Elementær Matematik. Parameterkurver

Transkript

1 Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8

2 Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse Undesøgelse af paameekuve Kuvelængde og ovesøge aeal...

3 Paameekuve. Indledende beagninge Nå vi hidil ha behandle funkione, så ha de alid væe funkione, hvo definiionsmængde og vædimængde e delmænge af de eelle al. Funkionsbegebe e imidleid e specialilfælde af de mee geneelle afbildningsbegeb. Definiion. Lad de væe give o ikke omme mængde A og B. Ved en afbildning f af A ind i B, som skives: f : A B fosås en foskif f, som il ehve elemen i en delmængde af A, kne e og kun e elemen i B. De elemene i A, som ha e billede i B, kaldes fo definiionsmængden fo afbildningen, og de elemene i B, som e billede af e elemen i A, kaldes fo billedmængden. De elemen i B, som e kne il e elemen i A ved afbildningen f, kaldes fo billede af og skives = f Hvis de fo vilkålig o elemene og i A, gælde: f f siges afbildningen a væe injekiv, og hvis ehve elemen i B e billede af e elemen i A, siges afbildningen a væe sujekiv. Hvis en afbildning e både injekiv og sujekiv siges den a væe en bijekion.. Vekofunkione Lad V beegne mængden af vekoe i planen. En vekofunkion e da en afbildning fa R ind i V.

4 Paameekuve Hvis beegne iden, og e punk P bevæge sig und i planen, vil punke beskive en kuve. Da de e neop en posiion af P il ehve idspunk, e dee en afbildning af R ind i mængden af punke i planen. Hvis OP e sedvekoen il dee punk, kan vi definee en vekofunkion på følgende måde:. f OP Vi få dog bug fo e afsandsbegeb mellem o vekoe. Ved afsanden mellem o vekoe a og b, foså man længen af dees diffeensveko a b. Med denne definiion, e vi nu i sand il a definee, a en vekofunkion ha en gænsevædi, a den e koninuee og diffeeniabel.. Definiion: f gå imod a fo gående mod, som skives f a fo : f f. Definiion: f e koninue i f f fo. Definiion: f e diffeeniabel i hvis og kun hvis bøken: f f ha en gænsevædi fo gående mod. Gænsevædien, hvis den eksisee beegnes fo diffeenialkvoienen af f i. Dee kan skives mee kompak: f ' og kaldes

5 Paameekuve.5 f f lim f ' Behandlingen af vekofunkione ligne på mange måde behandlingen af eelle funkione, ide en veko funkion kan opfaes som de o eelle koodinafunkione. Uden så mege omsvøb, vil vi defo fasslå:.6 a en vekofunkion e koninue, hvis og kun hvis begge koodinafunkionene e koninuee..7 a en vekofunkion e diffeeniabel, hvis og kun hvis begge koodinafunkionene e diffeeniable. Regneeglene fo koninuie og diffeeniabilie følge egneeglene fo eelle funkione.. Tangen il en paameekuve På figuen nedenfo e illusee begebe angen fo en paameekuve f =. De o nabopunke P og P svae il funkionsvædiene i og svae il en sekan på kuven. Fo > e vekoen femadee, dvs. ensee med vekoen. Fo sadig vil væe femadee.. Vekoen < e vekoen bagudee, mens

6 Paameekuve 5 Hvis f = e diffeeniabel, vil gænsevædien lim ' væe lig med diffeenialkvoienen f. Samidig vil gænsesillingen af væe en femadee angenveko il kuven. hvis den ikke e nul-vekoen. Dee føe il følgende definiion: Hvis f = e diffeeniabel i, og f nulvekoen, så siges gafen fo f a have en femadee halvangen i.. Eksempel. Sammenhængen mellem kinemaik bevægelseslæe og paameekuve. Hvis beegne iden, så svae f = il en bevægelse i planen. Diffeenialkvoienen v = vil væe hasigheden i bevægelsen og a = vil væe acceleaionen. Fa fsikken ha man oveage den konvenion a man beegne længden af en veko med de samme bogsav uden vekoseg ove. Faen i bevægelsen e længden af hasighedsvekoen v = v. Søelsen af acceleaionen e give ved længden af acceleaionsvekoen: a = a. Eksempel. Jævn eline bevægelse. En jævn eline bevægelse e give ved en paameefemsilling: ' Man finde hasigheden ved diffeeniaion af koodinafunkionene: v ' ' Man se a hasigheden e en konsan veko. Faen e v = 5. I nogle ilfælde, kan man opnå en ligning fo paameekuven ved elimininaion af. I dee ilfælde e de mege simpel, ide man finde: = = / + indsa i = + => = / +5. Hvilke man genkende som ligningen fo en e linie.. Eksempel. Skå kas. Bevægelse i ngdefele. 8 Vi beage en bevægelse e give ved en paameefemsilling: 5 6 ' 8 Man finde hasigheden ved diffeeniaion af koodinafunkionene: v ' ' 6 8 Begndelseshasigheden fo = e v og begndelseshasigheden e v Acceleaionen e konsan ee nedad lig med ngdeacceleaionen a v' Bevægelsen sae fa,. Vi vil besemme de idspunk, hvo paiklen igen amme -aksen. 5 6,. Vi indsæe de sidse idspunk i udkke fo = 9,6. Denne vædi kaldes fo kasevidden. Sighøjden findes ved a sæe v = 6, 6, som indsæes i ,6, 8

7 Paameekuve 6 Endelig kan man beegne kasevinklen som 6,9 8 6 an v v. Til slu vil vi besemme ligningen fo banekuven ved a eliminee Vi genkende udkke som ligningen fo en paabel. En såkald kasepaabel. På gafen nedenfo e banekuven vis sammen med hasighedsvekoene i nogle punke..5 Eksempel. Jævn cikelbevægelse. Vi beage en bevægelse e give ved en paameefemsilling: sin cos A banekuven e en cikel ses le ved a udegne 9 sin 9cos 9sin 9cos. Banekuven e en cikel med ligningen 9. Hasighedsvekoen findes ved diffeeniaion: v 6 cos 6sin ' ' ' De bemækes, a ', hasighedsvekoen e vinkele på adius veko, ee langs angenen. Vi finde denæs acceleaionsvekoen:

8 Paameekuve 7 '' cos a v' '' '' sin Hvoaf ses, a acceleaionen il sadighed e ee modsa, alså mod cenum, hvofo acceleaionen beegnes cenipealacceleaionen. Dee va idligee en del af fsikpensum på den maemaiske linie.. Lodee, vandee angene og spidse. Hvis en paameekuve f e diffeeniabel i og ', så gælde de, hvis =, så ha kuven en lode angen i. hvis =, så ha kuven en vande angen i. Hvis f ikke e diffeeniabel i, men diffeeniabel fa høje og vense, alså, hvis både ' lim og ' lim eksisee, men ' ', så siges paameekuven a have en spids i. Dee e f.eks. ilfælde på kuven vis nedenfo, Nå man vil beegne spidsens åbningsvinkel, angive man de ikke som vinklen mellem ' og ' men som vinklen mellem ' og '. Vinklen beegnes ved almindelig veko egning, som: ' cosv ' ' '

9 Paameekuve 8. Undesøgelse af paameekuve En undesøgelse af en paameekuve udføes i pincippe på samme måde som en funkionsundesøgelse, foskellen ligge i, hvoledes man foolke esulaene.. Skæing med koodinaaksene. Fo a besemme skæingen med -aksen skal man løse ligningen =. Lad os anage, a man finde løsningene Tilsvaende fo a besemme skæingen med -aksen skal man løse ligningen =. Lad os anage, a man finde løsningene 5 Man lave da en foegnsvaiaion som vis på nedensående figu. De man kan læse af foegnsvaiaionene ud ove skæinge med aksene e hvilke kvadan kuven foløbe i. Dee e makee på den øvese allinie. Hvis > og <, foløbe kuven f.eks. i. kvadan. Tilsvaende besemme man posiionen af evenuelle lodee og vandee angene ved a løse ligningene = og =. Lad os anage, a ' 6 7 og ' 8 9 Man lave da ligesom fø en foegnsvaiaion fo og. Vis nedenfo på figuen.

10 Paameekuve 9 Ud ove a kunne se, hvo de e lodee og vandee angene, så kan man aflæse i hvilken ening kuven foløbe i hve af monooniinevallene. Uden a kende il egenlige søepunke, kan man heefe få e oveblik ove kuvens foløb. Nedenfo e egne gafen fo en paameekuve, som opflde kavene fa de o foegnsvaiaione:. Eksempel. Nedenfo e vis en Compuelave kuveundesøgelse, af en paameekuve, som ligne kuven ovenfo. Bland ande e skæingen med aksene og de lodee og vandee angene besem, endelig e gafen egne.

11 Paameekuve. Eksempel. Fikløve. Hvofo denne paameekuve ha fåe dee navn, femgå af figuen nedenfo. Paameefemsillingen e: sin cos sin sin sin cos sin Paameekuven kan opfaes som en jævn cikelbevægelse, men med en adius, som vaiee mellem og med en peiode på π. Nedenfo e vis en Compuelave kuveundesøgelse, sam gafen fo paameekuven.. Eksempel. Ckloiden. Ckloiden e en klassisk paameekuven. De e den kuve som e punk af fælgen på e hjul beskive, nå hjule illes af sed. Fo a besemme paameefemsillingen, beages nedensående figu. Af figuen femgå: CP OC OP cos sin sin cos

12 Paameekuve Paameefemsillingen blive da: sin cos Beage vi ckloiden, som en funkion = f, så ses de a den e peiodisk med peioden π. Diffeenialkvoienen blive: ' cos ' ' sin Ide ' ha ckloiden ingen angen fo =. Fo alligevel a få e indblik i kuvens foløb omking, kan vi ' beage foholde fo gående mod fa høje og fa vense. Dee fohold e nemlig angenhældningen i ' punke. sin cos cos ' sin. ' cos sin sin ' ' Heaf ses, a lim og lim ' ' Vi slue heaf, a ckloiden ha en lode spids i punkene = pπ, p =, ±, ±, Nedenfo e vis en compue undesøgelse af ckloiden efefulg af en gaf. De e også udegne e ovesøge aeal, hvilke vi skal vende ilbage il.. Eksempel. Akimedes spial. Akimedes spial, femkomme ved a man udføe en jævn cikelbevægelse, samidig med a adius vokse cos popoional med dejningsvinklen. Lade vi sin e så gælde de e ' sin e cos I sin mes simple fom e paameefemsillingen defo

13 Paameekuve e sin cos og mee geneel sin cos Fo hasigheden finde vi: cos sin sin cos ' ' ' e v Nedenfo e vis gafen fo en Akimedes spial. Også på denne figu e de egne e pa angene, sam makee e ovesøge aeal..5 Eksempel. Logaimisk spial. Den logaimiske spial e en spial, hvo adien vokse popoional med, mens dejningsvinklen vokse popoional med logaimen il. Den logaimiske spial e defo næsen uendelig lang id om a foeage en omgang. Nedenfo e vis en compueundesøgelse af en logaimisk spial med paameefemsillingen. sin ln. cos ln.

14 Paameekuve.6 Eksempel. Ubådsjag. Åsagen il a den logaimiske spial e medage e, a den komme ud som løsning i en besem slags pobleme. Lad os anage a en desoe og en ubåd få visuel konak, hvo de befinde sig i afsanden d fa hinanden. Ubåden dkke saks ned og age flugen uden a ænde kus med en besem hasighed u. Desoeen kan sejle med faen v. De anages, a v > u. Pobleme e nu, om desoeen kan sejle på en sådan måde, a den vil møde ubåden ligegldig, hvilken kus ubåden ha age. Siuaionen e illusee nedenfo, hvo de også e indlag e passende koodinassem.

15 Paameekuve Ubåden vil befinde sig på en cikelpeifei med adius = u. Løsningen fo desoeen e, a den skal sejle på den samme peifei indil den ha nåe en omgang. Da hasigheden v > u, skulle dee pincipiel væe mulig. Føs skal desoene sejle dieke mod ubåden il e punk, på den cikelpeifei, hvo ubåden befinde sig. Dee e nem a finde, ide de må gælde: u + v = d, så =d/u+v. Vi begnde analsen ud fa dee punk, som vi sæe il =. Opgaven simplificees, hvis vi skive desoeens posiion, i polæe koodinae. De e kend fa igonomeien, a ehve punks koodinae kan skives som:, cos, sin Vi skive da desoeens paameefemsilling som cos f sin De e kla, a adialhasigheden e. Den bue ds, de ovesges, nå vinklen foøges med d e ds = d. ds d Heaf følge de, a angenialhasigheden e ' d d Da desoeen il sadighed skal befinde sig på samme cikelpeifei, skal den sejle med samme adialhasighed u. Heaf følge, a = u elle = u. Desoeens fa e kvadaoden af kvadasummen af adial og angenialhasighed. Vi få således: v u u' som kan løses mh. ' il a give. v u v u ' ln hvo vi ha sa u u e de idspunk, hvo jagen langs peifeien begnde. =d/u+v. Fo simpelheds skld sæe vi = og finde: ln. Vi indsæe nu dee i paameefemsillingen og se, a desoeens bane neop vil væe en logaimisk spial. u cos ln f u sin ln Vi kan fosigig fosøge a vudee, hvo lang id de vil age desoeen fo a sejle en hel omgang, og hvo lang væk ubåden så e komme. Vi anage defo a u = knob og v = 5 knob. Vi finde da α =,8. Vi skal da løse ligningen: αln = π,8ln = π. => =,98, på hvilke idspunk ubåden ha sejle,98 sm = 7,8 sømil = 689 km. 5. Kuvelængde og ovesøge aeal Figuen nedenfo ande, hvoledes vi vil finde længden af en kuve og de aeal som ovesge mellem o idspunke. Fomlene udledes ved infiniesimalegning. Ved beegningen af kuvelængden beage vi buen ds, svaende il den infiniesimale ilvæks d. Fo infiniesimale ilvækse, vil de gælde: ds d d d d ds d ' ' d d d

16 Paameekuve 5 Vi finde således fomlen 5. ds ' ' d s ' ' d Hvis man skal besemme aeale mellem kuven og -aksen, så kan de gøes på o foskellige måde.. Hvis man kan finde en ligning fo kuven: = ved a elimine paameeen, så kan aeale mellem kuven og -aksen udegnes som e almindelig inegal. 5. A d. Selv om man ikke kan eliminee paameeen, kan man i nogle ilfælde alligevel besemme aeale mellem kuven og -aksen, ide man opskive 5. A d ' d Hvis man deimod ønske a besemme de ovesøgne aeal mellem paameevædiene og, se vi af figuen ovenfo, a de infiniesimale aeal da, som ovesge i idsumme d, så e de halvdelen af de paallelogam, som udspændes af d d. Dee aeal, kan igen udkkes på flee måde:

17 Paameekuve 6 d d d d d da ', de, de Skal man udegne aeale med denne fomel, så må man dele op i inevalle, hvo deeminanen ha de samme foegn, og så ilføje e minusegn, de hvo den e negaiv. Man finde da følgende fomel: 5. ' ' d A d da 5.5 Eksempel. Vi vil undesøge paameekuven give ved paameefemsillingen:. R Skæing med -aksen: = Skæing med -aksen: = Foegnsvaiaion: Diffeenialkvoien:. ' ' ' R Lode angen: = - = = ± Vande angen: = + = = - Foegnsvaiaion:

18 Paameekuve 7 Til høje e egne en kuve, som e i oveenssemmelse med de o foegnsvaiaione. Som de ses, ha kuven e dobbelpunk, alså o foskellige -vædie, de give de samme,. E dobbelpunk kan pincipiel besemmes ved a løse de o ligninge med de o ubekende og. = og =. Da ligninge aldig e lineæe så ha kuven nemlig ikke e dobbelpunk, e man henvis il a gæe sig fem. Hvis vi gæe den ene -vædi, kan man ofe finde den anden. Vi gæe se gafen nedenfo på =, som give, = -6,8. Denæs løse vi ligningen: = 8 8, som indsa give, = -6,8. Vi ønske a beegne vinklen mellem angenene i dobbelpunke. 6 6 ' 6 ' ' og Heaf finde man 99, ' ' ' ' cos v v Nedenfo e vis kuveundesøgelsen med e maemaikpogam, sam den igige gaf. Kuven begænse e omåde af planen. Vi ønske a besemme aeale af dee omåde. De e ud fa de foegående kla, a anden af omåde gennemløbes fa = - il =. Vi anvende defo blo fomlen 5.. ' d A ' Da udkke ses, a væe negaiv i inevalle [-, ] skal vi skife foegn. Vi få da. 5 5 d A 9,6 Hvilke e de samme esula, som maemaikpogamme få. De o minusegn e en minde fejl i pogamme

19 Paameekuve 8