Projekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen

Transkript

1 Projekt 9.8 Betigede sadsyligheder og paradokser i sadsylighedsregige Et forløb om betigede sadsyligheder ka itroduceres via et selvstædigt elevarbejde med materialet i projekt 9.7 Testet positiv? samme med eller i stedet for de idledede case om at scae for terrorisme. 1. Case: Potetielle terrorister og paradokset om de falsk positive (Elevere arbejder selv dette eksempel igeem som e opvarmig til emet. Eksempel er låt fra de caadiske forfatter Cory Doctorow, der diskuterer paradokset i si bog Little Brother) Atag ma har opdaget e y og meget sjælde sygdom, som får avet Super-AIDS. Sygdomme optræder med e hyppighed på ca 1 tilfælde ud af e millio. Der udvikles e test der 99% sikker, hvormed mees, at de giver det korrekte resultat 99 ud af 100 gage sadt, hvis ma faktisk er smittet og falsk hvis ma ikke er smittet. Eller sagt omvedt: De giver et falsk resultat i 1% af tilfældee. Sygdomme ases for ekstremt farlig, så det besluttes at give teste til 1 millio idbyggere. a) Udfyld e tabel som de følgede (med afrudede tal, det er jo hele meesker): test \ tilstad har super-aids har ikke super-aids I alt positivt udslag 1 ikke positivt udslag 0 I alt Et rimeligt mål for, hvor præcis teste er, kue være at agive hvor stor e procetadel af de positivt testede, der faktisk er syg. b) Hvor præcis er dee test? c) Sammehold dette tal med, at teste blev præseteret som 99% sikker. Hvori ligger forklarige på dette paradox? Når vi måler på meget små størrelser, skal vores måleudstyr også være meget fitmasket, eller være idrettet på at kue registrere oget meget småt. Vil ma pege på e ekelt pixel på si skærm, ka e spids blyat godt bruges. Me blyate er ikke avedelig, hvis ma skulle pege på et ekelt atom. Lad os trække e parallel fra de sjælde sygdom super-aids til de aktuelle debat om overvågig af potetielle terrorister. Ka ma ved at sammekøre store datamægder fra mobiltelefoi, baktrasaktioer, rejsemøstre, aktiviteter på sociale medier som fx Facebook mv fide potetielle terrorister? Lad os atage, at efterretigsvæseet har gode argumeter for at hævde, at hvis bestemte idikatorer er tilstede hos e perso, så er der e vis sadsylighed for, at vedkommede er potetiel terrorist. Og omvedt: Hvis e perso faktisk er terrorist, så fages de i filtret med 99% sikkerhed. Det afgørede i første omgag er ikke, om vi tror på sådae idikatorer. Vi atager det er korrekt og aalyserer metode ud fra dee atagelse. Da vi ikke ka have sikker vide, me taler om sadsyligheder, og da vi taler om potetielle terrorister må ma acceptere, at der også spottes oge, der faktisk ikke er terrorister.

2 Lad os atage, at e orgaisatio som det amerikaske efterretigsvæse, NSA har skaffet sig adgag til alle bakkoti, til overvågig af alle mobilsamtaler i bye, til at kue scae alle facebookprofiler mv. De har lagt filtre id, der frikeder 99,9%, mes 0,1% af befolkige matcher NSA s defiitio af potetielle terrorister. Rigtige terrorister, der eksempelvis er villige til at optræde i selvmordsagreb, er sjælde. I e by som New York på 20 millioer idbyggere aslås der at være højst 10 sådae terrorister. Det betyder midre for det følgede, om dette tal er fx e faktor 10 større, me der er i vestlige lade trods alt ku set gaske få tilfælde af dee type, selv om det ville være e ret ekel sag at udføre. a) Aved de give oplysiger til at færdigudfylde følgede tabel over scaige af New York for potetielle terrorister: test \ tilstad er terrorist er ikke terrorist I alt positivt udslag 10 ikke positivt udslag 0 I alt De potetielle terrorister opsamles på e liste, og e whistle-blower lækker liste til presse. Det viser sig di abo figurerer op liste. b) Diskuter i gruppe, hvorda I ville reagere på e såda oplysig. c) Hvad er sadsylighede for at e tilfældig perso på liste faktisk er terrorist? d) Diskuter i gruppe de beskreve metode til at spotte potetielle terrorister. E test giver aldrig sikker vide. Derfor opererer ma i statistik med følgede fire begreber: falsk positiv, falsk egativ, sad positiv, sad egativ e) Placer de fire begreber i de fire rubrikker i tabelle og argumeter for hvorda du placerer dem.

3 2 Betigede sadsyligheder Betigede sadsyligheder er sadsyligheder, der bereges ud fra e eller ade give betigelse. Hvis ma kaster med to teriger, så er sadsylighede for at få e øje-sum på 10 lig med , fordi der 36 kombiatioer af to teriger og præcis kombiatioere (6,4), (5,5) og (4,6) giver summe 10. Hvis ma u ved, at e af terigere er e 6 er, så er der i alt 11 kombiatioer, hvoraf de to, emlig (6,4) og (4,6) giver summe 10. Dvs med de ye vide er sadsylighede ædret til Dette ka vi udtrykke i et formelsprog, der viser sig yttigt, på følgede måde: Defiitioer og otatio vedr sadsylighedsfelter 1. De samlede mægde af kombiatioer kalder vi udfaldsrummet og beteger det U: U={(1,1), (1,2),..(1,6), (2,1), (2,2),.., (2,6), (6,1), (6,2),.. (6,6)} Geerelt beteger et udfald og mægde af alle udfald kaldes for udfaldsrummet: 2. Hædelser er delmægder af udfaldsrummet, og beteges ofte med store bogstaver: A = alle kombiatioer, der giver øje-summe 10: A = {(6,4), (5,5), 4,6)} B = alle kombiatioer, hvor e af terigere viser 6: B= {(1,6), (2,6),.. (6,6), (6,1), (6,2),..(6,5)} 3. Sadsyligheder agives med e sadsylighedsfuktio P, således: Geerelt gælder, at,,,, samt at 4. Hvis alle udfald har samme sadsylighed, som det er tilfældet med terigekast med é terig eller med to teriger (sort og rød fx), så siger vi, at vi har et symmetrisk sadsylighedsfelt. I et symmetrisk sadsylighedsfelt ka vi udrege sadsylighede af e hædelse, som fx A, ved formle: 5. Symbolet agiver, at to hædelser som A og B begge idtræffer. Det læses af og til: både A og B. kaldes også fællesmægde af A og B. I vort eksempel er. 6. Når vi reger ud fra e give betigelse, som fx at vi ved at e af terigere viser 6, dvs at B er idtruffet, så agiver vi det således:. Dette betyder: sadsylighede for A år vi ved B er idtruffet. Det kaldes også de betigede sadsylighed for A givet B Hvorda udreges så P( A B )? Når vi ved, at B er idtruffet, så er de mulige udfald altså ikke hele U, me alee B. Og år vi ved, at B er idtruffet, så er de hædelse, vi spørger om, ikke hele A, me A B. Derfor ka vi i symmetriske sadsylighedsfelter, som eksemplet med kast med to teriger, udrege: atal udfald i AB 2 P( A B) samlede atal udfald i B 11 Dee formel ka vi omskrive lidt (forkort brøke, dvs divider både tæller og æver med samme tal): (atal udfald i AB) / (atal udfald i U) P( AB) P( A B) (samlede atal udfald i B) / (atal udfald i U) P( B)

4 Med de give talværdier ville de sidste udregig give: P( AB) 2 / 36 2 P( A B) 11 / altså aturligvis det samme som ovefor. Me årsage til, at vi foretager dee omskrivig er, at i de sidste formel har vi sluppet optællige af atal, som er kyttet til symmetriske sadsylighedsfeter. Dee formel ka vi derfor avede som de geerelle defiitio af de betigede sadsylighed for A givet B: Defiitio: Betiget sadsylighed De betigede sadsylighed for A givet B beteges og er givet ved: Udtrykket fortolkes som: Sadsylighede for A år vi ved B er idtruffet. ovefor fortæller, at dette er e geeraliserig af tællemetode fra symmetriske felter. Argumetatioe Bemærkig om uafhægighed: Betigede sadsyligheder giver aledig til at give e formel defiitio på et cetralt begreb i sadsylighedsregig, emlig begrebet uafhægige hædelser: Hædelsere A og B kaldes uafhægige, hvis der gælder, at P( A B) P( A). Dvs de ekstra oplysig om, at B er idtruffet påvirker ikke sadsylighede for at A idtræffer. Hvis A og B er uafhægige ser vi af formle, at der gælder: P( AB) P( B) P( A) Nogle lærebøger bruger faktisk de sidste formel som e defiitio af uafhægighed. Me dermed mister ma ituitioe om uafhægighed. Det er imidlertid vigtigt at holde fast i, at det er e formel defiitio. Begrebet idgår jo også i daglig sproget, og her skal ma passe på ikke ku at forlade sig på si ituitio. Begrebet uafhægige hædelser er helt cetral i behadlige af de såkaldte biomialmodeller, der er behadlet i B-boges kapitel 9. Vi vil ikke gå yderligere id i dette her. E af de stærke sider ved betigede sadsyligheder er, at ma ka rege baglæs Sætig: At rege forlæs og baglæs med betigede sadsyligheder Hvis A og B er to hædelser i et udfaldsrum U, så gælder: Beviset overlades til læsere. Bemærk, at de tredje formel veder betigelse om, og dermed giver os mulighed for at rege baglæs. I de følgede eksempler vil vi både arbejde med formlere og med tabelopstilligere, der ofte er et redskab til forholdsvis ekle løsiger.

5 Øvelse 1. Hvilket kø har det adet bar? (Farvige edefor ka du ophæve, og se svaree) (Vi atager i dette eksempel, at der fødes lige mage piger og drege i Damark) I et abohus flytter et par id, som har to bør. Hvad er sadsylighede for at begge er drege? Hvad er sadsylighede for, at midst é er e dreg? Udfaldsrummet her er U1 {( P, P),( P, D),( D, P),( D, D)}, hvor rækkefølge i talparree agiver i hvilke rækkefølge børee blev født. P og D står for pige og dreg. Svaree er aturligvis: 3 1 P(to drege) 4 25% P(midst é dreg) 75% 4 Du møder parret, der er ude at gå. De har det ee bar med sig. Det er e dreg. Hvilket kø har det adet bar? Hvad er sadsylighede for, at det adet bar også er e dreg? 25%? 50%? Et helt adet tal? Umiddelbart vil mage svare det første er det adet bar også e dreg er der jo to, og vi har lige udreget, at sadsylighede for to drege er 25%. Adre hælder måske til 50%: Når vi ikke keder køet, så må det være fifty-fifty for dreg-pige. Me begge svar er forkert. De tager ikke hesy til at vi har fået e vide i og med vi u ved, at det ee bar er e dreg. Udreget ved tællemetode: Udfaldsrummet er u U2 {( P, D),( D, P),( D, D)}. Så sadsylighede for, at de ade også er e dreg er således: 1 P(to drege e dreg)= 33,3%. 3 Da du kommer hjem fortæller du, at du mødte de ye aboer, og at du så, de har e dreg. Ja, og så har e mere, der ligger i barevog, lød svaret. Ædrer de ye oplysig på svaret på spørgsmålet: Hvad er sadsylighede for, at det adet bar også er e dreg? Mage vil ok svare, at det ikke ædrer oget. Me oplysige rummer faktisk e y iformatio. Nu ved vi ikke blot, at de ee af de to bør er e dreg, me også at det er de ældste. Dvs udfaldsrummet er u U3 {( D, P),( D, D)}. Så sadsylighede for, at de ade også er e dreg er således: 1 P(to drege de ældste er e dreg)= 2 50% Læg mærke til, at sadsylighede for at hædelse idtræffer (her: to drege) stiger med de iformatio vi får. Øvelse 2. Testet positiv - er du syg? Atag vi har e test for HIV, der er rimelig effektiv, idet de fager 90% af alle der er smittede. Teste har således e falsk egativ rate på 10%. Me teste fager ikke ku de syge, de har også e falsk positiv rate på 5%. Vi har e samlet populatio på 1000, hvoraf i alt 2% er smittede. Du testes positiv. Hvad er sadsylighede for at du faktisk er smittet? Når ma skal svare på sådae spørgsmål, ka det være e fordel at stille oplysigere op i e tabel som følger: test \ tilstad HIV smittet ikke HIV smittet I alt positivt udslag ikke positivt udslag I alt

6 a) Løs opgave ved simpel optællig b) Hvorda vil du defiere mægdere A og B, omtalt i defiitioe på betigede sadsyligheder? Hvad udgør mægde A B? c) Hvad er PA ( ), og P( AB) P( AB) d) Udyt u formle P( A B) til at løse opgave.? I et tilfælde hvor vi har givet absolutte tal, som i øvelse ovefor, er det klart lettere at optælle. Tabelle er et yttigt redskab til at skabe overblik, så vi ser, at vi ku behøver at rege i de øverste række. Hvis vi ikke har absolutte tal, ku %-tal., så kue vi aturligvis geemrege med et taleksempel, me kue vi ikke klare os ude? Det hadler æste eksempel om. Eksempel. Klassikere fra Harvard Medical School Mage amerikaske lærebøger om statistik ideholder følgede eksempel på, hvor let det er at slutte forkert i statistik: Cosider the followig problem A particular heart disease has a prevalece of 1/1000 people. A test to detect this disease has a false positive rate of 5%. Assume that the test diagoses correctly every perso who has the disease. What is the chace that a radomly selected perso foud to have a positive result actually has the disease? This questio was put to 60 studets ad staff at Harvard Medical School. Almost half gave the respose 95%. The average aswer was 56%. The correct aswer was give by just 11 participats. 1. løsigsmetode Sygdomme rammer e ud af Derfor opstiller vi e atalstabel baseret på e populatio på Det grøe felt (falsk egativ) rummer 0, da testet fager alle der faktisk er syg. Da der er e syg, er der 999 ikke-syge. Atal falsk positive er så 5% af 999. Dette er fudet lig med 50, så i alt testes 51 positivt. Betragt u tabelle. E perso er testet positiv og er altså bladt de 51. I dee gruppe er der 1 syg. Så sadsylighede for at vedkommede har sygdomme er: 1 P(syg testet positiv) 1,96% 2% 51 test \ tilstad syg ikke syg I alt positivt udslag ikke positivt udslag I alt

7 2. Løsigsmetode Vi formaliserer oplysigere: A: Mægde af syge PA ( ) 0,001 ot A: Mægde af raske P(ot A) 0,999 B: Mægde der testes positiv. P( B A) 1 P( B ot A) 0.05 E perso er testet positiv og øsker at kede sadsylighede for at vedkommede faktisk er syg. Dvs. i formelsproget øsker vi at berege. P( A B) PA ( ) Udyt formle: P( A B) P( B A) (*) Vi ka se, at vi her magler kedskab til = P (positiv test). Da alle idivider ete er syg eller rask, dvs ete ligger i A eller i ot A, så ka vi opdele B i dem der ligger i A, dvs og dem der ligger i ot A, dvs. Dermed ka vi udrege således: P( B) P( B A) P( B ot A) B A Bot A Udyt sætige om at rege baglæs til omskrivige: P( B) P( B A) P( Bot A) P( B A) P( A) P( B ot A) P(ot A) 10,001 0,050,999 Idsæt u tallee i formle (*): PA ( ) 0,001 1 P( A B) P( B A) 1 2% 10,001 0,050, ,5 Så sadsylighede for at vedkommede er ca 2%. Øvelse 3. Elisa teste for screeig af blod I e rapport om udviklige i bestræbelsere på at bekæmpe AIDS-epidemie ka ma læse følgede: The ELISA test was itroduced i the mid 1980 s to scree doated blood for the presece of AIDS atibodies. Whe atibodies are preset, ELISA is positive with a probability of about 0.98; whe the blood tested is ot cotamiated with atibodies, the test gives a positive result with a probability of These umbers are coditioal probabilities. If oe i a thousad of the uits of blood screeed by ELISA cotai atibodies, the (??) of all positive resposes will be false positive. (kilde: Ly Arthur Stee (red.), New approaches to Numeracy) Hvad skal der stå på de tomme plads markeret med (??) (dvs. hvor stor e adel falsk positive er det?)

8 Øvelse 4. Medicisk forsøg Et medicialfirma tilrettelægger e test af e y allergimedici testpersoer deltager og opdeles i 3 grupper med 500 i hver. De ee gruppe får det klassiske produkt, firmaet læge har haft på si liste. De ade får et placebo-præparat. Og edelig får de tredje gruppe det ye betydeligt stærkere præparat. De ekelte deltagere ved aturligvis ikke hvilke præparater de får. forbedrig ige virkig forværrrig I alt Gruppe Gruppe Gruppe I alt Lad os atage, at stikprøve er repræsetativ for de relevate populatio. a) Hvilke koklusio i form af abefaliger til firmaet - vil du umiddelbart drage om det ye stærkere præparat? b) E tilfældig valgt perso bladt de 1500 får det værre. Hvad er sadsylighede for at ha har fået det ye præparat? c) E tilfældig valgt perso bladt de 1500 får det bedre. Hvad er sadsylighede for at ha har fået det ye præparat? d) Vil du ædre die abefaliger? Øvelse 5. Hvad vej veder betigelse? Bayesiaske metoder har i stor udstrækig fudet vej til især amerikaske retssale. Det gives vi e kort itroduktio til i æste afsit. I e af de artikler vi heviser til gives følgede eksempel: Suppose a crime has bee committed ad that the crimial has left some physical evidece, such as some of their blood at the scee. Suppose the blood type is such that oly 1 i every 1000 people has the matchig type. A suspect, let's call him Fred, who matches the blood type is put o trial. The prosecutor claims that the probability that a iocet perso has the matchig blood type is 1 i a 1000 (that's a probability of 0.001). Fred has the matchig blood type ad therefore the probability that Fred is iocet is just 1 i a Aalyser aklageres påstad ved hjælp af betigede sadsyligheder. De to cetrale spørgsmål hadler om blodtype og om Fred er uskyldig, som ha påstår. Idfør to hædelser A og B, og opstil et udtryk for, hvad aklagere bereger. Hvad er di koklusio? Du ka evt avede æste øvelse, som et hit Øvelse 6 P( A B ) eller P( B A )? Du får et billede af e kvide, der er attraktiv og smukt klædt, og bliver spurgt om sadsylighede for at hu er fotomodel. Hvad er det egetlig for e betiget sadsylighed vi spørger om? Du ka evt løse opgave ved først at defiere følgede hædelser: A: Kvide er attraktiv og forstår at klæde sig smukt. B: Kvide er fotomodel. Spørger vi om P( A B ) eller P( B A )?

9 3. De geerelle udgave af Bayes formel I aalyse af klassikere fra Harvard avedte vi følgede formel: P( B) P( B A) P( B ot A) Formle bygger på de ekle iagttagelse, at ete idtræffer hædelse A eller også gør de ikke, dvs. de to situatioer BA og B ot A udtømmer alle muligheder. Me dette ka vi geeralisere til situatioer, hvor alle muligheder ka opdeles i adskilte mægder A1, A2,..., A. Det ka fx være situatioe, hvor vi opdeler befolkige i idkomstgrupper, svarede til A1, A2,..., A, og hvor hædelse B kue være holdige til om vi i Damark skal gå over til Euroe. Da er: P( B) P( BA1) P( BA2)... P( B A ) (*) Hvis vi u øsker at berege B ), så ka vi tage udgagspukt i defiitioe: B) B) Heri idføres u først (*): B) B) P( B A ) P( B A )... P( B A ) 1 2 Ofte har vi situatioer, hvor vi keder sadsyligheder for de omvedte betigelser, fx de tidligere formler, ka vi u omskrive til følgede P( B Ak) ) B) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A )... P( B A ) P( A ) P( B A k ), og ved at avede Sætig: Bayes formel Hvis hædelsere A og B er to hædelser i et udfaldsrum U og hædelse A ka opdeles i adskilte hædelser / delmægder,, så gælder: Øvelse 7. Bliver der reg på bryllupsdage E amerikask kvide Marie skal giftes ved e spektakulær udedørs ceremoi i et ørkeområde ude for Las Vegas. De seere år har det ku reget 5 dage om året. Uheldigvis har e af TV statioeres meteorologer forudsagt, at det bliver reg, etop på bryllupsdage. Når det faktisk reger, har meteorologe forudsagt dette i 90 % af tilfældee. Me også i 10% af de dage, hvor det ikke reger, har ha forudsagt reg. Hvad er sadsylighede for at det vil rege på bryllupsdage?