulaer 77 af bonusopionen som en signing i selve reneniveaue gav anledning il. En signing i den kore rene slår ikke på samme måde igennem på selskabes med markedsrenen diskonerede garanerede ydelser, ide varigheden af disse for de mese ikke ligger i den kore ende. Dermed får vi med e skif i den kore rene alene ikke på samme måde fordel af en sørre buffer som vi jo gjorde med e niveauskif i renesrukuren under de nye regnskabsregler. Derimod må vi nøjes med de højere afkas på akiverne, som dog må anses for midleridige, siden renen jo før eller siden vil reurnere il si langidsniveau. En fordel ved a kun de kun er den kore rene der øges i sede for hele srukuren er dog, a diskoneringen af bonusopionens værdi ved udløb mindskes sammenligne med e niveauskif i renen, hvilke selvfølgelig øger værdien af bonusopionen. Figur 27: Værdierne af bonusopionen ved skif i den kore rene under de nye regnskabsregler Værdi af bonusopion R B 15 Y 10 5 Kor rene ved sar 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% R: Renegarani, B: Beinge renegarani, Y: Ydelsesgarani I figur 28 er vis værdierne af bonusopionen under de gamle regnskabsregler ved e skif i den kore rene. Billede under de gamle regnskabsregler ligner il forveksling billede under de nye regnskabsregler. Dee er der ikke noge mærkelig i, da den komponen der kunne gøre forskellen ikke bliver nævneværdig påvirke af e skif i den kore rene. Her ænkes selvfølgelig på selskabes garanerede ydelser diskonere med markedsrenen. Derimod kommer værdisigningen også under de gamle regler fra e måske korvarig højere afkas, og en mindre diskonering af de endelige udfald af bonusopionen.

78 10. Resulaer 78 Figur 28: Værdierne af bonusopionen ved skif i den kore rene under de gamle regnskabsregler Værdi af bonusopion R 20 B 15 Y 10 5 Kor rene ved sar 0 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% R: Renegarani, B: Beinge renegarani, Y: Ydelsesgarani 10.3 Poreføljen De er også ineressan a se på, hvad valge af akiver i kundens porefølje beyder for værdien af bonusopionen. I den forbindelse er de værd a huske på, a de jo er selskabe, som sammensæer akivfordelingen i kundens porefølje. Selskabes fokus er på a sikre udbealingen af de garanerede ydelser. A maksimere værdien af bonusopionen priorieres lavere. I denne sekion vil jeg undersøge hvordan selskabes valg af akivporefølje påvirker værdien af bonusopionen. Jeg vil førs undersøge specialilfælde, hvor akivporeføljen besår 100% af akier. Jeg har i min model anage a akieporeføljen er ukorrelere med reneudviklingen. Når akivporeføljen udelukkende besår af ukorrelerede akier, er akivporeføljen ukorrelere med markedsværdien af de garanerede ydelser. Dermed er der ingen afdækningseffek mellem akiver og passiver, som der ellers kan være under de nye regnskabsregler. Jeg vender ilbage il afdækningseffeken lid senere. Formåle er på nuværende idspunk, a undersøge hvordan selskabes valg af volailieen påvirker værdien af bonusopionen, når der ingen afdækningseffek er il sede. I figur 29 er vis værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler ved sigende akievolailie.

79 10. Resulaer 79 Figur 29: Værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler med sigende akievolailie og 100% akieandel Værdi af bonusopion R 80 B 60 Y Akievolailie 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% R: Renegarani, B: Beinge renegarani, Y: Ydelsesgarani De ses ydelig, a værdien af bonusopionen siger med volailieen af kundens porefølje. En øge volailie i akivporeføljen medfører auomaisk sore udsving i bufferen. Når bufferen er sor, modager kunden gode konorener, hvorimod kundens konorene ikke på samme måde lider under en lav eller endog negaiv buffer. Kunden vil jo som hovedregel ikke modage en konorene under grundlagsrenen og under ingen omsændigheder en negaiv konorene. De er dermed i kundens bedse ineresse, når bufferen udviser sore udsving. Med en mege risikobeone akivbase løber selskabe en sor risiko, efersom der er en reel risiko for, a værdien af kundens porefølje falder il under markedsværdien af de garanerede ydelser. Hvis bufferen ligefrem bliver negaiv, er selskabe eknisk insolven. Hvis en sådan siuaion ikke bedres indenfor en rimelig idshorison, vil selskabe ikke kunne opfylde de garanerede udbealinger og højs sandsynlig blive opløs. Faren er dermed, a selskabe efer adskillige mege gode år lokkes il a ilskrive nogle høje konorener. Herefer fanger borde, med mindre den ilskrevne bonus var beinge. Selvom en øge volailie af kundens porefølje er il kundens fordel, kan de jo heller ikke være meningen, a selskabe skal påage sig en sor risiko for a komme i økonomisk uføre. Al i al lader de il a selskaberne generel er re konservaive med deres akivporefølje, hvilke nok er mege god garanierne age i beragning.

80 10. Resulaer 80 Den konservaive poreføljepoliik, som selskabe af gode grunde er nød il a opreholde, er dog e reel problem for kunderne. Probleme ligger ikke så mege i, a værdien af bonusopionen mindskes. Probleme ligger derimod i, a kundernes porefølje ofe ikke er opimal sammensa mh. den enkele kundes risikoprofil. Mange kunder har 20 eller 30 år ilbage på arbejdsmarkede før pensionering og de giver mege ringe mening, a de skal sidde med en konservaiv porefølje og derilhørende lav forvene afkas. Mange år ilbage på arbejdsmarkede beyder for mange, a den opimale porefølje er en porefølje med sor akieandel og dermed høj volailie 15 (Campbell og Viceira 2002). Spørgsmåle er hvad der kan gøres. Som sag er de heller ikke opimal, a påføre selskabe for sor risiko. Løsningen må være a opbløde garanierne på den ene eller anden måde. En oplag måde vil være, a ilskrive mere eller måske al bonus som beinge. E sådan ilag vil fjerne noge af markedsrisikoen fra selskaberne og lægge de over på kunderne. Kundernes belønning er en mere opimal poreføljesammensæning. Kundens konrak behøver derfor ikke a blive mindre værd af den grund. Hvis vi vender ilbage il figur 29 ses, a værdien af bonusopionen i ilfælde af en beinge renegarani ved lav poreføljevolailie ilnærmer sig værdien af bonusopionen under en renegarani. Dee kan kun forekomme, såfrem kun en mege begrænse andel af ilskreve bonus ilskrives som beinge bonus. Dvs. bonus kun ilskrives når den kore rene ligger over grundlagsrenen. Spørgsmåle er så hvordan de kan forklares. Når den kore rene siger il over grundlagsrenen, så siger de forvenede afkas af poreføljen også il over grundlagsrenen. Over id vil denne effek resulere i en øgning af bufferen og dermed en senere bonusilskrivning. Probleme er, a der kan gå nogen id før bufferen af den vej bliver sor nok il a foranledige en bonusilskrivning. Renen kan nemlig senere være falde igen resulerende i en beinge bonusilskrivning selvom bonus bliver ilskreve på baggrund af idligere høje rener, hvilke sæer spørgsmålsegn ved forklaringen. Den kan i hver ilfælde ikke så alene. En bedre forklaring ligger i choks fra passiverne. En signing i renen forsager en mindskning i markedsværdien af de garanerede ydelser, hvilke øger sørrelsen af bufferen. Derfor vil en del af bonusilskrivningerne ske ved højere reneniveauer, hvilke resulerer i a bonus ikke senere kan ilbageføres. Ved lavere volailiesniveauer udgør effeken herfra en relaiv sor andel af den samlede bonusilskrivning, hvorfor den bliver ydelig neop her. Effeken fra passiverne forklarer også, hvorfor værdien af bonusopionen 15 Speciel når akierisikoen ikke er korrelere med lønindkomsen, hvilke må gælde for de flese.

81 10. Resulaer 81 med en beinge renegarani under de gamle regnskabsregler ikke imierer værdien af bonusopionen med en renegarani ved lav poreføljevolailie som ses i figur 30. Figur 30: Værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler med sigende akievolailie og 100% akieandel Værdi af bonusopion R B Y Akievolailie 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% R: Renegarani, B: Beinge renegarani, Y: Ydelsesgarani Under de gamle regnskabsregler er de overordnede billede de samme. Risiko øger værdien af bonusopionen. Nu da akivrisiko der er ukorrelere med reneudviklingen er undersøg, kan akivrisiko der er korrelere med reneudviklingen undersøges. Dee gøres ved a anage, a kundens porefølje udelukkende besår af obligaioner.

82 10. Resulaer 82 Figur 31: Værdi af bonusopionen under de nye regnskabsregler med 0% akieandel og sigende varighed Værdi af bonusopion B Y R Varighed R: Renegarani, B: Beinge renegarani, Y: Ydelsesgarani I figur 31 er vis værdien af bonusopionen under de nye regnskabsregler, når selskabe har placere alle kundens midler i en obligaionsporefølje. De noeres, a volailieen af poreføljen siger med varigheden. Overraskende falder værdien af bonusopionen, selvom volailieen siger. De er e resula af, a obligaionerne i kundens porefølje er korrelere med udsvingene i renen og dermed markedsværdien af de garanerede ydelser. På den måde afdækker de så a sige hinanden, hvilke mindsker buffer udsving og derigennem værdien af bonusopionen. På e idspunk er varigheden dog så sor, a den overdækker forpligelserne. Når de er ilfælde, så øger den resulerende sigende akivvolailie buffervolailieen på samme måde som når hele poreføljen besår af akier. Dee får værdien af bonusopionen il a sige igen. Signingen er dog begrænse, hvilke skyldes a den marginale volailieseffek af en signing i varigheden er faldende. Selvom obligaionernes følsomhed overfor en reneændring siger med varigheden, bliver udsvingene i renekurven også mindre deso længere ud på renekurven vi kommer. Volailieseffeken er vis i figur 32 for forskellige løbeider, hvor volailieen defineres som σ obl, fra ligning (23) eller B(varighed) β fra ligning (31).

83 10. Resulaer 83 Figur 32: Obligaionsporeføljens volailie som funkion af poreføljens varighed Volailie 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Varighed De ses sraks i figur 32, a volailieen af obligaions poreføljen som funkion af varigheden er konveks. Værdien af bonusopionen under både en ren akieporefølje og en ren obligaionsporefølje kan nu sammenlignes med udgangspunk i ens volailie. Lad os f.eks. age udgangspunk i en renegarani under de nye regnskabsregler, hvor akivporeføljen har en volailie på 5%. For obligaionsporeføljen svarer en volailie på 5% il en varighed på omkring 4 år. En varighed på 4 år resulerer i en værdi af bonusopionen på omkring 5. Hvis poreføljen udelukkende besår af akier med en volailie på 5%, er værdien af bonusopionen omkring 24. Forskellen på 19 er en afdækningseffek, der mindsker værdien af kundens bonusopion, men øger selskabes sikkerhed for, a de kan opfylde de garanerede ydelser. Ligesom ved den rene akieporefølje ses, a værdien af bonusopionen i ilfælde af en beinge renegarani under de nye regnskabsregler ligger æ op ad værdien af bonusopionen i ilfælde af en ren renegarani. Forolkningen er igen, a choks il bufferen fra passiverne har en sor effek på bonusilskrivningen. Choks der øger bufferen forekommer ved renesigning og choks der mindsker bufferen forekommer ved renefald. Derved bliver bonus ilskreve når renen er relaiv høj. Resulae er, a lang de mese bonus for den beingede konrak bliver ilskreve som ubeinge bonus.

84 10. Resulaer 84 Figur 33: Værdi af bonusopionen under de gamle regnskabsregler med 0% akieandel og sigende varighed Værdi af bonusopion B R Y Varighed R: Renegarani, B: Beinge renegarani, Y: Ydelsesgarani I figur 33 ses værdien af bonusopionen under de gamle regnskabsregler igen under anagelse af en 100% ren obligaionsporefølje. Overraskende ser vi samme overordnede udvikling i værdien af bonusopionen som under de nye regnskabsregler, selvom der ikke er nogen afdækningseffek mellem akiver og passiver. Svare ligger i, a obligaionerne så a sige afdækker deres ege fremidige forvenede afkas. Hvis den kore rene siger, vil der ske o ing. For de førse, vil de forvenede afkas på akiverne sige. For de ande, vil værdien af obligaionerne falde. Ved a vælge en passende varighed på obligaionsbeholdningen, kan værdien af bonusopionen minimeres. I figuren ses, a dee for en renegarani under de gamle regnskabsregler sker omkring en varighed på 4 år. Under de nye regnskabsregler minimeres værdien af bonusopionen ved en varighed omkring 9 år. Dee er e udslag af, a obligaionerne under de nye regnskabsregler udover a afdække ege forvene afkas også kan afdække forpligigelserne. Under de nye regnskabsregler, kan varigheden af obligaionsporeføljen vælges således, a værdien af bonusopionen reel fjernes. Dee er dog selvfølgelig afhængig af de generelle reneniveau jeg har valg i modellen. Hovedkonklusionen er dog, a varigheden af obligaionsporeføljen har en sørre afdækningseffek under de nye regnskabsregler end under de gamle, når alernaive er en invesering i akier. De ses også, a værdien af bonusopionen i ilfælde af en ilknye beinge renegarani ilnærmer sig værdien af bonusopionen i ilfælde af en ilknye ydelsesgarani når

85 10. Resulaer 85 varigheden siger. Forklaringen er, a obligaionsporeføljens følsomhed overfor en reneændring er sigende. Under de gamle regnskabsregler er der ikke noge renepåvirkning fra passiverne. Når renen falder, siger værdien af obligaionsporeføljen, hvilke kan forsage en bonusilskrivning. E renefald il under grundlagsrenen resulerer i beingede bonusilskrivninger ligesom for en ydelsesgarani. Derfor bliver en sigende del af bonus ilskreve som beinge bonus når varigheden af obligaionsporeføljen siger.

86 11. Diskussion Diskussion 11.1 Generalisering il flerpræmiekonrak De er klar, a pensionskonraken i den virkelige verden besår af mere end kun én præmie. Spørgsmåle er nu hvordan resulaerne kan generaliseres il en flerpræmiekonrak. Dee kan gøres på o måder. Den førse mulighed er, a flerpræmie konraken kan ses som en porefølje af énpræmiekonraker. Hver præmie har således sin egen bonusopion og garanerede ydelse. Disse garanerede ydelser kan adderes, hvorefer den samlede garanerede ydelse jo kan beregnes som beløbe på kundens kono forrene med grundlagsrenen frem il konrakens udløb. Tilsvarende kan bonusopionerne adderes således, a en samle bonusopion opnås. Dee er fuld ud konsisen med analysen af én-præmiekonraken. Probleme er dog, a konraken ikke ses som en samle enhed. I virkeligheden er den samlede garanerede ydelse og fremidige præmier jo allerede definere ved konrakens indgåelse. En alernaiv mulighed er, a age udgangspunk i kundens besluningsproblem ved konrakens indgåelse. Her er de ikke kun de garanerede ydelser, som er ilknye de allerede indbeale ydelser, der er vigig. Derimod skal værdien af den i konraken definerede samlede garanerede ydelse sammen med værdien af den samlede bonusopion holdes op mod værdien af de løbende præmieindbealinger. Den samlede garanerede ydelse findes ved a forrene alle fremidige præmier med grundlagsrenen frem il konrakens udløb. Værdien af bonusopionen er her sadig definere ved ligning (9). Når vi går fra a modellere énpræmiekonraker il flerpræmiekonraker, er forskellen nu, a konorenen får sørre beydning i sluningen af konraken end i begyndelsen.

87 11. Diskussion 87 Figur 34: Signing i den garanerede ydelse resulerende af en 1% bonusilskrivning Effek af 1% bonus 1,00% 0,90% 0,80% 0,70% 0,60% 0,50% 0,40% 0,30% 0,20% 0,10% År il udløb 0,00% Som de ydelig ses i figur 34, er effeken på de garanerede ydelser af en enkel 1% bonusilskrivning mege afhængig af hvor lang il der er il konrakens udløb. Konraken er i figuren opbygges således, a der er lige sore årlige præmieindbealinger hver år i 40 år med den førse indbealing den dag konraken indgås. Beløbe på kundens kono er selvfølgelig særk sigende over konrakens leveid, hvorfor en 1% bonusilskrivning får sørre effek i sluningen af konrakens leveid. Denne effek er ikke indbygge i min modellering. Effeken er på en måde indbygge i de nye regnskabsregler i form af bonuspoeniale på fremidige præmier og fripolicer, og generel minder den her gennemgåede måde a se livsforsikringsforpligigelserne om måden hvorpå livsforsikringshensæelserne er behandle i de nye regnskabsregler. Dog ikke hel, ide de nye regnskabsregler vinger værdien af livsforsikringshensæelserne il a være lig de allerede indbeale præmier forrene med grundlagsrenen 16. Med andre ord indeholder de nye regnskabsregler ikke en egenlig værdifassæelse af bonusopionen, men anager a konraken er fair. Der er heller ingen grund il, a værdien af konraken ved indgåelse ikke kan være væsenlig sørre end beløbe på kundens kono. De vil være en god idé lige a illusrere forskellen i de o måder a anskue konrakerne på. Lad os anage, a vi lige har indgåe en konrak der løber over 10 år. Der er 10 årlige præmier a 100 kr., hvor den førse præmie beales ved konrakens indgåelse. Den førse præmie er 16 Med mindre markedsrenen er under grundlagsrenen

88 11. Diskussion 88 neop beal. Grundlagsrenen er 4,5% og den garanerede ydelse for hele konraken er derfor 1284,12 kr. og 155,30 kr. for den førse præmie alene. De anages a markedsrenen er 6%. Den førse måde a anskue konraken på opgør konrakens værdi il 155,30 kr./1,06 10 = 86,72 kr. plus en bonusopion. Markedsværdien af de fremidige præmier beregnes il 680,17 kr. Markedsværdien af den samlede garanerede ydelse er 1284,12 kr./1,06 10 = 717,05 kr. Således er værdien af konraken 717,05 kr. 680,17 kr. = 36,88 kr. plus en bonusopion. De o bonusopioner er dermed definere forskellig, hvilke illusrer vigigheden af synsvinklen. Selvom jeg har modellere konraken på baggrund af den førse måde a anskue pensionskonrakerne på, føler jeg, a den anden måde er den mes korreke a risikosyre på baggrund af. De ville dog komplicere modelleringen a inkludere flerpræmiekonraker i selskabes hensæelser. De vigigse i min modellering var a holde modellen simpel og få inkludere reneafhængigheden i livsforsikringshensæelserne. Konklusionerne vil il min overbevisning også gælde for flerpræmiekonraker Prisfassæelse Argumene for prisfassæelse vha. risikoneural prisfassæelse blev gennemgåe i afsnie om maringale-prisfassæelse. Kor opsummere gik argumene på, a hvis arbiragemuligheder skal undgås, må der findes e sæ hændelsespriser. Disse hændelsespriser behøver dog ikke a være unikke, så længe en replicerende porefølje kan sammensæes, som replicerer den sokasiske udbealing fra bonusopionen. Denne replicerende porefølje må god være dynamisk, hvilke er en klar lempelse af krave il den replicerende porefølje. Når vi har funde den replicerende porefølje, har vi også funde prisen på vores bonusopion, ide o poreføljer/akiver med ideniske udbealinger må have samme pris. Ellers kan man jo bare købe den billige porefølje og sælge den dyre porefølje og dermed opnå en risikofri gevins. Kernen i dee argumen ligger forudsæningen om ingen arbirage. En arbirage mulighed er en porefølje, der genererer ikke negaive udbealinger i alle hændelser og på alle idspunker og posiive udbealinger i nogle hændelser og på nogle idspunker (Chrisensen og Felham 2003). Med andre ord, man får en mulighed for en udbealing på e idspunk uden a beale for de.

89 11. Diskussion 89 De vil i en simplificere verden, hvor vi kender paramerene α og ψ i bonusligningen (6) ikke være umulig a replicere bonusopionen. Vi ved a der er o sokasiske fakorer, nemlig reneudviklingen og akieudviklingen. Herefer kan vi beregne bonusopionens følsomhed mh. renefakoren og akiefakoren give, a vi kender sørrelsen af kundens kono, bufferen og livsforsikringshensæelserne. Nu danner vi bare en replicerende porefølje af akier, obligaioner og en bankkono, som over de næse kore sykke id replicerer den sokasiske eoreiske værdiudvikling af bonusopionen. Selvom dee ikke kan gøres præcis, kan de sikker gøres nogenlunde præcis af en finansiel insiuion. Dermed er den eoreiske værdi af bonusopionen lig værdien af den replicerende porefølje. De hel sore problem er dog, a bonusopionen ikke er e radiionel handle akiv. Dermed kan en finansiel insiuion ikke gå ind og købe eller sælge bonusopioner samidig med, a de hhv. sælger og køber den replicerende porefølje. Når finansielle insiuioner ikke direke kan gå ind og udnye arbiragemuligheder, som skyldes, a prisen på bonusopionen fraviger den eoreiske pris, er spørgsmåle om den eoreiske pris overhovede er brugbar. Med andre ord er værdien af bonusopionen ikke mejsle i sen som resula af forudsæningen om ikke eksiserende arbirage muligheder, og værdien af bonusopionen kan således god afvige fra den eoreiske værdi. Dermed er den reelle værdi af bonusopionen noge frisvævende. Man kunne så sille sig selv de spørgsmål, a når den eoreiske pris ikke nødvendigvis holder 100%, hvad kan så være medbesemmende for værdien af bonusopionen? Lad os anage, a en forsikringsager sår og skal egne en pensionskonrak. Han vil nu undersøge, om en pensionskonrak basere på de radiionelle produk er noge for ham. E naurlig udgangspunk er a holde værdien af præmierne op mod værdien af de garanerede ydelser. Dee gøres ved a diskonere alle fremidige præmier og derefer sammenligne disse med den diskonerede værdi af den garanerede ydelse. Selv her er vi på gyngende grund mh. brugbarheden af denne beregning, ide vores pensionskunde vil have vanskelig ved i markede a sammensæe en konrak med e lignende ind og udbealingsmønser. Den garanerede del af konraken kan nemlig ses som en porefølje af de fremidige præmier, hver ilknye en forward rae agreemen med en forrenning lig grundlagsrenen. Sådan en konrak vil være yders vanskelig a sammensæe for en privaperson. De er derfor kun naurlig, a selskabe kan age en overpris for denne service. Lad os herefer anage a kunden har beregne sig frem il værdien af de fremidige præmier og hold denne værdi op mod værdien af den garanerede ydelse. Siuaionen vil ofe være den, a den garanerede ydelse er

90 11. Diskussion 90 mindre værd end værdien af de fremidige præmier. Derfor vil kunden nu se på værdien af bonusopionen. Han har fåe en bekend il a beregne den eoreiske værdi, men er usikker på hvordan han skal forolke denne værdi. Han kan jo ikke købe sig il samme afkasprofil andeseds. Af samme grund illægger han, måske fornufig nok, ikke den eoreiske værdi af bonusopionen al for sor væg. I sede begynder denne poenielle kunde højs sandsynlig a se på andre arakive egenskaber ved konraken. F.eks. er afkasprofilen ved de radiionelle produk e urolig god salgsargumen il en risikoavers kunde. Derudover kan kunden vælge a beale en overpris, fordi kunden har sor ilro il selskabe og des medarbejdere. Så al i al kan kunderne fuld ud raionel vælge a beale en pris der ligger over den finansielle eoreiske pris af både den garanerede del af konraken og bonusopionen Brugbarhed I denne sekion vil jeg gennemgå brugbarheden af a bruge finansiel eori il a fassæe en pris på bonusopionen. Jeg vil belyse brugbarheden fra o sider. Jeg vil opdele diskussionen i o synsvinkler. Førs vil jeg undersøge brugbarheden se fra selskabe, og dernæs vil jeg undersøge brugbarheden se fra kunderne Fra selskabes synsvinkel Selve selskabe (ejerne) er primær ineressere i a minimere risikoen på egenkapialen. Egenkapialen skal jo dække, såfrem selskabe ikke kan udbeale de garanerede ydelser ud af kundernes egne midler. Derudover er der også mulighed for eknisk insolvens, hvorved e renefald har øge markedsværdien af de garanerede ydelser så mege, a de er mere værd end selskabes akiver. Begge risici undgås beds hvis renefølsomheden af selskabes akiver macher des forpligigelser. Hvis selskabe udviser reidig omhu og macher renefølsomheden af selskabes akiver med des forpligigelser på e idspunk hvor reneniveaue ligger over grundlagsrenen, kan de aldrig gå hel gal. De sore spørgsmål er så, hvordan den opionsbaserede synsvinkel på opgørelsen af selskabes forpligigelser har være med il a gøre risikosyringsopgaven mere præcis og bedre definere. Babbel og Merril opsiller e enkel hovedspørgsmål som enhver ilsrækkelig økonomisk værdifassæelse af selskabes forpligigelser bør kunne besvare.

91 11. Diskussion 91 How much money would an insurer need oday o saisfy, on a probabilisic basis across various economic saes of he world, he obligaion imposed on i hrough he insurance policies i has wrien? (Babbel og Merril 1999) Hvis vi ser på de gamle regnskabsreglers måde a opgøre livsforsikringshensæelserne, er de ydelig, a disse reglers måde a opgøre livsforsikringshensæelserne på er uilsrækkelig. De er klar, a i e ilfælde hvor markedsrenen ligger under grundlagsrenen, er beløbe på kundernes koni uilsrækkelig, hvis selskabes fremidige præmier skal honoreres med sikkerhed. Beløbe kan jo kun inveseres il en rene under grundlagsrenen. Den nye finansielle opionsbaserede synsvinkel, som gradvis har vunde indpas over de sidse 30 år, har bidrage med e væsenlig indblik i livsforsikringshensæelserne forskellige komponener. Livsforsikringshensæelsernes besår primær af markedsværdien af de garanerede ydelser og bonusopionen. Her er markedsværdien af de garanerede ydelser lang den vigigse når de kommer il selskabes risikosyring. Hvis selskabe alid sørger for a have markedsværdien af de garanerede ydelser god afdække, vil selskabe uafhængig af de fremidige reneniveau alid kunne opfylde des fremidige forpligigelser. Dee er selvfølgelig leere sag end gjor pga. den lange varighed af de garanerede ydelser. Dog har selskaberne de senere år benye sig af derivaer 17 og har derved neuralisere reneeksponeringen fra livsforsikringshensæelserne (Wind og Gosvig 2004). E ineressan spørgsmåle er om bonusopionens renefølsomhed skal indgå i opgørelsen af forpligigelsernes renefølsomhed, eller om selskabe skal koncenrere sig om renefølsomheden af de garanerede ydelser. Vi så jo idligere a værdien af bonusopionen siger med posiive skif i renen. Man kunne så argumenere for, a bonusopionen sænker forpligigelsernes samlede renefølsomhed. Med andre ord, når værdien af de garanerede ydelser falder, så siger værdien af bonusopionen. Briys og Varenne argumenerer for denne synsvinkel (Briys og Varenne 1997). Jeg er derimod af den opfaelse, a selskabe skal koncenrere sig om renefølsomheden af de garanerede ydelser. De er disse ydelser selskabe er forplige il a beale. Bonusopionen får reel værdi i ak med, a selskabe klarer sig god. Dvs. når selskabes buffer siger pga. en gunsig markedsudvikling, så siger værdien af bonusopionen også. På den måde er bonusopionen hel naurlig neuralisere. De er dog 17 Primær (reciever)reneswaps eller opioner

92 11. Diskussion 92 vigig a huske på, a hver gang der ilskrives bonus siger de garanerede ydelser 18, som skal afdækkes, og værdien af bonusopionen må beregnes på ny, men ikke afdækkes. Værdien af bonusopionen er dog ikke hel uden værdi for selskabe. F.eks. kan selskabe benye værdien af bonusopionen il a se på ændringer i den påagne risiko. Bonusopionens værdi øges jo f.eks. ved øge akievolailie. Dee er også brugbar informaion for selskabe, ide de foræller noge om risikoen ved fremidige bonusilskrivninger. De er ydelig a se hvordan den finansielle opionssynsvinkel har inspirere de nye markedsværdi baserede regnskabsregler. Her er vigigheden af markedsværdien af de garanerede ydelser accepere ide værdien af de samlede livsforsikringshensæelser siger i de ilfælde, a markedsrenen falder il under grundlagsrenen. Al i al har den opionsbaserede vinkel på livsforsikringshensæelserne bidrage il øge gennemsigighed af selskabes akiv/passiv silling. Dermed har de (forhåbenlig) også medvirke il en sørre opmærksomhed på a afdække de garanerede ydelser, så fremidige problemer undgås Fra kundernes synsvinkel Fra kundernes synsvinkel er der overordne se re spørgsmål, som er ineressane. For de førse, får kunderne hvad de bealer for? For de ande, hvilken følsomhed har værdien af kundens konrak i forhold il f.eks. reneændringer? For de redje, er produke de rigige for den enkele? En værdifassæelse af bonusopionen fra kundernes synsvinkel som sag være ineressan. Selvom den beregnede værdi af bonusopionen skal ages med forbehold, giver den e god bud på hvad en fair værdi kunne være. De bemærkes også, a de præmier kunderne bealer har den værdi som de nu engang har. Så hvis kunderne ikke modager de de har beal for, så må den overskydende andel gå il enen omkosninger eller ejerne. Måske endda mere ineressan end selve prisen, er bonusopionens følsomhed overfor forskellige ændringer. F.eks. har de værdi for kunden a få indblik i, a deres konrak falder i værdi når selskabe vælger mindre risikofylde akiver il poreføljen. Eller, a selvom værdien af kundernes garanerede ydelser falder ved en renesigning, bliver bonusopionen mere 18 Eller beingede ydelser

93 11. Diskussion 93 værd. De er også ineressan for kunden a få en fornemmelse af hvad indførelsen af konosyrkelse reel beyder for værdien af deres konrak. Er de en bagael eller subsaniel? Hel generel kunne de være ineressan a opfordre selskaberne il a forsøge a definere deres bonusildelingsmekanisme lid mere specifik. De samme kan også siges om hvornår beinge bonus ilskrives og ilbageføres. Hvis selskaberne informerer om dee, kan den beregnede værdi af bonusopionen indeholde endnu mere brugbar informaion. De er dog også værd a huske på a værdien af kundens konrak ikke er de enese vigige. De er ikke nok a vide om prisen på e give produk er rigig fassa, hvis man ikke samidig overvejer om de er de rigige produk i de hele age. Når selskabe vælger en relaiv konservaiv akivsammensæning af kundens porefølje, giver kunden samidig afkald på en akivsammensæning der kunne give e højere forvene afkas under en højere risiko selvfølgelig. Dee er speciel e problem for relaiv unge opsparere, som har fremidig arbejdsindkoms, der er ukorrelere med akieafkas (Campbell og Viceira 2002).

94 12. Konklusion Konklusion Afhandlingen har vis, hvordan en beinge renegarani kan defineres i forhold il en ren renegarani. Regler for ilskrivning af beinge bonus og ilbageførsel af samme blev definere. Forskellen mellem de nye og gamle regnskabsregler blev diskuere og implemenere i modellen. Kundens porefølje blev udvide il også a indeholde obligaioner. Modellen prisfassae en fripolicekonrak uden fremidige præmier, men resulaerne kan generaliseres il en flerpræmiekonrak. Hel generel så vi, a værdien af bonusopionen siger med reneniveaue. Når reneniveaue er lav, er værdien af bonusopionen mere værd under de gamle regnskabsregler end under de nye. Når reneniveaue er høj er værdien af bonusopionen mere værd under de nye regnskabsregler end under de gamle. Krydsningspunke ligger ved e reneniveau lige omkring grundlagsrenen. Vi så også, a spænde mellem værdien af bonusopionen i ilfælde af en renegarani og en beinge renegarani var sigende for e reneniveau omkring krydsningspunke. Værdien af konraken afhænger også af markedsværdien af de garanerede ydelser. Værdien af de garanerede ydelser falder når renen siger. De nye regnskabsregler medfører al ande lige, a en sørre andel af bonus ilskrives som ubeinge bonus pga. posiive choks il bufferen fra markedsværdien af de garanerede ydelser ved renesigning. Beinge bonus ilskrives i modellen kun ved lave reneniveauer. Effeken kan dog fjernes ved enen a øge andelen af obligaioner i kundens porefølje eller varigheden af samme. Mh. selskabes valg af porefølje så vi, a øge volailie i poreføljen øger værdien af bonusopionen, når poreføljen er ukorrelere med renen. Når akivporeføljen derimod er korrelere med renen, mindsker øge volailie i poreføljen værdien af bonusopionen indil e give minimumsniveau. Akivporeføljen afdækker nemlig si ege forvenede afkas. Under de nye regnskabsregler afdækker akivporeføljen ilmed choks fra passiverne. Beydningen er, a en øge obligaionsandel i kundens porefølje har nogle for selskabe arakive afdækningsegenskaber. Probleme er for kunderne, a værdien af bonusopionen mindskes.

95 12. Konklusion 95 E overordne spørgsmål er dog, hvor brugbar opionsmeoden er il a evaluere og afdække selskabes forpligigelser. Jeg argumenerede for vigigheden i, a selskabe afdækker de garanerede ydelser, og a bonusopionen ikke bør indgå i afdækningen. Værdien af bonusopionen er mindre relevan når de kommer il syring af e L&P-selskab. A kende værdien af bonusopionen har dog værdi for kunden, selvom den beregnede værdi skal ages med e gran sal. Selvom opionen sikker kan repliceres, er der ingen finansielle virksomheder der påager sig opgaven, hvilke mindsker relevansen af den fremkomne pris. Kunden kan derfor kun bruge værdien af bonusopionen som en generel reesnor og il sensiiviesanalyse. Den endelige besluning om indgåelse af en pensionskonrak må også bero på andre fakorer end selve værdien af konraken. De er f.eks. e problem, a poreføljesammensæningen har en endens il a være mege konservaiv og ofe ikke lig den opimale poreføljesammensæning for den enkele kunde. Derudover er der også diverse kvaliaive fakorer. Al i al kan de konkluderes a overgangen fra de gamle regnskabsregler il de nye, næppe har være værdineural mh. værdien af bonusopionen. Overgangen har dog gjor syrings og overvågningsopgaven leere og mere gennemsigig. De er således svær a have noge negaiv a bemærke om overgangen. Mh. indførslen af beinge bonus er de klar, a muligheden for a ilskrive beinge bonus umiddelbar har mindske værdien af konrakerne al ande lige. Svagheden i resulae ligger dog i denne al ande lige forudsæning. Man kunne f.eks. foresille sig, a selskabe vil ilskrive en sørre bonus end ellers, når de har muligheden for a gøre den beinge. A visse beingelser skal være opfyld før en ilbageførsel kan finde sed, gør a selskabe ikke bare ilbagefører på må og få. Jeg argumenerede også for, a selskabe endda burde øge den beingede bonusilskrivning, eller måske gå hel over il kun a ilskrive beinge bonus. Dermed får selskabe mulighed for a udvælge en mindre konservaiv og mere opimal porefølje il gavn for kunderne. Al i al ror jeg ikke indførslen af beinge bonus har medfør den sore forringelse af konrakerne. Derimod har beinge bonus efer min mening e sor poeniale via den øgede fleksibilie il gavn for både selskab og kunder. Hvor beinge bonus p. er af mere defensiv karaker, har koncepe hel sikker også offensive kvalieer.

96 13. Lieraurlise Lieraurlise Babbel, D.F. og C. Merril (1999): Economic Valuaion Models for Insurers, Norh American Acuarial Journal Björk, Tomas (2004): Arbirage in Coninous Time, Oxford Universiy Press Brennan, M. J. og E. S. Schwarz (1976): The Pricing of Equiy-Linked Life Insurance Policies wih an Asse Value Guaranee, Journal of Financial Economics Briys, E. og F. Varenne (1997): On he Risk of Insurance Liabiliies: Debunking Some Common Pifalls, The Journal of Risk and Insurance Campbell, J.Y. og L. M. Viceira (2002): Sraegic Asse Allocaion, Porfolio Choice for Long-Term Invesors, Oxford Universiy Press Chrisensen, P.O. og G.A. Felham (2003): Economics of Accouning vol. 1: Informaion in Markes, Kluwer Academic Publishers. Cox, Ingersoll, Ross (1985): A Theory of he Term Srucure of Ineres Raes, Economerica Danica (2007a): hp:// Danica (2007b): hp:// Danica (2007c): hp:// Danmarks Saisik (2001): 50-årsoversigen Danmarks Saisik (2007): Dengsøe, Povl (2005): Pensionsgaranier udhules måned for måned. Boks: Renegaranier i reen, Børsen 7/

97 13. Lieraurlise 97 Finansilsyne (2002): Eksempler på opgørelse af livsforsikringshensæelser il markedsværdi Finansilsyne (2004): Bekendgørelse om konribuionsprincippe Finansilsyne (2005a): Bekendgørelse om finansielle rapporer for forsikringsselskaber og værgående pensionskasser, 1299 af 13/ Finansilsyne (2005b): Bemærkning il bekendgørelse om finansielle rapporer for forsikringsselskaber og værgående pensionskasser, 1299 af 13/ Finansilsyne (2006): Vejledning il indbereningsskemaer il oplysning af kapialforhold og risici i livs-, skades- og genforsikringsselskaber, værgående pensionskasser sam arbejdsskadeselskaber Grosen, Anders og Peer Jørgensen (2000): Fair Valuaion of Life Insurance Liabiliies, Insurance Mahemaics and Economics Grosen, Anders og Peer Jørgensen (2001): A Finie Difference Approach o he Valuaion of Pah Dependen Life Insurance Liabiliies, The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory Grosen, Anders og Peer Jørgensen(2002): The bonus-crediing mechanism of Danish Pension and Life Insurance Companies: An Empirical Analysis, Journal of Pension Economics and Finance Grosen, Anders (2005): Nye produker på de danske pensionsmarked, Finans/Inves 6/05 Hansen, Frank og Mogens Nørgaard Olesen(2003): Lineær Algebra, Akademisk forlag Hull, John (2003): Opions, Fuures and Oher Derivaives, Prenice Hall Jakobsen, Svend (2002): Uni-link, pensionsopsparing med udbealingsgarani

98 13. Lieraurlise 98 Masumoo, M. og T. Nishimura (2002): hp:// Milersen, Krisian R. (2005): Aflede Akiver, Udviklingslinjer i finansiering, Juris og Økonomforbundes Forlag Munk, Claus (2005): Fixed Income Analysis, Syddansk Universie, hp:// Naionalbanken (2004): Finansiel sabilie 2004 Nordea (2007): hp:// Nordea ÅR 2005: Nordea Liv og Pensions årsrappor 2005 PFA (2007a): hp:// PFA (2007b): hp:// Rizau (2006): Nordea vinder sag om renegarani på pensioner, Børsen 21/8/2006 Skaeminiserie (2007): hp:// Vasicek, O.A. (1977): An Equilibrium Characerizaion of he Term Srucure, Journal of Financial Economics Wilmo, Paul (2001): Paul Wilmo Inroduces Quaniaive Finance, Wiley and Sons Wind, Lars og Mads Gosvig (2004): Pensionssekorens syn på derivaer, Finans/Inves 8/04 Wooldridge, J. M. (2003): Inroducory Economerics, A Modern Approach, 2e, Thomson, Souh-Wesern ZRandom (2005): Version 1.2.1, hp://

99 13. Lieraurlise 99 ZRandom (2007): fra ZRandom suppor. Økonomi og Erhvervsminiserie (2003): Sørre valgfrihed i pensionsopsparing

100 14. Appendiks A Appendiks A: Tes af pseudoilfældig algeneraor Jeg benyer mig af en sikprøvesørrelse på De genererede al skulle gerne følge en sandard normalfordeling. Dvs. en normalfordeling med middelværdi lig 0 og sandardafvigelse lig 1. Sikprøven er afbillede som hisogram nedenfor, hvor de ses, a sikprøven ved førse øjekas ligner den nævne fordeling Series: SAMPLE Sample Observaions Mean -4.57e-05 Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy SAMPLE Herefer køres nogle fordelingses, som eser nul-hypoesen, a sikprøven sammer fra den nævne fordeling. Førs køres e sæ fordelingses, hvor paramere for middel og sandardafvigelse fungerer som inpu. Dernæs køres e sæ fordelingses, hvor paramerene esimeres. Empirical Disribuion Tes for SAMPLE Hypohesis: Normal Dae: 02/07/07 Time: 17:04 Sample: Included observaions: Mehod Value Adj. Value Probabiliy Kolmogorov (D+) Kolmogorov (D-)

101 14. Appendiks A 101 Kolmogorov (D) Kuiper (V) Cramer-von Mises (W2) Wason (U2) Anderson-Darling (A2) Parameer Value Sd. Error z-saisic Prob. MU * NA NA SIGMA * NA NA Log likelihood Mean dependen var E-05 No. of Coefficiens 0 S.D. dependen var * Fixed parameer value Empirical Disribuion Tes for SAMPLE Hypohesis: Normal Dae: 02/07/07 Time: 17:03 Sample: Included observaions: Mehod Value Adj. Value Probabiliy Lilliefors (D) NA > 0.1 Cramer-von Mises (W2) Wason (U2) Anderson-Darling (A2) Mehod: Maximum Likelihood - d.f. correced (Exac Soluion) Parameer Value Sd. Error z-saisic Prob. MU -4.57E SIGMA Log likelihood Mean dependen var E-05 No. of Coefficiens 2 S.D. dependen var I ingen af esene kan nul-hypoesen afvises. Dee er en re god indikaion på, a den virkelige fordelingen er sandard normalfordel. Der kan også ses på auokorrelaion. Nedenfor ses, a der ingen auokorrelaion er over de førse 36 lags.

102 14. Appendiks A 102 Dae: 02/07/07 Time: 17:32 Sample: Included observaions: Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob