Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på at illustrere nogle centrale principper og idéer til hvordan man løser opgaver ved at se på vinkler, areal, ensvinklede trekanter og retvinklede trekanter med fokus på. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Opgaverne kræver ikke trigonometri. For at blive god til. runde er det allervigtigste at løse mange opgaver, og derfor er der også en masse opgaver hvor mange har været stillet som opgaver til. runde. Til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen er de første ti opgaver multiple choice-opgaver med fem svarmuligheder, mens de sidste ti opgaver skal besvares med et positivt helt tal. erfor er opgaverne her en blanding af multiple choice-opgaver og opgaver hvor facit er et positivt helt tal. er er løsningsskitser til alle opgaver bagerst. Vinkler Når man skal bestemme en vinkel i en geometrisk figur, skal man først danne sig et overblik over hvad man ved om vinklerne i figuren. Husk at vinkelsummen i en trekant er 80, vinkelsummen i en firkant er 60, og at femkanter, sekskanter, osv. kan inddeles i trekanter for at bestemme deres vinkelsum. esuden er det en god idé at se efter ligebenede trekanter og udnytte at vinklerne ved grundlinjen er ens. ksempel å figuren er tegnet en regulær femkant, dvs. en femkant hvor alle sider er lige lange, og alle vinkler er lige store. Vi ønsker at bestemme den markerede vinkel v. a en femkant kan inddeles i tre trekanter, er vinkelsummen i en femkant 80 = 540. erfor er hver af vinklerne 540 5 = 08. I den markerede trekant hvor vinklen v indgår, er den store vinkel derfor 08, mens de to små vinkler er lige store da trekanten er ligebenet. ltså er v = 80 08 = 6. Opgave. Hvor mange grader er vinkel v og vinkel w tilsammen? v 48 v w (Georg Mohr 07, opgave ) Opgave. å figuren ses en sekskant hvor alle vinkler er lige store. n linje skærer en af siderne i en vinkel på 0 som vist. Hvor mange grader er vinklen markeret med v? v Sekskant inddelt i fire trekanter Ligebenet trekant med to ens vinkler 0 (Georg Mohr 05, opgave 5) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave. å figuren er der en regulær sekskant. Hvor mange grader er den markerede vinkel v? v real I opgaver med areal skal man have styr på formlen for arealet af en trekant, formlen for arealet af et rektangel og formlen for arealet af en cirkel. esuden er det vigtigt at huske at to trekanter med samme grundlinje og samme højde har samme areal. Opgave 4. unkterne,,, og ligger med samme indbyrdes afstand på en halvcirkel som vist. Hvor stor er vinkel i femkanten? ksempel n stor cirkel har radius 5 og en lille cirkel med radius r har samme centrum. Vi ved at arealet mellem de to cirkler (markeret med gråt på figuren) er 6π, og vi skal bestemme r. ) 60 ) 45 ) 5 ) 7 ) 67,5 (Georg Mohr 00, opgave 5) Opgave 5. n plan figur bestående af linjestykker,, og, hvor og krydser hinanden, kaldes en sløjfe. Hvad kan man sige om vinkelsummen + + + i en sløjfe? en er: realet mellem de to cirkler er arealet af den store cirkel minus arealet af den lille cirkel, dvs. 6π = 5 π r π r = 5 6 = 9 r =. Opgave 6. t kvadrat hvori diagonalen er 4, er indskrevet i en cirkel som vist. Hvad er arealet af det grå område? ) over 90 ) 80 ) under 60 ) 60 ) 540 4 (Georg Mohr 008, opgave 0) ) π ) π ) π 8 ) π + ) 4π (Georg Mohr 04, opgave ) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave 7. å figuren ses to cirkler med radius henholdsvis og. realet af hvert af de tre grå områder er a. realet af den hvide midtercirkel er b. Hvad er a b? Opgave 0. e områder har alle samme areal. en mellemste cirkel har radius. Hvad er radius af den yderste cirkel? a a b a ) 4 ) ) 8 ) 4 ) (Georg Mohr 07, opgave ) ) ) ) π ) ) (Georg Mohr 007, opgave 0) Opgave 8. n cirkel med radius r har samme areal som en kvartcirkel med radius. Hvad er r? ) ) ) π ) π ) 4 (Georg Mohr 0, opgave 6) ksempel a formlen for arealet af en trekant er højde gange grundlinje divideret med, har trekanter med samme grundlinje og samme højde også samme areal. G Opgave 9. Figuren er dannet af fire halvcirkler med radius 5. Hvad er arealet af figuren? F ) 5 π ) 5 π + 5 ) 00 ) 5 + 5 π ) 50 π å figuren er indtegnet to parallelle linjer. e to trekanter og har samme areal da de har samme gundlinje og samme højde, nemlig afstanden mellem de parallelle linjer. å figuren er linjestykket F halvt så stort som linjestykket. erfor er arealet af trekant F G halvt så stort som arealet af trekant da grundlinjen er halvt så stor, mens højden er den samme. (Georg Mohr 08, opgave ) Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave. Hvilket logo har det største areal? kloen kammen lynet smilet ) kloen ) kammen ) lynet ) smilet ) de har alle samme areal (Georg Mohr 008, opgave 7) Opgave. t rektangel er inddelt i to dele som vist på figuren. realet af den hvide del er fem gange så stor som arealet af den grå del. estem brøken a b, hvor a og b er længderne angivet på figuren. ) 5 ) 4 ) ) 5 ) a b (Georg Mohr 04, opgave 4) Opgave. å den ene af to parallelle linjer ligger punkterne, og, og på den anden ligger punkterne, og. er trækkes forbindelseslinjer mellem dem som vist på figuren. Hvad gælder der om arealerne, og? Opgave 4. n kvadratisk chokoladelagkage med målene 5 cm 5 cm udskæres i syv pæne stykker som vist. er er 5 cm mellem hver af de viste markeringer. Hvilken type stykke er mindst? ) type ) type ) type ) type ) alle har samme størrelse (Georg Mohr 0, opgave 7) Opgave 5. t kæmpestort abstrakt vægmaleri er malet på et rektangulært lærred der er 4 meter højt og 8 meter bredt. å lærredet er malet nogle linjer som vist på figuren, og desuden er tre af de felter der fremkommer, malet grå. Hvad er det samlede areal af de tre grå områder (angivet i m )? meter meter 8 meter 6 meter meter meter meter (Georg Mohr 05, opgave 6) Opgave 6. I trekant er midtpunktet af, midtpunktet af og F midtpunktet af. Hvis arealet af trekant er 0, hvad er så arealet af trekant F? F ) + = ) + < ) + = ) + = ) ingen af delene (Georg Mohr 007, opgave ) (Georg Mohr 00, opgave ) 4 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
nsvinklede trekanter Hvis to trekanter har de samme vinkler, kaldes de ensvinklede, og forholdet mellem ensliggende sider er det samme. I geometri er det altid vigtigt at lægge mærke til om der er ensvinklede trekanter da man ved at se på forhold mellem sider kan bestemme længder på figuren. ksempel å figuren er der en retvinklet trekant hvor vinkel er ret, = 5 og = 0. Vi ønsker at bestemme længden. Opgave 7. n pæl på meter kaster skygge i lyset fra en kraftig lygte på toppen af en 0 meter høj mast, der står meter fra pælen. Hvor lang er skyggen? lygte 0 m m m? ),4 m ),5 m ) m ) 4,8 m ) 5 m (Georg Mohr 0, opgave ) 5 0 Opgave 8. Trekanterne og er kongruente (dvs. ensvinklede og lige store), og der gælder = 5 og = 4. Hvad er længden af liniestykket F? I en retvinklet trekant er summen af de to spidse vinkler 90, og det betyder at der er en masse ens vinkler som vi markerer på figuren. 5 y 0 y Nu kan vi se at trekanterne, og er ensvinklede. I trekant er forholdet mellem de to kateter. ette må derfor også gælde for trekant og trekant. Hvis vi sætter = y, er = 0 y. ermed er = y og = 0 y. Ved at løse de to ligninger med to ubekendte fås = 4. F ) 4 5 ) 4 ) 4 5 ) 4 4 ) (Georg Mohr 00, opgave ) Opgave 9. I rektanglet er = 0 og = 40. Linjestykkerne og F står vinkelret på diagonalen. Hvor langt er stykket F? 0 40 F (Georg Mohr 0, opgave 7) 5 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave 0. å figuren ses firkant hvor flere mål er angivet. Hvad er længden af linjestykket?? 8 8 6 6 8 8 (Georg Mohr 08, opgave 7) Trekanter med vinklerne 90-60 - 0 I en retvinklet trekant hvor de spidse vinkler er 0 og 60, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste katete, og den længste katete er gange længden af den korteste katete, og dermed hypotenusen. gange længden af et kan man indse ved at spejle trekanten i den længste katete så man får en trekant hvor alle vinkler er 60, dvs. en ligesidet trekant. Find den retvinklede trekant I mange geometriopgaver er der retvinklede trekanter hvor man kender to af siderne, og dermed kan finde den tredje ved ythagoras sætning. e retvinklede trekanter er ikke altid synlige på figuren, man skal selv opdage dem! Når man leder efter retvinklede trekanter, er det vigtigt at huske at hvis en linje tangerer en cirkel, så står linjen fra centrum til røringspunktet vinkelret på tangenten. Husk desuden at hvis to cirkler tangerer hinanden, da går linjen gennem de to centre også gennem cirklernes røringspunkt. 60 0 a den nye trekant er ligesidet, ses det umiddelbart at den korte katete er halvt så lang som hypotenusen. en længste katete kan findes ved ythagoras sætning. Vi kalder længden af den korteste katete for og længden af den længste katete for y. a er 60 0 y = ( ) = =. et er ofte meget anvendeligt at kende disse forhold da der er mange 90-60 - 0 -trekanter i geometri. y 6 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
ksempel I en ligesidet trekant har den indskrevne cirkel radius. Vi ønsker at bestemme trekantens højde. Opgave. en viste kasse har længden 6, og endefladen er kvadratisk med sidelængde. n snor skal føres rundt om kassen fra til via forsiden, låget, bagsiden og bunden. Når vi indtegner højden, opstår der en 90-60 - 0 -trekant. en øverste vinkel på 60 deles nemlig i to lige store vinkler da trekanten er ligesidet. Hvis vi yderligere indtegner en linje fra centrum til røringspunktet for en af siderne, opstår der en lille 90-60 - 0 -trekant, da denne linje står vinkelret på siden. I denne trekant har den korte katete længde da den svarer til radius i cirklen. erfor er længden af hypotenusen, og hele højden er derfor + =. 6 Hvad er den mindste længde en sådan snor kan have? (Georg Mohr 05, opgave 8) Opgave 4. en lille cirkel har centrum og radius, og den store cirkel har centrum og radius. Linjerne l og m går gennem og tangerer den store cirkel i punkterne og. Hvad er arealet af firkant? l Opgave. I en ligesidet trekant er indtegnet tre cirkler med radius som tangerer hinanden og trekantens sider som vist på figuren. m (Georg Mohr 007, opgave 7) Opgave 5. Fire cirkler med radius tangerer hinanden og siderne i et kvadrat som vist. Hvad er sidelængden i kvadratet? Hvor stor er trekantens sidelængde? ) + ) + ) + ) 5 ) +. Opgave. n ligebenet trekant har areal 60, og højden på grundlinjen er 5. Hvad er trekantens omkreds? ) ) 4 ) + ) 4 + ) 5 (Georg Mohr 00, opgave 0) 7 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
kstra udfordringer Opgave 6. n bille skal kravle på ydersiden af den viste klods fra til. Hvor lang er den korteste rute? Opgave 8. n cirkel er indskrevet i trekant, hvor vinkel er ret. irklen rører trekantens sider i punkterne, og R. Vinkel i trekant R er 74. Hvor mange grader er vinkel? R (Georg Mohr 07, opgave 0) ) ) 5 ) + 5 + ) + ) 5 (Georg Mohr 008, opgave 9) Opgave 9. t stykke karton med målene 40 80 foldes langs diagonalen som vist. Opgave 7. å figuren ses tre cirkler der alle tangerer de to linjer. en midterste cirkel tangerer desuden de to andre cirkler. 40 80 Hvad er arealet af overlappet? (Georg Mohr 08, opgave 0) en lille cirkel har radius og den store cirkel radius 6. Hvad er radius af den midterste cirkel? ) ) ) 0 ) ) 4 (Georg Mohr 07, opgave 0) 8 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Løsningsskitser Opgave Svar:. e tre markerede vinkler svarer til vinklerne i trekanten. ermed er deres sum 80, og altså v + w = 80 48 =. Opgave Svar: 4. a en sekskant kan inddeles i fire trekanter, er dens vinkelsum 4 80 = 70. a vinklerne i sekskanten alle er lige store, er de 6 70 = 0. Opgave 4 Svar:. Kald halvcirklens centrum for O, og tegn forbindelseslinjer til de fem punkter som vist på figuren O v 0 e fire vinkler ved centrum er lige store da linjerstykkerne,, og alle er lige store. erfor er de hver 80 4 = 45. Trekant O er ligebenet da både O og O er radius i cirklen. ltså er = 80 45 = 67,5. Opgave 5 Svar:. Vinkelsummen i de to trekanter tilsammen er 80 = 60. Vinkel v indgår dermed i en firkant hvor to vinkler er 0, mens den sidste vinkel er 80 0 = 78. ltså må v = 60 0 0 78 = 4. Opgave Svar: 0. Vinkelsummen i en sekskant er 4 80 = 70 da en sekskant kan inddeles i fire trekanter. ermed er hver vinkel 70 6 = 0. w v I trekanten med vinklen w er den store vinkel derfor 0, mens de to små vinkler er lige store da trekanten er ligebenet. erfor er w = 80 0 = 0. Vinkel w + v er pga. symmetri halvdelen af den store vinkel på 0 som de er en del af. erfor er v + w = 60 og v = 60 w = 60 0 = 0. Summen af fire af de seks vinkler i trekanterne er derfor altid mindre end 60. ermed kan vi slutte ). Vi kan ikke slutte nogle af de andre udsagn da summen af de fire vinkler ændres afhængigt af summen af de to vinkler i midten. Hvis de f bliver meget store, bliver summen af de fire vinkler mindre end 90. Opgave 6 Svar:. irklens radius er, dvs. dens areal er π = 4π. Kald kvadratets sidelængde for. Ifølge ythagoras sætning er + = 4, dvs. = 8. Kvadratets areal er derfor 8. realet af de fire cirkelafsnit (hvor det ene er gråt), må derfor være 4π 8, og arealet af det grå område altså π. Opgave 7 Svar:. realet af den hvide cirkel er b = π = π. realet af det grå område er π π = π. ltså er a = π, dvs. a = π. et betyder at a b =. Opgave 8 Svar:. realet af kvartcirklen er π 4 = π 4. realet af cirklen med radius r er r π. ermed er r π = 4 π og altså r = 4 =. 9 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave 9 Svar: 00. å figuren er indtegnet et kvadrat med sidelængde 5 = 0. Opgave Svar:. Tegn en vandret streg der danner et rektangel øverst i rektangel så den grå trekant netop er halvdelen af dette øvre rektangel. realet af resten af figuren svarer nu til fire gange arealet af det grå område. et inddeles nu i to lige store rektangler som igen inddeles i to lige store trekanter som vist. a b et grå område har samme areal som kvadratet da der er to grå halvcirkler med radius 5 uden for kvadratet, og der er to hvide halvcirkler med radius 5 inden for kvadratet. ltså er arealet af det grå område 0 = 00. Opgave 0 Svar:. realet af den midterste cirkel med radius er π = π. Hver trekant må have samme areal som den grå trekant, da vi inddelte det nederste rektangel i fire lige store trekanter. lle trekanterne er retvinklede, og de har alle en katete der svarer til bredden af rektanglet. erfor må de være identiske. et betyder at b = a, og altså a b =. Opgave Svar:. å figuren er arealet inddelt i to dele. a arealet af hver af de områder er det samme, må arealet af den store cirkel være så stor som arealet af den midterste cirkel. Kald radius i den store cirkel for r. a er r π = π og altså r =. Opgave Svar:. Figurerne kloen, kammen og lynet har alle areal da de udgør halvdelen af hver af de markerede rektangler på figuren. kloen kammen lynet smilet O O Trekant og trekant har samme areal da de har samme grundlinje og samme højde. erfor har trekant O og trekant O også samme arealet. å samme måde ses at arealet af trekant O og arealet af trekant O er det samme. erfor er + =. Opgave 4 Svar:. Trekanterne af type, og har alle samme grundlinje og samme højde, og deres areal er derfor det samme. Figuren smilet har derimod et areal der er lidt større end, da smilet udgør halvdelen af de to yderste grå rektangler, mens den udgør lidt mere end halvdelen af det midterste grå rektangel. 0 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Firkanten type inddeles i to lige store dele ved at indtegne diagonalen i kvadratet. Hver af de to trekanter der opstår, er halvt så store som trekanterne af type, og da deres grundlinje er halvt så stor, mens de har samme højde. erfor har stykket af type samme areal som de andre. lle stykkerne er derfor lige store. Opgave 5 Svar: 4. Trekanten der bryder farverne, har grundlinje 6 og højde 4, dvs. den har areal 6 4 =. en hvide del af denne trekant er ensvinklet med hele trekant, men halvt så lille da dens højde er. erfor er dens grundlinje 6 =, og dermed dens areal =. realet af den grå del af den omtalte trekant er altså = 9. 8 6 realet af de grå områder er derfor 8 + 9 = 4. Opgave 6 Svar: 0. a er midtpunktet af er afstanden fra til linjen halvt så stor som afstanden fra til linjen. Trekant er derfor halvt så stor som trekant da de har samme grundlinje. erfor er arealet af trekant lig med 0 = 60. F Trekant F er halvt så stor som trekant da grundlinjen F i trekant F er halvt så stor som grundlinjen i trekant, mens højden er den samme. ltså er arealet af trekant F lig med 60 = 0. Opgave 7 Svar:. å figuren tegnes en vandret linje i meters højde så der dannes en trekant med grundlinje og højde 8. Kald desuden skyggens længde for. lygte 8 Nu har vi to ensvinklede retvinklede trekanter, og de må have samme forhold mellem de to kateter. erfor er 8 =, dvs. =. ælen kaster altså en skygge på meter. Opgave 8 Svar:. a trekant og er kongruente, er vinkel i trekant ret, = 5 og = 4. et betyder at =. F Trekant F og trekant er ensvinklede da de deler vinkel og begge har en ret vinkel. erfor er forholdet mellem kateterne i de to trekanter det samme, dvs. F = 4 5. ltså er F = 4 5 og F = F = 4 5. Opgave 9 Svar: 4. Trekant er en retvinklet trekant, og vi kan derfor benytte ythagoras sætning til at bestemme hypotenusen. = 0 + 40 = 500 = 50. 0 40 F Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Trekanterne og er ensvinklede da de deler vinkel, og begge har en ret vinkel. ermed er forholdet mellem ensliggende sider ens, dvs. forholdet mellem den mindste katete og hypotenusen er 0 50 = 5. ltså er = 5 = 5 0 = 8. å tilsvarende vis ses at F = 8. ermed er F = F = 50 8 = 4. Opgave 0 Kald midtpunktet af for M. Trekant M er ligebenet dvs. vinklerne ved og M er ens. Kald disse vinkler for v. Trekant M er identisk med trekant M, dvs. vinklerne ved M og er også v.? 8 8 6 6 8 M 8 et betyder at vinklen ved M i trekant M er 80 v. a trekant M er ligebenet, er vinklerne ved og lige store, og da vinkelsummen i trekanten er 80, må de hver være v. ermed er trekant M ensvinklet med trekant M, dvs. at M = M og altså M = = 6 8 = 6. Opgave Svar:. å figuren indtegnes linjen mellem de to nederste linjers centre. Linjen gennem centrene på to cirkler som tangerer hinanden, går altid gennem deres røringspunkt, dvs. denne linje har længde da cirklerne har radius. esuden tegnes en linje fra hvert af de to centre vinkelret ned på trekantens side, og linjer fra centrene til trekantens vinkelspidser som vist på figuren, så der opstår to små kongruente retvinklede trekanter. Vinklerne i den store trekant er 60, og når vi danner de små trekanter halverer vi disse vinkler. erfor er de små trekanter 90-60 - 0 -trekanter. ltså er forholdet mellem den store katete og den lille katete, og sidelængden i trekanten er ++ = +. Opgave Svar: 50. Formlen for arealet af en trekant er = h g, hvor g er gundlinjen, og h er højden. a trekanten har højde h = 5 og areal = 60, er grundlinjen g = h = 60 5 = 4. Højden deler trekanten i to retvinklede trekanter, og da trekanten er ligebenet, deler højden grundlinjen på midten. Vi får derved to kongruente retvinklede trekanter, hvor de to kateter har længde 5 og 4 =. Vha. ythagoras kan vi nu bestemme længden af de sidste to lige lange sider i trekanten: = 5 + =. Trekantens omkreds er derfor 4 + = 50. Opgave Svar: 0. Figuren viser kassen foldet ud. 5 a snoren skal fra til langs kassen, må den korteste vej være den lige linje fra til når kassen er foldet ud. Ifølge ythagoras sætnings skal snoren derfor have en længde på mindst 6 + 8 = 0. Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave 4 Svar: 08. Linjen står vinkelret på tangenten l. Når vi tegner en linje mellem de to centre, opstår der derfor en retvinklet trekant. l Opgave 6 Svar:. ette er ikke en fyldestgørende løsning, men en skitse til hvordan man bestemmer den korteste rute. For at finde den korteste rute skal man gennemgå de forskellige muligheder for at bevæge sig hen over klodsen. m I denne trekant kender vi to af sidelængderne da vi kender cirklernes radier: = + = 5 og =. Ifølge ythagoras sætning er = 5 = 9. Firkant består derfor af to kongruente retvinklede trekanter med kateterne 9 og. ltså er firkantens areal 9 = 08. Opgave 5 Svar:. Ved at tegne linjer som vist på figuren, gennem cirklernes centre opstår der en retvinklet trekant. Først ser vi på tilfældet hvor billen fra kravler hen over den lodrette flade, derefter op på den vandrette flade, op på den lodrette flade, og til slut hen over den vandrette flade til. For at finde den korteste rute i dette tilfælde folder vi figuren ud"så fladerne ligger i samme plan (se figur ). en korteste vej mellem to punkter i en plan er en ret linje, dvs. i dette tilfælde er den korteste rute + 4 = 0 = 5. 4 figur figur Trekanten er pga. symmetri ligebenet. Kald længden af kateten for. a hypotenusen har længde + =, kan beregnes ved ythagoras sætning: + =, og altså =. Kvadratets sidelængde er altså (+ ) = +. Hvis vi i stedet betragter tilfældet hvor billen kravler hen over den lodrette flade, derefter op på den vandrette flade, evt. op på den lodrette flade og til slut over på den lodrette flade til, så bliver den udfoldede figur som vist på figur. I dette tilfælde er den korteste rute en ret linje fra til, og den har længde + = 8 =. f de to ruter vi her har set på, er den sidste den korteste, da 8 < 0. Ved at gå de andre muligheder igennem ses at dette er den korteste. Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.
Opgave 7 Svar:. Løsning : Kald radius af den mellemste cirkel for r. Hvis vi forstørrer figuren med en faktor k med udgangspunkt i sådan at den lille cirkel centrum afbildes i den mellemste cirkels centrum, da må den lille cirkel afbildes i den mellemste cirkel da de begge tangerer de to linjer som afbildes i sig selv. Tilsvarende vil den mellemste cirkel afbildes i den store cirkel ved denne forstørrelse. et betyder at k = r og k = 6 r. ermed er og altså r = = 4 =. r = 6 r r = 6 = Løsning : Kald radius af den mellemste cirkel for r. Indtegn linjer fra de tre centre vinkelret på den nederste linje, og indtegn derefter retvinklede trekanter som vist på figuren: Opgave 8 Svar: 58. emærk først at R = da R og er tangentpunkterne. erfor er trekant R ligebenet og retvinklet, dvs. de to spidse vinkler er 45. 74 e tre vinkler ved har sum 80, så derfor er R = 80 45 74 = 6. Trekant er ligebenet da og er tangentpunkter. erfor er vinklerne ved og ens, dvs. = 6. Nu kender vi to vinkler i trekant, og kan derfor også finde den sidste: = 80 6 6 = 58. Opgave 9 Svar: 000. emærk at der er symmetri gennem linjen, og at vi derfor kan inddele den grå trekant i to identiske retvinklede trekanter som vist på figuren. Vinkel i trekant fremkommer ved at papiret foldes, dvs. den svarer til vinklen ved i trekant. e retvinklede trekanter og er derfor ensvinklede, dvs. forholdet mellem kateterne i trekant må være det samme som i trekant, dvs.. Hypotenusen i den lille grå trekant har længde +r, mens hypotenusen i den store grå trekant har længde r + 6. en lille katete i den lille grå trekant har længde r, og den lille katete i den store grå trekant har længde 6 r. esuden er de to grå trekanter ensvinklede. ltså må r + 6 + r = 6 r r r + 6r r = r + 6r r r =. ermed er r = =. 40 80 Kald længden af hypotesen i rektanglet for 4. a er =, og dermed må = da forholdet mellem kateterne i trekant er. realet af den grå trekant er derfor =. Vi kan udregne vha. ythagoras sætning: (4 ) = 40 + 80 = 0 + 0 og altså = (0 + 0 ) = 000. 4 Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, 08, Kirsten Rosenkilde.