Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Transkript

1 Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder: Lisbeh la Cour Censor: Copenhagen Business School 9

2 Eecuive Summary This hesis presens an aemp o resolve he problems emerging from he assumpions concerning he risk premium on he sock markes. The main concern is he calculaion of he hisorical risk premium which unil now has been based on he assumpion ha he risk premium can be assumed consan if he sample period is long enough. Since he risk premium for a specific sock marke has differen size depending on he period he risk premium migh no be consan afer all. This hesis presens calculaions of a imevarian risk premium and discusses he relevance for invesors. The hesis firsly reviews he original risk premium heory from 985 presening he definiion of he risk premium he calculaion mehods and he main assumpions. n he coninuaion of his he ne par of he hesis presens he appropriae series o represen boh he Danish sock marke and a Danish riskfree asse wih a prior disscusion of he heoreical relevance of he alernaives. The hesis proceeds o review he coinegraion heory. The variaion of he V-represenaion of muliple series is presened wih he main focus on he effecs from coinegraion beween he series. Especially he spli ino he long run parameers and he shor run parameers Γ i are relevan because i shows he differen informaion wihin he series. ferwards boh he univarae and he mulivariae coinegraion heory are described wih he cener of aenion on he consequences following choices concerning he parameers indicaed by esresuls. The empirical par of he hesis shows how he heoreical argumens are pu o work on he Danish sock marke. Eensive aenion is payed o he specificaion of he unresriced V-model o ensure ha he assumpion of mulivariae normaliy in he residuals is obained. The final resriced model consiss of one coinegraion ha describes he long run dynamic and respecively an ()- process for he risk free asse and an (3)-process for he sock marke o describe he shor run dynamic. is shown ha he imevariane risk premium can be calculaed from a saisical mehod and a financial mehod using he esimaed parameers bu boh mehods are in some areas inconsisen wih he known financial forces and he saisical definiions concerning he series. The risk premium is calculaed under he assumpion of concisency so ha he resul can be used as benchmark. Boh imevariae calculaion mehods and he concisency mehod show ha an invesor can epec an annual risk premium of abou 5% on a long invesmen. Bu he assumpion of concisency during he periode is shown o be unaccepable since he spread of he annual imevarian riskpremium is -8% o 38%. The iming of a shorer invesmen is herfor crucial for he size of he risk premium. Side

3 ndholdsforegnelse. NTODUKTON 4. POBLEMFOMULENG 5. FGÆNSNNGE 6.3 DT VLG 6. SKOPÆMEN PÅ ET KTEMKED 7. DEFNTON OG BEEGNNG F SKOPÆMEN 8.. fgrænsninger for akiemarkeds indeks 8.. Beregning af realafkas og realrene 9..3 Beregning af risikopræmien 9..4 Hisorisk risikopræmie vs. Fremidig risikopræmie. MULGE SKOFE KTVE.3 OPSUMMENG 3 3. DET DNSKE MKED 3 3. DEFNTON F DET DNSKE KTEMKED OMX København MSC Valg af akieindeks il empirisk analyse 6 3. DEFNTON F DET SKOFE KTV UDVKLNGEN DET DNSKE MKED Definiion af inflaion Beregning af nominel og real udvikling i de danske akiemarked Beregning af nominel og real udvikling i de danske renemarked Udviklingsmønser på de danske marked OPSUMMENG 4. NTODUKTON TL V MODEL 4. OMSKVNNG TL KOMPKT FOM 4. OMSKVNNG TL VECM 4.3 KONTEGTON VECM Definiion af koinegraion Koinegraion specificere i VECM DETEMNSTSKE KOMPONENTE Dummie variable OPSUMMENG 9 5. UNVTE KONTEGTONSNLYSE 9 5. DCKEY-FULLE-TEST 9 5. ENGLE-GNGE POCEDUEN Problemsillinger ved EG-proceduren OPSUMMENG 3 6. MULTVTE KONTEGTONSNLYSE 3 6. VLG F LG V-MODELLEN 3 6. MSSPECFKTONSTESTS Normalie CH effeker uokorrelaion Sammenhæng mellem misspecifikaionsess VLG F KONTEGTONSNG ang es Egenværdier De korreke valg PMETE OG TEST F HYPOTESE Hypoeser for langsigede paramere Esimaion af korsigede paramere UKOELEEDE ESDULE 4 Side

4 6.6 OPSUMMENG NLYSE F DEN KONSTNTE SKOPÆME PÅ DET DNSKE KTEMKED BEEGNNG F DEN KONSTNTE SKOPÆME SMMENLGNNG MED EN LGNENDE UNDESØGELSE OPSUMMENG NLYSE F EN TDSVEENDE SKOPÆMEN PÅ DET DNSKE KTEMKED GFSK DTUDVKLNG OG UNVNTE TESTS NDKTON F KONTEGTONSELTON MODEL UDEN ESTKTONE Trend og laglængde i modellen UNDESØGELSE F MSSPECFKTON MODELLENE Saisisk korrekion af middelværdiskif og sore residualer Økonomisk begrundelse for korrekioner KONTEGTONSELTONE Valg af m il modellen Valg af rang Koinegraionsrelaioner og es af hypoeser for paramerene De korsigede paramere BEEGNNG F DEN TDSVEENDE SKOPÆME PÅ DET DNSKE KTEMKED Den finansielle meode Den saisiske meode Sammenligning af de idsvarierende risikopræmier DSKUSSON F EMPSKE ESULTTE Konsan risikopræmie Niveau if. andre undersøgelser af de danske akiemarked Niveau if. risikopræmier fra andre koinegraionsanalyse OPSUMMENG KONKLUSON 77 LTTETULSTE 79 BLG -8 8 Der henvises i speciale il følgende filer som er vedlag på en CD-rom: ) Ecel-fil Daa og Beregninger.ls med daaserier og beregninger. - når filen åbnes skal makroerne akiveres. ) Programkode ProgramKode.PG il TS sam indlæsning af V-modeller il CTS. 3) Ecel-fil DaaTilCas.ls med daaserier der kan indlæses i TS. Side 3

5 . nrodukion dag har sørsedelen af den danske befolkning inveseringer i de danske værdipapirsmarked. Nogle mennesker har en pensionsopsparing som er invesere i en kombinaion af akier og obligaioner. ndre har invesere en personlig opsparing i arakive værdipapirer og forskellige virksomheder har en porion penge som er sa il side il dårlige ider. Ens for inveseringerne er a inveseringsværdien ønskes bibehold samidig med a der opnås sørs mulig afkas. En invesor anbefales a diversificere sin porefølje for eksempel ved a invesere i flere forskellige akier i de danske marked således a risikoen minimeres i forhold il de afkas som er mulig a opnå. For en langsige invesor er de ineressan a kende il afkase på inveseringerne over en længere horison. Derfor er der i denne analyse fokus på forholde mellem afkase på akiemarkede og afkase på e risikofri akiv ide dee viser forskellen på a have pengene sående på en bankkono og ved a invesere pengene i en veldiversificere dansk akieporefølje. følge eorien svarer afkase på akiemarkede il afkase på e risikofri afkas plus en risikopræmie for den øgede risiko der er ved a invesere i e risikofyld akiv. Der er foreage forskellige undersøgelser af risikopræmien på de danske akiemarked hvor undersøgelserne har varierende hisoriske horisoner samidig med a der ikke er fuldsændig enighed om hvordan hhv. akiemarkede og de risikofrie akiv skal beskrives. ndil nu har den gængse meode il besemmelse af risikopræmien være a beregne e gennemsni af de hisoriske afkas over en periode hvilke er i overenssemmelse med a risikopræmien anages a være konsan over id. Spørgsmåle er om denne anagelse er accepabel if. de danske akiemarked. Da de er umulig a forudsige udviklingen af priserne på værdipapirer vil værdipapirernes afkas være præge af sokasiske elemener hvorfor anagelsen om en konsan risikopræmie kan være problemaisk. Gennem idsrækkeanalyse er de vis a afkasudviklingen for e enkel akiv ilnærmelsesvis kan beskrives ved en uoregressiv proces (-proces). Derfor er de nærliggende a beskrive afkasudviklingen for akiemarkede ved én -proces og reneudviklingen for e risikofri akiv ved en anden -proces. de akiverne finansiel se kan påvirke hinanden samidig med a de kan være dreve af en fælles sokasisk proces undersøges de i denne analyse om der findes en koinegraion mellem udviklingen på hhv. de danske akiemarked og e risikofri akiv. Ved koinegraion har de o akiver mulighed for a påvirke hinandens udvikling samidig med a Fage Tidsrækkeanalyse på Cand.merc.(ma) -sudie Side 4

6 serierne varierer over id. Med de age i beragning giver anagelsen om en konsan risikopræmie over id ikke længere mening hvorfor en alernaiv beregning af risikopræmien vil beskrive den finansielle siuaion bedre. Kun i én forholdsvis lille undersøgelse er risikopræmien på de danske akiemarked besem ved hjælp af koinegraionsanalyse. Derfor er de ineressan a foreage en sørre undersøgelse af kombinaionen mellem mulivariae koinegraionsanalyser og sørrelsen af risikopræmien på de danske akiemarked. Yderligere har de ineresse a beregne spænde mellem maksimum og minimum for risikopræmien således a relevansen af iming og horison af en invesering kan vurderes når risikopræmien anages a variere over id.. Problemformulering Formåle med speciale er a gennemføre en mulivariae koinegraionsanalyse og herigennem a opnå indsig i modelspecifikaion og relevane ess. Specifik gennemføres en analyse af de danske akiemarked og herfra beregnes den idsvarierende risikopræmie som en invesor kan forvene a opnå ved en invesering i de danske akiemarked. Hovedspørgsmåle i speciale er således: Hvordan kan risikopræmien på de danske akiemarked beregnes ved brug af mulivariae koinegraionsanalyser? De overordnede emne er definere som Mulivariae koinegraionsanalyser af risikopræmien på de danske akiemarked. Ved besvarelse af hovedspørgsmåle opnås således den ønskede forsåelse af de overordnede emne. De overordnede emne er del op i flere delemner hvoraf hver delemne beskrives for sig. Således opnås en dybdegående besvarelse af hovedspørgsmåle. Hver delemne undersøges med udgangspunk i hver si delspørgsmål: Hvad er definiionen af risikopræmien og hvordan beregnes den? Hvilke serier beskriver de danske værdipapirmarked beds if. eorien bag risikopræmien? Hvordan defineres en V-model og hvad beyder de for modellen når der er koinegraion mellem serierne i modellen? Hvad indebærer mulivaria koinegraion (Johansens koinegraion) og hvilke konsekvenser er der ved resulaerne af de forskellige ess som benyes i analysen? Hvad opnås ved en empirisk analyse af de danske akiemarked mh. sørrelsen på risikopræmien og spænde mellem maksimum og minimum for denne? Delspørgsmålene undersøges i nævne rækkefølge. nalysen indledes således med a beskrive definiionen af risikopræmien og klargøre hvorledes denne kan beregnes. Olesen J.O. () Side 5

7 . fgrænsninger De er nødvendig a foreage visse afgrænsninger for emne. dee afsni beskrives hver afgrænsning sam hvad der ligger il grund for disse. Førs afgrænses koinegraionseorien ide a der kun laves ()-analyse for mulivaria koinegraion. Der ses bor fra muligheden for ()-analyse ide ()-analyse er ilsrækkelig for den valge case. Yderligere vil M-dynamikken i en evenuel langsige ligevæg ikke blive beskreve ide dynamikken i ligevæg ikke er relevan for sørrelsen på risikopræmien for de danske akiemarked. nagelser om a esimerede paramere er konsane over hele perioden anfæges ikke da modellen ikke skal benyes il forcas. Derfor undlades rekursiv esimaion med de esimerede parameer i analysen. forhold il den valge case beregnes risikopræmien over en afgrænse idsperiode fra 97 il 8 da denne idsperiode er relevan a sammenligne med en fremidig udvikling. Samidig anages de a de danske værdipapirmarked kun indeholder obligaioner rener og akieindeks og der ses bor fra muligheden for a invesere i mere eksoiske værdipapirer. Der anages yderligere simplificeringer for værdipapirmarkede ide der ses bor fra invesorskaer kurage på handler og lignende skaer og afgifer. Ud fra disse afgrænsninger undersøges de forskellige delspørgsmål fra problemformuleringen. Således vil eorien omkring beregning af risikopræmien den afgrænsede koinegraionseori og den empiriske analyse give en grundig dækning af emne inden for de angivne rammer..3 Daa valg Daaserierne som benyes il den empiriske analyse er besem ud fra overvejelser omkring de danske værdipapirmarked. En længere diskussion af værdipapirmarkede i Danmark indgår senere hvor der fremgår begrundelser for valg af daaserier. analysen benyes kvaralsdaa i perioden 3. december 969 il 3. december 8 således a undersøgelsen dækker over en periode på 39 år med i al 57 observaioner. En samle oversig over akiver beskrivelser af serier idsperioder og daakilder findes i bilag. Da der benyes kvaralsdaa skal de risikofrie akiv defineres over en 3 måneders periode. Derfor benyes en 3 måneders CBO-rene som besemmes ud fra danske bankers renesaser på de Side 6

8 givne idspunk. Da reneserien ikke går lang nok ilbage i id benyes diskonosaser fra den danske naionalbank il den førse del af daaserien fra 3. december 969 il 3. mars 988. Herefer benyes den 3 måneders CBO-rene fra 3. mars 988 og frem il 3. december 8. Den årlige diskonosas på e given idspunk deles med 4 således a serien angiver 3 måneders renesaser svarende il de reserende kvaralsdaa. De danske akiemarked kan angives ved flere forskellige indeks der beskriver markede ud fra forskellige vinkler. denne analyse benyes Morgan Sanleys MSC Danmark indeks il a beskrive en veldiversificere porefølje på de danske akiemarked. ndekse omregnes il DKK ved hjælp af valuakurserne på idspunke for den enkele observaion. Hermed giver de mening a sammenligne med e dansk risikofri akiv som auomaisk opgøres i DKK hvilke beyder a valuarisikoen fjernes fra undersøgelsen. MSC indekse er udbyekorrigere hvorfor der i undersøgelsen ikke fremkommer fejl som følge af udbye på de enkele akier. analysens beregninger benyes reale indeks- afkas- og reneserier. Disse er fremkomme ved a deflaerer serierne med den danske inflaion. denne analyse benyes en inflaionsserie fra MF nernaional Financial Saisics som angiver en gennemsnilig årlig inflaion over en periode på 3 måneder. 3 For a inflaionen gælder kvaralsvis deles den gennemsnilige årlige inflaionssas på e given idspunk med 4 således a inflaionen svarer il de reserende kvaralsdaa.. isikopræmien på e akiemarked En del af akivallokeringen i en porefølje er a besemme en fordeling af inveseringerne. Fordelingen kan beså af en blanding af akier obligaioner og konanbeholdning eller fordelingen kan indeholde mere eksoiske inveseringer. En invesering i akiemarkede kan give varierende afkas og markedes udvikling kan beskrives ved e markedsindeks som herved indikerer afkase på en veldiversificere porefølje. En konanbeholdning vil derimod give e renebeløb og ide renen er kend fra inveseringens sar anses konanbeholdningen for a være en risikofri invesering mens en invesering i akiemarkede er risikofyld. Under anagelse af a en ilpas lang idshorison vil indeholde en hel business cyklus med både op- og nedure i markede er der generel opsåe en hypoese om a forskellen på en invesering i e 3 Førs beregnes årlige inflaioner for hver måned if. åre før. For eksempelvis. kvaral vil den gennemsnilige årlige inflaion være summen af inflaioner for januar februar og mars som herefer deles med 3. Side 7

9 risikofyld akiv og e risikofri akiv er konsan over denne idshorison. E argumen der aler for denne hypoese er a variaionen i forskellen mellem de o inveseringer gennem den ilpas lange idshorison vil udligne sig hvorfor anagelsen om en konsan forskel kan acceperes. På denne baggrund undersøges førse delspørgsmål om den generelle definiion og beregning af risikopræmien på e akiemarked.. Definiion og beregning af risikopræmien en undersøgelse af de amerikanske akiemarked fra ser Mehra og Presco førs på den hisoriske udvikling i markede. følge dem beskrives sammenhængen mellem de gennemsnilige årlige hisoriske realafkas på hhv. akiemarkede og e risikofri akiv ved: er akiemarkedes årlige afkas f P P f. (.) f er afkase på de risikofrie akiv og P er en risikopræmie. Mehra og Presco viser a hisorisk se har de årlige afkas på de amerikanske akiemarked være beydelig sørre end de årlige afkas på de risikofrie akiv. Dee merafkas kaldes risikopræmien på akier (risikopræmien) og angives ovenfor i ligningen med P. isikopræmien er afhængig af den valge idsperiode som afkasene sammenlignes over sam hvilke markedsindeks og hvilke risikofri akiv der benyes som sammenligningsgrundlag... fgrænsninger for akiemarkeds indeks E akiemarkedsindeks besår af mange akier fra e given marked. Disse akier skal sæes sammen således a der opnås e samle indeks som kan beregnes koninuerlig. Typisk er der forskellige meoder il a væge akierne i e indeks pris-væge eller værdi-væge. E pris-væge indeks beregnes ved a finde summen af priserne på de akier der indgår hvorefer summen deles med analle af akier. E værdi-væge indeks beregnes derimod ved a hver akie i indekse har e væg som svarer il markedsværdien af selskabes egenkapial. de der i e pris-væge indeks ikke ages højde for værdiilvæksen ved eksempelvis udbye vil bevægelserne i indekse ikke svare il de afkas en invesor ville få hvis han replikerede indekse. fkase i e værdi-væge indeks svarer således bedre il de afkas en invesor ville få ved replikering hvilke beyder a e værdi-væge indeks er a forrække når performance og herunder risikopræmien på akier skal beregnes 5. 4 Mehra. nd Presco E.C. (985) 5 Cornell B. (999) Side 8

10 en revidere udgave fra 8 af Mehra og Prescos arikel specificeres de underliggende anagelser for beregning af risikopræmien 6. De anages a alle bealinger på de underliggende akiver bliver reinvesere. De beyder a udbyebealinger på akier og rener på obligaioner sam konanbeholdninger skal inveseres i de givne akiv således a bealingerne kommer il a indgå som en signing i akives værdi. Yderligere anages de a der ikke beales ska eller handelsomkosninger ide disse kan være forskellige fra akiv il akiv... Beregning af realafkas og realrene Da inflaionen varierer fra idsperiode il idsperiode skal den ikke være en fakor i sørrelsen på risikopræmien. Den nominelle rene er pr. definiion påvirke af inflaionen hvorfor der skal benyes en realrene il risikopræmieberegningen. ealrenen findes ved a fjerne inflaionspåvirkningen fra den nominelle rene hvilke gøres ved a benye den generelle renes regningsformel 7 i : r (.) π hvor r er den reale rene i er den nominelle rene og π er inflaionen. Beregningen af e nominel afkas (lig prisændringen) på e given akiv kan findes ved: hvor i er afkase fra il P udbye i løbe af periode der skal reinveseres. P D P P D i P (.3) P P er akivprisen på id P er akivprisen på id og D er Den generelle formel (.) for realreneberegning kan direke overføres il akieindeksserier hvorved r er de reale afkas og i er de nominelle afkas...3 Beregning af risikopræmien E alernaiv il ligning (.) er a beregne e afkas på akiemarkede en rene for de risikofrie akiv sam a beregne en ilhørende risikopræmie il hver delidspunk. isikopræmien over en længere periode besemmes herefer som e gennemsni af de enkele risikopræmier indenfor inervalle ide de anages a risikopræmien over de samlede inerval er konsan. Se fra e maemaisk synspunk kan der benyes o forskellige yper af gennemsni: 6 Mehra. nd presco E.C. (8) s.8 7 Jensen B.. (5) s.7 Side 9

11 rihmerisk gennemsni: Sum af observaioner hvor de anages a delperioder er lige lange. nal observaioner Slu værdi n Geomerisk gennemsni: hvor n analle af delperioder. Sar værdi Generel gælder de a de geomeriske gennemsni alid er mindre eller lig de arihmeriske gennemsni. Yderligere gælder a jo mere variabel en serie er jo sørre forskel vil der være mellem de o yper af gennemsni. Således vil der være sor forskel på sørrelsen af risikopræmien al efer hvilken ype gennemsni der benyes. Ved beregning med flere serier (eksempelvis en akieserie og e risikofri akiv) over en fas periode gælder de a differencen af de geomeriske gennemsni på o individuelle serier ikke svarer il e geomerisk gennemsni af en serie med differensen på de enkele observaioner i de o serier. forhold il beregningen af risikopræmien over en samle periode vil de beyde a der med geomerisk gennemsni fremkommer én sørrelse fra ligning (.) og en anden sørrelse fra den alernaive meode med risikopræmier ved alle delperioderne. Dee er en uheldig egenskab ide der vil være vivl om sørrelsen på den samlede risikopræmie. Denne problemsilling opsår ikke for de arihmeriske gennemsni hvorfor der er en klar fordel ved a benye de arihmeriske gennemsni i beregningen af den samlede risikopræmie på akiemarkede. Mehra og Presco argumenerer således også for de arihmeriske gennemsni i deres reviderede undersøgelse: f reurns are uncorrelaed over ime he appropriae saisic is he arihmeic average because he epeced fuure value of a $ invesmen is obained by compounding he mean reurns. Thus his is he appropriae saisic o repor if one is ineresed in he mean erminal value of he invesmen. 8 Yderligere mener de a den fremidige værdi af en invesering vil blive underesimere hvis de geomeriske gennemsni benyes ide denne har mindre værdi end de arihmeriske gennemsni. l i al må de konkluderes a de arihmeriske gennemsni skal benyes i beregning af den hisoriske risikopræmie på akiemarkede...4 Hisorisk risikopræmie vs. Fremidig risikopræmie de en invesor er ineressere i den forvenede indjening på en invesering er den fremidige risikopræmie mere ineressan end den hisoriske risikopræmie. 8 Mehra. nd presco E.C. (8) s. Side

12 flere undersøgelser 9 anages de a hvis den hisoriske risikopræmie beregnes ud fra e lang hisorisk inerval så er de e god esima af den forvenede risikopræmie. Dee sker med en implici anagelse om a fremiden bliver ligesom foriden hvorfor de forvenede afkas i fremiden vil være de gennemsnilige risikofrie afkas plus den hisoriske risikopræmie. Som en yderligere dimension il diskussionen er inflaion varierende over id. For a undgå a den varierende inflaion påvirker risikopræmien benyes som idligere nævn realafkas. Benyes de reale afkase hisorisk opsår der e bias ide markedspriserne afspejler den forvenede inflaion i de kommende inerval mens de fakiske afkas beregnes ud fra den realiserede inflaion. De viser sig på lang sig a fejl-effekerne mellem forvene og realisere inflaion vil gå ud med hinanden. Overordne beyder dee a en hisorisk risikopræmie der er beregne over en lang idshorison kan benyes som esima for fremidens risikopræmie. Så længe invesoren er opmærksom på de bagvedliggende anagelser om a fremidens udvikling bliver som foridens udvikling sam de bias der opsår fra problemsillingen mellem forvene og realisere inflaion kan invesoren alså anskue en hisorisk risikopræmie som e esima af de fremidige forvenede merafkas på akiemarkede.. Mulige risikofrie akiver fkase på de risikofrie akiv der benyes il a beregne risikopræmien er ikke specificere il en specifik ype akiv. De beyder a der er flere alernaive inveseringsmuligheder som er kandida il a være e risikofri akiv. På kor sig kan der benyes e skaekammerbevis med en løbeid på en måned eller e sasobligaionsindeks med fas varighed på 83. Dee er de æese man kan komme på e risikofri akiv ide løbeiden ilbage på akive er så kor a udbealingen kan beegnes som kend. På lang sig (e. år) kan der benyes e sasobligaionsindeks eller en obligaion med hhv. en varighed på eller en løbeid på år. Generel må langsigede sasobligaioner anses som værende defaul-free hvilke gør dem egnede som e risikofri akiv i beregningen af risikopræmien. Til gengæld kan de variere på korere sig på grund af ændringer i renen og de kan variere på lang sig på grund af ændringer i inflaionen. De beyder a sasobligaionerne ikke lever fuld op il krave for e risikofri akiv ide de således ikke genererer e kend afkas. 9 Cornell B. (999) og Dimson E. March P. Saunon M. () Dee sker eksempelvis på de amerikanske daasæ i Cornell B. (999) Side

13 Speciel for de danske marked er sasobligaioner hisorisk se ynd handle hvorfor disse i perioder har være illikvide. Danske realkrediobligaioner har hisorisk se være likvide men en realkrediobligaion kan ikke anses for a være defaul-free. Derfor kan e realkrediobligaionsindeks ikke anses for a være risikofri. Den risiko der er forbunde med en realkrediobligaion afbalanceres ved a der er en sørre rene på denne ype obligaion frem for en sasobligaion. E ande alernaiv er a benye inerbankrenen som oplyses af Naionalbanken. nerbankrenen kan også ændre sig undervejs men hvis en bank finansierer e lån il en anden bank vil inerbankrenen på den pågældende dag blive benye som rene på låne. De beyder a afkase på de risikofrie akiv (hvilke er lig inerbankrenen) er kend for den valge inveseringsperiode. Dimson Marsh og Saunon har forage en analyse af de danske akiemarked fra 9- hvor risikopræmien beregnes for samlige delperioder der kan inddeles ved års inerval såvel med en esimere kor rene serie som e esimere -årig realkrediobligaionsindeks. nalysen viser a der er sor forskel på risikopræmiernes sørrelser al efer hvilken idsperiode der benyes. Derudover viser analysen også a forskellen mellem præmien besem ved hhv. den kore rene og de -årige realkrediobligaionsindeks indenfor den samme periode kan variere. Den sørse forskel er i perioden 9-99 hvor risikopræmien ved realkrediobligaionsindekse er 68% sørre end risikopræmien ved brug af den kore rene. Den mindse forskel findes fra 94- hvor risikopræmien ved realkrediobligaionsindekse er % sørre end risikopræmien ved den kore rene. /5 af ilfældene er de risikopræmien besem ved korrenen der er sørs mens de i 3/5 af ilfældene er risikopræmien besem ved realkrediobligaionsindekse der er sørs. Korreneserien hos Dimson Marsh og Saunon har en sørre realrene end deres -årige realkrediobligaionsindeks gennem hele perioden. følge ligning (.) vil en sørre rene på de risikofrie akiv resulere i en mindre risikopræmie og derfor giver den overordnede fordeling god mening. Normal vil renen på en realkrediobligaion være sørre end korrenen ide den sørre rene skal kompensere for den øgede risiko der er ilknye en realkrediobligaion. følge ligning (.) vil realkrediobligaionsindekse derfor generere en mindre risikopræmie på grund af den sørre rene. En real rene vil blive beregne vha. ligning (.) og ide risikopræmien beregnes ved arihmerisk gennemsni må de anages a renen er approksimaiv konsan for a e gennemsni vil give en konsan risikopræmie. Jf. Samale med Senior poreføljemanager Henrik Qvisgaard fra Kapialforvalning i Gudme aaschou Banks Dimson E. March P. Saunon M. () Side

14 Samle se har valge af de risikofrie akiv således en påvirkning på sørrelsen af risikopræmien. De vigigse elemener i valge af de risikofrie akiv er derfor: akive er definere over den relevane periode. akive er approksimaiv konsan. akive af invesoren kan anses a være forudsigelig og således risikofri..3 Opsummering Fra anagelsen om a risikopræmien er konsan over id kan risikopræmien for e akiemarked beregnes. isikopræmien angiver de gennemsnilige merafkas der kan opnås ved a invesere i e akiemarked frem for a invesere il en rene der er kend ved sar. Der indgår op il flere elemener i beregningen af den konsane risikopræmie. De er bl.a. a akieindekse er værdi-væge og repræsenerer markede så bred som mulig a udbyer og rener reinveseres sam a der benyes realafkas og arihmeriske gennemsni ved beregningen. Yderligere er der elemener der kan have påvirkning på sørrelsen af den konsane risikopræmie så som valge af periodelængden og en vurdering af hvilke akiv der anvendes il a repræsenere de risikofrie akiv. 3. De danske marked dee afsni beskrives de danske værdipapirmarked og de undersøges hhv. hvilken ype akiemarkedsindeks og hvilken ype af risikofri akiv der passer beds il risikopræmieanalysen. Herved besvares de ande delspørgsmål under problemformuleringen ide krierierne fra eorien benyes il a vælge de mes anvendelige serier. 3. Definiion af de danske akiemarked De danske akiemarked har e sor udbud af akier ide både sørre og mindre virksomheder inden for forskellige brancher er finansiere ved hjælp af akier. Som udgangspunk defineres akier il hhv. a være noere eller unoere. Dvs. en noere akie er en akie der er noere på OMX København mens en unoere akie ikke er noere på OMX København. OMX København er en del af OMX Den Nordiske Børs og sår for akiehandlen på de danske marked. Således er OMX København selve hovedmarkedspladsen for akiehandler i Danmark. Side 3

15 3.. OMX København OMX København har definere forskellige indeks der beskriver handlen på de danske marked. ndeksene kan være opdel i 4 forskellige indeksyper der angiver hvilken udvikling en serie skal afspejle 3. P-indeksypen angiver en ren prisserie hvor udbye på de repræsenerede akier ikke reinveseres. Når en akie giver udbye vil akieværdien falde på udbyedagen svarende il den værdi der gives i udbye. Korrigere med den specifikke akies væg i indekse vil de dermed også føre il e fald i indeks af P-ypen. Således er e indeks af P-ypen e billede af akiekursens bevægelse alene. G-indeksypen angiver e bruoserie hvor udbye er geninvesere i den pågældende akie. Herved vil falde i akieværdien på udbyedagen blive modvirke af en ilsvarende invesering hvorfor den vægede værdi i G-indekse vil være uændre. Således angiver Gypen den sande udvikling i akieindekse. N-indeksypen defineres på samme måde som G-ypen hvor der dog er e fradrag af kildeska før udbye kan geninveseres. N-ypen angiver derfor e neoindeks. Cap-ypen har en grænse for hvor sor en væg en enkel akie kan have i indekse. Hvis vægen af akien bliver for sor bliver dens væg jusere il værdien af den øvre grænse. Cap-ypen er derfor en jusere indeksserie kalde e cappe indeks og serien findes både i en P- og en G-ype. OMX København s 5 overordnede akieindeks giver forskellige vinkler af handlen på de danske akiemarked. lle indeksene er værdi-væge således a hver akie indgår med sin markedsvæg. Toalindekse der beskriver hele markede på OMX København er KX. Samlige akier der er noere på OMX København er således inkludere. ndekse viser den samlede ilsand af de danske marked og heraf kan de udledes hvilke ændringer der sker i markede som helhed. KX findes både som P- og G-ype sam Cappede versioner af disse. OMXC (C) er de førende akieindeks på de danske marked. ndekse revideres en gang om åre og indeholder de mes omsae danske akier der er noere på OMX København. Modsykke heril er KFMX indekser der indeholder alle de noerede danske akier som ikke er med i C-indekse 4. Ved værdiændringer giver selskaberne i C en beskrivelse af bevægelserne i ca. 8% af de danske akiemarked hvorved selskaberne i KFMX giver en beskrivelse af ændringer 3 Beskrivelse af akieindeks og indeksyper kan ses på 4 f særlige årsager er enkele akier ikke indehold i hverken C eller KFMX. Ved a række akierne i C fra Toalindekse vil der være enkele undagelser i forhold il akierne i KFMX. Side 4

16 i de sidse ca. %. Mens C kun opgøres som P-ype opgøres KFMX både som P- og G-ype. Formåle med de o akieindeks er a beskrive hvordan de hhv. går med de mes og mindre omsae akier på markede. Herved vil ændringer i markede ses som umiddelbare reakioner på C mens reakionerne førs ses senere på KFMX. OMXCB angiver OMX Københavns benchmarkindeks. Her er akierne i indekse en kombinaion af de sørse akier og de mes omsae akier hvor alle akier væges med den del af deres akiekapial der anses for a være ilgængelig for markede. OMXCB findes i de samme yper som KX nemlig P- G- Capped P- og Capped G-yper. Derudover findes der flere sekorindeks CX som inddeler alle noerede akier på OMX København i 4 niveauer. Disse niveauer er specificere i forhold il Global ndusry Classificaion Sandard (GCS) som er en inernaional inddeling af selskaber som er udvikle af Morgan Sanley Capial nernaional nc. og Sandard and Poor s. Hver sekorindeks findes hhv. som om P- og G-yper. Når en invesor skal benye e af indeksene fra OMX København il a beskrive de danske akiemarked er der flere fakorer der gør sig gældende. Før der kan ræffes e valg om e specifik indeks skal invesoren overveje hvilken vinkel af markede der skal belyses. De mes eller minds omsae de oale marked eller en kombinaion heraf. Samidig skal de beslues om indekse skal afspejle den rene prisudvikling eller om der skal ages højde for udbye. lle disse variaioner beyder a invesorer og analyikere har forskellige syn på hvordan de danske akiemarked er sammensa. Derfor er de vigig a specificere si marked før der gennemføres analyser og anbefalinger. 3.. MSC Morgan Sanley Capial nernaional nc. (MSC) definerer indeks for markeder i hele verden 5 hvor hver indeks bl.a. kan dække over e land eller e koninen. ndeksene er inddel efer om de er e udviklingsland eller e indusriland der beskrives eller alernaiv hvilken verdensdel der skal beskrives. Ofes er indeksene noere i USD men de kan også angives i andre valua. MSC har bl.a. definere e indeks der beskriver de samlede danske akiemarked: MSC Daily T Ne Denmark USD (MSC Danmark). ndekse giver en alernaiv beskrivelse af de danske akiemarked i forhold il indeksserierne fra OMX København. ndekse fra MSC er oprindelig noere i USD men kan angives i DDK ved a omregne værdien med den officielle valuakurs il hver given idspunk. 5 Beskrivelser af indeks yper kan ses på Side 5

17 MSC Danmark dækker ca. 85% af de danske akiemarked 6 men definiionen af selskaberne indehold i indekse er mere komplicere end for C. Samlige noerede akier inddeles efer de 4 GCS niveauer hvorefer akierne il indekse vælges således a de 85% af markede er dække. Udvælgelsen af akierne sker på basis af e krierium om a akier fra samlige kombinaioner af niveauer skal være repræsenere. De beyder a akier fra alle de forskellige sekorer af markede er inkludere selvom de ikke nødvendigvis er særlig omsae på børsen. Yderligere er vægen af hver enkel akie definere ud fra den free floa jusere markedskapial i selskabe 7. Således er de kun de akier som er ilgængelig for den almindelige invesor der æller med i indekse hvorfor MSC Danmark vil give e mere reel billede af de danske akiemarked for en almindelig invesor ide den uopnåelige del af akiemarkede er sorere fra ved free floa jusering Valg af akieindeks il empirisk analyse Fra ovensående beskrivelser af de danske akiemarked kan de konkluderes a der er forskel på hvilke indeks der skal benyes i en given siuaion. De skyldes a hver indeks er opgjor på forskellig vis og således giver hver sin en vinkel på de danske akiemarked. De forskellige indeksserier er mere eller mindre anvendelige i forhold il beregning af risikopræmien på markede hvorfor nogle af indeksene kan udelukkes med de samme. isikopræmien på de danske akiemarked skal i denne analyse besemmes ud fra en helhedsvurdering af markede. de der findes eksempler på a noerede akier sjælden bliver handle og derfor enen får en forker vægning eller er uopnåelige for den almindelige invesor må der ses bor fra KX og KFMX. analysen behøves der ikke oplysninger på sekorniveau så OMXCX- indeksene fravælges også. OMXCB C og MSC Danmark er derfor som udgangspunk de 3 mulige kandidaer il a beskrive de danske akiemarked. Som beskreve i afsni. skal akieindekse være korrigere for udbye og inddel således a mes mulig af markede er repræsenere. Samidig skal der benyes en lang idshorison for a sikre sig mes mulig hisorik i forhold il a kunne beregne en så præcis risikopræmie som mulig. følge eorien er de også en fordel a indekse er værdivæge så der ages højde for værdiilvækser ved udbye. Derfor er de bedse valg il a beskrive de danske akiemarked MSC Danmark hvorfor MSC Danmark i resen af opgaven vil definere de danske akiemarked skee der en opjusering således a indekse gik fra a dække ca. 6% il a dække de nuværende 85%. 7 Uddybende forklaring af free floa jusere markedskapial findes i bilag. Side 6

18 3. Definiion af de risikofrie akiv Udgangspunke i eorien er a de risikofrie akiv beds beskrives ved en korrene ide denne er kend ved inveseringens begyndelse og dermed kan anages a være risikofri. Danmarks Naionalbank offenliggører de danske inerbankrener også kalde CBO (Copenhagen nerbank Offered ae). enerne beregnes ud fra en række individuelle pengeinsiuers inerne renesaser 8. l efer hvor mange pengeinsiuer 9 der har indberee deres renesaser fjernes de -3 højese og -3 laves renesaser (ved sillere fjernes 3 og ved under 8 sillere fjernes kun ) hvorefer der regnes e simpel gennemsni af de ilbageværende renesaser. CBO findes med løbeider på hhv. uge uger og op il måneder og de offenliggøres daglig på Danmarks Naionalbanks hjemmeside. Udviklingen i de danske akiemarked er beskreve kvaralsvis og derfor vil CBO med en løbeid på 3 måneder (CBO3M) beskrive den ilsvarende udvikling for korrenemarkede i Danmark. egisreringen af CBO3M dækker perioden fra 3. juni 988 og frem il i dag hvilke beyder a perioden fra 3. december 969 og frem il 3. juni 988 må beskrives ved en anden rene. Den bedse mulighed er a benye Naionalbankens diskonosaser som indikerer den overordnede udvikling i Naionalbankens rener. Diskonosasen angiver den årlige diskonering hvilke beyder a den skal deles med 4 for a den kvaralsvise diskonering fremkommer. E alernaiv er a beskrive de risikofrie akiv ved nulkupon-renerne fra kore sasobligaioner eller skaekammerbeviser. På nuværende idspunk er de flese danske skaekammerbeviser ved a blive udfase og de kore sasobligaioner er i øjeblikke mege illikvide. Derudover er de ikke mulig a benye e enkel akiv over hele idshorisonen ide akiverne vil udløbe og jævnlig skal ersaes af nye akiver. De vil skabe problemer i forhold il a opnå en koninuerlig serie og derfor kan de resulere i mege dårlige resulaer hvis sasobligaioner eller skaekammerbeviser benyes som de risikofrie akiv. En anden mulighed er a beskrive de risikofrie akiv ud fra enen sasobligaioner med længere løbeid eller e sasobligaionsindeks med længere varighed. Men ide akiemarkede er opdel i kvaraler og såvel sasobligaionen som indekse kan ændre sig over id hvis der sker rene- eller inflaionsændringer vil disse højs sandsynlig ikke give e god esima af de risikofrie akiv. En redje mulighed er a benye realkrediobligaioner il a beskrive de risikofrie akiv. Selv om e dansk realkrediobligaionsindeks er likvid over hele perioden fra 3. december 969 il De øjeblikkelige anal og specifikaion af hvilke insiuer der er ale om findes på Naionalbanken hjemmeside. Jf. Samale med Senior poreføljemanager Henrik Qvisgaard fra Kapialforvalning i Gudme aaschou Banks Side 7

19 december 8 kan de ikke benyes il beskrivelse af de risikofrie akiv. Denne ype indeks kan ikke berages som risikofri ide der er mulighed for defaul af selskaberne bag obligaionerne. De kan således konkluderes a korrenen i Danmark beds beskriver de risikofrie akiv. Korrenen angives med den Danske Naionalbanks diskonosas fra 3. december 969 il 3. mars 988 og med CBO3M fra 3. juni 988 il 3. december Udviklingen i de danske marked Udviklingen i de danske værdipapirmarked undersøges på baggrund af udviklingen for hhv. de valge akieindeks og indekse for de risikofrie akiv. Førs defineres den nominelle og den reale udvikling for de o serier hvorunder også inflaionen defineres og derefer kan de o udviklingsmønser beskrives Definiion af inflaion nflaionen henes fra MF nernaional Financial Saisics som er en sandard kilde il inernaionale og naionale finansielle undersøgelser. nflaionen i Danmark beregnes ud fra forbrugerprisindekse fra Danmarks Saisik og kan opgøres for forskellige idshorisoner. MF nernaional Financial Saisics benyer følgende beregningsmeode af inflaionen. Den årlige inflaion som svarer il den årlige ændring i forbrugerprisindekse beregnes for hver måned ud fra formlen: F F π (3.) F hvor F er forbrugerprisindekse på id og F er forbrugerprisindekse e år forinden. Den gennemsnilige årlige inflaion for hver kvaral kan nu beregnes ved a age e gennemsni af de årlige inflaioner for de 3 måneder der definere e besem kvaral. Den gennemsnilige årlige inflaion for hver kvaral deles med 4 således a inflaionen opgøres kvaralsvis. π π π (3.) π nflaionsindekse beregnes herefer som: ( π ) hvor π er inflaionsindeksserien på id π π inflaionen på id. ndekse sares ved π. 969; Q4 er inflaionsindeksserien på id - π er Side 8

20 3.3. Beregning af nominel og real udvikling i de danske akiemarked Udviklingen af akiemarkedes indeksserie og afkasserie kan vises nominel og real. De nominelle serier er udryk for de observerede værdier der har være i markede på de givne idspunker mens de reale serier viser de deflaerede værdier. Deflaerede værdier svarer il de observerede værdier jusere for inflaion. Disse beregnes vha. formel (.). kiemarkedes indeksserie benyes il a beregne afkase for akiemarkede på idspunke ved hjælp af formel (.3). de udbye er reinvesere i MSC indekse skal der ikke ages højde for udbye i løbe af perioderne. Derfor er D sa lig i samlige perioder. Sammenhængen mellem den reale prisserie og den nominelle prisserie er: P P no min el real (3.3) π hvor P real er værdien af den reale prisserie P no el min er værdien af den nominelle pris og π er værdien af inflaionsindeksserien il hver idspunk Beregning af nominel og real udvikling i de danske renemarked de den nominelle reneserie svarer il afkasserien for de danske akiemarked omskrives formel (.3) således a der ses bor fra udbyer hvorefer der kan beregnes en indeksserie for de risikofrie P (3.4) akiv. i P ( i ) P P hvor P er værdien af serien for de risikofrie akiv på id P er værdien af serien for de risikofrie akiv på id i er de nominelle afkas mellem id og. ndekse sares ved P 969 ; Q4. De nominelle reneindeks omregnes il realreneindeks vha. formel (3.3) og beregningen kan konrolleres i henhold il den kende renes regning sammenhæng mellem den nominelle rene og realrenen formel(.) Udviklingsmønser på de danske marked Graferne for hhv. den nominelle og den reale udvikling for såvel indeks- som afkasserier indenfor de o markeder er illusrere i bilag 3. f graferne bemærkes de hvorledes inflaionsindekse påvirker den nominelle udvikling for såvel akieindekse som indekse for de risikofrie akiv. Side 9

21 Udsvingene i de nominelle serier er sadig a finde i de reale serier hvor sørrelsen på udsvingene er noge mindre ide inflaionspåvirkningerne er fjerne. De reale akieindeks kan inddeles i 3 perioder med forskellige overordnede endenser: er de reale akieindeks sabil er de reale akieindeks voksende med en lille volailie er de reale akieindeks særk voksende men med sor volailie Tilsvarende kan de reale indeks for de risikofrie akiv inddeles i 3 andre perioder: er de reale indeks for de risikofrie akiv sabil er de reale indeks for de risikofrie akiv særk sigende er de reale indeks for de risikofrie akiv svag sigende Som udgangspunk er endenserne i de o serier ikke ens hvilke er naurlig ide økonomiske begivenheder påvirker de o serier forskellig. Ved afkas- og reneserier er udviklingen lid anderledes. Her påvirkes reneserien af inflaionen mens akieserien sor se ikke ænders. De skyldes a de reale akieafkas svinger mellem - og 4% mens den reale rene svinger mellem -7 og 4%. nflaionen har derfor sor indvirkning på reneudviklingen mens ændringen i inflaionen ikke kan ses bland de sore udsving i akieafkase. De reale akieafkas viser en sabil endens gennem hele perioden med den samme middelværdi og volailie. Den reale rene ser derimod ud il a være sabil i førse og sidse del af perioden mens den i miden af perioden førs har en svag sigende og derefer en svag faldende endens. Yderligere er der enkele sore udsving i forhold il en ellers ens volailie gennem perioden. 3.4 Opsummering De kan konkluderes a der findes flere alernaiver il hhv. a beskrive akiemarkede og de risikofrie akiv i Danmark. Ud fra den eoreiske definiion af en akieindeksserie der skal benyes il a beregne risikopræmien passer MSC Danmark beds. Tilsvarende er de en kombinaion af diskonosasen og CBO3M der er de mes opimal il a beskrive en risikofri serie. De nominelle og reale indeks- afkas- og reneserier beregnes ud fra de idligere beskrevne formler. Tendenserne i indeksserierne er generel sigende mens afkas- og reneserier generel se har samme middelværdier gennem hele perioden. Side

22 4. nrodukion il V model Som redskab il a samle de forskellige serier i en model benyes en Vekor uoregressiv proces (V). De redje delspørgsmål fra problemformuleringen må derfor besvares med henblik på a definiionen af modellen og koinegraionen mellem serierne i modellen beskrives. En V-model beskriver e anal sokasiske processer og er en reformulering af M p kovarianserne mellem disse p processer. Modellen er i sig selv en saisisk model som beskriver sokasiske variaioner i e daasæ. Ved hjælp af modellen kan økonomiske eller finansielle problemsillinger defineres saisisk og der kan udledes hhv. esimaer saisiske ess og asympoiske fordelinger således a der kan drages logiske konklusioner om den saiske model og derved også den bagvedliggende økonomiske eller finansielle model. En V model med k lags (V(k)) dvs. der skal k idligere værdier af processerne il a beskrive de nuværende værdier kan formuleres som: ε µ Π Π KΠ k k ε K T ~ N p ( Ω) hvor angiver a samme model kan benyes il e hver give idspunk mellem og T µ er en vekor med middelværdier mens Ω og Π i K k er de ukende variable. Ω er variansen på i søjledde og Π i K k beskriver hældnings koefficien maricer. i Generel vil de for en saionær proces gælde a forskellen mellem den realiserede værdi og den beingede middelværdien E [ K k ] µ Π Π KΠ k k µ er en Gausisk søj-proces dvs: ε ε ~ N ( Ω) K T µ. p de modellen har en underliggende anagelse om mulivaria normalie i residualerne er lineær udryk ved paramerene og disse paramere anages a være konsane over samlige idspunker. empirien vil dee være konsisen med a invesor er raionel og a han ikke laver sysemaiske fejl når han planlægger for id basere på informaionen om de idligere værdier. Når modellen esimeres vil der derfor være o anagelser. En anagelse om mulivaria normalie således a Side

23 residualerne fra den esimerede model ikke afviger signifikan fra anagelsen ε N ( Ω) anagelse om a paramerene er konsane over idsperioden. ~ p og en 4. Omskrivning il kompak form Når der ikke er resrikioner på variablene er en simplere noaion for en V(k) den kompake form: ε B Z ~ N ε K T hvor B [ µ Π Π K Π ] ( Ω) k og Z [ k ] p K. de modellen er uden resrikioner og på kompak form kan loglikelihood funkionen udledes hvorved de fulde informaions maksimum likelihood (FML) esimaerne Bˆ og Ωˆ findes ved a sæe de afledede lig : ln L B ln L Ω Bˆ T Ω ˆ T ( Z ) T εˆ εˆ T Z Z Den maksimale værdi af loglikelihood funkionen for maksimum likelihood esimaerne findes ved: ( ) T Ωˆ ( Bˆ Z ) Ωˆ ln ( Bˆ Z ) p ln L ma T ln π. og ved indsæning af de fundne esimaer Bˆ og Ωˆ viser de sig a værdien kan udrykkes ved: ln L Ωˆ ma T ln ptln( π ). Fra ligningen ses de a den maksimale loglikelihood værdi er proporional med logarimen il deerminanen af kovariansmaricen for residualerne og ellers afhænger af konsanerne. T p og π. Loglikelihood værdien benyes ofe som sammenligningsgrundlag for forskellige modeller hvorfor de er vigig a kende il dens værdi. Speciel benyes loglikelihood værdien il a ese om der kan laves redukion fra en model il en anden ide eksempelvis en eller flere paramere sæes il nul. 4. Omskrivning il VECM For a adskille de korsigede og de langsigede effeker kan V-modellen reformuleres il en Vekor Ligevægs Korrekions Model (VECM) uden a indføre bindende resrikioner på modellen. Juselius (6) afsni 4. Side

24 Den generelle model kan formuleres ved 3 : ε Γ ~ N ( m) ( m) ( m) p ( Ω) Γ KΓ k k Π m ε hvor m er e helal som ligger mellem og k og som definerer placeringen af ligevægs korrekions ledde. De vil generel gælde a Π k i Π i p mens definiionen af ( m) Γ i i K k afhænger af m. Eksempelvis for m gælder de a Γi VECM angiver ændringen i ved differencer laggede differencer og laggede niveauer så de bliver nemmere a skelne mellem saionarie fra differencer og saionarie fra linear kombinaioner Π m k i i. Fordelen ved VECM er a mulicollinearies effeken er signifikan reducere i denne formulering. De beyder a afhængigheden mellem de forklarende variable bliver mindre ide korrelaionen mellem differencerne er mindre end korrelaionen mellem variablene i niveau. Herved er beregningerne af koefficienen il den enkele forklarende variabel mere valid og der fremkommer e bedre esima af påvirkningen fra hver enkel forklarende variabel. Yderligere ligger den langsigede effek i maricen Π mens den korsigede effek ligger i de reserende variable. eformuleringen beyder a modellen er nemmere a forolke og de korsigede sam de langsigede effeker kan analyseres hver for sig. Π i 4.3 Koinegraion i VECM ndil nu er de enkele variable kun beskreve i hver sin proces. Derfor undersøges de hvordan en koinegraion mellem variable opsår Definiion af koinegraion For økonomiske senarier sker de ofe a effekerne ændrer sig over id og derved beds beskrives ved idsserier. e simpel ilfælde ses der på p variable. De anages a hver af serierne besår af en saionær del 4 og en del som indeholder en random walk der genereres fra en enhedsrod. En serie der indeholder disse o dele er definere il a være () hvorfor begge serier anages a være (). Serierne kan opskrives som: j saionær del ε j i j. (4.) De gælder de a ε og ε er hvide søjprocesser og de kumulerede fejl angiver sokasiske rends for hver af de o idsserier. i 3 Omskrivningen for e eksempel med lags kan ses i bilag 4. 4 Herunder iniialværdien for processen Side 3

25 en serie er () beyder grafisk se a niveauserien ikke har en fas middelværdi og a der kan være voksende eller afagende rends i serien. Yderligere kan variansen svinge og derved varierer i forskellige perioder af niveauserien. Til gengæld vil førsedifferensserien for hver af variablene være () hvorfor de grafisk se vil være uden både sokasiske og deerminisiske rends og have en konsan middelværdi. l i al gælder a niveauserierne er syre af varierende rends mens differensserierne er saionære serier uden rends. z En linear kombinaion af de o variable kan opskrives som: b b ( b b ) b Ved indsæning af definiionen af de o serier (4.) fås:. z saionær del b i i ( bε i bε i ) ε b ε saionær del. i i i Generel se vil de gælde a z er (). speciale ilfælde vil de dog være sådan a linearkombinaionen af de o idsserier vil give en ()-serie. De sker når de individuelle sokasiske rends i de o serier udligner hinanden i linearkombinaionen. Herved må de o sokasiske rends være proporionale hvorfor de o variable deler en fælles sokasisk rend der skalleres forskellig. ilfælde ovenfor vil z være () og de vil gælde a b b ε i i ε. Denne egenskab for de specielle linearkombinaioner kaldes koinegraion og kan opnås når der er færre individuelle sokasisk rends end der er variable i. Vekoren b kaldes en koinegraionsvekor og vil ofe være normalisere på en koefficien E. ( ). b b Ved hjælp af en normalisere koinegraionsvekor kan der opskrives en regression: hvor µ er middelværdien af z µ u og u er en saionær proces med middelværdi. forhold il økonomisk eori afspejler regressionen en økonomisk ligevæg. De o variable vil ilfældig gå op og ned men vil ikke afvige mege fra ligevægen. Ved koinegraion vil afvigelsen fra ligevæg være angive ved u. Chokkene ε og ε vil have permanene effeker på variablene selv mens de kun vil have ransiorisk effek på u. Side 4

26 ilfælde af p > variable kan der være op il p forskellige koinegraions muligheder som er repræsenere ved p forskellige koinegraionsvekorer. For en given koinegraion udvides eorien ovenfor med flere variable således a ( ) K p og ( K p ) Koinegraion specificere i VECM Koinegraions hypoesen kan formuleres som en del af VECM-noaionen ide maricen Π per definiion indeholder de langsigede effeker i modellen. Da koinegraion af () variable er () vil de i VECM-noaionen beyde a ~ ( ) og ~ ( ). Modellen er idligere definere som: ε Γ ~ N ( m ) ( m ) ( m ) p ( Ω) Γ KΓ k k Π m ε. Leddene med er saionære laggede led af ide de allerede er () og fejledde er pr. definiion saionær. Men ledde med er e ikke-saionære led. Derfor er den enese måde m hvorpå koinegraions hypoesen kan passe med modellen hvis Π -maricen ikke er af fuld rang. Hvis Π (enhedsmaricen som per definiion er af fuld rang) vil vensre side i modellen være saionær på grund af koinegraions hypoesen mens højre side sammenlag vil være ikkesaionær. Derfor må Π være lig eller have reducere rang. angen af Π angiver derfor analle af fælles saionære relaioner mellem variablene i modellen. Hvis Π defineres som Π hvor er p r maricer så vil Π have reducere rang når p r og dermed sørge for a Π m -ledde i VECM bliver saionær. VECM kan under Γ koinegraions hypoesen defineres som: ε ~ N ( m ) ( m ) ( m ) p ( Ω) Γ KΓ p p m ε hvor er en r vekor der angiver r forskellige saionære koinegraionsrelaioner mellem m elemenerne i m og angiver ilpasningshasigheden il disse. De bemærkes a en enkel saionær variabel er en koinegraionsrelaion med sig selv hvilke svarer il a en enhedsvekor er en koinegraionsvekor i modellen. De beyder a hvis der ilføres en saionær variabel il en allerede definere model vil koinegraionsrangen r sige med. Side 5

27 4.4 Deerminisiske komponener Ofes vil der i en V model være inkludere en komponen il hhv. a opfange deerminisiske rends og konsaner for de forskellige sokasiske processer. Modellen for en V(k) ser ud som følger: ε Π Π KΠ k ~ N p ( Ω) Den ilsvarende VECM under koinegraions hypoesen er: ε D Γ ( m) ( m) ( m) ~ N d p ( Ω) d Γ k KΓ p Φd p ε K T. m ΦD de VECM indeholder såvel p ligninger for hver af variablene i som r koinegraionsrelaioner ε. beskreve ved m kan der defineres rends og konsaner i hver af ilfældene. En konsan defineres ved µ og en rend defineres ved µ. Således vil de i ovensående model Φ og µ D. Juselius (6) 5 vises de a de deerminisiske komponener µ gælde a ( ) kan dekomponeres således a de inddeles efer om de enen beskriver ilsandene i ligningerne for variablene eller ilsandene i koinegraionsrelaionerne. De o deerminisiske komponener kan beskrives ved µ γ og µ γ og herved kan VECM ide de korsigede paramere sæes il nul udrykkes ved: m γ γ m ε [ ] γ γ ε ε ~ N ( Ω) Paramerene og beskriver hhv. konsanled og rend i koinegraionsrelaionerne mens paramerene γ og γ beskriver hhv. konsanled og rend for variablene i ligningerne. Ved a sæe en eller flere af paramerene lig nul opnås forskellige kombinaioner af konsanled og rends. Der findes 5 forskellige muligheder for begrænsninger af de deerminisiske komponener: ) Den simplese model har ingen deerminisiske komponener i daaserier eller koinegraionsrelaioner. Derfor sæes: γ γ hvilke angiver a der ikke er deerminisiske led i relaionerne. hvilke angiver a der ikke er deerminisiske led for daaserierne. p. 5 Se Juselius K. (6) s Side 6

28 ) modellen findes e konsanled i koinegraionsrelaionerne men der findes ingen deerminisiske komponener i daaserierne. Derfor sæes: γ γ hvilke angiver en skæring forskellig fra nul og ingen rends i relaionerne. hvilke angiver a der ikke er deerminisiske led for daaserierne. 3) Der er lineære rends i daaserierne hvilke giver e konsanled i VEC-ligningerne. Men de anages a rendene går ud mod hinanden ved koinegraion hvorfor der kun findes e konsanled i koinegraionsrelaionerne. Således sæes: γ γ hvilke angiver en skæring forskellig fra nul og ingen rends i relaionerne. hvilke angiver en skæring forskellig fra nul men ingen rends for differensserierne hvorved der kan findes lineære rends i daaserierne i niveau. 4) Der findes lineære rends i både daaserier i niveau og koinegraionsrelaioner. Herved indeholder modellen rend-saionære variable og rend-saionære relaioner ide de sokasiske rends er fjerne. Derfor sæes: γ γ hvilke angiver skæring og rends forskellig fra nul i relaionerne. hvilke angiver en skæring forskellig fra nul men ingen rends for differensserierne hvorved der kan findes lineære rends i daaserierne i niveau. 5) Der findes lineære rends i både differensserier og koinegraionsrelaioner. Herved kan daaserierne i niveau indeholde kvadraiske rends. Således sæes: γ γ hvilke angiver skæring og rends forskellig fra nul i relaionerne. hvilke angiver skæring og lineære rends forskellig fra nul for differensserierne hvorved der kan findes kvadraiske rends i daaserierne i niveau. Mulighed ) er mege speciel og mes resrikiv ide der sle ikke illades deerminisiske komponener i modellen mens mulighed 5) er den mes frie af mulighederne. Hvis der ikke er forudgående anagelser for hvordan de deerminisiske led skal være i koinegraionsrelaionerne vil man i praksis ofe sare med begrænsningerne fra mulighed 4) eller 5) al efer hvilken rend man ser i daaserierne i niveau og derefer begrænse de deerminisiske led yderligere hvis der er behov for de. Hvis der er forudgående anagelser om de deerminisiske komponener i koinegraionsrelaionerne vil disse kombinere med de deerminisiske led i Side 7

29 daaserierne i niveau på forhånd angive hvilke begrænsninger der skal sæes på de 4 beskrevne paramere Dummie variable De er mulig a de sokasiske processer kan blive påvirke af eksraordinære chok fra omverdenen. De vil give heeroscedasicie fra CH-effeker og en mangel på normalie i residualerne. Der findes overordnede yper af eksraordinære chok. ddiive chok som ikke påvirker Vdynamikken og innovaive choks som efer de er ske påvirker af V-dynamikken og derfor vil give permanene eller ransioriske effeker. De addiive chok giver ingen effeker i modellen og derfor kan der ses bor fra disse ide de kan fjernes fra de sokasiske processer uden efervirkninger. De innovaive chok må derimod ikke fjernes fra modellen ide de påvirker dynamikken. Derfor kan der indføres dummie variable for a beskrive effekerne i dynamikken og dermed ree op på hhv. den manglende normalie og heeroscedasicieen som residualerne vil udvise. Disse dummie variable indgår som en del af den deerminisiske komponen i modellen. Der benyes 3 yper dummie variable il a korrigere forskellige effeker. ) E skif i den lineære rend for en sokasisk proces der medfører e middelværdi skif i den differenierede proces beskrives ved en Shif dummy: D s hvis > hvis ) E niveau skif for en sokasisk proces der medfører e sor udsving i den differenierede proces beskrives ved en Permanen impuls dummy: D p hvis hvis 3) E niveau skif førs i en rening og derefer i modsa rening for en sokasisk proces der medfører o udsving i modsa rening i den differenierede proces beskrives ved en Transiorisk impuls dummy: D r hvis hvis ellers Timingen af dummie variable er vigig ide korrekion på de forkere idspunk vil være værdiløs og i værse flad skadefuld for en model. Tilsvarende kan benyelsen af en forker ype dummie skade modellen. Begge ilfælde er kendeegne ved sørre heeroscedasicie fra CH-effeker og en ydeligere mangel på normalie i residualerne. Da de for en given serie i praksis kan være svær a skelne de signifikane udsving fra de mindre signifikane benyes sore residualværdier som indikaor for hvor der evenuel skal indføres en Side 8

30 dummie variable. For både a sikre en korrek iming og korrek ype af dummies konrolleres indikaionerne i differens- og niveauserierne og effekerne af de mulige dummier i residualerne undersøges før dummie variablene endelig kan indføres i modellen. 4.5 Opsummering En V-model kan formuleres på flere måder. Under koinegraions hypoesen udrykkes de langsigede effeker ved hjælp af og mens de korsigede effeker udrykkes ved maricerne. Speciel benyes VECM- repræsenaionen il a analysere srukuren af koinegraionsrelaionerne ide de saionære laggede led af og den saionære ( m ) Γ - linearkombinaion i ledde med kan analyseres hver for sig. Yderligere kan der ages højde for m konsaner og rends i både daaserier og koinegraionsrelaioner ved a indsæe forskellige begrænsninger på de deerminisiske komponener. Til sids kan der korrigeres for eksraordinære chok ved a indføre dummie variable. i 5. Univariae koinegraionsanalyser Før de fjerde delspørgsmål fra problemformuleringen omkring mulivariae koinegraionsanalyser besvares i afsni 6 indledes her førs med en undersøgelse af univariae koinegraionsanalyser. 5. Dickey-Fuller-es En af mulighederne il a vurdere om en given idsserie er saionær er a undersøge om den har enhedsrødder. Heril er der udled e argumenere Dickey-Fuller-es 6 (DF-es). DF-ese giver mulighed for a idsserien har hhv. en middelværdi forskellig fra nul og en lineær rend. Til gengæld er de en forudsæning for ese a der ikke er signifikan auokorrelaion i idsserien. DFessørrelsen baseres på koefficienen for forrige observaion i differensserien og for idsserien vil differensserien (DF-regressionen) være: del saionær π η hvor η er normalfordel hvid søj. DF-essørrelsen er herfra definere som ( πˆ ) πˆ τˆ c se (5.) hvor H -hypoesen om a der findes enhedsrødder svare il a ese om π. Hvis hypoesen ikke er opfyld og π vil ændringen i idsserien kun afhænge af hhv. en saionær del og normalfordel hvid søj. 6 Nielsen H.B. (8) s. Side 9

31 Tessørrelsen kan evalueres i en jusere -fordeling som skal ilpasses al efer om der er en konsan og/eller rends med. Derved evalueres essørrelsen i en Dickey-Fuller esimere asympoisk fordeling hvoraf navne på esen fremkommer. Dickey-Fuller-ese kan benyes i flere ilfælde i forhold il koinegraionsanalyse: ) Undersøge anagelserne om a idsserierne er - () i niveau (ikke saionær). - () i differens (saionær). ) For en kend koinegraionsvekor kan de undersøges om søj-processen u er saionær. 5. Engle-Granger proceduren Da koinegraionsvekoren ikke alid er kend på forhånd er der udvikle en es procedure il a undersøge om der findes koinegraion mellem variable. Denne -seps procedure kaldes Engle-Granger proceduren 7 (EG-proceduren). De o seps er: ) de koinegraions koefficienerne K p er ukende kan de blive esimere ved saisisk regression. Herved kan den kende koinergraions relaion hvor u anages a være saionær. u µ opskrives ) Herefer kan DF-ese benyes il a ese enen om de esimerede residualer û har en enhedsrod således a H -hypoesen om ingen-koinegraion holder eller om de esimerede residualer er uden enhedsrødder således a de er en saionær proces sam a variablene i dermed kan acceperes som koinegerere. Da koinegraionsvekoren esimeres i proceduren ændres den kriiske værdi for DF-ese ide usikkerheden fra esimaionen skal medages. Ordinary Leas Squares (OLS) meoden benyes il a esimere den saisiske regression og således vil variansen af û blive minimere og û vil se så saionære ud som mulig. Samidig vil flere variable i regressionen beyde a flere paramere skal esimeres hvorved variansen af û yderligere vil blive minimere. For a age højde for dee afhænger de kriiske værdier i EG-proceduren af analle af forklarende variable i regressionen. De beyder a jo flere forklarende variable der findes i regressionen jo længere vil den asympoiske fordeling flye mod vensre og jo mindre bliver de kriiske værdier. De sande kriiske værdier i EG-proceduren esimeres ved Mackinnons esimerede kriiske værdier som ager højde for ovensående problemsillinger. 7 Nielsen H.B. (8) s.3 & 7 Side 3

32 5.. Problemsillinger ved EG-proceduren Da EG-proceduren ager udgangspunk i én ligning hvor én af variablene er den afhængige mens resen af variablene er forklarende opsår der forskellige problemsillinger i forhold il a vælge den saisiske koinegraion der afspejler den økonomiske foresilling beds. For de førse giver flere variable flere muligheder for forskellige koinegraionsrelaioner. De beyder a for hver variabel skal der esimeres en regression og eses for saionære esimerede residualer hvorefer der skal holdes syr på disse. Én simulan simulering vil være en fordel ide alle relaioner fremkommer på én gang. For de ande som forklare i afsni 4. kan en V-model omskrives il en VECM. Men ved EGproceduren ages der kun højde for dén ECM-ligning der knyes il den valge forklarende variabel. De andre ECM-ligninger overvejes ikke. For e eksempel med o variable δ δ og og en ε K. ε koinegraion vil VECM være: ( ) Fra saren i EG-proceduren foreages en implici anagelse om a således a de er nok a age højde for den øverse ligning i modellen. For de redje og måske vigigs af al ages der ikke højde for feedback mellem variablene. De beyder a når der er valg en afhængig variabel vil de forklarende variable være forudbesem. Grunde disse problemsillinger ved EG-proceduren vil de ved flere end variable alid være en fordel a benye mulivariae analyse il a besemme koinegraionsrelaioner og koinegraionsvekorer. Ved variable vil der naurligvis kun være én fælles koinegraion men de kan være en fordel a benye mulivariae analyser alligevel ide der gives mulighed for feedback mellem variablene og hele VECM medages i analysen. 5.3 Opsummering De viser sig a de beskrevne univariae ess og koinegraionsanalyser konsaerer om en serie i sig selv er saionær (DF-es) og om der findes en koinegraionsinegraion mellem flere variable (EG-proceduren). Da der ofe er feedback mellem økonomiske effeker vil de univariae koinegraionsanalyser sjælden være fyldesgørende. De univariae analyser kan derfor bruges som indikaor for om der findes en koinegraion men de vil være nødvendig a benye mere kompleks saisisk eori for a sikre en koinegraion der kan forklares økonomisk. Side 3

33 6. Mulivariae koinegraionsanalyser Mulivaria koinegraion for en V-model er e god bud på e saisisk værkøj der ager højde for evenuel feedback mellem variablene samidig med a flere forskellige koinegraioner beskrives på en gang. dee afsni besvares fjerde delspørgsmål fra problemformuleringen ide definiioner forudsæninger og ess i den mulivariae koinegraionseori diskueres. Før eorien omkring koinegraion undersøges må krierierne for en relevan V-model diskueres. De beyder a der skal besemmes e anal lag il modellen og de skal undersøges om modellen er velspecificere og opfylder normaliesanagelsen. 6. Valg af lag i V-modellen Specifikaionen af en V-model med p paramere er afhængig af hvor mange lags der skal medages. De beyder a analle af lags viser hvor mange af de foregående observaioner der påvirker den nuværende observaion. nformaionen om den nuværende effek kan findes i kovariansmaricen Ω for residualerne il modellen med e given anal lags. Ofes angives korrelaioner frem for varianser hvilke beyder a elemenerne i en esimere kovariansmari Ωˆ kan esimeres ved a omskrive den kende formel for korrelaionskoefficiener: σˆ ij ρ ˆ ij σˆ ij ρˆ ˆ ˆ ij σ iiσ jj i j K p σˆ σˆ ii jj De undersøges hvor god modellen med k lags beskriver daaserierne ved a beregne den T maksimale likelihood værdi: ln( L ) ln( Ω ) konsane led ˆ ma hvor T angiver længden på den effekive daalængde dvs. den samlede daalængde er Tk mens elemenerne iωˆ er beregne ud fra ovensående omskrivninger. Ved besemmelsen af anal lags i V-modellen er de nødvendig med forskellig ess. En af disse er e likelihood raio es (L-es) hvor de undersøges om de er mulig a reducere en model med k lags il en model med k lags. Her er modellen med k lags nul-hypoesen mens modellen med k lags er den alernaive hypoese. L-essørrelsen er ifølge den almindelige saisik definere som: ln ( H ) ( ln( ˆ ) ln( ˆ k H k T Ω k Ω k ) Q. De o hypoeser er definere ved hhv. H k og k H med de ilhørende esimerede kovariansmaricer Ωˆ k og ˆ Ω k. Ved a ilføre V-modellen e eksra lag ilføres p p variable. L-essørrelsen er derfor asympoisk fordel som en χ -fordeling med p frihedsgrader. Side 3

34 lernaiver il L-essørrelsen når analle af lags skal vælges er hhv. kaike informaions krierie Schwarz informaions krierie og Hannan-Quinn informaions krierie. De er definere som: C ln SC ln H Q ( ˆ Ω ) ( p k ) T ( ˆ ln ) ( ) ( T ) Ω p k T ln ln ( ˆ ) ( ) ( T ) ln Ω p k ( ) De ligner alle maksimum likelihood værdien borse fra a informaionskrierierne har e eksra led som angiver sraffen for a ilføje k lags. déen med de re informaions krierier er a den k e værdi med den mindse informaionsværdi er de ønskede anal lags. Da sørrelsen på sraffen er forskellig i de re informaions krierier kan der være forskel på hvilken værdi af k de 3 krierier angiver som den med minds informaionsværdi. T Både L-essørrelsen og de re informaions krierier kan således benyes il a vælge den bedse lag længde. De beregnes alle ud fra den effekive daa længde hvilke beyder a T besemmes ud fra de sørse anal lags ide : T samle daalængde k. Speciel for L-essørrelsen er de vigig a der benyes samme effekive daalængde når de o kovariansmaricer skal besemmes i henhold il a de o hypoeser kan eses mod hinanden. Samidig er de en forudsæning for alle esene a modellen er korrek specificere. De beyder a der i modellen skal være age højde for hhv. evenuel regime skif og ouliers før man kan være sikker på a esene angiver den bedse lag længde. Generel skal man være opmærksom på problemsillinger i forhold il misspecifikaion i daaserierne. For eksempel vil ouliers og/eller middelværdi skif generere auokorrelaion i residualerne hvilke kan bevirke a essørrelserne angiver for mange lags il modellen. Samidig skal modellen specificeres med en lag længde før der kan udføres misspecifikaionses på denne. De beyder a der enen skal vælges mellem e højere anal lags eller e mindre anal lags som eferlader en vis residual auokorrelaion når modellen skal besemmes. Erfaringen viser 8 a de er mere skadelig a have for mange lags end for få. De skyldes a misspecifikaionerne i modellen er svære a finde hvis modellen er overparamerisere med for mange lags. Samidig vil en del af auokorrelaionen i residualerne ofes skyldes srukurelle misspecifikaioner af modellen på grund af eksempelvis ouliers. 8 følge Juselius K. (6) s.7 Side 33

35 praksis er k ofe nok il a beskrive dynamikken i e daasæ. De bemærkes ved a udspecificere dynamikken for en odimensional V-model hvor de viser sig a k kan beskrive en relaiv kompleks daaserie 9. Derfor sares der med en lag længde på f.eks. (dog skal der ses på hvad esene angiver) hvorefer der eses for misspecifikaion. Hvis modellen respecificeres på baggrund a misspecifikaionsesene foreages endnu e lag længde es for a se om lag længden skal ændres. 6. Misspecifikaionsess For en V-model er der en underliggende anagelse om mulivaria normalie. De beyder a residualerne fra en given model skal opfylde anagelsen om a være normalfordel hvid søj dvs. ε ~ N p ( Ω). esidualerne skal således være normalfordele med en middelværdi på og en konsan varians. Yderligere skal residualerne være ukorrelerede og uden uoregressive Condiionally Heeroscedasiciy (CH-effeker) for a modellen er velspecificere og beskriver informaionen i serierne. 6.. Normalie Middelværdi og varians kan undersøges på e plo over de sandardiserede residualer. Heraf fremgår de om de sandardiserede residualer svinger omkring og om udsvingene er konsane. nagelsen om normalfordele residualer kan undersøges ved e hisogram over de sandardiserede residualer. Herved skal der fremkomme en klokkeform således a de højese søjler er omkring og a søjlerne herefer bliver lavere il begge sider. Yderligere må der ikke ligge observaioner udenfor 3 ide halerne på klokken bliver for ykke og således skaber problemer med kurosis. De kan være svær alene ud fra e hisogram a se om normalieen af residualerne er opfyld. Derfor kan der beregnes flere essørrelser. Eksempelvis Kolmogorov-Smirnov es for normalie eller Jarque- Beras es der begge er χ - fordele univariae essørrelser. lernaiv har Hansen og Doornik 3 udled en mulivaria essørrelse der ager højde for ecess skewness (3.momen) og ecess kurosis (4.momen) for de sandardiserede residualer. T 3 4 Momenerne defineres som: skewness i T ui kurosisi T ui i.. p og.. T. T 9 Juselius K. (6) s.49 3 Juselius K. (6) s Side 34

36 Normalfordelingen har kurosis 3 og skewness og derfor vil ecess kurosis og ecess skewness for den fordeling der undersøges hhv. være lig med den beregnede kurosis minus 3 og lig med den beregnede skewness. Under anagelsen om a der er normalfordele fejl i modellen vil de o ecess momener for residualerne være asympoisk fordele med følgende middelværdier og varianser: T ( skewness ) ~ N( 6) T ( kurosis 3) ~ N( 4) i. Den generelle asympoiske univariae essørrelse for normalie i residualerne er definere som: ( skewness ) T( kurosis 3) asym T i i η i. 6 4 i Og den asympoiske mulivariae essørrelse er definere som: asym asym mη η. i p i i Begge asympoiske essørrelser er χ - fordele med hhv. og p frihedsgrader. de residualerne fra en V-model er korrelerede skal disse førs orogonaliseres for a de er ukorrelerede og uafhængige under normaliesanagelsen. Herefer kan Hansen og Doorniks mulivariae normaliesessørrelse beregnes som summen af de p univariae essørrelser der beregnes ved hjælp af de o ecess momener der igen er beregne med de orogonaliserede residualer. Både den univariae og den mulivariae essørrelse angives med ilhørende frihedsgrader og en p- værdi. Således kan de evalueres om normalfordelingsesen er godkend. 6.. CH effeker De er vigig a konrollere om der er CH effeker ilbage i residualerne. Heril benyes normal en m e ordens mulivariae CH essørrelse som bl.a. beregnes ud fra længden på daasæe og analle af lags 3. Tessørrelsen er m p 4 χ - fordel med ( ) fra en anagelse om a residualerne er normalfordele. p frihedsgrader og er definere ud Da CH effeker dækker over varierende varians vil essørrelsen afsløre om der er sysemaik i residualerne som V-modellen ikke har fange. Hvis esen ikke acceperes vil V-modellen ikke beskrive al informaion fra serierne og modellen kan således ikke anages a være veldefinere. CH essørrelser vises sammen med analle af frihedsgrader og en p-værdi så de kan evalueres om CH esen er godkend. 3 Juselius K. (6) s.74 Side 35

37 6..3 uokorrelaion En V-model kan førs være velspecificere når der ikke er signifikan auokorrelaion i residualerne. Hvis der er auokorrelaion forskellig fra mellem o residualer på hhv. id og s beyder de a residualen på id kan forudsiges fra residualen på id s. Da en residual kan forudsiges ud fra en anden er de ikke uafhængige. Denne afhængighed får uhensigsmæssige følger ide f.eks. OLS esimaorerne er inkonsisene og således vil de ikke være mulig a regne med esimaerne for de forskellige paramere. De er derfor mege vigig a få es for auokorrelaion godkend før paramerene kan esimeres. uokorrelaion i modellens residualer kan eses ved en Ljung-Bo essørrelse. Denne beregnes bland ande ud fra summen af korrelaionerne mellem residualerne il de forskellige idspunker. Tessørrelsen anages a være approksimaiv χ - fordel med T p 4 k p frihedsgrader hvor p er analle af paramere T er analle af idsperioder i de effekive sample og k er analle af lags i modellen. lernaiv kan der foreages e Lagrange Muliplier (LM) es af den j e ordens auokorrelaion ~ ( ) Ω n LM ln. Ωˆ hvilke beregnes som en Wilks raio es 3 : ( n) T p( k ) Tessørrelsen er approksimaiv χ - fordel med p frihedsgrader. Begge yper es for auokorrelaion er definere ud fra en anagelse om a residualerne er normalfordele. Yderligere er Ljung-Bo essørrelsen esimere med auo- og krydskorrelaionerne for de førse T/4 lags mens LM essørrelsen er beregne ud fra den n e ordens auokorrelaion. uokorrelaionen mellem de forskellige lags opsilles ofe i e diagram hvor speciel sore essørrelser markeres mens den samlede Ljung-Bo essørrelse vises sammen med en angivelse af frihedsgrader og p-værdi. praksis er Ljung-Bo essørrelsen ikke il a sole på når der eses for auokorrelaion i mulivariae modeller. Ved eses af V-modeller skal LM essørrelserne derfor benyes il a sikre a der ikke er auokorrelaion i residualerne mens der kan ses bor fra om Ljung-Bo ese bliver godkend. 3 Juselius K. (6) s.74 Side 36

38 6..4 Sammenhæng mellem misspecifikaionsess Tes for CH effeker og auokorrelaion i residualerne er udled på baggrund af en anagelse om a residualerne er normalfordele fejl. Samidig er ess for a residualerne er normalfordel udled på baggrund af en anagelse om a residualerne er uafhængige og har samme varians. De er derfor vigig a alle esene godkendes for samme model før modellen kan anages a være veldefinere. Hvis en es ikke godkendes er grundlage for de andre ess ikke valid. Den givne model må derfor redefineres og samlige misspecifikaionsess skal beregnes igen for a finde en veldefinere model. 6.3 Valg af koinegraionsrang Når der er funde en veldefinere V-model uden resrikioner på Π -maricen kan den fakiske analyse af modellen indledes. De førse der er ineressan er a undersøge rangen af Π -maricen. Som beskreve i afsni 4.3. svarer rangen af maricen il analle af fælles sokasiske rends i modellen hvilke vil sige a rangen angiver analle af koinegraionsrelaioner for e given daasæ. Tilsvarende angiver forskellen mellem hhv. analle af variable (lig den fulde rang Π ) og den reducerede rang af Π -maricen analle af ikke-fælles sokasiske rends for daaserierne ang es Tes af rangen sker ved e almindelig L-es hvor de eses om rangen på Π -maricen kan reduceres fra fuld rang il en rang på r. Den fulde rang er lig med p hvilke svare il analle af variable i modellen. L-ese er definere som: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Soo λˆ λˆ λˆ L r ln Q H r H p T ln Soo λˆ λˆ λˆ r λˆ L L p Ved redukion og omformulering af essørrelsen fås: τ ln( λˆ ) ( ˆ ) pr T r L λ p Dee es kaldes Trace es og angives med analle af sokasiske relaioner som fodegn. Trace essørrelsen angiver ese for om der findes dermed r saionære relaioner. p r fælles sokasiske relaioner i daaserierne og Forudsæningerne for a Trace ese får den ree sørrelse er a modellen er velspecificere. De beyder a residualerne skal være normalfordele og a der hverken må være signifikan auokorrelaion eller CH effeker ilbage. Dog er de vis a Trace ese er robus overfor moderae CH effeker 33 hvorimod de er vigig a residualerne er normalfordele og uden signifikan auokorrelaion. 33 Dennis J.G. (6) s. 5 & Juselius K. (6) s. 75 Side 37

39 de fordelingen for Trace ese ikke følger en sandard fordeling 34 (f.eks. χ F eller ) er der behov for a simulere en fordeling. Den grundlæggende ide bag simuleringen af den asympoiske abel for Trace ese er a benye Mone Carlo-simulering og Brownske bevægelser. Der genereres en passende ( p r) -dimensional random walk proces il a approksimere en brownsk bevægelse som herefer benyes il a esimere den kriiske værdi. De genages e passende anal gange således a der kan beregnes en kriisk værdi (95%-frakil) som benyes il a evaluere Trace ese. Den simulerede asympoiske fordeling er både afhængig af de deerminisiske led i Vmodellen og om modellen har resrikioner. De beyder a specielle rends og srukurelle skif i variablene kan påvirke fordelingens udseende og dermed om e Trace es skal godkendes eller forkases. Eksempelvis vil inkluderingen af en shif dummy i en koinegraionsrelaion få den asympoiske fordeling il a flye il højre i forhold il placeringen uden dummien. Til gengæld har impuls dummies (både permanene og ransioriske) sandsynligvis ikke så sor effek på den asympoiske fordeling 35. Ved a inkludere impuls dummies i en V-model vil den asympoiske fordeling ikke bevæge sig særlig mege i forhold il placeringen uden impuls dummies. Ved evaluering af Trace Tese undersøges de for den givne V-model om essørrelsen er mindre end den kriiske værdi for den simulerede asympoiske fordeling. Hvis Trace essørrelsen er sørre end den kriiske værdi afvises ese. Hvis Trace essørrelsen derimod er mindre end den kriiske værdi godkendes ese Egenværdier En anden måde a finde rangen for Π -maricen på er ved a undersøge egenværdierne i companion maricen Π ~. Companion maricen fremkommer ved a omformulere en V(k) il en ()- proces. For en V() vil ()-processen være: Π Π ε ~ Π ~~ ε ~. Herefer kan egenværdierne i Π ~ findes ved a løse egenværdiprobleme. Hvis der er egenværdier fra companion maricen på enhedscirklen beyder de a der findes fælles sokasiske rends for modellen. Grafisk vil analle af egenværdier på enhedscirklen angive analle af fælles sokasiske rends. Disse rødder kan alernaiv idenificeres ved a de har modulus på. 34 Juselius K. (6) s Juselius K.(6) s. 39 Side 38

40 praksis er fremgangsmåden førs a undersøge rødderne når Π -maricen har fuld rang. Således kan de vurderes hvor mange egenværdier p r der har modulus. Derefer undersøges de ilbageværende rødder når der beinges med a Π -maricen har reducere rang r og a der dermed er p r egenværdier med modulus. Hvis der ikke er flere egenværdier på enhedscirklen er den korreke reducerede rang funde for Π De korreke valg Valge af koinegraionsrangen er eksrem vigig ide de kan få sore konsekvenser enen a inkludere en koinegraionsrelaion for mege eller for lid. Koinegraionsrangen inddeler daa i hhv. r relaioner som daaserierne vil ilpasse sig på lang sig og p r individuelle drivende kræfer i syseme. E forker valg af r beyder a relaioner og drivende kræfer bliver opdel forker og dermed kan økonomiske hypoeser blive accepere eller forkase på e forker grundlag. Hvis r er valg for sor og der inkluderes ikke-saionære relaioner (dvs. r er for sor og lille) så vil en af rødderne i de karakerisiske polynomium svare il en enhedsrod. Dee ses p r er for grafisk ved a en af egenværdierne( p r ) for companion maricen vil være på enhedscirklen. Yderligere vil -værdierne for -esimaerne for den eksra relaion være mege små. -esimaerne angiver ilpasningshasigheden il koinegraionsrelaionen og derfor vil den eksra relaion have mege lille forklaringskraf for modellen. Der er således flere muligheder for a opdage ikke-saionære relaioner mellem koinegraionsrelaionerne hvorfor de er mulig a vælge den korreke koinegraionsrang. De er vigig a være opmærksom på a koinegraionsrangen ikke normal er lig analle af økonomiske ligevægs relaioner i en given økonomisk model. De beyder a der kan være flere koinegraionsrelaioner for e given anal variable mens der kun findes én økonomisk relaion. Koinegraion mellem variable er en saisisk egenskab for daaserierne som ikke nødvendigvis kan ildeles en økonomisk forolkning. Men e korrek valg af koinegraionsrangen beyder a en koinegraionsrelaion som kan forolkes økonomisk ikke undlades fra de saisiske muligheder. 6.4 Paramere og es af hypoeser Når rangen af Π -maricen er valg er de auomaisk definere hvor mange fælles sokasiske rends variablene har. En fælles sokasisk rend som forklare i afsni 4.3. beskrives ved en lineær regression hvor koefficienerne i regressionen angives i en koinegraionsvekor. Vekoren er Side 39

41 normal normere således a en af variablene har koefficienen mens resen af koefficienerne er definere i forhold il denne. VECM uden korsigede paramere er o koinegraionsrelaioner for 3 paramere beskreve som: 3 µ µ µ ε ε ε 3. De o normerede koinegraionsvekorer er 3 og ilpasningshasighederne 3 il koinegraionsrelaionerne er. Tilsammen definerer de o maricer de 3 3 langsigede paramere i modellen Hypoeser for langsigede paramere Når den saisiske VECM skal ilpasses il en økonomisk siuaion er der forskellige hypoeser omkring de langsigede paramere. En hypoese kan enen være a en eller flere paramere er nul eller a der findes enhedsvekorer i en af maricerne. Fælles for dem alle er a de fører il begrænsninger af modellens paramere. Hypoeserne defineres for de p ~ variable i koinegraionen ud fra s i frie paramere i en af maricerne c i eller φ i med hver sin design mari lernaiv kan hypoeserne opskrives ved resrikionsmaricerne række eller en søjle i eller. i eller H i eller H i. i som begrænser en De generelle lineære hypoeser kan defineres på én af o følgende måder for hver af maricerne: Hvor H H : : H i og c c c ( H H K H r r ) ( H φ H φ K H φ ) H er ( ) i r r eller ~ p s i maricer og i H i sam alle benyes il a definere de forskellige hypoeser. H H : : ( K r r ) ( K) ( K ) ( K) c i og i i H i er ( p ( ~ p )) φ er ( s ) indeholder de begrænsede esimerede koefficiener fra VECM mens søjle eller en hel række af de esimerede koefficiener. i r r ~ maricer som s i koefficien maricer der i og De forskellige hypoeser kan eses som e L-es hvor den asympoiske fordeling er i angiver enen en hel χ - fordel. Side 4

42 Side 4 En ineressan hypoese er om en variabel er svag eksogen. Hypoesen er definere ved a der er en -række i. Således angiver hypoesen a den langsigede ligevæg ikke har beydning for denne variabel. Derfor er variablen eksogen besem if. koinegraionsrelaionen men endogen besem if. de evenuelle korsigede paramere i VECM. Variablen er derfor definere som svag eksogen. Variablen påvirker de reserende variable men ilpasser sig ikke den langsigede ligevæg fra koinegraionsrelaionen. eksemple ovenfor kan VECM med hypoesen om a 3 er svag eksogen i begge koinegraioner opskrives som: c c c c c c c c c H ε ε ε µ µ µ ide 3 ~ p variable og i s frie paramere i hver af koinegraionerne under hypoesen. En anden hypoese er a en variabel er saionær i sig selv og dermed ekskluderer de reserende variable. Hypoesen defineres ved a der er en enhedsvekor i. Således angiver hypoesen a en variabel i sig selv definerer en koinegraion. De beyder a ingen af de reserende variable kan påvirke den saionære variabel på lang sig men a den saionære variabel derimod kan påvirke de reserende variable. eksemple ovenfor kan VECM med hypoesen om saionarie af i anden koinegraion opskrives som: ( ) H ε ε ε µ µ µ ϕ φ ide 3 ~ p variable og i s fri parameer i den anden koinegraion under hypoesen. En redje hypoese er a der er langsige homogenie mellem o eller flere variable i en koinegraion. Hypoesen defineres ved a der er eller flere ens elemener i en vekor i. Således angiver hypoesen a variablene vil udvikle sig ens på lang sig. eksemple ovenfor kan VECM med hypoesen om langsige homogenie mellem og 3 i koinegraionerne opskrives som: og H ε ε ε µ µ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ φ ide 3 ~ p variable og i s frie paramere i begge koinegraioner under hypoesen.

43 Der er mulighed for a ese en del flere hypoeser som alle vil minde om de beskrevne hypoeser. De er også mulig a ese en kombinaion af flere hypoeser samidig. De kan f.eks. være ved eksklusion af flere variable eller hhv. ved a flere variable er svag eksogene på samme id eller a der er homogenie mellem nogle variable samidig med a andre variable ekskluderes. De er ikke meningen a samlige hypoeser skal eses på en given VECM. De saisiske hypoeserne der eses skal defineres ud fra de økonomiske hypoeser der findes før paramerene er esimere. De kan være en fordel yderligere a ese enkele hypoeser hvis de fremgår a en eller flere paramere ligger æ på eller hvis flere esimerede paramere er sor se ens Esimaion af korsigede paramere Når koinegraionsrangen er besem og de langsigede paramere er esimere kan de korsigede paramere esimeres. De korsigede paramere er hhv. angive ved Γ -maricer koefficiener il evn. dummies og rends. nalle af Γ -maricer svarer il analle af relevane lags i VECM hvorved de korsigede saionære -processer beskrives ved k Γ -maricer. De korsigede paramere esimeres på baggrund af de esimerede langsigede paramere og har en asympoisk fordeling der er normalfordel med middelværdi nul og kovarians forskellig fra. Sørrelsen af kovariansen for den asympoiske fordeling afhænger hhv. af kovariansmaricen for modellens variable sam de esimerede langsigede paramere. Normal angives de esimerede korsigede paramere med en -værdi eller en sandardafvigelse således a paramerene kan vurderes. Speciel er de ineressan a undersøge om en eller flere af paramerene kan sæes il nul. De undersøges beds ved enen a konrollere om 95%- konfidensinervalle (angive ved -fordeling med de relevane anal frihedsgrader. pˆ ± 96 σˆ ) indeholder eller ved a evaluere -værdien i en pˆ 6.5 Ukorrelerede residualer Når analle af koinegraioner er besem og såvel de langsigede som korsigede paramere er esimere beskriver den endelige VECM i princippe den økonomiske siuaion. nogle siuaioner er de vigig a alle sammenhænge er beskreve således a der ikke forekommer skjule informaioner i residualerne. Dee sikres beds ved a indsæe kausalbeingelser på modellens variable. Kausalbeingelserne angiver i hvilken rækkefølge variablene skal besemmes og dermed hvordan de påvirker hinanden. Side 4

44 De kausale beingelser indsæes i modellen ved a benye den inverse Choleski dekomponering af ˆ kovariansmaricen for modellens residualer Ω. Maricen ganges på samlige koefficien maricer i modellen således a de sikres a residualerne er ukorrelerede. Den ændrede VECM beskrives som: p p ˆ m D ˆ µ ˆ Ω Φ Ω Ω ( m) ( m) Ωˆ Ωˆ Γ K Ωˆ Γ Ωˆ ε. Teoreisk beyder kausalbeingelserne a den samlede model pålægges p ( p ) nul-begrænsninger svarende il a alle elemener i den ene rekan udenfor diagonalen i residual kovavariansmaricen er nul. Konsekvensen ved kausalbeingelserne er a nogle af variablene anages eksogene i forhold il de næse i rækken. Denne anagelse kan acceperes hvis variablen alligevel er funde svag eksogen i forhold il andre variable. Men eksogenies anagelserne er problemaiske hvis der ikke er funde svag eksogene variable i en given model. sede vil der presses kausale beingelser ind i modellen som ikke nødvendigvis svarer il den beskrevne økonomiske siuaion. Herved må de for den enkele model vurderes om ukorrelerede residualer er en nødvendighed på bekosning af a der indsæes kausalbeingelser. 6.6 Opsummering Mulivariae analyser er definere ved en naurlig rækkefølge af delanalyser og ess. Førs specificeres modellen med hhv. anal lags og deerminisiske led. Derefer undersøges de ved forskellige ess om modellens residualer opfylder anagelserne. Herefer besemmes hhv. analle af koinegraioner og de langsigede paramere. elevane hypoeser og begrænsninger for de langsigede paramere eses hvorefer de korsigede paramere esimeres. Den vigigse forudsæning er a modellen er velspecificere så der ikke er hhv. signifikan auokorrelaion CH-effeker og udeblivende normalie i residualerne. Yderligere er de en forudsæning a rangen af π vælges korrek. Hvis skjule sammenhænge skal undgås må der indsæes eksogeniesbeingelser mellem variablene ide den Choleski dekomponerede kovariansmari benyes il a opnå ukorrelerede residualer. Herved ændres sørrelsen på samlige paramere i modellen mens den overordnede srukur på modellen forbliver inak. Side 43

45 7. nalyse af den konsane risikopræmie på de danske akiemarked dee afsni indledes analysen af risikopræmien. Dermed indledes besvarelsen af de sidse delspørgsmål fra problemformuleringen hvorved der gennemføres en empirisk analyse af de danske akiemarked. De valge daaserier fra afsni 3 benyes il analysen 36. afsni.. blev der argumenere for a der skal benyes reale serier il besemmelsen af risikopræmien. De beyder således a inflaionsudviklingen fjernes fra serierne og dermed risikopræmiens sørrelse ide inflaionen generel se har en forskellige indflydelse på hhv. akiemarkedsudviklingen og reneudviklingen. De reale serier beregnes ved formlerne fra afsni 3.3. og og i afsni er de forskellige endenser i serierne beskreve. Ved hjælp af de valge realafkasserier foreages der nu en analyse af risikopræmien på de danske akiemarked under anagelse af a risikopræmien er konsan over id. Eferfølgende vil de blive undersøg om denne anagelse ren fakisk kan acceperes som grundlag for analysen. 7. Beregning af den konsane risikopræmie Som beskreve i afsni..4 er den generelle anagelse a risikopræmien er konsan over id. Dee danner grundlage for a der benyes arihmeriske gennemsni af realafkasene for hhv. akiemarkede og de risikofrie akiv. De arihmeriske gennemsni af de o afkasserier beregnes og den konsane risikopræmie på akier kan beregnes ud fra ligning (.). lernaiv kan ligningen omformuleres så den i sede angiver risikopræmien il e besem idspunk ud fra ændringen i de o indeksserier: a a (7.) kie Kon risikofri Kon kie risikofri hvor Kon a angiver risikopræmien pr. kvaral. Den konsane risikopræmie enkele risikopræmier. Kon a kan herfra besemmes som de arihmeriske gennemsni af de Begge beregningsmeoder giver pr. definiion samme konsane risikopræmie og der opnås følgende gennemsnilige afkas og konsane risikopræmier pr. kvaral og pr. år 38 : Horison () kiemarkeds afkas isikofri afkas isikopræmie (kvaral/år) kvaral 75% 47% 8% / 53% Tabel 36 Daaserierne ses i Ecel-filen på vedlage CD-OM under fanebladene kie Daa og isikofri akiv Daa. 37 Beregningen af de reale indeks- og afkasserier ses i Ecel-filen på vedlage CD-OM under fanebladene kie Daa og isikofri akiv Daa. 38 Se beregningerne i Ecel-filen på vedlage CD-OM under faneblade Konsan præmie Side 44

46 Med anagelsen om a risikopræmien er konsan over id ses de af abel a risikopræmien på de danske akiemarked hhv. er ca. 3% pr. kvaral og 5% p.a. 7. Sammenligning med en lignende undersøgelse Fra de kende analyser af risikopræmien på de danske akiemarked er Line sager-nielsens analyse 39 den som ligger æes op af analysen i dee speciale. Som udgangspunk er den undersøge periode i denne analyse lid længere end perioden i Line sager-nielsens analyse som srækker sig fra. januar 97 il 3. december 5. Line sager-nielsen beregner sig frem il en årlig hisorisk risikopræmie på 93% på baggrund af årlige observaioner. De er næsen dobbel så sor e niveau i forhold il de ca. 5% som risikopræmien er beregne il i denne analyse. Ved nærmere undersøgelse af afkasserierne viser de sig a de kvaralsvise risikopræmier i 6 afspejlede de forrige års udvikling mens de kvaralsvise risikopræmier i 7 havde e noge lavere niveau. lle 4 kvaraler i 8 havde en negaiv risikopræmie og speciel i de sidse o kvaraler var risikopræmien numerisk mege sore på grund af de markane fald i akiemarkede. Yderligere var de kvaralsvise risikopræmier i 97 også negaive. l i al beyder de a de eksra kvaraler der er inkludere i denne analyse kan forklare en del af den markan lavere risikopræmie. Som en konrol af de eksra kvaralers påvirkning er den hisoriske risikopræmie beregne over samme periode som anvendes i Line sager-nielsens analyse på baggrund af denne analyses daasæ 4. Heraf beregnes den gennemsnilige årlige risikopræmie il 7% og de kan således konkluderes a de eksra kvaraler har resulere i e fald på 9% (7%-5%). De beyder a de eksra kvaraler der er inkludere i denne undersøgelse kan forklare en del af niveauforskellen (93%-5%) mellem Line sager-nielsens analyse og denne analyse. Line sager-nielsen benyer samme akieindeks og samme serier il a sammensæe de risikofri akiv. Line sager-nielsen benyer dog diskonosasen frem il 3. december 99 hvorimod denne analyse skifer il CBO3M allerede i. kvaral 988. Ved a bibeholde den samme periode som brug i Line sager-nielsens analyse og samidig benye diskonosasen frem il 3. december 99 beregnes den gennemsnilige årlige risikopræmie il 73% på baggrund af denne analyses daasæ. Forskellen på risikopræmierne på % (93%-73%) kan således forklares ved forskellen i hyppigheden af observaionerne (kvaral vs. årlig). 39 sager-nielsen L. (6) 4 Se beregningerne i Ecel-filen på vedlage CD-OM under faneblade Konsan præmie Side 45

47 7.3 Opsummering Den kore undersøgelse viser a risikopræmien på de danske akiemarked kan beregnes il ca. 5% p.a. ud fra de valge daaserier. Ved a ilføje 4 års daa opsår der e fald i den gennemsnilige risikopræmie på ca. % mens der også findes ændringer i risikopræmien ved brug af hhv. forskellige daaserier og forskellig hyppighed af observaionerne. 8. nalyse af en idsvarierende risikopræmien på de danske akiemarked fsni 7 vise a der er en følsomhed i risikopræmiens sørrelse i forhold il hvilken idsperiode der benyes. Noge yder på a anagelsen om a risikopræmien er konsan over id ikke er en korrek anskuelse af sysemaikken omkring risikopræmien på de danske akiemarked. Derfor handler dee afsni om a besemme en idsvarierende risikopræmie. Herved viser de sig hvor mege risikopræmien ren fakisk varierer over den valge periode og således afgøres de hvorvid anagelsen om en konsan risikopræmie over id er accepabel eller ej. De sidse delspørgsmål fra problemformuleringen vil derfor blive besvare i dee afsni således a den endelige værdi af risikopræmien på de danske akiemarked og spænde heraf bliver beregne. Den idsvarierende risikopræmie beregnes på baggrund af koinegraionsanalyser og således undersøges de om der findes en saionær sammenhæng mellem serier der ikke i sig selv er saionære. de ilfælde hvor der er en sammenhæng besemmes førs den fælles udvikling hvorefer den idsvarierende risikopræmie kan beregnes. Hvis begge indeksserier er () og der som udgangspunk er uafhængighed mellem akiemarkede og renemarkede kan evenuelle sammenhænge beds afbilledes i en saisisk verden ved a benye mulivariae koinegraionsanalyser. Herved får markederne mulighed for a påvirke hinanden ide de sæes sammen som en dynamisk enhed frem for a de ene marked er forklarende (de risikofrie akiv i ligning (.)) mens de anden marked er afhængig (akieindekse i ligning (.)). Yderligere vil der indgå hhv. korsigede og langsigede påvirkninger fra de o markeder sam e idsvarierende elemen som alle påvirker en idsvarierende risikopræmie. Når mulivariae koinegraionsanalyser benyes il a besemme en idsvarierende risikopræmie er de ineressan a se på VECM. VECM med e lag kan for de o indeksserier formuleres som: kie isikofri a a γ γ γ γ kie isikofri kie isikofri ε ε. Side 46

48 Side 47 De bemærkes hvorledes der sadig kan være korrelaion mellem søjleddene. Korrelaionen angives ved kovariansmaricen Ω og er derfor ikke afbillede i modellens andre paramere. Da de anages a der findes koinegraion mellem de o variable vil Π -maricen være af reducere rang så der opnås saionarie på begge sider af lighedsegne. Ved én koinegraionsrelaion vil rangen af Π være hvorved VECM kan udrykkes som: ( ) ε ε γ γ γ γ isikofri kie isikofri kie isikofri kie a a. De bemærkes a den øverse ECM-ligning minder mes ligning (7.) og ved a omforme denne fremkommer følgende ligning:: ( ) ε γ γ ε γ γ isikofri isikofri kie kie kie isikofri kie isikofri kie kie a a Den idsvarierende risikopræmie kan heraf besemmes il a være: ( ) isikofri kie kie Tid a a γ Dvs. den idsvarierende risikopræmie kan hhv. beskrives ved e konsan led den saionære del fra ændringen i akieindekse og de o idsvarierende led for de o serier. Ud fra den saisiske udledning af den idsvarierende risikopræmie bemærkes de hvorledes renen leder afkase på akiemarkede. De beyder a anagelsen om uforudsigelighed i værdipapirmarkede brydes ide renen i en periode kan benyes il a forudsige ændringen i akiemarkede i næse periode. En af mulighederne for a ree op på problemsillingen omkring uforudsigeligheden er a ECMligningen omskrives. De kan gøres ud fra en saisisk synsvinkel ved a gange Choleski dekomponeringen af kovariansmaricen ˆ Ω på modellen som beskreve i afsni 6.5. Herved vil modellen se ud som følger: ( ) Ω Ω Ω Ω Ω ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ε ε π π π π γ γ γ γ σ σ σ ε ε γ γ γ γ isikofri kie isikofri kie isikofri kie isikofri kie isikofri kie isikofri kie a a a a

49 Side 48 Den øverse ECM-ligning kan nu omformes : isikofri isikofri kie isikofri kie kie isikofri isikofri kie isikofri kie kie isikofri kie isikofri kie isikofri kie a a a ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ σ ε σ π π γ γ ε σ π π γ γ σ ε π π γ γ σ σ Den idsvarierende risikopræmie fra den saisiske meode kan heraf besemmes il: isikofri kie isikofri kie Tid a a ~ ~ ~ ~ ~ σ π π γ γ. Som beskreve afsni 6.5 vil den saisiske omformning af modellen medføre a der indføres kausalbeingelser på variablene. De beyder a ved benyelsen af en øvre Choleski dekomponere rekansmari da vil de implici anages a renen er eksogen i forhold il akieafkase. De er ikke en anagelse der svarer il forholdene i de finansielle marked hvorfor den præcise sørrelse af den idsvarierende risikopræmie fra denne beregningsmeode vil være forbunde med usikkerhed. Til gengæld er korrelaionen mellem søjleddene fjerne og alle sammenhænge mellem de variable er afbillede i modellen. Der findes en alernaiv måde a omskrive ECM-ligningen på så den både passer il den eoreiske definiion af risikopræmien og samidig kan acceperes finansiel. Den oprindelige ECM-ligning omskrives empirisk så hhv. afkase på akiemarkede og renen har samme idsangivelse. Ved denne omskrivning beholdes de esimerede koefficiener er fremkomme af den saisisk korreke ECM-ligning. Den omskrevne ligning er som følger: ( ) ε γ γ isikofri isikofri kie kie kie a Den idsvarierende risikopræmie fra den finansielle meode kan heraf besemmes il: ( ) isikofri kie kie Tid a a γ De ses a definiionen af den idsvarierende risikopræmie ikke er ændre men derimod a ændringen i akiemarkede i næse periode er afhængig af renen i næse periode. Dee kan lade sig gøre ide de anages a renen er persisen. De er således ikke en korrek saisisk beregningsmeode ide koefficienerne fra den korreke ECM-ligning påføres en daaserie uden a de kan eses om de kan acceperes. De beyder a uforudsigeligheden i markede opreholdes dog uden a den sidse beregning er saisisk fundere. Yderligere er der ikke age højde for korrelaionen i søjleddene hvorfor denne sadig er a finde i den samlede model.

50 Efer a de forskellige variable og koefficiener er besem kan risikopræmien il hver idspunk beregnes ud fra enen den saisiske eller den finasielle meode. Herefer kan den gennemsnilig idsvarierende risikopræmie Tid a beregnes og sammenlignes med risikopræmien Kon a fra ligning (7.) der er konsan over id. Yderligere kan der beregnes e spænd for den idsvarierende risikopræmie så de er mulig a se hvor sor variaionen af risikopræmien har være over id. l dee kan bruges når de skal vurderes om risikopræmien kan acceperes a være konsan over id. Før der opskrives en V-model skal de undersøges om de o indeksserier er () da de er en af forudsæningerne for a der kan undersøges for koinegraion. Undersøgelsen kan gøres såvel grafisk som saisisk ved a analysere udviklingen for hhv. indeks og differensserier. 8. Grafisk daaudvikling og univariane ess For a undersøge de præcise egenskaber ved indeksserierne foreages førs de grafiske fremsillinger af indeksserierne i hhv. niveau og differens i CTS. Graferne er illusrere i figur og. De bemærkes a der ikke er den sore forskel mellem differensserierne og de korrek beregnede afkasserier 4. De skyldes a der ages ln il indeksserierne således a differensserierne er en approksimaion af de kende afkasserier. Ved a sammenligne hver kvaral ses der en lille forskel mellem de korrek beregnede afkas og differensserierne ved numerisk sore afkas. Denne forskel er under % for de risikofrie akiv mens der for akiemarkede er e par kvaraler hvor forskellen er på -3%. De kan dermed konkluders a der ikke er problemer i forbindelse med a benye de approksimerede akieafkas og rener il analysen 4. Figur Figur Som udgangspunk virker de il a renen ikke har en konsan middelværdi. De bemærkes dog a udsvingene ligger i inervalle - il 4 hvilke er mege æ på. Til gengæld ser de ud il a der er en nogenlunde konsan varians borse fra enkele sore udsving. kieafkase ser ud il både 4 Korrek beregnede afkasgrafer ses bilag 3. 4 resen af eksen refererer akieafkas og rene il de approksimerende differensserier Side 49

51 a have en konsan middelværdi og en konsan varians men de il rods har den udsving i inervalle -3 il 3 hvilke er e bredere inerval end ilfælde for renen. På graferne for de o indeksserier ser de ikke ud il a der er signifikan auokorrelaion mellem idspunkerne (sæson i en serie). Derfor er forudsæningen for e Uni-roo-es opfyld hvorfor de forskellige seriers saionarie undersøges. TS eses dee med Dickey-Fuller-es på hhv. indeksserier og differensserier 43. Tessørrelsen for begge indeksserier hvor der ages højde for rends i serierne er sørre end de kriiske værdier i den asympoiske fordeling. De beyder a indeksserierne har enhedsrødder og a de ikke kan acceperes a de er saionære. Tessørrelsen for akieafkase er derimod mindre end de kriiske værdier for den asympoiske fordeling. De beyder a serien ikke har enhedsrødder hvorfor de ud fra e saisisk synspunk kan acceperes a den er saionær. de der ages højde for en konsan i serien og den sadig er saionær kan de konkluderes a der ikke er hverken sokasiske eller deerminisiske rends ilbage hvorfor akieafkase må være (). Tessørrelsen for renen ligger på grænsen il a være mindre end den kriiske værdi for %. De beyder a serien næsen kan acceperes a være saionær på e %-niveau og a der ikke er sikkerhed for om differensserien er () eller ej. Denne usikkerhed kan enen skyldes e de middelværdiskif der ser ud il a være på grafen eller den siuaion a der er e anal ouliers som forsyrrer saionarieen i differensserien. Fra e økonomisk synspunk giver de mening a akieafkase er saionær da de semmer overens med anagelsen om a akieafkase følger en random walk. Til gengæld skal der mere overvejelse il angående renen. De er almen kend a en nominel rene ikke kan blive negaiv. Tilsvarende er de næsen uænkelig for den nominelle rene a oversige 3% p.a.. Derved er der naurlige grænser for den nominelle rene hvorfor den ikke kan være () 44. Derfor må den nominelle rene være (). Tilsvarende ræsonnemen anages for den reale rene ide de naurlige grænser udvides il andre sørrelser. Fra ligning (.3) er de værd a bemærke a den reale rene il e given idspunk er posiiv for nogle kombinaioner af hhv. den nominelle rene og inflaionen mens den reale rene er negaiv for andre kombinaioner. Specifik kan de fra ligning (.3) udledes a: π i r < og π i r >. > < 43 Koden og oupu ses i bilag Jf. Samale med Professor Jesper angvid fra nsiu for Finansiering på CBS Side 5

52 de realrenen ikke påvirkes af inflaionen kan realrenen være negaiv hvorved den naurlige nedre grænse for realrenen rykkes. Fra e økonomisk synspunk er de således mulig a accepere hypoesen om a realrenen er (). l i al kan de såvel fra e saisisk som e økonomisk synspunk acceperes a akieafkase er uden nogen former for rends. Derfor gælder de a differensserien er () hvorfor de kan konkluderes a indeksserien er (). De blev også anyde i Dickey-Fuller-ese hvor indeksserien ikke kunne acceperes a være saionær. Tilsvarende kan hypoesen om a realrenen er uden nogen former for rends acceperes fra e økonomisk synspunk og il dels ud fra e saisisk synspunk. Dermed anages de også her a differensserien er () og indeksserien () hvilke igen var anyde i Dickey-fuller ese på indeksserien. 8. ndikaion af koinegraionsrelaion Ved a sammensæe en linearkombinaion af de o indeksserier vil der ifølge eorien generel opså en ()-serie. De vil dog være mulig a der opsår en () serie hvorved der findes en koinegraion mellem indeksserierne. Derfor benyes Engle-Granger proceduren på de o indeksserier. Sammenhængen mellem hhv. akieafkase de risikofri akiv og risikopræmien er angive i ligning (.). De er derfor nærliggende a sæe akiemarkede som den afhængige variabel og de risikofrie akiv som forklarende variabel i en koinegraionsrelaion. Herefer eses relaionen i Engle- Granger proceduren som udføres i TS. DF-regressionen med lags giver den bedse esimaion ide der er fles mulige lags i DFregressionen uden a nogle af dem bliver insignifikane (p-værdi >5). Parameeren for de én-periode laggede led i DF-regressionen esimeres 45 il π ˆ c 87( 4 ) og EG-essørrelsen beregnes ud fra formel (5.) il De 3 kriiske værdier er esimere ud fra mackinnoncv-proceduren i TS hvor der ages højde for analle af esimerede paramere. de essørrelsen er hhv. mindre end de kriiske værdier på både 5% og % -niveau men sørre end den kriiske værdi på % -niveau kan de på 5% -nivau acceperes a de esimerede residualer er saionære. Således kan den esimerede regression være en koinegraionsrelaion. 45 Kode og oupu ses i bilag 6. Side 5

53 Som udgangspunk vurderes de a der er én koinegraionsrelaion mellem de o indeksserier. Men ifølge eorien omkring Engle-Granger proceduren er der en implici anagelse om a der ikke er feedback mellem de o variable. Ud fra e økonomisk synspunk kan der god være feedback mellem de o variable og således er denne anagelse ikke i overenssemmelse med den siuaion der ønskes afbillede i den saisiske eori. Derfor benyes mulivariae koinegraionsanalyse i de følgende underafsni således a alle feedback muligheder medages i analysen. 8.3 Model uden resrikioner De har vis sig a differensserierne er () mens indeksserierne er (). Dee beyder a forudsæningen om a serierne er sokasiske er opfyld og således kan de beskrives ved en Vmodel. Før de er mulig a undersøge koinegraion mellem serierne skal V-modellen specificeres således a residualerne for modellen er normalfordele og uden CH-effeker sam signifikan auokorrelaion. Den generelle V-model for de p variable er: ε Π Π K Π k ~ N ( Ω) ( 969 : 4;8 : 4) kie isikofri Når de forskellige paramere i modellen er besem kan residualerne eses. Derfor specificeres modellen i forhold il hhv. hvilke rend der er i daaserierne og hvilken laglængde der er relevan i forhold il a beskrive daaserierne. k ε 8.3. Trend og laglængde i modellen afsni 4.4 blev der beskreve flere yper af rends som alle kan modelleres i forhold il a beskrive e daasæ. Fra graferne for serierne i niveau er de ydelig a der er forskellige lineære rends. De beyder a der skal være mulighed for rends i niveau. Derimod giver de ifølge eorien ikke mening a der er rend i risikopræmien. De beyder a den deerminisiske komponen i modellen såvel skal give mulighed for skæring forskellig fra som rends i daaserierne. De må dog anages a disse rends vil udligne hinanden i koinegraionsrelaionerne. V-modellen skal derfor modelleres som mulighed 3) fra afsni 4.4. forhold il a sikre a de deerminisiske komponener bliver specificere korrek følgende begrænsninger på paramerene for differensserierne indgå: γ γ. Herved bliver en rend i daaserierne i niveau definere ved γ mens Side 5

54 en evenuel skæring forskellig fra nul defineres ved K. differensserierne vil denne skæring gå ud ide de blo er en konsan. De illusreres af undersående eksempel: y ( K γ ( )) γ γ γ K γ y y y K γ γ Begrænsningerne implemeneres for modellen i CTS ved a sæe DETENDDFT. Herefer eses der for hvilke anal lags (sørrelsen på k) som er relevane for modellen. Heril benyes funkionen Lag Lengh Deerminaion i CTS. Der beregnes loglikelihood værdier og eses for auokorrelaion. Derudover beregnes en række informaionskrierier og der gennemføres L-es for e angive anal maksimale lags k maks. De maksimale anal lags definerer den effekive daalængde således a modellerne der eses mod hinanden har samme grundlag. For a have fles mulig observaioner indlæses førs en V-model med lags. Grunden il dee er som idligere nævn i afsni 6. a k kan beskrive en relaiv kompleks srukur af daaserierne. For a få en ide om hvor mange lags der er nødvendige sæes k Fra L-redukionsese i bilag 7 kan de acceperes a reducere analle af lags il k. Ved k har Hannan-Quinn informaions krierie og Schwarz informaions krierie de mindse værdier mens LM- esene for signifikan auokorrelaion acceperes på grænsen. maks Ved a es med hhv. k 3 og 47 kan de igen fra L-redukionsese acceperes a maks k maks k. De bemærkes dog hvorledes LM-esene for auokorrelaion kun lige godkendes med p- værdier på hhv. 5 og 55. Ved k 3 har LM-esene for auokorrelaion derimod p-værdier omkring 5. De er speciel vigig for rang ese a der ikke er signifikan auokorrelaion i residualerne og derfor er lags muligvis for lid i forhold il a beskrive empirien ilfredssillende. Selv om de i eoriafsnie blev konkludere a de i praksis bør være nok med k er de her bleve vis a der for denne finansielle problemsilling bør undersøges modeller med hhv. k og k 3 som sideløbende kan eses for modelspecifikaion rang osv. Derfor er V-modellerne nu specificere il: Π Π ) ε ~ N ( Ω) ( 969 : 4;8 : 4) kie isikofri K γ ε Π Π Π B) ε ~ N ( Ω) ( 969 : 4;8 : 4) kie isikofri 3 3 K γ ε 46 Oupu ses i bilag Oupu ses i bilag 7. Side 53

55 8.4 Undersøgelse af misspecifikaion i modellerne Når V-modellerne uden resrikioner er specificere kan der forages en residualanalyse for de o valge modeller. bilag 8 er der for begge modeller hhv. grafer for residualerne for differensserierne grafer med kryds- og auokorrelaioner sam en residualanalyse fra CTS. For begge modeller gælder de a udsvingene i de fiede residualer for renen passer med udsvingene i de fakiske residualer. Samidig ser der ikke ud il a være signifikan auokorrelaion. For akieafkase bemærkes de derimod for i begge modeller a de fiede residualer ikke har samme sore udsving som de fakiske residualer. Samidig er der for model en signifikan auokorrelaion mellem residualerne for lag 3. Denne signifikane auokorrelaion i residualerne findes ikke i model B. For akieafkase bemærkes de for begge modeller a hisogramme for de sandardiserede residualer har samme form som æheden for en sandard normalfordeling (op i ca. 4 og haler der er efer 3 ). De er også ilfælde i grafen for de sandardiserede residualer hvor alle ligger indenfor inervalle fra -3 il 3. Mh. renen kan de derimod for begge modeller ses a hisogramme for de sandardiserede residualer er lang fra a have samme form som æheden for en sandard normalfordeling. Her er oppunke mellem 6 og 7 og de ser ud il a der er flere observaioner over 3. De beyder a fordelingen bliver høj og ynd samidig med a halerne er for ykke. De bemærkes ilsvarende på graferne for de sandardiserede residualer a e par af residualer er lang over 3. Fra korrelaionsploene for begge modeller bemærkes de hvorledes der er mege få signifikane krydskorrelaioner. De beyder a den ene variable ikke kan benyes il a forudsige den anden. gen gælder de a der for model er en signifikan auokorrelaion ved lag 3 mens denne ikke findes i ploe for model B. Fra residualanalysen for hver af de o modeller ses de a krydskorrelaionen mellem residualerne for ændringerne i de o variable er hhv. for model og 4 for model B. Da begge værdier er æ på nul kan de konkluderes a der ikke er signifikane krydskorrelaioner mellem de forskellige lags i de o modeller. residualanalyserne for de o modeller er der o yper es for auokorrelaion i residualerne. Den ene er Ljung-bo essørrelsen som er basere på de esimerede auo- og krydskorrelaioner fra de Side 54

56 T førse lags. de de effekive samples er hhv. T 55 og T B 54 er Ljung-bo 4 essørrelserne således basere på 38 lags. De ses a med hhv. 44 og 4 frihedsgrader er p- værdien i begge ilfælde sor se lig og residualerne har dermed sadig signifikan auokorrelaion. Den anden es er LM-essørrelsen med hhv. og orden. Med 4 frihedsgrader bemærkes de a begge essørrelser for model B godkender a residualerne er fri for signifikan auokorrelaion. De ilsvarende essørrelser for model godkender kun lige a residualerne er fri for signifikan auokorrelaion. Da der ikke kan soles på Ljung-bo essørrelsen når der eses på en mulivarian model kan de godkendes a der ikke er signifikan auokorrelaion i residualerne for model B. De er i overenssemmelse med de idligere undersøgelser hvor der ikke blev funde signifikane auokorrelaioner i ploene. Tilsvarende godkendes de kun lige a model er fri for signifikan auokorrelaion i residualerne hvilke hænger god sammen med a der er signifikan auokorrelaion ved lag 3 i ploe for akieafkase. residualanalysen eses der vha. en mulivariae LM-essørrelse af hhv. og orden om der er CH-effeker ilbage i residualerne. Med hhv. 9 og 8 frihedsgrader er p-værdierne for. og. orden begge lig for begge modeller. De beyder a essørrelserne forkaser hypoesen om a den varierende varians er fjerne fra residualerne. Dee semmer overens med problemaikken i ploene hvor de fiede residualer for akieafkase ikke har lige så sore udsving som de fakiske. Samidig ses de for begge modeller a de mulivariae es for normalie i residualerne har en p- værdi på hvilke beyder a modellens residualer ikke kan acceperes a være normalfordele. Ud fra de 4 momener og de univariae essørrelser som beregnes for ændringerne i hver af variablene opnås samme endens som fremgik af hisogrammerne for begge modeller. Ændringen i begge variable har i begge modeller middelværdier lig. De bemærkes hvorledes a akieafkase har skewness på hhv. S 39 og S B og kurosis på hhv. 3 K 83 og K 3 B 67 hvilke semmer overens med en sandard normalfordeling. Samidig viser den univariae es for normalie a p-værdien ligger fin over grænsen på p 5 i begge modeller. Derudover bemærkes de a renen har skewness på hhv. 59 S og S B og kurosis på hhv. 9 K 75 og K 9 B 3. Værdierne semmer på ingen måde overens med en sandard normalfordeling ide speciel kurosis er for sor. Samidig viser den univariae es for normalie a p-værdien er lig for begge modeller. Side 55

57 Yderligere viser de sig a den univariae es for CH-effeker i akieafkase kun lige godkendes for model mens essørrelsen overbevisende godkendes for model B. Den univariae es for CH-effeker i renen har for begge modeller en p-værdi lig. l i al beyder de a V-modellerne ikke kan anages a være velspecificere. Der er ydelige egn på problemer ide residualerne ikke kan anages a være normalfordele og ide der sadig er CH-effeker ilbage i residualerne. De univariae essørrelser og graferne af residualerne for de variable viser a de hovedsaglig er serien for de risikofrie akiv der skaber problemer i den samlede model. Som udgangspunk er der flere muligheder for a korrigere i serierne. En af mulighederne er a korrigere for e evenuel middelværdi skif i renen. En anden er a korrigere for sore udsving. næse afsni undersøges disse muligheder hvor også anvendelsen af forskellige dummies overvejes Saisisk korrekion af middelværdiskif og sore residualer afsni 8. blev indeks- og differensserier undersøg for saionarie. DF-ese af akieafkase godkende a serien er saionær. Yderligere er der ikke egn på middelværdiskif i grafen hvorfor korrekion af middelværdiskif i akieafkase ikke er relevan. DF-ese af renen blev godkend på e %-niveau og således er der muligvis e eller flere middelværdiskif i renen. f. a idenificere evenuelle middelværdiskif i renen undersøges i førse omgang graferne for hhv. den nominelle reneserie og inflaionsserien 48. De virker il a den nominelle rene har e middelværdiskif i 94:Q hvor renen ændre sig fra en middelværdi på ca. 3% il en middelværdi på ca. %. nflaionen ser derimod ud il a have e middelværdi skif i 85:Q hvor den falder fra en værdi på ca. 3% il ca. %. Yderligere ser inflaionen ud il a have endnu e middelværdiskif i 9:Q hvor værdien falder il ca. 6%. grafen for den reale rene kan de 3 mulige middelværdiskif acceperes ide serien kan opdeles i op il 4 perioder: 7:Q-85:Q med middelværdi på ca. % 85:Q-89:Q med middelværdi på ca. 9% 89:Q3-94:Q med middelværdi på ca. % 94;Q-8;Q4 med middelværdi på ca. 5% 48 Se bilag 9 Side 56

58 De o V-modeller indlæses i CTS med de forskellige kombinaioner af middelværdiskif og residualanalyserne konrolleres 49. ngen af middelværdiskifene har særlig effek på de forskellige essørrelser så de kan konkluderes a disse korrekioner ikke løser misspecifikaions probleme. grafen for den reale rene ser de ud il a der er ouliers omkring perioden 74:Q-75:Q og igen omkring perioden 9:Q3-9:Q4. For a idenificere hvor der evenuel skal korrigeres for sore udsving i en eller begge serier angives de sore residualer i modellerne ved a benye Find Large esiduals i CTS. Grænseværdien sæes il 96 som er 95%-inervalle for en sandard normal fordeling. residualerne er der flere muligheder for a korrigere modellerne ved hjælp af dummies. Begge modeller angiver de samme kvaraler med sore residualer hvor kun sørrelsen på residualerne varierer lid. Der kan korrigeres for følgende forskellige observaioner: Transiorisk impuls: T: 76:Q3-76:Q4 (o sore residualer med førs posiiv så negaiv foregn for de risikofrie akiv) T: 9:Q4-93:Q (o sore residualer med førs posiiv så negaiv foregn for de risikofrie akiv) Permanen impuls: B: 75:Q4 (en sore posiiv residual for de risikofrie akiv) B: 9:Q3 (en sore posiiv/negaiv residual for de risikofrie akiv/akiemarkede) B3: 8:Q4 (en sore posiiv residual for akiemarkede) V-modellerne med både k og k 3 hvor de forskellige kombinaioner af dummies er inkludere indlæses i CTS. esidualanalysen konrolleres if. om inkludering af en given dummy har en posiiv indvirken på de respekive essørrelser. Førs eses de ransioriske impuls dummies i begge modeller 5. De viser sig a inkludering af den ransioriske impuls dummy T i begge modeller giver en sor redukion af normaliesessørrelserne for såvel de risikofrie akiv som den samlede model. Ved inkludering af den ransioriske impuls dummy T opnås der i begge modeller en redukion af CHessørrelserne for såvel de risikofrie akiv som den samlede model mens essørrelserne for normalie forøges. Ved a inkludere begge ransioriske impuls dummies opnås den bedse effek i begge modeller ide der nu kun mangler a blive korrigere for normaliesprobleme i de risikofrie akiv. 49 Tabeller for samlige residualanalyser kan ses i bilag. 5 Tabeller for samlige residualanalyser kan ses i bilag. Side 57

59 Herefer eses de permanene impuls dummies i begge modeller hvor både T og T er inkludere 5. De viser sig a den permanene impuls dummy B3 ikke her en signifikan effek på de forskellige essørrelser i residualanalysen for modellerne. Derimod har den permanene impuls dummy B en posiiv påvirkning på kurosis for de risikofrie akiv mens den permanene impuls dummy B har en posiiv påvirkning på normaliesessørrelsen for de risikofrie akiv. Ved a inkludere både B og B i modellerne ses de a samlige relevane essørrelser i residualanalysen kan godkendes. For model med dummies er p-værdien for LM()-auokorrelaionsessørrelsen på 7 og dermed kun lige godkend mens essørrelsen for CH-effeker for akiemarkede ikke godkendes. Problemerne findes ikke for model B med dummies ide alle ess i residualanalysen godkendes. Fra e saisisk synspunk bør de endelige modeller derfor beså af hhv. de variable sam ransioriske og permanene korrekioner for specielle hisoriske hændelser. Den enese forskel på de o V-modeller er således analle af lags Økonomisk begrundelse for korrekioner f. a modellerne skal benyes il a beregne risikopræmien på de danske akiemarked bør de undersøges om de 4 perioder som modellerne fremhæver kan genkendes ud fra e økonomisk perspekiv. Fra de oprindelige daasæ undersøges bevægelserne i serierne på idspunkerne for de 4 dummies. Fra definiionen af realrene (ligning (.)) ses de a: ) Den permanene impuls dummy B i 75:Q4 opsår på baggrund af e sor fald i inflaionen samidig med a den nominelle rene er uændre. ) Den ransioriske impuls dummy T opsår som en kombinaion af hhv. en signing i den nominelle rene i 76:Q3 hvor inflaionen er sor se uændre og herefer en sor signing i inflaionen i 76:Q4 hvor den nominelle rene er sor se uændre. 3) Den permanene impuls dummy B i 9:Q3 opsår på baggrund af en signing i den nominelle rene samidig med a inflaionen er uændre. 4) Den ransioriske impuls dummy T opsår på baggrund af ændringer i den nominelle rene. Førs med en sor signing i 9:Q4 og derefer e sor fald i 93:Q hvor inflaionen i begge kvaraler sor se er uændre Således opsår de 4 dummies på forskellige baggrunde hvorfor de må undersøges hvad der har forsage disse ændringer. 5 Tabeller for residualanalyserne med B og B ses i bilag. Side 58

60 Førs undersøges konjunkurudviklingen sam de forskellige poliiske lovændringer der blev foreage i hhv. 975 og 976. De gælder generel a en signing i inflaionen fremkommer af en signing i forbrugerprisindekse mens e fald i inflaionen fremkommer af e fald i forbrugerprisindekse. Forbrugerprisindekse angiver de generelle prisniveau for varer og services for en almindelig husholdning og påvirkes således af de poliiske ilag der foreages i håb om a forbrugerne enen forbruger mere eller mindre. sepember 975 blev der indgåe e poliisk forlig om a sænke momsen midleridig fra okober 975 il februar eorien er der følgende sammenhæng: når momsen sæes ned med % så falder alle priser med % hvorved forbrugerprisindekse vil falde med % 53. Som følge af sænkelse af momsen falder udgiferne hvorved prisen for forbrug falder. De medfører e fald i forbrugerprisindekse hvilke yderligere medfører e fald i inflaionen. Kombinere med en uændre nominel rene opnås således den øgede reale rene der i modellen forsager de posiive udsving i 975:Q4. februar 976 blev momsen regulere således a den vende ilbage il niveaue før de poliiske forlig. De medføre a realrenen også vende ilbage il dens idligere niveau. De poliiske forlig giver alså anledning il den permanene impuls dummie B. augus 976 blev der vedages endnu e poliisk forlig om a forhøje forbrugerafgiferne på en del forbrugsgoder 54. fgiferne øges på benzin cigareer spirius vin øl kaffe og e hvilke medføre en signing i priserne på disser varer. Der gik dog lid id før effekerne af disse prissigninger råde i kraf og således medføre de førs en sor inflaionssigning i 976:Q4. Den sigende eferspørgsel før forlige blev vedage havde medfør e sor underskud på bealingsbalancen. Samidig var der i åres løb uro på de inernaionale valuamarkeder. Begge siuaioner føre il forøge valuaeferspørgsel hvorfor Naionalbanken i 976;Q3 hævede diskonorenen i håb om a begrænse eferspørgslen 55. Både Naionalbankens forøgelse af renen og effeken af de poliiske forlig giver således anledning il den ransioriske impuls dummie T. De o sidse dummies er hovedsagelig skab af reneændringer i perioden hvorfor konjunkurudviklingen og poliiske lovændringer nu undersøges for denne periode Se Hansen E.D. Jensen S.E.H. Kjærsgaard K. osed J. (994) s De anages a forhandlere ikke holder prisen på samme niveau og ersaer den % momssænkelse med indjening. 54 Se Danmarks saisik (976) sam de fakiske ændringer i Danmarks saisik (997) 55 Se Danmarks saisik (976) 56 Se Økonomiminiserie De økonomiske sekrearia (993) afsni. Side 59

61 Der var sor valuauro i eferåre 99 hvilke bl.a. skyldes de danske nej il Maasrich-rakaen. Under denne uro flukurerede de kore rener krafig hvilke ses af graferne for de nominelle rener ide der er o sore signinger i både 99:Q3 og 99:Q4. Yderligere var der en smule valuauro i februar 993 hvorefer Naionalbanken foreog en række renenedsæelser af pengemarkedsrenen. enenedsæelserne ses ydelig af graferne for de nominelle rener ide der er e sor fald i 993:Q og endnu e i 993:Q som imidlerid ikke er signifikan for den saisiske model. De sore reneændringer kombinere med en uændre inflaion i denne periode giver anledning il den permanene impuls dummie B og den ransioriske impuls dummie T. De 4 dummies fra den saisiske model kan således refærdiggøres ud fra de enesående økonomiske påvirkninger i de omale kvaraler. De hisoriske begivenheder er således begrundelsen for a der bør foreages saisiske korrekioner i neop disse kvaraler if. a den saisiske model semmer overens med den finansielle siuaion omkring risikopræmien på de danske akiemarked. De nye V-modeller med de 4 dummies ser ud som følger: ) ε Π ~ N Π K γ Φd ε B) ( Ω) ( 969: 4; 8: 4) kie isikofri d d d d d p r p r 75 { 975:Q4} 76 { 976:Q3} 9 { 99:Q3} 93 { } 99:Q4 Π ε ~ N Π ( Ω) ( 969 : 4; 8: 4) kie isikofri Π 3 3 K d d d d d p r p r γ Φd ε 75 { 975:Q4} 76 { 976:Q3 } 9 { 99:Q3} 93 { } 99:Q4 Da samlige misspecifikaionsess for de o modeller undage grænse accepen af model kan godkendes må modellerne klassificeres som velspecificerede. Ved endnu e es af lag længden fremkommer samme problemsilling if. om der skal benyes eller 3 lags. De beyder a der nu kan eses for koinegraion mellem de o variable i begge VECM og evenuelle koinegraionsrelaioner og paramere kan fasslås. 8.5 Koinegraionsrelaioner Da der ikke er begrænsninger på rangen af Π -maricen kan modellerne uden resrikioner omformes il VEC-modeller ide skæringen i en evenuel koinegraion angives med og skæringen i differensligningerne angives med γ : Side 6

62 Γ 3) ε ~ N D d ( m) ( Ω) ( 97:; 8: 4) m ( ) d Π kie isikofri D D D D p r p r m γ ΦD ε 75 { 975:Q4} 76 { 976:Q3} { 976:Q4} 9 { 99:Q3} 93 { } { } 99:Q4 993:Q Γ B3) ε ~ N D d ( m) ( m) Γ ( Ω) ( 97 : ; 8 : 4) m ( 3) d kie isikofri Π m γ D p75 { 975:Q4} D { 976:Q3} r76 { 976:Q4} D p9 { 99:Q3} D 93 { } { } 99:Q4 r 993:Q ΦD ε de vensresiden af de o modeller idligere er besem il a være () og dermed saionær skal højre siden også være saionær. Er der koinegraion mellem de o variable vil Π -maricen ifølge eorien have en reducere rang. nden de undersøges skal modellerne førs specificeres med en værdi for m Valg af m il modellen Variablen m angiver hvilke lag ligevægs korrekions ledde er placere ved. Da k og k 3 i de o VEC-modeller kan m have værdien eller 3. Som beskreve i afsni 4. er Π -maricen uafhængig af sørrelsen på m. De beyder a koefficienerne il ligevægs korrekions ledde er ens uanse hvilke lag korrekionsledde placeres ved. Til gengæld er de således a Γ ( ) ( ) Γ hvor variablene mens ( ) Γ ( m) -maricen er afhængig af valge af m. Eksempelvis gælder de a Γ beskriver de rene ransioriske effeker ved den laggede ændring i ( ) Γ måler de kumulerede langsigede ransioriske effeker i modellens førse led. Koefficienerne il vil således variere al efer hvilken sørrelse af m der vælges. Generel vil både loglikelihoodværdien og forklaringsgraden for de o ilfælde er ens 57. Så konsekvensen af valge af m er derfor hvorledes de esimerede koefficiener skal forolkes. CTS er m som sandard sa il således a de rene ransioriske effeker fremkommer. Denne forolkning af paramerene er den mes anvendelige if. beregning af risikopræmien på de danske akiemarked ide de esimerede paramere førs skal benyes il a beregne risikopræmierne i hver kvaral før den gennemsnilige risikopræmie kan beregnes. Efer a paramerene er esimere skal de forolkes ud fra denne viden og herefer kan de direke benyes i beregningen af risikopræmien. De VEC-modeller der skal eses er: 57 Juselius (6) s Side 6

63 ε 4) Γ ~ N D d ( Ω) ( 97 :; 8: 4) d Π D D D D kie isikofri p r p r γ ΦD ε Γ Γ Π ( ) ( ) ΦD ε ~ N Ω 97: ; 8: 4 kie B4) isikofri 75 { 975:Q4} D p 75 { 975:Q4} 76 { 976:Q3} { 976:Q4} { } D 976:Q3 r 76 { 976:Q4} D d d 9 { 99:Q3} 93 { } { } D p 9 { 99:Q3} 99:Q4 993:Q D 93 { } { } 99:Q4 r 993:Q γ ε 8.5. Valg af rang CTS eses koinegraionsrang for de o modeller ved Trace Tese under punke () - ank Tes Saisics. For både rang og fremkommer informaioner om egenværdier essørrelser 95% grænsen sam p-værdier. CTS benyes som udgangspunk en Γ -fordeling il a approksimere den kriiske værdi (95%-frakilen) i Trace ese men ide der er dummies inkluderede i modellen er disse 95%-frakiler ikke korreke i forhold il de modeller der eses. Derfor simuleres de asympoiske fordelinger for Trace Tese under punke () - Simulae Criical Values. CTS 58 implemeneres evenuelle impuls dummies under approksimaionen af den brownske bevægelse ide approksimaionen afhænger af de deerminisiske led i modellen. Da impuls dummies indgår i de deerminisiske led vil de auomaiske indgå i simulering af fordelingen. Ved simulering af de asympoiske fordelinger for de o modeller hhv. med og uden dummies bemærkes de 59 a der opså problemer med den asympoiske fordeling i ese for koinegraion. Give a rende er DFT simulerer CTS a alle frakiler i den asympoiske fordeling er lig nul. For modellerne uden dummies er dee speciel e problem ide simuleringen bør angive en reprodukion af kende asympoiske abeller 6. Heraf må de konkluderes a de asympoiske fordelinger som programme simulerer når renden er DFT ikke kan benyes il a besemme koinegraionsrangen. sede eses rangen i de o modeller hvor renden enen varieres il CMEN (konsan i relaion og ingen rend i daaserier) eller CDFT (lineære rends i både relaion og daaserier) og hvor modellerne undersøges hhv. med og uden dummies Dennis J.G. (6) s Se abeller med essørrelser og asympoiske fordelinger i bilag 3. 6 Se reprodukion af abel i Juselius K. (6) ppendi case 3 6 Se abeller med essørrelser og asympoiske fordelinger i bilag 3. Side 6

64 de modellerne med de o alernaive yper af rends og uden dummies sagens kan simulere de asympoiske fordelinger så de svarer il de kende asympoiske abeller 6 kan de konkluderes a der er en programfejl i CTS for renden DFT. Samlige modeller uden dummies og uanse rendes godkender a der er o koinegraionsrelaioner mens modellerne med dummies godkender forskellige anal koinegraionsrelaioner. For renden CMEN i model 4 godkendes o koinegraionsrelaioner med en grænseværdi for p-værdien på 8 mens i model B4 godkendes en koinegraionsrelaion ydelig men ikke o. For renden CDFT i model 4 godkendes en koinegraionsrelaion med en grænseværdi for p-værdien på 6 mens i model B4 godkendes ingen koinegraionsrelaioner. de renden CMEN anses for a være en særkere begrænsning og renden CDFT en svagere begrænsning end renden DFT må godkendelsen af koingraioner for renden DFT ligge mellem de o andre ilfælde. Modellerne med CMEN godkender klar en koinegraion mens modellerne med CDFT er på grænsen if. a godkende en koinegraion. Samidig er de idligere indikere a der er minds en koinegraionsrelaion mellem de o indeksserier ved Engle-Granger proceduren. De beyder a der må anages a være en men ydeligvis ikke o koinegraioner når renden er DFT. For a være sikker på a der er en koinegraionsrelaion i hver af model undersøges enhedsrødderne i companion maricen for de o modeller. Undersøgelsen foreages i CTS ved Graphics - oos of Companion mari og for hver af modellerne undersøges ilfælde hvor rangen af Π -maricen er hhv. og 63. Når Π -maricen har fuld rang er én rod mege æ på enhedscirklen i begge ilfælde. De o rødder har modulus på hhv. 999 for model 4 og 9987 for model B4. Herefer har de rødder der er kandidaer il a angive en anden fælles sokasisk rend modulus på hhv. 95 for model 4 og 93 for model B4. Ved a sæe en resrikion på modellerne således a Π -maricen har rang opnås a kandidaerne il en anden fælles sokasiske rend har mindre modulus (på 3. decimal). Ud fra rødderne i companion maricen kan de acceperes a variablene i de o modeller har en fælles sokasisk rend. Begge meoder il a besemme af rangen for Π -maricen angiver a Π -maricerne har en reducere rang på. Dee beyder a de o variable har en fælles sokasisk rend som kan beskrives ved én relaion i hver model. 6 Se reprodukion af abel i Juselius K. (6) ppendi case 4 63 Se graf med enhedscirkel og rødder sam abel med værdier for rødderne i bilag 4. Side 63

65 Når der lægges resrikioner på Π -maricen og der dermed er koinegraion mellem variablene omskrives VEC-modellerne ide Π -maricen nu besår af o vekorer og. Da en mari og en mari. Hermed kan de o VEC-modeller omskrives il: 5) Γ Γ ε ~ N γ ( ) ΦD ( Ω) ( 97 :; 8 : 4) ε γ ΦD kie isikofri D p 75 { 975:Q4} { } D 976:Q3 r 76 { 976:Q4} D d d D p 9 { 99:Q3} D 93 { } { } 99:Q4 r 993:Q ε B5) Π er Γ Γ γ ΦD ε Γ Γ ( ) γ ΦD ε ε ~ N ( Ω) ( 97: ; 8: 4) kie isikofri D p 75 { 975:Q4} { 976:Q3} Dr 76 { 976:Q4} D d d D 9 p { 99:Q3} D 93 { } { } 99:Q4 r 993:Q Saisisk er der en koinegraionsrelaion mellem de o variable. De giver mening økonomisk se ide relaionen beskriver definiionen på en idsvarierende risikopræmie. de følgende afsni esimeres paramerene således a risikopræmien kan beregnes Koinegraionsrelaioner og es af hypoeser for paramerene Tidligere i analysen blev de konkludere a Π -maricen har rang og a der således kun er én koinegraionsrelaion. CTS sæes rangen lig med under punke () Se ank of Pi. Koinegraionsvekoren normeres efer parameeren for akieindeksserien da de semmer overens med definiionen af risikopræmien i ligning (.). De langsigede paramere er esimere i CTS og de o VEC-modeller er give ide sandardafvigelserne for paramerene er angive i pareneser ved: 6) Γ Γ ε ~ N ( 3) ( ) ( 48 ) ( 3) ( 5 ) ( ) ( ) ( Ω) ( 97 :;8: 4) kie isikofri 57 4 ( ) ( 5 ) γ γ ΦD ε D p75 { 975:Q4} { } D 976:Q3 r76 { 976:Q4} D D p9 { 99:Q3} D 93 { } { } 99:Q4 r 993:Q ΦD ε Side 64

66 B6) Γ Γ ε ~ N ( 3) ( ) ( Ω) ( 97 : ;8 : 4) Γ Γ kie isikofri 8 8 ( 4 ) ( ) ( 8) 94 ( 3) ( 56) 4 ( ) ( ) γ D p 75 { 975:Q4} { } D 976:Q3 r 76 { 976:Q4} D D p9 { 99:Q3} D 93 { } { } 99:Q4 r 993:Q γ ΦD ε ΦD ε De bør bemærkes a CTS ikke esimerer konsanen som en del af de reserende langsigede paramere. CTS esimerer derimod en samle konsan under de korsigede paramere som angiver summen af og γ. Da der ikke er brug for a opdele konsanen if. beregningen af en idsvarierende risikopræmie indsæes værdien blo efer de korsigede paramere er esimere. De ses a er ens for de o modeller. Paramerene er mege æ på nul og derfor bør de eses om de kan godkendes a paramerene kan sæes lig nul. Værdierne af er derimod forskellige i de o modeller men de har samme sandardafvigelse. Ud fra 95%-konfidensinervalle virker de ikke il a paramerene kan sæes lig nul. Til rods for de bør der alligevel foreages e es for om de kan godkendes a paramerene sæes lig nul. begge ilfælde er modeller. For ved normering definere il mens har forskellige værdier i de o bemærkes de a sandardafvigelserne ikke er ens men ud fra 95%- konfidensinervallerne er de ydelig a paramerene ikke kan sæes il nul. Som udgangspunk dækker 95%-konfidensinervalle for koinegraionsvekoren er ( ) bør alligevel eses. erne ikke - men hypoesen om a Førs eses de o hypoeser om paramerene nemlig om har nul-rækker. Dee beyder a der eses for om variablene er svag eksogene overfor il hinanden. Hypoeserne kan opskrives som: ene svag eksogen: c ( ) H K c ε kieafkas svag eksogen: c ( ) H K c c ε c c CTS eses hypoesen under punke () Tes for Weak Eogeneiy. Der vælges én svag eksogen variable af gangen og den variabel som skal eses angives med værdien. Tessørrelser og p-værdier for modellerne er samle i abel. c ε ε Side 65

67 Model Variabel der eses Tessørrelse P-værdi ved 6 kie isikofri B6 kie 34 B6 isikofri Tabel χ -fordelingen De ses a resrikionerne ikke kan godkendes. De beyder a der ikke er nul-rækker i og a ingen af de o variable er svag eksogene. Variablene har derfor indflydelse på hinanden. De er ydelig a paramerene ikke er i nærheden af a være lig nul hvorfor de ikke er nødvendig a ese hypoesen om saionarie. Derfor udgør ingen af variablene koinegraionen i sig selv og dermed er ingen af variablene ekskludere. Denne konklusion undersøes af de indledende Dickey-Fuller-ess som fand a indeksserierne ikke er saionære. En anden hypoese er om koinegraionsvekoren er ( ) hvilke beyder a der er langsige homogenie mellem de o variable. Da ϕ pga. den valge normering opskrives hypoesen som: ϕ Homogenie: H φ K ( ϕ ) ϕ ϕ ε CTS eses hypoesen under punke () esricions on Each Bea vecor. ε H ransponere indases hvilke vil sige ( ). Herefer normeres koinegraionsvekoren efer parameeren for akieindeksserien. Tessørrelser og p-værdier for modellerne er samle i abel 3. Model Tessørrelse P-værdi ved 6 3 B6 3 Tabel 3 χ -fordelingen esrikionen på koinegraionsvekoren om a de o paramere skal have samme sørrelse godkendes heraf ikke for de o modeller. De beyder a koinegraionsvekoren i de o ilfælde ikke kan være ( ) og dermed er der ikke langsige homogenie mellem de o variable. Således er de langsigede paramere esimere og forskellige hypoeser omkring paramerene er bleve ese. ngen af hypoeserne kan godkendes hvilke beyder a der ikke kan sæes resrikioner på vekorerne og. De langsigede paramere i de o modeller er derfor give ved de oprindelig esimerede værdier som kan ses i modellerne 6 og B6. følgende underafsni undersøges de korsigede effeker. Side 66

68 8.5.4 De korsigede paramere De korsigede paramere esimeres i CTS under punke Misc Shor un Parameers. De o VEC-modeller er give ide sandardafvigelserne for paramerene er angive i pareneser som: 7) hvor ( 78 ) ( 958 ) ( ) ( ) ( 53 ) ( 4 ) kie isikofri ( 3 ) ( 5 ) ( ) ( ) ( 65 ) ( 65 ) ( 9 ) ( 93 ) 9 ( ) ( ) ( ) Dp75 76 Dr D D 9 p D 93 r { 975:Q4} { 976:Q3} { 976:Q4} { 99:Q3} { 99:Q4} { 993:Q} 3 3 ε ~ N D ε ( Ω) ( 97 :; 8 : 4) B7) hvor ( 79 ) ( 463 ) ( ) ( 59 ) ( 47 ) ( ) kie isikofri ( 8 ) ( 459 ) ( ) ( 59 ) ( 65 ) ( 65) ( 9) ( 9) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Dp75 76 Dr D D 9 p D 93 r { 975:Q4} { 976:Q3} { 976:Q4} { 99:Q3} { 99:Q4} { 993:Q} D ε ε ~ N 94 ( 3) ( 56 ) 4 ( ) ( ) ( Ω) ( 97 : ;8 : 4) Paramerene for hhv. konsanerne dummierne ogγ -paramerene ligger på samme niveau hvilke beyder a påvirkningen fra variablene er beskreve ens. For model B7 viser de sig a 95%- konfidensinervalle for de o Γ -paramere der ganges på renen ydeligvis indeholder nul. De beyder a paramerene i Γ for renen kan sæes lig nul. Til gengæld bemærkes de a de ilsvarende paramere i Γ for akieafkase er signifikan forskellige fra nul. Overordne beyder dee a renen på kor sig skal beskrives ved en ()-proces mens akieafkase på kor sig skal beskrives ved en (3)-proces. CTS indsæes begrænsningerne på Γ under punke CTS Model. Her ændres lag srukuren ide lag - fravælges for DSKOF mens de reserende lags bibeholdes. De idligere resrikioner på modellen bevares således a modellen med reesimerede paramere bliver: Side 67

69 C) hvor ( 8 ) ( 936 ) ( ) ( ) ( 49 ) ( 4 ) kie isikofri ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( 63) ( 65 ) ( 9 ) ( 9) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Dp75 76 Dr D D 9 p D 93 r { 975:Q4} { 976:Q3} { 976:Q4} 39 { 99:Q3} { 99:Q4} { 993:Q} D ε ε ~ N 96 ( 3) ( 57 ) 4 ( ) ( ) ( Ω) ( 97 : ;8: 4) Ved a sammenligne med model B7 bemærkes de a den sørse ændring sker i øverse ligning for parameeren i Γ der ganges på renen. Parameeren har en værdi på 5 før begrænsningen på Γ (model B7) mens den får værdien 759 når begrænsningen på Γ indføres (model C). De skyldes a effeken fra koefficienen i Γ overføres il den ilbageblivende koefficien. Tilsvarende overføres effeken i nederse ligning men da denne effek ikke var særlig sor i Γ før begrænsningen får den ikke beydelig effek på koefficienen i Γ efer a begrænsningen er indfør (parameerændring fra 97 il 95). esen af paramerene og deres sandardafvigelser ændres mege lid ved den eksra begrænsning for modellen. De giver god mening ide begrænsningen ikke påvirker de områder der beskrives ved konsanvekoren dummierne og Π. Ved a sammenligne residualanalyserne 64 for modellerne 7 B7 og C ses de a samlige p-værdier for de forskellige ess er sor se ens for modellerne B7 og C. Derimod indeholder essørrelserne for model 7 de idligere nævne problemsillinger omkring CH-effekerne for akieafkase og auokorrelaionen for den samlede model. De beyder a der er en klar forbedring i essørrelserne fra model 7 il model C mens essørrelserne ser sor se uændrede fra model B7 il model C. Derfor er den endelige model il beregning af den idsvarierende risikopræmie model C hvor der indsæes resrikioner om a paramerene i Γ for de risikofrie akiv lig nul. 8.6 Beregning af den idsvarierende risikopræmie på de danske akiemarked Den endelige model for sammenhængen mellem ændringen i de o serier er besem og den idsvarierende risikopræmie på de danske akiemarked kan nu beregnes. Paramerene for den endelige model gemmes som en oupu-csv.fil fra CTS. Denne åbnes i Ecel hvorved beregninger på modellen kan gennemføres Tabeller for residualanalyserne ses i bilag Se beregningerne af de de idsvarierende risikopræmier i Ecel-filen på vedlage CD-OM under fanebladene Finansiel præmie og Saisisk præmie. Side 68

70 førse del af afsni 8 beskrives o meoder som risikopræmien kan beregnes ud fra give den valge VECM. Den finansielle meode anager a isikofri kan ersaes med isikofri uden a de esimerede paramere påvirkes hvorimod den saisiske meode indfører kausalbeingelser således a renen bliver eksogen. de den endelige VECM indeholder dummies skal der generel ages silling il hvordan effekerne fra disse passer i forhold il eorien bag risikopræmien. De 4 dummies blev indfør i den saisiske model for a opfylde normaliesbeingelserne for modellens søj. De vise sig a på hver af de idspunker hvor der blev indfør en dummy var der eksraordinære hændelser der skulle ages højde for. Derfor giver de mening a invesorerne i disse perioder enen blev eksra kompensere eller eksra sraffe via risikopræmien. Da formåle med denne analyse er a beregne den generelle langsigede risikopræmie på de danske akiemarked må disse enkelsiuaioner berages som undagelser fra den almindelige endens. Derfor giver de mes mening a effekerne fra de 4 dummies ilhører søjledde og således ikke påvirker risikopræmien Den finansielle meode dee underafsni beregnes risikopræmien ud fra den finansielle meode. VECM opskrives i Ecelfaneblade ud fra de esimerede paramere. npu-serierne besående af hhv. daaserierne i såvel niveau som differens sam - serier for de 4 dummies opskrives. Herefer beregnes hver led i den øverse ECM-ligning for hver idsperiode. isikopræmien il hver kvaral beregnes herefer som summen af de beregnede led il hver idspunk hvor der hhv. ses bor fra ledde med ledde med dummierne og søjledde. isikofri Kvaralsrisikopræmierne ploes i e hisogram hvor de ser ud il a være normalfordel 66. De årlige risikopræmier beregnes ved a gange med 4. Da risikopræmien anages normalfordel kan spænde for hhv. den kvaralsvise og den årlige idsvarierende risikopræmie beregnes som 95%- konfidensinervalle for de o periodeangivelser. Udviklingen for risikopræmien over id er illusrere i graf 6. på bilag 6 mens middelværdi sandardafvigelse og spænd er samle i abel 4: Middelværdi Sd.afv. Spænd Kvaral % 44% -7% 943% Årlig 444% 698% -883% 377% Tabel 4 66 Se graf 6. på bilag 6 Side 69

71 8.6. Den saisiske meode dee underafsni beregnes risikopræmien ud fra den saisiske meode ide de anages a renen er eksogen. Den endelige VECM opskrives i Ecel-faneblade ud fra de esimerede paramere. Vha. korrelaionsmaricen som er angive i residualanalysen udledes kovariansmaricen. Den nedre Choleski dekomponering ˆΩ beregnes vha. en VB-funkion 67 og herfra kan den øvre Choleski dekomponering beregnes ved a gange maricer sammen ud fra følgende definiion: Ω ˆ Ωˆ ( Ωˆ ) Ω Ω ( Ω ) ˆ ˆ ˆ Den øvre Choleski dekomponering ganges på samlige koefficien maricer i VECM og den korrigerede model opskrives i Ecel-arke. npu-serierne besående af hhv. daaserierne i såvel niveau som differens sam - serier for de 4 dummies opskrives. Herefer beregnes hver led i øverse ECM-ligning for hver idsperiode. isikopræmierne il hver kvaral beregnes som summen af de beregnede led il hver idspunk ide der il sids deles med koefficienen il kie. Herved er ligningen normere således a har koefficienen. kie Kvaralsrisikopræmierne ploes i e hisogram hvorfra de ser ud il a være normalfordel 68. De årlige risikopræmier beregnes ved a gange med 4. Da risikopræmien anages normalfordel kan spænde for hhv. de kvaralsvise og de årlige idsvarierende risikopræmier beregnes som 95%- konfidensinervalle for de o periodeangivelser. Udviklingen for risikopræmien over id er illusrere i graf 8. på bilag 8 mens middelværdi sandardafvigelse og spænd er samle i abel 5: Middelværdi Sd.afv. Spænd Kvaral 4% 45% -69% 973% Årlig 5.6% 698% -766% 389% Tabel Sammenligning af de idsvarierende risikopræmier dee underafsni sammenlignes risikopræmien og spænde for de beregningsmeoder. De gennemsnilige kvaralsvise risikopræmier er nogenlunde ens med værdier på hhv. % og 4%. Tilsvarende ligger de gennemsnilige årlige risikopræmier på hhv. 444% og 56%. De beyder a der sor se opnås samme niveau for den langsigede risikopræmie ved begge beregningsmeoder. Sandardafvigelserne for begge ilfælde viser sig a være ens hvilke beyder a spændene er forskellige på grund af middelværdierne. De kvaralsvise spænd er i inervalle -7% il % mens de årlige spænd er i inervalle ca. -8% il 38%. Den årlige risikopræmie kan således variere mege 67 Se bilag Se graf 8. på bilag 8 Side 7

72 hvorfor en invesering i akiemarkede i e enkel år er urolig usikker. De beyder a merafkase i forhold il a have pengene sående på en bankkono i e år ligger i inervalle -3% il 4%. De plos over risikopræmiernes udvikling virker sor se il a være ens og de ser ud il a have konsane middelværdier og en nogenlunde konsan varians over hele perioden (hvilke svarer il a de er anage normalfordele). De beyder a inveseres der i akiemarkede over en længere periode så vil der opnås e gennemsnilig merafkas på de beregnede niveau uanse hvad niveaue er når inveseringen hhv. sares og slues. Overordne ser de ud il a de o meoder som benyes il a beregne den idvarierende risikopræmie angiver samme langsigede niveau med samme spænd for risikopræmien. Der er dog problemer ved begge beregningsmeoder. Den finansielle meode anager a renen er persisen og a de således ikke beyder noge om der vælges en observaion på id eller id. Dee er i modsrid med den idligere ()-analyse hvor de kun var på en %-grænse a renen blev accepere a være saionær. Yderligere ages der ikke højde for en ilbageværende korrelaion mellem søjleddene hvorfor søjledde i ECM-ligningen kan indeholde vigig informaion som ikke medages i beregningen af den idsvarierende risikopræmie. Den saisiske meode fjerner korrelaionen mellem søjleddene men anager il gengæld a renen er eksogen i forhold il akieafkase. Dee er i markan modsrid med den finansielle virkelighed hvor de o akiver skifevis påvirker hinanden og dermed besemmes samidig. Yderligere kunne renen ikke anages a være svag eksogen som følge af den idligere esede hypoese om. Begge beregningsmeoder indeholder således alvorlige problemsillinger i forhold il de grundlæggende finansielle og saisiske anagelser. Derfor kan ingen af meoderne forerækkes frem for den anden. Således kan de konkluderes a den idsvarierende årlige risikopræmie er ca. 5% med e spænd der ligger i inervalle fra -8% il 38%. 8.7 Diskussion af empiriske resulaer 8.7. Konsan risikopræmie En vurdering af niveaue for den idsvarierende risikopræmie opnås ved a sammenligne med niveaue for den konsane risikopræmie fra afsni 7. Den konsane risikopræmie vise sig hhv. a være 8% pr. kvaral og 53% p.a. De beyder a såvel de idsvarierende risikopræmier som den konsane risikopræmie alle har e årlig 5%-niveau. Den finansielle idsvarierende risikopræmie er mindre end den konsane risikopræmie mens den saisiske idsvarierende risikopræmie er sørre end den konsane risikopræmie. Side 7

73 Generel kan en beregning ud fra anagelsen om a risikopræmien er konsan over id således angive e approksimere niveau for risikopræmien. Men skal der benyes e mere præcis niveau for risikopræmien er anagelsen om a risikopræmien er konsan over id ikke accepabel. Dee var ydelig i afsni 7. hvor inkludering af 4 eksra år medføre e sor niveauskif for den konsane risikopræmie. De beregnede spænd for de idsvarierende risikopræmier viser a anagelsen om konsanhed over id ikke er accepabel ide spænde svinger mellem ca. -3% og 4% p.a. Overordne beyder de a med en mege lang inveseringshorison er den konsane risikopræmie en accepabel approksimaion af niveaue for risikopræmien. Ved korere inveseringshorisoner derimod vil forskellen være sor ide e enkel års invesering kan medføre en risikopræmie i inervalle -3% og 4% Niveau if. andre undersøgelser af de danske akiemarked Line sager-nielsen 69 har som idligere nævn beregne en hisorisk risikopræmie over perioden. januar december 5 på 93%. Dee niveau blev i afsni 7. diskuere i forhold il den konsane risikopræmie. de niveaue for såvel den konsane risikopræmie som de idsvarierende risikopræmier i denne analyse er nogenlunde ens opsår samme problemsilling omkring niveaue for den idsvarierende risikopræmie og niveaue for Line sager-nielsens risikopræmie. Da de har vis sig a ændringen af idsperioden beød en del for sørrelsen af den konsane risikopræmie undersøges også en idsvarierende risikopræmie over inervalle. januar december 5. Modelspecifikaionen 7 angiver samme endelige V-model med en ()-proces for renen og en (3)-proces for akieafkase for de korsigede paramere. Esimaionen af paramerene og beregningen af den idsvarierende risikopræmie medfører middelværdier sandardafvigelser og spænd som vis i abel 6: Finansiel meode Saisisk meode Middelværdi Sd.afv. Spænd Middelværdi Sd.afv. Spænd Kvaral 4% 43% -686% 97% Kvaral 7% 43% -659% 999% Årlig 569% 69% -745% 3884% Årlig 68% 69% -634% 3997% Tabel 6 Niveaue for den årlige idsvarierende risikopræmie ved de meoder er således lid højere når perioden forkores. Samidig er spænde sor se uændre på mellem -7% og 39%. Niveauskife 69 sager-nielsen L. (6) 7 Der er samme problemer omkring laglængden. Derudover opsår problemsillingen omkring CH-effekerne i residualanalysen for modellen med lags igen. De sore residualer angiver samme idspunker for dummiekorrekioner og analle af koinegraioner besemmes igen ud fra es ved ændringer i renden og undersøgelser af rødderne i companion maricen. Side 7

74 for den idsvarierende risikopræmie er ikke så markan som de var ilfælde for den konsane risikopræmie. De viser a niveaue for den idsvarierende risikopræmie er mere sabil end niveaue for den konsane risikopræmie. Yderligere angiver spænde for den idsvarierende risikopræmien roværdige maksimum- og minimumgrænser ide de ikke forandres når perioden ændres. Der er foreage flere undersøgelser af risikopræmien på de danske akiemarked ud fra anagelsen om a risikopræmie er konsan over id. Engsed og Tanggard 7 har undersøg risikopræmien over en periode fra 9 il 996 hvor de opnår en risikopræmie på de danske akier på 37% p.a. Dimson Marsh og Saunon 7 har lave analyser af de danske akiemarked over flere forskellige delinervaller hvor de opnår en risikopræmie fra 97- på 4% p.a. og en risikopræmie fra 9- på % p.a. De 3 undersøgelser angiver således e niveau der er noge lavere end risikopræmieniveaue i denne analyse. De er idligere påvis a idshorisonen har en vis effek på niveaue af risikopræmie. Tidshorisonerne alene er dog ikke nok il a forklare de gennemgående lavere niveau for de 3 undersøgelser. Undersøgelser af daaserierne for de forskellige analyser viser a Dimson Marsh og Saunon i førse del af perioden benyer en akiemarkedsserie der hovedsaglig er beregne af Claus Parum 73 og i den sidse del af perioden benyes KX-indekse. Selvom såvel akieserien i Dimson Marsh og Saunon som akieserien i denne analyse har e forskellig syn på de samlede akiemarked er denne forskel alene ikke nok il a forklare niveauforskellen mellem de o undersøgelser ide begge serier beskriver samme approksimaive udvikling i akiemarkede. Som risikofri akiv benyer Dimson Marsh og Saunon en realkrediobligaionsserie beregne af Claus Parum 74 som har fokus på konkree åbne likvide realkrediobligaioner der er homogene over id. De enkele obligaioner udskifes løbende således a løbeiden forbliver nogenlunde konsan sam a konvereringsrisikoen reduceres. de risikoen på en realkrediobligaion er højere end risikoen på en sasobligaion vil realkrediobligaionsrenen være højere end eksempelvis diskonorenen. Sammenholdes dee med definiionen på risikopræmien i ligning (.) bemærkes de hvorledes en højere rene på de risikofrie akiv medfører en lavere risikopræmie når akieafkase anages a være uændre. De beyder a de lavere niveau for risikopræmien opnåe af Dimson Marsh og Saunon på mellem % og 4% kan forklares i forhold il 5%-niveaue for risikopræmien i denne analyse ud fra forskellen på definiionen af de risikofrie akiv. 7 Engsed T. Og Tanggard C. (999) 7 Dimson E. March P. Saunon M. () 73 Parum C. (999a) 74 Parum C. (999b) Side 73

75 Engsed og Tanggard benyer en akieserie beregne af J. Lund som er basere på 6 sore selskaber. De beyder a der er en vis sandsynlighed for a sikprøven i serien ikke er repræsenaiv hvorimod daa i serien må anses for a have høj kvalie 75. serien for de risikofrie akiv benyes førs diskonorenen fra Danmarks saisik frem il 975. Herefer benyes der nulkuponrener frem il 99 og il sids benyes den årlige CBO-rene. De beyder a begge serier er anderledes definere end de serier der benyes i denne analyse dog uden a der er markane forskelle. Engsed og Tanggard opnår såvel gennemsnilige reale akie afkas som risikofrie afkas på hhv. 63% og 5% mens disse afkas i undersøgelsen for den konsane risikopræmie i denne analyse viser sig a være på hhv. 7% og 87%. De beyder således a de lavere niveau på 37% for risikopræmien opnåe af Engsed og Tanggard i forhold il 5%-niveaue for risikopræmien i denne analyse evenuel kan forklares ud fra e lid lavere gennemsnilig realafkas for akiemarkede og e lid højere gennemsnilig realafkas for de risikofrie akiv. lernaiv skyldes niveauforskellen blo forskellen i de o benyede beregningsperioder. Generel er niveauforskellen mellem risikopræmien i denne analyse og Dimson Marsh og Saunon s risikopræmie (5 4 36%) sørre end niveauforskellen mellem risikopræmien i denne analyse og Engsed og Tanggard s risikopræmie (5-37 3%). Således giver de mening a den førse forskel mellem risikopræmierne kan forklares ved forskellige valg af risikofrie akiver mens den sidse forskel enen kan forklares ved mindre forskelle i de o realafkasserier eller forskelle i beregningsperioderne Niveau if. risikopræmier fra andre koinegraionsanalyse De enese kende eksempel på a der benyes koinegraionsanalyser il beregning af risikopræmien på e akiemarked er Jan Overgaard Olesens analyse af forholde mellem de danske akie- og obligaions marked i perioden Der er ikke funde analyser fra andre lande hvor risikopræmien på e akiemarked er besem ved koinegraionsanalyser. Derfor kan denne analyses beregningsmeoder og resulaer kun sammenlignes med Jan Overgaard Olesens analyse. Jan Overgaard Olesen benyer serier af rullende afkas og rener med en horison på hhv. 5 og år il a forme mulivariae koinegraionsrelaioner mellem de o serier. Fra bl.a. DF-ess finder han a serierne med de rullende afkas og rener kan anages a være () hvorfor han undersøger 75 Parum C. (999a) s.4 76 Olesen J.O. () Side 74

76 mulivariae koinegraion mellem disse serier. Han afgrænser med a der er en konsan i koinegraionsrumme og finder således frem il a der kun er koinegraion mellem renen og akieafkase på hver af idshorisonerne. isikopræmien defineres ud fra den langsigede ligevæg som angives i -vekoren fra koinegraionen hvor risikopræmiens sørrelse p.a. svarer il den konsan der opsår i -vekoren ud fra begrænsningerne på den deerminisiske komponen. Jan Overgaard Olesens analyse angiver hhv. en risikopræmie på 6% p.a. på baggrund af daa med 5 års horison og en risikopræmie på 35% p.a. på baggrund af daa med års horison. Som udgangspunk er niveaue for de o risikopræmier fra Jan Overgaard Olesens analyse således lavere end de niveau som er opnåe i denne analyse. Der må dog silles flere spørgsmålsegn ved Jan Overgaard Olesens analyse. Den sørse problemsilling er a akieafkase presses il a være () hvilke ikke er ilfælde i denne analyse. Yderligere er akieafkase saionær per finansiel definiion og burde dermed være (). Til rods for a der benyes en sum af akieafkas over de o forskellige horisoner burde serien sadigvæk være () og ikke () ide summen af ()-variable er (). Således er der e grundlæggende definiionsproblem i Jan Overgaard Olesens analyse. En anden problemsilling er vedrørende definiionen af risikopræmien. de ilfælde hvor der alene benyes en langsige ligevæg ud fra -vekoren ses der bor fra de korsigede påvirkninger af niveaue. Vigigere er de a der i Jan Overgaard Olesens beregning af risikopræmien ikke rees op på den korrelaion der er ilbage i søjledde. Saisisk er definiionen af risikopræmien ud fra - vekoren alene yderligere e problem i Jan Overgaard Olesens analyse. denne analyse er der funde særke egn på lineære rends i de o indeksserier som ikke alene kan ilskrives sokasiske påvirkninger. forhold il hhv. a beregne niveaue for risikopræmien ud fra den langsigede ligevæg i -vekoren sam a beregne niveaue på den idsvarierende risikopræmie på baggrund af meoderne i denne analyse gennemføres koinegraionsanalysen igen over hele idsperioden fra. januar 97 il 3. december 8 hvor den deerminisiske komponen defineres som ilfælde ) i afsni 4.4. Modelspecifikaionen 77 angiver samme endelige VECM med en ()-proces for renen og en (3)-proces for akieafkase for de korsigede paramere. Esimaion af paramere og beregningen af den idsvarierende risikopræmie medfører middelværdier sandardafvigelser og spænd som ses i abel 7: 77 Der er samme problemer omkring laglængden. Derudover opså problemsillingen omkring CH-effekerne i residualanalysen for modellen med lags igen. De sore residualer angiver samme idspunker for dummiekorrekioner og analle af koinegraioner besemmes igen ud fra es ved ændringer i renden og undersøgelse af rødderne i companion maricen. Side 75

77 Finansiel meode Saisisk meode Middelværdi Sd.afv Spænd Middelværdi Sd.afv Spænd Kvaral 65% 43% -795% 96% Kvaral 7% 43% -758% 97% årlig 6% 7% -38% 374% årlig 47% 78% -33% 3883% Tabel 7 De bemærkes hvorledes niveaue for den idsvarierende risikopræmie ved de o meoder nu er noge lavere end i de ilfælde hvor den deerminisiske rend illader såvel konsaner som rends i indeksserierne. De nye niveau svarer il niveaue fra Jan Overgaard Olesens analyse. Dee kan imidleridig være ilfældig ide den grundlæggende anagelse vedrørende den deerminisiske komponen ikke semmer overens med grafen for indeksserierne. -vekoren i den endelig esimerede VECM angiver en langsige risikopræmie på 64% hvilke er e hel ande niveau end de der hidil er opnåe på baggrund af den oprindelige daaperiode. l i al er der en del problemaiske elemener forbunde med Jan Overgaard Olesens analyse ide der bl.a. indgår flere anagelser der modsrider de saisiske og finansielle definiioner. Niveaue for risikopræmien besem i Jan Overgaard Olesens analyse er således ikke valid a benye som benchmark if. de niveau for risikopræmien der er opnåe i denne analyse. 8.8 Opsummering De mulivariae koinegraionsanalyser i denne analyse har vis a akiemarkede og de risikofrie akiv koinegrerer og a paramerene fra den samlede VECM kan benyes il a beregne en idsvarierende risikopræmie. De viser sig yderligere a niveaue for denne idsvariernde risikopræmie er på ca. 5%. De er ikke mulig a angive sørrelsen nærmere ide der opsår problemer if. de saisiske og finansielle definiioner ved begge de anvende beregningsmeoder. Spænde for den idsvarierende risikopræmie spræder sig over e sor inerval fra ca. -3% il 4% hvorfor imingen af en invesors inveseringer kan være af sor beydning hvis inveseringshorisonen er lille. isikopræmien er under anagelsen af a den er konsan over id beregne i flere undersøgelser. de forskellige undersøgelser har niveaue enen ligge højere eller lavere end de niveau for risikopræmien som fremgår af denne analyse. Forskellene kan delvis forklares på baggrund af forskellen i idshorisonerne og delvis forklares på baggrund af de forskellige definiioner af hhv. akiemarkede og de risikofrie akiv. Kun i én idligere analyse er den langsigede risikopræmie beregne vha. koinegraionsanalyser. Denne analyse indeholder dog flere definiionsproblemer hvilke bevirker a den beregnede risikopræmie er uholdbar som benchmark. Side 76

78 9. Konklusion Målsæningen med denne analyse har være a skabe e overblik over hvordan risikopræmien på de danske akiemarked kan beregnes i praksis på baggrund af den gængse eori. Teorien i afsni angiver a risikopræmien kan beregnes som differensen mellem e arihmerisk gennemsni af e akiemarkedsafkas og e arihmerisk gennemsni af afkase på e risikofri akiv. E grundlæggende elemen i denne eori er a risikopræmien anages a være konsan over id. Ved sammenligning af flere analyser har de vis sig a denne anagelse ikke nødvendigvis er accepabel. Specifik for denne analyse er der i afsni 7. foreage en sammenligning mellem o risikopræmier med samme daasæ men beregne på baggrund af perioder med 4 års forskel. De viser sig a inkluderingen af de 4 eksra år medfører e fald af risikopræmien på % (7%-5%). På denne baggrund må de konkluderes a anagelsen om a risikopræmien er konsan over id ikke semmer overens med de danske værdipapirmarked. De viser sig a den idsvariernde risikopræmie på de danske akiemarked kan beregnes ud fra flere sep. Førs opsilles en veldefinere V-model uden resrikioner således a informaionerne i de valge daaserier fra afsni 3 er afbillede i modellen. Fra eorien i afsni 6 viser de sig a de vigigse forudsæninger for en veldefinere V-model er a residualerne fra modellen er mulivariae normalfordel sam a de er uden CH-effeker og signifikan auokorrelaion. Derfor måe specifikaionen af modellen behandles indgående således a forudsæningerne blev opfyld. Speciel for de danske renemarked har de vis sig nødvendig a ilføje 4 dummier før residualerne kan anages a være mulivariae normalfordel. De 4 dummies blev idenificere ud fra de saisiske analyser og herefer blev hver dummy begrunde ud fra e økonomisk synspunk. de der ikke blev opnåe e enydig esresula for laglængden i modellen blev de beslue sideløbende a analyserer o modeller med forskellige anal lags. nde sep i beregningen af den idsvarierende risikopræmie var a undersøge om der findes koinegraion mellem variablene i modellen. fsni 4 beskriver hhv. hvorledes koinegraioner mellem variablene i en VECM opsår som en ()-linearkombinaioner og hvorledes koinegraionsrangen i modellen besemmes ifølge eorien ved både a beregne Trace-ess sam sideløbende a undersøge rødderne i companion maricen. forhold il denne analyse kan de konkluderes a der opsår problemer med Trace-ese ide de anvende program indeholder en programfejl for den definerede deerminisiske komponen. Ved a undersøge såvel en mere begrænse som en mindre begrænse deerminisisk komponen viser de sig a der er én Side 77

79 koinegraionsrelaion mellem variablene i modellen. Dee bliver bekræfe i undersøgelsen af rødderne i companion maricen hvorfor de kan konkluderes a rangen af Π er lig. Efer esimaionen af de langsigede paramere blev de konkludere a der ikke kan sæes yderligere resrikioner på paramerene ide ingen af de umiddelbare hypoeser godkendes. Ved esimaionen af de korsigede paramere løses problemaikken angående de sideløbende modeller og de konkluderes a den endelig model besår af hhv. en ()- og en (3)-process for hhv. de risikofri akiv og akiemarkede. Sidse sep i beregningen af den idsvarierende risikopræmie og spænde for denne udføres ved o forskellige beregningsmeoder. Begge beregningsmeoder har problemer i forhold il hhv. de saisiske og de finansielle definiioner men de konkluderes a e overordne niveau for den idsvarierende risikopræmie besemmes ved a sammenligne de o beregnede risikopræmier og deres spænd. Niveaue for den idsvarierende risikopræmie viser sig a være 5% p.a. Dee semmer overens med den konsane risikopræmie der blev beregne i afsni 7. Derimod vise der sig en vis niveauforskel når der sammenlignes med andre analyser af de danske værdipapirmarked. De konkluderes a disse niveauforskelle il dels kan ilskrives forskelle i beregningsperioder og il dels kan ilskrives forskelle på definiioner af hhv. akiemarkede og de risikofrie akiv. Spænde for risikopræmien er ikke bleve beregne i idligere undersøgelser hvorfor der ikke er e sammenligningsgrundlag. Spænde beregnes il a være inervalle fra -3% il 4%. Hermed er hovedspørgsmåle i speciale besvare da de er bleve påvis hvordan risikopræmien på de danske akiemarked kan beregnes ved brug af mulivariae koinegraionsanalyser. Ved a have besvare delspørgsmålene er de forskellige modeller og beregningsmeoder bleve beskreve og herfra viser de sig a en periode på 39 år medfører en idsvarierende risikopræmie på 5% p.a. De beyder a en langsige invesering i akiemarkede forvenes a give 5% p.a. mere i afkas end hvis pengene sæes ind på en bankkono med en kend risikofri rene. Spænde for den idsvarierende risikopræmie er beregne il a være inervalle fra -3% il 4% hvorved vigigheden af imingen ved korere inveseringer påpeges. lle konklusioner i denne analyse er basere på baggrund af den grundlæggende anagelse om a den fremidige risikopræmie er en afspejling af den hisoriske risikopræmie. Derfor kan en invesor ikke være sikker på a han i fremiden vil opnå e merafkas på ca. 5% p.a. ved risikofylde inveseringer frem for den risikofrie rene. Side 78

80 Lieraurlise Chan K.C. Norribin S.C Lai Pikki (997) re sock and bond prices collinear in he long run? Published in nernaional eview of Economics and Finance 6(): 93- Published by J Press nc. Cornell B. (999) The Equiy isk premium he long-run fuure of he sock marke. Published by John Wiley & sons. nc. Danmarks saisik (976) Saisiske eferreninger Konjunkuroversiger 976 Nr.4 Danmarks saisik (997) Told og forbrugsafgifer hp:// Dimson E. Marsh P. Saunon M. () Trumph of he opimiss: Years of Global nvesmen eurns. Published by Princeon Universiy Press Engsed T. og Tanggard C. (999) isikopræmien på danske akier. Udgive i Naionaløkonomisk idssrkif Bd.37/Nr./Okober s Udgive af naionaløkonomisk Forening Hansen E.D. Jensen S.E.H. Kjærsgaard K. osed J. (994) Dansk økonomisk poliik Teorier og erfaringer 3.udgave Udgive af Handelshøjskolens Forlag sager-nielsen L. (6) Eplaning he Equiy Premium Puzzle Using Myopic Loss version Speciale på linjen pplied Economics and Finance Ved nsiu for Økonomi CBS Jensen B.. (5) enes regning 4. udgave. oplag Udgive af Juris- og Økonomforbundes Forlag fsni:. Johansen S. (996) Likelihood-based inference in coinegraed vecor auoregressive models. Published by OXFOD Universiy Press fsni: Juselius K. (6) The Coinegraed V Model: Mehodology and applicaions. dvanced Tess in Economerics. Published by OXFOD Universiy Press fsni: - Mehra. and Presco E.C. (985) The Equiy Premium: Puzzle Published in Journal of Moneary Economics 5 (985) p Side 79

81 Mehra. and Presco E.C. (8) The Equiy Premium: BCs Fra Handbook of he Equiy isk Premium Nielsen H.B. (8) Coinegraion and common rends Quaniaiv Mehods 3 Lecure Noes 6 January 3 8 Nielsen S. and isager O. () Sock eurns and Bond Yields in Denmark Scandinavian Economic Hisory eview Olesen J.O. () Empirical Sudies of Price Behavior in he Danish Sock Marke Ph.D.-Disseraion fsni 3: On he elaionship beween he Danish Sock and Bond Marke in he Medium and Long Term Tryk af Teks og Tryk Vedbæk Parum C. (999a) Hisorisk afkas af akier og obligaioner i Danmark Finans nves 999. S. 4-3 Parum C. (999b) Esimaion af ealkrediobligaionsafkas i Danmark i perioden Finans nves V 999. S. -5 Paerson K. () n nroducion o pplied Economerics: Time Series pproach. Published by PLGVE. fsni: Økonomiminiserie De økonomiske sekrearia (993) Økonomisk Oversig ugus 993 Program: Esima Esima(7) TS Version 7 Geing Sared TS Version 7 User s Guide Published by Esima fsni: Dennis J.G. (6) CTS in TS: coinegraion nalysis of Time Series Version Published by Esima fsni: (-46) Side 8

82 Bilag -8 Bilag kiv: Tidsperiode: Beskrivelse: Kilde: kieindeks 3. januar december 8 Morgan Sanley Capial nernaional nk. Ne dividends einvesed Bloomberg (NDDUDE inde) eneserie 3. januar mars 988 Naionalbankens diskonosas Naionalbanken 3. mars december 8 Copenhagen nerbank Offered ae Bloomberg 3 måneder (CBO3M inde) nflaion 3. januar december 8 DK CHNGE N CP (%YOY) NDJ MF nernaional Financial Saisics (DKQ64..XF) Valuakurs 3. januar december 8 MSC FX aes Denmark Bloomberg (MSFXDKK inde) Side 8

83 Bilag Forskellen på markedskapialen og den free floa juserede markedskapial vises ved a benye.p.møller Mærsk som eksempel. årsregnskabe for 7 ses en oversig over akie srukur fra.p. Møller - Mærsk /S annual repor 7 78 : Voes (%) Share Capial (%) The.P. Møller og Husru Chasine Mc-Kinney Møllers Fond il almene Formaal Copenhagen Denmark P. Møller og Husru Chasine Mc-Kinney Møllers Familiefond Copenhagen Denmark Mærsk Mc-Kinney Møller Copenhagen Denmark Den.P. Møllerske Søefond Copenhagen Denmark Companies in he.p. Moller- Maersk Group (own shares) 639 Number of -shares.97.8 Number of B-shares.97.8 Toal de de kun er lovpligig a oplyse en ejerandel på over 5% vises kun de akieejere der har sørre andel end dee. De anføre akieejere har 639% af akierne mens de reserende 368% må anages a være små invesorer. Den samlede andel af akier i selskabe er anfør il og svarer il % af markedskapialen i selskabe. Free floa er subjekiv besem ide der skal vurderes om de enkele akieandele holdes af invesorer som ikke vil sælge ud. ilfælde med.p.møller Mærsk vurderes de ud fra e hisorisk perspekiv a de er usandsynlig a de 3 fonde eller selve Mærsk Mc-Kinney Møller sælger ud af deres andel af akierne hvorfor andelen af de samlede akier der ikke omsæes beregnes il 575% mens de reserende 45% vurderes il a blive omsa på OMX Danmark. Den free floa juserede markedskapial er 45% af den samlede markedskapial og vægningen af.p.møller Mærsk i hhv. C og MSC Danmark vil være forskellig. Selskabe vil indgå med % af markedskapialen i C mens den kun vil indgå med ca. 45% i MSC Danmark. Dee beyder a MSC Danmark vil give e mere reel billede af de danske akiemarked for en almindelig invesor ide den uopnåelige del af akiemarkede er sorere fra ved a free floa jusering. Eksempel på beregning af Free floa ide de anages a der ikke er inension om a sælge akier fra de 3 fonde eller fra Mærsk Mc-Kinney Møller: Markedskapial % Fas markedskapial der ikke omsæes på OMX 48% 985% 366% 94% 5753% Free floa jusere markedskapial % % 447% 78 hp://shareholders.maersk.com/da/financialepors/nnualnerimepors/7/documens/nnualepor7- UK.pdf s. Side 8

84 Bilag 3 kie indeks dec-69 dec-7 dec-7 dec-7 dec-73 dec-74 dec-75 dec-76 dec-77 dec-78 dec-79 dec-8 dec-8 dec-8 dec-83 dec-84 dec-85 dec-86 dec-87 dec-88 dec-89 dec-9 dec-9 dec-9 dec-93 dec-94 dec-95 dec-96 dec-97 dec-98 dec-99 dec- dec- dec- dec-3 dec-4 dec-5 dec-6 dec-7 dec-8 nflaionsindeks eal akiemarkeds indeks Nominel akiemarkeds indeks Nominel akie afkas 4% 3% % % % -% -% -3% Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 4% eal akie afkas 3% % % % -% -% -3% Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 Side 83

85 Bilag 3 forsa ndeks for renen dec-69 dec-7 dec-7 dec-7 dec-73 dec-74 dec-75 dec-76 dec-77 dec-78 dec-79 dec-8 dec-8 dec-8 dec-83 dec-84 dec-85 dec-86 dec-87 dec-88 dec-89 dec-9 dec-9 dec-9 dec-93 dec-94 dec-95 dec-96 dec-97 dec-98 dec-99 dec- dec- dec- dec-3 dec-4 dec-5 dec-6 dec-7 dec-8 nflaionsindeks eal reneindeks Nominel reneindeks Nominel rene 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% % Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 eal rene 45% 35% 5% 5% 5% -5% -5% -5% Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 Side 84

86 Side 85 Bilag 4 Omskrivning fra V il VECM for V()-ilfælde hvor ( ) Ω ~ N ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε ε Γ Π Π Γ Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π indsæes indsæes

87 Bilag 5 Kode il indlæsning af daa calendar(q) 969:4 allocae 8:4 open daa F:\skole\fhandling\prakisk\Daa.ls daa(formalsorgobs) diff KTE / dkie diff SKOF /disikofri Kode il graf for de o indeksserier graph(keybelowheader"indeks Serier") #KTE #SKOF Kode il Dickey-Fuller-es på de o indeksserier source SKOF Oupu fra Dickey-Fuller-es på indeksserier Dickey-Fuller Uni oo Tes Series KTE egression un From 97: o 8:4 Observaions 57 Wih inercep and rend wih lags on he differences T-es saisic Criical values: % % % Dickey-Fuller Uni oo Tes Series SKOF egression un From 97: o 8:4 Observaions 57 Wih inercep and rend wih lags on he differences T-es saisic Criical values: % % % Kode il graf for de o differensserier graph(keybelowheader"differens Serier") #dkie #disikofri Kode il Dickey-Fuller-es på de o differensserier source disikofri Oupu fra Dickey-Fuller-es på differensserier Dickey-Fuller Uni oo Tes Series DKTE egression un From 97: o 8:4 Observaions 56 Wih inercep wih lags on he differences T-es saisic Criical values: % % -.88 % Dickey-Fuller Uni oo Tes Series DSKOF egression un From 97: o 8:4 Observaions 56 Wih inercep wih lags on he differences T-es saisic Criical values: % % -.88 % Side 86

88 Bilag 6 Kode il Engle-Granger procedure på indeksserier source c:\cas\eges.src source #KTE SKOF Oupu fra Engle-Granger procedure på indeksserier Linear egression - Esimaion by Leas Squares Dependen Variable KTE Quarerly Daa From 969:4 To 8:4 Usable Observaions 57 Degrees of Freedom 55 Cenered ** Bar **.853 Uncenered ** T ** Mean of Dependen Variable Sd Error of Dependen Variable Sandard Error of Esimae Sum of Squared esiduals egression F(55) Significance Level of F. Log Likelihood Durbin-Wason Saisic.993 Variable Coeff Sd Error T-Sa Signif *******************************************************************************. SKOF Consan Linear egression - Esimaion by Leas Squares Dependen Variable DU Quarerly Daa From 97:3 To 8:4 Usable Observaions 54 Degrees of Freedom 5 Cenered **.6865 Bar ** Uncenered **.777 T ** 3.89 Mean of Dependen Variable Sd Error of Dependen Variable Sandard Error of Esimae.9633 Sum of Squared esiduals Log Likelihood 5.64 Durbin-Wason Saisic Variable Coeff Sd Error T-Sa Signif *******************************************************************************. U{} DU{} DU{} Engle-Granger Coinegraion Tes Tes Saisic Criical Values % 5% % Side 87

89 Bilag 7 5 lags LG LENGTH DETEMNTON Effecive Sample: 97: o 8:4 MODEL SUMMY Model k T egr Log-Lik SC H-Q LM() LM(k) V(5) V(4) V(3) V() V() Lag educion Tess: V(4) << V(5) : ChiSqr(4) [.834] V(3) << V(5) : ChiSqr(8).67 [.78] V(3) << V(4) : ChiSqr(4).7738 [.5966] V() << V(5) : ChiSqr() [.6999] V() << V(4) : ChiSqr(8).6534 [.697] V() << V(3) : ChiSqr(4) [.654] V() << V(5) : ChiSqr(6) [.] V() << V(4) : ChiSqr() [.] V() << V(3) : ChiSqr(8) [.] V() << V() : ChiSqr(4) [.] 3 lags LG LENGTH DETEMNTON Effecive Sample: 97:3 o 8:4 MODEL SUMMY Model k T egr Log-Lik SC H-Q LM() LM(k) V(3) V() V() Lag educion Tess: V() << V(3) : ChiSqr(4) [.667] V() << V(3) : ChiSqr(8) [.] V() << V() : ChiSqr(4) [.] lags LG LENGTH DETEMNTON Effecive Sample: 97: o 8:4 MODEL SUMMY Model k T egr Log-Lik SC H-Q LM() LM(k) V() V() Lag educion Tess: V() << V() : ChiSqr(4) [.] SC : Schwarz Crierion H-Q : Hannan-Quinn Crierion LM(k): LM-Tes for auocorrelaion of order k Side 88

90 Bilag 8 : Model med lags B: Model med 3 lags Side 89

91 Bilag 8 forsa : Model med lags B: Model med 3 lags Side 9

92 Bilag 9 nflaion 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% % Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 Nominel rene 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% % Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 eal rene 45% 35% 5% 5% 5% -5% -5% -5% Q -7 Q3-7 Q -73 Q3-74 Q -76 Q3-77 Q -79 Q3-8 Q -8 Q3-83 Q -85 Q3-86 Q -88 Q3-89 Q -9 Q3-9 Q -94 Q3-95 Q -97 Q3-98 Q - Q3 - Q -3 Q3-4 Q -6 Q3-7 Side 9

93 Bilag Skema. Shif esidual Sd.afv. nformaionskrierier Tes for uokorrelaion (p-værdier) Tes for Normalie Tes for CH (p-værdier) Model Dummies Dakie Drisikofri Krydskorrelaion Log(sigma) SC H-Q Trace korrelaion Ljung-Bo LM() LM() (p-værdi) LM() LM() lags ngen lags 85: lags 89: lags 94: lags 85:89: lags 85:94: lags 89:94: lags 85:89:94: lags ngen lags 85: lags 89: lags 94: lags 85:89: lags 85:94: lags 89:94: lags 85:89:94: Skema. Shif CH() Normalie Model Dummies Variabel Middelværdi Sd.afv Skewness Kurosis Maimum Minimum p-værdi p-værdi ^ lags ngen kie lags ngen isikofri lags 85: kie lags 85: isikofri lags 89: kie lags 89: isikofri lags 94: kie lags 94: isikofri lags 85:89: kie lags 85:89: isikofri lags 85:94: kie lags 85:94: isikofri lags 89:94: kie lags 89:94: isikofri lags 85:89:94: kie lags 85:89:94: isikofri lags ngen kie lags ngen isikofri lags 85: kie lags 85: isikofri lags 89: kie lags 89: isikofri lags 94: kie lags 94: isikofri lags 85:89: kie lags 85:89: isikofri lags 85:94: kie lags 85:94: isikofri lags 89:94: kie lags 89:94: isikofri lags 85:89:94: kie lags 85:89:94: isikofri

94 Bilag Skema. Trans esidual Sd.afv. nformaionskrierier Tes for uokorrelaion (p-værdier) Tes for Normalie Tes for CH (p-værdier) Model Dummies Dakie Drisikofri Krydskorrelaion Log(sigma) SC H-Q Trace korrelaion Ljung-Bo LM() LM() (p-værdi) LM() LM() lags ngen lags T lags T lags TT lags ngen lags T lags T lags TT Skema. Trans CH() Normalie Model Dummies Variabel Middelværdi Sd.afv Skewness Kurosis Maimum Minimum p-værdi p-værdi ^ lags ngen kie lags ngen isikofri lags T kie lags T isikofri lags T kie lags T isikofri lags TT kie lags TT isikofri lags ngen kie lags ngen isikofri lags T kie lags T isikofri lags T kie lags T isikofri lags TT kie lags TT isikofri

95 Bilag Skema. mpuls esidual Sd.afv. nformaionskrierier Tes for uokorrelaion (p-værdier) Tes for Normalie Tes for CH (p-værdier) Model Dummies Dakie Drisikofri Krydskorrelaion Log(sigma) SC H-Q Trace korrelaion Ljung-Bo LM() LM() (p-værdi) LM() LM() lags T ngen lags T B lags T B lags T BB lags TT ngen lags TT B lags TT B lags TT BB lags T ngen lags T B lags T B lags T BB lags TT ngen lags TT B lags TT B lags TT BB Skema. mpuls CH() Normalie Model Dummies Variabel Middelværdi Sd.afv Skewness Kurosis Maimum Minimum p-værdi p-værdi ^ lags T ngen kie lags T ngen isikofri lags T B kie lags T B isikofri lags T B kie lags T B isikofri lags T BB kie lags T BB isikofri lags TT ngen kie lags TT ngen isikofri lags TT B kie lags TT B isikofri lags TT B kie lags TT B isikofri lags TT BB kie lags TT BB isikofri lags T ngen kie lags T ngen isikofri lags T B kie lags T B isikofri lags T B kie lags T B isikofri lags T BB kie lags T BB isikofri lags TT ngen kie lags TT ngen isikofri lags TT B kie lags TT B isikofri lags TT B kie lags TT B isikofri lags TT BB kie lags TT BB isikofri

96 Bilag 3 Der benyes N5 og T i samlige ess Skema 3. ()-NLYSS Quaniles of he Simulaed ank Tes Disribuion Lags Trend Dummies Frakil p-r r Eig.Value Trace Trace* Frac95 P-Value P-Value* Mean S.E. 5% 75% 8% 85 9% 95% DFT Med Fakisk DFT Med Simulere 9 8.N.N DFT Uden Fakisk DFT Uden Simulere 66 6.N.N DFT Med Fakisk DFT Med Simulere 9 7.N.N DFT Uden Fakisk DFT Uden Simulere 4.N.N Skema 3. ()-NLYSS Quaniles of he Simulaed ank Tes Disribuion Lags Trend Dummies Frakil p-r r Eig.Value Trace Trace* Frac95 P-Value P-Value* Mean S.E. 5% 75% 8% 85 9% 95% CMEN Med Fakisk CMEN Med Simulere CMEN Uden Fakisk CMEN Uden Simulere CDFT Med Fakisk CDFT Med Simulere CDFT Uden Fakisk CDFT Uden Simulere CMEN Med Fakisk CMEN Med Simulere CMEN Uden Fakisk CMEN Uden Simulere CDFT Med Fakisk CDFT Med Simulere CDFT Uden Fakisk CDFT Uden Simulere

97 Bilag 4 4: Model med lags DFT og dummies B4: Model med 3 lags DFT og dummies Side 96

98 Bilag 5 Skema 5. Korsigende esidual Sd.afv. nformaionskrierier Tes for uokorrelaion (p-værdier) Tes for Normalie Tes for CH (p-værdier) Model Paramere Dakie Drisikofri Krydskorrelaion Log(sigma) SC H-Q Trace korrelaion Ljung-Bo LM() LM() (p-værdi) LM() LM() lags TT G lags TT GG lags TT G Skema 5. Korsigende CH() Normalie Model Paramere Variabel Middelværdi Sd.afv Skewness Kurosis Maimum Minimum p-værdi p-værdi ^ lags TT G kie lags TT G isikofri lags TT GG kie lags TT GG isikofri lags TT G kie lags TT G isikofri

99 Bilag 6 Graf 6. Finansiel kvarals præmie Graf 6. isikopræmie ved finansiel meode jun-7 jun-7 jun-7 jun-73 jun-74 jun-75 jun-76 jun-77 jun-78 jun-79 jun-8 jun-8 jun-8 jun-83 jun-84 jun-85 jun-86 jun-87 jun-88 jun-89 jun-9 jun-9 jun-9 jun-93 jun-94 jun-95 jun-96 jun-97 jun-98 jun-99 jun- jun- jun- jun-3 jun-4 jun-5 jun-6 jun-7 jun-8 Side 98

100 Bilag 7 Koden il cholesky dekomponering af kovariansmaricen kommer fra på hjemmesiden: hp:// Koden indsæes i e modul ilhørende ecelarke med daa og beregninger. Funcion Cholesky(Ma s ange) Dim L() s Double s s Double Ma n Ma.ows.Coun M Ma.Columns.Coun f n <> M Then Cholesky "?" Ei Funcion End f edim L( To n To n) For j To n s For k To j - s s L(j k) ^ Ne k L(j j) (j j) - s f L(j j) < Then Ei For L(j j) Sqr(L(j j)) For i j To n s For k To j - s s L(i k) * L(j k) Ne k L(i j) ((i j) - s) / L(j j) Ne i Ne j Cholesky L End Funcion Side 99

101 Bilag 8 Graf 8. Saisisk kvarals præmie Graf 8. isikopræmie ved saisisk meode jun-7 jun-7 jun-7 jun-73 jun-74 jun-75 jun-76 jun-77 jun-78 jun-79 jun-8 jun-8 jun-8 jun-83 jun-84 jun-85 jun-86 jun-87 jun-88 jun-89 jun-9 jun-9 jun-9 jun-93 jun-94 jun-95 jun-96 jun-97 jun-98 jun-99 jun- jun- jun- jun-3 jun-4 jun-5 jun-6 jun-7 jun-8 Side

102 Dao kie isikofri

103

104