Kortfattet. for gymnasiet og hf Karsten Juul

Transkript

1 Kotfattet fo gymnasiet og hf 5 00 Kasten Jl

2 Indhold. HÄjde og aeal.... Pythagoas' såtning Ensinklede tekante Cosins og sins i etinklet tekant Tangens i etinklet tekant Vinkle Udegne aeal ed hjål af sins Sinselationen Cosinselationen TilfÄjelse...5 Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Ç 00 Kasten Jl Dette håfte kan downloades fa HÅftet mé benyttes i ndeisningen his låeen med det samme sende en til kj@mat.dk som dels olyse at dette håfte benyttes, dels olyse om hold, låe og skole.

3 : HÄjde og aeal. Definition HÄjde. HÄjden fa A e det linjestykke de gé fa A og inkelet ind É den modstéende side. B C A HÄjden fa B e det linjestykke de gé fa B og inkelet ind É den modstéende sides folångelse. B C A. Eksemel En side kan Åe en häjde. HÄjden fa A e linjestykket AC C B A.3 SÅtning Aeal af tekant. Tekantens aeal e Aeal d a c né d e en häjde i tekanten a e den side de e inkelet É d. a d b Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 00 Kasten Jl

4 .4 Eksemel Aeal e kendt. PÉ billedet se i: 5,6 Tekantens aeal e 4, h e en häjde h e inkelet É siden de e 5, 6 3,9 h aeal 4,,5 Af dette fé i at 4, h 5,6 Vi taste denne ligning og fé den läst mht. h fo h 0 og fé h, 5. Vi ha bgt såtningen om tekants aeal (amme.3). : Pythagoas' såtning. Definition Katete og hyotense. Sidene og e tekantens katete. Det kan i se fodi inklen imellem og e et. Siden e hyotensen. Det kan i se fodi ikke e en af katetene. His en tekant ikke e etinklet, sé ha den heken hyotense elle katete.. SÅtning Pythagoas' såtning. Fo en etinklet tekant gålde: né og e katete, og e hyotense Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 00 Kasten Jl

5 .3 Eksemel Hyotense og en katete e kendt. Vi se: katetene e d og 3, 6 hyotensen e 8, Defo e 3,6 d 8, Vi taste denne ligning og fé den läst mht. d fo d 0 og fé d 7, 3. 3,6 d 8,.4 BemÅkning En sogbg. His de sté i tekant DEF e f 4 gålde det e siden oe fo inkelsidsen F de e 4. Sogbgen e nemlig sédan at né et stot bogsta e en inkelsids i en tekant, gålde det tilsaende lille bogsta e siden oe fo inkelsidsen, his de ikke femgé andet. D f E e d F Eksemel É dnyttelse af denne sogbg I en tekant ABC ho inkel C e et, e a b c. Adasel Se figen til häje. He d det ikke his d skie m, 6. B LÅseen kan ikke ide om det e AB elle BC de e, 6. Ski m É den side d mene. D skal altid tegne en fig i en geometiogae. A M C Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 3 00 Kasten Jl

6 3: Ensinklede tekante 3. Definition En sides modstéende inkel. Foestil dig at d sidde É linjestykket CM og holde i de to inkle ed linjestykkets endenkte. Den inkel d ikke holde i (altsé H ) e den modstéende inkel til siden CM. C M H 3. SÅtning Ensinklede tekante De to tekante ha samme inkle. Defo e de en skalafakto. t k mk k nk t e det tal som kaldes skalafaktoen. da m og t ha ens modstéende inkle. da og ha ens modstéende inkle. da n og ha ens modstéende inkle. m n k Pilen É figen ise hilken ej i gange. His i i stedet algte at gange sidene i häje tekant, sé ille k sté fo et andet tal. Det e tilladt at bge et andet bogsta i stedet fo k. (LÅseen ed ikke É fohénd at k sté fo skalafaktoen, sé det e nädendigt at i skie det). Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 4 00 Kasten Jl

7 3.3 Eksemel Udegne og bge skalafakto. C 5 0 F A c B D 8 E Vi begnde at de e en skalafakto: De to tekante ha samme inkle. Defo e de en skalafakto. Vi degne skalafaktoen: Sidene med långde 5 og ha ens modstéende inkle. Defo e 5 Vi taste denne ligning og fé den läst mht. fo 0 og fé,4. Vi bge skalafaktoen: Sidene med långde c og 8 ha modstéende inkle de e lige stoe. Defo e c,4 8 Vi taste denne ligning og fé den läst mht. c fo c 0 og fé c 0. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 5 00 Kasten Jl

8 4: Cosins og sins i etinklet tekant 4. Definition Vinkels hosliggende katete og modstéende katete. Foestil dig at d sidde i den sidse inkel og holde i de to inkelben. De to side d holde i, kaldes inklens hosliggende side. At en inkel e sids, betyde at inklen e minde end 90. En af de side d holde i, e en katete. Denne side kaldes inklens hosliggende katete. De e Ñn side tilbage som d ikke holde i. Denne side kaldes inklens modstéende katete. I den iste tekant gålde altsé: Vinkel 's hosliggende katete e 5. Vinkel 's modstéende katete e Definition Cosins og sins NÉ e en sids inkel (f.eks. 7 elle 6 ), e cosins til inklen = 's hosliggende katete i en tekant med hyotense. Vi skie cos( ) t. t NÉ e en sids inkel (f.eks. 7 elle 6 ), e sins til inklen = 's modstéende katete i en tekant med hyotense. Vi skie sin( ). Lommeegneen (elle matematikogammet) skal Åe indstillet til at egne med enheden gade. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 6 00 Kasten Jl

9 4.3 Eksemel Udegning af side med cosins elle sins. PÉ lommeegne elle comte fé i degnet at cos( 49,5) 0, sin( 49,5) 0, SÉ ha i fndet d af at 0,649 0,760 49,5 4.4 Eksemel Udegning af inkel med cosins elle sins. PÉ billedet se i at cos( ) 0,800 He sté at inkel e mellem 0 og 90. Vi taste denne ligning og fé den läst mht. fo og fé 36, ,600 SÉ ha i fndet d af at 36, 9 0,800 Dette esltat knne i ogsé hae fndet ed at läse ligningen sin( ) 0,600 Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 7 00 Kasten Jl

10 4.5 Eksemel Retinklet tekant ho hyotensen ikke e. I tekanten til häje e hyotensen, 5. Vi il bge cos og sin. Defo tegne i en ny tekant ho inklene e de samme, men ho hyotensen e. Katetene i den nye tekant e tallene cos( 35) og sin( 35 ). (Se ammene 4. og 4.3) Da de to tekante ha samme inkle, e de en skalafakto k : 35,5 b a 35 cos( 35) sin( 35) k 35,5 b a Vi finde skalafaktoen: Sidene med långde og, 5 ligge oe fo ens inkle (begge e 90) sé k,5 ds. k,5. Vi bge skalafaktoen: Resltat:,5 sin(35) a,5 cos(35) b a 0, b, 873 Vi se at fo alle etinklede tekante kan i skie fomle de sae til,5 cos(35) b og,5 sin(35) a Dette e indholdet af såtningen i amme 4.6. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 8 00 Kasten Jl

11 4.6 SÅtning Cosins og sins i etinklet tekant. NÉ e en sids inkel i en etinklet tekant e hyotensen e ' s hosliggende katete e ' s modstéende katete sé gålde: cos( ) sin( ) I mange tilfålde hedde inklen og sidene noget andet end oenfo. Defo e det ofte en fodel at dtykke eglen i od, f.eks. sédan: Om en sids inkel i en etinklet tekant gålde: NÉ i gange cosins til inklen med hyotensen sé fé i inklens hosliggende katete NÉ i gange sins til inklen med hyotensen sé fé i inklens modstäende katete 5: Tangens i etinklet tekant 5. Definition Tangens NÉ e en sids inkel (f.eks. 7 elle 6 ), e tangens til = 's modstéende katete i en tekant ho ' s hosliggende katete e. s Vi skie tan( ) s. Lommeegneen (elle matematikogammet) skal Åe indstillet til at egne med enheden gade. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 9 00 Kasten Jl

12 5. SÅtning Tangens i etinklet tekant. NÉ e en sids inkel i en etinklet tekant e ' s hosliggende katetet e ' s modstéende katete sé gålde: tan( ) I mange tilfålde hedde inklen og sidene noget andet end oenfo. Defo e det ofte en fodel at dtykke eglen i od, f.eks. sédan: Om en sids inkel i en etinklet tekant gålde: NÉ i gange tangens til inklen med inklens hosliggende katete sé fé i inklens modstäende katetet 5.3 Eksemel Tangens i etinklet tekant. 30 mete fa et tå sigte i o mod toen. Vinklen mellem sigtelinje og andet e 5. Tekanten til häje e en model af denne sitation. h Enhed: mete Vi fé h 30 tan(5) 38,398 ds. TÅets häjde e 38 m Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 0 00 Kasten Jl

13 6: Vinkle 6. Regle NÉ i lågge inklene i en tekant sammen, sé fé i altid 80 : En inkel i en tekant e sids his den e nde 90 et his den e 90 stm his den e oe Definition Cosins til en stm inkel og til 90. His e 90 sé e cos( ) 0 ds. cos( 90) 0 His e mellem 90 og 80: Vi tåkke fa 80. SÉ fé i en inkel som e nde 90. Da e nde 90, ed i fa amme 4. had de fostés ed cos( ). Vi definee at cos( ) cos( ) ho 80. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 00 Kasten Jl

14 6.3 Definition Sins til en stm inkel og til 90. His e 90 sé e sin( ) ds. sin( 90) His e mellem 90 og 80: Vi tåkke fa 80. SÉ fé i en inkel som e nde 90. Da e nde 90, ed i fa amme 4. had de fostés ed sin( ). Vi definee at sin( ) sin( ) ho 80. 7: Udegne aeal ed hjål af sins 7. Eksemel Udegne tekants aeal ed hjål af sins. I den iste tekant kende i to side og inklen imellem dem. Vi il degne tekantens aeal. 8 9 Vi tegne en häjde h. SÉ ha i to etinklede tekante. I den enste e (se amme 4.6) 8 sin(9) h Aealet af hele tekanten e (se amme.3) 9 8 h aeal aeal aeal h 8sin(9 ),336 aeal,3 Vi se at his i ha en tekant ho i kende to side og inklen mellem dem, sé kan i altid finde tekantens aeal ed at skie en ligning de sae til aeal 8sin(9 ). He sté at aeal = en hal gange den ene side gange den anden side gange sins til inklen imellem de to side. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 00 Kasten Jl

15 8: Sinselationen 8. SÅtning Sinselationen. His de i en tekant gålde sé e siden e modstéende til inklen siden e modstéende til inklen sin( ) sin( ) Denne egel hedde sinselationen. Beis fo sinselationen PÉ figen ha i tilfäjet en häjde h. HÄjden dele tekanten i to tekante. Da disse to tekante e etinklede, e sin( ) h og sin( ) h h Heaf fé i sin( ) sin( ) Vi diidee begge ligningens side med sin( ) sin( ) og fé sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi fokote de to bäke: sin( ) sin( ) N ha i beist at sinselationen gålde. 8. Eksemel Sinselationen. Vi bge sinselationen: 34 sin( ) 5 sin(0) 34 0 Vi taste denne ligning og fé den läst mht. fo mellem 0 og 90 og 5 fé 37, 9094 ds. 37, 9 Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 3 00 Kasten Jl

16 9: Cosinselationen 9. SÅtning Cosinselationen. His de i en tekant gålde sé e Sidene e, og Siden e modstéende til inklen cos( ) Denne egel hedde cosinselationen. Beis fo cosinselationen PÉ figen ha i tilfäjet en häjde. PÉ figen se i at n m sé n ) ( m m h n Vi omskie häjesiden: () n m m HÄjden dele tekanten i to deltekante. Af den enste fé i () cos( ) m da tekanten e etinklet. Da de to deltekante e etinklede, fé i h Heaf fé i m og h n n m Vi lågge n til begge ligningens side og fé m n Hei estatte i n med häjesiden fa (): hoaf m m m m Hei estatte i m med enstesiden i (): cos( ) N ha i beist at cosinselationen gålde. Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 4 00 Kasten Jl

17 0: TilfÄjelse 0. Median En median i en tekant e et linjestykke de gé fa en inkelsids til midtnktet af den modstéende side. C m b I enhe tekant e de te mediane. B PÉ figen e ist medianen mb fa B É siden b A 0. Vinkelhaleingslinje En inkelhaleingslinje i en tekant e en linje de gé gennem en af inkelsidsene og halee inklen. w w C I enhe tekant e de te inkelhaleingslinje. A C PÉ figen e ist inkelhaleingslinjen C fo inkel C. B 0.3 Nogle betegnelse ABC e inkel B i tekant ABC. Eksemel: PÉ figen e RSQ. S R AB e linjestykket med endenkte A og B. AB e långden af linjestykket AB. Eksemel: PÉ figen e PQ og PS ikke samme linjestykke, men PQ PS. 5 I en tekant ABC betegne A, B og C béde nkte og inkle. P Eksemel: Man kan skie P 90 elle P Q Kotfattet tekantsbeegning fo gymnasiet og hf Side 5 00 Kasten Jl