Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. I -bogens kapitel 10 har i i første afsnit behandlet Euklids Elementer. Her findes links til udgaer på nettet. Til det følgende repeterer i kort strukturen i Elementer. 0. Forudsætninger, definitioner og notation Euklids Elementer består af 13 bøger, der i al korthed har følgende indhold: Bog I: Elementære konstruktioner (»Trekantens geometri«) Bog II: Geometrisk lgebra (»Firkantens geometri«) Bog III: irklens Geometri Bog IV: Regulære Polygoner (»Femkantens geometri«) Bog V: Størrelseslæren (»ntikkens differential- og integralregning«) Bog VI: Ligedannethed Bog VII-IX: Talteori Bog X: Irrationale tal Bog XI: Rumgeometri Bog XII: real og Volumen Bog XIII: Konstruktion af de 5 regulære polyedre Indholdsfortegnelsen gier et ist indtryk af, hor omfattende et ærk det er. Men det, som kom til at præge åndsliet siden, er strukturen i bøgerne. Euklid går frem på følgende måde: Forrest er alle de definitioner (3 i alt), han får brug for i bog I. en første definition i bogen er simpelthen:»1. Et punkt er det, som ikke kan deles.«bang herken forord eller anden snak, men lige på. ernæst følger de postulater (aksiomer) (5 i alt), han mener, er nødendige for denne geometri. Og endelig sætter han nogle almene aksiomer op (5 i alt), som danner grundlag både for geometrien og for al anden matematik. en sidste gruppe gier en slags regler for, hordan i logisk argumenterer os frem. Herefter klør han på med sætning efter sætning, hor han skelner mellem konstruktioner der afsluttes med»hilket skulle gøres«, forkortet hsg og beiser der afsluttes med»hilket skulle beises«, forkortet hsb; den mere berømte latinske forkortelse qed, der står for»quod erat demonstrandum«anendes stadig i mange matematikbøger. ØVELSE Prø at oereje, hor der er ligheder, og hor der er forskelle mellem Euklids matematikbog og opbygningen af moderne matematikbøger. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten EUKLIS ELEMENTER* BOG 1 efinitioner 1. Et punkt er det, der ikke kan deles.. En linie er en længde uden bredde. 3. En linies begrænsninger er punkter. 4. En ret linie er en linie, som ligger lige mellem punkterne på den. 5. En flade er det, der kun har en længde og en bredde. 6. En flades begrænsninger er linier. 7. En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linier i den. 8. En plan inkel er hældningen mellem to linier, der ligger i samme plan, har et punkt fælles og ikke ligger på en ret linie. 9. Når de linier, der indeslutter inkler, er rette, kaldes inklen retliniet. 10. Når en ret linie er oprejst på en anden, så at de ed siden af hinanden liggende inkler blier lige store, er enher af de lige store inkler ret; og denne rette linie, der er oprejst på den anden, kaldes inkelret på denne. 11. Em stump inkel er en inkel, som er større end en ret. 1. En spids inkel er en inkel, som er mindre end en ret. 13. En omkreds er begrænsningen af noget. 14. En figur er det, der indesluttes af en eller flere omkredse. 15. En cirkel er en plan figur, indesluttet af en sådan linie (som kaldes periferien), at alle de rette linier, der kan trækkes ud til den fra et inden for figuren liggende punkt, er indbyrdes lige store. 16. ette punkt kaldes centrum i cirklen. 17. En diameter i cirklen er en ret linie, trykket gennem centrum og begrænset til begge sider af cirkelperiferien, og den halerer også cirklen. 18. En halcirkel er en figur, som indesluttes af en diameter og den af diameteren afskårne periferi. Halcirklens centrum er det samme som cirklens. 19. Retliniede figurer er sådanne, som indesluttes af rette linier: tresidede, som indesluttes af tre, firesidede af fire, flersidede af flere end fire rette linier. 0. f tresidede figurer kaldes den, der har alle tre sider lige store, en ligesidet, den som kun har to sider lige store, en ligebenet, og den, som har alle tre sider ulige store, en skæ trekant. 1. f tresidede figurer kaldes endidere den, der har en ret inkel, en retinklet, den, der har en stump inkel, en stumpinklet, den, der har alle tre inkler spidse, en spidsinklet trekant.. f firesidede figurer kaldes den, der både er ligesidet og retinklet, et kadrat, den, der er retinklet, men ikke ligesidet, et rektangel, den, der er ligesidet, men ikke retinklet, en rhombe, den, der både ar modstående sider og inkler lige store, men herken er ligesidet eller retinklet, en rhomboide, de ørige firesider kunne kaldes trapezer. 3. Parallelle linier er rette linier, der ligger i samme plan, og som, når de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne. Forudsætninger Lad det ære forudsat: 1. t man kan trække en ret linie fra et hilket som helst punkt til et hilket som helst andet punkt.. t man kan forlænge en begrænset linie i ret linie ud i eet. 3. t man kan tegne en cirkel med et hilket som helst centrum og en hilken som helst radius. 4. t alle rette inkler er lige store. 5. t når en ret linie skærer to rette linier og de indendige inkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hor de to inkler, der er mindre end de to rette, ligger. lmindelige begreber 1. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store.. Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store. 3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store. 4. Størrelser, der kan dække herandre, er indbyrdes lige store. 5. et hele er større end en del deraf. Notation er henises til de 5 aksiomer (almindelige begreber) med a1 (aksiom 1), a, a3, a4 og a5. er henises til Euklids egne sætninger med f.eks. I, 35: Bog I, sætning 35. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 1. Euklids beis for Pythagoras læresætning SÆTNING 1 (I, 35) Parallelogrammer på samme grundlinje mellem de samme paralleller er lige store. FIGUR B E F Vi iser først, at trekant BE og trekant F er kongruente: B, da de er modstående sider i et parallelogram. E F, da de er modstående sider i et parallelogram. Tilsarende gælder, at B, og EF, ds. ifølge a1 er B EF. f a følger så, at B E EF E, og hermed BE F (se figur). a trekanterne BE og F har tre sider paris ens, er de kongruente (kan dække hinanden ed en flytning). Vi ser på hele figuren BF. Fra denne figur fjernes først trekant BE hered fremkommer parallelogrammet EF. Fra BF fjernes så trekant F hered fremkommer parallelogrammet B. a i har fjernet lige meget fra BF, er resterne lige store (a3), ds. de to parallelogrammer er lige store, som i ønskede at ise. SÆTNING (I, 41) Når et parallelogram har samme grundlinje som en trekant og ligger mellem de samme paralleller, er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten. FIGUR B E F Vi tegner linjen gennem parallel med E, og punktet F fremkommer. Fra sætning 1 har i, at parallelogrammerne B og EF er lige store, og da EF er dobbelt så stor som trekant E, har i det ønskede. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten SÆTNING 3 (I, 47) I en retinklet trekant er kadratet på den side, der ligger oer for den rette inkel, lig summen af kadraterne på de sider, der indeslutter den rette inkel. Vi bemærker, at dette er Pythagoras sætning! Vi konstruerer først kadrater på 3 sider (se figur). Herefter tegnes linjerne E, B og højden fra, og punkterne H og F fremkommer. Vi indser først, at trekant B og trekant E er kongruente: B E og (siderne i samme kadrat). Vinkel i de to trekanter er også ens, da de begge er en ret inkel + inkel i trekant B. Heraf følger så, at trekanterne er kongruente (to sider og en mellemliggende inkel paris ens). Vi bemærker nu, at parallelogrammet HFE og trekant E har samme grundlinje og ligger mellem de samme paralleller, altså er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten ifølge sætning. et samme gælder om parallelogrammet G og trekant B. a trekant B og trekant E er kongruente, følger, at HFE og G er lige store, altså at rektanglet HFE er lig kadratet på. G H B E F I På samme måde kan i ise, at rektanglet HBIF er lig kadratet på B (gør det sel ed at benytte figuren til højre). Heraf følger så, at HFE HBIF B, og hermed er det ønskede da HFE HBIF B. G H B E F I 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten. Euklids konstruktion af det gyldne snit SÆTNING 4 (II, 6) Når en ret linje er haleret, og en anden ret linje er afsat i forlængelse af den, så er det rektangel, der indesluttes af hele linjen og dens forlængelse, samt kadratet på haldelen, lig kadratet på den rette linje, der er sammensat af haldelen og forlængelsen. BEMÆRKNING ette er et eksempel på det, i kalder geometrisk algebra, ds.»en algebraisk sætning oersat til geometri«. Sætningen irker meget uigennemskuelig; men indholdet er det samme som det, i kalder kadratet på en toleddet størrelse: a b a b ab Sætningen blier brugt meget af Euklid i de næste sætninger, så det er en god idé at lære og forstå sætningens geometriske indhold. FIGUR a a B b b E a B a a b F en gine rette linje er B, og forlængelsen er B, og B haleres i. E er afsat lig B, og F er afsat lig. Sætningen siger nu, at rektanglet bestemt af siderne og E samt kadratet på B er lig med kadratet på. Ved at se på figuren ser i, at dette er det samme som at indse, at de to skraerede rektangler er ens (prø sel at ise det!). His i sætter a og B b, blier det algebraiske indhold af sætningen: a b b a ab b a. Rektanglet bestemt af og E plus kadratet på B: Kadratet på : a b. ltså siger sætningen: a b a b ab. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Inden i går idere med Euklids næste sætning (II, 11), lidt om»det gyldne snit«: EFINITION Vi ser på et linjestykke B. Linjestykket siges at ære delt i det gyldne snit ed punktet H, his B H H BH BEMÆRKNING Vi ser, at dette er det samme som H B H (i har ganget oerkors), eller som Euklid ille sige: Kadratet på H er lig med rektanglet bestemt af B og BH. FIGUR H B BEMÆRKNING His i il bestemme, hor H skal ligge på linjestykket B, kan i gøre følgende: Vi sætter B a (kendt tal) og sætter det søgte linjestykke H x. Hermed er BH a x. Vi får nu ed at indsætte disse størrelser i x a a x x ax a 0 Ved at løse denne andengradsligning, fås a 5a a 5 x x 1. x kan således bestemmes, når i kender a. x a x H B H : Vi skal nu se, hordan Euklid konstruerer punktet H, altså det punkt, der deler B i det gyldne snit. Vi bemærker, at Euklid hermed faktisk har løst en andengradsligning geometrisk. (Herken Euklid eller andre græske matematikere anendte begrebet»det gyldne snit«, sel om de med stor sandsynlighed kendte og ærdsatte dets egenskaber. Begrebet dukker først op i renæssancen (nogle steder:»det guddommelige forhold«, andre steder:»den gyldne brøk«) for endelig at inde fodfæste som et anerkendt begreb i det 19. århundrede). 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten SÆTNING 5 (II, 11) t dele en gien ret linje, således at det rektangel, der indesluttes af hele linjen, og det ene af stykkerne, er lig kadratet på det andet stykke. Vi betegner det gine linjestykke med B. Vi skal så bestemme et punkt H, således at H B H Euklid går nu frem i følgende skridt (prø sel at tegne figuren efterhånden): 1. Kadratet B konstrueres.. Siden haleres i punktet E. 3. forlænges ud oer. 4. irklen med centrum i E og radius EB tegnes. enne cirkel skærer s forlængelse i F. 5. irklen med centrum i og radius F tegnes. enne cirkel skærer B i det søgte punkt H. 6. Kadratet FGH tegnes. 7. Linjen gennem G og H skærer i K. Euklid argumenterer nu på følgende måde (se også figur): Vi ser, at er haleret i E, og F er forlængelsen, ds. ifølge sætning 4 gælder der, at F F E EF da EF EB, fås F F E EB F F E B E Vi fjerner E da trekant B er retinklet, fås EB B E F F B da F FG, fås F FG B, som indsættes, og i får fra begge sider og får Vi får således, at rektanglet bestemt af siderne F og FG er lig med kadratet på B. Euklid fjerner nu fra disse lige store figurer rektanglet bestemt af siderne og H (se figur). Resterne blier da henholdsis kadratet på H og rektanglet bestemt af siderne B og BH, altså gælder: H B HB, og da B B, fås det ønskede: H B HB. F G H B E 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 3. Euklids sætninger om et punkts potens mht. en cirkel SÆTNING 6 (III, 36) His der fra et punkt uden for en cirkel tegnes en linje, der rører cirklen i et punkt T (ds. linjen er tangent til cirklen i T), og en ilkårlig linje, der skærer cirklen i R og S, så gælder det altid, at PR PS PT. Euklid iser først sætningen, når linjen, der skærer cirklen i R og S, også går gennem cirklens centrum. Herefter benytter Euklid dette beis til at ise, at det også gælder for en ilkårlig linje. FIGUR 1 FIGUR T T P P R R S M Linjen fra til T tegnes (står inkelret på tangenten i T). Vi ser nu, at RS er haleret af, og PR er forlængelsen. f sætning 4 følger da, at S PS PR R P da R T (radier i cirklen), fås PS PR T P PS PR P T PS PR PT og hermed og da trekant PT er retinklet, fås af Pythagoras PT T P og hermed PT P T. Vi tegner linjerne P, R, S og M, hor M er bestemt som midtpunkt af RS. Vi bemærker nu, at trekant RS er ligebenet, ds. medianen M blier også højde i trekanten, altså er trekanterne RM og PM retinklede. Ved at benytte sætning 4 igen, fås PS PR RM PM ed at lægge M til på begge sider, fås PS PR RM M PM M ed at anende Pythagoras på trekant RM og PM. PS PR R P Hermed er i tilbage i tilfælde 1. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten SÆTNING 7 (III, 37) His der fra et punkt uden for en cirkel trækkes to linjer, hor den ene skærer cirklen i punkterne R og S, og den anden har fællespunktet med cirklen, og der yderligere gælder, at R S, da er linjen tangent til cirklen. Vi bemærker, at dette er den»omendte«sætning til sætning 6. FIGUR R S T Vi tegner tangenten fra til T (se figur) og får således, at R S (forudsætning) R S T (fra sætning 6). f dette fås, at T, og hermed at T. Vi tegner nu linjerne, T og. Trekanterne og T er kongruente (tre sider paris ens). Heraf følger, at inkel er ret, og linjen er således tangent til cirklen. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 4. enterinkel, periferiinkel og kordetangentinkel Vi tegner en cirkel med centrum i punktet O. En inkel med toppunkt i O kaldes en centerinkel. En centerinkel er lige så stor som den bue, den spænder oer. O EFINITION En inkel, der har toppunkt på cirkel periferien og begge ben som korder til cirklen, kaldes en periferiinkel. SÆTNING 8 En periferiinkel er halt så stor som den bue, den spænder oer. FIGUR 180 B Beiset opdeles i tre dele: 1. Periferiinklen har et ben som diameter.. Periferiinklen har et ben på her side af diameteren tegnet fra inklens toppunkt. 3. Periferiinklen har begge ben på samme side af diameteren. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten et iser sig nu, at når 1 er ist, kan dette bruges til beis for og 3. Beis for 1: Vi skal således ise, at buen B er (se figur). a) Vi ser først, at trekant OB er ligebenet, ds. inklerne ed grundlinjen er lige store (). b) Vinkel O er derfor 180. c) ltså er inkel O i trekant OB lig med. d) Hermed er buen B =, som i skulle ise. Beis for og 3: Benyt sel figurerne fra resultatet fra 1. O B u O B 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten EFINITION Ved en kordetangentinkel forstås en inkel med toppunkt på cirkelperiferien, og his ene ben er en korde, mens det andet ben er en tangent til cirklen. SÆTNING 9 En kordetangentinkel er halt så stor som den bue, benene spænder oer. Vi ser på figuren nedenfor og tegner linjen fra centrum O til inklens toppunkt. a denne linje står inkelret på tangenten i, får i, at inkel i trekant OB blier 90. a trekant OB også er ligebenet, blier inkel O =, og hermed er sætningen beist. FIGUR 90 O 90 B SÆTNING 10 (III, 3) Kordetangentinklen er lig periferiinkel, der indesluttes af den bue, der bestemmes af korden, og ligger til modsat side af. a både periferiinklen og kordetangentinklen er halt så store, som den bue, de spænder oer (som jo er den samme), er =. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 5. Euklids konstruktion af den regulære femkant SÆTNING 11 (IV, 10) t konstruere en ligebenet trekant, hori her af inklerne ed grundlinjen er dobbelt så store som topinklen. BEMÆRKNING I en sådan trekant er inklerne hh. 36, 7 og 7, idet x + x + x = 180, og hermed er x = 36. x x x Vi bemærker også, at Euklid hermed kan konstruere den regulere tikant og hermed også den regulære femkant (se figur nedenfor). Femkantssiden 36 36 Tikantssiden (10 30 = 360 ) 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Euklid får frem i følgende skridt: 1. På det gine linjestykke B konstrueres punktet, så. irklen med centrum i og diameter B tegnes. 3. Korden B konstrueres, så B. 4. Linjerne og tegnes. B B (sætning 5). Euklid iser nu, at trekant B har den ønskede egenskab. Trekanten er klart ligebenet, så i skal blot ise, at y = x (se figur nedenfor). Euklid tegner nu trekant s omskrene cirkel og argumenterer på følgende måde: Vi har, at B B B, fås, at B B (sætning 5), og da B. Vi bemærker nu, at B er et punkt uden for trekant s omskrene cirkel, samt at i har to linjer gennem B, som skærer cirklen (i og ) og rører cirklen (i ). f sætning 7 følger så, at B er tangent til cirklen. Hermed er B en kordetangentinkel, som spænder oer samme bue som periferiinklen. f sætning 10 følger så, at B x (se figur). B x y x For at indse, at y = x, laes en ny figur: B x y y 180 y B y, ds. y x y x x I trekant har å så. at x y x 180 180 y f denne figur fremgår, at i trekant B er inklerne ed grundlinjen lige store, altså er B, og da B, er, og trekant er ligebenet. ltså er inkel = x i trekant, og trekant B har den ønskede egenskab. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk
Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 6. Bilag om tangenter til cirkler Man har ikke kunnet finde Euklids definition på, had han forstår ed en tangent til en cirkel; men af hans arbejde fremgår, at den må ligge tæt på følgende definition: EFINITION Lad P ære et punkt på en cirkel. En ret linje l siges da at ære tangent til cirklen i punktet P, his 1. irklen og l kun har punktet P til fælles.. er ikke findes nogen ret linje gennem P mellem l og cirklen. SÆTNING 1 Lad P ære et punkt på cirklen med centrum i. en rette linje l, der går gennem P, og som står inkelret på P, er tangent til cirklen i P. Vi gør først rede for, at l kun kan hae punktet P fælles med cirklen. Lad ære et ilkårligt punkt på l. Vi ser så på trekant P, hor inkel P = 90. a inkelsummen i en trekant er 180, er inkel mindre end inkel P. Euklid har i sætning I, 19 ist, at i enher trekant ligger der oer for en større inkel en større side, ds. at er større end P. a nu P er cirklens radius, må ligge uden for cirklen, og hermed har i gjort rede for punkt 1. P l For at ise punkt antager i, at der findes en linje m gennem P mellem l og cirklen (indirekte beis). Vi tegner den inkelrette fra centrum ned på m (kaldes ). Vi ser på trekant P, og ed igen sætning I, 19, kan i slutte, at er mindre end P (radius), og hermed at ligger inde i cirklen. Hermed har i modstriden, altså kan der ikke ligge nogen linje mellem l og cirklen. P m l 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf: 43503030 Email: info@lru.dk