Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Transkript

1 Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie

2 2

3 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Tielblad Uddannelse: Samfundsøkonomi, oecon 10. semeser 2011 Uddannelsessed: Aalborg Univerise Udarbejde af: Randi Krisiansen Tiel: Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Vejleder: Rasmus Waagepeersen Afleveringsdao: 31 maj 2011 Oplag: 4 Sideanal: 75 sider inklusiv bilag og daa cd Randi Krisiansen Sudienummer:

4 Indholdsforegnelse 1 Summary 7 2 Indledning 9 3 Tidligere forskning Case sudy af idligere forskning Bunn Case sudy af idligere forskning Jong De nordiske elekriciesmarked Dannelse af spoprisen Produkionsmeoder Balancemarkede Sysemprisen 21 7 Overvejelser omkring modellering 27 8 Teoreisk redegørelse for modelyperne ARCH-GARCH modeller Jump-Diffusion modeller Simpel modellering via OLS Valg af variable Saionarie ARCH-GARCH model Simulering af GARCH model Jump-diffusion model Besemmelse af spikes Simulering af jump-diffusion model Sammenligning af modellerne Simulering af februar Teoreisk redegørelse for opioner Prisfassæelse af asiaisk opion Konklusion Lieraurlise Arikler Bøger Publikaioner Bilag 1 Simulering af GARCH model Bilag 2 Simulering af Jump-diffusion model 75 4

5 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Figurlise Figur 1 - Dannelse af spopris...16 Figur 2 - Dannelse af spopris med yderligere hydrokraf...17 Figur 3 - Udvikling i spoprisen fra 30/ il 31/ Figur 4 - Ugeprofil...22 Figur 5 - Årsprofil...23 Figur 6 - Tæhedsfunkion for spoprisen...24 Figur 7 - Scaerplo Spo vs. lag e spo...33 Figur 8 - Scaerplo spo vs. lag o spo...34 Figur 9 - Scaerplo spo vs. lag syv spo...35 Figur 10 - Gennemsnis emperaur...36 Figur 11 - Scaerplo spopris vs. emperaur...36 Figur 12 - Scaerplo (spopris,hydrobalance)...37 Figur 13 - Korelellogram af residualer for regression Figur 14 - Residualer for regression Figur 15 - Residual hisogram for regression Figur 16 - Fied vs. fakiske værdier for GARCH(1,1)...46 Figur 17 - Residualer for GARCH(1,1)...47 Figur 18 - Beinge varians GARCH(1,1)...47 Figur 19 - Scaerplo a residualer vs. fied værdier...48 Figur 20 - Simulere GARCH model...49 Figur 21 - Residualer jump-model...52 Figur 22 - Residualer uden spikes...53 Figur 23 - Hisogram over residualer uden spikes...53 Figur 24 - Simulere Jump-diffusion model...54 Figur 25 - Fakisk spopris februar Figur 26 - Simulere spopris via GARCH model...58 Figur % konfidensinerval for GARCH simulering...58 Figur 28 - Simulere spopris via jump-diffusion model...59 Figur % konfidensinerval for GARCH simulering...59 Figur 30 - QQ plo for den fakiske spopris...60 Figur 31 - QQ plo for spopris simulere via GARCH model...61 Figur 32 - QQ plo for spopris simulere via Jump-diffusion model...62 Figur 33 - Payoff diagram for en call opion...63 Figur 34 - Payoff diagram for en pu opion...64 Figur 35 - Empirisk æhedsfunkion

6 6

7 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Summary The marke for elecriciy has unil recenly been conrolled by governmens around he world. The reason why elecriciy hisorically has been conrolled by governmens is in par because of he need for securiy of supply. If here is a lack of elecriciy his has a consequence for he enire real economy. Wihou power he real economy is simply no able o produce goods. However in recen years elecriciy markes have been liberalised. The liberalizaion has he consequence, ha elecriciy prices have become increasingly volaile. I is furhermore generally agreed ha elecriciy prices experience more volailiy han oher commodiies. The high volailiy is a consequence of he simulaneous naure of elecriciy. Elecriciy canno efficienly be sored, which is why elecriciy mus be produced he same ime i is used. If he demand for elecriciy a some ime is unexpecedly high, he price of elecriciy will spike. The same hing happens if for some reason he producion of elecriciy experiences difficulies. This volaile price makes i difficul o model he price of elecriciy compared o oher commodiies. Since elecriciy is raded on a financial marke like oher commodiies here is a need for modellung he price of elecriciy. This need sems for example from he need o valuae derivaives on elecriciy. The valuaion of derivaives is sensiive o he underlying model of he asse, which is why i is necessary o model he price of elecriciy as correcly as possible. This hesis will herefore explore differen ways of modelling he price of elecriciy in he Scandinavian counries. The marke for elecriciy can be caegorized as regional. An example of a regional marke is he Nordic marke. The Nordic marke consiss of Finland, Norway, Sweden and Denmark. The elecriciy is predominanly produced by hydropower in he Nordic counries. This resuls in a lower volailiy for he spo price in he Nordic counries compared o oher counries who don have hydropower. The hesis finds, ha he price of elecriciy in he Nordic region also has high volailiy, and experiences volailiy clusers. Spikes are also presen in he Nordic elecriciy price. In his hesis o ypes of models will be explored for modelling he Nordic elecriciy price. Firs a GARCH(1,1) is specified, and simulaed. Laer a jump-diffusion model wih spikes following a Poission disribuion is specified and simulaed. To decide which of he models is bes a modelling he price of elecriciy he valuaion of an asian opion is used. Asian opions are ofen used in elecriciy markes, because various subsidies depend on he average price of elecriciy in a given ime period. Afer comparing he wo models I find ha, he bes model for he Nordic spoprice is a jumpdiffusion model. The jump-diffusion model is beer a esimaing he value of an opion, which is he purpose he model is inended for. 7

8 INDLEDNING

9 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Indledning Elekricie er en vare, som har være handle på liberaliserede markeder i relaiv kor id sammenligne med andre varer så som korn, kakao, olie og gas. Elekricie kan ilmed ikke lagres, hvilke medfører, a handlen med elekricieen i spomarkede bliver afhængig af simulan forbrug og produkion. Handlen med elekricie på eksempelvis forwardkonraker er ligeledes afhængig af produkion og forbrug. Ved forwardkonrakerne er de imidlerid forvenningerne il den fremidige produkion sam forbrug, der er afgørende for prisen. Markede for elekricie har siden liberaliseringen udvikle sig il e finansiel marked i sil med andre finansielle markeder. Der kan handles forwards, fuures og opioner med elekricie som de underliggende akiv. Markede er ligeledes bleve underlag forskellige ilsyn, som også er gældende for andre finansielle markeder. Dee skyldes, a manipulaion med markede for elekricie har fysiske konsekvenser for realøkonomien. Disse konsekvenser kunne bland ande ses i Californien, USA, i 2000 og I løbe af denne idsperiode oplevede Californien 38 såkald rullende blackous. Dee resulerede i, a Californien i perioder var uden srøm, hvilke har påvirkning på hele realøkonomiens produkion. Disse blackous var e resula af e deregulere marked, som blev manipulere af radere. Tradere spekulerede i a opfordre kræfværker il a soppe produkionen af elekricie, hvorefer raderne kunne sælge elekricie il mege højere priser end ellers. A prisen på elekricie blev højere som følge af produkionssop skyldes, a prisen på e give idspunk er afhængig af den akuelle produkion. Der er som før nævn ingen lagre af elekricie, som kan gå ind og kompensere ved evenuelle produkionssop. Da elekricie er grundlæggende nødvendig for realøkonomien, er de vigig a forså de mekanismer, der ligger il grund for markede. Forsåelsen for markede er vigig på e samfundsmæssig plan så vel som for den individuelle virksomhed, der agerer i markede. Den samfundsmæssige forsåelse kan hjælpe il a regulere markede, således a manipulaion, der har konsekvenser for realøkonomien, kan forbygges. Denne regulering bør være på baggrund af forsåelse for markede, således a den fri konkurrence ikke hæmmes, men a markede derimod får opimale beingelser for a udvikle sig. Den privae virksomhed har ineresse i a kende mekanismerne i markede, således a de i bund og grund kan jene penge. De er imidlerid ikke mulig a agere konkurrencedygig i markede, hvis ikke agenerne forsår markede. Speciel markede for elekricie er relaiv komplicere, og de er relaiv ny. Markede for elekricie må ligeledes siges a være del op i regionale markeder, hvilke nødvendiggør forsåelse for de specifikke marked, der ageres i. Ineressen for forskningen i elekriciesmarkede har i de senere år være sigende. De er speciel spoprisen på elekricie, som forskes i. Dee skyldes, a spoprisen på elekricie i høj grad er anderledes en spoprisen på andre varer. Forskningen har koncenrere sig om a modellere spoprisen, hvilke ikke med rimelighed kan gøres ved simple saisiske meoder. Jeg vil ligeledes søge a modellere spoprisen. Jeg vil age udgangspunk i de regionale nordiske marked og de specifikke karakerisika for dee marked. Speciale vil være opbygge som følgende. Førs beskrives idligere forskning og de nordiske elmarked. Derefer præseneres daa, sam undersøges for specifikke karakerisika. Næs udforskes forskellige modellers evne il a modellere spoprisen. Endelig sammenlignes modellerne for a afgøre, hvilken model, der beds modellerer spoprisen. 9

10 TIDLIGERE FORSKNING

11 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Tidligere forskning Siden elekriciesmarkederne blev liberalisere, er der forske en del i spoprisen på elekricie. Forskningen sarede imidlerid førs for alvor efer år Bland forskere er de e relaiv anerkend fænomen, a prisen på elekricie udviser lang sørre volailie end på andre finansielle markeder. Denne høje volailie skyldes bland ande, a spoprisen på elekricie generel udviser mege sore spikes. De er ligeledes anerkend, a disse spikes fremkommer som følge af elekricieens karakerisika. Disse karakerisika er elekricies simulane naur, hvor elekricieen skal anvendes samidig med, a den bliver producere. Denne simulane naur kombinere med de manglende muligheder for lagring af elekricieen medfører de så kalde spikes. Disse spikes indebærer udfordringer i modelleringen af spoprisen, da spoprisen ikke med rimelighed kan anages a kunne modelleres med simple auoregressive modeller alene. Den idlige forskning havde o udgangspunker. De ene udgangspunk var en mean-revering model. Udgangspunke i denne model skyldes, a den er god il a modellere andre råvarer så som gas og olie. Forskellen på disse råvarer og elekricie er imidlerid muligheden for lagring. Olie kan lagres i ønder. Gas har også mulighed for lagring enen i underjordiske lagre eller i form af LNG. LNG er en proces, hvor gas gøres flydende, således a den er nemmere a ransporere over sore afsande. Udover lagringsmulighederne kan der ikke i samme grad anages regionale markeder for gas og olie, som ilfælde er for elekricie. Olie handles på e verdensomspændende marked. Gas er en smule mere regional, men LNG hjælper il a gøre gas mindre regional end elekricie. Disse anderledes karakerisika medfører, a simple mean-revering modeller ikke er egne il a modellere spoprisen på elekricie. De ses bland ande ud fra den idligere forskning, a såfrem en simpel mean-revering model skulle ilnærme sig en passende model for spoprisen, så skal mean-reversion parameeren sæes urealisisk høj. Såfrem, a mean-reversion parameeren ikke sæes urealisisk høj, vil e spike forsæe i lang længere id, end de vil gøre i de fakiske daa. De ande udgangspunk var ARCH-GARCH modeller. Grunden il, a ARCH-GARCH modeller ilsyneladende er e god udgangspunk, er, a idligere forskning har funde volailiesklumpning i daa. Klumpning af volailie ses ved, a der er perioder i daa, hvor volailieen er mege høj. Disse højvolailiesperioder bliver eferfulg af perioder med lav volailie. Disse karakerisika kan ARCH-GARCH modeller hjælpe med a age højde for. De førse ARCH-GARCH modeller havde en simpel AR(1) srukur i middelværdien. Senere modeller er bleve mere fundamenale. I disse fundamenalmodeller besår middelværdisrukuren af variable, som ren eoreisk menes a besemme spoprisen. Disse variable kan bland ande være prisen på inpu, forvene forbrug, forvene produkion og begrænsninger i kapacie. Disse modeller må siges a modellere spoprisen bedre end simple mean-reversion modeller. Dee skyldes bland ande, a middelværdisrukuren ager højde for nogle af de spikes, der forekommer på grund af eksempelvis nedsa produkionskapacie eller pludselig øge eferspørgsel. De ses imidlerid bland ande i forskningen af Derek W. Bunn, a disse ARCH effeker forsvinder, såfrem andre modeller anvendes, som ager højde for spikes i spoprisen via andre meoder. De modeller, der indil videre har give de bedse resulaer i modelleringen af spoprisen på elekricie, er mean-reversion modeller med indbygge jump-variable eller regime-swich modeller. Forskellen på disse o yper af modeller er, a regime-swich modellerne afkobler spikesene fra spoprisen i normalsiuaioner uden spikes. Jump modeller indbygger derimod spikesene som den del af en del af den én srukur, der både ager højde for spoprisen i scenarier med og uden spikes. Dermed vil en jump-model beså af én enkel specifikaion, hvor en regime-swich model vil beså af en specifikaion for hver regime. De egenlige eoreiske argumen for a vælge den ene model frem for den anden er, hvorvid spikesene er uafhængige fænomener. Såfrem de er uafhængige fænomener bør de skilles ad fra den proces, der normal besemmer spoprisen, hvilke sker i regime-swich modeller. Såfrem spikesene ikke er uafhængige, bør de modelleres simulan med den normale proces, hvilke forekommer i jump modeller. (Brunn 2010) 11

12 TIDLIGERE FORSKNING 3.1 Case sudy af idligere forskning Bunn 2010 Ariklen Fundamenal and Behavioural Drivers of Elecriciy Price Volailiy af Derek W. Bunn med flere fra 2010, giver en god opsummering af den idligere forksning. Denne arikel ager udgangspunk i de briiske srømmarked, hvor forfaerne ønsker a undersøge volailieen i den briiske spopris på elekricie. Denne undersøgelse udfører de, ved a opsille forskellige modeller, som repræsenerer forskellige hypoeser omkring kilden il volailie i spoprisen. Daa i ariklen er fra 2001 og 2002, hvor de argumenerer for, a der har være en periode uden udefrakommende usabilie i markede. De fokuserer ligeledes på specifikke rading perioder. Trading perioder er definere som en periode, hvor spoprisen er fas eksempelvis fra 7 il 8 om morgenen. Forfaerne sarer med a præsenere den idligere forskning på område, hvor fokus primær har koncenrere sig omkring sokasiske modeller så som jump modeller. Ifølge forfaerne kan disse modeller, hvis de er specificere korrek, være essenielle for prisfassæelse af eksempelvis finansielle produker så som derivaer. Disse modeller giver imidlerid ingen dybere forsåelse for årsagen il den observerede volailie. Når årsagen il volailieen ikke er kend kan disse modeller ikke anvendes il besluningsagning. Med besluningsagning menes der besluningsagning i forhold il eksempelvis inra-day rading. Ved inra-day rading forsåes den handel med elekricie, som udføres på sponiveau dagen før elekricieen produceres. Når der skal inra-day rades er de vigig a have en forsåelse for drivkrafen bag volailieen, for dermed a kunne forecase den næskommende spopris præcis, således a der kan handles på baggrund af forecase. Igennem ariklen påvises de, a modeller, som har il formål a afdække årsagen il volailie, skal baseres på fundamenale variable. Fundamenale variable er variable, som har en underliggende påvirkning på spoprisen. Disse variable er ifølge ariklen variable så som eferspørgsel, kapacie margin, mangel på kapacie og læring i form af idligere observerede spopriser. I ariklen undersøges forskellige modeller på baggrund af fundamenaldaa. Førs undersøges en GARCH model. De konkluderes, a en simpel AR(1)-GARCH model ikke er ilsrækkelig. De ses imidlerid også, a såfrem en GARCH model udvides med en fundamenal model som middelværdisrukur forbedres modellens performance beydelig. De påvises imidlerid også i ariklen, a GARCH effekerne bliver ikke signifikane, hvis der inkorporeres elemener, som ager højde for andre årsager il GARCH effekerne. Dee sker eksempelvis via regime-swich modeller, hvor de ikke normale regimer ager højde for midleridige forsyrrelser i markede. Disse midleridige forsyrrelser i markede kan eksempelvis være en siuaion med knap produkion. Ved en sådan siuaion vil spoprisen spike, hvilke der ages højde for i e af regimerne. Dee medfører, a der ikke er behov for a modellerere volailieen separa som ved en GARCH model, da der ages højde for de jumps og spikes, der medfører den høje volailie. Dermed giver denne arikel e god eoreisk og empirisk argumen for, a age udgangspunk i ARCH- GARCH og jump modeller. Desuden giver ariklen en god grundlæggende forsåelse for årsagerne il volailieen i spoprisen. De skal imidlerid holdes in mene, a ariklen ager udgangspunk i de briiske marked, hvilke medfører, a resulaerne ikke uden videre undersøgelse kan overføres il de nordiske marked. Sids giver ariklen en forsåelse for, a formåle med modellen er afgørende for, hvilken meode, der skal anvendes il a modellere spo prisen. Såfrem formåle er a udarbejde en model, som kan hjælpe med a ræffe besluninger omkring inra-day rading, giver ariklen belæg for a age udgangspunk i fundamenale modeller. Såfrem formåle er værdifassæelse af finansielle akiver, kan der ages udgangspunk i mere sokasiske modeller uden fundamenale variable. 3.2 Case sudy af idligere forskning Jong 2006 En anden baggrundsarikel er The Naure of Power Spikes: A Regime-Swich Approach af Cyriel De Jong fra Denne arikel ager udgangspunk i o amerikanske og seks europæiske elekriciesmarkeder. Daa i denne arikel er spopriser fra de forskellige markeder fra januar 2001 il februar Dermed ager denne arikel udgangspunk i en lang længere idsperiode end den ovensående. En af fordelene ved a age udgangspunk i en længere idsperiode er, a de giver 12

13 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER mulighed for a undersøge, hvorledes markederne har udvikle sig som følge af liberaliseringen. Denne arikel fokuserer på a udvikle og sammenligne sokasiske modeller af spoprisen i de forskellige markeder. Der ages udgangspunk i en GARCH model. Denne GARCH model sammenlignes med en mean-revering jump model. De bevises via saisiske ess, a jump modellerne er bedre il a beskrive spoprisen end GARCH modellen, så længe der indbygges sokasisk volailie. Såfrem der anages konsan volailie er GARCH modeller lige så ilfredssillende som jump diffusion modeller. Dermed giver denne arikel e god indblik i, hvorledes sokasiske modeller kan opbygges for spoprisen. Disse sokasiske modeller repræsenerer en anden ilgang il modellering af spopriser end fundamenalmodeller. Ved sokasiske modeller menes der modeller, som forklares ved den afhængige variabel selv uden andre uafhængige variable. Ved fundamenalmodeller menes der modeller, hvor den afhængige variabel bliver forklare af uafhængige variable, som er eoreisk besem. Sokasiske modeller giver mulighed for a modellere spoprisernes karakerisika så som spikes og dermed volailie. Disse karakerisika er essenielle a modellere, såfrem modelleringen ønskes anvend il prisfassæelse af finansielle akiver. E af kriikpunkerne ved denne arikel er imidlerid, a der ages udgangspunk i så mange markeder. Elekriciesmarkederne er i høj grad karakerisere af regionale markeder, hvor der kan være sore forskelle i de dominerende produkionsmeoder fra marked il marked. Såfrem formåle med modelleringen er, a udvikle en model, der kan bruges i den privae finansielle sekor il a prisfassæe finansielle akiver bør der måske kun ages udgangspunk i é specifik marked. Dermed vil analysen og modelleringen være mere dybdegående og specifik for de valge marked. De må formodes, a modellen udforme via analyse af e enkel marked i højere grad er anvendelig il korrek a prisfassæe finansielle akiver. Denne overvejelse begrunder jeg som følge af opioners følsomhed overfor modelleringen af de underliggende akiv. 13

14 DET NORDISKE ELEKTRICITETSMARKED

15 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER De nordiske elekriciesmarked Følgende afsni er skreve med de formål, a give læseren indblik i, hvorledes e liberalisere elekriciesmarked fungerer. Desuden vil afsnie give læseren en forsåelse for, hvilke karakerisika, der er specifikke for de nordiske elekriciesmarked. Siden elekriciesmarkederne blev liberalisere, er der opsåe muligheder for forskellige akører på markederne. Producener af srøm har e behov for a sælge deres produk, mens forbrugere af elekricie har e behov for a købe produke. Disse o akører handler ikke direke med hinanden, hvilke skaber behove for mellemled. For forbrugerne er e eksempel på e af disse mellemled en grossis i form af eksempelvis e handelsselskab. Med de liberaliserede markeder har forbrugerne muligheden for fri a vælge, hvem der forsyner dem med elekricie. Dermed kan e handelsselskab opnå sordrifsfordele ved a købe srøm ind på vegne af mange kunder. Producenerne har flere muligheder for a sælge deres elekricie. De kan vælge a sælge deres produk il grossiserne, som så sælger de videre il forbrugerne. De kan også vælge a sælge deres elekricie igennem en børs, hvorved de ikke har direke konak med køberne af elekricieen. Dermed opsår der e behov for en børs. Denne børs har flere funkioner. Den agerer som bindeled imellem producener, grossiser og en redje akør som endnu ikke er nævn. Desuden agerer børsen også som clearing-house, hvilke eliminerer modparsrisikoen for akørerne på børsen. Den sidse akør i markede er en ren spekulaiv akør. Disse ren spekulaive akører køber og sælger elekricie med de formål a jene penge ved a købe eller sælge elekricieen på fordelagige idspunker. Akørene på børsen kan ligeledes vælge a handle med hinanden udenom børsen, hvilke kaldes bilaeralhandel. Fordelen ved dee er, a de sparer de clearing fee børsen ager, men ulempen ved dee er, a de i så fald har modparsrisiko ved a indgå handlen. Nogle markeder så som de briiske marked er karakerisere ved en høj grad af bilaeralhandel, mens de nordiske akører i høj grad benyer sig af børsen. Omkring 75 % af den producerede elekricie handles via børsen, og de reserende 25 % handles bilaeral (Nordpool 2010). Børsen for hele de nordiske marked hedder Nordpool. De nordiske marked omfaer Norge, Sverige, Finland og Danmark. Nordpool var førs fuld funkionel i alle fire lande i Nordpool er del op i finansiel handel og fysisk handel. Nordpool er sede, hvor der handles forwards, fuures og opioner, mens der på Nordpool spo handles day-ahead, hvilke vil sige spohandler. (Nordreg 2010). 4.1 Dannelse af spoprisen De er Nordpool, der fassæer spoprisen. Spoprisen handles day-ahead, hvilke vil sige, a den fassæes dagen før, den er gældende. Spoprisen fassæes på imeniveau, men ligger fas indenfor imen. Spoprisen fassæes ved, a alle akører på markede indmelder deres ineresser. De vil sige, a producenerne indmelder, hvad de er villige il a producere og il hvilken pris. Forbrugerne melder ligeledes ind, hvad de planlægger a forbruge de næs kommende døgn, og il hvilken pris de ønsker a forbruge de givne mængder. Forbrugerne melder imidlerid ikke ind il Nordpool selv. De er grossisernes ansvar a melde ind på vegne af forbrugerne. På baggrund af disse indmeldinger udregnes en fælles spopris for hele de nordiske område, som kaldes sysemprisen. Sysemprisen er en eoreisk pris, som ikke ager højde for flaskehalse i de nordiske område. Dermed er den bagvedliggende anagelse bag sysemprisen, a elekricieen fri kan bevæge sig imellem alle de nordiske områder. Dee er imidlerid ikke ilfælde. Der er begrænsninger i kapacieen imellem de nordiske områder, hvilke i praksis vil sige, a de kabler, der eksempelvis fører srøm fra Norge il Danmark kun kan ransporere en vis mængde srøm. Denne mængde srøm er ikke nødvendigvis ilsrækkelig il a udligne de prisforskelle, der kan opså imellem områderne. Denne kapaciesmangel medfører behove for yderligere prismekanismer. Dermed opsår der en conrac for difference (CFD), som er e form for illæg il sysemprisen. Denne CFD sikrer, a srømmen så vid mulig flyder fra høj- il lavprisområder. 15

16 DET NORDISKE ELEKTRICITETSMARKED Eferspørgselen efer elekricie må siges a være relaiv inelasisk. De vil sige, a såfrem prisen på elekricie ændrer sig, vil eferspørgselen ikke ændre sig re mege. Dee skyldes, a de flese privae såvel som kommercielle forbrugere af elekricie ikke ilpasser deres forbrug efer prisen. Dermed vil en hussand sor se anvende den samme mængde elekricie uanse, hvad prisen er. De samme gør sig gældende for virksomheder, der anvender elekricie som inpu i produkionen. Denne inelasicie må anages om ikke ande a være gældende på kor sig. På lang sig, er de mulig, a speciel virksomheder kan omlægge deres produkion il a være mindre elekriciesinensiv, såfrem dee er renabel. Denne inelasicie på forbrugernes side medfører, a de i høj grad er produkionsmeoderne, der er besemmende for spoprisen. 5 Produkionsmeoder I Norge besår sor se al elekrpciesprodukionen af hydrokraf. Dee er en relaiv billig måde a producere elekricie på, da inpue er naurlig. Omkosningerne ved a producere via hydrokraf besår dermed hovedsaglig af personaleomkosninger sam vedligeholdsomkosninger. I Sverige produceres der ligeledes med hydrokraf, dog sår hydrokrafen ikke for lige så sor en andel af produkionen som i Norge. Udover hydrokraf producerer Sverige også elekricie via aomkraf. Aomkraf er også en relaiv billig produkionsmeode. Danmark og Finland producerer en højere andel af elekricie via ermiske produkionsmeoder, hvilke eksempelvis er kulfyrede værker eller krafvarmeværker. Disse produkionsmeoder er relaiv dyre produkionsmeoder både fra en marginalprisberagning såvel som en miljømæssig beragning. Danmark producerer ligeledes elekricie via vindenergi, hvor Danmark har den højese andel af vindenergibunden produkion i Norden. Der er imidlerid planer om relaiv sore udvidelser i den samlede vindmøllebesand både i Sverige og Danmark i fremiden. Samle se produceres omkring 51 % af nordens energibehov via hydrokraf, hvilke medfører, a de nordiske srømmarked er afhængig af nedbør i de områder, hvor hydrokrafen er placere. For a illusrere dannelsen af spoprisen og afhængigheden af produkionsmeoderne, har jeg udarbejde nedensående figur. Figur 1 - Dannelse af spopris Pris Eferspørgsel Udbud Vind Hydro Aom Kraf Varme Gas Kul Olie Mængde forbrug/producerer Ovensående figur viser, hvorledes udbudskurven og eferspørgselskurven kunne ænkes a se ud på de nordiske marked. De ses, a hældningen på produkionsmeoderne med ikke vedvarende inpu er opadgående. Dee skyldes, a de ikke kan anages a marginalomkosningerne er ens for alle mængder oupu. De skal imidlerid bemærkes, a udbudskurven ikke ager højde for opsarsomkosningerne ved eksempelvis gasurbiner. De ses ud fra Figur 1, a udbudskurven ikke er koninuer, ide a prisen på elekricie udviser e hop, når der skifes fra en produkionsmeode 16

17 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER il en anden. Figuren viser også, a vindenergi er den billigse form for produkion, under anagelse af a vindmøllen allerede er opfør. Vindmøllen har næsen marginalomkosninger lig nul, da de enese, vindmøllen kræver, er vedligehold. Inveseringsomkosningerne il vindmøllen må berages som sunk cos, når vindmøllen er opfør. Derefer er marginalomkosningerne som følger i figuren. Kul-basere produkion kan imidlerid god bye plads med gas-basere produkion al efer hvilke inpu il produkionen, der er billigs. Som de ses i figuren er den sids anvende produkionsmeode besemmende for spoprisen. Såfrem der eksempelvis er e overskud af hydrokraf, vil elekricie producere via hydrokraf blive anvend før elekricie producere via mere omkosningsunge produkionsmeoder. Dee vil al ande lige sænke spoprisen, hvilke er illusrere i nedensående figur. Figur 2 - Dannelse af spopris med yderligere hydrokraf Pris Eferspørgsel Udbud Vind Hydro Aom Kraf Varme Gas Kul Olie Mængde forbrug/producerer De ses i Figur 1, a marginalomkosningen på gas-basere produkion er besemmende for spoprisen, mens de i Figur 2 er marginalomkosningen på krafvarme basere produkion, der er besemmende for spoprisen. Dermed medfører den øgede hydrokraf i Figur 2, a spoprisen al ande lige er lavere, end hvis ikke der var øge hydrokraf. Som før nævn har norden en sor andel af hydrokraf, hvilke gør norden relaiv afhængig af nedbør over magasinerne. Hydrokraf kan medføre, a spoprisen udviser færre spikes al ande lige (Jong, 2006). I idligere forskning findes de, a den nordiske spopris har en mindre andel af spikes. Hvorfor der argumeneres for, a denne mindre spikeakivie skyldes, a hydrokraf indireke kan lagre elekricie (Jong, 2006). Dee er efer min mening kun delvis sand. Hydrokraf kan lagre elekricie i siuaioner med normal vandsand i magasinerne. I disse siuaioner kan der på anlægge vælges a åbne mere eller mindre for urbinerne. Dermed kan de indireke besemmes, hvornår elekricieen skal produceres. I siuaioner med mege lid nedbør over en længere periode, vil der være for lid vand i magasinerne. Denne mangel siuaion medfører, a anlæggene ikke kan producere, selvom de ønskes. Dermed vil spoprisen være udsa for spikes i samme grad som andre markeder, og man vil ilmed opleve en forhøje spopris, ide en sor del af den normale udbudskurve ikke længere vil være il sede som i Figur 1. Når der er e overskud af vand i magasinerne eksempelvis i den periode, hvor sneen smeler, vil anlæggene være vunge il a producere. Dee vil skabe en lavere spopris, sam forøge muligheden for negaive spikes. Dermed er de mulig a de nordiske marked ikke oplever spikes i samme siuaioner, som andre markeder der er afhængige af ermisk producere elekricie, men hydrokraf medfører nogle andre overvejelser vedrørende modelleringen af spoprisen. 17

18 DET NORDISKE ELEKTRICITETSMARKED 5.1 Balancemarkede E sidse karakerisika ved markede for elekricie knyer sig il den fysiske del af markede. Dee karakerisika er balancemarkede. På balancemarkede sørger TSO erne (Transmission Sysem Opperaors) for, a markede alid er i balance. TSO erne er de sysemansvarlige for hver land, hvor de i Danmark er Energine. Såfrem markede ikke er i balance opsår der enen en siuaion, hvor der er underforsyning, hvilke resulerer i blackous, eller også opsår der en siuaion med overforsyning, hvor der opsår spild. Balancen opreholdes ved, a der på reservemarkede sår producener il rådighed, der enen kan regulere op eller ned for deres produkion. Hvem der skal regulere sin produkion besemmes ligeledes på balance markede, hvor producener kan melde ind, hvad de ønsker a regulere med og il hvilken pris. Derefer fassæer Energine hvor mege regulering, der er brug for, og beder producenerne om a regulere deres produkion derefer. Energine er imidleridig forplige il a bruge de billigse bud førs. Balancemarkede er marginal prisfassa, hvilke vil sige, a alle der indgår i reguleringen modager den pris, den sids anvende producen har meld ind. Alle ovensående mekanismer sikrer, a de er mulig a have e liberalisere nordisk marked. Speciel de sammenlage nordiske marked udryk via sysemprisen sikrer, a de liberaliserede marked al ande lige er mere likvid, og dermed mere effekiv prisfassa. Såfrem markede ikke er likvid ville de al ande lige være sværere a udnye arbirage muligheder, og dermed vinge priserne på de finansielle produker mod deres markedsværdi. 18

19 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER

20 SYSTEMPRISEN

21 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Sysemprisen Den variabel, jeg ønsker a modellere, er sysemspoprisen. Når der fremover refereres il spoprisen er de implici, a de er sysemspoprisen der refereres il. Daa for spoprisen er fri ilgængelig bland ande via den danske TSO Energine på deres hjemmeside energine.dk. De originale daasæ for spoprisen løber fra den 30/ il den 31/ på imeniveau. Dermed besår daasæe af observaioner. A sardaoen er valg som den 30/ skyldes ændringer i markede. Den 30/ implemenerede Nordpool muligheden for negaive spopriser. Disse negaive priser har imidlerid den resrikion, a prisen ikke kan blive mindre end EUR -200 (Nordpool 2009). Dermed er daa valg således, a daa kun indeholder de nyese karakerisika for markede. For a anvende daa længere ilbage i id, ville de være nødvendig med en korrekion, således a negaive priser er mulige. Denne korrekion kunne udføres ved a indsæe priser fra balancemarkede i de ilfælde, hvor sysemprisen er 0. Dee er imidlerid ikke en opimal løsning, da der ved denne løsning ikke er mulighed for a skelne imellem, hvornår spoprisen skulle være negaiv, og hvornår den skulle være nul. I idligere forskning har de være praksis a anvende en logarimisk ransformaion af spoprisen. Denne ransformaion skal sikre, a der ikke opsår negaive spopriser som følge af modellen. Dee er imidlerid ikke en ransformaion, som jeg vil udføre på mine daa, da der neop er mulighed for negaive spopriser på de nordiske marked. En anden praksis er, a ransformere daa, således, a der modelleres en basepris for hver dag. En basepris svarer il gennemsnie af alle 24 spopriser i løbe af dagen, hvilke er illusrere ved nedensående ligning. (1) base dd 24 1 spo 24 dd Denne ransformaion vil jeg også udføre for mine daa, hvor jeg frem over vil referere il denne ransformerede pris som spoprisen. Daasæe besår herefer af 428 observaioner. Transformaionen sikrer, a der ikke arbejdes med højfrekvene daa. Desuden vil nogle af de fundamenale variable kun kunne fås på dagsniveau. En variabel, som kun vil kunne frembringes på dagsniveau, er hydrobalancen. Denne variabel kan være en proxy for hvor mege kapacie, der er il rådighed for nordens sørse produkionsmeode. De vil i den forbindelse ikke være mulig, a profilere hydrobalancen ud på imeniveau. Såfrem en forecase spopris ønskes på imeniveau, er de mulig a anvende en dagsprofil il a opløse den esimerede spopris il imeniveau (Brunn 2010). Følgende figur illusrerer udviklingen i spoprisen i den valge idsperiode. 21

22 SYSTEMPRISEN Figur 3 - Udvikling i spoprisen fra 30/ il 31/ Pris [EUR/MWh] / / / / / Tid [Kvaraler] De ses ud fra Figur 3, a spoprisen udviser ydelige spikes både i posiiv og i negaiv rening. Desuden ses de ud fra figuren, a spoprisen udviser en sæsonprofil, hvor prisen er højere om vineren end om sommeren. Denne profil skyldes, a der i den nordiske region primær anvendes srøm i forbindelse med eksempelvis opvarmning. I syden vil sæsonprofilen være omvend af den nordiske sæsonprofil, da der i syden primær anvendes elekricie i forbindelse med aircondiion. De mindre udsving der ses på kurven kunne skyldes en ugeprofil. Der anvendes ypisk mere srøm mandag il orsdag end fredag il søndag. Denne ugeprofil skyldes ypisk virksomhedernes produkionsmønsre, hvor der ypisk ikke bliver producere så mege fredag il søndag. Den ugenlige sæsonprofil illusreres ved nedensående figur. Figur 4 - Ugeprofil mandag irsdag onsdag orsdag fredag lørdag søndag Uge [dag] 22

23 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Ovensående figur viser e gennemsni for hver ugedag. De ses ydelig, a priserne lørdag og søndag er markan lavere end de reserende ugedage. Dermed ses de grafisk, a daasæe indeholder en profil på ugebasis. Nedensående figur illusrerer profilen over åre. Figur 5 - Årsprofil jan feb ma r apr ma j jun jul aug sep ok nov dec å De ses ydelig ud fra Figur 5, a daa udviser en sæsonprofil. Figuren illusrerer e månedsgennemsni af daa. Sæsonprofilen udviser de mønser, som kunne forvenes. De ses, a prisen i førse og fjerde kvaral er højere end priserne i ande og redje kvaral. Dee mønser skyldes, som før nævn, de øgede srømforbrug il eksempelvis opvarmning og belysning i vinermånederne for den nordiske region. De skal imidlerid bemærkes, a februar ligger høj i forhold il de andre måneder. Dee kan skyldes længden af daasæe, hvor februar angiver februar Dermed kan der have være nogle fakorer, som har gjor gennemsnie usædvanlig høj. En sådan fakor kan være e mege sor spike, hvilke jævnfør Figur 1 også forekom i februar Såfrem daa havde være længere, ville årsprofilen være mindre forsyrre af sådanne forhold. For a klargøre spoprisens karakerisika rapporeres middelværdi, varians, kurosis og skævhed for daa. Tabel 1 - Deskribiv saisik Observaions 428 Mean Sd. Devn Skewness Excess Kurosis Minimum Maximum Normaliy es Chi^2(2) [0.0000] 23

24 SYSTEMPRISEN De ses, a volailieen for spoprisen er 14,158, hvilke er angive ved sandarafvigelsen for spoprisen. Dee må anages a være en relaiv høj volailie. Spikesene er i høj grad med il a øge volailieen på sporprisen, hvilke medfører a spoprisen har en højere volailie end andre finansielle akiver. De ses ligeledes, a spoprisen udviser kurosis, sam er højreskæv. Dermed er der en asymmeri i daa mod høje posiive værdier, frem for lave eller negaive værdier. De ses ligeledes ud fra ovensående, a daa ikke er normalfordel, da dee kan afvises ved saisiske ess. De ses ligeledes ud fra ovensående, a selv om sysemprisen i kan blive negaiv, har dee ikke være ilfælde i perioden. Ovensående Kurosis og opsejlhed illusreres ved nedensående figur. Figur 6 - Tæhedsfunkion for spoprisen 0.07 Densiy Spopris N(s=14.2) Ovensående figur, viser ydelig skævheden i daa sam de ykke haler, hvor der ses en asymmeri mod mege sore værdier. Dermed er de påvis, a daasæe både indeholder spikes, profiler sam høj volailie. Disse karakerisika er de nødvendig a age højde for, når spoprisen modelleres. 24

25 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER

26 OVERVEJELSER OMKRING MODELLERING

27 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Overvejelser omkring modellering Den idligere forskning har som før nævn funde spikes, høj volailie og skævhed i daa. Jævnfør afsni 6 findes disse karakerisika ligeledes i mi daasæ for den nordiske spopris. Dermed kan de med rimelighed anages, a de meoder, der før er anvend il a modellere spoprisen også vil være e god udgangspunk for min modellering af spoprisen. Dermed er der o forskellige modeller, som med rimelig sandsynlighed kan modellere spoprisen. Den førse modelype er ARCH-GARCH modeller. Disse modeller kan age højde for skævheden i daa, sam volailiesklumpning. Der må anages a være volailiesklumpning jævnfør Figur 3. Denne volailiesklumpning ses bland ande i sluningen af ande kvaral 2010 og i sluningen af fjerde kvaral Disse modeller er imidlerid ikke egnede il a age højde for uafhængige spikes. De er imidlerid ikke afgjor, hvorvid spikesene i daasæe er uafhængige og kræver en anden ype modeller. Jump-diffusion modeller kan derimod age højde for spikes. Jump-diffusion modeller kan age højde for spikes via en jump-komponen. Denne jump-komponen sikrer, a der sker e mere eller mindre ilfældig hop i prisprocessen. Dermed kan ovensående analyse af spoprisen ikke umiddelbar afgøre hvilken modelype, der er beds egne il a modellere spoprisen. Derfor vil jeg sare med a modellere spoprisen med den simplese modelype ARCH-GARCH modeller. Dernæs vil jeg søge a modellere spoprisen via jumpdiffusion modeller. Sids vil jeg sammenligne modellernes performance for dermed a afgøre hvilken model, der er beds egne il a modellere den nordiske spopris. 27

28 TEORETISK REDEGØRELSE FOR MODELTYPERNE

29 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Teoreisk redegørelse for modelyperne I følgende afsni er de min inenion a gennemgå de o forskellige modelyper, for dermed a give en eoreisk forsåelse for modellerne og deres karakerisika. 8.1 ARCH-GARCH modeller Den førse model, som bliver ilpasse il daa er en ARCH-GARCH model. ARCH-GARCH modeller anvendes ypisk i den finansielle verden, hvor de er funde, a de er gode il modelleringen af eksempelvis afkas fra akier. Grunden il, a ARCH-GARCH modeller performer god med denne ype daa, er, a finansiel daa ofe udviser volailieesklumpning og ykke haler. Volailiesklumpningen er en konsekvens af, a fejllede ikke har konsan varians gennem hele serien. Såfrem variansen på en idsserie ikke er konsan, har idsserien beinge heeroskedasicie. Hvis variansen ilmed kan beskrives via en auoregression siges modellen a indeholde auoregressiv beinge (condiional) heeroskedasicie, hvilke forkores som ARCH (Heij 2004). En ARCH(1) model med en konsan som middelværdisrukur er give ved (2) y c ε ε Y 1 ~ N(0, σ ) σ α 0 α1ε 1 2 hvor σ var( y 1 Y 1 ) er den beingede varians. Y -1 angiver de ilgængelige observaioner il id -1. Ved ovensående model er der imidlerid nogle parameerresrikioner. Da variansen aldrig er negaiv indføres følgende resrikioner α 0 0 og α 1 0. Såfrem α 1 > 0 vil den beingede varians blive sørre såfrem fejllede i perioden før var sørre. Dee karakerisika modellerer dermed volailiesklumpningen. De skal desuden bemærkes, a fejllede ikke er normalfordel og a de har kurosis sørre end 3. Dermed modellerer ARCH modellen også ykke haler. De kan imidlerid være nødvendig a modellere den beingede varians med en auoregressiv process af en højere orden, således de bliver en ARCH(p) model, i så fald inkluderes p lags af fejllede i variansligningen (Heij 2004). Der findes imidlerid en mere generel version af ARCH modeller, som kaldes GARCH, hvilke sår for generalisere ARCH. Ved en GARCH model følger fejlledene en ARMA model i sede for en AR model. En GARCH(1,1) er give ved følgende udryk. (3) y c ε ε Y 1 ~ N(0, σ ) σ α 0 α1ε 1 β1σ 1 Ved ovensående model er fejlledene saionære såfrem α 1 +β 1 > 1. En GARCH model, kan også beskrives ved højere ordens ARMA modeller, således modellen angives GARCH(p,q). En sådan model indeholder p lags af fejlledde og q lags af den beingede varians. De er vigig a bemærke, a middelværdisrukuren ikke nødvendigvis er en konsan. Middelværdisrukuren kan eksempelvis specificeres som en ARMA model, eller andre modeller, som findes passende (Heij 2004). De skal desuden bemærkes, a der findes yderligere udvidelser il ARCH-GARCH modellerne, så som eksempelvis T-GARCH og GARCH in mean modeller. T-GARCH modeller ager højde for, a volailieen kan reagere asymmerisk ved eksempelvis posiive chok. En GARCH in mean model ilføjer den beingede varians il middelværdisrukuren. Disse modeller vil jeg ikke forklare yderligere. Såfrem de findes relevan når GARCH modellen kalibreres il daa, vil specifikaionen af disse modeller fremgå. 8.2 Jump-Diffusion modeller Jump-Diffusion modeller har som før nævn være populære i modelleringen af energipriser. Dee skyldes, a disse modeller kan age højde for pludselig forekommende jumps. Disse modeller anvendes ypisk il a prisfassæe derivaer, da de er yders vigig, a kunne modellere alle y- 29

30 TEORETISK REDEGØRELSE FOR MODELTYPERNE per flukuaioner, som de underliggende akiv kan udvise. De skyldes, a volailieen al ande lige vil være højere i den modellerede idsserie, såfrem modellen kan age højde for spikes. Når volailieen er højere vil eksempelvis en opion al ande lige være dyrere. Disse modeller kan også anvendes il andre formål end prisfassæelse af derivaer. De skal imidlerid bemærkes, a jump-modellerne muligvis er mindre anvendelige il inraday rading, da spikes ene forekommer mere eller mindre ilfældig via disse modeller. Der er imidlerid mange forskellige muligheder for a specificere disse jump modeller. Jumpsene kan følge forskellige processer og kan enen besemmes sokasisk eller deerminisisk. Jump-diffusion modeller har den fordel, a de lader de underliggende akiv udvikle sig koninuer i lang den sørse del af iden. Men de ager samidig højde for, a de underliggende akiv nogle gange kan udvise så sore jumps, a disse jumps ikke kan modelleres af diffusion delen. Ved diffusion delen, menes der den del af modellen, som lader de underliggende akiv udvikle sig i forhold il normalsiuaioner uden spikes. Diffusion delen kan specificeres som mange forskellige processer, eksempelvis en simpel Brownian Moion. Jeg vil imidlerid specificere diffusion delen, som en mean-revering proces. Diffusion delen besår således af en mean-revering proces, som specificeres ved nedensående ligning. (4) y η1 ( µ 1 y 1 ) σ 1 ε I ovensående ligning angiver η 1 mean-reversion parameeren og μ 1 den middelværdi, som spoprisen vender ilbage il. De skal imilderid bemærkes a η 1 skal være mindre eller lig med 1 for a modellen flukuerer omkring middelværdien. De skal ligeledes bemærkes a ovensående meanreversion model er af auoregressiv orden 1, da de er forskellen fra y -1. Dermed er ovensående proces en simpel AR(1) model, som flukuerer om en give middelværdi. (Jong, 2006) For a ovensående model skal være en jump-diffusion model, skal der også specificeres en jumpkomponen. Jump-komponenen kan specificeres på mange forskellige måder, eksempelvis kan jump-komponenen specificeres som mange forskellige Lévy processer. Lévy processer er en klasse af processer, som har uafhængige og saionære fejlled (Tankov 2009). En af disse Lévy processer kunne være en Poisson proces, som jeg vil anvende senere i projeke. Dermed følger en jump-diffusion model med mean-revering diffusion og Poisson jumps følgende specificering (Tankov 2009). (5) y nt S S η1( µ 1 y 1) σ 1ε Z hvor Z ~ N( µ 1, σ 1 ) n ~ POI ( λ1 ) i 0 De skal bemærkes, a middelværdien og variansen for spikesene er forskellige fra middelværdien i diffusion-ledde. Poisson processen er en proces, der anvendes il a beskrive uafhængige hændelser. Poisson processen er en helidig proces, hvor jumpinensieen besemmer, hvor ofe de uafhængige hændelser indræffer. Hændelserne har middelværdien µ og variansen σ. Poisson fordelingen anven- S S 1 1 des i en diskre version, hvor den indgår som en binær variabel. Denne binære variabel angiver, hvorvid der indræffer en hændelse il e given idspunk. Der skal imidlerid igen gøres opmærksom på, a ovensående specifikaion af en jump-diffusion model, kun er en af mange mulige specifikaioner. 30

31 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER

32 SIMPEL MODELLERING VIA OLS

33 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Simpel modellering via OLS De førse skrid i modelleringen af spoprisen er a undersøge, hvorvid spoprisen kan modelleres via simpel lineær regression. 9.1 Valg af variable For a modellere spoprisen er de nødvendig a vælge variable, som muligvis kan beskrive spoprisens udvikling. Disse variable er moivere både af prakiske og eoreiske overvejelser. Den førse ype variable, som jeg vil inkludere i modellen er lags af spoprisen. Dee skyldes, overvejelsen om, a lags af spoprisen kunne beskrive den nuværende udvikling. Eksempelvis vil lags af spoprisen kunne medvirke il a beskrive en periode med unormal høje spopriser, som eksempelvis opsår på grund af raderes forvenninger. For a undersøge, hvilke lags der kunne være relevane, vil jeg illusrere sammenhængen mellem lagsene og spoprisen ved hjælp af scaerplos. De førse scaerplo viser sammenhængen mellem spoprisen og lag e af spoprisen. Figur 7 - Scaerplo Spo vs. lag e spo Spo Spo Ud fra ovensående figur ses en ydelig lineær sammenhæng. Desuden ses de a denne sammenhæng er posiiv, således a en høj spopris dagen før hænger sammen med en høj spopris dagen efer. Dee kan forklares med, a førse lag af spoprisen kan afspejle dage med god eller dårlig forsyning. Disse dage er sammenhængende, hvorfor en dag med dårlig forsyning ofes bliver eferfulg af en dag med dårlig forsyning. Dermed refærdiggør ovensående scaerplo a medage førse lag af spoprisen i modellen. 33

34 SIMPEL MODELLERING VIA OLS Næs undersøges, hvorvid ande lag af spoprisen bør medages i figuren. Figur 8 - Scaerplo spo vs. lag o spo Spo Spo Ande lag af spoprisen har jævnfør ovensående figur også en lineær sammenhæng med spoprisen. Dee kunne ænkes a skyldes emperaurer. Højryk og lavryk har endens il a vare ved i nogle dage. Eksempelvis kan e blokerende højryk om vineren medføre mege lave emperaurer. Disse lave emperaurer medfører derfor øge elekriciesforbrug. Da højrykke er blokerende, vil de lave emperaurer vare ved, hvilke medfører øge forbrug i den periode. Ovensående figur medfører, a ande lag af spoprisen også inkluderes i modelleringen af spoprisen. Lagsene fra re il syv har samme lineære mønser, hvorfor jeg kun har valg a vise e sca-erplo af lag syv. 34

35 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Figur 9 - Scaerplo spo vs. lag syv spo Spo Spo Ovensående figur, sam de fakum a lagsene fra re il seks udviser samme mønser, medfører a disse medages i modellen. Jeg vil desuden inkludere dummies for hver ugedag, således der bliver age højde for profilen på ugebasis. De skal imidlerid bemærkes, a de dummies sam lags. jeg har valg a inkludere, måske ager højde for de samme karakerisikum, hvilke er profilen. Såfrem dee er ilfælde, bør begge klasser af variable ikke være signifikane, når de begge inkluderes i modelleringen af spoprisen. Jeg vil ligeledes søge a age højde for profilen på årsbasis, dee vil søges via gennemsnisemperauren for henholdsvis Norge og Sverige. Temperauren har afgørende indflydelse på forbruge af elekricie i Norge og Sverige. Dee skyldes, a forbrugerne i Norge og Sverige i høj grad anvender elekricie som varmekilde. Dermed må de anages, a emperaurdaa vil kunne age højde for den årsprofil, som er observere i daa. 35

36 SIMPEL MODELLERING VIA OLS Figur 10 - Gennemsnis emperaur Norge Sverige Temperaur[grader celsius] / / / / / Tid [kvaral] De ses ud fra ovensående figur, a emperauren også udviser sæson, hvilke var forvene. Temperauren og spoprisen forvenes dermed a have en negaiv sammenhæng. Således a spoprisen er høj når emperauren er lav. De ses imidlerid a gennemsnisemperauren for Norge og Sverige er nogenlunde ens. Derfor vurderer jeg, a de er ilsrækkelig kun a anvende den ene af serierne, hvilke bliver gennemsnisemperauren for Sverige. Temperauren er e døgn gennemsni for henholdsvis Norge og Sverige. Gennemsnisemperauren er konsruere således, a den er e gennemsni over de målesaioner, der er i henholdsvis Norge og Sverige. Daa er fremskaffe via merolog Chrisian Tygskov, som er ansa ved Nordjysk Elhandel. For yderligere a redegøre for sammenhængen mellem spoprisen og emperauren har jeg valg a fremvise nedensående scaerplo. Figur 11 - Scaerplo spopris vs. emperaur Spo Temperaur Sverige 36

37 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER De ses ud fra ovensående figur, a emperauren og spoprisen ikke har en fuldkommen lineær sammenhæng. Dermed kan de overvejes, hvorvid ransformaioner af emperauren bør medages i modelleringen af spoprisen. En mulig ransformaion kunne være emperauren i anden. Denne ransformaion ager højde for, a lave emperaurer ilsyneladende har den sørse effek på spoprisen. Jeg har ligeledes idligere redegjor for, a de primær er udbudssiuaionen, der er besemmende for niveaue af spoprisen. Derfor har jeg valg a inkludere en proxy for den sørse produkionsmeode i norden. Denne proxy er hydrobalancen. Hydrobalancen er e al, der angiver, hvor mege produkionskapacieen for vandkraf afviger fra en normalsiuaion. En normalsiuaion er definere som gennemsnie af kapacie over en årrække. Denne hydrobalance kan være med il a indikere, hvorvid produkionsmeoderne i norden finder sed på dyre ermiske produkionsanlæg eller på billige vedvarende produkionsanlæg. Dermed vil en lav hydrobalance al ande lige medføre en højere spopris. Sammenhængen mellem hydrobalancen og spoprisen beskrives ved nedensående scaerplo. Figur 12 - Scaerplo (spopris,hydrobalance) Spo Hydrobalance De ses ydelig ud fra ovensående figur, a der er en sammenhæng mellem hydrobalancen og spoprisen. Sammenhængen er således, a når hydrobalancen er mege lav, så vil spoprisen være høj. Dee semmer overens med de eoreiske argumen for a inkludere hydrobalancen. Da en lav hydrobalance beyder, a der er mindre vandkraf il rådighed il a producere elekricie. Når der er mindre vandkraf il rådighed må der anvendes dyrere produkionsmeoder, hvilke al ande lige medfører en højere spopris. De ses imidlerid også, a spoprisen og hydrobalancen ikke nødvendigvis har en lineær sammenhæng. De ses ud fra ovensående figur, a de primær er mege lave værdier af hydrobalancen, der har en påvirkning på spoprisen. Derfor vælger jeg ligeledes a inkludere kvadrae af hydrobalancen. Jeg har ikke valg a inkludere en proxy for forbruge. Dee skyldes, a forbruge er relaiv inelasisk. Forbrugsprofilen bør ligeledes blive age højde for som følge af den inkluderede emperaurvariabel. 37

38 SIMPEL MODELLERING VIA OLS Disse variable inkluderes alle i den simple regression. Dermed vil ligningen for regressionen nu have følgende udformning. (6) y α β y... β dummy 9... β dummy β Temp irs ors Sverige 1 β y 2 β dummy 10 β Temp ons β dummy β y 3 fre 2 Sverige 3... β y 4 β dummy 13 β y lør 5 β y β dummy β hydro β hydro søn ε β y Saionarie Hvorvid, ovensående model kan anvendes il modellering ved hjælp af simpel lineær regression, afhænger bland ande af om spoprisen er saionær eller ej. Som udgangspunk vil de forvenes, a sporprisen ikke er saionær, da der er al for mege profil og variaion i spoprisen il, a den kan være en saionær proces. Derfor vil jeg undersøge, hvorvid spoprisen er saionær, når der er age højde for uge, års profilen sam de andre forklarende variable. Dee vil jeg gøre ved a undersøge residualerne for saionarie, når der udføres en regression på (6). Ovensående regression er udfør via OLS, hvor resulae af regressionen ses ved nedensående oupu. Tabel 2 - Regression 1 (OLS) Koefficien Sd. Var. Konsan Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Dummy_irs Dummy_ons Dummy_ors Dummy_fre Dummy_lør Dummy_søn Hydro Hydro^ TempSverige TempSverige^ Hvorvid ovensående variable er signifikane er ikke i udgangspunke ineressan. Ovensående regression udføres med de formål a undersøge, hvor mege variablene kan forklare ved hjælp af simpel lineær regression. Dermed er signifikansen af variablene ikke nødvendig a afgøre, før modellen yderligere specificeres. 38

39 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Den førse inspekion af regressionens performance er en grafisk inspekion af e korelellogram, hvilke kan give en indikaion af, om residualerne er saionære eller ej. Figur 13 - Korelellogram af residualer for regression ACF r:spopris PACF r:spopris Korelellogramme ser umiddelbar saionær ud. Dee skyldes, a auokorrelaionen ikke er udpræge sor for residualerne. De kræver imidlerid en saisikes for a afgøre, hvorvid residualerne er saionære. Denne es kaldes en Dickey-Fuller es. H 0 hypoesen ved en Dickey-Fuller es er, a serien ikke er saionær. Dermed følger serien under H 0 hypoesen ikke engang assympoisk en -fordeling, hvorfor essørrelsen for en Dickey-Fuller es skal sammenlignes med en Dickey-Fuller fordeling. De overvejes imidlerid om der bør vælges den udvide Dickey-Fuller es, da den simple Dickey-Fuller es er følsom overfor auokorrelaion. Jævnfør Figur 13, anages residualerne ikke a indeholde auokorrelaion. Dermed vælges en almindelig Dickey-Fuller es. Når der anvendes en Dickey-Fuller es udføres nedensående regression ved hjælp af OLS (Wooldridge 2000). (7) ε β ε 1 1 Oupue for esen kan ses i nedensående abel. Tabel 3 - Dickey-Fuller es af Residualerne for Regression 1 Koefficien Sd. Var. -value Residual_ De ses ud fra Tabel 3, a -værdien il de lagge residualer er 20.3, hvilke skal sammenlignes med en Dickey-Fuller fordeling på 5 % signifikansniveau, som er Dee beyder, a H 0 hypoesen kan afvises, og dermed er residualerne saionære. Dermed kan de siges a spoprisen er 39

40 SIMPEL MODELLERING VIA OLS rendsaionær, når der er age højde for de profiler, som daa udviser. Dee beyder, a spoprisen kan modelleres direke, uden a modellere ændringen i spoprisen. Ovensående afgør imidlerid ikke, om simpel lineær regression er en god meode il a modellere spoprisen. En af beingelserne er, a der skal være homoskedasicie i residualerne. Såfrem der er homoskedasicie, vil residualerne have ens varians, og derfor ikke indeholde ARCH-effeker. Nedensående figur viser residualerne for regressionen. Figur 14 - Residualer for regression 2 50 residuals reg De ses ud fra den grafiske inspekion, a residualerne udviser varierende volailie. Den grafiske inspekion er imidlerid ikke ilsrækkelig for a afgøre om residualerne indeholder ARCH effeker. Derfor udføres en es for ARCH effeker, hvilke uføres med en F-es. H 0 hypoesen for denne F-es er, a der ikke er ARCH effeker i residualerne. Tabel 4 - ARCH es for regression 2 Tes es-sørrelse P-værdi ARCH-Tes F(1,401) De ses ud fra ovensående abel, a H 0 hypoesen kan afvises. Dee beyder, a residualerne ikke er homoskedasiske. Dermed kan spoprisen ikke modelleres ved hjælp af simpel lineær regression. Som sidse undersøgelse af residualerne præseneres e hisogram af residualerne med en normalfordeling. 40

41 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Figur 15 - Residual hisogram for regression Densiy r:spopris N(0,1) De ses ydelig ud fra ovensående figur, a residualerne udviser skævhed sam opsejlhed. Ovensående undersøgelse af residualerne medfører, a simpel OLS ikke er egne il a modellere spoprisen. Dermed må der undersøges muligheder for a modellere residualerne. Dee kan enen gøres ved hjælp af en ARCH-GARCH model eller en jump-diffusion model. Af disse o, vil jeg førs undersøge modellering ved hjælp af en ARCH-GARCH model, hvorefer jump-diffusion modellen undersøges. 41

42 ARCH-GARCH MODEL

43 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER ARCH-GARCH model Foregående afsni afslørede, a simpel OLS ikke var ilsrækkelig il a modellere spoprisen. De ses ligeledes jævnfør afsni 6 og 9, a spoprisen udviser volailiesklumpning sam kurosis. Dee giver belæg for ligesom idligere forskning, a undersøge ARCH-GARCH modeller. I forrige afsni blev der udvikle en passende middelværdisrukur, som der arbejdes videre med i forbindelse med ARCH-GARCH modellerne. Ved nedensående ligning ses den fulde formulering af ARCH-GARCH modellen, hvilke også inkluderer varianssrukuren. Denne model er en GARCH(1,1) model. (8) y α β y β dummy... β Temp β dummy hvor hvor ε Y irs Sverige 1 ors 1 0 β y β dummy β dummy β Temp ~ N(0, σ ) σ α α ε β y ons 2 Sverige 1 3 fre β σ β y β dummy β y lør β y β hydro β hydro 2 6 β dummy 6 søn ε β y Hvor Y -1 angiver alle idligere observaioner i de ilgængelige daasæ il id -1. Denne ype model har den karakersika a fejllede ikke er normalfordel og har kurosis, som er sørre end 3. Derfor ager GARCH modeller højde for de ykke haler, der ofe observeres i finansielle idsserier. Dermed har disse modeller mulighed for a modellere den yderligere risiko, der opsår som følge af, a finansielle idsserier sjælden har konsan varians (Heij 2004). 43

44 ARCH-GARCH MODEL Nedensående abel viser esimaionen af (8). Modellen er esimere via Maximum Likelihood. Tabel 5 - GARCH(1,1) med alle variable Koefficien Sd. Var. Konsan Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Spo_ Dummy_irs Dummy_ons Dummy_ors Dummy_fre Dummy_lør Dummy_søn Hydro Hydro^ TempSverige TempSverige^ Alpha_ Alpha_ Bea_ De ses ud fra ovensående abel, a ikke alle variablene er signifikane. Nedensående abel viser den endelige model, hvor variable sepvis er ekskludere fra modellen. Desuden ses en ilhørende es for ARCH-effeker. 44

45 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Tabel 6 - endelig GARCH (1,1) Koefficien Sd. Error T-prob Konsan Spopris_ Spopris_ Dummy_ris Dummy_ons Dummy_ors Dummy_fre Dummy_lør Dummy_søn Hydro TempSverige Alpha Alpha Bea_ Tes Tessørrelse P-værdi ARCH-Tes F(2,402) De ses ud fra ovensående, a ikke alle de reserende variable er signifikane. Ovensående specifikaion vælges imidlerid som den endelige specifikaion for GARCH modellen. Da alle variablene enen er signifikane eller medage af eoreiske årsager. De ses ud fra ovensående F-es for ARCH effeker, a H 0 hypoesen ikke kan afvises ved denne model. Dee beyder, a GARCH(1,1) modellen har age højde for de ARCH effeker, som var ilsede i middelværdisrukuren. Desuden ses de, a alle de inkluderede variable i modellen er signifikane. De skal holdes in mene, a variablene er inkludere primær af eoreiske årsager. Dermed vil ARCH-GARCH modellen ikke blive yderligere udbygge. De skal dog bemærkes, a andre GARCH udvidelser er ese, så som en TGARCH. De er imidlerid funde, a en GARCH(1,1) er den bedse GARCH variaion il a beskrive spoprisen. 45

46 ARCH-GARCH MODEL Følgende figur viser de fiede værdier overfor de fakiske værdier. Figur 16 - Fied vs. fakiske værdier for GARCH(1,1) Spopris Fied De ses ud fra ovensående figur, a de fakiske og fiede værdier semmer relaiv god overens med hinanden speciel i perioder med lav volailie. I de perioder hvor volailieen er høj ses de a modellen i e vis omfang underesimerer sørrelsen af spikesene både i posiiv og i negaiv rening. Nedensående model viser yderligere, a modellen underesimerer spiksene. 46

47 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Figur 17 - Residualer for GARCH(1,1) 7.5 r:spopris (scaled) De ses ud fra figuren, a residualerne er relaiv sore i de ilfælde, hvor spoprisen spiker. Hvilke bekræfer min påsand om, a residualerne underesimeres af modellen. Figur 18 - Beinge varians GARCH(1,1) 30 CondSD

48 ARCH-GARCH MODEL Figur 18, viser den beingede varians for modellen. Denne beingede varians semmer overens med figur 16. Da den beingede varians er høj i de perioder, hvor spoprisen har høj volailie. Figur 19 - Scaerplo a residualer vs. fied værdier 50 Residual Garch Fied Garch Ovensående figur viser e scaerplo af, residualerne og de fiede værdier. De ses a mønsere i inervalle 30 il 60 ser ilfældig ud. De ses imidlerid også, a sore fied værdier i nogle ilfælde giver sore residualer. Dee ses ved, a punkerne bliver mere spred når, x værdierne bliver høje. Dermed underbygger ovensående figur også min påsand om a GARCH modellen underesimerer spikes. Den endelige GARCH model er give ved følgende ligning. (9) y y ( ) dummy ( ) dummy Temp hvor hvor ε Y σ 2 1 Sverige irs fre ~ N(0, σ ) 2 1 0, ,30173ε y ( dummy ons ( ) dummy ( 0,099028) hydro ε 0,69827σ ) ( ) dummy lør ( ) dummy 2 1 ors søn 10.1 Simulering af GARCH model Når GARCH modellen senere i opgaven skal sammenlignes med jump-diffusion modellen, er de nødvendig a simulere modellen. Således forcases der ikke kun en enkel mulig udvikling for GARCH modellen. Dee medfører, a de er mulig a prisfassæe opioner via Mone Carlo simulaion. Simuleringen foregår i MATLAB, når GARCH modellen simuleres ages der udgangspunk i en sarværdi, hvorfra mulige sier simuleres. Simulaionen foregår ud fra (9). 48

49 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER For a kunne simulere GARCH modellen er de nødvendig a have sarværdier. De ses ud fra (9), a de er nødvendig med syv lags af spoprisen, sam e esima for de lagge residual og beinge varians. Derfor er den førse dag der simuleres den 8/ , da de syv foregående værdier af sporprisen er nødvendige. De er samidig nødvendig a kende e lag af residuale sam e lag af den beingede varians. Dee findes, ved a udføre en regression over (8), og esimere residuale sam den beingede varians for den 7/ Esimae for residuale er og esimae for den beingede varians er Nedensående figur viser i ud af mange mulige udviklinger for GARCH modellen. Figur 20 - Simulere GARCH model Pris [EUR/MWh] / / / / / Tid [kvaral] De ses ud fra ovensående figur, a modellen kan age mange mulige sier, hvor spoprisen er posiiv såvel som negaiv. De ses ligeledes, a modellen simulerer høj volailie i saren af førse og fjerde kvaral 2010, hvilke også har være ilfælde. De er imidlerid vivlsom, hvorvid modellen kan simulere, de spikes der eksempelvis observeres i den fakiske spopris i førse kvaral

50 JUMP-DIFFUSION MODEL

51 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Jump-diffusion model Den anden mulighed for a modellere spoprisen er ved hjælp af en jump-diffusion model. I følgende afsni vil jeg søge a ilpasse en jump-diffusion model il residualerne. Grunden il, a jeg har valg a modellere residualerne, er, a GARCH modellen underesimerede spikes. Dermed giver jeg mulighed for, a modellere spikesene i fejllede. Spikesene er bland ande vigige a få modellere, såfrem modellen skal anvendes il a prisfassæe derivaer. Dee skyldes, a spikes al ande lige medfører en højere volailie, hvilke medfører en højere værdi af derivae. Dermed vil en model, der underesimerer spikes også underesimere værdien af derivaer. Som idligere nævn kan jump-diffusion modeller age højde for spikes, på grund af modellen inkluderer e så kald jump-led. GARCH modellens udfordring var neop a modellen underesimerede spikes. Derfor udbygges ovensående GARCH model, il a indeholde spikes således modellen specificeres via nedensående ligning. (10) ~ y y ( ) dummy ( ) dummy Temp hvor hvor y hvor ~ ~ ε Y σ 2 1 y Z n 2 ~ N(0, σ ) 2 0, ,30173ε ε 2 ε ~ N(0, σ ) Sverige irs fre ~ y ( dummy ( ) dummy ( 0,099028) hydro ε hvor Z 1 2 0,69827σ S S ~ N( µ, σ ) ) ( ) dummy ( ) dummy ~ POI ( λ ) Ovensående model, er som før nævn en videreudvikling, af GARCH modellen fra afsni 10. Dermed udbygges GARCH modellen med jumps. Således modellen giver mulighed for a ligge jumps ind i processen, for dermed a age højde for de observerede spikes. De ses, a modellen er en ren addiiv proces, hvor GARCH modellen indgår som underliggende srukur. Når denne srukur er besem adderes spikekomponenen og de ilfældige fejlled. Denne model sikrer dermed, a spikesene ikke har en blivende effek på spoprisen. Dermed ager modellen højde for de pludselige spikes, som ypisk kun opsår en dag, hvor en besem produkionsmeode oplever udfald. Dermed har jeg valg a modellere spoprisen via en anden ype jump-diffusion model end en mean-revering jump-diffusion model. De førse skrid i a esimere en jump-diffusion model er a esimere jump-inensieen. Dee kan gøres på flere måder. Den ene meode er, a anvende maximum likelihood esimaer ud fra hisoriske daa. Der har imidlerid idligere være problemer med denne meode i form af esimaer med forker foregn (Carea 2005). Derfor vil jeg anvende en anden meode, hvor spikesene udskilles fra residualerne, hvorefer jump-inensieen sam andre paramere kan esimeres Besemmelse af spikes Med de formål a besemme spikesene for residualerne esimeres GARCH modellen lige som i afsni 10. Dermed esimeres sørsedelen af paramerene for modellen ligeledes. Residualerne for denne model gemmes og bearbejdes yderligere. Esimaerne for GARCH modellen ses eksempelvis i (10) eller i abel 6 ~ 1 7 ons ~ 1 lør 1 n 1 ors søn 51

52 JUMP-DIFFUSION MODEL Nedensående figur viser residualerne for ovensående regression. Figur 21 - Residualer jump-model Pris [EUR/MWh] / / / / / Tid [kvaral] De ses ydelig ud fra ovensående figur, a residualerne spiker. Dee ses eksempelvis i førse kvaral Udskillelsen af spikes fra residualerne sker ved hjælp af en ieraiv proces. Førs esimeres middelværdien og variansen af residualerne, hvor middelværdien er og sandardafvigelsen er Dernæs fjernes alle de værdier, der er mere end re sandardafvigelser fra middelværdien. Herefer esimeres en ny middelværdi og varians, hvorefer observaioner igen fjernes. Dee gøres indil der ikke er flere observaioner, som ligger mere end re sandardafvigelser væk fra middelværdien. Dermed opsår der en serie med spikes og en serie uden spikes. De skal imidlerid gøres opmærksom på, a denne meode er subjekiv. Dee skyldes, a spikes defineres som værende værdier, der er mere end re sandardafvigelser væk fra middelværdien. Dee er ikke nødvendigvis den korreke definiion af spikes, men de er den definiion, jeg vælger a anvende. Såfrem denne ieraive proces og ovensående definiion af spikes anvendes, findes der 35 spikes i al. De bemærkes, a disse spikes både er i posiiv og negaiv rening. De skal ligeledes bemærkes a der er 17 posiive spikes, sam 18 negaive spikes, hvilke næsen er ligelig fordel. De skal desuden også bemærkes, a spikesene generel ligger i klumper. Dermed er der mange spikes eksempelvis i januar og maj Som de ses ved nedensående figur vil residualerne uden spikes have følgende udsende. 52

53 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Figur 22 - Residualer uden spikes Pris [EUR/MWh] / / / / / Tid [kvaral] De ses ud fra ovensående figur, a residualerne, nu i højere grad udviser e ilfældig mønser uden nogen ydelige spikes. Nedensående figur viser e hisogram for residualerne. Figur 23 - Hisogram over residualer uden spikes Densiy Residual N(s=2.81) De ses ud fra ovensående figur, a residualerne uden spikes sadig ikke er hel normalfordele. Såfrem der udføres en normalieses er p-værdien 0,002 for en χ 2 es med o frihedsgrader. Dee beyder, a hypoesen om normalie afvises på 5 % signifikansniveau. Jeg illader mig imidlerid a anage a residualerne uden spikes er normalfordele i modelleringen. 53

54 JUMP-DIFFUSION MODEL Da der er 35 spikes ud af e daasæ på 421 observaioner, vil frekvensen af spikesene være Frekvensen af spikesene er esimae for λ, der indgår i (10) som parameeren i poissonfordelingen. Middelværiden af spikesene er med en sandardafvigelse på Middelværiden og sandardafvigelsen i anden er de paramere, der indgår i (10), der er besemmende for, hvordan Z er fordel Simulering af jump-diffusion model For a kunne simulere jump-diffusion modellen er de nødvendig a have sarværdier. De ses ud fra (9), a de er nødvendig med syv lags af spoprisen, sam e esima for de lagge residual og beinge varians. Derfor kan er den førse dag der simuleres den 8/ , da de syv foregående værdier af sporprisen er nødvendige. De er samidig nødvendig a kende e lag af residuale sam e lag af den beingede varians. Dee findes, ved a udføre en regression over (8), og esimere residuale sam den beingede varians for den 7/ Esimae for residuale er og esimae for den beingede varians er Nedensående figur viser i ud af mange mulige udviklinger for GARCH modellen. Figur 24 - Simulere Jump-diffusion model Pris [EUR/MWh] / / / / / Tid [kvaral] Som de ses ud fra ovensående figur udviser simuleringen af spoprisen spikes. Disse spikes ses både i posiiv og negaiv rening. Desuden ses de, a volailieen af spoprisen varierer over id. Eksempelvis ses de a volailieen ilsyneladende er høj førse kvaral 2010 og markan lavere i redje kvaral De ser imidlerid ud il a jump-diffusion modellen giver mulighed for sørre forskellighed i sierne, da spikesene spreder de i sier fra hinanden i højere grad en den originale GARCH model. Ovensående beragninger er imidlerid ikke fyldesgørende il a afgøre, hvorvid jump-diffusion modellen er bedre il a modellere spoprisen end GARCH modellen. Hvilken af de o specificerede modeller, der beds beskriver spoprisen, afgøres i næskommende afsni. 54

55 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER

56 SAMMENLIGNING AF MODELLER

57 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Sammenligning af modellerne Følgende afsni har de formål a afgøre, om GARCH modellen eller jump-diffusion modellen modellerer spoprisen beds. For a sammenligne modellerne vil jeg simulere modellen ou of sample. Dee skyldes, a en sammenligning in sample kan være for opimisisk, da koefficienerne i modellen er esimere ud fra de daa, der simuleres. Dermed vil jeg simulere februar Dee giver mig ligeledes den fordel, a spoprisen for februar 2011 allerede er realisere, hvilke giver mig muligheden for a sammenligne de fakiske værdier for spoprisen mod se simulerede værdier. Ud over a simulere spoprisen ou of sample, vil jeg også simulere spoprisen in sample i en af sommermånederne, da viner månederne ypisk er mere volaile og derfor sværere a modellere. Den måned der vælges er juni Ud fra de simulerede værdier for februar 2011 vil jeg førs sammenligne modellernes generelle karakerisika med den fakiske spopris. Derefer vil jeg anvende modellerne il a prisfassæe en opion både for juni 2010 og februar Prisfassæelse af finansielle derivaer er de øjemed, modellen oprindelig er udvikle il, dermed vil de være nærliggende a ese, hvilken model der prisfassæer opioner beds. En anden fordel ved a prisfassæe opioner ud fra modellerne er, a denne meode ager højde for, a simuleringen af spoprisen via modellerne har mange forskellige udfald. Disse forskellige udfald udnyes når opionerne prisfassæes via Mone Carlo simulaion. Ud fra disse ovensående sammenligninger vil de være mulig a afgøre, hvilken af de o modeller der er den bedse Simulering af februar 2011 For a simulere februar 2011 skal der avendes daa for emperauren i Sverige sam hydrobalancen. Daa for emperauren i Sverige er anskaffe via Nordjysk Elhandels meeorolog Chrisian Tykskov. Daa for hydrobalancen er fremskaffe via nena.no, disse daa er ikke ilgængelige for offenligheden, men fremskaffe via Nordjysk Elhandel. Daa for spoprisen for februar 2011 er rukke fra Energine.dk, hvor daa er offenlig ilgængelig. Nedensående figur viser den fakiske udvikling for spoprisen i februar Figur 25 - Fakisk spopris februar Pris [EUR/MWh] / / / / / / Tid [5 dage] 57

58 SAMMENLIGNING AF MODELLERNE I afsni 10 blev GARCH modellen esimere, ved den esimaion er residuale den 31/ og den beingede varians er Disse værdier skal anvendes for a kunne esimere GARCH modellen den 1/ Nedensående figur viser i mulige sier spoprisen kunne age via simulaion af GARCH modellen. Figur 26 - Simulere spopris via GARCH model Pris [EUR/MWh] / / / / / / Tid [5 dage] De ses a ovensående figur ikke hel semmer overens med figur 25. De skal holdes in mene, a ovensående ligeledes kun er i af de mulige udviklinger af spoprisen, som GARCH modellen kan simulere. Dermed er karakerisikaene for modellen mere ineressane a sammenligne med den fakiske udvikling. Disse karakerisika vil blive sammenligne, når jump-diffusion modellen er simulere. For a vurdere, hvorvid ARCH GARCH modellen kan simulere en si, der er i overenssemmelse med den fakiske si udarbejdes nedensående figur. Nedensående figur viser e 95 % konfidensinerval, hvor der er vis den øverse si og den nederse si i konfidensinervalle. Figur % konfidensinerval for GARCH simulering 150 Max si Min si Faksik si Pris [EUR/MWh] / / / / / / Tid [5 dage] 58

59 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER De ses ud fra ovensående figur, a den fakiske si ligger inden for 95 % konfidensinervalle, hvilke beyder, a GARCH modellen er i sand il a simulere en si, der ligger i niveau med den fakiske si. De skal imidlerid bemærkes, a den fakiske si, ligger lang oppe imod den øverse grænse, hvilke bekræfer, a GARCH modellen underesimerer spoprisen i februar Nedensående figur viser i mulige sier spoprisen kunne age via simulaion af jump-diffusion modellen. Figur 28 - Simulere spopris via jump-diffusion model Pris [EUR/MWh] / / / / / / Tid [5 dage] De ses ligeledes, a ovensående figur eller ikke semmer overens med figur 25. De skal igen holdes in mene, a udviklingen kun er i af mange mulige via jump-diffusion modellen. Dermed er de mere ineressan a undersøge karakerisika for de o simuleringer i forhold il den fakiske spopris. Figur % konfidensinerval for GARCH simulering Max si Min si Fakisk si 60 Pris [EUR/MWh] / / / / / / Tid [5 dage] 59

60 SAMMENLIGNING AF MODELLERNE De ses ud fra ovensående figur, a den fakiske si ligger inden for 95 % konfidensinervalle, hvilke beyder, a jump-diffusion modellen er i sand il a simulere en si, der ligger i niveau med den fakiske si. De skal imidlerid bemærkes, a den fakiske si, ligger lang oppe imod den øverse grænse, hvilke bekræfer, a jump-diffusion modellen underesimerer spoprisen i februar Da både GARCH og jump-diffusion modellen kan simulere sier, der ligger i niveau med den fakiske si, er denne sammenligning ikke fyldesgørende il a konkludere, hvilken af modellerne, der er beds. Den næse sammenligning er en sammenligning af fordelingen af de re serier. Nedensående figur er e QQ plo af den fakiske spopris. Figur 30 - QQ plo for den fakiske spopris 72 QQ Plo of Sample Daa versus Sandard Normal Quaniles of Inpu Sample Sandard Normal Quaniles 60

61 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER De ses, a den fakiske spopris ikke er normalfordel, de ses ilmed, a den fakiske spopris har ykkere haler end formalfordelingen, hvilke også semmer overens med idligere undersøgelser af spoprisen. Nedensående figur illusrerer QQ ploe for simuleringen af GARCH modellen. Figur 31 - QQ plo for spopris simulere via GARCH model 80 QQ Plo of Sample Daa versus Sandard Normal Quaniles of Inpu Sample Sandard Normal Quaniles 61

62 SAMMENLIGNING AF MODELLERNE De ses, a QQ ploe for GARCH modellen ser næsen normalfordel ud, der er en smule ykke haler, men ikke i samme grad som den fakiske spopris. Den næse figur illusrerer QQ ploe for jump-diffusion modellen. Figur 32 - QQ plo for spopris simulere via Jump-diffusion model 120 QQ Plo of Sample Daa versus Sandard Normal Quaniles of Inpu Sample Sandard Normal Quaniles Ovensående figur viser ligeledes ykke haler som den fakiske spopris. De ses imidlerid, a spoprisen i nogle ilfælde bliver højere end den fakiske spopris for februar Derfor er de mulig a jump-diffusion modellen udviser for sore spikes i posiiv rening. De er imidlerid svær a konkludere ud fra disse figurer, da QQ plosene for GARCH og jump-diffusion modellen vil være anderledes såfrem modellerne simuleres igen. De sidse sammenligninger jeg vil gøre for ovensående simulaioner ses i nedensående abel. Tabel 7 - Deskripiv saisik for februar 2011 GARCH Jump Fakisk Middelværdi Sandardafvigelse Skævhed Eksra kurosis Ovensående abel viser deskripiv saisik for de o modeller sam den fakiske udvikling. De ses a begge modeller underesimerer middelværdien. De ses ligeledes a jump-diffusion modellen har en højere sandardafvigelse end den fakiske spopris udviser sam GARCH modellen. De ses ligeledes a jump-diffusion modellen har lang højere skævhed sam kurosis end den 62

63 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER fakiske spopris og spoprisen simulere via GARCH modellen. Ovensående deskripiv saisik viser umiddelbar a GARCH modellens karakerisika ligger æere på den fakiske spopris karakerisika. GARCH modellen underesimerer imidlerid ligeledes middelværdien sam overesimerer variansen. De er imidlerid svær a konkludere noge ud fra ovensående analyse, da de simulerede værdier for de o modeller kun er i ud af mange mulige udviklinger. Derfor er der yderligere e behov for a undersøge, hvilken model, der er beds. Dee vil jeg søge a gøre via prisfassæelse af opioner Teoreisk redegørelse for opioner Før jeg anvender modellerne il a prisfassæe opionerne, vil jeg gennemgå de eoreiske grundlag for opioner. En opion er en re men ikke en plig il a købe eller sælge e sk. underliggende akiv il en given pris kalde en srike, K. Når køberen af opionen har reen il a købe e sk. af underliggende akiv kaldes opionen en call opion. Når køberen har reen il a sælge e sk. af underliggende akiv kaldes opionen en pu opion. Begge disse opioner kaldes plain vanila opioner, hvilke bland ande skyldes, a de kan prisfassæes via en simpel Black Scholes formel. Jeg vil imidlerid ikke gennemgå prisfassæelsen af opioner via Black Scholes, da denne meode ikke er relevan for de opioner jeg ønsker a prisfassæe. Følgende figur illusrerer payoffe for en call opion med srike K og prisen på de underlligende akiv ST. Figur 33 - Payoff diagram for en call opion lang, - max(0, S - K) T K S T Kor, - max(0, S - K) T Kilde: Grinbla 2004, side De ses, a såfrem en akør er lang i en call opion, er payoffe minds lig med nul. Dermed kan køberen maksimal abe den præmie, der er beal for opionen. Der er imidlerid ubegrænse opside på opionen. 63

64 SAMMENLIGNING AF MODELLERNE Nedensående figur illusrerer payoffe for en pu opion med srike K og prisen på de underlligende akiv ST. Figur 34 - Payoff diagram for en pu opion lang, - max(0, S - K) T K S T Kor, - max(0, S - K) T Kilde: Grinbla 2004, side De ses ud fra ovensående figur, a køberen af pu opionen ligeledes kun kan abe præmien, der er beal for opionen. De skal imidlerid bemærkes, a der er begrænse opside på en pu opion. Dee skyldes, a prisen på de underliggende akiv ikke kan blive mindre end nul. Allerede i denne siuaion er opioner på srøm anderledes. Dee skyldes, a prisen på srøm god kan blive negaiv. Dermed begrænses opsiden på pu opionen ikke som vis i ovensående figur. Pu opionen begrænses af en nedre grænse der hedder minus 200 EUR. Da dee er den fassae nedre grænse på srøm. Ovensående opioner findes både som europæiske opioner og amerikanske opioner. Forskellen på europæiske og amerikanske opioner er exercise idspunke. Europæiske opioner kan kun exercises på udløbsidspunke, mens amerikanske opioner kan exercises på e vilkårlig idspunk i opionens løbeid. Såfrem de underliggende akiv er en akie, og der ikke udbeales dividender på akien så er værdien af en amerikansk call og en europæisk call den samme. Dee er imidlerid ikke gældende for pu opioner. Der findes også opioner, som kaldes eksoiske opioner. Disse opioner har andre karakerisika end plain vanilla opioner. På srøm handles ofe asiaiske opioner, som er en af de mange eksoiske opioner. For en asiaisk opion er de gennemsnie af prisen på de underliggende akiv, som holdes op mod sriken. Denne gennemsnisberagning er neop årsagen il, a asiaiske opioner ofe bliver handle i forbindelse med elekricie. Søesysemerne il eksempelvis decenrale krafvarmeværker er opbygge omkring gennemsnisprisen på elekricie over en given periode. Dermed kan asiaiske opioner give en god mulighed for a hedge disse søesysemer. Asiaiske opioner ses i o grundlæggende udgaver en average price og en average srike. En average price call har følgende payoff Max( 0, S, og en average srike har følgende ave K) payoff Max( 0, S K ave ), hvor srike prisen bliver gennemsnie af prisen på de underliggende akiv i den valge periode. Teoreisk skelnes der ligeledes mellem koninuere og diskree asiaiske opioner. I praksis er asiaiske opioner udelukkende diskree. Dee skyldes, a de underliggende akiv skal observeres e vis anal gange, for a kunne udregne gennemsnisprisen af de underlig- 64

65 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER gende akiv. Hvor ofe de underliggende akiv observeres afales mellem køber og sælger inden der handles med opionen. De fakum, a gennemsnisprisen indgår i udregningen af opionens værdi, medfører a opionen bliver særk siafhængig. Dermed kan asiaiske opioner ikke prisfassæes på samme meode som plain vanilla opioner. Asiaiske opioner prisfassæes derimod ypisk via Mone Carlo simulaion. Ved denne meode simuleres sien for de underliggende akiv k gange, hvorefer opionens værdi udregnes for hver si. Derefer findes gennemsnie af de k værdier, hvilke ilbagediskoneres. Denne meode illusreres ved nedensående formel. (11) k Max 0, S ave K i 1 værdi af asiaisk opion k nuidsværdi af asiaisk opion værdi af asiaisk opion * (1 r) De skal bemærkes, a en asiaisk opion er mindre følsom overfor udsving i de underliggende akiv, da variansen på gennemsnisprisen er lavere end variansen på prisserien selv. Da asiaiske opioner ofe handles i forbindelse med elekricie vil jeg prisfassæe asiaiske opioner med de formål a sammenligne GARCH og jump-diffusion modellerne Prisfassæelse af asiaisk opion I følgende afsni vil jeg førs prisfassæe asiaisk average price call opion der løber fra den 1/ il og med den 28/ Næs prisfassæes den samme opion for perioden 1/ il og med den 30/ For a kunne prisfassæe opionen skal der anvendes en rene, hvilke ses i (11). Da opionerne løber over en måned anvendes en måneds CIBOR renen fra henholdsvis den 31/ og den 31/ Renen fra den 31/1 er på og for den 30/5 jævnfør Danmarks Naionalbanks saisikbank. Når opionen prisfassæes via Mone Carlo simulaion vælges e k på Sriken på opionen fassæes il 30 EUR/MWh. Førs prisfassæes opionen via GARCH modellen. Prisfassæelsen beregnes i MATLAB, hvor koden, der er anvend il a prisfassæe opionen, kan ses i bilagene. Prisen på en average price asiaisk opion, der løber fra den 1. il den 28. februar, hvor de underliggende akiv er modellere via en GARCH model, er EUR. Næs prisfassæes opionen via jump-diffusion modellen. Prisfassæelses beregnes ligeledes i MATLAB, hvor koden, der er anvend il prisfassæelse, kan ses i bilagene. Prisen på en average price asiaisk opion, der løber fra den 1. il den 28. februar, hvor de underliggende akiv er modellere via en jump-diffusion model, er EUR. De ses, a der er sor forskel på prisen på opionen, a efer hvilken af de o modeller de underliggende akiv følger. Forskellen på værdien mener jeg, skyldes spikesene i jump-diffusion modellen. Spikesene medfører en højere volailie, hvilke også kunne ses ved simulaionen i foregående afsni. De er imidlerid ikke klar, hvilken af de o modeller, der kommer æes på den pris opionen fakisk ville kose, såfrem den præcise spopris for februar var kend. De er imidlerid mulig a besemme, hvad opionens virkelige værdi er. Dee skyldes, a februar er realisere. Dermed prisfassæes opionen med de fakiske spopriser for februar Denne prisfassæelse kan ses på daa cden. Den fakiske værdi for en average price call for 1. il 28. februar 2011 er EUR. 65

66 SAMMENLIGNING AF MODELLERNE De ses ydelig, a GARCH modellen er lang fra en korrek prisfassæelse af den asiaiske opion. Jump-diffusion modellen prisfassæer den asiaiske opion æere på den fakiske pris. Da der anvendes Mone Carlo simulaion il prisfassæelse af opionen, giver denne meode mulighed for a observere mere end én mulig si for modellerne. Dermed giver denne meode e bedre overblik over modellernes performance. De ses som før nævn, a begge modeller underesimerer værdien af den asiaiske opion. Dee kan skyldes, a februar 2011, i høj grad var påvirke af lave emperaurer. Dee bør modellen imidlerid age højde for. Temperaurerne var dog så lave, a elvene i Sverige dannede ispropper. Dee medføre, a en del af hydrokrafen blev ude af sand il a producere elekricie. Dannelsen af ispropper er hverken synlig i emperaur daa eller hydrobalancen. Dermed er der en fakor modellen ikke nødvendigvis kan fange, som medfører e højere niveau af spoprisen, og dermed en højere værdi af den asiaiske opion. For a se, hvordan modellerne performer, når eksremer i emperauren ikke kan danne ispropper beregnes værdien af den samme opion, for juni Dermed har opionen en srike på 30 EUR, og der vælges e k på Residuale for den 31/5 er , og den beingede varians er Førs prisfassæes opionen via GARCH modellen. De skal gøres opmærksom på, a parameerne i GARCH modellen ikke reesimeres, da de formodes, a udagelse af en måneds daa ikke vil have en sor effek på parameeresimaerne. Opionen prisfassæes il EUR/MWh. Dernæs prisfassæes opionen via jump-diffusion modellen. Ved denne model prisfassæes opionen il EUR/MWh. De bemærkes, a der ikke er sor forskel på prisfassæelsen af opionen mellem de o modeller. Såfrem, opionen evalueres via de fakiske daa, er opionen EUR/MWh værd. De ses a modellen denne gang overesimerer værdien af opionen. Modellerne er imidlerid ikke lige så lang fra den sande værdi af opionen som i februar For a kunne afgøre, hvorvid modellerne er ilfredssillende ses førs på den empiriske fordeling af de fakiske værdier for opionen igennem hele idsserien. På daa cd en er disse værdier udregne. Nedensående figur viser en udjævne empirisk æhedsfunkion for værdien af en asiaisk opion med srike 30, der løber en måned. 66

67 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Figur 35 - Empirisk æhedsfunkion Pris [EUR/MWh] De ses a i ovensående figur, a værdien kan blive negaiv, dee er ikke i praksis mulig, men skyldes, a ovensående æhedsfunkion er udglae. De ses imidlerid også ud fra ovensående figur, a sørse æhed er imellem 10 og 30 EUR/MWh. Simuleringerne viser også en værdi for opionerne der ligger indenfor den sørse æhed. De ses imidlerid også, a opionsværdierne kan nå hel op på 60 EUR/MWh, hvilke viser, a der er sor variaion i prisen på opionen over de forskellige måneder. Dermed er der også sor usikkerhed omkring opionsværdien, og dermed kan de være svær a simulere opionsværdien hel præcis i forhold il den fakiske værdi. Næs udarbejdes e 95 % konfidensinerval for simuleringerne. De simuleringer soreres således, a de går fra de mindse værdier il de sørse. Derefer fjernes de 250 sørse og mindse værdier. På denne måde findes grænserne for e 95 % konfidensinerval. For GARCH modellen i februar 2011 er den nedre grænse er 0 EUR/MWh, hvilke også var forvene, da opionens værdi ikke kan blive mindre end 0. Den øvre grænse for konfidensinervalle er EUR/ MWh. Dermed falder opionensværdi på EUR/MWh indenfor konfidensinervalle. For jump-diffusion er den nedregrænse 0 EUR/MWh, mens den øvre grænse er EUR/MWh. Dermed falder den fakiske opionsværdi på EUR/MWh også indenfor e 95 % konfidensinerval for jump-diffusion modellen. Den samme analyse forages for juni 2010 simuleringerne. For GARCH modellen er den nedre grænse 0 EUR/MWh, mens den øvre grænse er EUR/MWh. For jump-diffusion modellen er den nedre grænse 0, mens den øvre grænse er EUR/MWh. De ses, a begge modeller producerer e konfidensinerval, hvor den fakiske værdi af opionen på EUR/MWh ligger indenfor. De bemærkes imidlerid a GARH modellen i begge ilfælde producerer smallere konfideninervaller. 67

68 SAMMENLIGNING AF MODELLERNE Der er imidlerid muligheder for udvidelser, såfrem modellerne skulle juseres. Ovensående modeller bør udvides med mere fundamenal daa. Såfrem de var mulig a få esimaer for den forvenede produkionskapacie, ville de måske være mulig a modellere de idspunker, hvor spoprisen spiker på grund af pludselig kapaciesknaphed. Ovensående jump-diffusion model kan også formuleres som en simpel mean-reversion model, hvor forwardprisen anvendes som mean-reversion level. Dermed kunne de være ineressan a afgøre, hvorvid ovensående jump-diffusion model basere på nogle fundamenaler performer bedre end en model, som anvender forwardprisen. Jump-diffusion modellen kunne ligeledes sammenlignes med en regime-swich model, hvor spikesene ikke har en permanen indflydelse på spoprisen. Disse mulige udvidelser overlades il senere forskning. Når en ilfredssillende model er udarbejde bør modellen desuden løbende reesimeres, såfrem den skal anvendes il kommerciel prisfassæelse af opioner. Dee skyldes, a daa for spoprisen kan opleve srukurelle brud, hvilke medfører, a koefficien esimaerne i modellen ikke længere er gældende. E sådan srukurel brud kunne eksempelvis ænkes a finde sed efer jordskælve i Japan den 11 mars Dee jordskælv har haf konsekvenser for aomkrafværker over hele verden. Eksempelvis har Tyskland valg a lukke deres aomkrafværker indil nærmere undersøgelser omkring sikkerheden er gennemfør. Dee medfører højere priser på elekricie i Tyskland såvel som Norden. Grunden il, a Norden bliver berør af dee, er, a Norden eksporerer srøm il Tyskland, og dermed vil priserne il en vis grad konvergere mod hinanden. Ovensående resulaer medfører, a de er svær a konkludere hvilken af jump-diffusion modellen eller GARCH modellen, der er den bedse. De ses a jump-diffusion modellen esimerer opionsværdien æere på den fakiske værdi både i juni 2010 og februar GARCH modellen producerer imidlerid smallere konfidensinervaller, hvor den fakiske værdi af opionen er indehold i konfidensinervalle. De er imidlerid efer min mening vigigere a den simulerede værdi er æere på den fakiske værdi i forhold il bredden af konfidensinervallerne. Derfor konkluderes de, a jump-diffusion modellen, er den bedse af de o ovensående spoprismodeller. 68

69 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER

70 KONKLUSION

71 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Konklusion I ovensående opgave har jeg søg a undersøge, hvilken model der er beds il a modellere den nordiske spopris på elekricie. Som følge af, a elekricie i høj grad handles på regionale markeder, har jeg valg a fokusere på de nordiske marked. De nordiske marked omfaer Findland, Norge, Sverige og Danmark. De nordiske marked karakerisere af en høj mængde vedvarende energi. Speciel energi producere via hydrologisk eknologi er nominerende i de nordiske marked. De kan argumeneres for, a denne hydrokraf har den effek, a spoprisen i normalsiuaioner har færre spikes end spoprisen i andre lande, hvor hydrokraf ikke er fremrædende. Dee skyldes, a hydrokraf indireke kan lagre energi i vandmagasinerne. De er funde i idligere forskning, a spoprisen på elekricie udviser ykke haler sam volailiesklumpning. De er ligeledes funde, a spoprisen udviser så kalde spikes. Disse spikes sam de andre førnævne karakerisika medfører, a spoprisen ikke kan modelleres via simple saisiske meoder. Denne påsand bekræfes i ovensående opgave. De ses, a en modellering via simpel lineær regression ikke producerer residualer, der over holder de givne anagelser for esimering via simpel lineær regression. Residualerne indeholder eksempelvis ARCH effeker, hvilke beyder, a regressionen ikke producerer homoskedasiske fejlled. Derfor er de nødvendig a undersøge andre meoder il a modellere spoprisen. De modeller der undersøges er ARCH-GARCH modeller sam jump-diffusion. modeller ARCH- GARCH modellerne bør kunne age højde for volailiesklumpningen, mens jump-diffusion modellerne kan age højde for spikes. I opgaven specificeres en GARHC(1,1) model. Denne model kan age højde for de ARCH effeker som kunne observeres ved simpel lineær regression. Modellen underesimerer imidlerid spikes, hvilke giver moivaion il a undersøge jump-diffusion modeller. Jump-diffusion modellen specificeres således, a modellen medager fundamenale informaioner så som hydrobalance sam emperaur daa. Disse fundamenale informaioner var ligeledes inkludere i GARCH modellen. Udover de fundamenale informaioner specificeres en spike komponen, som følger en Poisson fordeling. Denne model overesimerer umiddelbar volailieen af spoprisen. For a kunne afgøre, hvilken af de o ovensående modeller, som modellerer spoprisen i mes ilfredssillende grad, prisfassæes o asiaiske opioner. Den førse opion løber fra 1/ il og med den 28/ og den anden opion løber fra den 1/ il og med den 30/ Opionerne specificeres som en average price call. Prisfassæelsen af opionerne via de o modeller sammenlignes derefer med den fakiske værdi af opionerne. Den fakiske værdi af opionen er mulig a afgøre, da daa for spoprisen i juni 2010 og februar 2011 er ilgængelig. Ud fra prisfassæelsen af opionen er jump-diffusion modellen den bedse model il a beskrive spoprisen. GARCH modellen underesimerer i høj grad værdien af opionen. Jump-diffusion modellen underesimerer også værdien af opionen, men ikke i så høj grad som er ilfælde for GARCH modellen. De konkluderes a den afvigelse, der ses fra den fakiske opionsværdi il den simulerede opionsværdi både via GARH og Jump-diffusion modellen skyldes normal variaion, da den fakiske værdi for opionen falder indenfor e 95 % konfidensinerval for de simulerede opionsværdier. 71

72 LITTERATURLISTE

73 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Lieraurlise 14.1 Arikler Blanco, Carlos e al., 2001, Mean Revering Processes Energy Price Processes Used for Derivaives Pricing and Risk Managemen, Commodiies Now, juni Bunn, Derek W. e al., 2010, Fundamenal and Behavioural Drivers of Elecriciy Price Volailiy, Sudies in Nonlinear Dynamics and Economerics, Volume 14, Issue 4, Aricle 4. Carea, Alvaró e al., 2005, Pricing Elecriciy Markes: a mean revering jump diffusion model wih seasonaliy, Applied Mahemaical Finance, Volume 12, Issue 4. Hamilon, James D, 2005, Regime-Swiching Models, Working paper, Universiy of California, San Diego, Deparmen of Economics. Jong, Cyriel De, 2006, The Naure of Power Spikes: A Regime-Swich Approach, Sudies in Nonlinear Dynamics and Economerics, Volume 10, Issue 3, Aricle 3. Tankov, Peer e al, 2009, Jump-Diffusion models: A praciioner s guide, Banque e Marchés, March-April, Bøger Grinbla, Mark e al., 2004, Financial Markes and Corporae Sraegy, 2. udgave, McGraw- Hill Heij, Chrisiaan e. al, 2004, Economeric Mehods wih Applicaions in Business and Economics, Oxford Universiy Press, 1. udgave Hull, John C., 2006, Opions, Fuures and Oher Derivaives, 6. udgave, Pearson Prenice Hall Wooldridge, Jeffrey M., 2000, Inroducory Economerics A modern approach, Souh-Wesern Collage Publishing Publikaioner Nordpool 2009, Reminder: Implamenaion of negaive price floor in Elspo, Exchange informaion, No. 99/2009. Nordreg 2010, Nordic Marke Repor 2010 Developmen in he Nordic Elecriciy Marke, Repor 6/

74 BILAG 15 Bilag 1 Simulering af GARCH model %Mone Carlo Simulering med k simuleringer k=1000; % Condvar(1)= ; % Residual(1)= ; % Condvar(1)= ; % Residual(1)= ; Condvar(1)= ; Residual(1)= ; Spo2=[]; Srike=35; % =(28/365)*-1; =(30/365)*-1; % r= ; r= ; for m=1:k; spo=[ ; ; ; ; ; ; ]; for i=1:lengh(hydro); condvar= *(residual(i)*residual(i)) *condvar(i); Condvar=[Condvar;condvar]; residual=normrnd(0,sqr(condvar)); Residual=[Residual;residual]; Spo= *spo(i+6) *spo(i)+( )*DummyTirs(i)+( )*DummyOns(i)+( )*DummyTors(i)+( )*DummyFre(i)+( )*DummyLor(i)+( )*DummySon(i) *TempSve(i)+( )*Hydro(i)+residual; spo(i+7)=spo; end Spo2=[Spo2 spo]; spo=[]; end %Beregning af middelværdi Spo2(1:7,:)=[]; for n=1:k S_avg(n)=mean(Spo2(:,n)); value(n)=s_avg(n)-srike; if value(n) <= 0 final_value(n)=0; else final_value(n)=value(n); end end asian_avg=mean(final_value); %Tilbagediskonering af opionsværdi final_asian_avg=asian_avg*(1+r)^ 74

75 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER Bilag 2 Simulering af Jump-diffusion model %Mone Carlo Simulering med k simuleringer k=1000; % Condvar(1)= ; % Residual(1)= ; % Condvar(1)= ; % Residual(1)= ; Residual(1)= ; Condvar(1)= ; Spo2=[]; Srike=30; % =(28/365)*-1; =(30/365)*-1; % r= ; r= ; for m=1:k; spo=[ ; ; ; ; ; ; ]; for i=1:lengh(hydro); condvar= *(residual(i)*residual(i)) *condvar(i); Condvar=[Condvar;condvar]; residual=normrnd(0,sqr(condvar)); Residual=[Residual;residual]; Spo1= *spo(i+6) *spo(i)+( )*DummyTirs(i)+( )*DummyOns(i)+( )*DummyTors(i)+( )*DummyFre(i)+( )*DummyLor(i)+( )*DummySon(i) *TempSve(i)+( )*Hydro(i)+residual; spikes=normrnd(( ), )*poissrnd( ); Spo=Spo1+spikes; spo(i+7)=spo; end Spo2=[Spo2 spo]; spo=[]; end %Beregning af middelværdi Spo2(1:7,:)=[]; for n=1:k S_avg(n)=mean(Spo2(:,n)); value(n)=s_avg(n)-srike; if value(n) <= 0 final_value(n)=0; else final_value(n)=value(n); end end asian_avg=mean(final_value); %Tilbagediskonering af opionsværdi final_asian_avg=asian_avg*(1+r)^ 75