Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Transkript

1 Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen

2 Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres. Indholdet er eskttet ifølge gældende lov om ophvsret. Alle rettigheder foreholdes. 008 Søren Toftegrd Olsen Få et GRATIS eksemplr på

3 Indhold BRØKREGNING... REDUKTION... 6 LIGNINGER... 0 POTENS-REGNING... ROD-UDDRAGNING... 6 NUMERISK VÆRDI... 8 ENHEDSCIRKLEN... 9 SINUS, COSINUS OG TANGENS... 0 RETVINKLET TREKANT... VILKÅRLIG TREKANT... 5 RUMFANGS-BEREGNING... LINIE... 5 TREKANT... 6 CIRKEL... 0 FUNKTION OG GRAF... LINEÆRE FUNKTIONER.... GRADS-POLYNOMIER... 7 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER... 5 HARMONISK SVINGNING... 5 OMSKRIVNING AF SINUS OG COSINUS... 5 EKSPONENTIAL-FUNKTIONER LOGARITME-FUNKTIONER POTENS-FUNKTIONER... 6 SAMMENSAT FUNKTION... 6 OMVENDT FUNKTION GRADS-LIGNING LINEÆRT LIGNINGSSYSTEM TRIGONOMETRISKE GRUNDLIGNINGER... 7 SPECIELLE LIGNINGER ULIGHED BRØK-ULIGHED TRIGONOMETRISK ULIGHED DOBBELT-ULIGHED VEKTORBESKRIVELSE... 8 VEKTOR-ALGEBRA HJÆLPE-STØRRELSER GRÆNSEVÆRDI DIFFERENTIALKVOTIENT FUNKTIONS-OVERSIGT (f )... 0 REGNEREGLER (f )... 0 EKSTREMUMSPUNKTER ASYMPTOTER FUNKTIONS-UNDERSØGELSE INTEGRALREGNING... FUNKTIONSOVERSIGT (F)... REGNEREGLER (F)... 5 Mtemtiske smoler... 8 Stikord... 0

4 Alger BRØKREGNING Brøk Tæller Nævner og er tl 8 EKSEMPEL: Fortegnsregler Hvis mn gnger eller dividerer to tl med forskelligt fortegn liver resulttet negtivt. Hvis fortegnene er ens liver resulttet positivt. 8 EKSEMPLER: ( ) Forlænge eller forkorte en røk Brøken ændrer ikke værdi, hvis mn gnger eller dividerer med det smme tl i tæller og nævner. : : EKSEMPEL: EKSEMPEL: : 8 8 :

5 Alger Gnge en røk med et tl Mn gnger en røk med et tl, ved t gnge tælleren med tllet og eholde nævneren. EKSEMPEL: Gnge en røk med en røk Mn gnger en røk med en røk, ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. d d EKSEMPEL: Addition og sutrktion f røker Brøker med smme nævner kn lægges smmen, ved t ddere røkernes tæller og eholde nævneren. En lignende regel gælder for sutrktion. n n n n n n EKSEMPLER: EKSEMPEL:

6 5 Alger Dividere en røk med en røk Mn dividerer en røk med en røk, ved t gnge med den omvendte. d d : kn også skrives d d BEVIS d d d d d d d d : q.e.d.* ) *) q.e.d.: (Ltin) quod ert demonstrndum, hvilket etder Som skulle vises EKSEMPEL: : Kurt, hvorfor vr du her ikke i sidste mtemtiktime? - Hvis jeg hvde vidst, t det vr den sidste, så ville jeg hve været her.

7 Alger REDUKTION Reduktion Reduktion etder i mtemtik t skrive noget simplere. EKSEMPEL: : Regneopertionernes hierrki Regneopertionerne udføres i flg. rækkefølge:. Multipliktion (. ) og division (:). Addition () og sutrktion (-) 6 EKSEMPEL: Addition f tl Når mn lægger tl smmen, er rækkefølgen ligegldig. EKSEMPEL: Multipliktion f tl Når mn gnger tl, er rækkefølgen ligegldig. EKSEMPEL:

8 Alger Prenteser Indholdet i en prentes skl opfttes som ét element. EKSEMPEL: 5 ( ) Led Led er dskilt f plus () eller minus (-). 6 EKSEMPEL: 7 indeholder led Et tl gnge en prentes Mn gnger et tl med en prentes ved t gnge tllet med hvert led i prentesen. ( d) d EKSEMPEL: 6 ( ) 6 6 BEMÆRK: ( ) ( ) En prentes gnge en prentes Mn gnger en prentes med en prentes ved t gnge hvert led i den første prentes, med hvert led i den nden prentes. ( ) ( d) d d EKSEMPEL: ( 6 5) ( )

9 8 Alger Potens-skrivemåde Gnges flere ens tl smmen, kn det skrives nemt ved rug f potens. EKSEMPEL: 5 : Kvdrtet på en to-leddet sum Kvdrtet på en to-leddet sum giver: Kvdrtet på første led, plus kvdrtet på ndet led, plus det doelte produkt. ( ) BEVIS ( ) ( ) ( ) q.e.d. EKSEMPEL: ( ) EKSEMPEL: ( )

10 Alger Kvdrtet på en to-leddet differens Kvdrtet på en to-leddet differens giver: Kvdrtet på første led, plus kvdrtet på ndet led, minus det doelte produkt. ( ) EKSEMPEL: ( 7) 7 7 EKSEMPEL: 6 6 ( ) To tls sum gnge de to tls differens To tls sum gnge de smme to tls differens giver: Kvdrtet på første led, minus kvdrtet på ndet led. ( ) ( ) EKSEMPEL: ( 8 9) ( 8 9) 8 9 EKSEMPEL: 9 6 ( ) ( ) 9

11 Alger LIGNINGER : Lighedstegn Et lighedstegn () ruges til t ngive, t værdien f to mtemtiske udtrk er ens. EKSEMPEL: : Ligning En ligning er to mtemtiske udtrk forundet med et lighedstegn. EKSEMPLER: 6 5 Uekendt størrelse Som smol for en uekendt størrelse ruges normlt ogstvet, som opfttes som et vilkårligt tl. : En ligning med en uekendt Ligning, hvor der indgår netop én uekendt størrelse. EKSEMPLER: EKSEMPLER: I og Bo er tilsmmen år, I er år ældre end Bo. Hvor gmmel er Bo ( )? ( ) 0

12 Alger Grundmængde Grundmængden (G) er de tl, den uekendte størrelse () skl findes ilndt. EKSEMPEL: Hvis ngiver lderen, målt i år, på en person gælder: kn ikke være negtiv er højst, d dette er lders-rekorden. Altså gælder: G { R 0 } Dette læses: Grundmængden er mængden f der tilhører de relle tl (lle tl), hvorom det gælder t er større end eller lig 0 og mindre end eller lig. Ligningens grd En lignings grd er den højeste forekommende potens f den uekendte () EKSEMPLER:. grds-ligning:. grds-ligning:. grds-ligning: I 8 viste den -årige nordmnden N.H. Ael, t der ikke findes en generel formel til løsning f 5. grdsligninger. Andre hvde rejdet på det i 00 år.

13 Alger. grdsligning med én uekendt En ligning med netop én uekendt og denne kun forekommer med grden (potensen) : BEMÆRK: Ligningen vil ltid kunne skrives på formen: EKSEMPEL: Løse en ligning At løse en ligning med en uekendt () vil sige t finde de værdier f, som gør ligningen snd. Løsningsmængden kldes L. Hvis der ingen løsning er, skriver mn L Ø, som læses: løsningsmængden er tom. 6 0 EKSEMPEL: L { R } BEMÆRK: 6 0 L Ligning { R } Grundmængde Løsning Isolere Når mn løser en ligning med én uekendt (), forsøger mn t få til t stå lene på den ene side f ligheds-tegnet, og tllet der er løsning til t stå på den nden side. Det kldes t isolere.

14 Alger Mn må: Regler for løsning f ligninger : Lægge smme tl til på hver side f lighedstegnet. : Trække smme tl fr på hver side f lighedstegnet. : Gnge med smme tl på hver side f lighedstegnet dog ikke nul. : Dividere med smme tl på hver side f lighedstegnet dog ikke nul. EKSEMPEL: L Ligningen Regel Regel Regel isoleret { R 0} Løsnings - mængden er

15 Alger POTENS-REGNING Den p te potens f Den p te potens f skrives: p kldes grundtllet, p kldes eksponenten (eller potensen). EKSEMPEL: Den. potens f skrives Potens-regneregler (positivt grundtl) Følgende regneregler gælder for potenseregninger Forudsætning: og er positive tl:, R n og p kn være lle tl: n, p R A) B) C) n n ( ) n p p n np ( ) np n D) E) F) n n n n p n n n p BEMÆRK: Under visse forudsætninger kn det også tilldes t og er negtive tl eller nul. EKSEMPLER: A) 0, 5 0, 8 0, 0, D) 56,, 56,, 6 56, 6 B), 0 ( 7, 5 ), 7, 5, E) 77, 77 7, 7,, 0,, C) 0, 9, 0, F), 5, 67, 5, 67

16 Alger Potens-regneregel (grundtl lig ) Unset eksponentens (n) værdi, gælder, 7 EKSEMPEL: n n R Potens-regneregel (grundtl lig nul) Hvis eksponenten (n) er et positivt tl, gælder: 0, EKSEMPEL: 0 n 0 0 n R. Potens-regneregel (eksponent lig nul) Unset grundtllets () værdi, gælder: 0 R EKSEMPLER: (, )

17 Alger ROD-UDDRAGNING Den n te rod f Tllet kldes den n te rod f tllet, hvis flg. er opfldt: hr smme fortegn som Den n te potens f er lig Dette kn også skrives: R n Hvis og n : Rdiknden : Roden n: Rod-eksponenten : Rodtegn. SPECIELT GÆLDER: EKSEMPEL: Den. rod f -5: 5 5 Kuglermmen lev opfundet i Asien for. 500 år siden. I 889 ggede den frnske ingeniør León Bollée en meknisk mskine, der kunne eregne kvdrtroden f et 8 ifret tl på 0 sekunder. Rod-uddrgning (lige rod-eksponent) Hvis rod-eksponenten (n) er et lige tl forskelligt fr nul, skl rdiknden () være positiv. n er et lige tl forskelligt fr 0: n {...,,,,... } er et positivt tl: R EKSEMPEL: Den. rod f 6: 6 EKSEMPEL: 6 Eksisterer ikke. 6

18 Alger Rod-uddrgning (ulige rod-eksponent) Hvis rod-eksponenten (n) er et ulige tl kn rdiknden () være et vilkårligt tl forskelligt fr nul. n er et ulige tl: n {..., 5,,,,, 5,... } er et tl forskelligt fr nul: R\{ 0 } EKSEMPLER: Rod og potens smmenhæng n p p n EKSEMPEL: 7 7 BEMÆRK: Hvis mn lver et rod-udtrk om til et potensudtrk, kn reglerne for potensregning ruges. EKSEMPEL: 9 9 7

19 Alger NUMERISK VÆRDI Ulighedstegn Et ulighedstegn ruges til t ngive, hvordn værdien f to mtemtiske forholder sig til hinnden. Der findes fire forskellige ulighedstegn: < > Mindre Større Mindre Større end end end eller lig end eller lig EKSEMPLER: < 5 > 5 Numerisk værdi (solut værdi) Den numeriske værdi f et positivt tl er lig tllet selv. Den numeriske værdi f et negtivt tl er lig tllet uden negtivt fortegn. Smolet for numerisk værdi er to lodrette streget omkring tllet., hvis 0, hvis < 0 EKSEMPLER: Trekntsuligheden EKSEMPEL: 7 7 8

20 ENHEDSCIRKLEN Enhedsirklen Figurer Enhedsirklen hr rdius og entrum i origo (O). O Vinkel Vinkler regnes i enhedsirklen fr -ksen og til liniestkket. Positiv omløsretning er mod uret. O v En hel omgng svrer til 60 o EKSEMPLER: O

21 Figurer SINUS, COSINUS OG TANGENS Sinus Indtegnet i en enhedsirkel er sin(v) lig -værdien. sin(v) læses: Sinus til v sin( v) O v BEMÆRK: sin( v) Cosinus Indtegnet i en enhedsirkel er os(v) lig -værdien. os(v) læses: Cosinus til v O v os( v) BEMÆRK: os( v) Tngens Indtegnet i en enhedsirkel er tn(v) lig -værdien når -værdien er. tn(v) læses: Tngens til v tn( v) O v BEMÆRK: tn ( v) EKSEMPLER: Se næste side. 0

22 Figurer 0,6 O 0, ( 5 ) 0, 7 sin ( 50 ) 0, 6 tn 0,5 0 os ( 0 ) 0, 5 Den trkiske stronom Hipprhus (90-7 f.v.t.) vr den første der lvede en tel over sinus. Dermed kunne hn l.. forudsige solformørkelser.

23 RETVINKLET TREKANT Figurer Retvinklet treknt I en retvinklet treknt er en f vinklerne 90 o. Hpotenuse Ktete BEMÆRK: Summen f de vinkler i en treknt er ltid 80 o. sin ( A) Sinus modstående ktete hpotenusen A BEVIS Definitionen på sinus og forholdet mellem de to treknters sidelængder giver: sin ( A) sin ( A) q.e.d O A sin( A) EKSEMPEL: sin( A) sin A 7 ( ) sin( 0 ) 5 0 o 7 Arussinus A Arsin BEMÆRK: Ofte etegnes Arussinus : sin - eller sin.

24 Figurer os ( A) Cosinus hosliggende ktete hpotenusen A Arusosinus A Aros BEMÆRK: Ofte etegnes Arusosinus: os - eller os. Tngens tn ( A) modstående hosliggende ktete ktete A Arustngens A Artn BEMÆRK: Ofte etegnes Arustngens: tn - eller tn. EKSEMPEL: tn( A) A os ( A) os 6, 8 ( A) os( 0 ) Ar tn 5 7 Ar tn 6, 8 A 6,8 A 0 7

25 Figurer Pthgors sætning For en retvinklet treknt gælder: BEMÆRK: Speielt gælder der 5 BEVIS Ved releregning fås: ( ) q.e.d EKSEMPEL: , ,8 0 EKSEMPEL: , , 6 Pthgors ( f.v.t.) vr nturvidensksmnd, filosof og prædiknt. Hn lev født på Smos (græsk ø nær Trkiet). Efter en del rejsen stiftede hn et religiøst/videnskeligt rodersk i Kroton (Sd-itlien). Hn er l.. også kendt som grundlæggeren f kustikken.

26 Figurer VILKÅRLIG TREKANT Vilkårlig treknt En treknt er givet ved sidelængderne, og smt vinklerne A, B og C. A B C Sinusreltionen sin sin B sin C ( A) ( ) ( ) BEVIS h sin h sin sin ( A) og sin( C) ( A) sin( C) ( A) sin( C) h A h C På tilsvrende måde kn sidste del vises q.e.d EKSEMPEL: 6 5 C 80 5 sin 6 ( A) sin( B) sin( 80 ) 6 80 o 5 5 sin 6 A B C 80 B 80 80, 67, 6 ( A) sin( 80 ) 0, 55 A Arsin( 0, 55) 6 sin ( 80 ) sin ( 67, 6 ),, 5

27 6 Figurer Cosinusreltionen ( ) A os BEVIS Pthgors sætning giver: ( ) h og h h isoleres i den. ligning og udtrkket indsættes i den nden ligning: ( ) h Venstre treknt giver: ( ) ( ) A os A os Herved fås: ( ) A os Alterntive osinusreltioner ( ) ( ) C os B os EKSEMPEL: 6 5, ( ) ( ) , A ), Aros( A,,, A os A os A h C q.e.d

28 AREAL-BEREGNING Figurer Flde En flde er et smmenhængende -dimensionlt område (d.v.s. det hr ingen tkkelse) Arel Arelet ngiver den -dimensionle udstrækning f en flde. EKSEMPEL: Arelet f en linderflde er omkreds gnge højde. METODE Udfoldning Hvis flden kun krummer i en retning, kn mn finde relet ved udfoldning f flden. Udfoldning f en linder Et lndkort er et forsøg på t vise Jordkloden udfoldet. Men d Jorden (en kugle) krummer i to retninger, kn den ikke udfoldes korrekt. 7

29 UDFOLDNING: Figurer PRISME h h d d. π CYLINDER h d. π KEGLE s d s v v 80 d s KEGLESTUB d D s s v t s D t D d 80 d v t PYRAMIDE s s 8

30 Figurer AREALET AF PLANE FLADER: Arelet f et rektngel Arelet (A rektngel ) f et rektngel med længden (L) og redden (B) er: A rektngel L B B L Arelet f en treknt Arelet (A treknt ) f en treknt med højden (h) og grundlinien (g) er: h A treknt h g g Arelet f en trpez Arelet (A trpez ) f en trpez med to prllelle sider (, ) smt højden (h) er: ( ) A trpez h h BEVIS A trpez h ( ) h ( ) h q.e.d Arelet f en irkel Arelet (A irkel ) f en irkel med dimeter (d) er: Airkel d π d 9

31 Figurer AREALET AF RUMLIGE FLADER: Overflde-relet f en linder Overflderelet (A linder ) f en linder med dimeter (d) og højde (h) er: A linder π d h h d Overflde-relet f en kegle Overflderelet (A kegle ) f en kegle med grundflde-dimeter (d) og sidelængde (s) er: A kegle s d π BEVIS s Ved t klistre en msse treknter smmen, får mn en mere eller mindre kntet kegle. Treknternes højde kldes s og deres grundlinier kldes,, Overflde-relet f denne kegle er: Akegle s s... s s (... n ) Summen f treknternes grundlinier er irk lige så stor som irklens omkreds:... d π n Hvis vi ruger uendelig mnge treknter, vil vi derfor få: A kegle s d π q.e.d n d 0

32 Figurer Overflde-relet f en keglestu Overflderelet (A keglestu ) f en keglestu med top-dimeter (d), und-dimeter (D) og sidelængde (s) er: ( D d) A keglestu π s d D s Overflde-relet f en kugle Overflderelet (A kugle ) f en kugle med dimeter (D) er: A kugle π D D Overflde-relet f en kugleklot Overflderelet (A kugleklot ) f en kugleklot med højden (h) og grundflde-dimeter (d) skåret f en kugle med dimeter (D) er: A kugleklot π D h π d h d D h Overflde-relet f et kugleælte Overflderelet (A kugleælte ) f et kugleælte med højden (h) skåret f en kugle med dimeter (D) er: A kugleælte π D h h D

33 Figurer RUMFANGS-BEREGNING Et legeme Et legeme er en lukket flde i det - dimensionle rum og dennes indre. Rumfng (volumen) Rumfnget ngiver hvor meget et legeme flder i det - dimensionle rum. METODER Bestemmelse f rumfng Metode : Mål legemet op med en skdelære el. lign. og eregn rumfnget. Metode : Sænk legemet ned i et målegls med vnd og flæs rumfngsændringen*. Metode : Gs kn opsmles i et målegls nedsænket i væske. *) Aflæs ved væskeoverfldens und, den reelle væskemængde over dette niveu er miniml.

34 Figurer RUMFANGET AF UDVALGTE LEGEMER: Rumfnget f en ksse Rumfnget (V ksse ) f en ksse med højden (H), længden (L) og redden (B): V ksse L B H H L B Rumfnget f en linder Rumfnget (V linder ) f en linder med dimeter (d) og højde (h): V linder π d h h d Rumfnget f en kegle Rumfnget (V kegle ) f en kegle med grundflde-dimeter (d) og højde (h): V kegle π d h h d Rumfnget f en keglestu Rumfnget (V keglestu ) f en keglestu med top-dimeter (d), und-dimeter (D) og højde (h): V keglestu π h ( D d D d) d D h

35 Figurer Rumfnget f en prmide Rumfnget (V prmide ) f en prmide med grundflde-rel (G) og højde (h) er: h V prmide G h G Rumfnget f en prmidestu Rumfnget (V prmidestu ) f en prmidestu med undflde-rel (G), topflde-rel (g) og højde (h) er: V prmidestu h h ( G g G g) g G Rumfnget f en kugle Rumfnget (V kugle ) f en kugle med dimeter (D) er: V kugle π D 6 D Rumfnget f et kuglefsnit Rumfnget (V kuglefsnit ) f et kuglefsnit med højden (h) og grundflde-dimeter (d) skåret f en kugle med dimeter (D) er: V kuglefsnit π h d h π h 6 6 d D ( D h) h Rumfnget f et kugleudsnit Rumfnget (V kugleudsnit ) f et kugleudsnit med højden (h) skåret f en kugle med dimeter (D) er: V kugleudsni t π D 6 h D h

36 Figurer LINIE Liniens ligning Ligningen for en ret linie kn skrives på formen: α β 0 α, β og er konstnter. Afstnd mellem et punkt og en ret linie Afstnden (d) mellem en linie α β 0 og et punkt P, er givet ved: ( ) BEVIS P P d α Et punkt på linien: R ( ; ) P β α R R β P α En normlvektor til linien: n β d er længden f vektoren RP s projektion på n: d RP n n n P P α P β α n R R α β β P RP n EKSEMPEL: 7 0 d 7 ( ) n, P (,), 6 q.e.d. P n R d 5

37 Figurer TREKANT Treknten er en simpel; men meget stil konstruktion. Iglooen er gget f treknter. Trekntens mediner Liniestkket, som går fr midten f en side til modstående vinkelspids, kldes en medin. Medinernes delingsforhold De tre mediners fælles skæringspunkt deler medinerne i forholdet : BEVIS Vektorerne og d repræsenterer to mediner. og d Af figuren ses (p og q er to tl): OT p q d O p q p q p q 0 T d D og ikke er nul-vektorer etder det, t: p q 0 p q 0 p q.e.d Hermed er vist, t OT udgør f medinens længde ( ). 6

38 Figurer Trekntens (rel)tngdepunkt Medinerne skærer hinnden i trekntens tngdepunkt (T), som hr koordinterne: A B C A B T, C A T C B EKSEMPEL: Vinkelspids-koordinter: A(, 0),B( 6, ),C( 5, ) ( ) T, (, ) Midt-norml Liniestkket som står vinkelret på en linie og går gennem liniens midtpunkt. A B Konstruktion f midtnorml Den dnske mtemtiker Georg Mohr (60-97) er kendt for, t hn kunne tegne (næsten) lle geometriske figurer v.h.. psser og linel. Vinkel-hlveringslinie Liniestkket der hlverer en vinkel. Vinkel-hlvering Linie-hlvering A B 7

39 Figurer Omskreven irkel En irkel der går gennem lle tre vinkelspidser i en treknt, kldes den omskrevne irkel. Omskreven irkel Trekntens midtnormler skærer hinnden i den omskrevne irkels entrum. BEVIS Afstnden fr et punkt på en midt-norml til liniens endepunkter er ens. O R Fr skæringspunktet (O) R R mellem to midtnormler er der lige lngt (R ) q.e.d til lle tre vinkelspidser. Der kn tegnes en irkel med rdius (R ) og entrum (O). Appollonius fr Perg ( f.v.t.) hvde følgende (utrditionelle) definition f en irkel: En irkel estår f punkter, der hr et konstnt længdeforhold til to fste punkter: L L L L Konstnt 8

40 Figurer Indskreven irkel En irkel, der tngerer lle tre sider i en treknt, kldes den indskrevne irkel. Indskreven irkel Vinkelhlveringslinierne skærer hinnden i den indskrevne irkels entrum. BEVIS Afstnden (r ) fr et punkt på en vinkelhlveringslinie til de to sider er ens. Der findes et punkt (M), hvor fstnden til den tredje side hr smme værdi (r ). r M r D dette punkt (M) hr smme fstnd til lle tre sider går r lle tre vinkelhlveringslinier gennem det D tngenten til en irkel står vinkelret på en rdius er sætningen evist. q.e.d 9

41 Figurer CIRKEL Cirklens prmeterfremstilling En irkel med entrum i (, C C ) og rdius (r) kn eskrives ved: os r sin ( v) C ( v) C v [ 0; 60 [ ( ; ) C C r v O Cirklens ligning En irkel med entrum i (, ) ved: BEVIS os r sin og rdius (r) kn eskrives C C ( ) ( ) r ( v) ( v) r > 0 C C C C C C os r sin ( v) ( v) Vektoren på højre og venstre side f lighedstegnet, hr smme længde. ( ) ( ) r ( ) ( ) r C C C C EKSEMPEL:, 6, r ( ) ( ) C C Cirklens prmeterfremstilling: ( v) ( v) os v ; sin Cirklens ligning: ( 6) ( ) 9 [ 0 60 [ O 0

42 Figurer Cirklens ligning Ligningen: 0 C B A Fremstiller fhængigt f konstnten (C): En irkel Et punkt Intet Omformning f irklens ligning Ligningen: 0 C B A kn også skrives på formen: C B A B A EKSEMPEL: Cirkel EKSEMPEL: Punkt EKSEMPEL: Intet ( ) ( ) Venstresiden er ltid positiv og højresiden negtiv, ltså kn lighedstegnet ikke gælde ligningen er noget sludder. ( ) ( ) ( ) ( ) ,, ( ) ( ) ( ) ( ) 9 0 8

43 FUNKTION OG GRAF Funktioner Tl-mængde En tlmængde er en mængde f tl. Følgende tlmængder liver rugt så ofte, t de hr fået et smol: R: Relle tl (lle tl) R : Positive relle tl (lle positive tl) N: Nturlige tl (lle positive hele tl) Z: Hele tl Q: Rtionle tl (lle røker) EKSEMPEL: {,, 5, 7,,, 7, 9,, 9} Hvilket er de første 0 primtl Funktion En funktion (f) ngiver et entdigt smmenhæng mellem tllene ( og ) i to tlmængder. D.v.s. til hver -værdi findes der kun en -værdi. Ofte ruges skrivemåden f(). Mængden med -værdier kldes for funktionens definitionsmængde Dm(f) og mængden med -værdier kldes værdimængden Vm(f). Regne-forskrift (funktionsforskrift) En regneforskrift f() er et mtemtisk udtrk der ngiver, hvordn mn finder -værdien (også kldet funktionsværdien), når mn kender -værdien. EKSEMPEL: ( ) d f ( ) f Hvis vælges til, fås

44 Koordintsstem Funktioner Et (rtesisk) koordintsstem hr en vndret tllinie kldet sisse-ksen og en lodret tllinie kldet ordintksen. Et punkt i koordintsstemet kldes et koordint. Skæringen mellem kserne kldes origo, og hr koordintet (0;0) Akserne deler plnen i fire kvdrnter (I-IV). II III o I IV René Desrtes ( ) vr en frnsk filosof og mtemtiker. Hn rejste meget og oede l. 0 år i Hollnd. I 67 udgv hn ogen L géométrie, hvor hn lndt ndet indførte koordintsstemet. Grf En grf viser en funktion grfisk i et koordintsstem. Hvis sisse-ksen kldes -ksen og ordint-ksen kldes - ksen kn smmenhørende - og -værdier plottes som ;. koordinter ( ) EKSEMPEL: f 5 ( ) Punktets koordint: ( ;) ( 5;) f

45 Funktioner LINEÆRE FUNKTIONER (Ligefrem) Proportionl En tl-mængde er proportionl med tl-mængden, hvis der gælder t: Hvor er en konstnt forskellig fr 0. EKSEMPEL: Cirklens omkreds ( O irkel) er proportionl med dimeteren (D): π D O irkel Den engelske vidensksmnd Roert Hooke (65-70) undersøgte, hvordn mteriler deformeres. Hooks lov fr676 lder: ut tensio si vis som etder: Forlængelsen er proportionl med krften. Som det ses på grfen (for stål), er det kun korrekt for små deformtioner. Krft Brud 0,% Forlængelse 0% Lineær funktion (Liniens ligning) Regneforskriften for en ret linie i et rtesisk koordint-sstem kn skrives på formen: ( ) f Hvor og er konstnte tl. kldes stigningstllet eller hældningskoeffiienten og kldes konstnt-leddet. EKSEMPEL: f ( )

46 Funktioner Stigningstl (hældningskoeffiient) Stigningstllet () ngiver hvor meget -værdien vokser når -værdien vokser med. EKSEMPEL: På grfen ses t. Altså når stiger med stiger med. f Det svrer også til, t når stiger med, stiger med. Stigningstl (hældningskoeffiient) på grfen for en lineær funktion eller vinklen v mellem grfen (linien) og -ksen, er stigningstllet () givet ved: Kendes koordinterne til to punkter ( ; ) og ( ; ) BEVISER De to treknter på figuren er retvinklede og ensvinklede. Fr trigonometri hves: tn v tn v ( ) ( ) Sideforholdene i ensvinklede treknter er ens: q.e.d tn( v) v v EKSEMPEL: ( ;) ( 0; ) ( ; ) ( 5; ) v, 0 ( ) eller lterntivt tn(, 0 ) 0,

47 Funktioner Konstnt-leddet () Grfen for den lineære funktion ( ) ksen i punktet( 0 ;). f skærer - Konstnt-leddet () Hvis mn kender stigningstllet () smt koordintet ( ; ) til et punkt på grfen for en lineær funktion, kn konstntleddet () findes ved: Prllelle linier Hvis stigningstllene ( og ) er ens, er linierne prllelle. Linie står vinkelret på linie Når to linier står vinkelret på hinnden, er produktet f deres stigningstl lig -. BEVIS Stigningstllet er et negtivt tl. D længder er positive tl, er sidelængden. Der gælder: tn( v) tn( v) v q.e.d. v 6

48 Funktioner. GRADS-POLYNOMIER. grds-polnomium Et. grds-polnomium kn skrives på formen: ( ) A B C f A, B og C er konstnter. A 0 f A, B 0, C EKSEMPLER: ( ) ( ) ( ) f ( ) f A 9, B, C A, B, C Prel. grds-polnomiets grf kldes for en prel. Vi er omgivet f prler: Kstes en sten, følger den (næsten) en prel-formet nekurve. Et snit i en kegle kn give en prel. Tværsnittet f en TV-prol eller spejlet i en lgte er en prel. Desuden ruges prler ofte til t fitte måledt og kurver eller dele f disse. Diskriminnten Diskriminnten er en nttig hjælpe-størrelse, som er givet ved: D B A C 7

49 Funktioner Prlens ntomi Smmetri-kse Toppunkt Ben REGLER Prlens plering. Positiv A: Benene peger opd Negtiv A: Benene peger nedd. Hvis A er stor er prlen sml. Hvis A er lille er prlen red.. A og B ens fortegn: Toppunkt til venstre for -ksen. A og B forskelligt fortegn: Toppunkt til højre for -ksen. B 0 : Toppunkt ligger på -ksen.. Prlen skærer -ksen i punktet ( 0 ;C) 5. Positiv D: Prlen skærer -ksen gnge D 0: Prlen rører -ksen i punkt Negtiv D: Prlen rører ikke -ksen EKSEMPEL: ( ) f A, B, C : A > 0: Benene vender opd. : A og B forskelligt fortegn: Toppunkt til højre for -ksen. 0; : Prlen skærer -ksen i punktet ( ) 5: ( ) D : Prlen rører ikke -ksen 8

50 Smmetri-ksen Funktioner Prlens smmetrikse er estemt ved: sm kse B A EKSEMPEL: ( ) f A, B, C Smmetri-ksen er ltså givet ved: sm kse 8 Toppunktet Prlens toppunkt hr koordinterne: BEVIS ( ) B D tp ;tp ; A A Toppunktet ligger på smmetriksen så: -koordinten er: tp f A B A ( ) tp B A A f B A B B B C A B A EKSEMPEL: ( ) C B A C A tp sm kse D A q.e.d. f A, B, C D ( ) ( ) 6 6 ( ; ) ; ( ; ) tp tp 9

51 Regneforskriften ( ) Funktioner Omskrivning f regne-forskriften f A B C er identisk med: ( ) A ( tp ) tp f ( tp ) tp A A A ( ) tp tp o o tp o tp METODE Omskrivnings-fidus Formlen ( ) d.v.s. kvdrtet på tp tp tp en to-leddet differens, gør omskrivningen nem. FORKLARENDE EKSEMPEL: 8 9 ( ) 9 ( ) 7 TRIN : Forn står TRIN : ( ) tp giver leddet trækkes fr. EKSEMPLER: tp ltså tp tp 8 så tp for meget, som derfor må ( ) ( ) ( ) ( ) 6 50

52 Funktioner TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER Grder og rdiner En vinkel måles ofte i grder ( v grd); men i mtemtik er det lige så lmindeligt t måle vinkler i enheden rdin ( v rd): En irkel er opdelt i En irkel er opdelt i π 6, 8 rdin - hvilket er enhedsirklens omkreds π 6 v rd v grd BEMÆRK: Hvis en vinkel er ngivet uden enhed er det underforstået, t enheden er rdin. EKSEMPEL: v v rd grd rd v rd 80 vgrd 57, π π 0, Tngens-funktionen tn er defineret i forhold til en en- tn i et koordintsstem svrer - Funktionen tngens ( ) hedsirkel. Tegnes ( ) værdien til vinklen. 5 tn( ) O 5 O 5

53 Funktioner Cosinus-funktionen os er defineret i forhold til en en- os i et koordintsstem svrer - Funktionen osinus ( ) hedsirkel. Tegnes ( ) værdien til vinklen. O 5 O os( ) Sinus-funktionen sin er defineret i forhold til en enheds- sin i et koordintsstem svrer -værdien Funktionen Sinus ( ) irkel. Tegnes ( ) til vinklen. sin( ) O 5 O 5

54 Funktioner HARMONISK SVINGNING Hrmonisk svingning En hrmonisk svingning kn eskrives ved regneforskriften: π h ( t) sin t ϕ k T Hvor: t: Den ufhængige vriel (tiden) : Amplituden (den hlve ølgehøjde) T : Perioden eller svingningstiden (tiden for en hel svingning) k : Konstnt-leddet (forskdning i. ksens retning) ϕ: Fsevinklen. ϕ T : Fseforskdningen (forskdning i. ksens retning) π π BEMÆRK: f kldes frekvens og ω vinkelfrekvens T T EKSEMPLER: T π h ( t), sin t 0 7, k ( t) sin( t) h O ϕ T π T Ved flæsning på figuren ses t: h : T π ϕ 0 k 0 ϕ T h :, T ϕ k 0, 7 og, 7 π 5

55 Funktioner OMSKRIVNING AF SINUS OG COSINUS sin tn os ) ( v) Omskrivnings-formler ( v) ( v) ) sin( v) sin( π v) sin( 80 v) sin( v) ) os( v) os( π v) os( 80 v) os( v) π d) sin( v) os v os( 90 v) π e) os( v) sin v sin( 90 v) f) sin( v ± u) sin( v) os( u) ± os( v) sin( u) g) os( v ± u) os( v) os( u) m sin( v) sin( u) h) sin ( v) [ sin( v )] i) sin( v) sin( v) os( v) j) os( v) os ( v) sin ( v) k) ( v) os ( v) sin Populært kldet Idiot-formlen A C os u A sin v B os v C sin v u, B C sin( u) l) ( ) ( ) ( ) EKSEMPLER: ) sin ( 0 ) sin( 80 0 ) sin( 50 ) f) sin ( 60 5 ) sin( 60 ) os( 5 ) os( 60 ) sin( 5 ) l) sin( ) os( ), 6 sin( 0, 678) C os( u) D ligningssstemet giver: ( ) C, C sin u u, ( )

56 BEVIS for regel Sideforholdene i ensvinklede treknter er ens: tn ( v) sin( v) os( v) tn Funktioner ( v) sin os q.e.d. ( v) ( v) sin ( ) O os( ) tn( ) BEVIS for regel g (minus) Enhedsvektorerne og er givet ved: os sin ( v) ( v) og ( u) ( ) os sin u Sklrproduktet er givet ved: O ( v u) os og Sættes de to udtrk for sklrproduktet lig hinnden fås: os ( v u) os( v) os( u) sin( v) sin( u) v u q.e.d. BEVIS for regel g (plus) Resulttet fr minus-tilfældet ovenover smt regel ) og ) giver: os os os ( v u) os( v ( u) ) ( v) os( u) sin( v) sin( u) ( v) os( u) sin( v) sin( u) q.e.d. BEVIS for regel k D enhedsirklens rdius er, giver Pthgors sætning: os ( v) sin ( v) q.e.d. sin v ( ) O v os( v) 55

57 Funktioner EKSPONENTIAL-FUNKTIONER Eksponentilfunktioner Eksponentilfunktionens regneforskriften, hvor kldes grundtllet: f hvor > 0 ( ) R BEMÆRK: Dm ( f) R og Vm ( f) Eksponentiel udvikling Regneforskriften for en eksponentiel udvikling er givet ved: f 0 < < > f ( 0 ) ( ) hvor R Monotoniforhold : : \{ } For en eksponentiel udvikling f( ) : f ( ) er ftgende og R gælder følgende: f ( ) (konstnt, ikke en eksp. udvik.) f ( ) er voksende EKSEMPLER: Almindeligt og enkeltlogritmisk koordintsstem X O Enkelt-logritmisk koordintsstem.-ksen i et enkelt-logritmisk koordintsstem er inddelt i lige store enheder..-ksen er derimod inddelt, så grfen for en eksponentiel udvikling liver en ret linie X , ( 0;)

58 Funktioner Bestemmelse f og Hvis mn kender koordinterne til to punkter ; ) og ( ( ; ) på grfen for en eksponentiel udvikling ( ) f kn grundtllet () og tllet findes ved:, og BEVIS ( ) q.e.d. EKSEMPEL: ( ; ) (, 5; 00), ( ; ) ( ) 00, , 89, 5 0, 68 D.v.s. ( ) ; f, 89 0, 68 0, , METODE Referene-værdi Hvis -værdierne er store, skl mn ruge en refereneværdi ), så regneforskriften skrives på formen: ( ref f u ( ), u ref Se forklrende eksempel på næste side 57

59 Funktioner FORKLARENDE EKSEMPEL: Antl mlkekøer i Dnmrk: Givet: ( ; ) ( ; 6, mill. ) ( ; ) ( 00; 0, 56mill. ) så ( u ; ) ( 0;, 6mill. ) ref ( u ; ) ( ; 0, 56mill. ) 6, , , 9775,, , D.v.s.: f ( ) 6, 0 0, , 9775 Indføres ref ikke fås smme grundtl (). Men vil i teorien svrer til ntllet f mlkekøer ved Jesus fødsel (år 0) og derfor være et enormt stort tl. Værdien f vil ikke kunne eregnes nøjgtig, fordi en lille fejl (for få deimler) på vil medføre en stor fejl på. Hlverings- og fordolingskonstnt Hvis 0<<: Når øges med T ½, hlveres funktionsværdien. ( ) ( ) ln T ½ Hlverings-konstnten ln Hvis >: Når øges med T, fordoles funktionsværdien. BEVIS f ( ) f( T ) ( ) ( ) ln T Fordolings-konstnten ln ln( ) ln( T ) T ( ) ln 58 T T ln ( ) ( ) ln T EKSEMPEL: Lndrug: ( 960; 96 0 ), ( 00; 0 ) ( ) ( 0, 9666) log 0, 9666, T½ 0 år log I 980 vr der ltså q.e.d. lndrug i Dnmrk. T

60 Funktioner LOGARITME-FUNKTIONER BEMÆRKNING Nvngivning f Logritmefunktioner En logritmefunktion med grundtllet kldes: log ( ) Logritme og eksponentil-funktioner er tæt knttet smmen. Logritmefunktion For en logritmefunktion med grundtllet : ( ) log hvor R \{ } Gælder: BEMÆRK: Dm ( ) R og Vm ( ) R EKSEMPLER: ( 0, 0) log d 0 0, < < > Monotoni-forhold, ( 8) log d 8 For en logritmefunktion f( ) log ( ) : f ( ) er ftgende : Ikke defineret f ( ) 0 og f ( ) : f ( ) er voksende gælder følgende: EKSEMPLER: ln( ) log( ) 0 0 log 0, log,5 ( ) 0 ( ) 59

61 Funktioner Nturlig og sædvnlig logritmefunktion To ofte enttede logritmefunktioner er: Den nturlige: ( ) Den sædvnlige: ( ) ln som hr grundtllet e, 78 log som hr grundtllet 0 I 6 udgv den skotske mtemtiker, fsiker og stronom John Npier ogen Mirifii Logrith-morum Cnonis Desriptio, hvori hn eskrev logritme-teller. Det er lettere t ddere end t multipliere. D funktionlligningen netop lver et gnge-stkke om til et plus-stkke, vr logritme-regning meget populært før lommeregnerens opfindelse. Logritme regneregler ) log ( ) 0 ) ( ) log ) log ( ) d) ( ) log e) ( ) ln log ln ( ) ( ) f) log ( ) log ( ) log ( ) Funktionlligningen g) log log ( ) log ( ) n h) log ( ) n log ( ) n i) log ( ) log ( ) n 60

62 Funktioner BEVIS for regel f Fr definitionen hr vi: log log hvor log ( ) Fr definitionen Potens ( ) log ( ) Re gel ( ) log ( ) log ( ) regneregel q.e.d. BEVIS for regel g log log log ( ) ( ) log log ( ) Brøkregneregel log ( ) log ( ) log Re gel f Isolerer q.e.d. BEVIS for regel h log Regel Fr definitionen n ( ) log [ ] n n log ( ) n Potensregneregel n ( ) log ( ) q.e.d. BEVIS for regel e Fr definitionen hr vi: Re gel e ln ( ) hvor log ( ) e hvor ln( ) Re gel h ( ) ln( e ) ln( ) ln( e) ln Isolerer ln ( ) log ( ) ln ln ( ) ( ) q.e.d. 6

63 POTENS-FUNKTIONER Funktioner Potensfunktion Potensfunktioners regneforskrift er givet ved: f() hvor R og R BEMÆRK: Dm ( f) R og Vm ( f) R EKSEMPLER: I visse tilfælde kn tl-mængderne dog udvides. ( ), ( ), ( ), f Ligefrem proportionlitet g Grfen kldes en prel h Grfen kldes en hperel Doelt-logritmisk koordintsstem Hvis åde.-ksen og.-ksen hr logritmisk inddeling kldes koordintsstemet for doelt-logritmisk. Potensfunktionens grf I et doelt-logritmisk koordintsstem liver grfen for en potens-funktion en ret linie. EKSEMPLER: Alm. og doeltlogritmisk koordintsstem ( ;) O 6 0

64 < 0 0 > 0 f ( ) Funktioner Monotoni-forhold Hvis >0 gælder for en potensfunktion f( ) : f ( ) er ftgende : : f ( ) (konstnt) f ( ) er voksende t: På det såkldte Rhind pprus kn mn l.. læse, hvordn ægpterne for. 000 år siden regnede med kvdrtrødder Bestemmelse f og Kendes koordinterne til to punkter ( ; ) ; på grfen for en potensfunktion, kn tllene og findes ved: BEVIS ln ( ) ln( ) ( ) ln( ) og ( ) ln og ln ln Isolerer logregneregel g ln ln ( ) ln( ) ( ) ln( ) ln på egge sider logregneregel h q.e.d. EKSEMPEL: Effektt pg. luftmodstnd på en personil ( ; ) ( km / t; 5kW ) ( ; ) ( 0km / t; kw ) f 60 ln( 5) ln( ) ln( 60) ln( 0), ( ) 5, 5 0,, 5 60, 9 5, 5 0 6

65 Funktioner SAMMENSAT FUNKTION Smmenst funktion (funktion f funktion) Hvis mn i funktionen f ( ) ersttter med en funktion ( ) hr mn en såkldt smmenst funktion, hvilket skrives: f ( g( ) ) eller f o g( ) g f g, g( ) f( g( ) ) fo g EKSEMPEL: f ( ) og ( ) f o g( ) ( ) 8 9 g giver: EKSEMPEL: En mrtonløers gennemsnitsfrt (f ) fhænger f konditllet (k ). Konditllet fhænger f træningsmængden (t). Gennemsnitsfrten fhænger ltså f træningsmængden: f ( k( t) ) 6

66 OMVENDT FUNKTION Er en funktion ( ) Funktioner Omvendt funktion (Invers-funktion) f enten voksende eller ftgende i hele definitionsmængden (d.v.s. injektiv), hr den en omvendt f. Der gælder: funktion ( ) f ( ) f ( ) f( ) f ( ) BEMÆRK: - er et smol for omvendt funkt. ikke en potens. Regneregel For funktionen f og dens omvendte funktion BEVIS f f ( ) ( ) k f f f o f ( k) f o f( k) ( ) ( ) f f ( ) ( ) f ( f( ) ) q.e.d. f gælder: Den omvendte funktion Bestemmelse f den omvendte funktion f findes ved t isolere i: f( ) $EKSEMPEL: f ( ) f ( ) Grfen f ( ) Grfen for f ( ) for ( ) fås ved t spejle grfen f i linien f ( ) EKSEMPEL: f ( ), 0 O ( ) f ( ) f 65

67 Ligninger. GRADS-LIGNING. grds-ligning En. grds-ligning kn skrives på formen: A B C 0 A, B og C er konstnter. A 0 EKSEMPEL: 9 kn omskrives til 9 0 A, B 0 og C 9 Du skl nu lære t løse ndengrds-ligninger. Allerede for 000 år siden hvde lonerne (i Irk) en måde til dette, der ligner den løsningsformel, du skl lære. Løse en ligning At løse en ligning med en uekendt () vil sige t finde de værdier f, som gør ligningen snd. EKSEMPEL: 9 Det sidste kn også skrives ± EKSEMPEL: 0 sættes uden for prentes ( ) 0 Mn ser umiddelr, t venstre siden er nul hvis: 0 66

68 Ligninger Antl løsninger Antllet f løsninger fhænger f diskriminnten (D) D B A C D < 0: Ingen løsninger D 0: løsning D > 0: løsninger EKSEMPEL: 0 A, B 0 og C D 0 d.v.s. løsninger. ( ) 8 EKSEMPEL: 5 0 A, B og C 5 ( ) ( 5) D d.v.s. 0 løsninger. EKSEMPEL: 0 A, B 0 og C 0 ( ) 0 0 D 0 d.v.s. løsninger. D < 0 D > 0 D 0 o o o 67

69 68 Ligninger Den generelle løsnings-formel. grds-ligningen 0 C B A, hr løsningerne: A D B ± BEVIS 0 C B A træk C fr på egge sider C B A Gng med A på egge sider C A B A A Læg B til på egge sider så er højresiden lig diskriminnten (D) C A B B A B A Omskriv venstresiden ( ) ( ) D B X A B A Brug formlen () ( ) D B A Venstresiden er ltid større end eller lig nul, det skl højresiden også være, ellers er der ingen løsning. DET FORUDSÆTTES AT 0 D Tg kvdrtroden på egge sider Der er to løsninger ( ) ± ± D B A Træk B fr på egge sider ± D B A Divider med A på egge sider A D B ± q.e.d. EKSEMPEL: 0 A, B 0 og C - 0, ± ± ±

70 Ligninger Kmufleret.grdsligning En kmufleret. grdsligning kn skrives på formen: A n B n C 0 hvor A 0, n N 6 EKSEMPEL: 8 0 A, B, C 8, n Løsning f en kmufleret. grdsligning Den kmuflerede. grdsligning Kn omskrives til A n B n C 0 A u B u C 0 hvor u Denne ligning løses (på lmindeligvis) m.h.t. den ukendte u. Derefter kn de endelige løsninger (-værdierne) findes d: 6 u EKSEMPEL: 5 0 A,B 5, C N omskrives til: u 5 u 0 hvor D 5 Løsning m.h.t. u: Diskriminnten er: ( ) 9 ( 5) u N B ± D ± u u u A Løsning m.h.t. : ( ),587 69

71 70 Ligninger LINEÆRT LIGNINGSSYSTEM To lineære ligninger med to uekendte Et ligningssstem med lineære ligninger med uekendte ( og ) kn skrives på formen:,,,,, og er konstnter. EKSEMPEL: hvor 6 5,, 9 6,, Løse et ligningssstem At løse et ligningssstem vil sige t finde værdien f de uekendte så lle ligninger i sstemet er opfldt på smme tid. METODE Indsættelses-metoden (sustitutionsmetoden) Trin : Isoler i ligning Trin : Indsæt udtrkket for i ligning og find. Trin : Indsæt den fundne -værdi i udtrkket for og find. FORKLARENDE EKSEMPEL: ( ) TRIN TRIN TRIN

72 Ligninger METODE Den grfiske metode Trin : Isoler i ligning og tegn grfen. Trin : Isoler i ligning og tegn grfen. Trin : Skæringspunktet (,) mellem grferne er løsningen. FORKLARENDE EKSEMPEL: TRIN 0,5,5 0,8, TRIN BEMÆRKNING: Når mn rejder med ligningssstemer med mere end - uekendte, vil regnerejdet hurtigt live meget omfttende. Derfor kn mn med fordel ruge et omputerprogrm eller en vneret lommeregner til eregningerne. Inden for fsikken, f.eks. erodnmik, hr mn ofte ligningssstemer, hvor der er mnge tusinde ligninger med lige så mnge uekendte. 7

73 7 Ligninger Tre lineære ligninger med tre uekendte Et ligningssstem med lineære ligninger med uekendte (, og z) kn skrives på formen: d z d z d z,,,,,,,,, d, d og d er konstnter. EKSEMPEL: z z z d,,, d,,, d,,, METODE Store ligningssstemer (eks. lign. med uek.) Trin : Isoler i lign. og indsæt udtrkket for i lign. og Trin : Isoler i lign. og indsæt udtrkket for i lign. Trin : Find først z, dernæst og til sidst BEMÆRK: Metoden kn udgges til større ligningssstemer EKSEMPEL: ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z z z z z TRIN TRIN TRIN

74 Ligninger TRIGONOMETRISKE GRUNDLIGNINGER Trigonometriske grundligninger De trigonometriske grundligninger kn skrives på formen: sin os tn ( ) k, k ( ) k, k ( ) k, k EKSEMPEL: os ( ) os( ) 0, 5, k 0, 5 Her vises tre metoder til løsning f en trigonometrisk ligning. METODE Grf-metoden Tegn grfen for den trigonometriske funktion, indtegn linien k og flæs -værdierne. EKSEMPEL: Ligning: tn ( ) 5 Tegn: f ( ) tn( ) Aflæs: når 5 Det giver: { R π n, }, n Z L 7 tn( ) (NB: er ngivet i rdin) 5 O 5 METODE CAS-metoden (Computer Alger Sstem) Vær opmærksom på, t mnge omputerprogrmmer og lommeregnere kun giver én løsning til en trigonometrisk ligning, selvom der i virkeligheden er uendelig mnge løsninger. EKSEMPEL: Ved t ruge lommeregner-tsten [TAN - ] (ltså rustngens) kn mn finde én løsning til ligningen tn ( ) 0, 6, nemlig. De ndre løsninger findes lettest ved Enhedsirkel-metoden. 7

75 METODE Ligninger Enhedsirkel-metoden Indtegn de to løsninger, til den trigonometriske grundligning, der ligger mellem 0 o og 60 o. Opskriv derefter lle løsninger. EKSEMPEL: Ligning: tn ( ) 0, 6 Tegn: Tngentlinien, linien 0, 6 og Løsningsliniestkket Aflæs: Det giver: De to løsninger: og 0,6 O L { R 60 n n}, n Z 60 Hvorfor hedder 50 hlv-treds? Du ved sikkert, t,5 hedder hlv-nden. Fktisk hedder,5 hlv-tredje,,5 hlv-fjerde, Men det ruges ikke rigtigt mere. Men derf stmmer vores udtle: 50: Hlv-treds hlv-tredje 0, : Treds tre : Hlv-fjerds hlv-fjerde 0, : Firs fire : Hlv-fems hlv-femte 0, 5 0 7

76 Ligninger SPECIELLE LIGNINGER Ligningen BEVIS k Eksponentilligning k hr løsningen ( ) ( ) ln k log ( k),,k R ln ( ) ln( k) ln( ) ln( k) ln q.e.d. ln( k) ln( ) EKSEMPEL: ( 6) (, 5) ln, 5 6 9, ln En (klog) mnd tilød kejseren et smukt skkræt. I tte d hn om riskorn for det første felt på rættet, for det ndet, for det tredje osv. Kejseren sntes om tiludet og På det sidste felt skulle ligge flere ris, end der vr i hele verden. Logritmisk ligning Ligningen log ( ) k hr løsningen k, R \{ }, k R 6 9 EKSEMPEL: ( ) log 6 8, 0 Ligningen Potensligning k hr løsningen k, R \{ 0 }, k, R,, EKSEMPEL: 7, 7, 0,

77 Ligninger ULIGHED Ulighed En ulighed er to mtemtiske udtrk forundet med et f de fire ulighedstegn ( <, >, eller ). 5 EKSEMPLER: > 6, 6, sin ( ) Mn må: Regler for løsning f en ulighed : Lægge smme tl til på hver side f lighedstegnet. : Trække smme tl fr på hver side f lighedstegnet. : Gnge med smme positive tl på hver side f ulighedstegnet. : Gnge med smme negtive tl på hver side f ulighedstegn, HVIS mn smtidig vender ulighedstegnet. 5: Dividere med smme positive tl på hver side f ulighedstegnet. 6: Dividere med smme negtive tl på hver side f ulighedstegn, HVIS mn smtidig vender ulighedstegnet. EKSEMPEL: 6 > Uligheden 6 6 > 6 Regel > 0 Regel 0 < < 5 Løsningen Regel 6 (emærk > vendes til <) 76

78 Ligninger BRØK-ULIGHED Brøk-ulighed En røk-ulighed kn skrives på formen f( ) f( ) f( ) f < 0, > 0, 0 eller g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 EKSEMPEL: Uligheden kn omskrives vi ( ) og 0 til 0 METODE Løsning f en røk-ulighed. Løs ligningerne f ( ) 0 og ( ) 0. Find f ( ) og g ( ) g. s fortegn fhængig f -værdien.. Brug fortegnsreglerne til t estemme røkens fortegn. Husk: Division med nul er ikke tilldt.. Smmenlign røkens fortegn med røk-ulighedens krv. EKSEMPEL: Brøk-uligheden Trin : Tælleren lig nul Trin : 0 Nævneren lig nul Trin : Tæller: Trin : Nævner: Trin : Brøk: id ikke defineret Trin : L { R > } 77

79 Ligninger TRIGONOMETRISK ULIGHED Trigonometrisk ulighed En trigonometrisk ulighed kn skrives på formen: En trigonometrisk funktion, et ulighedstegn ( <, >, eller ) og en konstnt (k ). EKSEMPLER: tn ( ) <, 7 os( ) 0, 7 sin( ) 0, 8 Her vises to metoder til løsning f en trigonometrisk ulighed. METODE Grf-metoden Tegn grfen for den trigonometriske funktion, indtegn linien k og flæs de -intervller, hvor uligheden er snd. EKSEMPEL: Ulighed: os ( ) 0, 6,G { R 0 < π} Tegn: f ( ) os( ) Tegn: 0, 6 Ved flæsning fås løsningen: [, ;, 07] (NB: er ngivet i rdin) O -0,6 5 Den græske vidensksmnd og ingeniør Arhimedes (87 f.v.t.) fndt t π 7 ved t se på omkredsen (O) f et indskrevet og et omskrevet polgon og derudfr opstille (doelt) uligheden: O < π r < O indsk.polgon omsk.polgon 78

80 Ligninger METODE Enhedsirkel-metoden Find løsningerne til den trigonometriske ligning. Aflæs de vinkel-intervller der gør uligheden snd. FORKLARENDE EKSEMPEL: BEMÆRK: ngiver her vinklen; ltså ikke sisse ksen. Ulighed: tn ( ) > 0, 6 Grundmængde: G R 0 < 60 { } Ligning: tn ( ) 0, 6 Løsninger til ligningen: 0,6 O Det ses, t løsningen er: L R < < 90 < < 70 { } FORKLARENDE EKSEMPEL: BEMÆRK: ngiver her vinklen; ltså ikke sisse ksen. Ulighed: sin( ) 0, 5 Grundmængde: G R 0 < 60 { } Ligning: sin ( ) 0, 5 Løsninger til ligningen: 8 0,5 8 O Det ses, t løsningen er: L R 8 { } 79

81 Ligninger DOBBELT-ULIGHED Doelt-ulighed Hvis mn ved, t værdien f et mtemtisk udtrk ligger mellem værdien f to ndre mtemtiske udtrk, kn dette skrives som en doelt-ulighed. - To uligheder skrives ltså smmen. EKSEMPEL: > og kn skrives: < METODE Løsning f doelt-ulighed En doeltulighed løses ved t dele den op i to uligheder og løse disse hver for sig. Derefter findes lndt de to løsninger, de -værdier der gør egge uligheder snde. EKSEMPEL: Opdeles i to uligheder: Første ulighed løses: Anden ulighed løses: < 7 < 7 < 7 < 6 > Det er ofte en god idé t tegne en tl-linie for t få overlik over de to løsninger: L R > Løsning: 80

82 VEKTORBESKRIVELSE Vektorer Vektor Med en vektor kn mn ngive en tlstørrelse og en retning på smme tid. En vektor repræsenteres derfor ofte som en pil: Længden ngiver tlstørrelsen og retningen ngives ved pilens retning. EKSEMPLER: En vektor kn f.eks. ruges til t repræsentere en krft, en hstighed, en forskdning eller meget ndet. Begndelses- og endepunkt En vektor hr et egndelsespunkt (A) og et endepunkt (B), som er pilespidsen. B A A Nvngivning En vektor nvngives som hovedregel (i mtemtik) med små ogstver. Desuden tegnes der en lille pil eller streg over ogstvet for t vise, t det er en vektor. Alterntivt kn vektoren få nvn efter dens egndelses- og endepunkt: AB 8

83 Vektorer Vinklen mellem to vektorer Når vinklen (v) mellem to vektorer måles, skl de hve smme egndelsespunkt. v EKSEMPEL: v Vektorerne flttes til smme egndelsespunkt Vektor-eskrivelse En vektor kn eskrives på to måder: Ved længden og vinklen v til -ksen - regnet positiv mod uret. v Ved vektorkoordinterne EKSEMPEL: v 5, v 6, 9 8

84 Vektorer Vektor mellem punkter Er der givet to punkter: A ( ; ) og B ( ; ) A A B B Hr vektoren AB vektorkoordinterne: AB B B A A ( ; ) A A ( ; ) B B EKSEMPEL: A ( ; ) B ( 5 ; ) AB 5 Længde En vektors () længde kn findes ved: EKSEMPEL: ( ), Vinkel Vinklen (v) mellem en vektor () og -ksen er: v Ar tn Ar tn 80 hvis hvis < 0 0 EKSEMPEL: v Ar tn 8

85 Vektorer Vektor-eskrivelse Er en vektor () eskrevet ved længden ( ) og vinklen (v) til -ksen kn vektor-koordinterne findes ved: os sin ( v) ( v) BEVIS Figuren viser en vektor () i enhedsirklen Den lille treknt: v os( v) sin( v) O v Den store treknt: v De to treknter er ensvinklede derfor er sideforholdene ens: os ( v) sin( v) os sin ( v) ( v) q.e.d. EKSEMPEL: 5 os 5 sin ( 6, 9 ) ( 6, 9 ) 6, 9 8

86 Vektorer VEKTOR-ALGEBRA Modstte vektorer To vektorer (og ) kldes modstte, hvis de er lige lnge, prllelle og peger hver sin vej. Den modstte vektor f etegnes. EKSEMPLER: Længde-ændring Mn ændre en vektors () længde ved t gnge vektoren med et tl (n), hvilket svrer til t gnge vektorkoordinterne med tllet: n n n EKSEMPEL: , 8, 0, 6 0, 9 85

87 Vektorer Enhedsvektor En enhedsvektor (e) er en vektor, der hr længden : e Enhedsvektor En enhedsvektor ( e ) med smme retning som en given vektor () hr vektor-koordinterne: e EKSEMPEL: e 5 0, 6 0 8, Tvær-vektor (ht-vektor) En vektors () tværvektor ( ) ) hr smmen længde; men er drejet 90 o (mod uret). â 90 Tvær-vektor (ht-vektor) Tværvektoren (â) til en vektor () er givet ved: BEVIS â e ê, e ê â e â O e ( e ) e e e q.e.d. EKSEMPEL: 5 â 5 86

88 Vektorer Vektor-ddition Summen f to vektorer ( og ) giver en n vektor () kldet sumvektoren eller resultnten: fremkommer ved t tegne i forlængelse f og derefter forinde s egndelsespunkt med s endepunkt. Sumvektoren () for vektorer (, ) kn findes ved t lægge -koordinterne smmen og lægge -koordinterne smmen: EKSEMPEL: 8, Vektor-sutrktion Trækker mn en vektor () fr en nden vektor (), får mn en n vektor (d) kldet differensvektoren: d d d fremkommer ved t tegne s modstte - vektor i forlængelse f og derefter forinde s egndelsespunkt med endepunktet f s modstte vektor. Differensvektoren (d) for to vektorer (, ) kn findes ved t trække -koordinterne fr hinnden og -koordinterne fr hinnden: d EKSEMPEL:, 6 d

89 Vektorer Ligevægt Vektorene,, og d er i ligevægt, hvis de ophæver hinnden, d.v.s.: d 0 Hvilket med vektorkoordinter svrer til: d d 0 0 BEMÆRK: 0 kldes nul-vektoren; men er egentligt re et punkt (længden 0 og ingen retning). EKSEMPEL: En jergestiger står stille. De kræfter der påvirker hm er: Tngdekrften (T ), normlkrften (N) og friktionskrften (F) fr jerget smt krften fr reet (R ). T N F R 0 R R F T N F N T EKSEMPEL:,. holder ligevægt, hvis 6 D:

90 Vektorer HJÆLPE-STØRRELSER Det kn nogle gnge være fordelgtigt t opløse én vektor i to vektorer, der peger i estemte ønskede retninger. Komposnter Vektoren kn opløses i de to vektorer m og k, der er prllelle med linierne m og k. m k m k m og k kldes vektor-komposnter. m k EKSEMPEL: En mnd fltter en stor sten. Mnden trækker med krften (). m k På et tidspunkt får mnden hjælp f en nden mnd. De trækker i hver sin retning prllel med linierne m og k. For t stenen liver trukket fremd med den oprindelige krft (), skl de to mænd trække med kræfterne m og k. k m m k m 89

91 Vektorer Komposnter En vektor () opløses i to komposnter (, ), der er prllelle med to vektorer (, ). Komposnterne (, ) kn findes ved t løse ligningssstemet: p p q q Hvorved tllene p og q findes og indsættes i: p q 6 EKSEMPEL: 8 6 p q ( ) p 8 p q q 8 6 Bsis-vektorer Opløses en vektor () i komposnter, der peger i koordintksernes retning fås: e e Enhedsvektorerne e og e er prllelle med koordintkserne og kldes sisvektorer. 0 BEMÆRK: e og e 0 EKSEMPEL: 0 0 e e 90

92 Vektorer Mn kn ikke gnge to vektorer. Derimod kn mn prikke to vektorer, dette kldes også t finde prikproduktet eller sklrproduktet. Sklrprodukt (prikprodukt) Sklrproduktet f to vektorer er lig længden ( ) f den ene vektor gnge længden ( ) f den nden vektor gnge osinus til vinklen (v) mellem vektorerne: v os ( v) BEMÆRK: Sklrproduktet er et tl ikke en vektor. EKSEMPEL: En legetøjs-nd trækkes med en krft (F) et stkke ( ) hen d et gulv. Fr fsikken hr vi flg. definition: Arejdet er lig krften i evægelsesretningen gnget med vejstrækningen, eller med ndre ord : A F Hvis vi måler på tegningen Får vi: F os( v) F 9N,, 7m, v 50 D.v.s. A F os ( v) ( 50 ) 5, 6J 9 N, 7m os F v m N 9

93 9 Vektorer Sklrprodukt (prikprodukt) Sklrproduktet f to vektorer () og () kn findes ved: BEVIS Cosinus-reltionen giver ( ) ( ) C os C os Fr definitionen hr vi: ( ) C os D.v.s. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] C os Vinklen mellem to vektorer Vinklen (v) mellem to vektorer () og () kn findes ved: EKSEMPLER ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , v v os C A C q.e.d. ( ) v os

94 Vektorer Projektion Vektoren s projektion på linien k kldes k. k findes ved t føre s egndelsespunkt og endepunkt vinkelret ind på linien k. Projektionen ( k ) er den del f vektoren () der er prllel med linien (k). k k EKSEMPEL: Hesten på illedet trækker en flodprm. Den krft () hesten trækker med er prllel med reet. Det er kun projektionskrften ( k ) der fltter prmmen fremd i vndet. k BEMÆRK: Krften fr roret evirker, t prmmen ikke sejler ind i flodredden. Tskeren Hermnn Grssmnn ( ) vr lige som sin fr lærer på et gmnsium. Hn underviste i en lng række fg inden for åde nturvidensk og humnior. I 8 udgv hn ogen Die linele Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mthemtik, hvori hn grundlgde vektorregning. 9

95 9 Vektorer Projektion En vektorens () projektion ( ) på en nden vektor () kn findes ved: BEVIS Projektionens længde: ( ) ( ) ( ) v os v os v os Projektionens retning enhedsvektor i s retning: e D.v.s. e EKSEMPLER: ( ) 7 7, v v q.e.d.

96 Vektorer Sted-vektor En vektor hvis egndelsespunkt ligger i koordintsstemets origo, kldes en sted-vektor. Vektor-koordinterne er ltså lig punkt-koordinterne til vektorens endepunkt. EKSEMPEL: Vektor-koordinter: (,) Endepunkts-koordinter: (, ) O Norml-vektor En vektor, der er ortogonl (står vinkelret) på en linie eller en pln kldes en normlvektor. n EKSEMPEL: n m 95

97 Infiniteseml-regning GRÆNSEVÆRDI Grænse-værdi Når nærmer sig tllet 0 f sig grænseværdien 0. Dette skrives (grænse hedder på ltin limes): BEMÆRK: Tllet 0 lim f 0, nærmer funktionen ( ) ( ) 0 eller ( ) 0 f når 0 ehøver ikke t tilhøre Dm ( f). Det ehøver ikke t gælde t: f( ) 0 0 EKSEMPEL: sin ( ) sin( ) sin(), 0, R { 0} Husk mn må ikke dividere med 0. Grænseværdi fr højre eller venstre Hvis nærmer sig tllet 0 fr højre skrives: lim 0 f( ) Hvis nærmer sig tllet 0fr venstre: lim 0 f( ) EKSEMPEL: lim 0 lim 0 96

98 Infiniteseml-regning Uendelig ( ) er ikke et tl; men en tænkt størrelse hvis værdi er større end ethvert tl. Grundlæggeren f mængdelæren den tske mtemtiker Georg F. L. P. Cntor (85-98) interesserede sig for uendelige mængder. Hn viste l.., t 0, En funktion ( ) Uendelig grænseværdi f hr grænseværdien uendelig i tllet 0, hvis funktionsværdien er større end et vilkårligt tl, når lot er tilstrækkelig tæt på 0: ( ), hvis ( ) lim f 0 ( ) f hr grænseværdien minus uendelig i tllet 0 f er mindre end et vilkårligt tl, når lot er tilstrækkelig tæt på 0: lim f 0 ( ) EKSEMPEL: Hperel lim 0 lim 0 BEMÆRKNING Grænseværdi i uendelig En funktion kn også hve en grænseværdi, når går mod uendelig eller minus uendelig. EKSEMPEL: Hperel f( ) o lim 0 lim 0 EKSEMPEL: Fordelingsfunktion lim φ ( ) lim φ ( ) 0 φ( ) 97

99 Kontinuitet Infiniteseml-regning En funktion er kontinuert, hvis grfen er smmenhængende kn tegnes uden t løfte lnten fr ppiret. D.v.s. hvis: Dm ( f ) [ ; ] : lim f ( ) f ( ), Dm ( f ) 0 BEMÆRK: Hvis funktionen ikke er kontinuert, kldes den diskontinuert. 0 0 EKSEMPLER f( ) g( ) f ( ) er kontinuert i ] ; ] 0 g ( ) er kontinuert i R\{ } - ltså diskontinuert i 0 0 h( ) k( ) h ( ) er kontinuert i [ ; [ ] ; [ U - ltså diskontinuert i o k ( ) er kontinuert i R 98

100 Infiniteseml-regning DIFFERENTIALKVOTIENT Seknt Seknt En seknt er en linie, der skærer en grf i to punkter. Tngent Tngent Ligger en seknts skæringspunkter uendelig tæt på hinnden, kldes linien en tngent, forudst grfen ikke hr et knæk i punktet. Differentilkvotient (den fledede) Differentilkvotienten i et punkt er lig tngentens stigningstl. De mest lmindelige smoler for differentilkvotienten er: ( ) f ' og df( ) d De (næsten) jævnldrende vidensksmænd englænderen Is Newton (6 77) og tskeren Gottfried W. von Leiniz (66 76) opfndt ufhængigt f hinnden differentilregningen omkring 666. Is Newton G.W. v. Leiniz 99

101 Infiniteseml-regning Differentilkvotient (den fledede) Differentilkvotienten for en funktion ( f ( ) BEVIS df d Sekntens stigningstl er: f ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) lim 0 f ( ) ) er givet ved: f( ) Tngenten fremkommer når liver uendelig lille, d.v.s. tngentens stigningstl er: tn gent lim 0 f ( ) f( ) Hvilket pr. definition er q.e.d. df( ) d EKSEMPEL: f ( ) df d ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 Differentiilitet ) differentiel i den pågældende -værdi ( 0). D.v.s. der eksisterer én ikke uendelig differentilkvotient: Hvis grfen hr en tngent, er funktionen ( f ( ) ( ) df 0 d < f( ) EKSEMPEL: f ( ) er differentiel i [ ; [ U ] ; [ U ] ; [ 00

102 Infiniteseml-regning Differentiel / Kontinuert Hvis en funktion er differentiel, er den også kontinuert det omvendte er ikke nødvendigvis sndt. Tngentens ligning Ligningen for en tngent til en funktion ( ) f for 0 er: BEVIS ( ) 0 ( ) f ( ) df 0 d 0 Tngentens stigningstl kn findes på flg. to måder: tn gent ( ) df( ) f 0, tn gent 0 d 0 D.v.s.: f ( 0 ) df( 0 ) df( 0 ) ( ) f ( ) 0 d d 0 0 q.e.d. EKSEMPEL: f ( ), df d ( ) df( ) d 0 ( ) ( ( ) ) ( ) o 0

103 Infiniteseml-regning FUNKTIONS-OVERSIGT (f ), k og n er konstnter f ( ) f '( ), ( ) df d Konstnt k 0 Potensfunktion n n n Eksponentilfunktion Logritmefunktion log ( ) ln( ) ln ( ) Sinus sin ( ) os ( ) Cosinus os ( ) sin( ) Tngens tn ( ) tn ( ) EKSEMPLER : f f f f ( ) f' ( ) 0 5 ( ) f' ( ) 5 ( ) e f' ( ) ln( e) ( ) ln( ) f' ( ) ln e ( e) e os ( ) 0

104 REGNEREGLER (f ) Infiniteseml-regning k er et tl u og v er diff. funktioner f ( ) f '( ), ( ) df d Tl gnge funktion k u( ) k u' ( ) Sum u ( ) v( ) u '( ) v' ( ) Differens u( ) v( ) u' ( ) v' ( ) Produkt u( ) v( ) u' ( ) v( ) u( ) v' ( ) Brøk Smmenst funktion u ( v( ) ) EKSEMPLER Givet: f f f f f u ( ) u' ( ) v( ) u( ) v' ( ) v( ) v( ) du dv dv d k, u ( ) sin( ) og v ( ) ( ) sin( ) f' ( ) os( ) ( ) sin( ) f' ( ) os( ) ( ) sin( ) f' ( ) os( ) sin( ) sin ( ) ( ) os ( ) ( ) sin( ) f' ( ) sin( ) f' ( ) os( ) 0

105 Infiniteseml-regning BEVIS Funktions-oversigt (Potensfunktion) Definitionen på differentilkvotienten '( ) for f( ) u( ) v( ) giver: f f f : f n ( ) f' ( ) 0 ( ) f' ( ) ( ) f' ( ) lim [ ] f og regnereglen lim 0 n n n n n ( ) f' ( ) ( n ) n q.e.d. BEVIS Regneregler (Produkt) Definitionen på differentilkvotienten '( ) f ( ) u( ) v( ) f' ( ) lim 0 lim 0 lim 0 u' f giver: [ u( ) v( ) ] [ u( ) v( ) ] [ u( ) v( ) ] u( ) v( ) u( ) v( ) [ u( ) v( ) ] [ u( ) u( ) ] v( ) [ v( ) v( ) ] u( ) [ u( ) u( ) ] ( ) v( ) v' ( ) u( ) lim v 0 lim 0 ( ) lim 0 [ v( ) v( ) ] ( ) lim u 0 q.e.d. 0

106 Infiniteseml-regning EKSTREMUMSPUNKTER Ekstremum Ekstremum etder ekstremværdi - største eller mindste funktionsværdi. f( ) EKSEMPEL: m f( ) f( ) min f( ) eksisterer ikke d Dm( f). En funktion ( ) Voksende el. ftgende funktion f er voksende eller ftgende, hvis der om differentil- f ' gælder: kvotienten ( ) Aftgende funktion Voksende: f '( ) > 0 Aftgende: f '( ) < 0 Sttionære punkter I et punkt P (kldet et sttionært punkt), hvor en funktion f hr vndret tngent ( f ' 0) gælder, t f hr: Loklt el. glolt mksimum hvis f ' går fr til omk. P. Loklt el. glolt minimum hvis f ' går fr til omk. P. Vndret vendetngent hvis f ' ikke skifter fortegn omk. P. EKSEMPEL: Loklt mksimum Loklt minimum Glolt mksimum Vndret vendetngent 05

107 Infiniteseml-regning Ekstremumspunkt En funktions ekstremumspunkter findes enten i et: Sttionært punkt Ikke-differentielt punkt Intervl-endepunkt EKSEMPEL: Mksimum i sttionært punkt f f ' ( ) ( ) 0 EKSEMPEL: Minimum i ikke-differentielt punkt f ( ) EKSEMPEL: Minimum i intervl-endepunkt f ( ) 06

108 Infiniteseml-regning ASYMPTOTER Asmptote En smptote er en ret linie, som nærmer sig grfen for en funktion f ( ) uden t rmme den - En tngent i det uendelige. Lngt fr lle funktioner hr smptoter. Vndret smptote f ( ) hr den vndrette smptote hvis: lim f ( ) eller lim f( ) Lodret smptote ( ) f hr den lodrette smptote 0 hvis: lim 0 f ( ) eller lim f( ) 0 Skrå smptote f ( ) hr en skrå smptote med stigningstl hvis: EKSEMPLER f ( ) f lim eller ( ) e lim f( ) lim ( ) f g ( ) 6 ( ) g lim lim 6 lim 6 07

109 Infiniteseml-regning G. F. A. Mrquis de l Hôpitl (66-70) vr oprindeligt offier i den frnske hær; men p.g.. nærsnethed skiftede hn krriere og lev mtemtiker. Hns og Anlse des infiniment petits pour l intelli-gene des lignes oures som udkom i 696 vr den første og om differentilregning. l Hôpitls regel (l Hospitls regel) Hvis funktionerne f ( ) og ( ) differentilkvotienterne f '( ) og ' ( ) g er differentile med g og lim f 0 ( ) lim g( ) 0 0 eller lim f( ) lim g( ) 0 0 D er: ( ) ( ) f lim g lim 0 0 f' g' ( ) ( ) BEMÆRK: 0 er et tl; men kn erstttes med eller EKSEMPEL: lim lim EKSEMPEL: lim 0 [ ln( ) ] EKSEMPEL: ln( ) lim lim lim lim lim lim BEMÆRK: l Hôpitls regel er rugt to gnge. 08

110 Infiniteseml-regning FUNKTIONS-UNDERSØGELSE Computere og lommeregnere (CAS-værktøjer) er gode; men de viser ikke ltid hele sndheden. Derfor kn mn hve rug for t lve en funktionsundersøgelse. Funktionsundersøgelse En funktionsundersøgelse skl ruges til t lve en skitse f f. Derfor estemmes: grfen for en funktion ( ) ) Funktionens definitionsmængde: Dm ( f) ) Grfens skæring med -ksen: f ( ) 0 ) Grfens skæring med -ksen: f ( 0) d) Sttionære punkter: f '( ) 0 o Mksimumspunkter o Minimumspunkter o Vndret vendetngent e) Asmptoter: o Vndret lim f( ) ± o Lodret lim f( ) ± o Skrå f) Monotoni-intervller 0 lim ± ( ) f o Kurven er voksende: f '( ) > 0 o Kurven er ftgende: f '( ) < 0 g) Funktionens værdimængde: Vm ( f) Se eksempel på næste side 09

111 EKSEMPEL: Funktionen: f( ) Infiniteseml-regning ) Definitionsmængden: Dm ( f) R \{ } ) Skæring med -ksen: f 0 (Husk division med 0 er forudt!) ( ) 0 0 ( ) 0 Bemærk t formlen for Produktet f en to-leddet differens kunne ruges her. ) Skæring med -ksen: Grfen skærer ikke -ksen, d der iflg. definitionsmængden gælder, t 0 d) Sttionære punkter: f' ( ) ( ) ( ) 0 ± f ( ) 0, f ( ) ( ) ( ) Altså de sttionære punkter ( ; 0) og ( ; ) e) Vndrette smptoter: l Hôpitls regel giver: For hr vi: lim lim For hr vi: lim lim Der er ingen vndrette smptoter (Husk er ikke et tl). Fortsætter på næste side 0

112 Infiniteseml-regning Lodrette smptoter: Funktionen er ikke defineret for 0, derfor er 0 muligvis en lodret smptote. 0 giver: lim lim giver: lim lim 0 0 D.v.s. 0 er en lodret smptote. Skrå smptoter: ( ) f lim lim lim ( ) f lim lim lim D.v.s. f ( ) hr en skrå smptote med stigningstl. f) Resultterne fr punkt ) til e) kn smles i en tel: f ( ) - i.d. 0 f ' 0 - i.d. - 0 ( ) Tellen viser l.., t der er (loklt) mksimum for og (loklt) minimum for. g) Desuden viser tellen t: ( f) ] ; ] [ ; [ Vm 0 lok.min. Grfen er skitseret til højre. lok.m.

113 INTEGRALREGNING Infiniteseml-regning Som du skl se, er integrlregning derst nttigt. Det kn f.eks. ruges til t estemme reler (og rumfng). Stmfunktion (uestemt integrl) Hr mn en funktion f ( ), er en stmfunktion ( ) ( ) f( ) F ' F givet ved: D.v.s. differentieres stmfunktionen F ( ) fås funktionen ( ) f. BEMÆRK: Stmfunktion smoliseres med et stort ogstv. EKSEMPEL: Hvis f( ) er F ( ) d F' ( ) Smtlige stmfunktioner Hvis F ( ) er en stmfunktion til funktionen f ( ), er F ( ) k også en stmfunktion til f ( ), hvis k er en konstnt. BEVIS D F ( ) er en stmfunktion til f ( ) er F '( ) f( ) ( ( ) k) df( ) d F d d dk F' d ( ) 0 F' ( ) f( ) Differentieres F ( ) k fås f ( ), ltså er ( ) k stmfunktion til ( ) F en f. q.e.d. EKSEMPEL: G ( ) er en stmfunktion til f( ) G' ( ) d På engelsk hedder stmfunktion primitive funtion. Et ndet ord for stmfunktion er uestemt integrl.

114 Infiniteseml-regning FUNKTIONSOVERSIGT (F) d, K og n er konstnter f ( ) F ( ), f( ) Konstnt K K Potensfunktion Eksponentilfunktion n e n n ln( ) e Logritmefunktion ln ( ) ln( ) Sinus sin ( ) os( ) Cosinus os ( ) sin ( ) Tngens tn ( ) lnos( ) HUSK smtlige stmfunktioner fås ved t ddere en konstnt. EKSEMPLER: f f f f ( ) 7 F( ) ( ) F( ) 7 ( ) e F( ) e ( ) ln( ) F( ) ln( )

115 Infiniteseml-regning Uestemt integrl (Stmfunktion) En stmfunktion kn også defineres som et uestemt integrl: F Men hvd er et integrl? ( ) f( )d Ordet integrl stmmer fr det ltinske ord integrlis, som etder dnner en helhed. Integrl d Et integrl skrives på formen: f ( ) Er integrl-tegnet og kn opfttes som et sum-tegn. f ( ) Er en funktion, som her kldes for integrnden. d Er et (uendeligt) lille -intervl. Integrtions-elementet Størrelsen f ( )d kldes integrtions-elementet, og kn opfttes som et rel ( A f er højden, d er ) med fortegn: ( ) redden og fortegnet er lig fortegnet f f ( ). f( ) A > 0 O d A < 0 O d f( )

116 Infiniteseml-regning Bestemt integrl Hvis funktionen f ( ) er kontinuert i intervllet [ ; ] estemte integrl givet ved: f ( ) d Læses: Integrlet fr til f ( ) f d. Det estemte integrl er tæt knttet til rel-egreet og kn opfttes som relet mellem grfen og -ksen regnet med fortegn., er det REGNEREGLER (F) Tl gnge funktion k f( ) d k f( ) Sum eller differens f to funktioner Opdeling f integrl < < EKSEMPLER: d f ± ( ) ± g( ) d f( ) d g( ) f ( ) d f( ) d f( ) d d d d d d d sin ( ) d sin( ) d sin( ) d

117 6 Infiniteseml-regning Bestemt integrl Et estemt integrl kn eregnes ved rug f stmfunktionen: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) F F F d f INDIKATION Dette er ikke et evis; men en eregning som sndsnliggør, t sætningen er korrekt. Ved t opftte det estemte integrl som relet ( A ) under grfen og ruge, t ( ) ( ) F' f fås: EKSEMPLER: d ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) sin sin sin d os ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F F F F... F F F F F F... F F F F ' F... ' F F ' f... f f f... f f d f A N N N N N N N N

118 Infiniteseml-regning Areleregning Positiv funktion Hvis en funktion f ( ) er kontinuert i intervllet [ ; ] positiv for lle [ ; ] og, er relet ( A ) mellem funktionens grf og -ksen i intervllet givet ved: A f ( ) d EKSEMPEL: f ( ), [ ;] A d 7 Arelet mellem to funktioner g er kontinuerte i intervllet, så er relet (A ) mellem funktionernes grfer i intervllet givet ved: Hvis funktionerne f ( ) og ( ) [ ; ] og f ( ) g ( ) for lle [ ; ] A f ( ) g( ) d EKSEMPEL: f ( ), g( ) [ 0;], A 0 0 d d 0 0 7

119 Mtemtiske smoler Ligheds-tegn Forskellig fr < Mindre end < Mindre end eller lig > Større end > Større end eller lig Additions-tegn (plustegn) 5 Sutrktions-tegn (minustegn) Multipliktions-tegn (gngetegn) 8 : Divisions-tegn : 0,6 0, Brøkstreg 0,6 0, Numerisk-tegn Rod-tegn 8 ( Prentes ( ) [ Klmme-prentes [( ) ( ) ] 0 { Tuorg-prentes [( ) ( ) ] 6 { } Medfører (så gælder der, t ) Ensetdende med ± R Reelle tl (lle tl), N De nturlige tl (positive heltl)

120 Mtemtiske smoler Z Alle heltl Q Rtionle tl (røker) 55 / { } Mængde P {,,5,6,7,...,00 } Uendeligheds-tegn Er et egre - ikke et tl U Forenings-mængden P {,,5,...,89 } U { 7,8,9,...,00 } I Fælles-mængden P {,,,...,00 } I {,,5,..., } Tilhører P For hvilket det gælder, t M { R 5} Ø Den tomme mængde L Ø L { } Dm Definitionsmængde Dm ( f ) { R 0 < < 7} Vm Værdimængde Vm ( f ) { f( ) 0 < < 7} Og P { N 00 } Eller S { R } [ ; ] Lukket intervl M [ ;5] [ ; [ ] ; ] Hlvåent intervl S ] ;] U [ ; [ ] ; [ Åent intervl Dm ( f ) ] 0;7[ 9

121 Stikord. grds-polnomie 7.grds-ligning 66 Asisse-kse Asolut værdi 8 Addition 6 Aftgende funktion 05 Amplitude 5 Arusosinus Arussinus Arustngens Arel 7,7 Asmptote 07 Bsis-vektor 90 Begndelsespunkt 8 Bestemt integrl 5 Brøk Brøk-ulighed 77 Cirkel 9, 0 Cosinus 0, Cosinus-funktion 5 Cosinusreltionen 6 Clinder 8,0, Definitionsmængde Differensvektoren 87 Differentiilitet 00,0 Differentilkvotient 99,00 Diskriminnten 7,67 Doelt-logritmisk 6 Doelt-ulighed 80 Eksponent Eksponentilfunkti. 56 Eksponentil-ligni. 75 Eksponentiel udvik. 56 Ekstremum 05 Ekstremums-punkt 06 Endepunkt 8 Enhedsirkel 9 Enhedsirkel-met. 7, 79 Enhedsvektor 86 Enkelt-logritmisk 56 0 Fseforskdning 5 Fsevinklen 5 Flde 7 Fordolingskonstnt 58 Fortegnsregler Frekvens 5 Funktion Funktionsforskrift Funktionsoversigt (F) Funktionsoversigt (f') 0 Funktionsundersøg. 09 Funktionsværdi Grd Grder 5 Grf-metoden 7,78 Grundmængde Grundtl,56,59 Grænseværdi 96,97 Hlveringskonstnt 58 Hrmonisk svingning 5 Ht-vektor 86 Hierrki 6 Hospitls regel 08 Hældningskoeffiient 5 Idiot-formlen 5 Indskreven irkel 9 Integrl Integrtions-element Invers funktion 65 Isolere Kmufl..grds-lign. 69 Ksse Kegle 8,0, Keglestu 8,0, Komposnter 89, 90 Konstntled 6,5 Kontinuitet 98,0 Koordint Kugle, Kuglefsnit

122 Kugleælte Kugleklot Kugleudsnit Led 7 Legeme l'hopitâls regel 08 l'hospitls regel 08 Ligevægt 88 Lighedstegn 0 Ligning 0 Lignings-sstem 70-7 Linie 5 Lodret smptote 77 Logritme regneregl. 60 Logritme-funktion 59 Logritmisk ligning 75 Længde 8,85 Løse en ligning Løsningsformel 68 Medin 6 Midtnorml 7 Modstte vektorer 85 Multipliktion 6 Nturlig log.funktion 60 Nturlige tl Norml-vektor 95 Nul-vektoren 88 Numerisk værdi 8 Omskreven irkel 8 Omskrivning 50 Omskrivningsformler 5 Omvendt funktion 65 Ordint-kse Prel 7 Prllelle linier 6 Prentes 7 Periode 5 Potens 8, Potens-funktion 6 Potens-ligning 75 Prikprodukt 9,9 Prisme 8 Projektion 9,9 Proportionl Punkt-koordinterne 95 Prmide 8, Prmidestu Pthgors' sætning Rdin 5 Rdiknd 6 Rtionle tl Reduktion 6 Referene-værdi 57 Regneforskrift Regneregler (F) 5 Regneregler (f') 0 Rektngel 9 Relle tl Resultnten 87 Retvinklet treknt Rod 6 Rod-eksponent 6 Rodtegn 6 Rumfng Smmenst funktion 6 Seknt 99 Sinus 0, Sinus-funktion 5 Sinusreltionen 5 Sklrprodukt 9,9 Skrå smptote 07 Stmfunktion Sttionært punkt 05 Sted-vektor 95 Stigningstl 5 Sumvektoren 87 Svingningstid 5 Smmetri-kse 9 Sædvnlig log.-funkt. 60 Tlmængde

123 Tngens 0, Tngens-funktion 5 Tngent 99 Tngentens ligning 0 Toppunkt 9 Trpez 9 Treknt 9,5,7 Trekntsuligheden 8 Trigonometrisk funk. 5 Trigonom. Grundlign. 7 Trigonometr. ulighed 78 Tværvektor 86 Tngdepunkt 7 Uekendt 0 Uestemt integrl Udfoldning 7,8 Ulighed 76 Ulighedstegn 8 Vndret smptote 07 Vektor 8 Vektor-ddition 87 Vektor-koordinterne 8 Vektor-sutrktion 87 Vilkårlig treknt 5 Vinkel 9 Vinkel mell. vektorer 8,9 Vinkelfrekvens 5 Vinkelhlveringslinie 6 Vinkelrette linier 6 Voksende funktion 05 Værdimængde

124 Som gmnsielærer ledte jeg efter en mtemtikog, der opfldte følgende krv: Let læselig. Overskuelig og logisk opgning. Fglig præis og solid. Fleksiel i rug. Udgivet i ogform og som elektronisk fil. D jeg ikke fndt den, skrev jeg den selv. Søren Toftegrd Olsen ISBN