Projekt 9.10 Differentiation af potensfunktioner ved hjælp af binomialformlen
|
|
- Clara Groth
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Projet 9.1 Differetitio f potesfutioer ved jælp f iomilformle 1. Pscls tret og iomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte iomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet oefficietere, år m r gget pretesere ud, etop stmmer fr de tilsvrede ræe i Pscls tret: ( + ) 1 1 ( ) ( + ) ( + ) ( + ) Begrudelse er meget simpel: Når m udreger ( ), vor espoete er et turligt tl, dvs. 1, 2, 3, 4,, sl m gge preteser ud: ( + ) ( + ) ( + ) ( + )... ( + ) Det gøres ved på lle mulige måder t vælge et led fr ver f pretesere, dvs. ete et eller et, og gge dem smme. Vælger vi f ver gg fås idrget, vælges et de første gg og derefter et de øvrige gge fås 1 idrget osv. D vi ver gg r etop 2 vlg fås i lt 2 idrg, der til sidst smles som vist i semet ovefor. Du læse mere om Pscls tret i C-oge side 24, pitel 7 fsit 1: Regig med tl og preteser, smt B-oge side 15, pitel 3, fsit 4.3: Polyomiere i Pscls tret, side 348, pitel 8, fsit 2.1: Pscls tret smt side 391, pitel 9, fsit 2.4: Tællemetoder og iomiloefficieter. + 1 Her oterer vi os lot t idrget u fremommer é gg. Bidrget fremommer gge fordi leddet 2 2 ( 1) vælges fr forsellige preteser. Bidrget fremommer gge fordi det første vælges 2 på måder, det det på 1 måder og d ræefølge er ligegyldig r vi tlt lle prree med 2 gge, vorfor 3 3 ( 1) ( 2) vi dividerer med 2. Bidrget fremommer gge fordi det første vælges på måder, 123 det det på 1 måder og det tredje på -2 måder, me d ræefølge er ligegyldig r vi tlt lle triplere med 321 gge, vorfor vi dividerer med 321. Der gælder ltså iomilformle: 1 ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) 3 3 ( + ) Øvelse 1: ) Udpeg de tilsvrede oefficieter i Pscls tret. 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: Emil: ifo@lru.d
2 2. Differetitio f potesfutioe, vor er et turligt tl. Når vi sl differetiere potesfutioe p( )... og øser t vede tretrisregle i de de versio, strter vi med t opsrive setældige gge 1. tri: p( + ) p( ) ( + ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede iomilformle: 2. tri: p( + ) p( ) ( + ) 1 ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 2 ( 1) ( 2) Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge: 3. tri: p( + ) p( ) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 2) Det første led fæger ie f, dvs. det er ostt uder græseovergge, mes de øvrige 1 led ideolder stigede poteser f, dvs. de går mod. Der gælder derfor: p( + ) p( ) 1 år Kolusio: Altså er potesfutioe p( )... differetiel i gge og der gælder p'( ). 1 Dette fslutter eviset i det tilfælde vor espoete er et turligt tl. 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: Emil: ifo@lru.d
3 3. Differetitio f potesfutioe, vor er et vilårligt tl. I Hvd er mtemti? id 2 r vi i pitel 5B evist formle for differetitio f potesfutioer. Beviset ygger på eds til differetitio f espoetilfutioer, smt på regle for smmest differetitio. I mtemtiistorie gv m dre eviser, og vi vil ger give ie et striget evis, me e sdsyliggørelse f formle ud fr geometrise etrgtiger. Først emærer vi t grfe for potesfutioe er sruet smme på e speciel måde som vi esrev i id 1, pitel 5, fsit 4.1 om slerig (side 183): Sætig 4: Slerig f potesfutioer Ld y være e potesfutio. Så gælder følgede: Hvis de ufægige vriel sleres op med ftore, så liver de fægige vriel y sleret op med ftore. Hvis de ufægige vriel r værdie 1 og sleres op med tllet får de værdie. De fægige vriel y vil d sleres op med ftore ftore 1. Dermed vil de lole ældig, idet de lodrette tilvæst mes de vdrette tilvæst ældig i er derfor 1 liver y y liver sleres op med gge så stor, gge så stor. De lole gge så stor som de lole ældig i 1. Der gælder derfor de følgede simple smmeæg mellem tgetældigere p'( ) : p'(1) og Sætig: Hvis potesfutioe p() er differetiel i 1 vil de også være differetiel i gælder: 1 p'( ) p'(1) og der Vi mgler ltså u t vise t potesfutioe er differetiel i 1 og t de lole ældig i 1 etop er. Slerigsrgumeter er så cetrle for potesfutioer t vi lige getger det med rug f tretrisregle og udyttelse f potesregereglere: Når vi sl differetiere potesfutioe p() med rug f tretrisregle strter vi med t opsrive setældige 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: Emil: ifo@lru.d
4 1. tri: p( + ) p( ) ( + ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede potesregereglere. VI stiler u mod t omsrive setældige i så de yttes til setældige i 1: 2. tri: p( + ) p( ) ( + ) ( ) , med Me det viser etop t setældige i setældige i 1 med tilvæste, vor med tilvæste er de smme som 1 gget med. Det er etop som forudsgt f slerigsrgumetet. Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge. Me d tilvæstere og er proportiole er det etop det smme som t lde gå mod : 3. tri: p( + ) p( ) 1 (1 + ) 1 De første ftor fæger ie f, dvs. de er ostt uder græseovergge, mes de de ftor etop er setældige i 1, som forudst potesfutioe er differetiel i 1, etop går mod tgetældige. Der gælder derfor: p( + ) p( ) 1 p'(1) år Kolusio: Altså er potesfutioe p() differetiel i og der gælder p'( ) p'(1) L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: Emil: ifo@lru.d
5 4. Newtos rgumet - de uedelige iomilræe Vi mgler så t rgumetere for t potesfutioe ret ftis er differetiel i 1 med differetilvotiete. Det første stære rgumet for dee påstd stmmer fr Newto og selv om det ie er striget o til t fugere som et evis i modere forstd er det et uyre cetrlt rgumet. Newtos udggsput vr iomilformle ( 1) ( 1) ( 2) ( )... Newto gættede på t formle i vireligede gjldt for lle espoeter med de vigtige forsel t der i så fld liver tle om e uedelig ræe idet oefficietere ( 1) ( 1) ( 2),,,... 1 Nu ie lægere utomtis liver ul, år vi fortsætter læge o, d ie lægere eøver være et turligt tl. Newto idførte ltså de uedelige iomilræe: ( 1) ( 1) ( 2) 2 3 (1 + ) H vidste t formle vr orret år espoete vr et turligt tl og ræe dermed e edelig sum, me vr også i std til t otrollere ræe for specielle værdier såsom -1 og ½, Øvelse 2: ) Opsriv iomilræe for -1 og gør rede for t der etop fremommer e uedelig votietræe på 2 3 forme + q + q + q +..., vis sum du måse eder f fr og 1, pitel 3, fsit 4.1, s q ) Beyt dette til t rgumetere for t Newtos uedelige iomilræe giver det orrete resultt for -1, år lot ligger mellem -1 og 1. Me Newto ue jo ie vide om s formel vr gyldig i lle mulige dre tilfælde. H gjorde d e dyd f ødvedigede og vedte prolemstillige om: H rugte i stedet formle for de uedelige iomilræe til t defiere vilårlige poteser. Så læge ligger mellem -1 og 1 vil de uedelige ræe emlig ue ruges til t udrege potese (1 + ) med lige så mge decimler m måtte øse det ved lot t tge tilstræeligt mge led med. For dre værdier f må m eytte sedige sleriger til t fide værdie. Det vr Newtos olleg Wllis, der vde idført ruge f de geerelle poteser og det vr Newto, der i prsis viste vord de ue udreges og dermed gv dem susts. Tror vi på Newtos iomilformel, vi u vede tretrisregle for t fide ud f om potesfutioe p() er differetiel i 1 (Newto selv vedte fluiosmetode i stedet for tretrisregle, me rgumetet er det smme): 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: Emil: ifo@lru.d
6 Vi strter ltså med t opsrive setældige 1. tri: p(1 + ) p(1) (1 + ) 1 Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede iomilræe: 2. tri: p(1 + ) p(1) (1 + ) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 2) ( 1) 2 ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge: 3. tri: p(1 + ) p(1) ( 1) ( 1) ( 2) Det første led fæger ie f, dvs. det er ostt uder græseovergge, mes de øvrige led ideolder stigede poteser f, dvs. de går mod. Newto sluttede derfor t lle de uedeligt mge øvrige led forsvdt: p(1 + ) p(1) år I dg er vi lidt mere forsigtige med de slgs slutiger! E uedelig sum eøver ie gå mod ul re fordi lle leddee går mod ul. Det er f ere i itegrlregige, vor relet fides som græseværdie for e uedelig sum f små reler, der ver for sig går mod ul. Me der sulle gå et pr årudreder før m for lvor fi styr på såde rgumeter! Kolusio: Altså er potesfutioe p() differetiel i 1 og der gælder p'(1). Dermed gælder der lt i lt: Potesfutioe p() er differetiel i og der gælder p'( ). 1 Dermed r vi også givet et rgumet for formle i det tilfælde vor espoete er et vilårligt tl. Det strigete evis er som sgt givet i grudoges pitel 5B. 218 L&R Uddelse A/S Vogmgergde 11 DK-1148 Køev K Tlf: Emil: ifo@lru.d
Differentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereProjekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives
Læs mereBogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d
Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereKap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.
- - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning
Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel
Læs mere3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01
.-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereSammensætning af regnearterne - supplerende eksempler
Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig
Læs mereKap 1. Procent og Rentesregning
Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereLidt Om Fibonacci tal
Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereFUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier
FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi
Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereBEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN
MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget
Læs mereTaylors Formel og Rækkeudviklinger
Tylors Formel og Ræeuviliger Køge Gymsium Ole Wi-Hse Iol. Tylors ormel... Ræeuviliger or e.. Ræeuviliger or si og cos.. Ræeuviliger or l... Ræeuviliger or + α 6. Ræeuviliger or si - og -..6 Tylors Formel.
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium December 2018 ; Michel Szymski ; mz@ghg.dk 1 Idholdsfortegelse
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul
Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereFinitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010
Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk
Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereKommentarer til VARIABLE
Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereProjekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereHvordan Leibniz opfandt integralregningen
Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereProjekt 0.7. Vinklens tredeling og konstruerbare tal
Projet 0.7. Viles tredelig og ostruerbare tal Det er let at tredele et lijestye. Eller for de sags syld dele det op i lige store dele, hvor : Afsæt e vilårlig viel, hvor lije l = AB ligger ud af det ee
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mere1 skaren af exp = den naturlige
Ekspoei- og rimefukioer Repeiio (primær.-ksse-sof suppere med differeiregigs-overvejeser) Fukiosskre f ( ) ep ( ) fsægger for R + \{ } ekspoeifukioer. Specie kdes ( ) ep( ) ekspoeifukio. Referece: GDS,
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereJ 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a
M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013
Sdsylighedsregig og sttistisk J. C. F. Guss 777 855 Peter Hremoës Niels Brock 9. pril 3 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for
Læs mereStatistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen
Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereLedighedsstatistik, juli 2013
Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed
Læs mereNotater til Analyse 1
Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop. 3.15 3 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer 4
Læs mereLedighedsstatistik, maj 2013
Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet
Læs mereLøsningsformel til Tredjegradsligningen
Løsgsformel tl Tredjegrdslgge Ole Wtt-Hse 8 966 Løsgsformel for tredjegrdslgge olyomer f tredje grd Formålet er t forsøge t fde røddere et tredjegrdsolyomm:. Hor koeffcetere er reelle tl og er forskellg
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Formelsamling
Mtemtik A Højere hdelseksme Formelsmlig Mtemtik A Højere hdelseksme Formelsmlig Forfttere: Jytte Meli og Ole Dlsgrd April 09 ISBN: 978-87-603-339-5 (web udgve) Dee udgve f Mtemtisk formelsmlig htx A-iveu
Læs mereUdskiftning af et tag antages at vare 2-6 dage. Denne tidsperiode antages at være fastlagt ved følgende symmetriske tæthedsfunktion
STATISTIK Sriftlig evluerig, 3. semester, torsdg de. ur l. 9.-3.. Alle hælpemidler er tilldt. Opgveløsige forses med v og CPR-r. OPGAVE Udsiftig f et tg tges t vre -6 dge. Dee tidsperiode tges t være fstlgt
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereProjekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige. Grdlæggede
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereNote til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereProjekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation
ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.
Læs mere