Projekt 1.5 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser

Transkript

1 Projekt.5 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser Introuktion Projektet kan anvenes båe på og -niveau. et enkelte hol vil normalt ikke kunne nå at arbeje hele projektet igennem, men projektet er skrevet, så man kan vælge ele af et u, eller man kan lae eleverne arbeje me forskellige ele af et. Projektet lægger op til en eksperimenterene unervisning me brug af IT-værktøjer, og er skrevet så eleven selv får en chance for at opage centrale ikke-trivielle sammenhænge. Kombinationen af et eksperimentelle og et teoretiske er ieel til en muntlig eksamen. Forusætninger: Projektet er først og fremmest en perspektivering af trigonometrien, og er forusættes erfor et elementært kenskab til trigonometri, inklusive cosinus- og sinus-relationerne og en sævanlige arealformel for en trekant: T = a b sin( ). Heruover forusættes et elementært kenskab til funktioner, vs. en vis fortrolighe me at opstille funktionsutryk, tegne grafer og benytte simple grafværktøjer til at bestemme fx skæringspunkter og lokale ekstrema (maks og min). erimo forusættes ifferentialregningen ikke bekent, men et tilbyes som en mulighe nogle steer. a er lægges op til en eksperimenterene unervisning me støtte af IT-værktøjer, forusættes er eneligt et elementært kenskab til ynamiske geometriprogrammer. Hvoran opager man matematiske sætninger? ette er et centralt spørgsmål i begrunelsen for en eksperimentelle matematik. et forenklee svar er: Man regner en stribe konkrete eksempler igennem og ser om man kan fine et generelt mønster i e svar man finer. Me lit hel kan e enkelte eksempler samles i et såant mønster og man har funet en sætning, er erefter kan bevises. Her er et oplagt en klar forel for at have goe værktøjer til råighe. Intuitionen må man håbe på, selv om et bestemt hjælper me erfaring og en go portion tålmoighe. Se fx på følgene problemstilling: Hvis man får oplyst e fire sielænger for en firkant, kan man eformere firkanten på mange måer (i mosætning til trekanten er en ikke stiv, men kan trykkes sammen på forskellige leer). et er a naturligt at spørge om hvilken af isse firkanter me givne sielænger, er er størst, vs. har et største areal. et er rimeligt simpelt at sætte et eksperiment op me et ynamisk geometriprogram og regne nogle konkrete eksempler igennem. erefter kan man kigge på løsningerne og se, hvilke mønstre man kan fine: Er er nogle bestemte egenskaber er karakteriserer e optimale firkanter? et viser sig, at er er mange forskellige karakteristiske egenskaber man kan hæfte sig ve, heraf nogle ganske overraskene man i første omgang tror må bero på fejl i eksperimenterne. I projektet er er samlet en række eksperimenter, man kan benytte som ugangspunkt for selv at gå på opagelser i firkanternes veren. Teori Som afruning er er samlet en el teori om firkanter. e første to afsnit er overkommelige på -niveau. e næste er mere uforrene og henvener sig især til klasser på -niveau eller til et talentarbeje. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected]

2 . Optimering af trekanter Hvis vi kener tre uafhængige stykker i en trekant, fx e tre sier eller to sier og en vinkel, er trekantens form fastlagt. e tre stykker skal og være inbyres uafhængige. Fx er e tre vinkler ikke uafhængige, a vinkelsummen i enhver trekant er 80. Hvis vi erimo kun kener to stykker i en trekant, fx to af sierne a og b, har vi en frihe til at eformere trekanten og kan erfor konstruere en hel familie af trekanter me e opgivne mål. Fx kan vi opfatte vinklen mellem e to sier a og b som en uafhængig variabel, er kan varieres frit: real = cm mð = Hvoran skal vi nu vælge en uafhængige variabel, vs. vinklen, så trekanten bliver størst mulig? I ette tilfæle er svaret ikke særligt overraskene, men for at illustrere principperne vil vi kort se på hvoran vi kan eksperimentere os frem til svaret. Luk op for it geometriprogram og giv sierne a og b konkrete værier fx 6 cm og 5 cm. Start me at konstruere et vanret linjestykke me længen a = 6 cm og en cirkel me centrum i og raius 5 cm. et siste trekanthjørne ligger a et eller anet ste på cirklen. Vi kan ena gerne antage, at et ligger et ste på en øvre halvcirkel, så vinklen kan variere mellem 0 og 80. Mål nu såvel vinklen som arealet af trekanten. Trækker u i trekanthjørnet og prøver ig frem, ser et u som om trekanten er maksimal, når en er retvinklet, og at et største areal er 5: mð = real = cm Vi kan bakke et op me en mere præcis grafanalyse på følgene måe: Ve at upege såvel en uafhængige vinkel som et afhængige areal T, kan vi afsætte punktet (,T) i et koorinatsystem. Trækker vi i punktet vil grafpunktet a gennemløbe grafen for en funktion, er beskriver arealet T som en funktion af vinklen. Som forventet er grafen symmetrisk omkring = 90 me et maksimum tæt på 90, er netop fører til et største areal. Vi kan styrke enne konklusion ennu mere ve at opstille et konkret funktionsutryk for arealfunktionen. Vi tager ugangspunkt i en velkente formel for trekantens areal: T = a b sin( ). Vi bør erfor inskrive funktionen: f( x) = a b sin( x) 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected]

3 emærk, at i visse geometriprogrammer er et kun muligt at håntere sinus-funktionen korrekt, hvis vi regner argumentet for sinus i raianer. I såanne programmer må vi først omsætte vinklen til raianer: x x π / 80, og erefter inskrive arealfunktionen sålees: æ x πö T( x) = a b sin ç è 80 ø Maksimum fines i punktet (90,5), vs. en optimale trekant er retvinklet me et areal på a = cm b = cm x Toppunkt = y Toppunkt = Toppunkt Til sist vil vi prøve om vi kan give en simpel forklaring på et funne maksimum. et kan ske ve at se på en maksimale væri for sinus-funktionen. Men vi kan også argumentere geometrisk: Trekantens areal er T= hg, og a grunlinjen g holes fast, skal vi forsøge at gøre højen h så stor som mulig. et sker tyeligvis, når vinklen er 90. Prøv nu selv kræfter me følgene øvelser! Øvelse ntag at vi har en fast vinkel og en moståene sie, fx a og. fsæt først vinklen og vælg et frit punkt på et ene vinkelben. fsæt ernæst linjestykket a. Mål på trekantens vinkler og sier samt arealet. Varier nu et frie punkt. Hvornår er arealet størst? Hva er er specielt ve netop enne trekant? Hvorfor? eskriv sporet for en afhængige linje a. Konstruer sporet af a som et geometrisk ste, når et uafhængige punkt varieres. a Øvelse Igen har vi en fast vinkel og en moståene sie, fx a og. enne gang afsættes linjestykket a som grunlinje. Vælg en fri vinkel i (fx u fra en cirkel me centrum i og et frit punkt P på enne cirkel). eregn størrelsen af vinkel og konstruer trekanten. Mål trekantens vinkler og sier samt arealet. Variér nu på en frie vinkel (vs. punktet P). Hvornår er arealet størst? Hva er er specielt ve netop enne trekant? Hvorfor? eskriv sporet for et afhængige hjørne. Konstruér sporet af som et geometrisk ste, når en uafhængige vinkel (vs. punktet P) varieres. Hva er et for et geometrisk ste? = = =.5894 P a + 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 3

4 Øvelse 3 enne gang er er givet en fast sie a, samt summen l af e to øvrige sier i trekanten, vs. l = b + c. Man kan fx tænke på en faste sie som en mur og e to øvrige sier som et stykke hegn me længen l. fsæt en faste sie a =. fsæt også et linjestykke svarene til længen af hegnet. fsæt ernæst et frit punkt P på ette linjestykke, svarene til opelingen af hegnet i e to sier b og c. Konstruer nu trekanten me isse tre sier og umål længen af trekantens sier og vinkler samt ens areal. Variér nu på et frie punkt P. Hvornår er arealet størst? Hva er er specielt ve netop enne trekant? Hvorfor? eskriv sporet for et afhængige hjørne. Konstruér sporet af som et geometrisk ste, når et uafhængige punkt varieres. Hva er et for et geometrisk ste? b P c Teoretisk afruning Når man først er blevet fortrolig me enkeltvariabel problemet kan man gå over til at kigge på to-variabel problemer: Her får man altså kun ét stykke oplyst og har to uafhængige stykker tilbage, man kan variere. et kræver variabelkontrol, vs. at man nøjes me at variere en enkelt variabel a gangen. Som et klassisk eksempel kan vi se på en trekant hvor omkresen p = a + b + c er givet. Hvoran skal man vælge trekanten, så arealet bliver størst muligt? Her kan vi fx starte me at vælge a som en uafhængig variabel, vi holer fast. For en given væri af a holer vi altså b + c fast. Men så har vi lige set, at en største trekant er en ligebenee trekant. Hvis nu vi tænker os, vi har funet en optimale trekant må ette gæle uanset hvilken af e tre sier vi holer fast. vs. alle tre par sier skal være lige lange og erme skal trekanten være ligesiet. Men kan got problematisere om er virkelig fines en optimal trekant, se fx Vagn Lunsgår Hansens tankevækkene bog om ios problem (Temaer fra Geometrien, Matematiklærerforeningen, 99). Her vil vi anbefale en øvelse me mulighe for et bevis: Øvelse 4: Opstil funktionsutrykket for arealet af en ligebenet trekant, hvor grunlinjen kan varieres frit, mens omkresen holes fast. estem herve et optimale areal. Hvis u kan, er et fint også at gennemføre uregningen ve hjælp af ifferentialregning. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 4

5 . Optimering af firkanter En firkant har fire sier, er opskrives i rækkefølge a, b, c og. Tilsvarene har en fire hjørner,, og. I mosætning til trekanter er er ikke en bestemt måe at knytte hjørner og sier sammen. Går vi u fra e fire hjørner, betegner vi sierne me,, og. Går vi u fra sierne betegner vi hjørnerne (vinklerne) me ab, bc, c og a, se figuren. a c c a bc b ab I en firkant er vinkelsummen 360. Me minre firkanten er et rektangel er minst én af vinklerne erfor stump. Yermere er er plas til en enkelt vinkel over 80. I så fal faler en tilsvarene iagonal uenfor firkanten firkanten er konkav. Ve at spejle e 'uhelige sier' i iagonalen kan man omanne en konkav firkant til en konveks firkant me samme sielænger. Konkave firkanter er erfor ikke interessante i optimeringsproblemer. en næste overraskelse hanler om antallet af uafhængige stykker i en firkant. a en (konveks) firkant består af to trekanter me en fælles iagonal er en fastlagt ve fem stykker. Hvis man kun får oplyst e fire sielænger er en leeløs og kan eformeres ve fx at trykke en ene iagonal sammen. Vi kan nu spørge efter en optimale (konvekse) firkant me fire opgivne sier. Inen vi kaster os over et generelle problem vil vi se på nogle specielle firkanter. Øvelse : a-a-a-a. Når alle fire sier er lige lange kales firkanten en rombe. Hvilken rombe er en største? Hva skal er gæle om vinklerne? Hva bliver størrelsen af et maksimale areal? Øvelse : a-b-a-b. Hvis moståene sier er lige store kales firkanten et parallelogram. Hvilket parallelogram er et største? Hva skal er gæle om vinklerne? Hva bliver størrelsen af et maksimale areal? Øvelse 3: a-a-b-b. Hvis to par hosliggene sier er lige store kales figuren en ragefirkant. Hvilken ragefirkant er en største? Hva skal er gæle om vinklerne? Hva bliver størrelsen af et maksimale areal? Øvelse 4: a-b-b-b. enne gang er tre af sierne lige store. Hvoran ser en maksimale firkant u? Hva skal er gæle om vinklerne? Hva bliver størrelsen af et maksimale areal? u skulle nu have en fornemmelse for et generelle problem og vi springer u i et og gennemfører resten af afsnittet som en øvelse: 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 5

6 Øvelse 5: Hvem er en største? Vælg fire tilfælige hele tal a, b, c og mellem og 0. e svarer til sielængerne i in firkant i en valgte rækkefølge. Hvis mere en to af tallene er ens eller hvis er ikke kan konstrueres en firkant vælger u om igen. Som uafhængig variabel vælger u en vinkel, fx ab. u kan nu konstruere grunlinjen b og en cirkel me centrum i hjørnet ab og raius a. På en øvre halvcirkel vælges et frit punkt, hjørnet a. For at konstruere et siste hjørne c afsætter u cirkler me centre i a og bc og raier henholsvis og c se figuren. u skulle nu gerne have frembragt en ynamisk moel af en firkant me sielængerne a, b, c og. ab a a b f c e c bc Ve at variere på vinklen ab, vs. ve at trække i punktet a,kan u nu unersøge, hvornår arealet bliver størst muligt. fsæt også iagonalerne e og f i firkanten. Umål alle vinklerne i figuren, vs. e fire kantvinkler, så vel som vinklen mellem iagonalerne. Umål også arealet T, såvel som længen af e to iagonaler e og f. Prøve nu at give et bu på følgene: Hva gæler er om kantvinklerne, når firkanten er maksimal? Hva gæler er om iagonalvinklen, når firkanten er maksimal? Hvor stort bliver et maksimale areal? Konstruér graferne for arealet T, iagonalvinklen v og prouktet af iagonalerne e f som funktion af kantvinklen ab. Hva observerer u? Vi vil nu prøve at stramme op omkring præcisionen ve at gennemføre en egentlig beregning. Hertil har vi brug for funktionsutrykket for arealet T som funktion af kantvinklen ab. iagonalen e splitter firkanten i to trekanter og vi kan nemt fine arealet af e to trekanter: T = a b sin( ab) + c sin( c) Her er kantvinklen ab netop en uafhængige variabel x. Vi mangler så bare et utryk for en moståene kantvinkel c. et finer vi ve hjælp af en elementær trekantberegning: Først uregnes længen af iagonalen e ve hjælp af cosinusrelationen, og ernæst uregnes vinklen c ve hjælp af cosinusrelationen: e = a + b - a b cos( ab) c + -e cos( c) = c Sættes e to utryk sammen finer vi erfor: c + -a - b + a b cos( ab) cos( c) = c et giver anlening til et følgene utryk for arealfunktionen: 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 6

7 - c + -a - b + ab cos( ab ) ux ( ): = cos ( ) c Tx ( ): = a b sin( x) + c sin( ux ( )) Inskriv isse funktionsutryk og tegn grafen for arealfunktionen T(x). estem at maksimum for arealfunktionens graf. Konstruér på basis af et funne maksimum, en maksimale firkant. Eftervis me en størst mulige numeriske præcision e formoninger, som u alleree har opstillet omkring en maksimale firkant. Er er tale om en pæn væri for arealet T? Hva me T? Er er tale om en pæn væri for e f? Supplerene uforringer: ) Konstruer mitnormalerne for e fire sier i firkanten. Hva sker er når firkanten er maksimal? ) Se på højernes fopunkter ', ' og ' på sierne, og fra et fjere hjørne. Hva sker er når firkanten er maksimal? 3) Hva sker er me en maksimale firkant, hvis vi bytter om på rækkefølgen af sierne? Hva sker er fx me størrelsen af arealet og længen af iagonalerne? Teoretisk afruning Når man først er blevet fortrolig me enkeltvariabel problemet kan man gå over til at kigge på fler-variabel problemer: Her får man fx kun ét stykke oplyst og har fire uafhængige stykker tilbage, man kan variere på. Som et klassisk eksempel kan vi se på en firkant, hvor omkresen p = a + b + c + er givet. Hvoran skal man vælge firkanten, så arealet bliver størst muligt? Her kan vi starte me at vælge e hosliggene sier a, b og en tilhørene iagonal e som uafhængige variable, hvis værier vi kan hole fast. For en given væri af a, b og e holes erfor summen c + fast. Men vi kan staigvæk variere sien c (og lae sien følge me). Men så har vi set, at en største trekant er en ligebenee trekant ec, hvor c =. Hvis nu vi tænker os, at vi har funet en optimale firkant må et jo gæle uanset hvilke af e hosliggene sier vi holer fast. vs. alle fire par sier skal være lige lange, og erme skal firkanten være en rombe. et fastlægger længen af e fire sier, men vi kan staig variere på iagonalen e. Hvilken rombe har nu et største areal? Øvelse 6: Opstil funktionsutrykket for arealet af en rombe hvor iagonalen kan varieres frit, mens omkresen holes fast. Hvis u kan, er et fint også at gennemføre uregningen ve hjælp af ifferentialregning og sålees bestemme et optimale areal. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 7

8 3. En eksamensopgave Et tilsvarene problemkres fås ve at hole iverse stykker i en firkant fast, så er kun er få frie variable tilbage. I eksamensopgaver vil er kun være en enkelt uafhængig variabel tilbage, så man kan regne sig igennem opgaven ve at opstille et enkelt funktionsutryk. et gæler for eksempel en følgene opgave. Her får man oplyst en vinkel og en sum af to sielænger (et hegn). et giver to stykker, hvorfor er må oplyses to stykker mere, fx ennu to rette vinkler (hvorve firkanten bliver til et retvinklet trapez) eller at e to moståene sier har samme størrelse (hvorve firkanten bliver til et parallelogram). Ve løsning af en ovenståene opgave er et selvfølgelig spænene at se, om man kan se et mønster i e optimale figurer, og erme fx blive i stan til at karakterisere løsningerne simpelt u fra vilkårlige hegnslænger. Men uforringen består i at roppe e ekstra betingelser og søge en størst mulige firkantee inhegning, er alene opfyler e to oprinelige krav: Vinklen mellem murene skal være 35 og summen af e to sier, hvor er ikke er mur skal være 0 meter (hegnet). et giver tre resterene uafhængige variable, fx sien, sien og iagonalen. Prøv nu selv om u kan løse opgaven. Øvelse: Eksamensopgave To mure anner et hjørne, hvor vinklen mellem murene er 35. Ve hjælp af et 0 meter langt hegn skal er annes en trapezformet inhegning (se figur ). Linjestykket er vinkelret på e parallelle sier og. Længen af sien betegnes x. Gør ree for, at længen af E er x. estem en trapezformee inhegnings areal T som funktion af x, og gør ree for, at T kan skrives som 3 T( x) =- x + 0x. estem et størst mulige areal T max af en trapezformee inhegning. Ve at give inhegningen form som et parallelogram (se figur ) kan er me samme hegn på 0 m annes en inhegning me et større areal en T max. estem et størst mulige areal P max af en parallelogramformee inhegning. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 8

9 4. Teori I: Firkantstrigonometri Sætning (osinusrelationen for firkanter) For en konveks firkant me sierne a, b, c og samt iagonalerne e og f og iagonalvinklen v gæler: a + c = b + - e f cos() v evis: iagonalerne e og f eler hinanen i stykkerne e, e, f og f. iagonalvinklen overfor sien a kales v. e øvrige iagonalvinkler er a 80 v, v og 80 v. Ve at anvene cosinusrelationerne på e fire trekanter uspænt af iagonalstykkerne og unytte at cos(80 - v) =-cos( v ) fås a: a = e + f - e f cos() v b = f + e + f e cos() v c = e + f - e f cos() v = f + e + f e cos() v Lægger vi ligningerne for a og c sammen og tilsvarene for ( ) ( ) a + c = e + e + f + f - e f + e f cos() v b + = e + e + f + f + e f + e f cos() v b og sammen fås: Trækker vi em ernæst fra hinanen fås enelig en funamentale sammenhæng: ( ) ( ) ( ) b + - a + c = e f + e f + e f + e f cos() v ( )( ) = e + e f + f cos() v = e f cos() v Heraf følger påstanen ve at rykke om på leene. a e f v b f e c Øvelse : Hva sker er, hvis sien c klapper sammen, vs. vi sætter c = 0? Hvilken sætning svarer et til? emærkning: Vi kan specielt se på tilfælet, hvor iagonalvinklen v er ret. I så fal gæler cos(v) = 0 og erme fås: a + c = b +. Men hvis er på en anen sie gæler, at a + c = b +, så må også cos(v) = 0. Vi har erfor vist: Sætning (Pythagoras for firkanter) iagonalerne i en konveks firkant me sierne a, b, c og står vinkelret på hinanen, netop når summen af kvaraterne på moståene sier er ens: a + c = b + emærkning: enne sætning viser bl.a. at enten er iagonalvinklen i en firkant me fire opgivne sier a, b, c og alti ret eller også bliver en et alrig! 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 9

10 Øvelse : Hva sker er, hvis sien c klapper sammen, vs. vi sætter c = 0? Hvilken sætning svarer et til? Sætning 3 (realformlen for firkanter) For en konveks firkant me sierne a, b, c og samt iagonalerne e og f og iagonalvinklen v gæler: T = e f sin() v. evis: Som før eler iagonalerne e og f hinanen i stykkerne e, e, f og f. iagonalvinklerne er v, 80 v, v og 80 v. Ve at anvene arealformlen for trekanter på e fire trekanter frembragt af iagonalerne og unytte at e sin(80 - v) = sin( v ) fås a: a v f c T = e f sin( v), T = e f sin( v) T = e f sin(), v T = e f sin() v 3 4 f e Lægger vi e fire arealer sammen fås netop: T = T + T + T + T 3 4 ( ) ( e e )( f f ) sin() v = e f + e f + e f + e f sin() v = + + = e f sin() v b Øvelse 3: Hva sker er, hvis sien c klapper sammen, vs. vi sætter c = 0? Hvilken sætning svarer et til? enne arealformel er en simpleste for en firkant, men en fines også i to anre varianter. Vi kan nemlig els eliminere iagonalerne e og f, els eliminere iagonalvinklen v. Sætning 4 (lternative arealformler) realet T for en konveks firkant me sierne a, b, c og samt iagonalerne e og f og iagonalvinklen v opfyler e følgene to sammenhænge: ( ) ) ( ) ( ) T = b + - a + c tan() v 4 (hvor et forusættes at iagonalvinklen v ikke er ret! Hvis vinklen er ret er tangens ikke efineret). ( ) ( ) æ b + - a + c ö ) T = e f -ç 4 ç 4 è ø evis: Ugangspunktet er arealformlen og cosinusrelationen, er omskrives på formen: 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 0

11 ( ) ( ) 4T = e f sin() v b + - a + c = e f cos() v a) Ve ivision af e to ligninger me hinanen går iagonalerne e og f u og vi finer: 4T sin() v = = tan() v Þ cos() v ( b + )-( a + c ) ( ) ( ) ( ) T = b + - a + c tan() v 4 b) Ve at kvarere e to ligninger og lægge em sammen går v u i kraft af trigonometriens Pythagoras: sin ( v) + cos ( v ) =. Først kvareres e to ligninger: ( ( ) ( ) ) 6 T = 4 e f sin() v b + - a + c = 4 e f cos() v ernæst lægges e to ligninger sammen: Isoleres ( ( ) ( ) ) 6 T + b + - a + c = 4 e f sin() v + 4 e f cos() v ( ) = 4 e f sin() v + cos() v = 4 e f T fra enne ligning fås netop en ønskee formel. For en firkant me faste sielænger a, b, c og er forskellen på kvaratsummerne for e moståene sier, vs. ( b + )-( a + c ), nu en konstant. e to nye arealformler viser erfor at arealet af en konveks firkant me givne sielænger afhænger på simpel vis af els iagonalvinklen v (hvis enne ikke er ret), els af iagonalernes proukt e f. en første formel viser, at arealet af firkanten T er proportionalt me tangens til en spise iagonalvinkel v, vs. tan(v). Når vi eformerer en firkant hvor iagonalvinklen v ikke er ret finer vi erfor et størst mulige areal, netop når en spise iagonalvinkel er størst mulig (iet tangensfunktionen er voksene for spise vinkler). en anen formel viser tilsvarene, at forskellen mellem kvaratet på arealet T og kvaratet på et halve iagonalproukt e f er konstant. Men et viser at kvaratet på arealet vs. T, er størst mulig, netop når kvaratet på iagonalprouktet, vs. ( e f ), er størst muligt. Men erme gæler også, at arealet T er størst muligt, netop når iagonalprouktet e f er størst muligt (iet kvaratfunktionen er voksene for positive tal). 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected]

12 Sætning 5 For en konveks firkant me faste sielænger a, b, c og topper e følgene tre størrelser erfor samtiigt:. Firkantens areal T.. Firkantens spise iagonalvinkel v. 3. Firkantens iagonalproukt e f. erme har vi på elementær vis gjort ree for e fleste af e observationer vi (forhåbentligt) har gjort i vores eksperimentelle unersøgelse af firkantens areal. Vi mangler nu kun at gøre nærmere ree for e præcise omstænigheer, hvoruner firkantens areal er maksimalt. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected]

13 5. Teori II: ykliske firkanter Vi vil nu se nærmere på firkanter, er har en omskrevet cirkel såkalte cykliske firkanter. Vinklerne i en cyklisk firkant er supplementvinkler. et skyles at en periferivinkel er halvt så stor som en bue, en spæner over. To moståene vinkler, fx og, i en cyklisk firkant spæner over hele cirklens omkres, vs. 360, hvorfor e to vinkler tilsammen spæner over et halve gratal, vs. + = 80. et omvente gæler også, som et fremgår af en følgene sætning. + = 80 Sætning 6 En firkant er cyklisk, netop når moståene vinkler er supplementvinkler. Men ikke blot er er en simpel forbinelse mellem e fire vinkler i en cyklisk firkant. er er også en simpel forbinelse mellem e fire sier,, og samt iagonalerne og i en cyklisk firkant: Sætning 7 (Ptolemaios sætning) Prouktet af iagonalerne i en cyklisk firkant er lig me summen af proukterne af e moståene sier: = + evis: Vi afsætter punktet E på iagonalen, så vinklerne ve, vs. E og er lige store: Men vinklerne ve og er også lige store, a e spæner over samme bue. e to trekanter E og er altså ensvinklee og erme ligeannee, hvorfor vi slutter: E E = Û E = På samme måe er trekanterne og E ensvinklee, fori vinklerne ve per konstruktion er lige store, mens vinklerne ve og spæner over samme bue. enne gang slutter vi erfor at er gæler: E = Û E = Lægger vi e funne ligninger sammen fås: + = E + E = ( E + E) = Herme er sætningen vist. enne vigtige sammenhæng går tilbage til en store græske astronom Ptolemaios fra et anet århunree, er gjore en til en hjørnesten i en græske trigonometri. E 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 3

14 Øvelse Hva svarer Ptolemaios sætning til for et rektangel? Øvelse ) I en cirkel me iameteren spæner periferivinklen v over koren. Vis at = sin(v) (se figur a). ) Gøre ree for, at hvis én af iagonalerne i en cyklisk firkant er en iameter, vil firkanten være obbelt retvinklet me iagonalen som fælles hypotenuse. ntag at iameteren er. Vis at Ptolemaios sætning netop svarer til aitionsformlen for sinus, vs. (se figur b); sin(v) v Figur a. Figur b sin( + ) = sin( ) cos( ) + sin( ) cos( ) 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 4

15 6. Teori III: Geometrien bag en størst mulige firkant en klassiske geometriske karakterisering af en største konvekse firkant viser sig at hanle om iagonalernes proukt. Vi tager ugangspunkt i en siste el af eksperimentet i øvelse 5 sie 5, hvor vi (forhåbentligt) opagee at højernes fopunkter ', ' og ' fra et fjere punkt netop lå på ret linje når firkantens areal var maksimalt. et viser sig at være en nøgleobservation: e tre fopunkter ', ' og ' uspæner nemlig en trekant, er må opfyle trekant uligheen: ' ' ' ' ' + ' ' hvor lighestegnet kun er gyligt, når e tre punkter ligger på en ret linje (me ' liggene mellem ' og ' ). Men e tre trekantsier i fopunktstrekanten kan knyttes på simpel vis til sierne og iagonalerne i en oprinelige firkant, iet er viser sig at gæle: k ' ' = k ' ' = k ' ' = hvor k er en fælles konstant, som vi introucerer via sinusrelationen. Først opskriver vi sinusrelationerne for trekanten : = = = k () sin( *) sin( *) sin( *) Her er *, * og * en el af vinklen, er ligger ine i trekanten og k er en fælles væri af e tre brøker. ' ' * * '' '' ' ' '' ' * ernæst ser vi på e tre trekanter, ' ' ' ' og ', ' er hver for sig har en vinkel fælles me en store trekant. Vi kører argumentet igennem for trekanten, ' ' men et er et samme argument i alle tre tilfæle. ' ' ' Firkanten ' ' er en speciel firkant eftersom en er elt i to par ensvinklee trekanter, ligesom moståene vinkler i firkanten er supplementvinkler: eviset er et lille argument som involverer ligeannee trekanter. Vi starter me at bemærke at e sorte trekanter Q ' og Q ' er ensvinklee. ' ' et er e fori begge vinklerne ' og ' er rette og Q fori topvinklerne ve Q er lige store. Heraf følger at e følgene to yre forhol er lige store: ' 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 5

16 Q' Q = ( = forstørrelsesfaktoren) Q' Q Men e optræer også som inre forhol i e sorte trekanter ' Q ' og Q neenuner: a yermere topvinklerne ve Q igen er lige store er et tilstrækkeligt til at sikre at også trekanterne 'Q' og Q er ligeannee og erme ensvinklee. ' ' Q ' Vi har altså masser af vinkler, er går igen overalt i firkanten. For en samlee vinkelsum i firkanten fås a: 360 = ' + ' + + = x+ y+ z+ 90 ltså gæler er sammenhængen: x+ y+ z= 90 ' ' x y y Q z ' z x et viser netop som påstået at ' og er supplementvinkler: ' + = 90 + z+ x+ y= = 80 isse to vinkler har erfor en samme sinusværi: sin( ') = sin( ). En sneig anvenelse af sinusrelationerne (hvor vi unervejs skifter fra en nere eltrekant ' ' til en øvre eltrekant giver erfor: ' ' ' ' ' = = = = () sin( *) sin( ') sin( ) sin(90 ) ) ' Kombinerer vi sinusrelationen () for en store trekant og sinusrelationen () for firkanten '' fås erfor: ' ' sin( *) = = Þ k ' ' = k På samme måe viser vi at er gæler: k ' ' = k ' ' = Ganger vi trekantuligheen me en positive konstant k fås erfor: k ' ' k ' ' + k ' ' Û + ette er netop firkantuligheen for fire punkter,, og i planen: 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 6

17 Sætning 8 (Firkantuligheen) For afstanene mellem fire punkter,, og gæler uligheen +, vs. prouktet af iagonalerne er alti minre en eller lig me summen af e moståene siers proukter. Lighestegnet gæler kun, når højernes fopunkter fra et fjere punkt ligger på ret linje. Men et viser samtiigt at prouktet af iagonalerne e f i en konveks firkant er opatil begrænset af summen af e moståene siers proukter a c + b. et viser også, at maksimum netop nås når højernes fopunkter fra ligger på ret linje. Spørgsmålet er så blot hvornår e tre fopunkter ligger på ret linje. Vi kigger a igen på figuren og koncentrerer os om et tilfæle, hvor e to fopunkter ' og ' ligger på hver sin sie af iagonalen, og er erfor er en reel chance for at e ligger på samme rette linje som iagonalpunktet '. et er altså e to linjestykker ' ' og ' ' som vi ønsker, skal ligge i forlængelse af hinanen. Men e to vinkler ve ', vs. ' ' og ' ' skal a være lige store (topvinkler). Nu har vi lige set, at vinklen ' ' genfines i ', ligesom vinklen ' ' genfines i vinklen '. ' ' ' Vi skal altså sikre os at e to vinkler ve er lige store. Men trekanterne ' og ' er begge retvinklee (a Vi finer erfor: Ð ' = 90 -Ð ' = 90 - (80 - ) = - 90 Ð ' = 90 - ltså skal er gæle: - 90 = 90 - Û + = 80 ' og ' er fopunkter for højer fra ). Fopunkterne ligger erfor på ret linje, netop når og er supplementvinkler. Men et samme må a også gæle vinklerne og. Sætning 9 Fopunkterne for højerne fra i en konveks firkant ligger på ret linje, netop når moståene vinkler er supplementvinkler, vs. når ligger på en omskrevne cirkel for trekanten. Konklusion ver en størst mulige firkant 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 7

18 Firkanten har et maksimaltiagonalproukt, netop når en er cyklisk. Og ette maksimale iagonalproukt er netop summen af e moståene siers proukter: ( ) maks = + På samme måe har en cyklisk firkant erfor et maksimalt areal og (me minre iagonalvinklen er ret) en maksimal spis iagonalvinkel v. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 8

19 7. Teori IV: en størst mulige firkant bestemt ve hjælp af ifferentialregning Vi kan også vælge at fine en største firkant ve at fine e stationære punkter for arealfunktionen T(x). et kræver, at vi først løser ligningen T'( x ) = 0, og ernæst afgøre, hvorvit e funne stationære punkter svarer til maksima, minima eller evt. blot vanrette venetangenter. Til slut skal vi argumentere for et globalt maksimum. Vi har alleree et utryk for arealfunktionen T( x) = a b sin( x) + c sin( u( x)) Her er x vinklen mellem sierne a og b, mens u(x) er en moståene vinkel, vs. vinklen mellem sierne c og. en siste er bestemt ve cosinusrelationerne for e to trekanter frembragt af iagonalen e: c + -e cos( ux ( )) = c e = a + b - a b cos( x) a x e b u(x) c Ve at kombinere isse to utryk finer vi: c + -a - b + a b cos( x) cos( ux ( )) = c c + -a - b a b = + cos( x) c c et gør et nemt at ifferentiere u(x) ve at unytte reglen for sammensat ifferentiation: ab - sin( u( x)) u'( x) = ( -sin( x) ) Þ c a b sin( x) u'( x) = c sin( ux ( )) I alt finer vi erfor: T'( x) = a b cos( x) + c cos( u( x)) u'( x) = + ab a b cos( x) c cos( ux ( )) c sin( x) sin( ux ( )) + = sin( ux ( )) cos( x) cos( ux ( )) sin( x) ab sin( ux ( )) Men her kan vi unytte aitionsformlen for sinus-funktionen sin( u+ v)= sin( u) cos ( v) + cos( u) sin( v) erve forenkles utrykket for en afleee funktion T '(x) til formen: sin( x+ ux ( )) T'( x) = ab sin( ux ( )) 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 9

20 ette er vores nøgleresultat! et viser at e stationære punkter for arealfunktionen fremkommer netop når tælleren er nul, vs. når sin( x+ ux ( )) = 0 Men sinusfunktionen er nul netop når vinklen er 0 eller 80. a begge argumenterne x og u(x) ligger mellem 0 og 80 kan summen af e to vinkler ikke være nul. e stationære punkter svarer erfor til e firkanter, hvor e moståene vinkler er supplementvinkler. Men vi kan slutte mere u af et ovenfor funne: Funktionen u(x) er en voksene funktion, a en har en afleee: a b sin( x) u'( x) = c sin( ux ( )) Her er sinus positiv fori vinklerne begge ligger mellem 0 og 80. Heraf følger at også summen af e to vinkler, vs. x + u(x) er en voksene funktion. er er erfor højst et stationært punkt. Yermere er arealfunktionen me en afleee sin( x+ ux ( )) T'( x) = ab sin( ux ( )) voksene foru for et stationære punkt, fori en afleee er positiv, så længe x + u(x) er minre en p og tilsvarene aftagene efter et stationære punkt, fori sinus skifter fortegn, når vi passerer et stationære punkt. Et stationært punkt er altså nøvenigvis et lokalt maksimum. Men når er højst er et stationært punkt slutter vi yerligere: Et eventuelt stationært punkt er faktisk et globalt maksimum. Vi mangler nu kun at vise, at er rent faktisk eksisterer et stationært punkt! et er imilerti heller ikke uoverkommeligt. Hertil skal vi løse ligningen T'( x) = 0 Û x+ ux) ( = 80 Men hvis x og u(x) er supplementvinkler har e mosatte cosinusværier, vs. cos( x) =-cos( ux ( )) et omformes til: c + -a - b a b =- - cos( x) c c c cos( x) = a + b -c - - a b cos( x) I enne ligning kan vi isolere cos(x), hvorve vi finer: a + b -c - cos( x) = ( a b+ c ) enne ligning kan løses i intervallet 0 < x < 80, netop når højresien ligger mellem og. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 0

21 Vi skal altså gotgøre en følgene obbeltulighe: a + b -c - - < < ( a b+ c ) et er imilerti blot firkantbetingelserne i forklæning! Vi viser én af em: a + b -c - ( a b+ c ) < Û a + b -c - < a b+ c Û a + b- a b< c + + c Û( a- b) < ( c+ ) enne siste er ensbetyene me e følgene to uligheer (overvej!): a- b< c+ Û a< b+ c+ b- a< c+ Û b< a+ c+ Og ette er netop firkantbetingelserne, er usiger at summen af e tre sielænger alti skal være større en en fjere for at man kan konstruere en konveks firkant me e givne sielænger. erme har vi gennemført en analysen af e stationære punkter for arealfunktionen og konkluerer: Hovesætning 0 Hvis a, b, c og er sielængerne i en konveks firkant, så er arealet T maksimalt, netop når e moståene vinkler i en konvekse firkant er supplementvinkler, vs. netop når firkanten er cyklisk, vs. en kan inskrives i en cirkel. I givet fal er vinklerne i firkanten givet ve e cykliske cosinusrelationer: a + b -c - cos( ab) = ( a b+ c ) Vi kan imilerti også fine en eksakte væri for et maksimale areal. a vinklerne ve ab og c er supplementvinkler har e samme sinus-væri i maksimumssteet x 0, vs. arealet er givet ve: Tx ( ) = a b sin( x ) + c sin( ux ( )) ( ) = a b+ c sin( x ) 0 a x e u(x) c Vi skal altså blot fine sinusværien. Men vi kener alleree cosinusværien. Vi benytter erfor en pythagoræiske ientitet: b 0 0 sin ( x ) = -cos ( x ) ( a + b -c - ) = - = ( ( a b+ c ) ) ( ) ( ( a b+ c ) ) ( a b+ c ) -( a + b -c - ) 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected]

22 Vi får altså: sin( x ) = 0 ( ( a b+ c ) ) -( a + b -c - ) ( a b+ c ) Insættes et fås erfor: ( ) ( ) T0 = ( a b+ c ) - a + b -c - 4 Formlen er fult brugbar i enne form. Men en kan skrives me en usævanlig smuk symmetri, hvis vi benytter kvaratreglerne: ( ( ) )( ( ) ) (( a b) ( c ) )( ( c ) ( a b) ) T = a b+ c + a + b -c - a b+ c -a - b + c = ( a b c )( a b c )( c a b)( c a b) = ( a b c )( a b c )( a b c )( a b c ) = Formlen blev funet af en iniske matematiker rahmagupta i et syvene århunree. Øvelse : rahmaguptas arealformel a) Infør firkantens halve omkres: s= ( a+ b+ c+ )/ Gøre ree for at arealformlen også kan skrives på en traitionelle form: T = ( s- a)( s- b)( s- c)( s-) b) ntag én af sierne i en cykliske firkant, fx, klapper sammen, vs. vi sætter = 0. Så er figuren en trekant! Hvoran ser formlen så u? Kan u genkene formlen? c) Formlen er tyeligvis symmetrisk i sierne a, b, c og. realet af en cyklisk firkant afhænger altså ikke af rækkefølgen af sierne a, b, c og. Men et gør firkantens form! Hva sker er me iagonaler og vinkler, når vi ombytter siernes rækkefølge? Øvelse : osinusrelationen osinusrelationen for en cyklisk firkant er givet ve utrykket: a + b -( c + ) cos( ab) = ( a b+ c ) 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected]

23 a) ntag én af sierne i en cykliske firkant, fx, klapper sammen, vs. vi sætter = 0. Så er figuren en trekant! Hvoran ser formlen så u? Kan u genkene formlen? b) Hva sker er me størrelsen af vinklen, når man ombytter a me b, henholsvis c me? c) Hva sker er, når man ombytter (ab) me (c)? c) Hva sker er, når man ombytter a me c? Prøv at begrune e ovenståene symmetrier geometrisk 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 3

24 ilag. Formler i almene konvekse firkanter Vinklerne: Vinkelsummen er 360 : = 360 Pythagoras: iagonalvinklen v er ret, netop når summen af kvaraterne på e moståene sier er lige store (se figur a): a + c = b +. b b a c a v e c Figur a. Figur b. f osinusrelationen for iagonalvinklen: (se figur b) a + c = b + - e f cos() v realformlerne: T = e f sin() v ( ) T = ( b + )-( a + c ) tan() v 4 æ ö = ( b ) ( a c ) T e f 4 -ç ç è 4 ø Firkantuligheen: e f ac + b Her gæler er kun lighestegn, hvis firkanten abc er cyklisk. 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 4

25 ilag. Formler i almene cykliske firkanter Vinklerne: Moståene vinkler i en cyklisk firkant er supplementvinkler: + = 80 Pythagoras: En cyklisk firkant er obbelt retvinklet, netop når a + b = c +. en fælles væri er e og iagonalen e er iameter for en omskrevne cirkel (se figur a): a b a b e Figur a. f c e Figur b. f c osinusrelationen: (se figur b) ( ) c + = a + b - a b + c cos( ab) realformlen: (rahmaguptas sætning) T = ( s- a)( s- b)( s- c)( s-) a+ b+ c+ me s= Ptolemaios sætning: e f= ac + b 04 L&R Uannelse /S Vognmagergae K-48 København K Tlf: [email protected] 5