Matematik A Matematik kompendium til HTX 3år

Transkript

1 Mtemtik A Mtemtik kompendium til HTX år Skrevet f Jco Lrsen og Mrtin Gyde Poulsen.år HTX Slgelse Udgivet f De Nturvidenskelige Side

2 Indholdsfortegnelse StuGuide 4 Differentilregning 4 Integrlregning 4 Differentilligninger 4 Vektorfunktioner 4 Vektorer i rummet 4 Differentilregning 5 Nturlig eksponentilfunktion e x 5 Eksponentilfunktioner x 6 Den nturlige logritmefunktion ln x : Logritmefunktioner 7 Titlslogritmen log x : Logritmefunktioner 8 Vndrette, lodrette og skrå symptoter, herunder polynomiers division 9 Implicit differentition Monotoniforhold 5 Optimering 6 Stmfunktionen Stmfunktionen Integrlregning Uestemt integrle Bestemt integrle, herunder Areleregning 4 Regneregler for integrtion 6 Integrtion ved sustitution 8 Prtiel integrtion 9 Omdrejningslegemer Seprtion f de vrile Differentilligninger 4 Differentilligningen y = g(x) 4 Differentilligningen y = k x 4 Differentilligningen y = g(y) 5 Differentilligningen y = h(x) g(y) 6 Differentilligningen y = y 7 Eksempler 8 Differentilligningen y = y( y): Den logistiske differentilligning 9 Differentilligningen y = g(x) 4 Om n-ordens differentileligninger 4 Førsteordens differentileligning 4 Andenordens differentileligning 4 Vektorfunktioner 4 Definition f vektorfunktioner i plnen 4 Klssiske eksempler på tegning f nekurver 4 Archimedes spirl: 4 Augurens stv: 4 Asteroiden: 4 Cordeoiden: 4 Vektorfunktions differentile og dens hstighed/ccelertion 45. Definitionsmængde 46. Skæringspunkter 46. Tngenter til prmeterkurven Hstighedsvektoren Frten/hstigheden 46 Side

3 6. Accelertionsvektoren 46 VEKTORER I RUMMET RUMGEOMETRI 47 Sklrprodukt i rum 47 Regneregler for sklrproduktet 47 Vektorprodukt i rum 49 Plnets ligning i et rum 5 Prmeterfremstilling 5 Prmeterfremstilling for en linie i et xy-pln 5 Prmeterfremstilling for en linie i et xyz-rum 5 Prmeterfremstilling for et pln i et xyz-rum 54 Plnetsligning i et xyz-rum 54 Skæring mellem plner 54 Vektor og Rumgeometri Regneformler 56 Prikprodukt 56 Krydsprodukt 56 Vektorlængde 56 Vektor ud fr punkter 56 Prmeterfremstilling for en linje 56 Side

4 StuGuide fr - Mtemtik A Differentilregning Målet er t give indsigt i differentilregningens teori og nvendelse f regneregler, så eleven kn undersøge funktioner og deres grfer, l.. med henlik på optimering. Indhold: Regneregler for estemmelse f differentilkvotienter for eksponentil- og eksponentielle-, logritme- og rudne rtionle funktioner. Implicit differentition. Vndrette, lodrette og skrå symptoter, herunder polynomiers division. Monotoniforhold. Mksimering og minimering. Tegning f grf. Integrlregning Målet er t give indsigt i integrlregningens grundegreer, definitioner og nvendelse f regneregler for integrtion, så eleven l.. kn foretge rel- og rumfngseregninger. Indhold: Definition på integrle. Uestemt og estemt integrle. Regneregler for integrtion. Integrtion ved sustitution. Prtiel integrtion. Areleregning. Omdrejningslegemer med hensyn til x- og y-ksen. Differentilligninger Målet er t give indsigt i nvendelse f de regneregler, der gælder for løsning f differentilligninger, og kendsk til differentilligningers prktiske nvendelse, så eleven kn løse enkle prolemer. Indhold: Enkle differentilligninger f følgende typer: y = g(x), y = ky, y = g(y), y = h(x)g(y), y = y+, y = y(-y) og y = g(x). Vektorfunktioner Målet er t give indsigt i nvendelse f grundegreer og definitioner for vektorfunktioner, så eleven kn eskrive et kurveforlø i forindelse med løsning f prktiske og teoretiske prolemer. Indhold: Definition f vektorfunktioner i plnen. Skæring med koordintkser. Tngent. Hstighedsvektor. Frt. Accelertionsvektor. Tegning f nekurve (prmeterkurve). Vektorer i rummet Målet er t give indsigt i vektorregning, så eleven kn illustrere og eskrive punktmængder i rummet og nvende regneregler for vektorer i rummet til løsning f teoretiske og prktiske prolemer. Indhold: Linjer og plner i rummet. Vektorprodukt. Vinkel mellem linje og pln. Vinkel mellem to plner. Skæring mellem linjer. Skæring mellem linje og pln. Skæring mellem plner. Afstndsestemmelse. Kuglen. Tngentpln. Side 4

5 Nturlig eksponentilfunktion e x Differentilregning y = e x Definitionsmængde: ] ; [ Værdimængde: ] ; [ + Differentition f en eksponentilfunktion: y = f ( x) y' = f '( x ) x e Eksponentilfunktionen giver sig selv når den differentieres! Teoretisk eksempel: den smmenstte eksponentilfunktion x ( ) f g x = e - Differentiering f smmenst funktion hvor f(x) = e og g(x) = x. ' ( ) ' ' f g x = f g x g x x e Side 5

6 D fås: ' x f g x = e Eksempler med denne disciplin: x y = e ) ) x y' = e y = e sin ( x) ( x) sin y = e x ' cos Eksponentilfunktioner x Der findes en række ndre funktioner som differentieres på næsten smme måde. Disse er f typen y = x. y x = - kn omskrives til ( ln x y = e ) idet t e og ln ophæver hinnden. Ved t ruge en potensregneregel findes: y ln x = e - Nu kn den differentieres efter det teoretiske eksempel på forrige side. D fås: ( ) ln x y' = e ln x Dette kn reduceres til: y' = ln( ) Differentition f eksponentilfunktioner: y = f ( x) y' = f '( x ) x x ln ( ) Side 6

7 Den nturlige logritmefunktion ln x : Logritmefunktioner y = ln x Definitionsmængde: ] ; ] = + Værdimængde: ] ; [ = x ln ( x ') = r*ln x ln ( x* y) = ln x+ ln y ln = ln x ln y r R x, y R y Differentition f den nturlige logritmefunktion: y = f ( x) y' = f '( x ) ln x x + Side 7

8 Titlslogritmen log x : Logritmefunktioner y = log x Definitionsmængde: ] ; ] = + Værdimængde: ] ; [ + x log ( x ') = r*log x log ( x* y) = log x+ log y log = log x log y r R x, y y Differentition f den nturlige logritmefunktion: y = f ( x) y' = f '( x ) log x x *ln R + Side 8

9 Vndrette, lodrette og skrå symptoter, herunder polynomiers division Grænseværdietrgtninger: Definition: En grænse på en eller egge de to kser som en given funktion nærmer sig uden t overskride. Mn ruger nottionen Lim, efter limes som etyder grænse på ltin. Mn opprerer med tre forskellige typer f grænseværdier: Polynomium division: Grænseværdi i uendelig: Funktionen f siges t hve en grænseværdi ved tllet i uendelig, hvis funktionens værdi liver tllet, såfremt t x er plus eller minus et uendelig stort tl: ( ) Lim f x = R x ± Uendelig grænseværdi: Funktionen f siges t hve en grænseværdien uendelig, hvis funktionens værdi liver uendelig stor eller uendelig lille, såfremt t x nærmer sig tllet, fr enten højre eller venstre: ( ) Lim f x = eller R x Endelig grænseværdi: Funktionen f siges t hve grænseværdien, hvis funktionens værdi liver uendelig tæt på, såfremt t x nærmer sig en speciel x- værdi x : ( ) Lim f x = R x R x x Disciplinen, t dividerer to funktioner (polynomier) med hinnden. I undervisningen er rugt denne nottion: h x f x g x.... r x - g(x) er divisoren til f(x) - f(x) er funktionen som skl divideres med g(x) - h(x) er resulttet f de to dividerede funktioner f(x) og g(x). Gnges h(x) med g(x) fremkommer f(x). mn etegner dette fænomen som fktorisering f polynomiet f(x). - r(x) er den evt. rest fr divisionen. Denne skl ligges til h(x) for t løse divisioner hvor r(x) fremkommer. Dvs. h(x) + r(x) Side 9

10 Asymptoter: Definition: En ret linie som tegnes ved en funktionsundersøgelse, den repræsenterer den værdi som er funktionens respektive grænseværdier. Denne er fundet ved grænseværdietrgtninger. Derfor eksisterer der tre også her typer:. Vndret symptote: Definition: Når du tger grænseværdien for f med x gående mod plus eller minus uendeligt, står tilge et tl : x + x ( ) Lim f x = ( ) Lim f x = og / eller Funktionen hr en vndret symptote i: y =. Lodret symptote: Definition: Når du tger grænseværdien for f med x gående mod et estemt tl, liver resulttet enten uendeligt stort eller uendeligt småt: + x x ( ) Lim f x = eller ( ) Lim f x = eller og / eller c. Skrå symptote: Funktionen hr en lodret symptote i: x = Definition: Når du tger grænseværdien f f minus en given funktion (ofte fundet ved polynomiums division), med x gående mod plus eller minus uendeligt, liver resulttet : ( ) Lim f x x + = x + ( ) Lim f x x + = x og / eller Funktionen hr en skrå symptote i ligningen: x + Side

11 Af lle disse definitioner fremkommer et skem som km ruges til t undersøge en given funktion for diverse symptoter. Dette skem er udrejdet f Frede Ø. Pedersen: Find symptoter ved polynomiumsrøker Er røken forkortelig? Nej Find polynomiets rødder, disse ngiver eliggenheden f de lodrette symptoter, fortsæt nedd og vælg en f de 4 muligheder som edst psser på det pågældende polynomium: t < n t = n t = n+ t > n+ y = er vndret Polynomiet hr en Polynomiet hr Hverken symptote til det vndret symptote, y en skrå vndret eller undersøgte = forholdet mellem symptote som skrå symptote. polynomium. højestegrdsleddenes findes ved koefficienter. polynomium division f nævner op i tæller. J Forkort røken og fktorisér tæller og nævner, og egynd så forfr. Eksempel med skrå symptote: f ( x) = + x x + x 4 Her er t = n+, givet ved t x = x + Nu udføres polynomium division - emærk hvordn der ændres fortegn for hver led i divisionen: x + x + x x+ 8 x+ 4 x + x 6x 8 Nu udføres grænseværdietrgtningen, som giver en skrå symptote: x ± 8 (( + x+ ) ( ) ) 8 Lim x x Lim x ± x+ Det kn herf ses t såfremt x ntger en uendelig værdi, hvd enten den er positiv eller negtiv, liver resulttet ligeledes uendelig tæt på. Derf kn det udlede t funktionen hr en skrå symptote ved: x Side

12 Implicit differentition Definition: Dette er en måde hvorpå mn kn differentierer en funktion, der i stedet for t være funktionen f x, er funktionen f x,y. Dette vil sige t der er to y-værdier til hver x-værdi. Nottionen er som følgende: f x, y = x + y = Det er dog sjældent, t mn får stillet en sådnne opgve. En typisk opgve hvor mn skl ruge implicit differentition ser således ud: x + y = Selve differentitionen: Når mn finder et fledt led f y, skl mn groft sgt finde differentilkvotienten, som hvde det været et x, og derefter gnge ledet med kvotienten /. Det hndler dernæst om t isolerer udtrykket / på den ene side f lighedstegnet, d dette jo giver den smlede differentilkvotient se nottionen om den fledte funktion. Differentiering f y: Udføres med hensyn til y. Men den resterende funktion differentieres med hensyn til x. Derfor gnge kvotienten / på det udtryk som er differentieret med hensyn til y. d y d y = = y Nogle gnge kn mn være ude for meget lnge implicitte funktioner. I disse vil det oftest være nemmest t sætte / uden for en prentes, når mn isolerer den. f x y = x + y =, - enhedscirklens ligning () d x d y d + = x+ y = y = x x = y x = y Side

13 D / er lig med f (x) fås: f ( x y) ', x = y Dette vr jo cirklens ligning, som må siges t være den oftest rugte implicitte funktion. Andet eksempel med implicit differentition: f x y y x, = = - prlens ligning d( x) d y = y = = y = y D / er lig med f (x) fås: f ( x y) ', = y Tredje eksempel med implicit differentition: f x y, = + = - ellipsens ligning ( x y) d x y d ( ) d () + = x y + = y x = = x y x = y Side

14 x = y x = y x y = x = y D / er lig med f (x) fås: f ( x y) ', x = y Fjerde eksempel med implicit differentition: f x y = x x y+ y =, 7 d( xy) d( y ) d( 7) d x + = ( ) x x + y + y = x x y+ y = x + y = y x x+ y = y x y x = y x y x = y x D / er lig med f (x) fås: f ( x y) ', y x = y x Læg særlig mærke til hvordn mn i det sidste eksempel stte / udenfor en prentes, for t kunne finde differentilkvotienten. Det er mnge gnge nødvendigt. Side 4

15 Monotoniforhold Definition: En ngivelse f hvornår grfen er ftgende (med negtivt fortegn) og hvornår den er voksende (med positivt fortegn). Grfen læses ltid fr venstre mod højre. Undersøgelse f denne funktions monotoniforhold i intervllet x til x : Ekstrem x < x og f x < f x Derved er funktionen voksende. x > x og f x > f x Derved er funktionen ftgende. Sgt på en nden måde, så er funktionen voksende fr et minimum til et mksimum. Og funktionen er ftgende fr et mksimum til et minimum. Dette ses på tegningen idet, t x er x- koordinten til et mksimum hvor funktionen er voksende op til, og ftgende væk fr. Mn kn med rugen f differentileregning, let fgøre ved hvilke x-værdier disse ekstrempunkter ligger for den pågældende funktion. Det forholder sig selvfølgeligt (d differentilkvotienten eskriver hældningen for en grf i et givent punkt) sådn, t differentilkvotienten for et ekstrem er lig med. f ' x =, så er der enten mksimum eller minimum. Men hvordn finder mn så ud f, hvilken en som t det er? Som sgt så er en funktion voksende op til et mksimum og ftgende på vej væk igen. Og lige modst er funktionen ftgende ned til et minimum og voksende på vej vær igen. D differentilkvotienten er et udtryk for funktionens hældning, forholder det sig således: En voksende funktion hr en positiv differentilkvotient. En ftgende funktion hr en negtiv differentilkvotient. Når mn skl ngive omstændighederne omkring et mksimum eller et minimum, lver mn derfor et lille skem, mgen til det mn rugte ved fortegnsundersøgelsen, hvor mn regner differentilkvotienten for funktionen med en x-værdi inden ekstremet, ved ekstremet og efter ekstremet. Side 5

16 Optimering Disciplinen, t finde det mtemtisk set edste resultt udfr nogle givne forhold. Det kn enten dreje sig om t finde et mksimum eller et minimum på en grf. Mksimering og minimering: Udfr den kendte teori om monotoniforhold og ekstremforhold, kn mn lve disser sætninger, som ligger til grund for t mn kn finde et glolt eller et loklt mksimum/minimum: Sætning : Ld f være en funktion, som er kontinuert og differentiel i intervllet I = [,]. D gælder: Hvis f (x) > så er f voksende i I Hvis f (x) < så er f ftgende i I Hvis f (x) = så er f konstnt i I Sætning : Ld f være en funktion, som er kontinuert og differentiel i intervllet I = ],[. Og ld x-værdien x tilhøre I. D gælder: Hvis f hr et ekstrem i (x, f(x )) så er: f (x) = Sætning : Ld f være en funktion, som er kontinuert og differentiel i intervllet I = ],[. Så skl funktionens mks. eller min. søges lndt følgende x-værdier: (,) = {x tilhøre I f (x ) = } Muligheder for fortegn f f (x) omkring f (x ) = x < x x x > x + Mks. - x < x x x > x - Min. + Optimeringsopgven: De mest lmindelige opgver som involverer optimering, drejer sig om t fgøre længder og redder, og enkelte gnge rdiuser for en cirkulær form. Arejdsgngen er som følgende. Mindst et kriterium kendes ved opgvens egyndelse. Derefter opstiller mn de nødvendige formler, hvor i mindst en f dem, det kendte kriterium indgår. De opstillede formler smles således t det ønskede resultt er isoleret. D differentieres udtrykket og differentilkvotienten sættes lig med nul. Nu ruges de tre sætninger her ovenover til t lokliserer det ønskede mksimum eller minimum, smt til t dokumentere og evise dets plcering. Hvorved mn opnår et givent resultt. Eksempel med optimering f en mrk: Side 6

17 Vnd Arelet = længde rede A= x y x y x Det oplyses t der er meter hegn tilrådelighed, hvor stor kn mrken så live? Omkredsen = længde + rede O= x+ y Strt med t finde y-værdien ved hjælp f omkredsformlen: = x + y y = x Sæt y ind i relformlen: A = x ( x) A = x x Udtrykket differensers for t synliggøre mksimumerne og minimumerne: da (x x ) A' x = 4x Differentieringskoefficienten for A sættes lig med nul: 4x = x = x = 4 Sæt x-værdien ind i formlen for y, som lev udledt udfr formlen for omkredsen: y = x y = ( ) y = 6 y = 6 Side 7

18 Eksempel med optimering f en cylinder: Mn skl finde den minimle højde h og den minimle rdius r hvis cylinderens totle volumen er 5 m. Således t den fylder mindst muligt når den skl pkkes. Der er rug for formlerne for volumen V og overflderel O: V = h π r ( π ) ( π ) O= r + r h Nu indsættes kriteriet V = 5 m og mn isolerer højden h som er det mn gerne vil optimerer:,5m = h π r,5m h = π r Udtrykket for h sættes nu ind i formlen for overflderelet, d liver r den eneste vriel:, 5m O( r) = ( π r ) + π r π r π r,5m O( r) = ( π r ) + π r m O( r) = ( π r ) + r Udtrykket differensers for t synliggøre mksimumerne og minimumerne: m d ( π r ) + do r = m O' ( r) = ( π r) + r r m O' ( r) = 4 ( π r) + r m O' ( r) = 4 ( π r) + r m O' ( r) = 4 ( π r) r Side 8

19 Det differentierede udtryk sættes lig med, hvorved mn finder den rdius hvor cylinderen fylder mindst. m = 4 ( π r) r m = 4 r m r π = 4 r m π r = 4 r m = r π r 4 m = r π 4 ( π r) m = r π 4,6meter = r Rdius r sættes nu ind i udtrykket for højden h, således finder mn den højde hvormed cylinderen fylder mindst:, 5m h = π, 64 m h =, 4meter Af føre evis for en optimering: Mn kn i enkelte tilfælde live edt om t evise t den optimering mn hr fundet er korrekt. Her er ikke tle om nogen særlig metode, men lot t sætte de fundne resultter ind i en smmenhæng med den etingelse som lev opgivet fr opgvens egyndelse. Bevis for den optimerede cylinder: Mn prøver nu om det den fundne højde og rdius kommer til t psse med det kriterium, som lev opgivet ved opgvens egyndelse. I dette tilfælde vr det et estemt et volumen. V = h π r,5m,5m =,47m π,64 m =,5m Side 9

20 Stmfunktionen Stmfunktionen Definition: Ved en stmfunktion F til en funktion f forstås en funktion, der hr f som fledt funktion. F ( x) = f ( x) Der findes ltid en stmfunktion til en vilkårlig kontinuer funktion. Integrering f potensfunktionen: f x = x n = n + n+ x F x f x = x F x x n + n n+ = Integrtionsprøven: D F hr funktionen f som fledt funktion, kn mn opnå t finde f udfr F ved t differentiere F. Dette kldes for integrtionsprøven: F' ( x) = f ( x) ' ( f ( x) ) = f ( x) Eksempel med integrtionsprøven: = + = ( 5 + 4) f x 5x 4 denne funktion integreres først F x x F x = x + x F x =,5x + 4x Side

21 = ' f x F x ' = (,5 + 4 ) f x x x f x =,5 x+ 4 f x = 5x+ 4 med integrtionsprøven differentieres funktionen Side

22 Integrlregning Uestemt integrle Det uestemte integrl: - en ny funktion Egentlig ygger denne etegnelse direkte ovenpå definitionen f en stmfunktion. Mn indfører her integrlekommndoen og integrtionskonstnten k: f ( x) = F( x) + k Ved det uekendte integrle dderes integrtionskonstnten k. hvis ikke ndet er opgivet hr k denne definitionsmængde: k ε R. Dette ntyder også, t der her er tle om en helt ny funktion. Denne konstnt kn estemmes således t den ekskte funktion kn ngives et kriterium f en rt er opstillet i opgveteksten. Eksempler på uestemt integrle: - Konstnten estemmes ikke: = 8 sin f x x x = 8 sin ( cos) 4 cos F x x x F x = x x + k F x = x + x + k - Konstnten estemmes udfr oplysningen F() = : f x = x 5 = ( 5) F x x F x = x 5x+ k = + F x x 5x k Nu indsættes kriteriet i den fundne funktion: = 5 + k = 8 + k = + k = k Side

23 Den fundne værdi for k indsættes i stmfunktionen: F x = x 5x+ Nu vil det live vist, hvordn mn udfr den viste regneregel for integrtion f en potens funktion, kn ruges til t udlede generelle uestemte integrler for ndre funktionstyper. Som eksempel ruges den kvdrerede funktion: f x = x, x F x = x Nu husker mn på t den kvdrerede funktion også kn udtrykkes som x opløftet i den hlve potens!,5 = F x x,5+ F x =,5+ x + k = +,5 F x,5 x k Nu vælges det t forlænge røken /,5 d den er lidt uhåndterlig. Den forlænges med d mn så får:,5 F x = x + k Idet t,5 kn udtrykkes som kvotienten f / fås: F x x k x = +, Ansporet f den netop gennemgåede udledning, ses det t mn også kn udtrykke dette uestemte integrle på en nden måde. Overvej følgende:,5 x x = x x x = x,5 - D =, hvilket ltid gælder! Dette etyder t mn udfr følgende led i udledningen kn slutte:,5 F x = x + k F x = x x + k Side

24 Hvilket kn omskrives til: F x = x x + k, x Bestemt integrle, herunder Areleregning Det estemte integrl: - et tl - et rel Kendes også som relfunktionen, fordi mn ved t enytte det uestemte integrle f (den positive funktion) f imellem to punkter på x-ksen (,), opnår t estemme et tilnærmelsesvis korrekte relet under grfen for f., [, ] A = F x + k x Dette skrives normlt som: A = f x Rent prktisk ruger mn oftest skrivemåden kldet fundmentlsætningen: A = f x = F F - Herved udgår konstnten k. Sgt med ord etyder dette, t mn trækker den værdi som mn får hvis mn sætter tllet ind på x plds, fr den værdi som mn får når mn sætter tllet ind på x plds. I funktionen F(x). Visulisering f den estemte integrle, smt integrlekommndoens oprindelse: Mn inddeler området mellem og under grfen for f(x) i n ntl dele, som lle er lnge på x-ksen. Præcis i midten et f disse intervller ligger værdien x i. Dnner mn et rektngel f denne værdi og dens funktionsværdi, opnår mn en figur med et tilnærmelsesvis rel f intervlstykket. A = f x Hvert f disse små rektngler hr d relet: Det tilnærmelsesvise relet under grfen for f(x) mellem og, må d findes ved t summerer lle de små rektngler: n ( i ) - Dette kldes også for middelsummen. i= A f x i Ved t ruge teorien om grænseværdier, kn mn udlede t mn må kunne få det et rel ved denne eregning, hvis går mod, t mn med rette kn ntge t det er det korrekte rel. Dette skrives således: i Side 4

25 n A= Lim f ( xi ) i= Dette ville være lidt esværligt t skrive hver gng mn skulle integrerer. Derfor indførte mn integrlekommndoen. Integrlekommndoen dækker over det led i udregningen, som summerer lle de uendelig små rektngler, og lde gå mod nul. Derf hr mn vlgt skrivemåden: f Definitionen på det estemte integrl: x for det estemte integrl. f er en kontinuert funktion i intervllet I = [,]. det estemte integrl liver d: n A = f ( x) = Lim f ( xi ) i= Eksempel med releregning ved integrtion: f x =,x + 5 Mn vil gerne kende relet under grfen mellem de to nulpunkter (der hvor grfen skærer x-ksen), derfor sættes funktionen lig med : =,x + 5 5=,x 5 = x, 5 = x ± 7,7 = x I [ 7,7;7,7] = Nu findes stmfunktionen: 7,7 7,7 (, 5) A= x + 7,7, 5 7,7 A= x + x A=, x + 5x 7,7 7,7 Nu findes relet, ved t indsætte prmetrene: Side 5

26 (, 7,7 5 7,7), ( 7,7) 5 ( 7,7) A = + + A = 47,4 Regneregler for integrtion Regneregler for uestemte integrler Disse regler kn være ehjælpelige, når mn skl integrere simple funktioner: ) ( + ) = + = + f x g x f x g x F x G x + k ) ( ) = = f x g x f x g x F x G x + k ) c f x = c f x = c F x + k Hvis mn ønsker t evise disse regler kn mn tge udgngspunkt i integrtionsprøven: ( ( + ) ) ( ) d f x g x d f x d g x = + d( F( x) + G( x) ) d( F( x) + k) d( G( x) + k) = + Ifølge reglerne for differentition f dderede funktioner (se skrift om differentileregning) finder mn: ( ) ( ) ( ) d F x d G x d F x d G x + = + f x + g x = f x + g x De ndre regler evises ligeså. Eksempel ved rug f de nævnte regneregler: f x = x + = ( + ) F x x ( ) F x = x + F x = x + x+ k Side 6

27 Husk kun t dderer integrtionskonstnten ved den sidste funktion. Regneregler for estemte integrler De omtlte regneregler gælder selvfølgelig også for det estemte integrle, dog gælder her en fjerde regel: ) ( f ( x) + g( x) ) = f ( x) + g( x) = F( x) + G( x) 4 ) ( f ( x) g( x) ) = f ( x) g( x) = F( x) G( x) ) c f ( x) c f ( x) c F( x) ) f ( x) f ( x) F( x) = = = = Disse evises ved hjælp t integrtionsprøven som vist med regneregler for uestemte integrler. Undtgen regneregel 4. Den evises lettest udfr fundmentlsætningen: F( ) F( ) G( ) G( ) ( ) F x + G x = F + G F + G + Dette er grundet fortegnsændringen ved løftning f en negtiv prentes. Udfr fundmentlsætningen kn mn nu slutte: + = + F F G G f x g x Andre regneregler til det estemte integrle: Hvis funktionen eksisterer i de positiv kvdrnter findes relet ved: A = f x Hvis funktionen eksisterer i de negtive kvdrnter findes relet ved: A = f ( x) Side 7

28 Integrtion ved sustitution Denne metode egner sig godt til mellemsvære og smmenstte funktioner. ( ) ' f g x g x ( ) () () g ( ) () () g ( ). f g x g' x = f t dt = F t + k = F g x + k. ' ( ) f g x g x = f t dt = F t = F g F g - t enævnes den midlertidige sustitunt for funktionen g(x). Når mn skl integrerer en funktionen ved sustitution, skl mn re følge disse fem punkter: Bevis: Find et udtryk for t. Differentier t med hensyn til x. Isoler. 4 Indsæt i grundudtrykket. 5 Udfør integrtion og genindsæt t i formlen. Mn eviser formlerne ved t differentierer de ngivne udtryk, og derved vise t mn kommer tilge til udgngspunktet. ( ( ) ' ) ( ) d f g x g x d F g x + k = Ved differentition det første led udgår integrlekommndoen smmen med differentitionen. Det ndet led er en smmenst funktion. En sådn differentieres ved d(f(g(x))) = f (g(x)) g (x): ( ) f g x g' x = F' g x g' x Jævnføre eviset for stmfunktionens eksistens og dennes egensk f relfunktion, vides det t F = f(x), derfor kn mn slutte: ( ) ' ' f g x g x = f g x g x D højre- og venstresiden er ens, er formlen for uestemt integrtion ved sustitution således evist. Det estemte integrl ved integrtion ved sustitution, evises på smme måde. Side 8

29 Prtiel integrtion Denne metode henvender sig til de mest esværlige funktioner: Bevis: f x g x =. f x g x F x g x F x g' x =. f x g x F x g x F x g' x Mn eviser formlerne ved t differentierer de ngivne udtryk, og derved vise t mn kommer tilge til udgngspunktet. ( ) d F( x) g( x) ' d f x g x d F x g x = Ved differentition f det midterste led, som ikke i forvejen er integreret ( går ud med kn mn sige), ruges den fjerde differentielregel: d(u v) = u v + u v: = ' + ' f x g x F x g x f x g x F x g x Ledet ' F x g x udgår nu f udregningen: f ( x) g( x) = f ( x) g( x) D højre- og venstresiden er ens, er formlen for uestemt prtiel integrtion således evist. Det estemte integrl ved prtiel integrtion, evises på smme måde. Eksempel på rugen f prtiel integrtion: sin f x = x x I dette eksempel er f(x) = sin(x) og g(x) = x. Derfor kn mn, ved t ruge den netop eviste formel opskrive integrlet således: sin x x= cos x x cos x = + sin x x cos x x cos x sin x x= cos x x+ sin x + k Side 9

30 Omdrejningslegemer Mn lder en vilkårlig funktion dreje om enten x eller y-ksen. Derved fremkommer det som mn klder rumlige figurer. Disse hr smme egensker som lle ndre funktioner. Mn kn ved hjælp f integrtion estemme reler, som mn kender det fr det estemte integrl. Men det er også muligt, t estemme rumfng på de D-figurer, som liver dnnet ved t en funktion i et koordintsystem liver drejet om henholdsvis x- og y-ksen. Såfremt går mod, giver summen f lle intervllerne det tilnærmelsesvis rigtige resultt. Drejning om x-ksen: Udledning: Ved 6 o drejning f rektnglet som er lngt og f(x i ) højt fås en cylinder, med rdius f(x i ) og højden er stdigvæk. V = π rdius højden rdius = f(x i ) højden = i ( ) i V = π f x n i= ( ) i V π f x Skrives som: ( ) V = π f x Bevis: D rumfnget tilnærmelsesvis kn findes ved t sumerer lle intervllerne, kn det korrekte rumfng som sgt findes ved t lde gå mod : n i= ( ) i V π f x d: Side

31 n V = lim π f x f = i= ( ( i )) π ( ) x Drejning om y-ksen: Udledning: Ved 6 o drejning f rektnglet som er lngt og f(x i ) højt fås en cylinderskl, med rdius x i og højden f(x i ) og tykkelsen. V = højde omkreds tykkelse V = højde π rdius tykkelse rdius = x i højde = f(x i ) tykkelse = V = f x π x i i i V = π x f x i i i n i= V π x f x Skrives som: i V = π x f x i Bevis: D rumfnget tilnærmelsesvis kn findes ved t sumerer lle intervllerne, kn det korrekte rumfng som sgt findes ved t lde gå mod : n i= V π x f x d: i i n V = lim π xi f ( xi) π x ( f ( x) ) = i= Hvis funktionen er negtiv så skl mn være opmærksom på t kun følgende gælder: Side

32 V = π x f x Seprtion f de vrile Dette regnetekniske egre ruges specielt til løsning f differentilligninger. Og det ruges mest i forindelse med differentilligninger. Eks: - de pensumrelevnte = eller y' = g( y) y' h x g y Når mn ruger seprtion f de vrile er mn dog nødt til t ruge følgende nottion: h x = g( y) Ved seprtion f de vrile smler mn udtryk som hr med x og udtryk som hr med y t gøre, på hver deres side f lighedstegnet : g y = h x = h( x) g y Nu kn mn løse differentilligningen, med den teori som vides om integrtion: h( x) g y = Når mn løser dette udtryk skl mn være opmærksom på, t der kun opstår en konstnt ved integrtion f. Af udtrykket som fremkommer f t integrerer, skl mn efter endt integrtion isolerer y. Således t y kommer til t stå lene på den ene side f lighedstegnet, og et funktionsudtryk f x på den nden. y = f ( x) Dette er løsningen på differentilligningen. Hvorvidt den prtikulære løsning skl findes, er fhængigt f opgvens krkter. Side

33 Bevis for t seprtion er et lovligt indgre: Dette evis tger sit udgngspunkt i, t såfremt mn kn differentierer det integrerede udtryk og få den oprindelige funktion, så er metoden som mn hr rugt til t integrere med i orden. Er løsningen til: h( x) g( y) = virkelig: h( x) g y = Mn ntger t y = f(x) og t / = f (x). Dette hr følgende konsekvenser: = f ' x h x g f x Ifølge de gældende regler for ligningsløsning, kn mn nu gnge egge sider med /g(f(x)): g f x ( ) h( x) f ' x = Definitioner: G f x ( ) = og H( x) = g f ( x) ( ) = og H' ( x) = h( x) g f ( x) G' f x h x Nu kn mn (helt i overensstemmelse med reglerne) omskrive udtrykket fr før til: ( ) = G' f x f ' x H' x G' f x f ' x H' x = Dette kn omskrives til: ( G( f ( x) ) H( x ))' = D differentilkvotienten er nul, er funktionen konstnt. Derfor gælder følgende: ( ) G f x H x = k G f x = H x + k D det vides t y = f(x). Kn mn udfr reglerne om stmfunktioner udlede t der nu gælder: Side

34 = h( x) g y Differentilligningen y = g(x) g x = Skrives også som: y' = g( x) Løsningen til denne differentilligning: y = g x y = G x + C Dette er den fuldstændige løsning. Differentilligninger Differentilligningen y = k x k x = Skrives også som: y ' = k x Løsningen til denne differentilligning: y = k x y = kx + C Dette er den fuldstændige løsning. Side 4

35 Differentilligningen y = g(y) g y = Skrives også som: y' = g( y) Løsningen til denne differentilligning: = g( y) = y - Omskrivning til en generel funktion f y Her ruges seprtion f de vrile: = y = y y = y ln y = x+ C C R ln( y ) x+ C e e C R+ = = x C y e e = = x C y e C C e C R =± x y e C Nu ser mn t y = er en mulig løsning, derfor fås x y = e C C R x R Dette er den fuldstændige løsning. Side 5

36 Differentilligningen y = h(x) g(y) h x = g( y) Skrives også som: y' = h( x) g( y) Løsningen til denne differentilligning: = h x = x y g( y) - Omskrivning til en generel smmenst funktion f x og y Her ruges seprtion f de vrile: = x y = x y y = x y ln = + y x C C R ln ( y ) x + C e = e C R x y = e e x x C y = e C C = e C R y =± e C C + Nu ser mn t y = er en mulig løsning, derfor fås x y = e C C R x R Dette er den fuldstændige løsning. Side 6

37 Differentilligningen y = y y = + Skrives også som: y ' = y + Løsningen til denne differentilligning: = y + = + ( y ) Her ruges seprtion f de vrile: = ( y+ ) = y + ( y + ) ( y + ) = Her er det nødvendigt t ruge integrtion ved sustitution: t = y+ dt = dt = dt = Nu indsættes dt i grundudtrykket: dt = t ln t = x+ k k R ln( t ) x+ k e e k R+ = x k t e e = + x k t =± e C C = e C R Nu er det levet tid til t indsætte t i grundudtrykket: Side 7

38 x y+ =± e C x y e C =± Det ses dog t y = er en mulig løsning ved, t det indsættes i den oprindelige differentilligning. Derfor fås: x y e C = Dette kn omskrives til følgende, som oftest ruges som løsning til denne differentilligning. y x = + e C Eksempler Newtons fkølingslov: Ændring i et legemes tempertur er proportionl med temperturforskellen mellem legemet og omgivelserne. Der er her tle om en differentilligningsmodel. Forstået på den måde, t mn kn opstille en differentilligning udfr newtons fkølingslov, som udtrykker udviklingen f legemes tempertur /dt, ved hjælp f den femte (dl5) differentilligning: Det ntges t temperturen i omgivelserne er grder, så vil en fkøling f legemet som funktion f et givent tidsintervl t være: c( y() t ) t dt = > hvor: /dt: er temperturændringen y(t) - : er temperturforskellen mellem legemet og omgivelserne c: er en given proportionlitetsfktor Læg mærke til hvordn grfen for newtons fkølingslov ltid hr en vndret symptote ved omgivelsernes tempertur. Løses ved smme princip som forrige, derfor fås: () ct y t = + C e Dette er den fuldstændige løsning til newtons fkølingslov. Side 8

39 Differentilligningen y = y( y): Den logistiske differentilligning y y = Skrives også som: y' = y ( y) Løsningen til den logistiske differentilligning: Her ruges seprtion f de vrile: y y = ( ) Det er ønskeligt t isolerer y udenfor prentesen, derfor gøres følgende: y y ( y ) ( y ) = = Her er det nødvendigt t ruge integrtion ved sustitution: u = y u = y du = y y = du Nu indsættes i grundudtrykket: y du = y u y du = y u y du = y u Side 9

40 du = u du = u du = u ln u = x+ k ; k R ln( u ) e = e = x + k x k u e e x k u =± C e ; C = e, C R x u = C e ; C R\ Nu indsættes den sustituerede funktion: = C e y x = + C e y x y = x + C e y = x + C e y = x + C e Mn er næsten færdig nu, der mngler kun t dividerer i egge rødder: y = + x C e C y = K = K R\ x + K e Dette er den fuldstændige løsning. Vid dette om den logistiske ligning: y = / for x Dermed kn mn opftte / som værende en vndret symptote til den logistiske ligning. Side 4

41 Differentilligningen y = g(x) d y = g x Skrives også som: y'' = g( x) Løsningen til denne differentilligning: y = g x y' = g x y' = G x + C C R Hvis den prtikulære løsning ønskes, som opgveesvrelse skl mn llerede nu estemme en værdi for C. Ellers går mn re videre og integrerer igen. G y = G x + C y = x + Cx+ C C R Dette er den fuldstændige løsning. Om n-ordens differentileligninger Mn deler differentilligninger op i førsteordnens og ndenordens ligninger. Her kommer lidt teoretisk ggrundsviden om nottionen for de to grupper: Førsteordens differentileligning y ' = eks. y' = g( x) Andenordens differentileligning d y y '' = eks. y'' = g( x) Side 4

42 Definition f vektorfunktioner i plnen Vektorfunktioner Definitionen: En regneforskrift, der til et reelt tl t fstlægger en vektor, kldes en vektorfunktion. () r t () () x t = y t Dmr = Dmx Dmy Funktionerne x(t) og y(t) kldes vektor-funktionens koordintfunktioner. Tllet t kldes prmeteren. Grfen for vektor-funktionen kldes derfor en nekurve. Mn ruger oftest prmeteren t, som en tidsngivelse. Dette vil sige, t for hver ændring der regelmæssigt sker i prmeteren t ændre de to koordint-funktioner sig således t en linie trukket direkte mellem punkterne som de derved dnner giver en vektorfunktion. Dette er forsøgt illustreret her: Alle punkter er derfor dnnet ved følgende etrgtning: x( t ) ( ) = y( t ) r( t ) r t ( ) x t = y t r t n... ( n... ) x t = - jo flere punkter jo pænere kurve! y t n... Såfremt t der ikke er tle om en stedvektor (som det hidtil hr været ntget). Kn mn generelt definere en vektorfunktion som styres f et pr koordintfunktioner, således: () r t x = y () () + x t + y t - Hvor x og y er strtkoordinterne. Men i det følgende vil de viste funktioner lle strte i origo! Side 4

43 Klssiske eksempler på tegning f nekurver Archimedes spirl: () t cos t f () t =,t 4 t sin t Augurens stv: () cos t t f () t =,t π sin() t t Asteroiden: () t () t cos f () t =,t π sin Cordeoiden: () () cos t cos t f () t =,t π sin t sin t Side 4

44 Mnge f de kendte figurer fr geometrien kn udtrykkes som en prmeterfunktion. Hertil kommer selvfølgeligt en enorm mængde mærkelige figurere som kn udtrykkes, som en funktion f prmeteren t. her vises cirklen og ellipsen. For cirklen gælder: () () + r cos t r() t = + r sin t Eksempel: - Hvor og er centrumkoordinterne og r er rdius på cirklen For ellipsen gælder: Centrum (,) rdius () () cos t r() t = sin t Eksempel: - Hvor er storksens koordint og er lilleksens koordint Centrum (,) storksen: 5 og lilleksen: Side 44

45 Vektorfunktions differentile og dens hstighed/ccelertion Når mn skl differentierer en vektorfunktion hndler det ikke om t finde forskellen mellem y divideret med forskellen i x, men derimod forskellen mellem koordintsætne dr mellem en lille prmeterændring dt: r = ' r t Lim t t - r = r( t+ t) r() t - t = t ( + ) () r t t r t r' () t = Lim t t x Lim = x '() t t t r' () t = y Lim = y '() t t t Der er ltså tle om en ændring i fstnd, divideret med prmeteren som udløser ændringen. Med den viden mn hr om hstighed fr fysikkens verden, kn mn udlede t differentilkvotienten for en vektorfunktion, udtrykker dennes hstighedsvektor, til et givent tidspunkt t. v= r'( t) () t () t x ' r' () t = - Hstighedsvektorudtrykket y' Det vides også fr fysikkens verden, t mn kn finde ccelertionen ved t differentierer hstigheden med hensyn til tiden. Det etyder t mn kn finde prmeterkurvens ccelertion ved t differentierer udtrykket for hstighedsvektoren med t. = r''( t) ( t) () t x '' r'' () t = - Accelertionsvektorudtrykket y'' Side 45

46 . Definitionsmængde De koordintsæt som fremkommer f fællesmængden f koordintfunktionerne: Dmr = Dmx Dmy Det er også vigtigt t definerer (såfremt det ikke er gjort i opgven), i hvilket t, intervl som prmeteren t skl løe over. [ ]. Skæringspunkter med koordintkserne Prmeterkurvens skæring med koordintkserne. Når y(t) = findes t når kurven hr skæring med x-ksen. Når x(t) = findes t når kurven hr skæring med y-ksen. () r t () x t = y t () x t y t = =. Tngenter til prmeterkurven Mn differentierer egge koordintfunktioner, dernæst sætter hver differentilkvotient lig med. Herved findes de værdier for t hvor prmeterkurven hr sine ekstremer. Når y (t) = findes vndrette tngenter. Når x (t) = findes lodrette tngenter. r' () t () () x' t x' t = y' t y' t 4. Hstighedsvektoren Vektorudtrykket som fremkommer ved t differentierer koordintfunktionerne én gng. x '( t ) r' () t = y' () - hstighedsvektoren t 5. Frten/hstigheden Længden f hstighedsvektoren. Findes ved hjælp f pythgurs læresætning. ( '()) '() v= x t + y t 6. Accelertionsvektoren Vektorudtrykket som fremkommer ved t differentierer koordintfunktionerne to gnge. x ''( t) r'' () t = y'' () - ccelertionsvektoren t = = Side 46

47 Sklrprodukt i rum Vektorer i rummet Rumgeometri Sklrproduktet kendes fr ndet år. Det eneste nye er t der nu er tre koordinter til hvert punkt, herved liver formlen og eviset lidt større. Det drejer sig som sgt om to linier i rummet smt vinklen imellem dem. x x = y = y z z Definitionen på sklrproduktet mellem vektor og : = cos( v) Det eneste som mn ør være opmærksom på ved sklrprodukt er, t såfremt sklren liver nul, så er de to linier som vektorerne og dnner. = cos 9 = = Officielt skriver mn: = Regneregler for sklrproduktet = + c+ d = + c+ d s t = s t s, t R = Af udledningen f sklrproduktet, som lev gennemgået på ndet år, fremkom en nden skrivemåde, som muliggjorde t mn kunne udregne sklrproduktet: Side 47

48 x x = y y = x x + y y + z z z z Bevis: = ( x i+ y j+ z k) ( x i+ y j+ z k) ( x i) ( x i) ( x i) ( y j) ( x i) ( z k) ( y j) ( x i) + ( y j) ( y j) + ( y j) ( z k) + ( z k) ( x i) + ( z k) ( y j) + ( z k) ( z k) = ( x x) ( i i) + ( x y) ( i j) + ( x z) ( i k) ( y x) ( j i) + ( y y) ( j j) + ( y z) ( j k) + ( z x) ( k i ) + ( z y ) ( k j ) + ( z z ) ( k k ) = Følgende gæler ifølge regnereglerne for sklrprodukter, d enhedsvektorerne lle er vinkelrette på hinnden: i i= i j = j i= j j = j k = k j = k k = i k = i j = Derfor findes sklrproduktet nu til t være: ( x x) ( x y) ( x z) ( y x) ( y y) ( y z) + ( z x) + ( z y) + ( z z) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = = x x + y y + z z Eksempel på nvendelse f sklrprodukt Det er mnge gnge interessnt t kende vinklen mellem vektorer. Dette kn gøres ved t ruge definitionen på, hvori mn isolerer vinklen v, således: + cos( v) = v = cos Side 48

49 cos v x x + y y + z z = Og dermed fås: Vektorprodukt i rum Vektorproduktet er et udtryk for den normlvektor, som mn kn oserverer på en pln der er udspændt over to ndre vektorer i et rum, disse vektorer må ikke være prllelle. Dette etyder derfor også t resulttet f et vektorprodukt er en ny vektor. Udregning f et vektoprprodukt: x = y = z for = og = Længden f vektorproduktet findes således: = sin ( v) hvor v er vinklen mellem og Det umildmrt første, mn kommer i tnke om, når mn læser definitionen herover må være de tre enhedsvektorer for kserne x, y og z. Mn vil d finde denne smmenhæng: i j = k j k = i k i = j Tger mn sklrproduktet i etrgtning, finder mn følgende definition på vektorproduktet: og = og = Side 49

50 Idet mn ved t er den vektor med koordinterne (x,y,z), finder mn eksempelvis t sklrproduktet mellem vektorproduktet og vektor liver: x + y + z = - Der vil til eviser f vektorproduktet liver tget udgngspunkt heri. Bevis () = x+ y+ z = = x+ y+ z = Dette ligningssystem ( ligninger med uekendte) løses ved hjælp f lige store koeficient metoden. For kn dette kn lykkes, må mn gnge henholdsvis () med vektor og () med vektor. () x + y + z = x + y+ z = () ( ) x+ y+ z x+ y+ z = y+ z y z= y y z+ z= ( ) ( ) y+ z= y= z Nu emærkes det t mn kn udtrykke - og - som determinnter: D og D D y = D z Herf kn mn udlede t D = z og D = y og t x derfor må være lig med D : x D = y = D z D Herf fås: Side 5

51 x D = y D = = = z D Plnets ligning i et rum Der findes kriterier for et pln i et rum. Disse kommer her: For en normlvektor n(,, c) til et givent pln og en vilkårlig vektor mellem det kendte punkt P (x, y, z ) og det løende punkt P(x, y, z) gælder følgende: n P P - Herved kn mn udlede t: n P P= x x n PP = y y = c z z Den mængde punkter som eksisterer i det pln som opfylder etingelserne i sætning. er givet ved: { n PP } P = - punktmængden P eskriver plnet Konsekvensen f disse kriterier, vil smmen med teorien om sklrproduktet dnne grundlg for udledningen f plnets ligning: x x + y y + c z z = Herf findes et plns ligning ved: x x + y y + c z z = x x + y y + cz cz = x + y + cz x y cz = x + y + cz + d = Side 5

52 I dette plns ligning gælder t: d = x y cz Når mn skl finde en normlvektor for et pln, kn mn ruge to vektorer som ligger i plnet. Vektorproduktet mellem de to vektorer i plnet, er plnets normlvektor. Prmeterfremstilling Prmeterfremstilling går ud på t dnne en formel for en linie eller et pln. Denne metode ruges især til t eskrive linier og plner i rum, d mn i det kendte xy-pln (z-ksen er en slgs normlvektor) oftest hr mulighed for t eskrive en linie ved liniens ligning (x + ). Der findes ikke nogen ligning for en linie i et rum. For t dnne en prmeterfremstilling for en linie skl mn ruge en retning (givet ved en vektor) og et egyndelsespunkt (givet ved et sæt koordinter). Prmeterfremstilling for en linie i et xy-pln For t eskrive liniestykket mellem P og P må det hndle om t tge vektoren r (retningen) et estemt ntl gnge. For t eskrive dette ntl gnge generelt etegner mn det t: PP = t r - hvor t (prmeteren) kn gennemløe lle reelle tl, t R Udledning: Indføre mn en stedvektor for hvert punkt (P og P), så er liniestykket mellem de smme to punkter givet ved: P P = OP OP OP = OP + P P Nu kn mn dnne formlen, som eskriver hvordn koordinterne til stedvektoren for punktet P ændre sig som funktion f prmeteren t: OP = OP + t r t R - Idet t P (x,y ) og P(x,y), smt r(r,r ) opskrives som vektorer fås: Side 5

53 Prmeterfremstilling for en linie i et xyz-rum Der gælder helt de smme etingelser for linier i rum, som der gælder for linier i xy-pln. Det vil sige t: PP = t r - hvor t (prmeteren) kn gennemløe lle reelle tl, t R Udledning: Indføre mn en stedvektor for hvert punkt (P og P), så er liniestykket mellem de smme to punkter givet ved: P P = OP OP OP = OP + P P Nu kn mn dnne formlen, som eskriver hvordn koordinterne til stedvektoren for punktet P ændre sig som funktion f prmeteren t: OP = OP + t r t R fås: - Idet t P (x,y,z ) og P(x,y,z), smt r(r,r,r ) opskrives som vektorer x x r x x l: y = y + t r t R l: y = y + t r z z r z z I prmeterfremstillingerne for linierne kldes P for gennemløspunktet for linien. Side 5

54 Prmeterfremstilling for et pln i et xyz-rum Et pln α er fuldstændig estem ved ngivelse f et punkt Alle punkterne i plnet er d givet ved n PP= P og en norml vektor Ved t sætte prikproduktet f normlvektoren n og vektoren PP lig sikre vi t lle plnngivelser går fr P til et vilkårligt punkt P er vinkelrette på normlvektoren n α = { P n PP = } For vilkårlige punkter P som ligger over plnet gælder t n PP> der medføre t vinkelen mellem normlvektoren n og PP er spids. For vilkårlige punkter under plnet gælder det omvendte. Disse punkter kldes henholdsvis ( α ) ogpi ( α ) Pi nx Hr vi ngivet n= ny, P( x, y, z) ogp( x, y, z n z nx x x { (,, ) α = P x y z ny y y = n z z z Ud fr dette kn vi ngive plnens ligning ) + Plnetsligning i et xyz-rum (forst fr forrige fsnit) n x x n y y n z z x + y + z = i koordinter liver Hvis vi gnger ud og sætter d = nxx nyy nzz nx x + ny y + nz z + d= Alle ligninger hr denne form, lle tllene n, n ogn kn dog ikke være lig x y z n Skæring mellem plner Skæringen mellem de plner q og p i et rum. Side 54

55 Bliver mn stillet denne opgve gælder det op t lve en prmeterfremstilling for den linie, som løer lngs skæringen mellem de plner. De plner skl være givet ved deres ligninger: q: x+ y+ c z+ d = og p: x+ y+ c z+ d = Mn følger nu disse punkter: q q q p p p ) Antg t den ene f de tre vriler x,y eller z (lt efter hvd der virker logisk) er lig med prmeteren t. I lngt de fleste tilfælde er x = t pssende. ) Indsæt denne ntgelse i ligningerne for plnerne p og q. q: t+ y+ c z+ d = q q q p: t+ y+ c z+ d = p p p - de ligninger hr nu en prmeter og to vrile! ) Løs de ligninger med (nu) to uekendte. En oplgt metode er de lige store koefficienters metode. I det rugte eksempel vil mn nu få en funktion f prmeteren t som fgøre y: - y = y + k y t Og ved t indsætte denne i en f de to ligninger fås en funktion f prmeteren t som fgøre z på smme måde: - z = z + k z t 4) Det fundne psser således ind i prmeterfremstillingen for en linie: x y = y + t k - Mn er så heldig t denne linie er resulttet. y x z k z Side 55

56 Vektor og Rumgeometri Regneformler Prikprodukt Det sklære produkt f vektorer og er tllet = * *cos( v) Det hule gngetegn kldes prikken og må ikke undldes, læses ltså p rik Krydsprodukt * * x = = * * = y * * z Vektorlængde x y z = x + y + z = længden Vektor ud fr punkter xa xb AB= ya yb za z B Prmeterfremstilling for en linje Denne ngives ved et punkt P = ( x, y, z ) og en retningsvektor rx r = ry r z Linjens punktmængde skrives l = { P PP = t r R} Punkterne P er estemt ved PP = t r fordi t gennemløer lle de reelle tl Linjens prmeterfremstilling liver i koordinter til x x rx y = y + t ry, t R z z r z En linjes hr uendelig mnge prmeterfremstilling, d mn kn vælge et hvert ndet punkt på linjen i stedet for P og i stedet for retningsvektoren r kn der vælges en vilkårlig vektor prllel med r Side 56

57 Slut De nturvidenskelige Jco Lrsen og Mrtin Gyde Poulsen Evt. fejl og mngler kn sendes til Side 57