Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader.

Transkript

1 - - Kap. : Trignmetriske funktiner g grader. Grader sm vinkelmål. Inden vi går i gang med at mtale de trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens, vil vi først minde m, hvrdan en given vinkel kan måles i grader: Vi tager en vilkårlig cirkel, sm har centrum i vinklens tppunkt, g inddeler den i 60 lige stre dele. Størrelsen af vinklen er da f.eks. 5 (5 grader), hvis vinklens en afskærer 5 af disse dele (se figur.). Cirkeluen AB 5 på figuren har altså længden 60 af hele cirkelperiferien. Hvis vinklen (dvs. vinkelstørrelsen) er v, så er længden af den tilsvarende cirkelue imellem de t vinkelen lig med v af cirkelperiferien. 60 Fig.. Øvelse.. Prøv at undersøge f.eks. via Internettet, hvilke terier, der findes til frklaring af, at man netp har valgt at dele cirkelperiferien i 60 dele (g ikke f.eks. i 00 dele). Sm anført venfr kan vi ruge en vilkårlig cirkel med centrum i vinklens tppunkt. Dette skyldes, at hvis vi tager t frskellige cirkler med radius r g r (se figur.), hvr længden af uestykkerne A B g A B er s g s, så er cirkeludsnittene OA B g OA B ligedannede figurer, s r hvrmed vi har, at:. s r v Og hvis s er af den lille cirkels mkreds, dvs. 60 v s πr, 60 r v r v så er: s s πr πr, r 60 r 60 v dvs. s er af den stre cirkels mkreds. 60 Vinklens størrelse vil derfr i egge tilfælde kunne angives sm v. Fig.. I resten af kapitel vil vi lt anføre vinklens størrelse sm v (eller u sv.) uden gradtegnet, idet det er underfrstået, at vinklerne måles i grader. Vi vil dg frtsat anvende gradtegnet, når der er givet en estemt talværdi, altså f.eks. 5 sm venfr. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

2 - 4 - Sinus g csinus. Ordet trignmetri etød prindeligt trekantseregning, men det er efterhånden levet synnymt med en estemt frm fr eregninger i trekanter, nemlig anvendelse af de såkaldte trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens til at estemme vinkler g sider mm. i trekanter. (Vi skal senere i denne g se på andre anvendelser af disse funktiner, men i dette kapitel drejer det sig kun m trekanter g lignende). Når funktinerne sinus, csinus g tangens ruges i eregninger mm., frkrtes de hhv. sin, cs g tan. (Tangens lev tidligere frkrtet tg, men med regnemaskinernes udredelse lev denne frkrtelse erstattet af tan, idet dette anvendtes på de udenlandsk prducerede regnemaskiner). Alle tre funktiner: sin, cs g tan er funktiner af vinkler, eller rettere: af vinkelstørrelser. De indføres på følgende måde: I et krdinatsystem etragtes t halvlinier l g m, sm udgår fra samme punkt A, g dermed danner en vinkel med tppunkt A. Lad v være vinklen (vinkelstørrelsen) imellem l g m (se figur. a)). De t halvlinier flyttes, så A placeres i krdinatsystemets egyndelsespunkt O, g så halvlinien l falder sammen med den psitive del af. aksen (sm vi i denne sammenhæng vil kalde l ). Hermed falder halvlinien m ven i den på figur. ) viste halvlinie m. Vi ser, at vinklen mellem l g m er den samme sm imellem l g m, dvs. v. Vi indtegner nu en cirkel med radius g med centrum i O ( Enhedscirklen ) (Se figur. c)). Halvlinien m skærer enhedscirklen i et punkt P, sm kaldes retningspunktet fr vinklen v, g hvis krdinater pr. definitin sættes til at være: (cs v, sin v). (læses: csinus til v kmma sinus til v ). m m v l O v l A Fig.. a) Fig.. ) m sin v P (cs v, sin v) O v cs v l Fig.. c) Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

3 - 5 - cs v g sin v skrives gså sm cs(v) g sin(v). Disse parenteser ( funktinsparenteser ) anvendes fte, når der står mere end lt et gstav sm v efter cs eller sin f.eks. sin( v). Hvis A er navnet på en vinkelspids (vinklens tppunkt), så anføres csinus g sinus til denne vinkel sm: cs( A) g sin( A). Men undertiden skrives lt cs(a) eller cs A, g tilsvarende sin(a) eller sin A. Vedrørende værdien af tallene sin(v) g cs(v) gælder der følgende vigtige sætning: Sætning.. a) Hvis v er en vinkel i en trekant, er 0 < v < 80, hvrmed < cs v < g 0 < sin v. ) Der gælder, at: cs(80 v) cs v g sin(80 v) sin v Øvelse.. Argumentér fr sætning.. (Brug enhedscirklen). Vinkler større end 80 kan nemt tænkes/knstrueres g dermed indtegnes i frindelse med enhedscirklen (hvrdan?). Der findes altså vinkler i intervallet [0, 60 ]. Om sådanne vinkler gælder (vervej!), at: cs v g sin v Hvis vi indfører egreerne psitiv mløsretning (md uret) g negativ mløsretning (med uret), så kan vi gså perere med negative vinkler. Det verlades til læseren at frklare dette nærmere, g at prøve at indtegne en vinkel på f.eks. 0 i frindelse med enhedscirklen. I resten af kapitel vil vi imidlertid nøjes med at se på vinkler i intervallet [0, 60 ]. Eksempel.4. cs- g sin-værdier til givne vinkler kan findes på regnemaskinen/grafregneren. F.eks. har vi: cs( ) 0,958. Det skal her fremhæves, at man gså kan definere csinus g sinus til almindelige tal (disse kaldes i den sammenhæng fr radianer se kapitel ). Og dette er regnemaskinen/ grafregneren gså i stand til at håndtere. Det er derfr vigtigt, at den liver indstillet til at regne med grader!! På TI-8/84-serien fregår dette ved at taste [MODE], v.hj.a. piletasterne gå ned i linien Radian Degree, her markere Degree v.hj.a. piletasterne, g taste [ENTER]. Øvelse.5. Bestem cs(8, ), cs(90 ), cs(9,4 ), sin(5,8 ), sin (0 ), sin(50 ) g sin(90 ) Eksempel.6. Grafregneren kan gså gå den mdsatte vej, altså estemme vinklen, når vi kender cs- eller sinværdien. Dette gøres ved at taste cs - (dvs. [nd] [cs]) eller sin - (dvs. [nd] [sin]). Hvis vi antager, at vinklen v pfylder: 0 < v < 80 sm det l.a. er tilfældet med vinkler i en trekant, så løses ligninger sm: a) sin v 0, 5788 eller ) cs v 0, 5 på følgende måde: Ad a): Ved at trykke sin (0,5788) på regnemaskinen får vi: v 5,66. Og så skulle man tr, at alt var fint g gdt, g at den ukendte vinkel v var fundet. Men hvis vi taster sin(44,64 ), så pdager vi, at det gså giver 0,5788, så vinklen v 44,64 er gså en løsning. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

4 - 6 - Dette kan vi frklare ved at etragte den følgende figur samt henvise til sætning. ). 44,64 5,66 Vi ser, at 80 5,66 44,64, hvrmed frmlen: sin(80 v) sin v giver, at de t vinkler har samme sinusværdi. (Retningspunkterne fr de t vinkler ligger symmetrisk m.aksen) Fr ligningen sin v 0, 5788 under frudsætningen: 0 < v < 80 kan vi dermed i alt svare: sin v 0,5788 v 5,66 v 44,64 Fig..4 Ad ): Ved at trykke cs ( 0,5) på regnemaskinen får vi (kntrllér), at: v 97,86. Og da v ligger imellem 0 g 80 er der ikke flere løsninger. (Overvej!!). Øvelse.7. Bestem vinkler v [0 ; 60 ], der er løsninger til hver af de følgende ligninger: cs v 0,5, cs v 0,8, cs v 0,6, cs v 0, sin v 0,, sin v 0,88, sin v Øvelse.8: a) Hvilke værdier kan tallet a antage, hvis ligningen cs(v) a skal have mindst én løsning v? ) Hvilke værdier kan tallet antage, hvis ligningen sin(v) skal have mindst én løsning v? Tangens. sin v Tangens til vinklen v defineres på følgende måde: tan v. cs v Heraf ses straks, at tan v ikke er defineret, hvis cs v 0. Tangens til v er således hverken defineret fr v 90 eller v 70 Øvelse.9. Tangens findes gså på grafregneren. Bestem tallene: tan( ), tan(45 ), tan(7, ), tan(89,9 ), tan(79 ), tan(5 ), tan(9,5 ), tan(00 ), tan(69 ). Kmmentér resultaterne. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

5 - 7 - m Q (, tan v) P v O l Fig..5 tan v kan findes i frindelse med enhedscirklen på følgende måde: Tegn linien med ligningen x, dvs. tangenten til enhedscirklen i punktet (,0). Skæringspunktet Q mellem vinklens venstre en m g denne linie har da krdinaterne (, tan v). Bevis: Linien m går igennem punkterne O g P g har derfr hældningskefficienten: sin v 0 a tan v cs v 0 g dermed ligningen: y tan v x. Hvis vi i denne ligning sætter x, får vi punktet: Q (, tan v), hvrmed det ønskede er evist. Bemærk, at hvis vinklen er større end 90, så skal vinklens venstre en frlænges til skæring med linien x sm vist på figur.5 fr at få punktet (, tan v). Øvelse.0. Løs ligningerne: tan v 0,6, tan v 5, tan v,6 g tan v 8,9. Illustrér g kmmentér resultaterne. Øvelse.. Fr hvilke c har ligningen tan(v) c en løsning? Hvad er Vm(tan)? Eksempel.. Opsummerende kan vi vedrørende regnemaskinetasterne sin giver et resultat i intervallet [ 90 ; 90 ] cs giver et resultat i intervallet [0 ; 80 ] tan giver et resultat i intervallet ] 90 ; 90 [ sin, cs g tan anføre, at: Men m det så er det krrekte svar, man får, må afhænge af en nærmere analyse af det givne prlem. (Se f.eks. eksempel.6 a)). Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

6 - 8 - Retvinklede trekanter. Funktinerne sinus, csinus g tangens kan l.a. anvendes til at eregne ukendte sider eller vinkler i retvinklede trekanter. Lad ABC være en retvinklet trekant (se figur.6 a) ), hvr C 90, g hvr a er længden af siden verfr vinkel A, er længden af siden verfr vinkel B g c er længden af siden verfr vinkel C. Da afstanden imellem t punkter S g T (dvs. længden af liniestykket fra S til T) sm ekendt etegnes med ST, kan vi gså skrive, at: a BC, AC g c AB. a g kaldes den retvinklede trekants kateter, g c kaldes dens hyptenuse. Vi anringe denne trekant i frindelse med enhedscirklen sm vist på figur.6 ), dvs. så A falder sammen med (0,0) g liniestykket AC sammen med den psitive del af. aksen: Fig..6 Hvis vi lader P g Q være de på figur.6 ) angivne punkter, så ser vi, at ABC g APQ er ensvinklede. Da der sm ekendt gælder i ensvinklede trekanter, at frhldet mellem ensliggende sider er lige stre, ser vi (vervej!), at: g PQ AP sin( A) BC AB a c AQ AP cs( A) AC AB c Da vi desuden ved, at tan( A) sin( A) får vi: cs( A) a tan( A) c a c a c c sin( A) cs( A) a c c I alt har vi hermed evist følgende sætning: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

7 - 9 - Sætning.. I en retvinklet trekant ABC, hvr C 90, gælder der: a sin( A) (mdstående katete) / (hyptenusen) c cs( A) (hsliggende katete) / (hyptenusen) c A a tan( A) (mdstående katete) / (hsliggende katete) c Fig..7 B a C Denne sætning kan ruges til eregning af ukendte sider eller ukendte vinker i en retvinklet trekant. Bemærk, at der naturligvis gælder tilsvarende frmler fr vinkel B i trekanten!! Eksempel.4. I en retvinklet trekant ABC er A 8,4, C 90 g c,6. Vi vil finde BC g AC, dvs. kateterne a g. Af sætning. ser vi, at a sin(8,4 ) g dermed:,6 a,6 sin(8,4 ),6 0,4756,66 Altså: a,66 A 8,4,6 Fig..8 B a C Siden kan nu findes på tre frskellige måder: ) Ifølge sætning. har vi, at cs(8,4 ) g dermed:,6 cs(8,4 ),6,66,66 ) Ifølge sætning. har vi, at tan(8,4 ) g dermed: tan(8,4 ) ) Ifølge Pythagras har vi:,66 +,6 g dermed:,6,66 Det verlades til læseren at kntrllere, at vi alle tre tilfælde får:,87. Eksempel.5. I en retvinklet trekant DEF er D 90, DE, 7 g EF 6, 9, g vi ønsker at estemme de t ukendte vinkler g den ukendte side.,7 Ifølge sætning. ser vi, at: sin( F) 0, 56 6,9 Da sin (0,56),4, er dette en mulig værdi fr F. Men ifølge eksempel.6 a) skal vi gså undersøge muligheden 80,4 47,57. Da vi imidlertid arejder med en retvinklet trekant, g da vinkelsummen i en trekant er 80, er der kun 90 tilage til de t ikkerette vinkler. Muligheden 47,57 kan derfr ikke ruges, så svaret liver: F,4. Fig..9 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller E,7 D 6,9 F

8 - 0 - Herefter kan den sidste vinkel, dvs. E nemt estemmes: E 90,4, dvs. E 57,57 Endelig kan den ukendte side findes l.a. v.hj.a. Pythagras. Det verlades til læseren at kntrllere, at DF 5, 84. Øvelse.6. I en retvinklet trekant PQR, er P 90 g Q 8,. Beregn siderne RP g QP, idet det plyses, at RQ. Øvelse.7. I en retvinklet trekant ABC, hvr A 90, er AB 7, 4 g AC, 6. Beregn de ukendte vinkler g sider. Vilkårlige trekanter. De trignmetriske funktiner sinus g csinus kan gså anvendes til at estemme ukendte vinkler g sider i vilkårlige trekanter, dvs. trekanter, sm ikke frudsættes af have ngle specielle egenskaer sm f.eks., at de er retvinklede. Der er i denne sammenhæng t frmelsæt: sinus-relatinerne g csinus-relatinerne. Vi starter med at se på sinus-relatinerne. Der gælder her følgende sætning: Sætning.8. I en vilkårlig trekant ABC (på figur.0 er tegnet t frskellige muligheder) gælder der: B B c a c a A C A C Fig..0 a) Fig..0 ) ) Arealet af trekanten er givet ved: Areal( ABC) a sin C c sin A a c sin B ) Frhldet mellem sinus til en vinkel g den mdstående side er ens (sinusrelatinerne),dvs.: sin A sin B sin C a c Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

9 - - Bevis: Ad ): Sm ekendt (ellers se Appendix ) gælder der fr en vilkårlig trekant ABC, at Areal( ABC) Grundlinie Højde hvr en vilkårlig af siderne kan være grundlinien, g hvr højden så er liniestykket, sm står vinkelret på grundlinien (eller dennes frlængelse) g sm går igennem det mdsat liggende punkt. Fr trekanter sm vist på figur.0 er arealet således givet ved: Areal( ABC) a h A h B c h C hvr h, h g h er (længden af) højderne fra hhv. A, B g C (Se figur. a) g )) A B C B B A h B h A h C C h B A h A C h C Fig.. a) Fig.. ) Fr at evise frmlerne i pkt. ) i sætningen, skal vi altså evise (vervej!), at: sin C, c sin A g a sin B h A h B h C Fr en højde, der falder inden i trekanten sm f.eks. h B på figur. a), følger dette af sætning. anvendt på ABD, hvr D er fdpunktet fr højden h B på siden AC (se figur.). Vi ser her, at h B sin(a) g dermed, at: h B c sin A c Og tilsvarende gøres med de øvrige højder. Fr en højde, der falder udenfr trekanten sm f.eks. h B på figur. ), anvender vi gså sætning. på ABD (se figur.). Vi ser her, at h B sin( BAD) g dermed, at: h B c sin( BAD) c hvr BAD er vinklen ved punktet A i ABD (emærk skrivemåden!). B h B D A c c B h B D A Fig.. Fig.. C C Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

10 - - Da BAD 80 A (vervej!), ser vi, at h B c sin(80 A), g ved anvendelse af sætning. ) får vi endelig, at h B c sin( A) eller krtere anført: h B c sin A. Og tilsvarende gøres med andre højder, der falder udenfr trekanten. Hermed er eviset fr punkt ) gennemført. Ad ): Hvis vi i ligningssystemet a sin C c sin A a c sin B fra punkt ) dividerer veralt med Hermed er sætning.8 evist. a c, så får vi (vervej!): sin A a sin B sin C c Bemærk: a) Sinusrelatinerne gælder gså fr retvinklede trekanter, men det kan fr sådanne edre etale sig at anvende sætning.! ) Sinusrelatinerne kan gså skrives: a sin A sin B c sin C Eksempel.9: Betragt ABC, hvr a, 5 g B 55. (Læseren pfrdres til at lave en skitse). Vi vil estemme de ukendte sider g vinkler. sin A sin B Ud fra sinusrelatinen: får vi (kntrllér!): a sin A sin(55 ) sin(55 ) sin A sin A 0, Da sin (0,4949) 9,44 er der ifølge eksempel.6 a) t mulige værdier fr A: A 9,44 A 50,56 I dette tilfælde giver det tvetydige svar dg ikke anledning til prlemer, idet vi ved, at B 55 g at vinkelsummen i en trekant er 80, hvrmed muligheden A 50,56 kan udelukkes. Vi finder altså: A 9,44 g dermed C 80 (9, ), dvs. C 95,56. sin C sin B Vi mangler nu kun at finde den ukendte side c. Ud fra sinusrelatinen: får vi: c sin(95,56 ) sin(55 ), hvilket giver s (kntrllér!), at: c 6,075. c 5 Eksempel.0. Om PQR plyses, at p 4, q 5 g P 4. Ud fra sinusrelatinen: Da sin (0,864) sin P p 56,76 sin Q får vi: q sin(4 4 ) sin Q g dermed: sin Q 0,864 5 er der t mulige værdier fr Q: Q 56,76 Q,4 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

11 - - I mdsætning til i eksempel.8, kan ingen af disse muligheder udelukkes (kntrllér), hvrmed der er t mulige trekanter PQR, der passer til de pgivne infrmatiner (kntrllér resultaterne!): ) P 4, Q 56,76 g R 8,4, samt r 5,908 ) P 4, Q,4 g R 4,76, samt r,5 På figur.4 er vist, hvrdan disse løsninger hænger sammen. Det ses, at en cirkel med centrum i R g med radius 4 skærer P s venstre en t frskellige steder, svarende til t frskellige mulige placeringer af punktet Q g dermed til de t frskellige sæt værdier af Q g r. Q 4 Q 4 P 5 R Fig..4 Vi kalder de t mulige placeringer af punktet Q fr Q g Q, hvrmed de t mulige trekanter, der pfylder etingelserne er: PRQ g PRQ. Sammenlign med resultaterne fr r g fr R. Øvelse.. Find de ukendte sider g vinkler fr PQR i eksempel.0, idet længden af p ændres til: p 6. Øvelse.. Betragt DEF, hvr d 5,, f 6,9 g F 8,6. Beregn de ukendte sider g vinkler i trekanten. Ukendte sider g vinkler i trekanter kan gså eregnes ved hjælp de såkaldte csinus-relatiner, idet der gælder følgende sætning: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

12 - 4 - Sætning.. I en vilkårlig trekant ABC (på figur.5 er tegnet t frskellige muligheder) gælder der: B B c a c a Csinusrelatinerne: a c A a a Fig..5 a) Fig..5 ) + c + c + c cs A ac cs B a cs C C A der gså kan frmuleres således: cs A a cs B a csc + c a c + c ac + c a Bevis: I eviset skal vi se på højden fra punkterne i trekanten, g sm i eviset fr sætning.8 skelner vi imellem m højden falder indenfr eller udenfr trekanten (jfr. figur.5 g.).. C Lad s først se på den situatin, der er givet ved figur.6 Vi ser, at højden h B deler trekanten i t retvinklede trekanter ADB g CDB. Hvis vi ser på ADB, så har vi ifølge sætning., at AD AD cs A g dermed, at: AD c cs A AB c Da AC g DC AC AD, ser vi at: DC c cs A (jfr. figuren). Ved at anvende Pythagras på ADB får vi: c (c cs A) + (h ) g dermed: ( h ) c (c cs A B B ) c B A D c csa h B Fig..6 a -c csa C Ved at anvende Pythagras på CDB får vi: a ( c cs A) + (h ) g dermed: ( h ) a ( c cs A Ved at sætte de t udtryk fr B B ) ( h B ) lig med hinanden får vi: c (c cs A) a ( c cs A) På højre side af lighedstegnet frekmmer kvadratet på en tleddet størrelse ( c cs A) g ved at udregne dette på sædvanlig måde (en af kvadratsætningerne) får vi i alt (kntrllér detaljerne): Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

13 - 5 - c c c (c cs A) a ( c cs A) (c cs A) a ( + (c cs A) c cs A) (c cs A) a (c cs A) + c cs A c a a + c cs A + c c cs A hvrmed den ønskede frmel i relatin til cs(a) er fremkmmet. På samme måde udledes de øvrige frmler, så længe den tilsvarende højde falder indenfr trekanten. Hvis højden falder udenfr trekanten, kan vi f.eks. have en situatin sm vist på figur.7 (jfr. figur. )). Vi ser, at vi her har t retvinklede trekanter, sm indehlder højden h B, nemlig: ABD g CBD. Sm før vil vi anvende Pythagras på disse t trekanter, men først vil vi finde et udtryk fr AD g fr CD. D A Fig..7 I ABD har vi ifølge sætning., at cs( DAB) AD g dermed: c AD c cs( DAB), hvr vi har anvendt enævnelsen DAB fr at få vinklen ved punktet A i denne trekant. Vi ser hermed gså, at CD + c cs( DAB). I ABD får vi v.hj.a. Pythagras g mskrivning, at: h B c (c cs( DAB)) Og i CBD får vi tilsvarende, at: h B a ( + c cs( DAB)) Ved at sætte de t udtryk fr ( h B ) lig med hinanden g fretagende mskrivninger sm venfr får vi: c (c cs( DAB)) a ( + c cs( DAB)) c c (c cs( DAB)) a ( + (c cs( DAB)) + c cs( DAB)) (c cs( DAB)) a (c cs( DAB)) c cs( DAB) c a c cs( DAB) a + c + c cs( DAB) Dette ligner ikke helt det rigtige resultat. Men vi må her huske på, at der i den sidste frmel står csinus til DAB, sm ligger i ABD, mens vi i sætningen skal have fat på A i ABC. Sm det fremgår af figur.7 har vi: DAB 80 A, hvrmed vi ifølge sætning. ) får: cs( DAB) cs(80 A) cs( A) Hvis vi indsætter dette i den netp eviste frmel: a + c + c cs( DAB), så får vi: a + c + c ( cs( A)) dvs. a + c c cs A hvrmed det ønskede resultat er pnået. På samme måde udledes de øvrige frmler, hvr den tilsvarende højde falder udenfr trekanten. De alternative frmler i csinus-relatinerne fremkmmer ved at islere csinus til vinklen. Dette verlades til læseren sm en øvelse. Hermed er sætning. evist. h B B c a C Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

14 - 6 - Eksempel.4. Betragt ABC, hvr a, 6 g c 4 (se figur.8). Vi vil gerne estemme trekantens vinkler. Vi emærker, at der ikke er pgivet ngen vinkel, hvrmed sinusrelatinerne ikke kan ringes i anvendelse. Men csinus-relatinerne redder situatinen idet vi har: + c a 6 cs A c hvraf vi ser, at A 6, ,8958 a + c Tilsvarende ser vi, at: cs B -0,458 B 7,8 ac 4 Endelig kan vinkel C findes enten ved endnu en anvendelse af csinus-relatinerne (kntrllér) eller ud fra, at vinkelsummen i trekant er 80. Vi får: C 6,4. A 4 6 B Fig..8 C Eksempel.5. Lad s prøve at se på prlemstillingen fra eksempel.0 g se, hvrdan csinus-relatinerne virker i denne sammenhæng: Om PQR plyses, at p 4, q 5 g P 4. Ifølge csinus-relatinerne får vi (vervej!): 4 r + 5 r 5 cs(4 ) r 7,445 r dvs. vi skal løse en andengradsligning fr at finde den ukendte side r. Da diskriminanten er 9,64 ser vi, at der er t løsninger. Der er altså tale m et tvetydigt tilfælde. Disse løsninger findes (kntrllér!): r 5,908 r,5, altså præcis de samme værdier sm vi fandt i eksempel.0. Fr at finde vinklerne, kan vi herefter anvende csinus-relatinerne: ), cs(q) cs( Q) 0, 548 Q,5,5 4 5, ) cs(q ) cs( Q ) 0, 548 Q 56,76 5,908 4 altså præcis de samme resultater sm i eksempel.0 (på nær en afrundingsfrskel på sidste ciffer). Den ukendte vinkel R kan herefter findes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 80. Øvelse.6. I ABC gælder der, at C 0, a 4,4 g 6,65. Beregn de ukendte sider g vinkler. Øvelse.7. I DEF gælder der, at d 6,97, e 4,8 g f 5,6. Beregn de ukendte sider g vinkler. Øvelse.8. I ABC gælder der, at C 8,6, a 5,9 g 7,. Beregn de ukendte sider g vinkler. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

15 - 7 - Øvelse.9. Løs prlemstillingen i eksempel.8 v.hj.a. csinus-relatinerne. Bemærk, at hvis det er muligt at ruge csinus-relatinerne i frindelse med estemmelse af en ukendt vinkel, så kan det almindeligvis edst etale sig at ruge disse i stedet fr sinus-relatinerne, idet man da undgår tvetydighed m vinklens størrelse, hvr der ikke er grund til det. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

16 - 8 - Kap. : Trignmetriske funktiner g radianer. Radianer sm vinkelmål. I egyndelsen af kapitel så vi på, hvrdan grader sm mål fr en vinkels størrelse defineres. Vi vil nu indføre endnu et vinkelmål. Vi etragter denne gang en speciel cirkel med centrum i vinklens tppunkt, nemlig en cirkel med radius (en enhedscirkel). Vinklens størrelse sættes da lig med længden af den cirkelue, sm vinklen afskærer (se figur.). Vi siger da, at vi har angivet radiantallet fr vinklen. Vi kan således angive følgende definitin: Definitin.. Ved radiantallet v fr en vinkel frstås længden af den cirkelue, sm vinklen afskærer på en enhedscirkel med centrum i vinklens tppunkt. Fig.. Eksempel.. a) Radiantallet fr en ret vinkel er π, idet en ret vinkel afskærer 4 af cirkelperiferien (sm på en enhedscirkel har længden π). ) På nedenstående figur. er afsat vinkler med radiantallene,,, 4 g 5. Fig.. Hvis vi vender tilage til figur., hvrm der gjaldt udtrykket: s s r, g hvis vi her specielt r ser på den situatin, hvr r (dvs. hvis vi etragter en enhedscirkel), så får vi: s s r. Og hvis radiantallet fr den pågældende vinkel er v, så har vi ifølge definitin., at s v, g dermed i alt, at s v r. Vi har dermed evist følgende sætning: Sætning.. En vinkel med radiantallet v, sm anringes med tppunkt i centrum af en cirkel med radius r, vil afskære et uestykke s på denne cirkel med længden: s v r Fig.. r v s Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

17 - 9 - Vi vil nu finde en mregningsfaktr mellem vinkler angivet i grader g vinkler angivet i radianer. En vinkel på 80 afskærer halvdelen af cirkelperiferien på en enhedscirkel med centrum i vinklens tppunkt (se figur.4). Da enhedscirklens periferi har længden π r π (idet r ), får vi: 80 π radianer, g dermed: π 80 radianer g tilsvarende: radian 80 π Heraf ser vi, at der gælder følgende sætning: Sætning.4. a) En vinkel på v π har radiantallet: v 80 ) En vinkel med radiantallet w har gradtallet: 80 w π Fig..4 Eksempel.5. Der gælder følgende sammenhæng mellem ngle estemte pæne vinklers gradtal g radiantal: Grader Radiantal 0 π 6 Dette ses v.hj.a. sætning.4, idet vi f.eks. har: 0 π 0 80 radianer π 4 π π π π 4 π π radianer g 6 4 5π 6 π 80 π π 4 5. Det skal emærkes, at de fleste af de regnemaskiner, der anvendes i undervisningen (herunder TI 8/84 serien) har en speciel tast til angivelse af π med et vist (strt) antal decimaler. π er et irratinalt tal, men med 9 decimalers nøjagtighed er π cirka givet ved: π, Eksempel.6. Ifølge sætning.4 har vi, at hvis en vinkel er 8, π, så er radiantallet: 8, 80 0,494 hvis en vinkel har radiantallet,8, så er gradtallet: 80,8 π 4,9 Øvelse.7. a) Omregn følgende vinkler, sm er angivet i grader, til radiantal:, 49,6, 7,4, 4 ) Omregn følgende vinkler, sm er angivet i radiantal, til grader:,, 0,64,,89, 5, Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

18 - 0 - Sinus g csinus. Sinus g csinus til en vinkel angivet i radianer defineres på præcis samme måde, sm da vinklen var angivet i grader (jfr. kapitel ): Hvis vi har en vinkel af størrelsen v, så placeres vinklens tppunkt i et krdinatsystem i punktet (0,0), således at vinklens højre en falder sammen med den psitive del af.aksen (se figur.5). Vinklens venstre en vil da skære enhedscirklen (med centrum i (0,0)) i et punkt P, sm kaldes retningspunktet fr vinklen. Punktet P s krdinater er pr. definitin lig med (cs v,sin v), dvs. cs v er den værdi, der fremkmmer på.aksen, når P prjiceres ned på.aksen; g tilsvarende med sin v. Fig..5 I frhld til at finde sinus-værdien eller csinus-værdien af en given vinkel, er det altså underrdnet, m vi måler vinklen i radianer eller i grader. sin v g cs v liver de samme tal. Dermed gælder de sætninger, der er vist i kapitel i relatin til trekanter, gså, hvis vinklerne måles i radianer. Øvelse.8. a) Argumentér fr, at der gælder følgende frmler: sin( π v) sin v g cs( π v) cs v ) Vis (v.hj.a. a) samt Pythagras anvendt på passende trekanter ved enhedscirklen), at der gælder: v 0 sin(v) 0 cs(v) π 6 π 4 π π 0 π π 4 5π 6 π 0 Vejledning til π : Afsætn retningspunktet P fr π. Frind P med punktet O (0,0) g E (,0) Gør rede fr, at OPE er ligesidet, g at P s prjektin på OE er midtpunktet af OE. Brug dette. Vejledning til 6 π : Afsætn retningspunktet P fr 6 π. Frind P med punktet O (0,0) g P s spejlillede Q i.aksen. Gør rede fr, at OPQ er ligesidet, g at.aksen skærer PQ i midtpunktet. Brug dette. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

19 - - Det skal emærkes, at når vi eskæftiger s med trignmetriske funktiner (sm sinus g csinus), så udelades etegnelsen radianer ftest ved vinkelangivelser. Vi taler således lt m sinus til (sin()) i stedet fr sinus til radianer. Dette stemmer gså fint verens med det følgende, hvr det frklares, hvrdan vi kan finde sinus g csinus til et vilkårligt tal x R. Vi frestiller s en tallinie anragt vinkelret på.aksen i punktet E (,0), således at talliniens nulpunkt falder sammen med punktet E (se figur.6 a)). Derefter vikles tallinien rundt m enhedscirklen, således at den psitive del drejes md urets mløsretning denne retning kaldes den psitive mløsretning, medens den negative del af tallinien drejes med uret dette kaldes den negative mløsretning. (Se figur.6 ) g c)). Fig..6 Der vil dermed fr alle tal x R være en entydig estemt placering på enhedscirklen. Denne placering kaldes retningspunktet fr tallet x, g cs x g sin x defineres ud fra retningspunktet på præcis samme måde sm vist på figur.5. Det ses hermed (vervej!), at: Dm(cs) Dm(sin) R g Vm(cs) Vm(sin) [ ;] Når vi v.hj.a. grafregneren skal finde sinus eller csinus til et tal, skal regnemaskinen være indstillet på radianer, idet dette netp stemmer verens med at finde værdierne til et tal (vervej dette!). Øvelse.9. a) Find placeringen af følgende tal på enhedscirklen (tegn en enhedscirkel g markér punkterne): 0000,, 5,7, 0,, 0, 4567 π, 088, 0,0456 (v.hj.a. en lang række støttepunkter fr grafen!!). ) Find sin(x) fr hver af følgende værdier at tallet x: 507, 8,, c) Skitser grafen fr cs(x), x [ 0;7] Det ses (vervej!), at tallene... x π, x π, x π, x, x + π, x + π, x + π,... alle har samme retningspunkt (liver placeret i samme punkt på enhedscirklen), idet enhedscirklens mkreds er π. Dette kan skrives således: Retningspunkterne fr tallene: x + p π, p Z, er sammenfaldende. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

20 - - Vi ser derfr, at der fr alle p Z gælder, at sin( x + p π) sin x cs( x + p π) cs x I denne frindelse siger vi, at sin g cs er peridiske (dvs. gentager sig selv) med periden π. Sinus g csinus får således følgende grafiske illeder (hvr vi gså har anvendt øvelse.9): sin cs Fig..7 Afslutningsvist skal det mtales, at vi (sm allerede gjrt) kan skrive sin x eller sin(x) efter ehag. Det samme gælder f.eks. sin x eller sin(x). Men j mere kmplekst et udtryk vi har stående sm den variale til funktinen sinus (eller csinus), dest mere nødvendige liver funktinsparenteserne. Se f.eks. sin( x + p π) i det venstående. Her kan parenteserne ikke undværes. Det skal ligeledes emærkes, at vi skriver f.eks. sin x i stedet fr g f.eks. cs (4x) i stedet fr (cs( 4x)), dvs. cs (4x) (sin x), dvs. (cs( 4x)). sin x (sin x), Harmniske funktiner. Funktiner af typen: f(x) A sin(x + c) g g(x) A cs(x + c) hvr A, g c er givne tal (A 0 g 0) kaldes harmniske funktiner. Funktiner af denne type ruges l.a. til at eskrive svingninger af frskellig slags (se kap. 4), g i den sammenhæng siges funktinerne at eskrive harmniske svingninger. Vi vil undersøge etydningen af hvert af tallene A, g c. Men inden vi gør dette, skal det først emærkes, at: vi i det følgende får rug fr at fretage parallelfrskydninger g rette affiniteter fr funktiners grafer. Der henvises i denne sammenhæng til den generelle teri herm i Appendix. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

21 - - π π da cs( x) sin x + (jfr. den nedenstående øvelse.5), er cs( x + c) sinx + c + π Hvis vi sætter c c +, så ser vi, at A cs(x + c) A sin(x + c). Funktinen g(x) er altså af typen f(x), hvrfr vi i det følgende kun vil undersøge denne type funktiner. hvis vi ser på funktinen h(x) A sin(x + c) + d, hvr d er et givet tal, så vil grafen fr h(x) fremkmme af grafen fr f(x) ved en parallelfrskydning i.aksens retning (der lægges tallet d til alle funktinsværdier). Måden h(x) g f(x) svinger på er imidlertid den samme, så vi vil i det følgende kun se på f(x). i praktiske anvendelser er tiden ftest den variale. Vi vil derfr i mdeleksempler enævne den variale med et t i stedet fr x, hvrmed vi da ser på funktiner af typen: f(t) A sin( t + c) Øvelse.0. Tegn (v.hj.a. grafregneren eller et graftegningsprgram) graferne fr de tre funktiner: f (x) 0,5 sin(x), f (x) sin(x), f (x) sin( x ) i samme krdinatsystem g prøv at kmmentere resultatet.. tilfælde: A g c 0. I dette tilfælde er funktinsfrskriften givet ved: f(x) sin( x). Det er altså etydningen af, vi vil se nærmere på her. Vi vil først se på et eksempel: f(x) sin(x). Lad ( x, y ) være et vilkårligt punkt på grafen fr f (se figur.8). Da der m et punkt på grafen gælder, at f (x ) y, ser vi, at y sin(x ). Dette etyder gså, at punktet ( x, y ) ligger på grafen fr sin. Vi får således, at grafen fr funktinen f fremkmmer ved at halvere.krdinaten g ehlde.krdinaten fr punkterne på grafen fr funktinen sin. Denne peratin kaldes (sm mtalt i Appendix ) fr en ret affinitet i.aksen med frvandlingstallet. Grafen fr f(x) sin(x) ser dermed ud sm vist på figur.8. Det skal emærkes, at f(x) sin(x) er peridisk med periden π, idet: f (x + π) sin((x + π)) sin(x + π) sin(x) f (x) Fig..8 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

22 - 4 - På samme måde fås eksempelvis graferne fr sin(0,7x) g sin(4x): sin(0,7x) sin(x) Fig..9 sin(4x) sin(x) Fig..0 Vi ser, at sin(4x) svinger 4 gange så hurtigt sm sin(x), g at sin(0,7x) svinger 0,7 gange så hurtigt sm sin(x) svarende til, at graferne fr de t funktiner fremkmmer ved rette affiniteter m 0.aksen med frvandlingstallene 4 hhv. (,486) 0,7 7 Øvelse.. π π Vis, at sin(4x) er peridisk med periden, g at sin(0,7x) er peridisk med periden 0, 7 Generelt gælder der følgende sætning: Sætning. sin(x) svinger gange så hurtigt sm sin(x), g sin(x) er peridisk med periden Bevis: Ifølge sætning A..5, har vi, at grafen fr f(x) sin(x) fremkmmer af grafen fr sin(x) v.hj.a. en x ret affinitet i.aksen med frvandlingstallet. Dette fremgår af, at x x, hvraf det ses, at størrelsen h i sætning A..5 er lig med. Længden af én hel svingning fr sin(x) er altså af længden af én hel svingning fr sin(x), hvrmed det ses, at sin(x) svinger gang så hurtigt sm sin(x). Af samme årsag liver periden fr sin(x) lig med af periden fr sin(x) g den er sm tidligere mtalt π. At funktinen f(x) sin(x) er peridisk med periden π π kan gså indses på følgende måde: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

23 - 5 - π π f (x + ) sin((x + )) sin(x + π) sin(x) f(x). Idéen til størrelsen af periden P kan man i øvrigt gså få gennem følgende etragtning: Da sin er peridisk med periden π, skal der gælde, at når.krdinaten frøges med P, så frøges det man π tager sinus til med π. Der skal altså gælde: (x + P) x + π, hvraf vi finder, at P Hermed er sætningen evist. Bemærk, at hvis tiden er den variale, (f.eks. hvis vi ser på en ølge i et givet punkt), så kaldes periden fr svingningstiden T, g der gælder, at T. Svingningstiden er det stykke tid, der π går, fra ølgen er f.eks. i tppen til den igen er i tppen.. tilfælde: c 0. I dette tilfælde er funktinsfrskriften givet ved: f(x) A sin( x). Da etydningen af er gennemgået venfr, er det altså etydningen af A, vi vil se nærmere på her. Tallet A kaldes amplituden fr svingningen. Vi vil først se på et eksempel: g(x) sin(x), dvs. A (g ). Lad (x,y ) være et punkt på grafen fr g (se figur.). Da der m et punkt på grafen gælder, at g (x ) y, ser vi, at y sin(x ). Dette etyder gså, at punktet ( x, y ) ligger på grafen fr sin. Vi får således, at grafen fr funktinen g fremkmmer ved at ehlde.krdinaten g frdle.krdinaten fr punkterne på grafen fr funktinen sin. Denne peratin kaldes (sm mtalt i Appendix ) fr en ret affinitet i.aksen med frvandlingstallet. Grafen fr g(x) sin(x) ser dermed ud sm vist på figur.. Fig.. På samme måde fås eksempelvis graferne fr 0,5sin(0,7x) g,5sin(4x) : sin( 0,7x) 0,5sin(0,7x) Fig.. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

24 - 6 -,5sin(4x) sin( 4x) Fig.. Øvelse.. Tegn graferne fr følgende funktiner (v.hj.a. et graftegningsprgram): ),sin(x) ) cs(0,5x) ) 0,sin(0x ) 4) 5cs(π x) Kmmentér resultaterne g angiv periden fr hver af funktinerne.. tilfælde: c 0. I dette tilfælde er frskriften givet ved: f(x) A sin(x + c). Da etydningen af A g er gennemgået venfr, er det etydningen af c, der skal mtales. Men sm det skal vise sig, spiller værdien af gså en rlle fr etydningen af c. Tallet c kaldes startfasen eller egyndelsesfasen fr svingningen. Eksempel.4. Vi vil estemme udseendet af grafen fr funktinen: f(x) sin(x + ). Vi starter med at se på funktinen h(x) sin(x), hvis udseende er velkendt ifølge venstående eskrivelse af. g. tilfælde. Det ses, at f(x) (x ( )), idet: h h (x ( )) sin((x ( )) sin((x + )) sin(x + ) f(x) Ifølge sætning A.. får vi dermed, at grafen fr f fremkmmer af grafen fr h ved at parallelfrskyde grafen fr h stykket langs.aksen. Se figur.4. h f Fig..4 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

25 - 7 - På samme måde sm i eksempel.4 indses (vervej/kntrllér), at: Grafen fr f(x) A sin(x + c) fremkmmer ved at parallelfrskyde c grafen fr h(x) A sin(x) stykket langs.aksen. Øvelse.5. Tegn graferne fr følgende funktiner (v.hj.a. et graftegningsprgram) (Jfr. øvelse.): ),sin(x ) ) cs(0,5x + 0) ) 0,sin(0x 5) 4) 5cs(π x + π) Kmmentér resultaterne. Tangens. Funktinen tangens er sm mtalt i kapitel defineret ved: tan x sin x, g dette gælder uanset cs x m x er en vinkel målt i grader eller radianer, eller m x er et tal. tan x er defineret fr alle de tal x, hvr cs x 0, dvs. Dm(tan) { x R π x + p π, p Z} (Læseren pfrdres til at finde placeringen på enhedscirklen af de tal, hvr tan ikke er defineret!). V.hj.a. en enhedscirkel kan vi, sm mtalt g evist i kapitel, få et indtryk af, hvrdan tan x varierer, når x varierer. På figur.5 er vist retningspunkterne P x g P y fr t tal x g y, samt hvrdan tan x hhv. tan y findes v.hj.a. linien, der går parallelt med.aksen igennem punktet E (,0). tan P y P x (, tanx) E (, tany) Fig..5 Fig..6 Også tan x kan findes på grafregneren (husk at indstille den til radianer ). Ved at udregne en passende mængde støttepunkter, samt ved anvendelse af kendska til Dm(tan) g metden på figur.5, ser vi, at grafen fr tan har et udseende sm vist på figur.6. Vi ser gså (vervej!), at Vm(tan) R. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

26 - 8 - Det ser af grafen ud til, at tan er peridisk med periden π, dvs. at der fr alle x Dm(tan) gælder, at tan( x + π) tan x. At dette rent faktisk er tilfældet indses ved at løse nedenstående øvelse. i afsnittet m mskrivningsfrmler fr sinus, csinus g tangens. Øvelse.6. Vis v.hj.a. øvelse.8, at følgende tael ver tangens-værdier er krrekt: v 0 π 6 π 4 π π π π 4 tan(v) 0 i.d. (i.d. etyder: ikke defineret). 5π 6 π 0 Øvelse.7. Der findes en trignmetrisk funktin ctangens (ct), sm er defineret ved: a) Argumentér fr, at Dm(ct) { x R x p π, p Z} ct( x) cs x sin x ) Argumentér fr, at ct( x) tan(x) c) Argumentér fr, at ct(v) fr et givet tal eller en given vinkel v kan findes sm vist på figur.7 Fig.7 d) Find ct(x) fr hver af følgende værdier at tallet x: 5, 8,, e) Skitsér grafen fr ct(x), ] 0; π [ ] π; π [ x π, 088, 0,0456 Trignmetriske grundligninger g uligheder. Ved en trignmetrisk grundligning frstås en ligning af typen: sin(x) a, cs(x), tan(x) c eller skrevet uden funktinsparenteser: sin x a, cs x, tan x c, hvr a, g c er givne tal. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

27 - 9 - Da Vm(sin) [ ; ], har ligningen: sin(x) a kun (én eller flere) løsninger, hvis a [ ; ]. Da Vm(cs) [ ; ], har ligningen: cs(x) kun (én eller flere) løsninger, hvis [ ; ] Da Vm(tan) R, har ligningen: tan(x) c (én eller flere) løsninger fr alle c R.. Fr alle tre ligninger gælder, at en egrænsning i definitinsmængden (dvs. krav til værdien af x) kan ændre på såvel eksistensen sm på antallet af løsninger (ses i det følgende). Eksempel.8. Lad s se på ligningen: cs x. Da [ ; ] ser vi, at der må findes en løsning til denne ligning, π π g fra øvelse.8 ved vi da gså, at cs( ), hvrfr tallet er en løsning til ligningen. Da cs er peridisk med periden π, vil der imidlertid være mange andre løsninger (hvis der ikke er sat egrænsninger på x, f.eks. at x [ 0; π ] ). π Vi ser således, at alle tallene: + p π, p Z er løsninger til ligningen. På nedenstående figur.8 a) ses disse løsninger afmærket med et kryds. Men vi ser, at linien: y gså skærer grafen fr cs i en række af punkter, hvis førstekrdinat x π er markeret med en lle. Disse punkter svarer til sm vist på figur.8 ), at x gså er π en løsning til ligningen, g dermed, at alle tallene + p π, p Z er løsninger til ligningen. Vi ser altså i alt, at ligningen cs x har løsningsmængden: D π π A L Cx R x + p π x + p π ; p Z B Bemærk, at det naturligvis er nemmest at finde løsningerne v.hj.a. enhedscirklen sm antydet på figur.8 ), når man samtidig husker på, at cs er peridisk med periden π. Hvis der er en egrænsning på x, så der f.eks. frudsættes, at [ 0; π ] x, så får vi (vervej!) føl- gende løsningsmængde L til ligningen: x Fig..8 cs, [ 0; π ] x : L D C B π 5π, A Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

28 - 0 - Øvelse.9. Anvend øvelse.8 samt metden i eksempel.8 til at løse følgende ligninger: a) cs( x) ) cs x c) sin x d) sin(x) 0 sin x, x 0; 4π f) cs( x), x [ π; π ] e) [ ] Øvelse.0. Den trignmetriske grundligning tan(x) c løses på principielt samme måde sm ligningerne: cs(x) g sin(x) a, idet man med frdel kan anvende markeringen af tan ved enhedscirklen sm mtalt i relatin til figur.5. Man skal her lt huske på, at tan er peridisk med periden π. Løs v.hj.a. øvelse.6 følgende ligninger: a) x tan( x), x π; π c) x, x 0; π tan ) [ ] tan [ ] I eksempel.8, øvelse.9 g øvelse.0 så vi på situatiner, hvr de trignmetriske grundligninger, der skulle løses, alle havde pæne resultater, sm kunne findes v.hj.a. øvelse.8 g.6. Principielt set løses andre trignmetriske grundligninger sm f.eks. sin x 0,4 på fuldstændig samme måde rtset fra at vi liver nødt til at ruge en regnemaskine/grafregner fr at finde en løsning. Dette giver imidlertid anledning til ngle afgørende kmmentarer m mvendte funktiner. Umiddelart ville man måske sige: sin x 0,4 x sin (0,4), sm så kan findes på regnemaskinen. Men dette er frkert!! Lad s først repetere, hvrnår en given funktin f har en mvendt funktin: Betingelsen er, at f er injektiv, dvs. at der gælder: fr ethvert y Vm(f) findes netp ét x Dm(f), så f(x) y. Og hvis f er injektiv, findes den mvendte funktin ud fra følgende: y f(x) x f (y) (Vedrørende mvendte funktiner generelt: Se Appendix ). Sm det fremgår af det venstående (jfr. l.a. figur.8 a), figur.6 g figur.7), er hverken sin, cs eller tan injektive, så vi kan altså fastslå: Ingen af funktinerne sin, cs g tan har en mvendt funktin! Alligevel kan man på enhver regnemaskine g grafregner til rug i gymnasiet se, at der er taster, hvrpå der står sin, cs g tan. Dette fte frvirrende frhld har sin egrundelse i primært praktiske frhld, sm vi straks skal se. Ingen af funktinerne sin, cs eller tan har sm netp mtalt en mvendt funktin. Men hvis vi indskrænker definitinsmængderne g ser på følgende funktiner: π π π π f(x) sin(x), x ; E, g(x) cs(x), x [ ; π ], h(x) tan(x), x E ; F F så har åde f, g g h en mvendt funktin (jfr. l.a. de følgende figurer.9 a),.0 a) g. a), sm viser graferne af f, g g h). Og det er de mvendte funktiner til f, g g h, der gemmer sig ag tasterne sin, cs g tan på regnemaskinen! Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

29 - - Da Vm(f ) Dm(f) ses, at tasten enævnt.9). På samme måde ses, at tasten enævnt enævnt tan giver værdier i intervallet E F sin giver værdier i intervallet cs giver værdier i intervallet [ ] π π ; (jfr. figur.0 g.). π π ; E (jfr. figur F ;π, g at tasten 0.5 a sin (a) -/ / f a) ) Fig g cs () -0.5 / - a) ) Fig..0 4 c tan (c) -/ / - h a) ) Fig.. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

30 - - Eksempel.. Vi vil i dette eksempel løse ligningen: sin x 0, 4. Ved indtegning på en enhedscirkel (se figur.) ser vi, at der i intervallet [ 0 ; π ] er t løsninger x g x. Når x g x er estemt, får vi de øvrige løsninger ved at lægge p π til (hvr p er et helt tal, dvs. p Z ). Ved anvendelse af figur.9 g den hertil hørende tekst ses, at løsningen x findes v.hj.a. regnemaskinen sm: x sin (0,4) 0,4 Løsningen x findes ud fra, at x π x, hvilket giver: x,70 (Kntrllér!). Fig.. Ligningen sin x 0, 4 har således i alt løsningsmængden: L { x R x 0,4 + p π x,70 + p π, p Z } Hvis der er en egrænsning på x, sm f.eks. i følgende ligning: x 0, 4 0,4;,70 vi løsningsmængden: L { } sin, x [ 0; π ], så får Afslutningsvist skal det emærkes, at man undertiden ser en pskrivning/eregning sm følgende: sin x 0,4 x sin (0,4) x 0,4 hvr regnemaskine-tasten sin anvendes til at finde værdien af x. Dette er sm tidligere nævnt generelt set frkert. Prlemet er, at der i almindelighed ikke gælder ensetydende imellem den første g den anden ligning, idet dette kun krrekt, hvis x er egrænset til intervallet π π ; E. Hvis x kan antage værdier ud ver dette interval, skal der altså følges F andre veje til løsning af ligningen (sm vist venfr!). Hvis man derfr i sine eregninger kmmer til en trignmetrisk grundligning, så skal man tænke: STOP, skriv ikke mere her! Undersøg hvilke egrænsninger der er på den variale, g estem herefter de relevante løsninger v.hj.a enhedscirkel g regnemaskine. Øvelse.. Løs ligningerne: a) cs(x) 0,4, x π π ; E F ) sin(x), c) cs(x) 0,6 Øvelse.. Løs ligningerne: a) x, 54 tan ) tan(x) 0,8 c) tan(x),47, [ π; π ] x Eksempel.4. Vi vil i dette eksempel løse ligningen: cs(0,7x 4) 0,8, 0 x 5 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

31 - - Vi emærker straks t ting: Fr det første er der ikke tale m en trignmetrisk grundligning, idet der ikke står csinus til en variael, men csinus til et udtryk indehldende en variael (der er altså tale m en sammensat funktin). Fr det andet er der en særlig egrænsning på denne variale. Dette prlem kan løses ved at indføre en hjælpevariael y 0,7x 4, g så først eregne hvilke egrænsninger der er på denne nye variale. Der gælder her følgende: 0 x 5 0 0,7x 0, ,7x 4 0, y 6,5 Vi skal altså i første mgang løse den trignmetriske grundligning: cs(y) 0,8, y [ 4;6,5 ] Det verlades sm en øvelse til læseren at vise, at denne ligning har løsningerne: y 0,645 y 0,645 y 5,697 samt i frindelse hermed at tegne en enhedscirkel, der åde viser indtegning af de relevante retningspunkter fr ligningen g af egrænsningsintervallet [ 4;6,5 ] fr værdien af y. Ved at vende tilage til den variale x får vi dermed følgende resultater: 0,7x 4 0,645 0,7x 4 0,645 0,7x 4 5,697 hvraf vi får (kntrllér!), at: x 4,7950 x 6,66 x,770 Det skal emærkes, at eregningen af såvel egrænsningen på y sm estemmelse af x ud fra de y + 4 fundne y-værdier gså kan gennemføres ved først at knstatere, at: y 0,7x 4 x 0,7 y + 4 idet vi da f.eks. har (vervej!), at: 0 x y 6,5. 0,7 Øvelse.5. Løs ligningen: tan( 5 0,6x) 7,4, x [ 0;0 ] V.hj.a. løsningerne til de trignmetriske grundligninger kan vi nu løse uligheder af typen: cs x a, sin x > a, tan(x) < g lignende trignmetriske grunduligheder. Eksempel.6. Lad s prøve at løse uligheden: sin x >, x [ 0; π ] Det gør vi ved først at løse ligningen: sin x, x [ 0; π ] Sm vist på figur. er løsningerne til denne ligning lig π π med g. Og sm det fremgår af figuren, er løs- Fig Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

32 - 4 - π π ningsmængden til uligheden dermed givet ved: E ; F 4 4 x 0; π med, kan løsningsmængden L f.eks. anføres således: Hvis vi ikke har restriktinen [ ] D π π A L Cx + p π p Z x E ; eller B F 4 4 D π π A L Cx R + p π < x < + p π, p Z B 4 4 (Overvej såvel pskrivning sm resultat nærmere!). Eksempel.7. Vi vil løse uligheden: 0 tan x, x [ 0; π ] Ligningen x, x [ 0; π ] g 4,49, g ligningen x 0, x [ 0; π ] tan har løsningerne:,07 tan har løsningerne 0 g π. Ved hjælp af disse løsninger g figur.4 ser vi, at løsningsmængden L til uligheden er: L [ 0;,07 ] [ π; 4,49 ] Øvelse.8. Løs følgende uligheder: a) cs x π π ) < sin x < 0, x ; c) sin x 0,, x [ 0; π ] tan( x) > 0,64, x π; π d) ] [ E F Fig..4 Øvelse.9. Løs følgende uligheder: cs( x), x 0; π sin( x + 5) > 0,74, x a) [ ] ) [ ;,5 ] Omskrivningsfrmler fr sinus, csinus g tangens. Der findes mange mskrivningsfrmler fr de trignmetriske funktiner, herunder såkaldte vergangsfrmler, grundfrmler, additinsfrmler, frmler med delt variael, lgaritmiske frmler. I denne sammenhæng anfører vi først følgende versigtssætning fr sinus g csinus: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

33 - 5 - Sætning.0. (Omskrivningsfrmler fr sinus g csinus) Overgangsfrmler: ) sin( x) sin x ) cs( x) cs x ) sin( π x) sin x 4) cs( π x) cs x 5) sin( π + x) sin x 6) cs( π + x) cs x π 7) sin x cs x Grundfrmel: 9) sin x + cs x π π 8) cs x sin x cs x Additinsfrmler: 0) cs( u v) cs u cs v + sin u sin v ) cs( u + v) cs u cs v sin u sin v ) sin( u v) sin u cs v cs u sin v ) sin( u + v) sin u cs v + cs u sin v Frmler med delt variael: 4) cs(u) cs u sin u cs u sin u 5) sin( u) sin u cs u Lgaritmiske frmler: x + y x y x + y x y 6) sin x + sin y sin cs 7) sin x sin y cs sin x + y x y x + y x y 8) cs x + cs y cs cs 9) cs x cs y sin sin Det skal emærkes, at frmlerne 9-9 gså gælder, når vinklerne regnes i grader!! Bevis: Overgangsfrmlerne ) 6): Da retningspunkterne fr x g x ligger symmetrisk mkring.aksen (se figur.5 a)), ser vi, at sin( x) sin x g cs( x) cs x Fig..5 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

34 - 6 - Da retningspunkterne fr x g π x ligger symmetrisk mkring.aksen (se figur.5 )), ser vi, at sin( π x) sin x g cs( π x) cs x Da retningspunkterne fr x g π+x ligger symmetrisk mkring (0,0) (se figur.5 c)), ser vi, at sin( π + x) sin x g cs( π + x) cs x Overgangsfrmlerne 7) g 8): Lad P være retningspunktet fr x, g lad P være spejlilledet af P ved en spejling i linien y x. π Sm det fremgår af figur.6, er P retningspunkt fr x. (Overvej, at dette gså er tilfældet med punkterne P g P på figuren). Fig..6 Krdinaterne til P g P er således givet ved: π π P (cs x,sin x) g P (cs x,sin x) Sm ekendt (ellers se Appendix 4) ytter en spejling i linien y x m på. g. krdinaterne til det punkt der spejles. Vi har derfr, at π π sin x cs x g cs x sin x π π π Da der ifølge mskrivningsfrmel ) gælder, at: cs x cs + x cs x, har vi hermed alt i alt vist frmlerne 7) g 8). π π Bemærk, at frmlen: sin x cs x eskriver, at grafen fr sinus er frskudt langs.aksen i frhld til grafen fr csinus, hvilket stemmer fint verens med figur.6. (Jfr. Appendix ). Grundfrmlen 9): Sm ekendt (ellers se Appendix 5) er afstanden mellem t punkter A g B med krdinaterne: A ( x, y) g B ( x, y) givet ved frmlen: AB x) + (y y) (x. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

35 - 7 - Afstanden mellem retningspunktet P (cs x,sin x) fr x g enhedscirklens centrum O (0,0) er radius i enhedscirklen (vervej, lav en figur), dvs. vi har: hvraf vi ser, at: sin x + cs x OP (cs x 0) + (sin x 0), Additinsfrmlerne 0) ): Additinsfrmlen 0): cs( u v) cs u cs v + sin u sin v evises ved at løse nedenstående øvelse.. (Læsere, der har lært m vektrer, kan se et alternativt evis fr frmlen i Appendix 6). De tre øvrige additinsfrmler evises herefter ved passende mskrivninger af frmel 0): Ved at etragte tallet v i stedet fr v, får vi således: cs( u + v) cs(u ( v)) csu cs( v) + sin u sin( v) hvr vi har anvendt vergangsfrmlerne ) g ). csu cs v sin u sin v π Ved at etragte tallet u i stedet fr u, får vi herefter: π π π cs u + v cs u cs v sin u sin v hvr vi har anvendt vergangsfrmlerne 7) g 8). Da vi desuden har, at π π cs u + v cs (u v) sin(u v) ser vi alt i alt, at: sin( u v) sin u cs v cs u sin v. sin u cs v cs u sin v Hvis endelig vi heri indsætter v i stedet fr v, så får vi (vervej), at sin( u + v) sin u cs v + cs u sin v hvrmed additinsfrmlerne 0) ) er evist. Frmler med delt variael 4) g 5): Frmlen: cs(u) cs u sin u fremkmmer af additinsfrmel ), hvr der anvendes v u samt den mtalte skrivemåde, at Frmlen: cs (cs u) cs u g (sin u) sin u (Overvej!) u sin u cs u sin u fremkmmer ved at anvende grundfrmel 9) til at finde hhv. sin u g cs u. (Detaljerne verlades til læseren!). Frmlen: sin( u) sin u cs u fremkmmer af additinsfrmel ) ved at anvende v u. De lgaritmiske frmler 6) 9): x + y x y Hvis vi sætter u g v, hvr x g y er vilkårligt, givne tal, så ser vi, at: x + y x y x + y + x y x u + v + x g x + y x y x + y (x y) y u v y Ved anvendelse af additinsfrmlerne ) g ) får vi hermed: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

36 - 8 - sin x + sin y sin( u + v) + sin(u v) sin u cs v + cs u sin v + sin u cs v csu sin v sin u cs v x + y x y sin cs Og tilsvarende kan vi finde udtrykkene fr sin x sin y, cs x + cs y g cs x cs y. Hermed er sætning.0 evist. Øvelse.. Frmålet med denne øvelse er at evise additinsfrmlen 0) i sætning.0. a) Tegn en enhedscirkel g afsæt retningspunkterne P u g P v fr t (vilkårligt valgte) tal u g v. ) Afsæt det tilsvarende retningspunkt Pu v fr tallet u v c) Angiv krdinaterne til punkterne P u, P v g Pu v d) Overvej, at cirkeluen fra P u til P v er lig med cirkeluen fra Pu v til punktet E (,0), g at vi dermed har: P u P v P u v E e) Angiv v.hj.a. frmlen fr afstanden imellem t punkter (jfr. Appendix 5) et udtryk fr hver af de t afstande P g P E u Pv u v f) Anvend resultaterne i d) g e), samt grundfrmlen 9) i sætning.0, til at udlede den ønskede frmel: cs( u v) cs u cs v + sin u sin v Øvelse.. a) Gennemfør alle detaljer i eviset fr frmlerne 4) g 5) i sætning.0. ) Gennemfør alle detaljer i eviset fr frmlerne 7), 8) g 9) i sætning.0. Øvelse.. Vis v.hj.a. vergangsfrmlerne 5) g 6) i sætning.0, at funktinen tangens er peridisk med periden π, dvs. at: tan( x + π) tan x Øvelse.4. a) Vis v.hj.a. mskrivningen: cs( x) cs(x + x), at: cs(x) 4 cs x cs x ) Vis tilsvarende, at: sin(x) sin x 4sin x Øvelse.5. π π Vis, at: sin x + cs x g cs x + sin x Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller Herning Gymnasium.

37 - 9 - Sætning.6. (Omskrivningsfrmler fr tangens) Overgangsfrmler: ) tan( x) tan x ) tan( π x) tan x ) tan( π + x) tan x Additinsfrmler: tan u tan v 4) tan(u v) 5) + tan u tan v tan(u + v) tan u + tan v tan u tan v Frmel med delt variael: tan u 6) tan(u) tan u Kminatinsfrmler med tangens g csinus: 7) + tan x cs x Det skal emærkes, at frmlerne 4-7 gså gælder, når vinklerne regnes i grader! Bevis fr sætningen: Vi viser frmel ) g 4). Vedr. de øvrige frmler: Se øvelse.7. sin( x) sin x ): tan( x) tan x cs( x) cs x hvr vi har anvendt definitinen på tan samt frmel ) g ) i sætning.0. sin(u v) sin u cs v csu sin v 4): tan(u v) cs(u v) csu cs v + sin u sin v hvr vi har anvendt definitinen på tan samt frmel 0) g ) i sætning.0. Hvis vi frkrter dette udtryk med cs u cs v, får vi: tan(u v) sin u cs v cs u sin v csu cs v cs u cs v sin u sin v + cs u cs v Hermed er de mtalte frmler evist. tan u tan v + tan u tan v Øvelse.7. a) Bevis frmlerne ), ) g 5) i sætning.6 efter samme princip sm i venstående evis. ) Bevis frmel 6) i sætning.6 ved anvendelse af frmel 5) i sætningen. c) Bevis frmel 7) i sætning.6 ved anvendelse af grundfrmlen 9) i sætning.0. Øvelse.8. Bevis, at cs(x) tan x g + tan x sin(x) tan x + tan x Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

38 Kap. : Trignmetriske funktiner g infinitesimalregning. Infinitesimalregning dækker ver egreerne kntinuitet, differentiatin g integratin. Og når vi ser på trignmetriske funktiner i relatin til disse egreer, er den variale reelle tal. Det etyder l.a. gså, at i prlemstillinger, hvrtil der skal anvendes differentiatin eller integratin af de trignmetriske funktiner, angives vinkler i radianer!! (Så kan man altid, hvis det er relevant g ønskes, mregne det endelige resultat til grader, jfr. f.eks. eksempel 4. ). Kntinuitet g differentiailitet. Der gælder følgende sætning: Sætning.. Funktinerne sin, cs g tan er kntinuerte. Bevis: Vi minder m, at en given funktin f er kntinuert i et punkt x, hvis f er defineret i en megn (et symmetrisk interval) mkring x g hvis der gælder, at: f(x) f(x ) fr x x. Hvis vi etragter et vilkårligt valgt tal x, så ser vi, at efterhånden sm x nærmer sig til x, så vil retningspunktet P x fr x nærme sig til retningspunktet P fr x (se figur.). x Og dermed vil sin(x) nærme sig til sin(x ) g cs(x) vil tilsvarende nærme sig til cs(x ). Der gælder altså: sin(x) sin(x ) fr x x g cs(x) cs(x ) fr x x hvrmed vi ser, at åde sinus g csinus er kntinuerte i x. (Bemærk, at da åde sinus g csinus er defineret veralt, er der ingen prlemer med definitinsmængden). Fig.. Kntinuiteten af tangens følger af, at der generelt gælder, at en røk imellem t kntinuerte funktiner er kntinuert, g af at vi ved, at tan(x). Hermed er sætningen evist. sin(x) cs(x) Øvelse.. i et fininddelt krdinatsystem. (Brug f.eks. et helt ark mm-papir, hvr enhed sættes lig med cm, eller rug et graftegningsprgram, der kan vise et fininddelt gitter ). Tegn tangenterne g find deres hældningskefficient svarende til følgende x-værdier: Indtegn grafen fr funktinen sin x, x ] :7 [ π 5, 0,,,,,, π, 4, π,, 6 Tegn ved hjælp af de fundne værdier en kurve (i et nyt krdinatsystem), der angiver hældningskefficienten fr tangenten sm funktin af x-værdien. Indtegn desuden grafen fr funktinen csinus i det sidstnævnte krdinatsystem. Kmmentér resultatet! Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

39 - 4 - Inspireret af øvelse. vil vi nu pstille g evise følgende sætning: Sætning.. Funktinerne sin g cs er differentiale veralt, g der gælder: si n (x ) cs x g cs (x ) sin x Bevis: f (x) f (x ) En funktin f siges at være differentiael i et punkt x, hvis differenskvtienten er x x defineret i en megn (et symmetrisk interval) mkring x g hvis den har en grænseværdi fr x gående md x. Og i givet fald er grænseværdien lig med differentialkvtienten f (x ). Da sinus er defineret veralt, skal vi altså vise, at hvis x R er et vilkårligt valgt tal, så har differenskvtienten en grænseværdi fr x gående md x. Og fr at estemme differen- sin(x) sin(x ) x x tialkvtienten af sin i tallet x, så skal vi estemme størrelsen af denne grænseværdi. x + x x x Ifølge sætning.0 7) har vi: sin x sin x cs sin hvraf vi ser (vervej mskrivningen!), at: sin(x) sin(x x x ) x + x x x cs sin x x x + x cs x x sin x x Da cs er kntinuert har vi: idet x + x x fr x + x cs x x cs(x Prlemet er derfr at finde grænseværdien af størrelsen: sin y Hvis vi kan vise, at: fr y 0 y x x sin så har vi gså, at: fr x x x x x x idet der gælder, at y I alt vil vi dermed få, at: 0 fr x x ) fr x x x sin x x x Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

40 - 4 - sin(x) sin(x x x ) cs(x ) fr x x hvrmed vi vil have evist, at sin er differentiael, g at sin y Vi skal altså evise, at: fr y 0. y si n (x ) cs x Bevis: Vi emærker først, at hvis vi har et fast liniestykke af længden k, sm er krde i en cirkel med radius r (se figur. a)), så vil længden (r) af det uestykke, sm krden afskærer på cirklen, nærme sig til k, når r liver uendelig str (se figur. a), ) g c)). Fig.. Vi kan skrive dette på følgende måde: (r) k fr r Og heraf ser vi, at k (r) fr r Lad nu AB være et givet liniestykke af længden k. Vi placerer en cirkel med radius r (hvr r > k) således, at AB liver krde i cirklen (se figur.). Hvis vi kalder AOC fr y, hvr C er midtpunktet af AB g O er cirklens centrum, så har vi idet AOC er retvinklet, at k r sin y sin y Hvis vi sm venfr sætter (r) etegner længden af uen k AC g dermed, at r r AB, hvr AB AB, så får vi ifølge sæt- Fig.. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

41 - 4 - ning., at (r) y r, idet AOB y. Dette giver s, at: I alt ser vi derfr, at sin y y sin y y k r (r) r Da der sm mtalt venfr gælder, at: k (r) k (r) fr r fr y 0, får vi, at sin y k fr y 0 y (r) hvrmed det ønskede er evist. Hermed er eviset fr differentiatin af sinus fuldført. At cs er differentiael, g at cs(x) cs(x x x Hermed er sætning. evist. ) r (r) r y, g da der desuden gælder, at cs (x ) sin x ses på tilsvarende måde v.hj.a. mskrivningen: x + x x x sin sin x x x + x sin x x sin x x Eksempel.4. sin y At går md fr y gående md 0 kan man få et indtryk af ved at etragte tallene i nedenstående tael. (Vi har kun medtaget psitive y-værdier, idet ): y sin( y) sin y sin y y y y sin y y y 0,8447 0, 0,9984 0,0 0, ,005 0, Eksempel.5. Vi vil estemme differentialkvtienten g (x) fr funktinen: g(x) cs x sin x. Ud fra reglen m differentiatin af et prdukt får vi: g (x) (cs x) sin x + cs x (sin x) Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

42 Funktinen Funktinen cs x er sammensat af funktinerne x g cs x. Vi får dermed: (cs x) cs x (cs x) cs x ( sin x) sin x er sammensat af funktinerne sin x g x. Dette giver s: (sin x) cs x (x) cs x Ved hjælp af mregningsfrmlerne fr sin x g cs x (sætning.0 4) g 5)), ser vi alt i alt, at g (x) cs x sin x sin x + cs x cs x cs x sin x cs x sin x + cs x ( sin x) 4 cs x sin x + cs x ( 4sin x) cs x ( 4sin x + 4sin x) cs x ( 8sin x) Resultatet er altså: g (x) cs x ( 8sin x) Øvelse.6. Find differentialkvtienten af følgende funktiner: a) f(x) cs( x + 7) ) f(x) x sin x c) f(x) cs x + sin x sin x + Vedrørende differentiatin af tangens gælder der følgende sætning: Sætning.7. Funktinen tangens er differentiael, g der gælder: π ta n (x ) + tan x, x p, p Z + π cs x Øvelse.8. Bevis sætning.7 v.hj.a. differentiatinsreglen fr røker. Øvelse.9. Find differentialkvtienterne af følgende funktiner: a) f(x) tan x ) f(x) cs( x) tan x c) f(x) cs x + sin x tan x V.hj.a. de trignmetriske ligninger g uligheder fra kapitel, samt v.hj.a. sætning. g.7 kan vi nu estemme mntnifrhld, værdimængde.lign. fr en del funktner, sm i deres funktinsfrskrift indehlder de trignmetriske funktiner. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

43 Eksempel.0. sin x + cs x Vi vil estemme mntnifrhld g værdimængde fr f. Lad funktinen f være givet ved: f(x), x [ 0; π ] Vi starter med at knstatere, at da cs x [ ; ], er f defineret fr alle [ 0; π ] Vi finder nu differentialkvtienten af f: cs x ( + cs x) sin x ( sin x) f (x) Heraf får vi: Fr [ 0; π ] cs x + cs ( + ( + cs x) cs x + ( + cs x) cs x) x + sin f (x) 0 cs x + 0 cs x x x. x gælder der (kntrllér): π 4π cs x x x Da den afledede funktin f er kntinuert (idet den estår af en røk af t kntinuerte funktiner), kan den ikke skifte frtegn i et interval uden at antage værdien 0. Da der ikke er ngen nulpunkter π fr f i intervallet E 0 ;, har f (x) samme frtegn i dette interval. Vi kan derfr estemme F π frtegnet ved at udregne f (x) fr et eller andet x i dette interval. Da f > 0, ser vi at 4 det søgte frtegn er psitivt. π 4π På samme måde indses, at f (x) er negativ i intervallet E ; g at f (x) er psitiv i intervallet F 4π π E ; π, idet f ( π) < 0 g f > 0. F 4 Frtegnsvariatinen fr f kan derfr indtegnes enten ved en enhedscirkel (sm vist på figur.4 a) øverst på næste side) eller ved en sædvanlig tallinie (sm vist på figur.4 )) Det skal emærkes, at fr funktinen i dette eksempel er det hurtigere at løse uligheden f (x) > 0 : f (x) > 0 cs x + > 0 cs x > hvrefter frtegnsvariatinen fr f fremkmmer v.hj.a. en enhedscirkel sm vist på figur.4 a). π π Da f er kntinuert i intervallet 0 ; E g differentiael i E 0 ;, g da f (x) > 0 fr alle F F π π x E 0;, får vi, at f er vksende i F 0 ; E g vi kan derfr ud fr dette interval tilføje den F viste tendenspil på figur.4 ). De øvrige tendenspile pnås på samme måde. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

44 Vi kan derfr knkludere, at f har følgende mntnifrhld: f er vksende i Fig..4 π 0 ; E, f er aftagende i F π 4π ; E F g f er vksende i 4π ; π E F f har altså lkalt minimum i 0 g i Vi har (kntrllér v.hj.a. øvelse.8), at : 4π π, g lkalt maksimum i g i π. π f g 4π f Da der desuden gælder, at f(0) f(π) 0, ser vi, at f har (glalt) minimum i maksimum i π. Og da f er kntinuert i [ ; π ] Grafen fr f ses på figur.5: 0 får vi, at Vm(f) ; E. F. 4π g (glalt) Fig..5 Øvelse.. Bestem mntnifrhld, lkale ekstrema g værdimængde fr funktinen g fra eksempel.5, idet vi frudsætter, at x [ 0; π ]. Tegn grafen fr g. x 0; 4π. Løs samme øvelse, idet det nu frudsættes, at [ ] Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

45 Integratin af trignmetriske funktiner. Dette afsnit indledes af en krt generel intrduktin til integratin g regneregler herfr. Læsere, der allerede er ekendt med dette, kan lt springe intrduktinen ver, medens læsere, sm ønsker en mere dytgående ehandling af emnet henvises til gen Matematik fr Gymnasiet. Integralregning. Teri, anvendelse g mdeller. En funktin F siges at være stamfunktin til en funktin f i et interval I, hvis det fr alle x I gælder, at F (x) f(x) (fr et evt. venstre endepunkter a I skal der gælde, at F + (a) f(a) g fr et evt. højre endepunkt I skal der gælde, at F () f()). Hvis F er en stamfunktin til f i et interval I, så skriver vi: F(x) f (x) dx g vi siger, at F fremkmmer ved af integrere f. f (x) dx, der altså er en funktin (en stamfunktin til f), kaldes et uestemt integrale. At en given funktin F er en stamfunktin til f kan kntrlleres ved at undersøge, m F f. Ved det estemte integrale af f fra a til, hvr [ a; ] Dm(f), frstår vi tallet F() F(a), g det skrives således: a f (x)dx [ F (x)] a F() F(a) Hvis f er en ikke-negativ funktin, er f (x)dx lig med arealet under grafen fr f imellem tallene a a g, g hvis f antager åde psitive g negative værdier, så er f (x)dx lig med arealet under grafen fr f, men ver.aksen, minus arealet under. aksen, men ver grafen imellem tallene a g. I frindelse med såvel uestemte sm estemte integraler gælder der ngle regneregler, l.a. f (x) + g(x)) dx f (x) dx + g(x) dx ( f (x) g(x)) dx f (x) dx g(x) dx g (, k f (x) dx k f (x) dx, hvr f g g er t funktiner g k er en knstant, g hvr reglerne her er frmuleret fr uestemte integraler. Tilsvarende regler gælder fr estemte integraler. I frindelse med prdukt af funktiner g sammensatte funktiner gælder følgende regneregler: Delvis (eller Partiel) Integratin: (x)g(x) dx F(x) g(x) F(x) g a f (x) dx (uestemt) [ F(x)g(x) ] f (x)g(x) dx F(x)g (x) dx (estemt) a hvr F er en stamfunktin til f. Denne metde kaldes delvis eller partiel integratin, idet vi ikke får udregnet integralet helt, men får det udtrykt ved et nyt integrale (sm så frhåentlig er lettere at regne ud). Integratin ved sustitutin: f (g(x)) g (x) dx F(g(x)), (uestemt) a f (g(x)) g (x) dx F(g()) F(g(a)) (estemt) hvr F er en stamfunktin til f. a a Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

46 Denne metde kaldes integratin ved sustitutin, idet regnereglerne kan mskrives til: Integratin ved sustitutin: f (g(x)) g (x) dx f (t) dt, hvr t g(x) g dt g (x)dx a g() f (g(x)) g (x) dx f (t) dt, hvr t g(x) g dt g (x)dx g hvr grænserne ændres. g(a) Vi har således sustitueret (indsat, erstattet) t i stedet fr g(x), g dermed liver dt g (x)dx (i verensstemmelse med reglerne fr differentialer). I reglen fr det estemte integrale ses desuden, at når x går fra a til, så går t fra g(a) til g(). I frindelse med trignmetriske funktiner gælder der følgende sætning vedrørende stamfunktiner. I sætningen indgår en vilkårlig knstant c, sm kan lægges til enhver af stamfunktinerne, idet denne frsvinder ved differentiatin. En stamfunktin til en given funktin er altså ikke helt entydigt fastlagt. Værdien af knstanten kan i en knkret situatin fastlægges ud fra kendska til en funktinsværdi fr stamfunktinen (se eksempel. g øvelse.4). Sætning.. I de følgende regneregler er a, g c vilkårlige knstanter (dg kræves at a 0): ) sin x dx cs x + c ) cs x dx sin x + c ) tan x dx ln cs x + c 4) sin( ax + ) dx cs(ax + ) + c a 5) cs( ax + ) dx sin(ax + ) + c a 6) tan( ax + ) dx ln cs(ax + ) + c a Bevis: Fr at evise sætningen kan vi sm mtalt venfr i hvert tilfælde kntrllere, at når vi differentierer højresiden (dvs. udtrykket fr stamfunktinen), så giver det funktinen inde under integraltegnet (dvs. funktinen sm integreres). Men dette frklarer ikke hvr udtrykkene fr stamfunktinerne kmmer fra, så fr frmlerne ) 6) grier vi sagen lidt anderledes an. Frmel ) følger direkte af, at vi ifølge sætning. ved, at (sin x) cs x, samt af at knstanten c sm mtalt frsvinder ved differentiatinen. Frmel ) følger tilsvarende af, at vi ifølge sætning. ved, at: (cs x) sin x, hvrmed vi ser, at: ( cs x) ( sin x) sin x. Frmlerne ) 6) evises v.hj.a. integratin ved sustitutin. Vi viser her frmel ) g 5), medens frmel 4) g 6) verlades til læseren sm en øvelse. Ad ): sin x Ifølge definitinen på tangens har vi, at: tan x dx dx sin x dx cs x cs x Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

47 Hvis vi sætter t cs x får vi: dt (cs x) dx sin x dx. Ved først at mskrive det sidste integrale, så der kmmer til at stå sin x dx g derefter anvende frmlen fr integratin ved sustitutin, får vi: sin x tan x dx dx sin x dx ( sin x) dx cs x cs x cs x dt ln t + c t hvr vi har anvendt, at ln t er en stamfunktin til funktinen t Vi skal nu vende tilage til den prindelige variale x, sm indgår i det første integrale. Dette kan gøres, idet vi ved, at t cs x. Vi får dermed i alt: tan x dx ln cs x + c Ad 5): Fr at udregne cs( ax + ) dx enytter vi sustitutinen: t ax + g dt (ax + ) dx a dx Ved først at mskrive integralet (af hensyn til det manglende a under integratinstegnet) g derefter enytte den mtalte sustitutin får vi: cs( ax + ) dx cs(ax + ) a dx a cs(t) dt sin(t) + c a a Ved at erstatte t med ax + (fr at vende tilage til den prindelige variale) får vi det ønskede resultat (frmel 5)). Hermed er sætningen evist. Eksempel.. Sm anført venfr er funktinen F(x) sin x en stamfunktin til funktinen f(x) cs x i hele R, idet der fr alle x gælder, at (sin x) cs x Men sm ligeledes mtalt er funktinerne: sin( x), sin(x) g sin(x) g generelt sin(x) + c gså stamfunktiner til cs x, idet det knstante led frsvinder ved differentiatinen. Vi vil nu finde den stamfunktin F til funktinen f(x) cs x, hvis graf går igennem punktet ( π,5). Vi ved, at F er af frmen: F(x) sin x + c, så vi skal estemme værdien af knstanten c. Dette kan fregå på følgende måde: Da grafen fr F går igennem punktet ( π π π,5) gælder der: 5 F ( ) sin( ) + c + c, hvraf vi ser, at c 4. Den søgte stamfunktin er altså: F(x) sin x + 4 Øvelse.4. Bestem til hver af de følgende funktiner en stamfunktin, hvis graf går igennem punktet: (,) a) f(x) sin x ) f(x) tan x c) f(x) cs( x 4) Øvelse.5. Udregn følgende uestemte integraler: a) cs( x) dx ) ( + tan x) dx c) ( sin(x)) dx d) ( + sin(x)) dx Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

48 Øvelse.6. Bevis, at der gælder følgende frmler: a) sin (x) dx sin(x) + c x 4 ) cs (x) dx + sin(x) + c x 4 c) tan (x) dx tan x x + c Vejledning: Til frmel a) kan enyttes, at: cs(x) sin (x), til frmel ) kan enyttes, at: cs(x) cs (x), g til frmel c) kan enyttes, at: tan (x) + tan (x) Eksempel.7. Vi vil estemme arealet A under grafen fr funktinen f(x),5sin(4x) i intervallet fra 0 til 4 π (jfr. figur.). Vi har: / 4 A π,5 sin(4x) dx,5 π sin(4x) dx 0 π,5 ( cs(4 ) + c ( cs(4 0) + c)) 0 / 4 π / 4 [ ],5 cs(4x) + c 4,5 ( ( ) + ) ,5 Det søgte areal er altså,5. Bemærk, at værdien af knstanten c er uden etydning, idet c frsvinder i eregningen. Dette gælder i udregningen af ethvert estemt integrale. 0 Eksempel.8. Integralet x cs x dx kan eregnes ved delvis integratin på følgende måde: cs x dx x [ x sin x] sin x dx sin sin [ cs x] sin sin + cs cs 0,00675 Eksempel.9. Integralet π / 4 5 sin (x) cs x dx kan eregnes ved sustitutinen: u sin(x), du cs(x)dx. 0 Vi får da: π 0 / 4 5 sin (x) cs x dx sin( π / 4) sin(0) 5 6 / u du [ ] u Øvelse.0. Udregn følgende estemte integrale: π π / / sin x e cs x dx Øvelse.. Udregn følgende fire integraler: a) 5 x sin x dx ) x sin(x + 5) dx 5 c) 5 x sin x dx d) x sin(x + 5) dx Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

49 - 5 - Kap. 4: Trignmetriske funktiner g mdeller. (Der er her kun medtaget større eksempler. En række mindre eksempler ses under mdelpgaver i pgavesamlingen). Harmniske svingninger. Bølgeevægelse. Uden differentialregning. Eksempel 4.. Et ld hænger i en fjeder g svinger p g ned (se figur 4.) Fig 4. Hvis vi anringer en tallinie (en s-akse) med nulpunkt i lddets ligevægtspunkt dvs. i det punkt, hvr lddet kan hænge stille, så kan udsvinget s eskrives ved: k s(t) s max sin t m hvr s max er lddets maksimale udsving (dvs. amplituden i svingningen), m er lddets masse (vægt), g k er en knstant, der angiver fjederens stivhed. I denne frmel frudsættes det, at tiden t 0 er valgt (dvs. stpuret er startet), når lddet passerer ligevægtsstillingen på vej pad. (Denne frudsætning kan nemt fjernes ved at lægge en såkaldt startfase eller egyndelsesfase c til inde i funktinsparentesen fr sinus. Jfr. side 6). Vi kan ikke evise dette udtryk her. Interesserede læsere henvises til gen: Differentialligninger g matematiske mdeller, hvr emnet er gennemgået g frmlen evist. Men vi kan finde svingningstiden T, dvs. den tid, der går, fra lddet er i det øverste punkt til det næste gang er i det øverste punkt. Dette kan gøres således: Hvis lddet er i det øverste punkt til tiden t, så er det næste gang i det øverste punkt til tiden t + T, g da sinus er peridisk med periden π, må vi have: k m k (t + T) t + π g dermed: m m T π k Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

50 - 5 - Øvelse 4.. Frmålet med denne øvelse er eksperimentelt at eftervise frmlen fr svingningstiden fra eksempel 4.. Der skal ruges en fjeder g et phæng hertil, ngle ldder, en vægt, et måleånd, et stpur. a) Knstanten k (fjederens stivhed) estemmes ved at måle det stykke s, sm fjederen strækkes, når et ld hænges i fjederen (uden at svinge). Fjederen trækker da ifølge Hkes lv i lddet med en kraft, der har størrelsen: F fj k s, medens tyngdekraften trækker den mdsatte vej med kraften F ty m g, hvr g er tyngdeacceleratinen (g 9,8 N/kg). Da lddet hænger stille, må de t kræfter på lddet være lige stre, dvs. F ty F fj, g dermed: k s m g. Heraf kan k estemmes. Husk at måle strækningen i meter g massen i kg, hvrmed k måles i N/m. Lav - målinger med frskellige masser g estem gennemsnitsværdien af de fundne k-værdier. Dette gennemsnit ruges sm k i det følgende. ) Hæng et ld med en kendt masse m på fjederen, træk det en smule ned under ligevægtspunktet, start stpuret når lddet er højest ppe, g mål f.eks. 0 svingninger, hvrefter svingningstiden T kan estemmes. Sammenlign denne værdi med den teretiske værdi fundet v.hj.a. frmlen i eksempel 4. g kmmentér resultatet. Eksempel 4.. Når et legeme udfører en peridisk evægelse (sm f.eks. lddet i fjederen fra eksempel 4., eller enden af m-vippen i en svømmehal umiddelart efter et udspring), så vil evægelsen efterhånden phøre, idet den dæmpes af frskellige kræfter. Man kan evise (se gen: Differentialligninger g matematiske mdeller ), at udsvinget s(t) til tiden t pfylder følgende ligning: τ t s(t) e m s sin( ω t) max hvr τ er dæmpningsfaktren, m er legemets masse, s max er det maksimale udsving der ville være, hvis evægelsen ikke var dæmpet, g ω er en størrelse, der kaldes vinkelhastigheden fr evægelsen. k Hvis evægelsen ikke var dæmpet, ville vi sm i eksempel 4. have, at ω, men p.gr.a. m τ 4km m dæmpningen liver ω. (Bemærk, at de t udtryk liver ens, hvis τ 0). τ t Da τ g m er psitive, har vi, at: e m 0 fr t g da sin(ω t) svinger imellem g får vi i alt, at : s(t) 0 fr t i verensstemmelse med det serverede. På nedenstående figur 4. (se næste side) er vist en mulig graf fr s(t). På den samme figur er der t stiplet indtegnet de t egrænsningskurver O(t) e τ m s max g N(t) t e m s max fr svingningen, der danner hhv. den øvre g den nedre grænse fr svingningen g dermed eskriver dæmpningen. τ Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

51 - 5 - Fig. 4. Eksempel 4.4. Når et øre pfanger lyden af en tne, så påvirkes trmmehinden i virkeligheden af ngle ganske små trykvariatiner i luften (sm sætter trmmehinden i svingninger). Disse trykvariatiner udredes fra lydgiveren med den pågældende tnes frekvens (dvs. med et estemt antal svingninger pr. sekund). Hvis man f.eks. hører den såkaldte kammertne a, så svarer dette til en frekvens på 440 svingninger pr. sekund. (Man siger krt: 440 Hz, hvr enheden Hz læses Hertz ). 440 at 440 π 880π. Vi ser således, at: p(t) p max sin(880π t). Trykvariatinen p(t) ved trmmehinden kan fr en ren tne med en given frekvens g styrke eskrives ved en harmnisk funktin af typen: p(t) p max sin( t), hvr er en knstant, t er tiden g p max er amplituden (dvs. det maksimale trykudsving på stedet). Størrelsen afhænger af frekvensen. Og vi skal nu argumentere fr, at 880π, når vi ser på den vennævnte tne a med frekvensen 440 Hz: De 440 svingninger pr. sekund svarer til en svingningstid på sekund. Da sinus er peridisk 440 med periden π, g da vi er tilage i samme situatin igen efter en svingning (dvs. efter se- 440 kund), må vi i udtrykket p(t) p max sin( t) frlange, at: ( t + ) t + π Hvis frekvensen er f Hz (i stedet fr de 440 Hz), så får vi på samme måde (vervej!), at: p(t) p max sin(π f t), hvraf vi finder, Lydintensiteten (lydstyrken), dvs. hvr kraftig tnen er, afhænger af amplituden p max. Lydintensiteten I svarer til den lydenergi, sm pr. sekund passerer en flade på arealenhed anragt vinkelret på lydens udredelsesretning. Man kan evise, at I k p max, hvr k er en knstant. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

52 Eksempel 4.5. Lydølger g andre frmer fr ølger har den egenska, at hvis t (eller flere) frskellige ølgesystemer mødes i et givet punkt, så vil dette punkts udsving (her: trykvariatin) være summen af de udsving, sm hvert af ølgesystemerne alene ville fremringe i punktet (regnet med frtegn). Dette fænmen kaldes interferens. Vi vil prøve at undersøge den situatin, der pstår, når man skal stemme en guitar, en as, et klaver eller lign. Hvis t strenge slås an samtidig, g frekvenserne af de pågældende tner ikke er helt ens men dg næsten ens så høres én tne, sm varierer peridisk i styrke. Dette fænmen kaldes svævninger eller stødtner. Vi kan frklare det på følgende måde: Hvis de t tner har frekvenserne f g f, g hvis de t strenge slås lige kraftigt an, så vil trykvariatinen p(t) ved ørets trmmehinde kunne eskrives ved (jfr. eksempel 4.4): p(t) p (t) + p (t) p max sin(π f t) + p max sin(π f t) p max (sin(π f t) + sin(π f t)) x + y x y Ved anvendelse af frmlen: sin x + sin y sin cs (Nr.6 i sætning.0) får vi: π (f f ) t π(f + f ) t p(t) p cs sin max Hvis vi f.eks. har, at f 800 Hz g f 799 Hz, så er: hvr p(t) p cs( π t) sin( π 799,5 t) max a(t) p cs( π t) a(t) sin( π 799,5 t) max. Vi ser således, at vi kan etragte den resulterende lydølge sm en lydølge med frekvensen 799,5 Hz, hvis amplitude g dermed styrke varierer med tiden. På figur 4. er grafen fr p(t) skitseret (uden krdinatsystem). Bemærk variatinen i amplituden. Fig. 4. På figur 4.4 (se næste side) er grafen fr p(t) gså skitseret, men nu i et krdinatsystem, g med grafen fr funktinen a(t) p cs( max π t) (g fr a(t)) indtegnet sm ramme m grafen fr p(t). Af tegnetekniske årsager er der ikke vist så mange svingninger inden i hver ule. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

53 Fig. 4.4 Da lydintensiteten er prprtinal med kvadratet på amplituden, vil tnen lyde kraftigst, hver gang a(t) enten er maksimal eller minimal (dvs. hver gang a(t) er enten lig med p max eller p max ). Idet leddet cs( π t) varierer med frekvensen Hz, ser vi, at frekvensen fr en kraftig tne er Hz, dvs. lydstyrken svinger med frekvensen Hz. (Jfr. figur 4.4). I almindelighed ser vi, at hvis f f + f, hvr frskellen f er lille, så har vi: f f p(t) p max csπ t sinπ (f + ) t Idet lydintensiteten svinger med den delte frekvens af amplituden, får vi altså, at: Stødenes frekvens er lig med f, dvs. frskellen mellem de t tners frekvenser. Når vi derfr er ved at stemme guitaren, så skal vi dreje på stemmeskruen således, at stødenes frekvens liver mindre g mindre, dvs. der skal gå længere tid imellem hver stødtne. De pågældende strenge stemmer først sammen, når stødene er helt væk. Øvelse 4.6. Lav et frsøg til demnstratin af indhldet i eksempel 4.5 f.eks. med t tnegeneratrer, t højtalere g t frekvenstællere, eller med t ens stemmegafler, hvr der på den ene fastspændes et lille ld, sm nedsætter frekvensen en smule, men sm kan frskydes nedad md et knudepunkt på stemmegaflen, så de t frekvenser kmmer tættere g tættere på hinanden. Eksempel 4.7. Hvis vinden har læst fra samme verdenshjørne i et stykke tid med en ikke alt fr str styrke, så kan havølgerne med gd tilnærmelse eskrives ved en harmnisk funktin. Lad s etragte ngle ølger, sm er 0,8 m høje (dvs. afstanden fra und til tp er 0,8 m), g hvr afstanden mellem t på hinanden følgende ølgetppe er 4m. (Denne afstand kaldes ølgelængden). Hvis vi indlægger en x-akse parallelt med ølgernes udredelsesretning, så ser ølgen ud sm skitseret på figur 4.5 (Se næste side): Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

54 x Fig. 4.5 Lad s antage, at ølgerne udreder sig med hastigheden 0,5 m/s (meter pr. sekund). Dette fregår ved, at hele ølgesystemet skues sm antydet på figur 4.6: Fig. 4.6 Hvis vi derfr etragter en øje, sm er anragt i nulpunktet, så vil denne evæge sig p g ned med en svingningstid på 8 sekunder, idet der er 4 m imellem hver ølgetp, g disse evæger sig af sted med 0,5 m pr. sekund, så det tager 8 sekunder fra en ølgetp møder øjen til den næste ølgetp møder øjen. Da ølgernes højde er 0,8 m, så kan øjens højde y ver gennemsnitshøjden (svarende til x- aksen på figuren) eskrives ved: y(t) 0,4 sin( t + c), hvr g c er knstanter. Hvis vi fr nemhed skyld sætter t 0, når øjen er i ligevægtsstillingen på vej pad, så liver c 0. Værdien af knstanten kan findes på følgende måde: Da sinus er peridisk med periden π, g da det tager 8 sekunder fra øjen er i en ølgetp til den igen er i en ølgetp, skal pfylde, at π (t + 8) t + π g dermed: 8 π Bøjens højde ver x-aksen kan dermed eskrives ved: y(t) 0,4 sin t. 8 Hvis vi etragter et andet fast punkt på x-aksen f.eks. hvis vi etragter et markeringsflag fr en ruse i punktet x så ser vi, at gså dette punkt evæger sig p g ned med en svingningstid på 8 sekunder. Men da flagets højde ikke nødvendigvis er 0 til tiden 0, kan vi ikke direkte anvende udtrykket y 0,4 sin t til at eskrive flagets højde ver x-aksen. Vi kan imidlertid regne ud, π 8 x at da ølgen evæger sig med hastigheden 0,5 m/s, så har ølgen været sekunder m at evæge 0,5 sig fra øjen g hen til flaget, dvs. flaget til tidspunktet t vil have samme udsving, sm øjen havde x π x sekunder tidligere. Vi kan derfr eskrive flagets udsving ved: y 0,4 sin (t ). 0,5 8 0,5 I almindelighed ser vi således, at udsvinget y i et vilkårligt punkt x til tiden t er givet ved: π x y 0,4 sin (t ) 8 0,5 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

55 Hvis amplituden i svingningen ikke er 0,4 m, men y max m, hvis svingningstiden ikke er 8 sek., men T sek., g hvis ølgernes udredelseshastighed ikke er 0,5 m/s, men v m/s, så er udsvinget i et punkt x til tiden t givet ved: π x y y max sin (t ) T v Bemærk, at udsvinget altså åde er en funktin af tiden t g af stedet x. Hvis vi ser på et estemt sted g dermed en estemt x værdi får vi sm mtalt venfr en svingning i dette punkt eskrevet ved de venfr angivne frmler y(t) y max sin( t + c). Hvis vi derimd ser på et estemt tidspunkt t, så får vi, at y sm funktin af x ser således ud: π x π x y 0,4 sin (t ) eller generelt: y y max sin (t ) 8 0,5 T v Vi ser dermed, at y sm funktin af x til det givne tidspunkt er givet på frmen: y(x) y max sin( d x + q) hvr d g q er knstanter. Dette svarer altså til, at et øjeliksillede af hele ølgesystemet vil være eskrevet ved den anførte sinus-funktin. Og dette stemmer fint verens med figur 4.5 g 4.6. Eksempel 4.8. I eksempel 4.7 undersøgte vi havølger g gjrde rede fr, at hvis ølgens amplitude er A (i eksempel 4.7 lev den kaldt y max ), hvis dens svingningstid er T g dens udredelseshastighed er v, så kan ølgens udsving y fra ligevægtspsitinen (svarende til x-aksen) eskrives ved: π x y A sin (t ) T v π Hvis vi specielt vil undersøge udsvinget i et estemt punkt (f.eks. x 0), så får vi: y A sin t T I praksis frhlder det sig imidlertid fte således, at ikke alle ølger er lige høje. Der kan frekmme ngle særligt høje ølger efterfulgt af ngle mindre. Dette fænmen kan frklares ved egreet interferens mellem t frskellige ølgesystemer med frskellig svingningstid. (Jfr. tilsvarende fr lydølger mtalt i eksempel 4.5). Ved interferens sker der det, at når t ølgesystemer mødes i et give punkt, så vil udsvinget af dette punkt være summen af de udsving, sm hvert af ølgesystemerne ville fremringe i punktet (regnet med frtegn). Dette sker gså, når t frskellige ølgesystemer evæger sig af sted i samme retning (eller strt set samme retning), hvilket fte kan være tilfældet ved havet, idet udløere af et ølgesystem fra et sted ude på havet kan mødes med et ølgesystem etaleret på et andet sted på havet. Hvis vi således etragter t ølgesystemer med frskellig svingningstid T g T, så vil vi fr det samlede udsving y(t) få: y(t) y (t) + y (t) π π A sin t + T A sin t T hvr vi vil fr nemheds skyld har antaget, at de t ølgesystemer har samme amplitude A. Lad s f.eks. prøve at se på 6 m høje ølger med T 6 sek. g T 0 sek. Vi får da: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

56 π π y(t) sin t + sin t 6 0 På figur 4.7 ses hvert af de t ølgesystemers udsving i det pågældende punkt. y (t) er fuldt ptrukket g y (t) er stiplet Fig. 4.7 På figur 4.8 ses summen af de t ølgesystemer, dvs. det samlede resultat (udsving) y(t): Fig. 4.8 Vi emærker, at smme tider frstærker ølgerne hinanden, hvrved det givne punkt får et strt udsving, medens ølgerne til andre tider svækker hinanden helt i verensstemmelse med, hvad man kan servere. Øvelse 4.9. Find efter samme princip sm lev anvendt i eksempel 4.5 et udtryk fr summen y(t) af de t interfererende ølger i eksempel 4.8 g kmmentér resultatet, l.a. v.hj.a. figur 4.8. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

57 Øvelse 4.0. Lav (v.hj.a. et graftegningsprgram) grafen fr summen af de t interfererende ølger fra eksempel 4.8, hvis amplituden ikke er ens, men f.eks. m fr y (t) g m fr y (t). Prøv med andre amplitudestørrelser g kmmentér resultaterne. Paralide sm reflektr: Eksempel 4. En paralide fremkmmer, hvis en (del af en) parael drejes rumligt 80 mkring sin symmetriakse (Se figur 4.9 a) g )). a) ) Fig. 4.9 Vi skal i dette eksempel evise, at en paralide har følgende egenska: Hvis man knstruerer f.eks. et hulspejl eller en antenne med frm sm en paralide, så vil elektrmagnetisk stråling (lys, radisignaler sv.), sm sendes ind parallelt med aksen, efter refleksin (tilagekastning) i paraliden samles i et estemt punkt på symmetriaksen det såkaldte rændpunkt. Dette anvendes f.eks. ved astrnmiske servatiner, idet stjernerne er så langt væk, at lysstrålerne derfra kan etragtes sm parallelle; g ved at samle sådanne lysstråler i rændpunktet g anringe en såkaldt sensr dér fås en kraftigt frstærket servatin. Princippet anvendes gså den mdsatte vej, idet man ved at anringe en glødelampe med glødetråden placeret i rændpunktet af en paralidefrmet reflektr kan få udnyttet al lysenergien fra glødetråden g få den sendt i en estemt retning nemlig langs paralidens symmetriakse. Dette princip anvendes i lmmelygter, illygter, prjektører mm. Inden vi går i gang med at argumentere fr det vennævnte, skal vi først repetere en regel fra fysikken, der siger, at hvis en lysstråle rammer en reflektr (f.eks. et spejl), så vil den live tilagekastet i en vinkel, sm er lige så str sm den indkmmende stråles vinkel med verfladen dvs. indfaldsvinkel udfaldsvinkel (se figur 4.0 a) på næste side). Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

58 Dette princip gælder gså, selvm den reflekterende verflade ikke er plan, men derimd har diverse krumninger. I dette tilfælde estemmes de mtalte indfalds- g udfaldsvinkler sm vinklen mellem strålen g tangenten til verfladen i det punkt, hvr strålen rammer (se figur 4.0 )). u tangent i u i a) ) Fig. 4.0 Bevis: Bemærk først, at det i den givne situatin er nk at se på paralen g ikke paraliden, idet den indkmmende stråle g den reflekterede stråle af symmetri-årsager vil ligge i samme plan. Og denne plan vælges sm grundlag fr de følgende eregninger. (Der indlægges et krdinatsystem i planen med nulpunkt i paralens tppunkt g med.aksen sm symmetriakse). Betragt paralen med ligningen y a x, hvr a>0. Da.aksen er symmetriakse fr denne parael, ser vi på stråler (linier), sm kmmer ldret ned md paralen, g skal evise, at de efter refleksinen i paralen går igennem det samme punkt på.aksen. Dette gøres ved at evise, at skæringspunktet med.aksen fr en given reflekteret stråle ikke afhænger af, hvr den rammer paralen før refleksinen, dvs. (se figur 4. a) på næste side) at linien l, der svarer til den reflekterede stråle, går igennem et punkt på.aksen, sm ikke afhænger af værdien x, hvr strålen kmmer ind. Først findes ligningen fr tangenten i punktet (x,y ) til grafen fr y ax : Da y ax g da y ax får vi følgende ligning fr tangenten: y ax (x x ) + ax, hvilket mskrives til: y ax x ax. Hvis vi lader denne tangents vinkel med førsteaksen hedde w, så får vi, at hældningskefficienten fr tangenten er tan w, dvs. tan w ax Hældningskefficienten fr den reflekterede stråle, dvs. fr linien l, er givet ved: tan u, hvr u er l s vinkel med førsteaksen (se figur 4. )). Vi vil nu finde et udtryk fr tan u, sm kan anvendes i frmlen fr liniens ligning fr l. Lad P, A, B g C være de på figur 4. a) g ) angivne punkter, g lad v være vinklen mellem den indkmmende stråle g tangenten til paralen (se figur 4. a)). Ifølge reglen m indfaldsvinkel udfaldsvinkel har vinklen mellem tangenten g l gså størrelsen v. I trekant APB er de tre vinkler altså givet ved: u, v g 80-w, hvrmed u + v + 80 w 80, idet vinkelsummen i en trekant er 80. Vi ser hermed, at: u w v. Vi får rug fr at kende tan w g tan v. Og vi ved allerede, at tan w ax. Da v ( BPC) g w er de mdstående vinkler i den retvinklede trekant BCP, ser vi, at tan v tan w ax Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

59 - 6 - tangent tangent v v P (x, y ) l v v v P l w A B C u 80 - w w A B C a) ) Fig. 4. (Dette udtryk fr tanv kan gså findes ud fra trekant BCP v.hj.a. frmlen: BC x tan v (Detaljerne verlades til læseren)). CP ax ax Ifølge mskrivningsfrmlen fr tangens til en differens får vi, at: ax tan w tan v ax tan u tan(w v) ax + tan w tan v + 4ax 4a x 4ax Vi ser hermed, at linien l har ligningen: y tanu (x x ) + ax hvr er givet ved: 4a x (x x ) + ax, dvs. y 4ax 4a x x +, 4ax 4a x x 4ax + ax 4a x + x 4ax + 4a x x 4ax 4a Vi ser hermed, at l s skæringspunkt med andenaksen, dvs., er uafhængig af x, dvs. af hvr den indkmmende stråle rammer paralen. Hermed er det ønskede evist. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

60 - 6 - Bemærk, at rændpunktets placering på symmetriaksen er givet ved, at afstanden fra paralens tppunkt til rændpunktet er, når paralens ligning er y ax. Dette kan ruges til knstruktinen 4a af det apparat, man vil ygge på aggrund af den venstående teri (et hulspejl, en antenne, en prjektør, sv.). Hvis man f.eks. ønsker, at rændpunktet skal være,5 m fra paralidens tppunkt, så knstrueres en paralide på aggrund af paralen med ligningen: y 6 x (regn efter!), hvr x g y måles i meter. På den nedenstående figur 4. ses illeder af et af verdens kraftigste raditeleskper (det er 0 m i diameter). Det registrerende apparatur i rændpunktet ses tydeligt. 0m Telescpe Lma de Dilar, Sierra Nevada, Granada, Spain Kilde: IRAM, Pic Veleta Oservatry Ministeri de Fment, España a) ) Fig. 4. Svingninger g differentialregning. Eksempel 4.. I eksempel 4. mtalte vi, at et ld, sm hænger i en fjeder, vil svinge p g ned i en evægelse, der kan eskrives på følgende måde (den såkaldte stedfunktin): k s(t) s max sin t m Vi vil nu vise, at dette udtryk passer ind i Newtns. lv, der er en fysikkens grundsætninger. Newtns. lv siger, at den resulterende kraft F på et legeme er lig med legemets masse m gange med dets acceleratin a, dvs. F m a. Ved den resulterende kraft frstås summen af alle kræfter, der virker på legemet, hvr kræfterne regnes med frtegn afhængig af hvilken retning de virker i. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

61 - 6 - Og acceleratinen a er givet ved den delt afledede af stedfunktinen, dvs. a(t) s (t ) (idet acceleratinen er differentialkvtienten af hastigheden v i evægelsen, g hastigheden er differentialkvtienten af stedfunktinen fr evægelsen). Newtns. lv kan altså skrives sm: F m s eller mere præcist: F(t) m s (t ), idet acceleratinens g kraftens størrelse afhænger af tiden (dvs. af hvr lddet er i evægelsen). Den resulterende kraft stammer fra tyngdekraften på lddet g fra fjederens træk (kraft) i lddet. Når lddet hænger i ligevægtsstillingen, så er tyngdekraften g den aktuelle fjederkraft lige stre, men mdsat rettede, g de phæver derfr hinanden. (Dette er årsagen til, at lddet kan hænge stille i ligevægtsstillingen. Jfr. øvelse 4.). Men hvis fjederen strækkes yderligere, så vil fjederkraften verstige tyngdekraften, hvrmed den resulterende kraft på lddet liver lig med denne ekstra fjederkraft. Og den er ifølge Hkes lv netp givet ved: F F fj,extra k s, hvr s er frskydningen udver ligevægtspsitinen g k er fjederknstanten. Minusset er medtaget, idet kraftens retning skal tages med i etragtningerne. Og den resulterende kraft, dvs. den ekstra fjederkraft, peger (virker) pad i psitiv retning, når s er negativ (dvs. når lddet efinder sig under ligevægtsstillingen) g mvendt. (Hkes lv kan nemt eftervises ved i frsøget i øvelse 4. a) at hænge frskellige, ekstra ldder på, g så måle, hvr langt fjederen strækker sig. Den ekstra fjederkraft svarer da til tyngdekraften på de ekstra ldder). I alt har vi nu fundet frem til, at der må gælde: m s (t ) k s(t). k Vi skal nu kntrllere, at s(t) s max sin t passer i denne ligning. Vi har her, at: m m s (t ) k m s max sin t m k k m s max cs t m m s m max m s k s(t) max k m sin k m k m sin hvrmed det ønskede er pnået. k Man kan faktisk evise, at funktiner af typen s(t) s max sin t + c, hvr c er en knstant, m er de eneste mulige løsninger til ligningen m s (t ) k s(t). Dette evis ligger udenfr rammerne af denne g, men sm gså mtalt i eksempel 4. kan det ses i gen: Differentialligninger g matematiske mdeller. t k m t k m Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

62 Optimering: Eksempel 4.. En virksmhed prducerer kræmmerhuse af aluminium, idet en cirkulær plade med radius s snittes p indtil centrum langs en diameter, hvrefter pladen fldes til et kræmmerhus. Fig. 4. Da kræmmerhusene skal ruges til en tragt, er man interesseret i at flde dem på en sådan måde, at rumfanget liver størst muligt. Vi vil nu estemme den åningsvinkel, sm giver kræmmerhuset det største rumfang. Vi må derfr først estemme rumfanget sm funktin af vinklen. Rumfanget af en kegle sm et kræmmerhus kaldes i matematik er givet ved: R G er grundfladens areal g h er højden (se figur 4.4 a)) G h, hvr Fig. 4.4 h Vi har: G π r g cs v s hvr r er radius i grundfladen g v er den halve åningsvinkel (se figur 4.4 ) g c)). Der gælder således: R π s cs v Ifølge figur 4.4 c) har vi gså: r r sin v, hvrmed vi i alt får: R(v) π s sin v cs v s Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

63 π hvr v ] 0; [ (vervej denne egrænsning på v g emærk, at v regnes i radianer/tal). Vi finder herefter: dr(v) πs (sin v cs v) dv π s (sin v cs v cs v + sin v ( sin v)) π s (sin v cs v sin v) Heraf får vi: dr(v) dv 0 sin v cs v sin v 0 sin v cs cs v sin v cs v tan v tan v v sin π hvr vi har rugt, at v ] 0; [ π tan har i intervallet v ] 0; [ Ligningen v v sin v kun én løsning: v 0,955 Frtegnsvariatinen fr R (v) estemmes herefter til at være følgende (kntrllér!!): Fig. 4.5 Vi ser hermed (vervej!), at R(v) har maksimum i v 0,955, dvs. i v 54,74. Den søgte åningsvinkel er således: 09,48. Når aluminiumsfladen fldes, så denne vinkel fremkmmer, vil der være en temmelig str verlapningsflade i kræmmerhuset (se figur 4. )). Man kan derfr med frdel skære nget af denne rt g dernæst efter msmeltning ruge det rtskårne til tragtens studs (tragtens rør) (se figur 4.6). Fig. 4.6 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

64 Der rtskæres naturligvis gså en lille smule aluminium i tppen af keglen (der hvr røret mnteres). Men dette svarer frmdentlig til det svind, sm der altid vil være i frindelse med en msmeltning mm. Når man i praksis står med den cirkulære aluminiumsplade med radius s g skal skære et stykke af denne før den fldes, så har man mere rug fr at vide, hvilken vinkel w det rtskårne mråde danner end hvad den endelige vinkel v efter fldningen liver. Vi vil derfr nu estemme vinkelen w fr det rtskårne mråde. Omkredsen i den fldede kegles grundflade er: πr (se figur 4.4), g denne længde er samtidig lig med uen på den udskårne plade (vervej se figur 4.7). Da vi har (jfr. venfr), at r s sin v ses i alt, at: s sin v π Fig. 4.7 Da hele mkredsen af aluminiumspladen (før udskæring) er: πs, ser vi, at uelængden af det udskårne er: π s πs sin v πs ( sin v). Ifølge sætning. er uelængden af det udskårne gså givet ved: w s (idet vi måler åde v g w i radianer), hvrmed vi får: ws π s ( sin v), dvs. w π ( sin v). I det knkrete tilfælde, hvr v 0,955, får vi: w,54 radianer. Hvis vi vil finde w i grader (hvilket nk vil være nemmest i praksis), skal vi ifølge sætning.4 gange med 80 80, altså: w π ( sin v ) π π dvs. w 60 ( sin v) I det knkrete tilfælde får vi (kntrllér), at w 66,. (Og sm mtalt er dette en nget mere peratinel infrmatin end at vide, at åningsvinklen i kræmmerhuset skal være 09,48 ) w s Øvelse 4.4. En cirkelskive af aluminium har en radius på 4 cm, g den ruges til at lave en keglefrmet tragt med maksimalt pnåeligt rumfang. a) Bestem mkredsen i grundfladen fr den kegle, sm fremkmmer ved fldning af tragten. ) Bestem rumfanget af tragten. c) Bestem længden af cirkeluen fr det cirkeludsnit, der rtskæres (idet der fasthldes en verlapningsflade med en redde på,8 cm). d) Bestem arealet af det stykke, der rtskæres. (Overlapningsfladen kan regnes sm et rektangel med redden,8 cm g længden 4 cm). e) Vi frstiller s, at det rtskårne metal ruges til at lave en cylinderfrmet studs til tragten, idet det rtskårne metal msmeltes g genanvendes. Studsen har samme tykkelse sm tragten, dens diameter er cm, g der er et svind på % ved msmeltningsprcessen. Hvr lang liver studsen? Regnuer Eksempel 4.5. Regnuer er et af naturens på en gang esynderlige g smukke fænmener (se figur 4.8 øverst på næste side). Vi vil i dette eksempel frklare, hvrdan regnuen pstår. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

65 Kilde: Astrpht Fig. 4.8 På illedet ses såvel tydeligt den almindelige (den primære) regnue sm den såkaldte sekundære regnue. Vi vil i det følgende kun eskæftige s med den primære regnue (rtset fra en afsluttende kmmentar). Vi starter med at se på egreerne hvidt lys g spektrum. Hvidt lys er f.eks. lys fra en almindelig elektrisk pære (en såkaldt glødelampe) eller lys fra slen. Vi ser det sm hvidt lys p.gr.a. den måde vres øje fungerer på, men i virkeligheden er der tale m et såkaldt spektrum af lys med frskellige farver. Dette kan man se ved at sende hvidt lys igennem et såkaldt ptisk gitter eller gennem et trekantet glasprisme (se figur 4.9 a)). Her pløses (pdeles) det hvide lys i sine estanddele de frskellige farver, dvs. lys med frskellig ølgelængde, 70 nm 400nm a) Fig. 4.9 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller )

66 hvrved der fremkmmer et spektrum (se figur 4.9 a) g )). Bølgelængden fr det synlige lys 9 ligger imellem ca. 400 nm (vilet) g ca. 70 nm (rødt), hvr enheden nm (nanmeter) er lig 0 m Der er altså ingen estemt ølgelængde, der svarer til hvidt lys. Det hvide lys fremkmmer sm øjets reaktin på at mdtage de mange frskellige ølgelængder på én gang. Årsagen til, at prismet kan pløse det hvide lys i dets frskellige estanddele (farver), skal søges i egreet rydning, samt i at lys med de frskellige ølgelængder har frskellige hastigheder i glas: Lysets rydning er mtalt i pgave M.5 i pgavesamlingen. I pgaven ses på såkaldt mnkrmatisk lys (dvs. lys med en estemt ølgelængde) g der mtales den såkaldte rydningslv: sin i sin v v medie medie hvr i g er hhv. indfaldsvinklen g rydningsvinklen (se figuren i pgaven), g hvr v medie hhv. v medie er hastigheden af det givne mnkrmatiske lys i det medie, hvr lyset kmmer fra hhv. går ind i. (I det knkrete eksempel i pgaven er de t medier luft g glas). Bemærk i øvrigt, at hvis vi vender lyset g sender det fra glasset p md luften, så indfaldsvinklen svarer til fra før, så vil rydningsvinklen svare til i fra før, dvs. lyset vil følge den samme ane. (Overvej dette nærmere!!). Der gælder nu, at hastigheden fr lys med frskellige ølgelængder er den samme, når lyset evæger sig i vakuum, samt at de fr ethvert praktisk frmål gså er ens i luften. Men når lyset evæger sig i f.eks. glas eller vand, er hastighederne fr lys med de frskellige ølgelængder så tilstrækkeligt frskellige, at det har en etydning, l.a. fr hvrdan lyset rydes. På figur 4.0 ses t lysstråler med hver sin farve (hver sin ølgelængde), sm sendes i samme retning fra luften ned md glasset. De har derfr samme indfaldsvinkel, men da de har frskellig hastighed nede i glasset, hvrimd hastigheden i luften er den samme, får de frskellige rydningsvinkler (jfr. rydningslven venfr. Det verlades til læseren at argumentere fr, at den farve der har den største hastighed i glasset, får den største rydningsvinkel g dermed den mindste retningsændring). Luft Glas Fig. 4.0 Hvis vi sender hvidt lys ind imd glasverfladen, så vil der p.gr.a. de frskellige farvers frskellige hastighed i glasset kmme alle mulige rydningsvinkler (inden fr visse grænser) g dermed pstår spektret. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

67 Tilsvarende vil ske, hvis lyset går fra luft g ind i vand eller i et andet gennemtrængeligt materiale. Til at eskrive g regne med disse frhld g størrelser anvendes fte egreet: rydningsindeks. Brydningsindekset n fr en given farve (ølgelængde), når lyset går fra medie ind i medie, defineres sm: n v medie v medie Hvis medie specielt er vakuum (eller luften), så er v medie c, hvr c km/s, g denne c hastighed er altså ens fr alle farver. I dette tilfælde liver rydningsindekset n givet ved: n, v hvr v er den givne farves hastighed i medie. Brydningslven får herefter følgende udseende: sin i sin Brydningsindekset fr vand er ca.,4, hvrmed lysets hastighed i vand er ca..880 km/s, hvrimd rydningsindekset fr glas er ca.,5, hvrmed lysets hastighed i glas er ca km/s. (Kntrllér!). Men sm mtalt er der en lille frskel på de enkelte farvers hastighed i det givne medie, hvilket giver sig udslag i en lille frskel i værdien af rydningsindekset fr de frskellige farver. F.eks. er rydningsindekset fr vilet lys (400 nm) i vand lig med:,45 medens den fr rødt lys (700 nm) er,0. Dette viser sig at få afgørende etydning fr frståelsen af regnuen, ligesm det havde etydning fr spektret mtalt venfr. Det skal nu fremhæves, at når lys rammer en given verflade, f.eks. en vand- eller en glasverflade, så vil nget af lyset rydes ind i mediet under verfladen, medens en del af det vil live reflekteret (tilagekastet) fra verfladen, sm vist på figur 4.. n i r Fig. 4. Hvr str en del af lysmængden, der rydes hhv. reflekteres afhænger af en lang række faktrer, sm vi ikke skal kmme ind på her. Men det skal emærkes, at medens den rudte del af lysstrålen adlyder rydningslven, så vil der fr den reflekterede del af lysstrålen gælde, at indfaldsvinklen i er lig med refleksinsvinklen r. Dette gælder i øvrigt gså, hvis lysstrålen rammer en krum verflade. Så estemmes indfaldsvinklen g refleksinsvinklen lt ud fra nrmalen til tangenten i det punkt, hvr strålen rammer. (Jfr. en tilsvarende prlemstilling i eksempel 4., figur 4.0, hvr de mtalte vinkler dg er defineret på en lidt anden måde). Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

68 Når det regner, er der tale m millinvis af små vanddråer, der falder ned fra skyerne g dermed danner et dråefyldt rum mellem skyen g jrdverfladen. Når slen så (fra et hul i skyerne et andet sted) skinner ind på alle disse dråer, rydes g reflekteres lyset i dråerne, g regnuen pstår. Fr at frstå dette ser vi først på lys med en given ølgelængde, der rammer en enkelt dråe. Sigtelinien fra iagttageren g p til denne dråes centrum skærer den slstråle-linie, sm går igennem den samme dråes centrum. Sådanne t linier i rummet, sm skærer hinanden, fastlægger en estemt plan i rummet (nemlig planen, der indehlder de t linier vervej dette!) Vi siger, at de t skærende linier udspænder en plan i rummet. Vi ser altså på planen udspændt af sigtelinien g slstråle-linien gennem den givne dråens centrum. Og idet vi kan antage, at dråen er kuglefrmet, vil denne plan skære dråen i en cirkel med samme radius sm dråen. På figur 4. ser vi planen, cirklen g en stråle, sm frløer i denne plan. (Den mtalte plan svarer altså til den plan, figur 4. er tegnet i). Vi ser nu kun på lys, hvis stråler (ca.) ligger i denne plan g rammer denne cirkel, idet lysstråler, der ikke frløer i denne plan, spredes i alle mulige retninger g derfr ikke idrager til den regnue, sm iagttageren ser. (Bemærk, at det hermed kun er en del af det sllys, der rammer dråen, sm medvirker til at danne regnuen). Når lyset rammer dråens verflade i et givet punkt på cirklen, så vil nget af lyset live rudt ind i dråen, medens nget af lyset reflekteres. Vi ser på den del, der rydes ind i dråen. Når dette rudte lys rammer verfladen (fra dråen ud md luften) vil nget af lyset live rudt ud gennem verfladen, g nget af lyset vil live reflekteret. Vi ser på den del, der reflekteres. Når dette reflekterede lys rammer verfladen (fra dråen g ud md luften) et andet sted, vil nget af lyset live rudt ud gennem verfladen, g nget af lyset reflekteres. Vi ser på den del, der rydes ud af dråen. Bemærk, at der altså her alt i alt er tale m en yderligere reduktin af den lysmængde, der kan medvirke til at danne regnuen fr iagttageren. Det er en stråle i den eskrevne del af lyset, hvis ane vi ser på figur 4.. Desuden er der angivet den vinkel d, der er imellem den indgående g den udgående stråle. Den kalder vi drejningsvinklen. d H Fig. 4. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

69 - 7 - Strålens ane afhænger af: hvr på cirklen (på verfladen af dråen) strålen rammer, g dermed hvilken vinkel (indfaldsvinkel) den rammer med, samt hvilken rydningsvinkel, den får, hvilket gså estemmes af hvilken farve (hvilket rydningsindeks) den har Bemærk, at slens stråler er parallelle, når de rammer dråen frskellige steder på verfladen, hvrmed der ptræder alle mulige indfaldsvinkler i intervallet fra 0 til 90. (Se figur 4., hvr indfaldsvinklen er vist v.hj.a. tangenten g nrmalen til tangenten i et givet punkt på verfladen, hvr strålen rammer). Der er dermed tilsvarende frskellige aner igennem dråen, g dertil hørende drejningsvinkler. (Læseren pfrdres til at prøve at tegne ngle stråleaner, svarende til frskellige indgangspunkter på dråens verflade g dermed til frskellige indfaldsvinkler). Vi vil nu pstille en generel frmel fr drejningsvinklen d sm funktin af indfaldsvinklen i, fr dermed at se, i hvilket mråde alle disse stråler findes, herunder hvilke egrænsninger der er på d. i P C R d S Q i H Fig. 4. Vi starter med at argumentere fr, at de fire anførte vinkler med værdien faktisk er lige stre: I CPR er der tale m t vinkler ved grundlinien i en ligeenet trekant (vervej!), g de er sm ekendt lige stre. Ved punktet R er de t vinkler lige stre på grund af refleksinen (indfaldsvinklen er lig refleksinsvinklen). Og i CRQ er der igen tale m t vinkler ved grundlinien i en ligeenet trekant. Dernæst ses, at de t vinkler markeret med værdien i faktisk er lige stre, idet indfaldsvinklen ved rydningen ved punktet Q (hvr strålen går fra dråen g ud i luften) er lige så str sm rydningsvinklen ved punktet P. (Brydningen ved Q svarer altså til at vende strålen ved punktet P). Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

70 - 7 - Da vinkelsummen i en firkant er 60, er vinkel C i PCQR (firkant PCQR) lig med Da CPS i CQS (vervej!!), ser vi, at der i PCQS gælder, at: 60 d + i + (60 4), hvrmed vi får, at: d 4 i Ud fra rydningslven får vi: sin i sin i n sin i sin sin n sin n hvr den sidste mskrivning er lvlig, idet rydningsvinklen efinder sig i intervallet Vi ser altså dels, at er en funktin af i, dvs. vi kan skrive (i), dels at d er en funktin af i givet ved: sin i d(i) 4 sin i n Hvis vi angiver i g d i radianer, så får vi følgende grafer fr d(i), hvr den øverste svarer til rydningsindekset n,0 (rødt lys) g den nederste svarer til rydningsindekset n,45 (vilet lys): d(i) i Fig. 4.4 Vi ser, at der fr egge farver (rydningsindeks) er tale m, at d(i) har en maksimal værdi, at dette maksimum er frskelligt fr de t farver, samt at maksimum antages i lidt frskellige værdier af i. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

71 - 7 - Bestemmelse af (g eksistensen af) den maksimale drejningsvinkel, dvs. den maksimale værdi fr d(i), spiller en afgørende rlle fr frståelsen af regnuen (frklaring følger). Vi vil derfr nu gennemføre eregningen heraf g argumentatinen herfr. Da vi skal differentiere sinus, frtsætter vi med at arejde med vinklerne målt i radianer. Og fr at undgå at skulle differentiere funktinen sin finder vi differentialkvtienten af d(i) på følgende måde: Idet vi husker på, at åde g d er funktiner af i, kan udtrykket d 4 i skrives sm: hvrmed vi får: d(i) 4(i) i d (i) 4 (i) sin(i) Ud fra rydningslven får vi (vervej): n sin( i) n sin((i)) 0 sin((i)) Ved differentiatin af funktinen: sin( i) n sin((i)) får vi (ved anvendelse af l.a. reglen m differentiatin af en sammensat funktin), at: hvraf vi finder, at: cs( i) n cs((i)) (i) (i) cs(i) n cs((i)) cs(i) Hvis dette udtryk indsættes i frmlen fr d (i) får vi endelig: d (i) 4 n cs() 4 cs(i) n cs() hvilket kan mskrives (vervej) til: d (i) n cs() Når vi skal finde ekstremum, sætter vi d (i) 0, g ved hjælp af nulreglen fr en røk får vi dermed: d (i) 0 4 cs(i) n cs() 0 cs(i) n cs() Da åde i g ligger i intervallet [ ; ] s at kvadere på egge sider af lighedstegnet, hvrmed vi får: 0 0 π, er åde cs(i) 0 g cs() 0. Vi kan derfr tillade d (i) 0 cs(i) n cs() 4 cs (i) n cs () Ved anvendelse af frmlen: cs (x) + sin (x) kan det sidste udtryk mskrives således (vervej): 4 cs (i) n cs () 4 ( sin (i)) n ( sin ()) 4 4sin (i) n (n sin()) Da vi ifølge rydningslven har: sin(i) n sin() får vi herefter (vervej!): d (i) 0 4 4sin (i) n sin (i) 4 n sin (i) hvilket fører s til det endelige resultat: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

72 d (i) 0 4 n sin(i) i sin 4 n Vi ser altså, at der er netp én værdi af indfaldsvinklen i, hvr d (i) 0, g denne værdi afhænger af rydningsindekset n. (Jfr. figur 4.4). Vi har ikke evist, at der er tale m et maksimum i dette punkt, idet vi hertil skal estemme mntnifrhldene fr d(i). Vi skal da vise (vervej), at d (i) > 0 fr 4 n i < sin g d (i) < 0 fr 4 n i > sin Ved en mskrivning helt magen til den venfr gennemførte ved ligningen: d (i) 0 får vi: d (i) > 0 sin(i) < 4 n (detaljerne verlades til den interesserede læser). Da sin(i) er en vksende funktin fr i [ ; ] 0 π, g da den mvendte funktin til en vksende funktin er vksende (jfr. Appendix, sætning A..), ser vi at: d (i) > 0 4 n i < sin hvrmed det ønskede er pfyldt, dvs. d(i) har maximum i værdien: 4 n i sin. Vi går nu tilage til at se på vinklerne målt i grader. Fr den røde farve, hvr n,0, finder vi den maksimale drejningsvinkel på følgende måde: 4,0 i sin i 59,5849. Og ud fra rydningslven har vi sm tidligere nævnt, sin i sin(59,5849 ) at: sin, hvilket i denne situatin giver: sin n 40,46,0 Ved anvendelse af d 4 i får vi, at den maksimale drejningsvinkel svarende til n,0 er: d 4 40,46 59,5849 4,5 På samme måde er de maksimale drejningsvinkler i følgende tael udregnet (læseren pfrdres til at kntrllere mindst én af dem): Farve Brydningsindeks n Maksimal drejningsvinkel Rød,0 4,5 Orange,5 4,0 Gul-Grøn,6 4,64 Lyselå,9 4, Vilet,45 40,6 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

73 Lad s igen se på grafen fr d(i) fr et givet rydningsindeks (f.eks. den røde farve med n,0 sm på figur 4.4), hvr vi denne gang angiver vinklerne i g d(i) i grader (se figur 4.5). Sm vi kan se af taellen, er den maksimale drejningsvinkel fr farven range (sm ligger ved siden af rød i spektret) ca. 0,5 mindre end den maksimale drejningsvinkel fr den røde farve. På figur 4.5 er indtegnet en linie i højden 4,0, g v.hj.a. denne ser vi, at ca. 0 % af de mulige indfaldsvinkler giver en drejningsvinkel, sm ligger mellem 4,0 g maximumsværdien 4,5. Set i frhld til definitinsmængden fr funktinen d(i) er det således en ganske etragtelig del af funktinsværdierne, sm højst afviger 0,5 fra maximumsværdien. Vi ser derfr, at dråen har en fkuserende virkning (samler mange røde stråler) tæt ved drejningsvinklen 4,5. De øvrige tilagedrejede røde stråler har derimd en mere jævn frdeling af drejningsvinkler imellem 0 g 4 g dermed en væsentlig lavere intensitet. d(i) i Fig. 4.5 På samme måde ses, at en vanddråe har en fkuserende virkning på det range lys ved en drejningsvinkel tæt på (men mindre end eller lig med) 4,0, at den har en fkuserende virkning på det gul-grønne lys ved en drejningsvinkel tæt på (men mindre end eller lig med) 4,64 sv., sv., hvrimd de øvrige tilagedrejede stråler er jævnt frdelt ver de mindre drejningsvinkler g de har dermed en væsentlig lavere intensitet. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

74 På nedenstående figur 4.6 ses et skematisk illede af situatinen, hvr regnuen ses fra siden g hvr der er tegnet en række vanddråer i frskellig højde g dermed frskellig sigtelinie i frhld til iagttagerens øje. Desuden ses slens (parallelle) stråler, sm rammer vanddråerne. A B C D E F G H I Øje Øje Fig. 4.6 Figuren skal vise, at fr dråerne A g B er vinklen mellem slens stråle g sigtelinien større end 4,5, hvrmed intet af slens lys drejes tilage til iagttagerens øje. Dette øvre mråde fremstår derfr mørkt. Fr C er vinklen mellem slens stråle g sigtelinien ca. 4,5, g den røde farve drejes endda med fkuserende virkning tilage i iagttagerens øje. Fr E er vinklen mellem slens stråle g sigtelinien ca. 4,6 g den gul-grønne farve drejes med fkuserende virkning tilage i iagttagerens øje. Også lidt af det røde g range lys drejes tilage i denne vinkel, men intensiteten af disse farver er lav sammenlignet med det fkuserede gul-grønne lys, sm dermed giver det fremherskende synsindtryk i denne vinkel. Fr G er vinklen ca. 40, g den vilette farve drejes med fkuserende virkning tilage i iagttagerens øje. Også lidt af det røde, range, gulgrønne sv. lys drejes tilage i denne vinkel, men intensiteten af disse farver er lav sammenlignet med det fkuserede vilette lys, sm dermed giver det fremherskende synsindtryk i denne vinkel. Men det skal emærkes, at alle disse svage øvrige farver er årsagen til, at regnuen fte pfattes lidt mere hvidlig i den nederste del af uen (ved den vilette farve). Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

75 Fr dråerne H g I er drejningsvinklen mindre end 9,5, g her ses alle de drejede farver i svag intensitet. Dette pfattes sm hvidt lys g det er årsagen til, at himlen under uen ser lysere ud end himlen ver uen. Det skal i frlængelse af dette fremhæves, at da kun en ganske lille del af slens stråler indgår i den regnue, sm en iagttager ser, er regnuen væsentligt mindre lysstærk, end hvis der lt var hldt et spejl p, sm reflekterede alle slens stråler. Regnuen ses derfr gså edst på en aggrund af mørke skyer g selv her er lysstyrken ehersket. Vi mangler nu kun at frklare, hvrfr regnuen ses sm en ue. Hvis vi f.eks. ser på den røde farve, så skal vinklen mellem sigtelinien fra iagttagerens øjne g p til en given regndråe danne en vinkel på ca. 4,5 med slens stråler fr at vi ser den røde farve. Da alle slens stråler er parallelle, findes de relevante regndråer (der giver den rette vinkel) i frskellig højde i frhld til iagttagerens psitin. Ngle findes ude til venstre nær ved jrdens verflade, andre findes højere ppe, men længere til højre, ngen findes endnu højre ppe g endnu længere til højre, sv. sv. indtil det egynder at gå nedad igen fr at ende med dråer tæt ved jrdverfladen i højre side. Mere matematisk kan det eskrives ved, at de relevante regndråer findes langs kanten af grundfladen af en kegle, hvr iagttageren står i keglens tppunkt, g hvr keglens halve åningsvinkel er 4,5. (Jfr. figur 4.4 a), hvr den dér viste kegles halve åningsvinkel er v). Det verlades sm en øvelse til læseren at verveje g frklare dette nærmere, herunder at tegne en figur, der illustrerer situatinen. Men dette etyder så gså, at t iagttagere, sm står på hvert sit sted g ser på det samme regnvejr der elyses af slens stråler, ser t frskellige regnuer. Desuden etyder det, at regnuen flytter sig, hvis iagttageren flytter sig. (Det kan derfr ikke etale sig at lede efter guld ved regnuens ende!). Vi afslutter denne mtale af regnuer med at gøre pmærksm på, at der undertiden kan ses en sekundær regnue svarende til, at lyset reflekteres gange inde i vanddråerne inden det ryder ud igennem dråernes verflade. Denne sekundære regnue er derfr endnu mindre lysstærk end den primære ue. Men udver at påpege, at den sekundære regnue svagt kan ses på illedet på figur 4.8, vil vi ikke kmme yderligere ind på dette emne. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller