Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion of possible fuure reurns on a sock as a measure of is volailiy. Is i reasonable o ake ha volailiy as consan over ime? I hink no - Fischer Black Handelshøjskolen, Aarhus Universie Augus 008

2 Absrac Due o an increased variaion on he financial asses, he financial markes of oday have become more volaile han earlier. Hence, opions have become increasingly popular means o reduce he risk associaed wih he variaion. In his conex in 1973 Black & Scholes developed an analyical formula for he valuaion of opions. However, he model is only applicable under cerain rigid assumpions - among ohers ha he logarihmic reurn is normally disribued and ha he variance of he process of he underlying asse is boh consan and known. Several empirical sudies and resuls, however, rejec hese assumpions. The logarihmic reurn ends o yield a larger probabiliy for he reurn around he average as well as hicker ails and negaive skewness of he disribuion. Furhermore, i is observable ha he variaion of he change of he log reurn ends o cluser and finally ha he here is a significan negaive correlaion beween he reurn and variaion of he same asse. If a differen perspecive is aken i is possible, by means of he volailiy smile, o prove ha he variaion is no consan across moneyness and ime. Here he variaion displays a consanly decreasing endency across moneyness whils he smile becomes less significan wih increasing ime o mauriy. These inadequacies of he Black-Scholes model indicae ha a more realisic and flexible model is required in order o describe he opion prices observed in he marke. During he pas wo decades new models aemping o loosen he raher rigid assumpions of he Black-Scholes model have occurred. Among oher hings he models include sochasic volailiy and ineres as well as jumps in he process of he underlying asse where he primary objecive has been o aemp o fi he acual reurn disribuion. The greaes improvemen in he pricing model in relaion o Black-Scholes occurs when acceping ha he volailiy is sochasic. In lieraure he model of Heson appears o have become he mos popular for sochasic volailiy. The populariy of he models is a resul of is abiliy o explain sochasic means revering volailiy along wih he negaive correlaion beween he variance and asse process, which renders i possible o reproduce he skewness in he observed reurn disribuion. Addiionally, he model is also able o fi he higher empirically observed kurosis and he hicker ails of he disribuion of logarihmic reurns. Furhermore, a semi-closed soluion for he opion prices has been derived from he Heson model which makes i pracically applicable. The flexibiliy of his model in relaion o he poins above and is influence on he reurn disribuion is of grea imporance o he pricing of opions in relaion o he assumpions of he Black-Scholes model. Compared o he Black-Scholes model he Heson model's abiliy o

3 incorporae he negaive correlaion enails ha he ou-of-he-money (OTM) call opions are priced lower in he Heson model han under he Black-Scholes assumpions. Tha is due o he negaive correlaion causing negaive skewness diminishing he hickness of he righ ail in he reurn disribuion. The value of in-he-money (ITM) call opions, on he oher hand, is higher in he Heson model compared o he Black-Scholes model. A-he-money (ATM) he price difference is minimal. Through he volailiy of he variance he Heson model influences he kurosis of he reurn disribuion. The higher he volailiy of variance he higher he kurosis in relaion o he normal disribuion. This corresponds well o he observed, acual reurn disribuion. A higher kurosis means ha he price of call opions around ATM becomes cheaper wih he Heson model han wih he Black-Scholes model. However, he hicker ails in he reurn disribuion under he Heson assumpions resul in he OTM and ITM call opions are worh more if seen in comparison o he Black-Scholes model. Because of he Heson model's abiliy o include correlaion and he volailiy of he variance process he model is a he same ime able o fi he observed volailiy smile and surface in he marke, which indicaes ha Heson's model is beer a fiing he empirical observaions and hence more useful when pricing opions han Black-Scholes' simplified model. The inroducion of sochasic volailiy complicaes he pricing of opions as a furher dimension is added in relaion o he Black-Scholes model. For his he Mone Carlo simulaion is excellen as his mehod is useful when working wih muli dimensional problems. The mehod simulaes he various elemens of uncerainy in Heson's model and hus yields an accepable esimae of he opion prices. Unlike he classical Black-Scholes model he Heson model does no offer an explici expression for calculaing he expeced price of he underlying asse. I is herefore necessary o discreizise he coninuous process in order o simulae he Heson pah and from here deermine he expeced asse price a expiry. Exoic opions have become increasingly popular on he financial markes and barrier opions is an example of a ype ha is especially sensiive o changes in he volailiy and ha makes his ype of opion ineresing in relaion o he inroducion of sochasic volailiy. Therefore here is reason o expec ha his ype of opion is priced differenly when sochasic volailiy is inroduced. For upand-ou calls ATM he analysis shows ha he Heson model's simulaed prices are far higher han

4 he Black-Scholes prices. On he oher hand he Black-Scholes prices exceed he Heson model's prices for far-ou-of-he-money (FOTM). If he volailiy of he variance is increased, he price difference ATM will increase due o he fac ha he reurn disribuion ges seeper wih a shorer righ ail. In his way he probabiliy ha he opion will end jus under he barrier and hence ITM a he same ime as he probabiliy of high values is decreased which reduces he probabiliy ha he opion will ge knocked ou. Wih FOTM opions he siuaion is differen. The greaer probabiliy of exreme deviaions a low values of volailiy of variance means ha here is a greaer probabiliy of geing ITM which overshadows he greaer probabiliy of geing knocked ou. The value of FOTM opions is herefore greaer in he Black-Scholes model han wih he Heson model. The correlaion beween he asse and variance process also influences he price difference beween he Black-Scholes and he Heson model. The greaer he negaive correlaion he greaer he price difference ATM and he Heson prices again exceed he Black-Scholes prices. This is due o he reurn disribuion's peak wih negaive correlaion is saggered o he righ along wih a hick lef ail and hin righ ail. The probabiliy of a deviaion ITM of an iniial ATM opion is hus greaer whils he probabiliy of geing knocked ou is reduced. For FOTM he probabiliy ha he opions wih high negaive correlaion hi he barrier is raher small, bu correspondingly he probabiliy ha he opion ends ITM is also small which is why he price again is below ha of Black-Scholes. In relaion o he above, an invered relaionship is guiding he price difference beween Black-Scholes and Heson's model for up-and-in call opions. Here he Black-Scholes prices exceed he Heson prices ATM and he longer he ITM opion is, he smaller he price difference. Jus under he barrier he Heson price is higher han he Black-Scholes price and ye again he price difference is sensiive o changes in he volailiy of he variance and correlaion. For down-call-opions large price differences are also observed. These are again sensiive o changes in he parameers. To down opions, he lef ail of he reurn disribuion is deermining wheher he barrier is hi whils he righ ail deermines how far ITM he opion ends, which means ha he price is dependen on he balance of he disribuion. For in opions he Heson price is highes around ATM and he longer he opion is ITM - he smaller becomes he price difference. For FOTM very significan price differences can be observed wih greaer differences he closer he spo price is o he barrier. For he observed opions he Black-Scholes prices are again he highes around he barrier due o he marginally higher probabiliy ha he barrier is hi and he hicker righ

5 ail, which gives a larger probabiliy o end ITM. Changes in v og ρ has he same impac on price differences as observed for in-opions. If i is assumed ha he Heson model wih he calibraed parameers is a good approximaion of he developmen of he underlying asse hen here is a grea price error relaed o using he normal assumpions behind he Black-Scholes model o price barrier opions. Thus, for his kind of opion i is paricularly imporan o use models ha ake measures for sochasic volailiy. The price of he barrier opions simulaed in he Heson model is a he same ime very sensiive o changes in he inpu parameers wherefore he precision of hese is decisive o he overall conclusion. On he whole, however, almos regardless of how exremely he parameers are se here are significan price differences beween he models. The grea sensiiviy o changes in for insance volailiy of variance again raises he quesion of wheher i is reasonable o assume ha he volailiy of he variance is consan over he life of he opion and which consequences his has for he pricing of opions. The inroducion of sochasic volailiy raises one furher quesion in relaion o he hedging of opions. In an incomplee marke under sochasic volailiy i is no possible o do a perfec hedge wih only one underlying asse and herefore i is necessary o include anoher derived asse in he hedge porfolio. This, however, resuls in a range of disadvanages, among ohers increased ransacion coss, which is why hedging procedures are no always useful in pracice. Therefore, i is ofen chosen o hedge wih he underlying asse alone and le he volailiy risk be uncovered. A he same ime he Black-Scholes model is ofen used in pracice o deermine he posiion in he underlying asse despie he srong empirical indicaions ha rejec he assumpions behind his model. However, i is proved ha Black-Scholes-dela-hedge is beer a replicaing ATM call opion's value han he Heson model. This is refleced in a lower average absolue hedging error and lower sandard deviaions on he hedging error. This conclusion is unchanged for changes in he volailiy of he variance and correlaion beween he underlying asse and he variance. The model's superior hedging performance can be explained by he over/under hedged posiion in he underlying asse ha hedges some of he uncovered volailiy risks. The Heson model, on he oher hand, has he lowes average dollar value hedging error when he correlaion is negaive or zero which is he opimal goal seen from he hedger s perspecive. There is a clear paern ha he hedging errors become smaller he longer ITM or OTM he opion is and hus he difference beween he wo models' performance also decreases. Generally he hedging errors of he wo models become greaer

6 when he variance becomes more volaile. For greaer correlaion, on he oher hand, here is no unambiguous picure of he relaionship beween he wo models. The analysis of he dela hedge performance was underaken under he assumpion ha he opion prices saisfy he Heson model's PDE. This assumpion, however, is no enirely correc and furher analysis could be underaking on he opion prices observed on he marke. This would resul in a beer measure for how he models ruly perform in pracice.

7

8 Indholdsforegnelse KAPITEL 1: INDLEDNING PROBLEMFORMULERING STRUKTUR OG METODE DATAGRUNDLAG AFGRÆNSNING... 5 KAPITEL : PRISER FOR OPTIONER UNDER BLACK CK-SCHOLES SCHOLES DEN STOKASTISKE PROCES FOR DET UNDERLIGGENDE AKTIV BLACK-SCHOLES MODELLEN Udledning af Black-Scholes ligning Risikoneural prisfassæelse Eksplicie formler Black-Scholes med konsan koninuer udbye KAPITEL 3: UDVIDELSER TIL BLACK-SCHOLES SCHOLES EMPIRISKE INDIKATIONER VOLATILITETSSMILET MODELLER FOR STOKASTISK VOLATILITET Generel prisligning med sokasisk volailie Risikoneural prisfassæelse Eksempler på modeller for sokasisk volailie HESTON (1993) Variansprocessens egenskaber PDE og risikoneural prisfassæelse Heson s eksplicie formel Afkasfordeling og forskel i opionspriser Påvirkning af volailiessmile KAPITEL 4: SIMULATION AF OPTIONSPRIS MONTE-CARLO SIMULATION MONTE-CARLO SIMULATION AF VANILLA-OPTIONER Generering af normalfordele sekvenser Variansredukion MONTE-CARLO SIMULATION AF HESTON-PROCESSEN QE-diskreisering af variansprocessen Diskreisering af akivprocessen Implemenering af algorimen Konvergens KALIBRERING OG MODELTEST MONTE-CARLO SIMULATION AF BARRIER-OPTIONER Barrier-opioner Implemenering af barrier-opioner Konvergens Forskel i barrier-opionspriser... 7 KAPITEL 5: HEDGING AF A OPTIONER UNDER STOKASTISK VOLATILITET SIMULATION AF DELTA-HEDGE-STRATEGI UNDER STOKASTISK VOLATILITET ANALYSE AF DELTA-HEDGE RESULTATER KAPITEL 6: KONKLUSION REFERENCER... 95

9 Kapiel 1: Indledning I saren af 1970 erne blev de finansielle markeder over hele verden mere risikable som følge af en forøge variaion i priserne på finansielle akiver. Som en konsekvens heraf blev opioner mere og mere populære som e finansiel insrumen il a reducere den risiko, der opræder i forbindelse med variaionen. Derfor var de nødvendig for alle ineressener i markede a have en prisfassæelsesmodel il a besemme prisen på dee nye akiv. Med baggrund heri udviklede Fischer Black og Myron Scholes en prisfassæelsesmodel, der på daværende idspunk var e sor gennembrud, og som sadig er mege anvend i eoreiske og prakiske sammenhænge. De er dog eferhånden bleve e kend fakum i finansielle sammenhænge, a Black-Scholes model ikke er god nok il a forklare de observerede priser i markede. E velkend eksempel på dee er volailiessmile, som viser den implicie volailie fra Black-Scholes model på værs af moneyness. Volailiessmile havde før krakke i 1987 en U-lignende form, men herefer anog smile en asymmerisk endens, som også observeres i dag. Havde anagelserne bag Black-Scholes model være beskrivende for virkeligheden, ville den implicie volailie være konsan, men de ses dog ydelig i markede, a dee ikke er plausibel i praksis. Som en konsekvens heraf er de bleve forsøg a udvikle modeller, der er i sand il a inkorporere de fakum, a variaionen ikke er kend og konsan, men derimod sokasisk og varierer over id. På dee område synes Seven Heson s model fra 1993 a have vunde indpas som værende den mes populære model il beskrivelse af sokasisk volailie. Dee skyldes bland ande, a Heson udviklede en semi-lukke løsning, hvormed opionsværdien simpel kan beregnes. Modellen har ilmed flere egenskaber, der er i overenssemmelse med finansiel empiri. For eksempel er Heson s model bedre i sand il a replicere den sande afkasfordeling end Black-Scholes model, hvilke skyldes, a processen for volailieen i de underliggende akiv i Heson s model er i sand il a beskrive empiriske observaioner, der kendeegner udviklingen i den sande volailie. I løbe af årene er nye behov bleve udvikle for delagerne på de finansielle markeder for hedging af risici, og opioner med forskelligarede karakerisika er derfor opsåe. Barrier-opioner er e eksempel på dee, hvor fordelen er, a køberen ikke bealer for hele upside chancen, men kun il e forudbesem niveau. Barrier-opioner er i sammenhæng med sokasisk volailie ineressane, da derivae er mere følsom overfor ændringer i volailieen på de underliggende akiv, end vanillaopioner er. De er dermed relevan a analysere, hvorledes sokasisk volailie påvirker prisfassæelsen af barrier-opioner. 1

10 Da der ikke findes en lukke formel for prisfassæelsen af barrier-opioner under sokasisk volailie, er de nødvendig a anvende numeriske meoder som for eksempel Mone-Carlo simulaion. Denne numeriske eknik har en række fordelagige karakerisika, der gør neop denne meode anvendelig il ovensående problemsilling. En anden problemaik i forhold il sokasisk volailie er, hvorledes dee elemen påvirker hedging af opioner. Mange delagere i markederne er hedgere, og de må derfor være relevan også a påvise evenuelle konsekvenser for hedgingsraegier under sokasisk volailie. Under Black- Scholes forudsæninger er de mulig med en posiion i de underliggende akiv a afdække al risiko, der er forbunde med en posiion i en opion. Ved a inkludere e yderligere usikker elemen i form af sokasisk volailie er denne simple hedgingsraegi dog ikke længere perfek. De er derfor relevan a undersøge konsekvenserne af inrodukionen af sokasisk volailie. Denne afhandling vil age udgangspunk i ovensående emner og udfordringer i forbindelse med inrodukionen af sokasisk volailie, som vil blive uddybe og analysere. I de følgende vil dee blive konkreisere, og srukuren i opgaven vil dermed blive klarlag. 1.1 Problemformulering Hovedformålene med denne afhandling er a: o Opsille en generel model for prisfassæelse af opioner under forudsæning af sokasisk volailie. o Inroducere modeller for sokasisk volailie med særlig fokus på Heson s model. o Prisfassæe opioner vha. Heson s model herunder prisfassæelse ved hjælp af Mone- Carlo simulaion med fokus på barrier-opioner. o Analysere forskelle i opionspriser fassa under Black-Scholes forudsæninger og under Heson s forudsæning. o Analysere konsekvensen af sokasisk volailie i forhold il hedging af opioner. 1. Srukur og meode Afhandlingen er opbygge omkring fire hovedsekioner, som nedenfor vil blive uddybe. Førse sekion er en eoreisk gennemgang af opionsværdiansæelse under Black-Scholes forudsæninger. Black-Scholes model vil indledningsvis blive udled og vil i resen af afhandlingen blive anvend som sammenligningsgrundlag. I denne sekion præseneres også risikoneural prisfassæelse, som er esseniel for prisfassæelsen af opioner. Formåle med denne sekion er dermed a danne e fundamen for afhandlingen, og vil danne grundlage for videre analyse

11 I anden sekion vil ulemperne ved Black-Scholes model blive påpege med fokus på anagelsen om konsan og kend variaion. Indledningsvis vil der blive fremfør argumener for, hvorfor denne anagelse ikke holder i praksis og dermed, hvorfor lempelsen af denne anagelse er relevan. Dee kan bland ande vises ved hjælp af de såkalde volailiessmil. På denne baggrund udledes en generel prisfassæelsesmodel for opioner under sokasisk volailie. Herefer præseneres forskellige modeller for udviklingen i de underliggende akiv under sokasisk volailie herunder modeller af Hull & Whie, Sco, Sein & Sein og Heson, som alle behandler variaionen sokasisk. Der vil sluelig blive argumenere for, hvorfor neop Heson-modellens egenskaber gør den mes populær og mes anvend i praksis, og de vil blive analysere, hvorledes Heson-modellen prisfassæer vanilla-opioner i forhold il Black-Scholes model. I redje sekion inroduceres prisfassæelse af opioner under sokasisk volailie ved hjælp af Mone-Carlo simulaion. Meoden vil førs blive udfør i forhold il a prisfassæe vanilla-opioner og senere barrier-opioner, som er e volailiesfølsom deriva. Da der ikke findes lukkede formler for værdien af barrier-opioner under sokasisk volailie, vil Mone-Carlo simulaion blive anvend på baggrund af flere fordelagige karakerisika. For a have e realisisk udgangspunk for simulaionen kalibreres Heson s model il markedspriser for europæiske opioner skreve på S&P 500 indekse. Dermed opnås inpu-paramerene il Heson s model, som fier markedspriserne beds mulig, og i sammenhæng hermed eses validieen af Heson s model i forhold il Black- Scholes model. Sluelig sammenlignes og analyseres prisforskelle mellem Black-Scholes model og Heson s model for barrier-opioner. I fjerde og sidse sekion vil konsekvensen af inrodukionen af sokasisk volailie i forhold il hedging af opioner blive analysere. Da der ikke handles volailie direke i markede, eksiserer der flere sokasiske kilder end handlede akiver, og markede er dermed inkomple. I forlængelse heraf vil forskellige muligheder for hedging i e inkomple markede blive diskuere. Sluelig sammenlignes en simpel dela-hedge-sraegi for Black-Scholes og Heson s model under anagelse af, a volailieen på de underliggende akiv er sokasisk. 1.3 Daagrundlag Analyserne i indeværende afhandling er alle basere på Sandard & Poor s 500 indeks, der dermed vil blive anvend som underliggende akiv. I forbindelse med analysen af begrænsningerne ved 3

12 anagelserne bag Black-Scholes model udføres en afkasanalyse, som udfærdiges på baggrund af 641 observaioner fra d. 0. okober 198 il d.. april 008. Observaionerne er alle daglige lukkekurser, men da børserne eksempelvis er lukkede i weekender og på helligdage, vil der derfor opræde dage uden lukkekurser. Disse vil blive ekskludere fra den videre analyse, da ine yder på a disse vil påvirke de samlede billede og de ønskede konklusioner i denne afhandling. Empiriske observaioner viser endvidere, a volailieen på værs af weekender og helligdage er forskellig fra andre normale handelsdage, men de har dog ikke være mulig a kvanificere denne forskel og dermed heller ikke mulig a inkludere denne i generelle volailiesmodeller (Burghard e al. 1993). S&P 500 indekse er basere på en porefølje af 500 forskellige amerikanske virksomheders akier, som er udvalg på baggrund af flere krierier såsom branche, markedssørrelse og likvidie. Indekse er markedsværdivæge, hvilke vil sige, a vægene af akier il enhver id er proporionale med akiens kurs. S&P 500 indekse dækker 75 % af markedsværdien af samlige akier, der er noere på New York Sock Exchange, hvilke refærdiggør valge af dee indeks i forhold il de amerikanske marked. Deril er valge af S&P 500 som underliggende akiv begrunde i, a opioner skreve på indekse er de mes handlede på Chicago Board Opion Exchange (CBOE) og er dermed ilsrækkelig likvide il, a de opnåede resulaer på baggrund heraf er pålidelige. Deril er mange eksiserende undersøgelser i lierauren foreage i forhold il S&P 500 indekse, hvilke giver e benchmark for indeværende afhandling. Opionsdaa er opnåe ved hjælp af e online opionsværkøj sille il rådighed af Danske Bank og Bloomberg, hvilke sikrer konsisene og simulane daa. I indeværende afhandling anvendes lukkekurser fra d. 19. april 008. Opionsdaa er give ved e bid-ask-spread, og dermed er den sids handlede opionspris ikke direke observerbar. På baggrund af likvidieen på opioner skreve på S&P 500, anvendes e gennemsni af bid-ask-spread e, hvilke anages a være plausibel og værende de bedse bud på den reelle opionspris. Dee kan dog resulere i fejlagige priser, da bidask-spread e kan være forholdsvis bred afhængig af, hvor likvid den enkele opion er. Til prisfassæelsen af opioner er den risikofrie rene e nødvendig inpu. I denne afhandling anvendes den annualiserede amerikanske nul-kuponrene for forskellige idshorisoner indhene ved hjælp af Daasream. Som esima for den koninuere udbyerae anvendes Sandard & Poor s ege esima for den gennemsnilige 1 måneders udbyerae på,14 %

13 1.4 Afgrænsning I denne afhandling afgrænses opionerne il a være europæiske, og analyserne vil derfor ikke omfae amerikanske opionsyper. Analyserne vil blive foreage i forhold il S&P 500 indekse, og der afgrænses dermed fra analyse af andre yper af underliggende akiver såsom råvarer, rener eller valua. De generelle modeller som udledes i denne afhandling kan dog forholdsvis simpel udvides il disse yper af underliggende akiver. Opionerne vil blive prisfassa med udgangspunk i en eoreisk synsvinkel og bygger dermed på en række anagelser om markede. Disse vil kun blive kommenere og diskuere, i de omfang de påvirker den relevane problemsilling. I forbindelse med inrodukionen af sokasisk volailie vil e udvalg af modeller blive præsenere, mens den videre analyse alene vil bygge på Heson s (1993) model. Der afgrænses dermed fra en uddybende beskrivelse af samlige modeller for sokasisk volailie ilgængelig i lierauren. I de ilfælde hvor lukkede analyiske formler ikke kan anvendes il a prisfassæe opioner, anvendes Mone-Carlo simulaion. Flere andre meoder er imidlerid ilgængelige og anvendelige, men vil ikke blive redegjor for, da de ikke er en del af formåle for indeværende afhandling. 5

14 Kapiel : Priser for opioner under Black-Scholes Dee kapiel beskriver i hovedræk den fundamenale srukur bag Black-Scholes model sammen med anvendelsen af denne il prisfassæelse af aflede akiver. Formåle med kapile er dermed a danne e fundamen for indeværende afhandling og vil danne grundlage for videre analyse. Udførlige udledninger vil ikke blive foreage, men i sede vil der fokuseres på de mes cenrale konceper og resulaer, som er relevane for a inroducere sokasisk volailie. For a prisfassæe opioner er de indledningsvis nødvendig a udlede en proces for de underliggende akivs adfærd, da dee er en cenral forudsæning bag Black-Scholes model. Dernæs udledes Black-Scholes formel basere på en handelssraegi, der involverer en selvfinansierende porefølje besående af en posiion i de underliggende akiv sam en posiion i e risikofri akiv. Sluelig behandles risikoneural prisfassæelse af opioner..1 Den sokasiske proces for de underliggende akiv Enhver variabel, hvis værdi ændres over id på en ukend måde, følger en sokasisk proces. Da opioners værdi afhænger af udviklingen i de underliggende akiv, er de derfor nødvendig a definere, hvilken sokasisk proces de underliggende akiv følger. Der vil derfor blive definere en koninuer sokasisk proces for en akies forvenede udvikling. Den mes udbrede og anvende proces il modellering af en akies kurs, er den Geomeriske Brownske Bevægelse (GBM), som også er en forudsæning for hele srukuren i Black-Scholes model. Selvom GBM en er anvendelig il modellering af de underliggende akivs si, skal de bemærkes, a akiekurser i praksis ikke observeres koninuer, da akier kun kan handles, når børserne er åbne og kun handles i diskree værdier som f.eks. kroner og ører. GBM en modellerer generel ændringer i akiekursen og defineres på differeniel form som: Den relaive ændring eller afkase er dermed definere som: ds = µ Sd + σ SdZ (.1) ds S = µ d + σ dz (.) Parameeren S er akiekursen på e give idspunk, σ er volailieen på akiens pris, og µ er de forvenede afkas. Både σ og µ forudsæes indil videre a være konsane. d viser, a ændringerne er infiniesimale små med andre ord hvor 0. 6

15 Ledde µ d i (.) udgør drifen og σ dz udgør de sokasiske elemen i udviklingen. Over kore idsinervaller har drifen ikke den sore beydning, hvor volailieen i sede dominerer. Drifen bliver derimod signifikan på lang sig. Ledde dz beskriver ændringerne i en Wiener proces. En sokasisk proces, Z, følger en Wiener proces, hvis den har følgende egenskaber: 1: Ændringen Z over e kor idsinerval,, er hvor ε følger en sandard normalfordeling Φ (0,1) Z = ε (.3) : Værdierne for Z for o forskellige ikke-overlappende kore idsinervaller,, er uafhængige 3: Z (0) = 0 4: Z følger en koninuer si De følger af den førse egenskab, a Z følger en normalfordeling med Φ(0, ), samidig med a Z ikke går mod uendelig eller en konsan værdi, da ændringen skaleres med kvadraroden af ændringen i iden. Derudover følger de af den anden egenskab, a Z følger en Markov proces, hvor kun den nuværende værdi af en variabel er relevan for a kunne forudsige den fremidige værdi. Dermed er al hisorik inkorporere i akiens pris i dag, og man siger, a processen ikke har nogen hukommelse. Hvis denne svage markedsefficiens ikke var sand, ville de være mulig a opnå overnormale afkas ud fra hisorisk analyse, hvilke ine yder på er mulig i praksis (Hull 006). Al yder dermed på, a konkurrencen i markede opreholder denne egenskab. Processen er desuden kendeegne ved a have Maringale-egenskaben, hvilke beyder, a den beingede forvenning il afkase på alle idspunker i fremiden er den nuværende værdi. På baggrund heraf har Den Geomeriske Brownske Bevægelse dermed flere kvalieer, der gør processen anvendelig il modellering af en akies kurs og anvendes derfor ofe i finansielle sammenhænge. Bland ande afhænger processen af niveaue på akiekursen, og dermed er de forvenede procenvise afkas af en given akie uafhængig af akiens kursniveau. Endvidere vil processen alid forblive posiiv, hvis den iniiale værdi af S er posiiv, da ds vil blive mindre, jo nærmere S kommer på nul. Derudover er de forvenede afkas over e kor idsinerval normalfordel, og afkase i o ikke-overlappende perioder er uafhængige. 7

16 GBM en kaldes også The lognormal random walk, og a processen alid forbliver posiiv kan ydelig vises, hvis Iô s lemma anvendes il a udlede processen for G = ln S hvor S følger (.1): σ dg = µ d + σ dz (.4) Dee viser, a logarimen il S følger en generalisere Wiener proces, da både µ og σ er konsaner. I den generaliserede Wiener proces kan drif og volailie neop specificeres som vilkårlige konsaner. Processen i (.4) har en konsan drif på µ σ / og en konsan variansrae på σ. Ændringen i ln S over e given idsinerval, T, er dermed normalfordel med e gennemsni på ( µ σ / ) T og en varians på σ T, hvilke er en fordel for a kunne besemme udviklingen i de underliggende akiv, da fordelingen dermed er symmerisk og er give ved: eller ln S T σ ln S0 ~ µ, T σ T Φ (.5) σ ln S T ~ Φ ln S0 + µ T, σ T (.6) hvor S T er akiekursen på e fremidig idspunk T, S 0 er akiekursen på idspunk 0 og følger Φ ( m, s). De ses af (.6), a ln S T er normalfordel, og dermed a S T er log-normalfordel. Med andre ord følger værdien af akiekursen på e fremidig idspunk en log-normal fordeling, hvilke er en vigig egenskab i forhold il opionseori i sammenhæng med Black-Scholes. De er eksempelvis nu mulig a beregne konfidensinervaller for akiekursen. De eksplicie udryk for den forvenede akiepris kan nu udledes, jf. bilag 1, fra (.5) ved a omskrive denne il: σ ln ST = ln S0 + µ T + σ Z og ved a age eksponenialfunkionen il ln S T opnås følgende eksplicie udryk: T (.7). Black-Scholes modellen ( / ) T Z S = S e µ σ + σ T (.8) T 0 De sore gennembrud i prisfassæelse af opioner kom med Black & Scholes og Meron s arikler fra Udledningen af Black-Scholes model il prisfassæelse af europæiske opioner indebærer en handelssraegi i en porefølje besående af en posiion i de underliggende akiv sam en posiion 8

17 i e risikofri akiv. Ideen er a uanse hvilken udvikling akives pris ager, vil poreføljens endelige afkas være lig med afkase fra de aflede akiv ved udløb. Grunden il a denne selvfinansierende sraegi kan konsrueres er, a akives pris og derivaes pris begge er påvirke af den samme underliggende usikkerhed bevægelser i akives pris. I enhver kor idsperiode vil prisen på derivae være perfek korrelere med prisen på de underliggende akiv. Man vil derfor, ved a sælge derivae og holde en dynamisk jusere porefølje af de underliggende akiv og e risikofri akiv, kunne sikre sig mod al risiko for ab. Dee skyldes, a e ab fra den ene del alid vil blive udligne af en ilsvarende gevins fra den anden del. I e arbiragefri marked må prisen på den replicerede porefølje derfor være den fair pris på derivae. I de følgende vil dee argumen udbygges. For a kunne udlede Black-Scholes modellen foreages der førs og fremmes en række anagelser om markede: o Akivprisen følger en GBM med konsan forvene afkas og volailie o Der eksiserer e risikofri akiv med en konsan rene o Koninuer handel er mulig o Der er ingen ransakionsomkosninger eller skaer på de underliggende akiv o Der er ingen risikofrie arbiragemuligheder o De er mulig a gå kor i en posiion Forudsæningerne medfører, a der i Black-Scholes modellen anages, a markede er komple. Den simplese definiion af e komple marked er neop e marked, hvor alle derivaer kan repliceres i en selvfinansierende handelssraegi. Indledningsvis anages de endvidere a de underliggende akiv ikke udbealer udbyer. Denne anagelse foreages for a forsimple udledningen og ydeliggøre de vigigse argumener, men vil dog il sids i afsnie ophæves...1 Udledning af Black-Scholes ligning En opions pris afhænger af mange fakorer og kan skrives som V ( S,, σ, µ, K, T, r), hvor S og er variable og er henholdsvis akivprisen og nuværende id, σ og µ er paramere for volailieen og de forvenede afkas på akives pris. K og T er paramere for srike-pris og id il udløb for den specifikke konrak, og r er renen i den økonomi, hvor akive er noere. For simplicieens skyld 9

18 benævnes værdien af opionen på idspunk med den nuværende pris på de underliggende akiv S, blo som: V ( S, ) Hvis de anages, a værdien af opionen V ( S, ) på idspunk er kend, kan der konsrueres en porefølje med værdien Π besående af en lang posiion i en opion og en kor posiion,, af de underliggende akiv: Π = V ( S, ) S (.9) Ændringen i poreføljens værdi i den næse idsperiode fra idspunk il idspunk + d skyldes delvis ændringen i opionens værdi og delvis ændringen i værdien af de underliggende akiv og kan skrives som: dπ = dv ( S, ) ds (.10) Ud fra forudsæningen om a de underliggende akiv følger en GBM, kan man ved hjælp af Io s lemma besemme en funkion for ændringen i prisen på de aflede akiv dv ( S, ) og ændringen i poreføljens værdi er nu give ved: hvilke kan omskrives il: V V 1 V dπ = d + ds + σ S d ds S S (.11) V 1 V V dπ = + σ S d ds + (.1) S S Ændringen i værdien af poreføljen besår dermed af en deerminisisk del (udrykke foran d) og en sokasisk del (udrykke foran ds). Den cenrale idé i Black-Scholes argumenaionen er nu, a al ubekend variaion i (.1), ds, kan elimineres ved a vælge af de underliggende akiv, således a de sidse led i (.1) elimineres. Dee gøres ved a sæe: = V S (.13) Dee er e eksempel på en dela-hedge-sraegi. Da V S er en funkion af S og, der begge ændrer sig over id, er de nødvendig koninuer a rebalancere sin posiion i de underliggende akiv for a være fuldsændig sikre. Hvis de er mulig på e hvilke som hels idspunk,, koninuer a rebalancere poreføljen ved a vælge mængden af de underliggende, vil poreføljen være risikofri og ændringen af denne være give ved: V 1 V S dπ = + σ S d (.14) 10

19 De anages nu, a der i markede findes e risikofri akiv B, der følger: db = rbd db B = rd hvor r er en konsan koninuer rene. Anagelsen om a der findes e risikofri akiv refærdiggøres som regel af, a der findes en risikofri obligaion, der med sikkerhed giver renen r. På baggrund af forudsæningen om e arbiragefri marked må den selvfinansierende porefølje herefer give samme afkas som de risikofrie akiv: dπ = rπ d (.15) De økonomiske argumen herfor er, a hvis poreføljen kan hedges perfek, vil invesorerne ikke blive beal for a age unødvendig risiko. Hvis poreføljen havde højere afkas end e risikofri akiv, kunne man ved a låne penge og købe poreføljen jene en risikofri gevins, og modsa hvis poreføljen havde e mindre afkas. Ved nu a indsæe (.9), (.13) og (.14) i (.15) og omrokere udrykkene findes Black-Scholes differenialligning: V 1 V V + σ S + rs = rv S S (.16) Prisen på enhver opion, der afhænger af S og, vil derfor opfylde Black-Scholes ligningen - ellers vil der være mulighed for arbirage i markede. De skal bemærkes, a variablen µ - de forvenede afkas - ikke påvirker ligningen. Dee fakum er yders relevan for senere besemmelse af opionspriser. For a løse ligning (.16) og dermed finde prisen for en opion skal der defineres grænser for den specifikke opion. Disse er give ved payoff e ved udløb på opionen. For europæiske call- og pu-opioner er de endelige payoff definere som: Call: C( S, T ) = max( S K,0) Pu: P( S, T ) = max( K S,0) hvor S er akiekursen ved udløb, og K er exercise-kursen. Hvis en call-opion sælges, er de dermed mulig, a afdække posiionen i e kor idsinerval ved a købe dela af de underliggende akiv og evenuel låne manglende eller placere overskydende penge i de risikofrie akiv il renen r. Hvis opionen udløber in-he-money (herefer ITM), vil man have én af de underliggende akiv klar il levering, og en gæld på K, der vil udligne afalekursen fra køberen af opionen. Hvis opionen udløber ou-of-he-money (herefer OTM), vil man ikke eje noge af akive og heller ikke have hverken gæld eller penge i banken. Endelig hvis opionen udløber a-he-money (herefer ATM), vil man eje en halv af de underliggende akiv og have en gæld på en halv K, så de o beløb nøjagig udligner hinanden. 11

20 Også andre og mere komplekse opioner ilfredssiller Black-Scholes ligningen, hvilke der senere i afhandlingen vil vises eksempler på... Risikoneural prisfassæelse For a finde prisen på en opion med en given payoff-funkion kan den parielle differenialligning (PDE) i (.16) løses direke (Wilmo 007 s. 143). En anden måde hvorpå opionsprisen kan findes, er gennem den såkalde maringale approach eller risikoneural prisfassæelse (Hull 006 s. 93). Risikoneural prisfassæelse er, som idligere omal, basere på a de forvenede afkas i den underliggende proces ikke indgår i Black-Scholes differenialligningen (.16). På lang sig påvirker drifen af de underliggende akiv dermed ikke prisen på opionen. Da man i (.13) hedgede mod eksponering af usikkerhed, hedgede man også mod udviklingen i de underliggende akiv (Wilmo 007 s. 148). Dee bevirker, a differenialligningen ikke indeholder nogen variable, der er afhængige af invesorernes risikopræference, hvorfor denne heller ikke påvirker løsningen på ligningen og dermed prisen på den givne opion. Hvis de forvenede afkas derimod indgik i differenialligningen, havde prisen på opionen være afhængig af invesorernes risikopræference, da sørrelsen af de forvenede afkas neop afhænger af invesorernes risikopræference. Jo højere risikopræference invesorerne har, jo højere forvene afkas for e given akiv (Hull 006 s. 93). Konklusionen på ovensående er, a de kan anages, a invesorerne er risikoneurale, og som argumenere for i foregående afsni, a den selvfinansierende porefølje og alle andre akiver må have samme forvenede afkas som e risikofri akiv, r. Forklaringen er, a risikoneurale invesorer ikke kræver e merafkas for a påage sig mere risiko, og a he marke price of risk (markedspris på risiko) er lig nul under de risikoneurale mål (Hull 006 s. 593). Løsningen på Black-Scholes differenialligningen er den samme i en verden under de risikoneurale mål og i den virkelige objekive verden, hvorfor prisen ved a løse differenialligningen direke eller ved hjælp af risikoneural prisfassæelse må være den samme. Sammenhængen mellem de o ilgange er garanere af Feynman-Kac eoreme, der benye på Black-Scholes differenialligningen for en konrak med payoff ved udløb på V ( S, T ) giver: ( ) ( ) [ ] r T r T V ( S, ) = E e V ( S, T ) = e E V ( S, T ) hvor den forvenede værdi er beregne med hensyn il processen S give ved: hvor dz (.17) ds = rsd + σ SdZ (.18) angiver ændringen i en Wiener proces under de risikoneurale mål. De skal i denne forbindelse bemærkes, a den relevane proces for de underliggende akiv under de 1

21 risikoneurale mål er beskreve ved en GBM på samme måde som den virkelige proces i den objekive verden. Forskellen er blo, a drifslede er give ved renen, r, i sede for de forvenede afkas på de underliggende akiv µ. På samme måde som man i (.8) udlede de eksplicie udryk for den forvenede pris på de underliggende akiv i den objekive verden, kan man udlede denne for processen under de risikoneurale mål: T ( r / ) T + Z T 0 S = S e σ σ (.19) Som de fremgår af Feynman-Kac eoreme kan prisen på opioner beregnes som nuidsværdien af de forvenede payoff - ilbagediskonere med den risikofrie rene, hvis de anages, a de underliggende akiv udvikler sig i en risikoneural verden, hvor de forvenede afkas på e risikabel akiv er lig med de forvenede afkas fra e risikofri akiv, r. Den ilbagediskonerede proces S = S / B under de risikoneurale mål er en maringale (Hull 006 s ), deraf også navne de ækvivalene maringalemål. Ved hjælp af risikoneural prisfassæelse kan prisen på en opion nu findes. Man er kun eferlad med de ene problem a beregne de forvenede afkas af opionen ved udløb. Dee udføres senere i denne afhandling ved hjælp af numeriske eknikker, men i ilfælde med europæiske opioner, hvor udløbskursen er log-normalfordel, kan man imidlerid nå frem il en lukke formel for prisen...3 Eksplicie formler For europæiske call- og pu-opioner er de mulig eksplici a løse Black-Scholes differenialligningen (Hull 006 s ) og finde udrykke for V ( S, ). Værdien for en callopion kan findes il a være give ved: V ( S, ) = S N( d ) Ke N( d ) (.0) BS r ( T ) 0 1 d 1 = ln( S0 K) + ( r + σ )( T ) σ T (.1) ln( S0 K) + ( r σ )( T ) 1 d = = d σ T σ T (.) hvor N( x) er en fordelingsfunkion for en sandard normalfordeling. Udrykke N( d ) er dermed sandsynligheden for, a opionen bliver indløs i en risikoneural verden. Hvis (.0) omskrives, findes udrykke KN( d ), som er srikeprisen gange med sandsynligheden for, a srikeprisen vil 13

22 blive udbeal. Derudover findes udrykke ( ) ( ) r T S N d e, som er den forvenede værdi af en 0 1 variabel, der er lig S, hvis opionen er ITM og ellers lig nul i en risikoneural verden. Prisen for en europæisk pu-opion kan findes analog il udledningen af call-opionen eller kan simpel findes ved a anvende pu-call parieen: C( S, ) P( S, ) S Ke r( T ) BS BS = (.3) mellem pu- og call-opioner med samme id il udløb og srikepris. Dee er en modelfri sammenhæng, der følger af simple arbirageargumener - hvis vensre side er mindre end højre side, vil man ved a købe en call og sælge en pu plus de underliggende akiv, og invesere forskellen i e risikofri akiv, kunne skabe profi på idspunk T uanse prisen på de underliggende akiv. Prisen på en pu-opion kan nu udledes il: P( S, ) = S N( d ) + Ke N( d ) (.4) BS rt 0 1 Andre yper opioner leder ypisk ikke il lukkede eksplicie prisformler. Prisen på disse må i sede besemmes ved a løse den parielle differenialligning med de passende grænseværdier eller ved a benye numeriske eknikker...4 Black-Scholes med konsan koninuer udbye De anages nu, a de underliggende akiv udbealer e konsan koninuer udbye, D, som udgør en andel af de underliggende. På idspunk d vil hver akiv modage en udbealing svarende il DSd. Dee kan simpel inkorporeres i den selvfinansierende porefølje, således a man for hver dela,, man er kor i de underliggende akiv udbealer D Sd. Ændringen i poreføljens værdi i den næse idsperiode, jf. (.10), skyldes nu også differenialligningen nu udledes il a være give ved: V 1 V + σ S + ( r D) S V = rv S S D Sd. På samme vis som ovenfor kan I den risikoneurale verden er drifen i de underliggende akiv nu give ved r (.5) D. Udbye reducerer akivprisen med e beløb svarende il udbyebealingen, hvorfor væksen i de underliggende blo reduceres med de udbeale udbye. Dee resula er e generel resula og kan benyes på alle idligere givne formler. For den lukkede formel for opionspriser modificeres DT formlen endvidere ved a udskife spoprisen S 0 i (.0) og (.4) med S0e. Anagelsen om e konsan koninuer udbye forekommer ikke videre realisisk, men er en nødvendig simplifikaion. De er i eorien også forholdsvis simpel a udlede modifikaioner for 14

23 diskree udbyebealinger, hvor udbyesørrelsen enen kan være som en del af de underliggende akiv eller som e given beløb. Da de i denne afhandling ønskes a prisfassæe opioner skreve på e indeks S&P 500 kan anagelsen om e koninuer udbye dog refærdiggøres af, a indekse besår af mange underliggende akiver, der hver især udbealer diskree udbyer på forskellige idspunker, hvorfor de samlede udbye for indekse ilnærmelsesvis kan berages som koninuer. 15

24 Kapiel 3: Udvidelser il Black-Schole Scholes I dee kapiel vil anvendelsen af Black-Scholes formel i praksis blive revurdere. Selvom Black- Scholes formel er eoreisk robus og maemaisk bekvem, bygger modellen på en række anagelser, der i praksis viser sig ikke a være plausible. Derfor er de forsøg a udvikle modeller, der ager højde for forskellige aspeker for derigennem a beskrive en mere kompleks virkelighed. I denne afhandling vil der fokuseres på a lempe anagelsen om, a log-afkas på de underliggende akiv er normalfordel med en konsan varians. I sede anages de, a volailieen kan variere sokasisk. Dee begrundes i veldokumenerede afvigelser mellem markedspriser på opioner og Black-Scholes opionspriser samidig med, a der observeres variaion i volailieen, hvilke skaber de såkalde volailiessmil. Afvigelserne mellem markedspriserne og Black-Scholes priserne er mulige a forklare ved hjælp af modeller for sokasisk volailie (herefer SV-modeller). I kapiel blev prisfassæelse og hedging af derivaer under konsan volailie inroducere under forudsæning af, a de underliggende akiv følger GBM en, og a markede er komple. Under sokasisk volailie vil markede derimod ikke længere være komple, hvilke vanskeliggør prisfassæelsesprocessen. Fra en prakisk synsvinkel har sokasisk volailie endnu sørre beydning for prisfassæelsen af eksoiske opioner, som under Black-Scholes kan være mege fejlagig (Gaheral 006 s. ). Dee har bevirke, a akører i markede har eferspurg modeller, som ager hensyn il sokasisk volailie. De vil igennem dee kapiel blive påvis ved hjælp af eksempler og empiriske undersøgelser, a anagelsen om konsan volailie ikke er verificerbar og derudfra vil der argumeneres for en mere plausibel model end Black-Scholes il beskrivelse af de fakiske markeder. Denne model vil blive anvend som fundamen for de videre analyser i afhandlingen. 3.1 Empiriske indikaioner En af forudsæningerne bag Black-Scholes modellen er, som idligere nævn, a akiekursen følger en Geomerisk Brownsk Bevægelse (.1), og derfor a log-afkase er normalfordel. Flere empiriske undersøgelser vedrørende afkasfordelingen for de underliggende akiv anyder dog, a dee ikke er ilfælde. Nedenfor følger en række resulaer, der udspringer af empiriske undersøgelser sam egne eksempler. 16

25 I undersøgelsen af finansielle idsserier er fordelingen af afkas e af de mes ineressane spørgsmål. Her er normalfordelingen eller den Gaussiske fordeling en af de vigigse og er anvend i næsen alle former for sudier. Fordelingen er fuld definere ud fra de o førse momener gennemsnie for idsserien, µ, og en posiiv varians, σ. Normalfordelingen er symmerisk omkring gennemsnie, hvorfor skævheden er 0. Kurosis definerer formen på fordelingen og er for normalfordelingen lig re. Den generelle æhedsfunkion for normalfordelingen er definere således: f ( x µ σ ) ( πσ ) ( x µ ) 1 ;, = exp (3.1) σ Spørgsmåle er nu, om finansielle idsserier kan forklares ud fra (3.1), og om anagelsen i Black- Scholes modellen dermed er bereige. Allerede i 1960 erne poinerede Mandelbro (1963) dog normalfordelingens uilsrækkelighed i forbindelse med modellering af den marginale fordeling for akieafkas og dennes endens il a have fede haler. Siden da har mange observere denne ikke-normalfordele karaker ved a undersøge fordelingen for prisændringer for forskellig markedsdaa. Con (001) viser gennem saisiske analyser, a fordelingen af ændringen i log-afkas er ikkenormalfordel med en sor samling af observaioner omkring miden og med fede haler, hvorfor sandsynligheden for sore udsving i priser sysemaisk underesimeres. Med andre ord er kurosis sørre end re, og fordelingen viser endda endens il negaiv skævhed, hvilke indikerer sørre sandsynlighed for negaive afkas end posiive. Disse karakerisika er mes udale, når afkasene observeres flere gange daglig. Akieafkas har dermed e sørre anal observaioner omkring gennemsnie, men med sørre sandsynlighed for eksreme afkas i kraf af de federe haler, hvilke kan have faale følger for prisfassæelse og risikosyring. Deril observeres, a variaionen i ændringen i log-afkas er uregelmæssig og mere specifik, a denne har endens il a samle sig i klynger. Dee observeres via en signifikan posiiv auokorrelaion af kvadrerede afkas, som beyder, a hændelser med høj volailie ofe samler sig i klynger. Dee observeres også af Sco (1987) sammen med flere andre. Sluelig observeres ofe negaiv korrelaion mellem volailieen og afkase på samme akie eller indeks, hvilke kaldes leverage effec. I forhold il Black-Scholes anagelser burde denne korrelaion være lig nul. Leverage effeken inroducerede Fisher Black allerede ilbage i 1976 (Black 1976), hvor de påpegedes, a markedes delagere ikke udviser en symmerisk respons på nyheder i 17

26 markede. Samme resula er bland andre opnåe af Fouque e al. (000). Således vil invesorerne foranledige sørre volailie efer dårlige nyheder (shocks) end efer gode nyheder. Jackwerh e al. (1995) har i en lignende undersøgelse påvis, a kurosis siger i ak med analle af observaioner, hvilke undersøer en ikke-gaussisk fordeling. Sandsynligheden for a en akiekrise som i 1987 kan indræffe under forudsæningen af de log-normalfordele afkas, er deril beregne il a være Dee undersøer yderligere, a fordelingen umulig kan have de karakerisika, som Black-Scholes modellen anager. I de følgende vil ovensående observaioner blive afprøve i forhold il S&P 500 indekse for a se, om afkasfordelingens karakerisika for dee indeks semmer overens med ovensående beragninger. FIGUR 3.1: Den sande log-afkasfordeling sammenligne med normalfordelingen sam QQ-plo 1000 Frekvens Fie normal 800 Frekvens ,05-0,05 0 0,05 0,05 Afkas I figur 3.1 er frekvensen af log-afkas afbillede over en næsen 6 år lang periode overfor en normalfordeling med samme gennemsnilige afkas og varians. De ses af denne figur, a afkasene følger en fordelingen, der er sejlere og med federe haler end normalfordelingen, hvilke også kaldes en lepokuric fordeling. Dee fremgår ydeligere af QQ-ploe i samme figur, hvor de er afbillede, hvor eksreme halerne er i forhold il normalfordelingen. Den ree linie repræsenerer hvordan afkasdaa ville have se ud hvis de var perfek normalfordel. Daa udviser en afvigende endens fra normalfordelingen i halerne, hvilke påviser de fede haler for den sande afkasfordeling. Dee er i overenssemmelse med de påvise resulaer af Jackwerh e al. (1995) og Con (001). Figur 3. viser log-afkas for S&P 500 over en periode på næsen 6 år. Her ses de, a eksreme afkas ofe opræder og a høje (lave) afkas er eferfulg af høje (lave) afkas, hvilke er i 18

27 overenssemmelse med beragningerne af Con (001), om a variaionen har endens il a samle sig i klynger. FIGUR 3.: Daglig S&P 500 log-afkas fra Log-afkas 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0, -0, Tilsammen yder de fede haler og den sejle fordeling på en blanding af flere fordelinger med forskellig varians, hvilke bevirker, a variansen nødvendigvis skal modelleres sokasisk. Variansens endens il a samle sig i klynger skyldes den omale auokorrelaion mellem afkas og er en konsekvens af, a afkas ilsyneladende er mean revering, hvilke dermed også skal indlemmes i en mere realisisk model end Black-Scholes. Dee undersøes af økonomiske beragninger om, a den fremidige volailie vil ligge indenfor e besem og begrænse inerval (Gaheral 006 s. ). 3. Volailiessmile Som idligere nævn er volailieen den enese parameer i Black-Scholes formel, der ikke kan observeres direke i markede. De er samidig en realie, a der ikke findes én sand og konsan volailie, og derfor er de nødvendig a esimere denne, hvilke er en krævende opgave. Dee gør dermed op med anagelsen bag Black-Scholes om, a volailieen er konsan og kend. Teorien anbefaler dog ikke én besem måde a esimere volailieen på, hvorfor der i praksis opræder o begreber den hisoriske og den implicie volailie. Imidlerid viser både den hisoriske og den implicie volailie uoverenssemmelser med anagelsen i Black-Scholes model, og i de følgende vil disse uoverenssemmelser blive påvis. Den hisoriske volailie esimeres ud fra e give idsinerval på f.eks. en uge, en måned eller e år. Flere observaioner leder il sørre præcision for den esimerede parameer, men da volailieen ikke er konsan, og a for gammel daa ikke synes relevan, findes sandheden e sed imellem. Dee 19