Sndsynligheder og disrete stostise vrible Regler for sndsynligheder Byes sætning Stostis vribel disret Sndsynligheds fordeling Kumultiv fordeling Middelværdi, vrins, stndrd fvigelse
Sidste gng Mængder Hændelser Sndsynligheder Regler for sndsynligheder Simultn sndsynlighed fælles mængde PA B Mrginl sndsynlighed sum ud over nden vribel PA Additionsreglen forenings mængde PA U B PA PB PA B Betinget sndsynlighed PA B Ufhængighed PA BPAPB Produtregel for ufhængige hændelser Kombintori PA U A U... U A - PAPA LPA
Lw of totl probbility Lw of totl probbility: B PA PA I B PA I B A _ B Altså, i ord, sndsynligheden for A er lig med sndsynligheden for fællesmængden mellem A og B plus sndsynligheden for fællesmængden mellem A og omplementær mængden til B
sempel lw of totl probbility Kortspil find sndsynligheden for t træe et billedort, A: Det må være sndsynligheden for t træe en billedort i Hjerter, Spr, Ruder og Klør: PAPA H PA S PA R PA K 3/5 3/5 3/5 3/5 /5 Hjerter Spr Ruder Klør A H A S A R A K A
Byes sætning PBA P AI B PA PA I B PA IB PA IB PABPB PABPB PABPB PB ldes priori sndsynligheden og PB A posteriori sndsynligheden
Byes sætning sempel -0 n test for en sjælden sygdom, der rmmer 0,% f befolningen pi0,00, er upræcis. Ld i det følgende: I syg og I ie syg Z positiv test og Z negtiv test Sndsynligheden for t testen er positiv når mn er syg: P Z I.9 P Z I.08 fls negtiv Sndsynligheden for t testen er positiv, når mn er rs fls positiv: P Z I 0.04 P Z I 0.96 Hvd er så sndsynligheden for t mn er syg, givet t testen vr positiv?
sempel -0 fortst P I 0. 00 PI 0999. PZI 09. PZI 004. P I Z P I I Z P Z P I I Z P I I Z P I I Z P Z I P I P Z I P I P Z I P I. 9 0. 00. 9 0. 00 0. 04. 999 0. 0009 0. 0009 0. 0009 0. 03996. 04088. 05
tended Byes P B A P A B P A P A B P A B P A B P B P A B P B i i i
Stostis vribel n stostis vribel er en funtion defineret på S udfldsrummet, der ntger værdier på R reelle tl : S R I esperimenter nyttes en tlværdi til hvert udfld: S o o R Stostise vrible n enten være disrete eller ontinuerte. Disrete: Antger et endeligt/tælleligt ntl værdier Kontinuerte: Antger værdier i en mængde f reelle tl
sempler på disrete og ontinuerte vrible speriment Stostis vribel Type Kst med terning Antl øjne Disret Kst med terninger Sum f ntl øjne Disret Fmilie i Dnmr Antl børn Disret Trffiryds Antl biler Disret Fmilie i Dnmr Indomst Kontinuert Kvinder i Dnmr Højde Kontinuert Bby Fødselsvægt Kontinuert Resten f denne forelæsning ser vi på disrete stostise vrible
sempel øn på nyfødte Betrgt de forsellig mulige ordninger f drenge B og piger G i fire fødsler. Der er *** 4 6 muligheder og udfldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sndsynlige, [PG PB /], og ønnet f hvert brn er ufhængig f ønnet på det foregående brn, så er sndsynligheden for hver f disse 6 muligheder: //// /6.
sempel - fortst Tæl ntllet f piger i hver f de fire fødsler: BBBB 0 BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG 3 BBGB BGGB GBGB GGGB 3 BBGG BGGG 3 GBGG 3 GGGG 4 Bemær t: hvert mulig udfld tildeles en enelt værdi værdierne, der tildeles vrierer over de forsellige udfld Antllet f piger er en stostis vribel: n stostis vribel,, er en funtion, der tildeler en enelt, men vribel værdi til hvert element i udfldsrummet.
sempel - fortst BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG Udflds rum 0 3 4 Punter på den reelle linie
sempel - fortst sempel: Den stostis vribel 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB foreommer, P 3 PBGGG PGBGG PGGBG PGGGB 4/6 Sndsynligheds fordelingen f en stostis vribel er en tbel, der opsriver lle de mulige værdier f en stostis vribel og deres tilnyttede sndsynligheder. P For esemplet: 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 6/6
sempel - fortst Probbility Distribution of the Number of Girls in Four Births 0.4 6/6 0.3 Probbility, P 0. 4/6 4/6 0. /6 /6 0.0 0 Number of Girls, 3 4
Sndsynligheds fordeling Definition :Ld : S R være en disret stostis vribel. P P er en sndsynligheds fordeling funtion for,hvis :. P 0 for lle værdier f.. P lle
Kumultiv fordelings funtion Den umultive fordelings funtion, F, f en disret stostis vribel er: F P P i Kommultiv fordelings funtions for ntllet f piger ved 4 fødsler: i P F 0 /6 /6 4/6 5/6 6/6 /6 3 4/6 5/6 4 /6 6/6.00 F.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.0 0 3 4
sempel - fortst P F 0 /6 /6 4/6 5/6 6/6 /6 3 4/6 5/6 4 /6 6/6.00 P F /6 P F 5/ 6 / 6 P 3 F 3 F 0 5/ 6 /6 4 /6
Middelværdi Middelværdien f en disret stostis vribel er givet som: μ P Dvs. summen f værdien gnge sndsynligheden for værdien et vægtet gennemsnit. Bemær! Middelværdi ldes også den forventede værdi. sempel: P P 0 /6 4/6 0 /6 4 /6 6 /6 3 4 /6 4 /6 6/6 3 /6 3 4/6 4 /6 6/6
Vrins Vrinsen er den vægtede gennemsnitlige vdreret fvigelse f værdierne f en stostis vribel fr gennemsnittet. Stndrd fvigelsen er vdrtroden f vrinsen: ] [ ] [ P P P V μ μ σ σ SD V
Vrins - esempel P 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 6/6,73 3 3 /6 4 4 /6 3 6 /6 4 /6 /6 0 ] [ σ σ P P V
Regneregler for middelværdi og vrins,,, :,,, V V V V V V V V V b V b b L L L L L L L L L L så : indbyrdes ufhængige, er Hvis stostise vrible ombintio n f en liner Middelværdien for : funtion f en lineær for Regneregler
Opsummering Lw of totl probbility Byes sætning Stostis vribel disret Sndsynligsheds fordeling Kumultiv fordelings funtion Middelværdi, vrins, stndrd fvigelse
Opgver Kpitel : 69, 83, 85, 4, 49, 9 Kpitel 3:, 3, 7, 7