Eksamensnoter til Analyse 1

ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23. For hvert spørgsmål er der udvalgt relevante definitioner og sætninger. Sætningerne er forsøgt bevist i stor detalje hvor alle de små trin er beskrevet og begrundet. Nummerene på sætninger, propositioner og lemmaer henviser indtil afsnit 21 til bogen Real Analysis af H. L. Royden, tredje udgave, 1988 og derefter til Forelæsningsnoter til Analyse 1 af Jørgen Vesterstrøm, femte udgave, marts 23. foo bar Indhold 1 Åbne og lukkede mængder i inklusiv Heine-Borels overdækningssætning 3 2 Konstruktion af og egenskaber ved det ydre mål på R 4 3 Lebesguemålet på R 5 4 Målelige funktioner på R 7 5 Lebesgueintegralet af en begrænset målelig funktion over en mængde med endeligt mål 9 6 Integralet af en ikke-negativ funktion 11 7 Integrable funktioner Lebesgues konvergenssætning 12 8 Ubestemt integral absolut kontinuitet 14 9 L p -rum 16 1

1 Fuldstændighed af L p -rum 19 11 Approksimation i L p 21 12 Målrum og målelige funktioner 22 13 Integration over målrum 24 14 Ydre mål µ -målelige mængder 26 15 Carathéodorys udvidelsessætning 28 16 Konstruktion af produktmål 29 17 Fubini og Tonellis sætninger 31 18 Weierstraß approksimationssætning 33 19 Ortogonalsystemer og ortonormalbaser 36 2 Sætningen om nærmeste punkt og projektionssætningen 38 21 Duale rum 4 22 Foldning 43 23 Approksimerende enheder 45 24 Konvergens af Fourierrækken 49 25 Cesarosummabilitet af Fourierrækken 51 26 Konvergens af Fourierrækken i L 2 53 2

1 Åbne og lukkede mængder i inklusiv Heine-Borels overdækningssætning Åben mængde n mængde O kaldes åben hvis x O, ε > : B ε (x) O. Når vi blot ser på den reelle akse, så bliver kuglen B ε (x) til det åbne interval (x ε, x + ε). Kontaktpunkt t punkt x kaldes et kontaktpunkt til mængden F hvis ε > : B ε (x) F. Mængden af kontaktpunkter til F kaldes afslutningen af F og betegnes F. Lukket mængde n mængde F kaldes lukket hvis F F. Sætning 2.15 (Heine-Borel) Lad F være en lukket og begrænset mængde i R. Da kan enhver åben overdækning af F udtyndes til en endelig overdækning. Altså, hvis F O C O for en mængde af åbne mængder C, så findes {O 1, O 2,..., O n } C sådan at F n O i. Vi betragter først tilfældet hvor F [a, b]. Lad være mængden af x b hvor [a, x] kan overdækkes af en endelig delmængde af mængderne i C. Da a dækkes af mindst én mængde i C er a. Samtidig er opad begrænset af b, så c sup findes og c [a, b]. Da c [a, b] så findes O C sådan at c O. Da O er åben, så ligger (c ε, c + ε) i O for et ε >. Hvis der findes tal i [c, c + ε] som er mindre lig b, så vil hele intervallet [a, c + ε] kan nu dækkes af de endelig mange mængder O 1, O 2,..., O k, O hvor O 1, O 2,..., O k var de åbne mængder der dækkede [a, c]. Men c er supremum for, så sådanne punkter findes ikke, altså er c + ε > b for alle ε > samtidig med at c b. Det medfører at c b, og dermed at b sådan at [a, b] kan overdækkes med endelig mange åbne intervaller fra C. Lad nu F være en vilkårlig lukket og begrænset mængde. Da F er begrænset findes [a, b] sådan at F [a, b]. Vi sætter C C F 3

hvor F er en åben mængde da F er lukket. Da C er en overdækning af F, så er R F F O F O C O C O. Altså overdækker C hele R og dermed specielt [a, b]. Vi kan derfor udtynde C til en endelig delmængde der overdækker [a, b] og dermed også F. Hvis F ikke er med i overdækningen, så er vi færdig. Hvis den er med, så kan vi fjerne F fra overdækningen og så stadig have en overdækning af F da F F sådan at F ikke bidrager til overdækningen af F. Nødvendigheden af betingelserne Betingelsen i Heine-Borels overdækningssætning om at mængden skal være begrænset er nødvendig. For vi kan overdække R med intervallerne ( n, n) for n N og denne overdækning kan ikke udtyndes til en endelige overdækning. Kravet om at mængden skal være lukket er også nødvendigt. For det åbne interval (a, b) kan overdækkes indefra af ( (a, b) a + 1 n, b 1 ) n n1 men denne overdækning kan igen ikke udtyndes. 2 Konstruktion af og egenskaber ved det ydre mål på R Ydre mål på R Med det ydre mål m ønsker vi en mængdefunktion der til enhver delmængde af R knytter et ikke-negativt udvidet reelt tal. Desuden skal det ydre mål være en udvidelse af længdebegrebet for intervallet. Vi definerer m ved m (A) inf A l(in ), I n hvor I n er en overdækning af A med åbne intervaller. Man ser at m er monoton sådan at A B m (A) m (B), og desuden er m ( ). Proposition 3.1 Det ydre mål af et interval er lig intervallets længde, altså m (I) l(i). Vi ser først på et lukket, begrænset interval [a, b]. For ethvert ε > vil [a, b] (a ε, b + ε) og da dette blot er én mulig overdækning af [a, b], så får vi at m ( [a, b] ) l ( (a ε, b + ε) ) b a + 2ε. 4

Da dette gælder for alle ε >, så har vi at m ([a, b]) b a. Den omvendte ulighed vises ved at vise, der om alle intervaloverdækninger {I n } gælder, at l(i n ) b a. Heine-Borels overdækningssætning siger, at vi kan udtynde {I n } til en endelig mængde af åbne intervaller. Disse vil have en samlet længde der er mindre end de oprindelige intervaller, så det er nok at vise uligheden for alle endelige overdækninger. Da a overdækkes, så findes (a 1, b 1 ) sådan at a 1 < a < b 1. Hvis b 1 > b, så er vi færdige, for så er l((a 1, b 1 )) > b a, ellers så finder vi (a 2, b 2 ) så a 2 < b 1 < b 2. På den måde fortsætter vi indtil vi finder et åbent interval så b (a k, b k ). Da der er endelig mange intervaller vil processen altid stoppe. Vi har nu udtaget en overdækkende delmængde sådan at l(in ) l ( (a i, b i ) ) (b k a k ) + (b k 1 a k 1 ) + + (b 1 a 1 ) b k a 1 b a, da a i 1 < b i for alle i. Dette viser, at m ([a, b]) b a og dermed har vi vist, at m ([a, b]) b a. t åbent, begrænset interval I håndteres ved at måle på et lukket interval J I med længde l(j) l(i) ε for et givent ε >. Da m er monoton, så får vi at l(i) ε l(j) m (J) m (I) m (ĪI ) l(īi ) l(i). Lader vi ε gå mod ser vi, at l(i) m (I). For et ubegrænset interval I kan vi for ethvert reelt tal finde et lukket interval J I med l(j). Dermed er l(j) m (J) m ( I) for alle så m (I) l(i). 3 Lebesguemålet på R Ydre mål Det ydre mål m på R defineres ved m (A) inf A I n l(in ), hvor I n er en overdækning af A med åbne intervaller. Målelig mængde Det ydre mål er defineret for alle delmængder af R, men det er ikke tællelig additivt på alle disse delmængder. Men 5

på de målelige mængder bliver m tællelig additiv. n mængde kaldes målelig hvis m (A) m (A ) + m (A Ẽ) for alle A R. Da m er tællelig subadditiv, så gælder der altid m (A) m (A ) + m (A Ẽ) og det er dermed nok at vise den omvendte ulighed for at vise lighed. Desuden ser man at Ẽ er målelig når er målelig på grund af symmetrien i definitionen. De målelige mængder M Mængden af alle målelige mængder betegnes med M. Da 1, 2 M 1 2 M og, R M er M en algebra. Lebesguemålet m Vi definerer Lebesguemålet m som restriktionen af m til de målelige mængder. Dermed er m() m () for M. Lemma 3.9 Lad mængden A være vilkårlig og lad 1,..., n være en endelige følge af parvis disjunkte målelige mængder. Så gælder, at m ( A n ) i m (A i ). Bevises føres som et induktionsbevis. For n 1 er ligningen opfyldt. Antag nu at ligningen er opfyldt for alle tal op til n 1. Da mængderne i er parvis disjunkte er og ( A n ) i n A n og ( A n ) n 1 i Ẽ n A i. Da n er en målelig mængde, så deler den målet af alle andre mængder op i to dele hvis mål summer op til den oprindelige mængde: m ( n ) A i m (A n ) + m ( n 1 ) A n 1 m (A n ) + m (A i ). 6

Sætning 3.1 Mængden af alle Lebesguemålelige mængder, M, er en σ - algebra. Vi mangler at vise lukkethed under tællelig forening. Da M er en algebra, så kan en vilkårlig tællelig forening laves om til en tællelig forening af parvis disjunkte mængder med samme forening. Så lad A være en vilkårlig mængde, og { i } en følge af parvis disjunkte målelige mængder med forening. Vi sætter F n n i der så er målelig da det er en endelig forening af målelige mængder. Da F n så er Ẽ F F n og dermed m (A) m (A F n ) + m (A F F n ) m (A F n ) + m (A Ẽ). Vi har netop set (lemma 3.9), at m er tællelig additiv, så sådan at m (A F n ) m (A) m (A i ) m (A i ) + m (A Ẽ). Da venstresiden er uafhængig af n, så får vi at m (A) m (A i ) + m (A Ẽ) m (A ) + m (A Ẽ), idet m er tællelig subadditiv. 4 Målelige funktioner på R Målelig mængde Det ydre mål defineret ved m (A) inf A l(in ), I n hvor I n er en overdækning af A med åbne intervaller, giver anledning til begrebet målelig mængde. Mængden er målelig hvis m (A) m (A ) + m (A Ẽ) for alle A R. 7

Målelig funktion n funktion f siges at være målelig hvis den er defineret på en målelig mængde og α R : { x f (x) > α } M. Da M er en σ -algebra, så har vi for et givent α R at { x f (x) > α } M { x f (x) α } M da de to mængder er hinandens kompliment. På tilsvarende måde kan man vise, at de skarpe og bløde uligheder kan laves om til bløde og skarpe uligheder. De fire mængder kaldes skarpe og bløde super- og subniveaumængder. Proposition 3.19 Hvis f og g er to målelige funktioner på samme målelige mængde, så er f + g også målelig på. Vi viser at {x f (x) + g(x) > α} er målelig. Da f (x) + g(x) > α f (x) > α g(x) så kan vi finde et r Q sådan at f (x) > r > α g(x). Derfor er { x f (x) + g(x) > α } ( {x } { } ) f (x) > r x g(x) > α r r Q og dermed er f + g målelig da superniveaumængden kan skrives som en tællelig forening af målelige mængder. Næsten overalt Vi siger at egenskaben P gælder næsten overalt hvis m({x P(x)}), altså hvis undtagelsesmængden er en nulmængde. Proposition 3.21 Lad f være en målelig funktion. Hvis f g næsten overalt, da er g målelig. Vi sætter {x f (x) g(x)}. Ifølge vores antagelse, så er dette en nulmængde. Mængden {x g(x) > α} kan nu splittes op: { x g(x) > α } ( {x f (x) > α } { x g(x) > α } ) { x g(x) α }. Da er en nulmængde, så er enhver delmængde af selv en nulmængde og dermed målelig. ndelig er f målelig og dermed er {x f (x) > α} målelig. 8

5 Lebesgueintegralet af en begrænset målelig funktion over en mængde med endeligt mål Simpel funktion n funktion φ kaldes simpel hvis φ er defineret på en målelig mængde og kun antager endelig mange værdier. n simpel funktion der antager værdierne a 1, a 2,..., a n har en entydig opskrivning som φ a i χ i, hvor i {x φ(x) a i }. Disse mængder er parvis disjunkte og har forening. Integralet af en simpel funktion For en simpel funktion φ definerer vi integralet af φ på ved φ a i m( i ). sup φ f Proposition 4.3 Lad f være en begrænset funktion defineret på en målelig mængde med m() <. Da er φ inf ψ ψ f for alle simple funktioner φ og ψ netop når f er målelig. Lad først f være målelig og begrænset af M. Mængderne { } k x (k 1)M n < f (x) < km k n,..., n n er så målelige, parvis disjunkte og har forening. Tællelige additivitet giver så, at k n m( k ) m() <. Vi definerer nu en række simple funktioner φ n og ψ n ved φ n M 1)χ k og ψ n n k n(k M n k n kχ k. Disse opfylder at φ n f ψ n for alle n. Når vi tager infimum og supremum får vi, at sup φ φ n M (k 1)m( k ) φ f n k n 9

og inf ψ ψ n M ψ f n k n km( k ). Dermed er inf ψ f M n k n ψ sup φ ψ n φ n φ f ( k (k 1) ) m(k ) M n m(). Da n var et vilkårligt tal konkluderer vi at sup φ inf ψ. Hvis der omvendt gælder, at φ inf ψ ψ f sup φ f så kan vi for ethvert n finde simple funktioner φ n og ψ n sådan at φ n f ψ n og ψ n φ n < 1 n. Simple funktioner er målelige, og dermed er også φ sup φ og ψ inf ψ målelige. Desuden er φ f ψ. Ved at vise, at mængden { x φ (x) < ψ (x) } har mål, så ser vi at φ ψ næsten overalt. Dermed er f lig en målelig funktion næsten overalt og er derfor selv målelig. Vi kan skrive som en tællelig forening af ν, ν N, givet ved { ν x φ (x) < ψ (x) 1 }. ν For alle n er mængderne ν indeholdt i mængden (ν,n) {x φ n (x) < ψ n (x) 1/ν} hvis mål er mindre end ν/n fordi (ψ n φ n ) 1 n (ψ n φ n ) 1 (ν,n) n (ν,n) 1 ν 1 n µ( (ν,n) ) ν n. 1

Da dette gælder for alle n N, så får vi for n at m( ν ) for alle ν N. Da så er en tællelig forening af nulmængder er selv en nulmængde. Dermed er f φ ψ næsten overalt, og dermed målelig. Lebesgueintegral af begrænset målelig funktion For en målelig og begrænset funktion f på med m() < definerer vi Lebesgueintegralet af f over ved f inf ψ, ψ f hvor ψ varierer over alle simple funktioner der dominerer f. Lebesgueintegralet udvider Riemannintegralet Hvis f er Riemannintegrabel på [a, b] så er f målelig og Riemannintegralet har samme værdi som Lebesgueintegralet. Idet enhver trappefunktion også er en simpel funktion får vi at R b a b b b f sup φ inf ψ R f φ f a ψ f a a da supremum vokser når mængderne vokser. Da f er Riemannintegrabel, så er der lighed, og dermed er sup b a φ inf b a ψ hvilket medfører, at f er målelig. 6 Integralet af en ikke-negativ funktion Integralet af en begrænset funktion Lad f være en begrænset målelig funktion defineret på en målelig mængde med m() <, så defineres integralet af f over ved f inf ψ. ψ f Integralet af en ikke-negativ funktion Lad f være en (vilkårlig) ikkenegativ målelig funktion på en målelig mængde med m() <. Da defineres Lebesgueintegralet af f over ved f sup h, h f hvor h varierer over alle begrænsede funktioner der domineres af f. 11

Sætning 4.9 (Fatous lemma) Hvis {f n } er en følge af ikke-negative målelige funktioner med f n f næsten overalt på en målelig mængde med m() <, er f lim inf f n. Vi kan uden tab af generalitet antage, at f n f overalt, idet integralet ikke påvirkes af funktionsværdierne på en nulmængde. Lad h f være en begrænset funktion sådan at m( ) < hvor {x h(x) }. Sæt h n min(h, f n ). Dermed bliver h n begrænset af h og h n (x) for x. Desuden går h n mod h for alle x da f n går mod f. Vi ved fra tidligere, at integralet af begrænsede målelige funktioner konvergerer mod integralet af grænsefunktionen: h lim h n Da h n f n for alle n og, så er lim h n lim f n lim f n Tager vi nu supremum over h, så får vi at f sup h lim inf f n. h f 7 Integrable funktioner Lebesgues konvergenssætning Integralet af en ikke-negativ funktion Lad f være en ikke-negativ målelig funktion på en målelig mængde med m() <. Da defineres Lebesgueintegralet af f over ved f sup h, h f hvor h varierer over alle begrænsede funktioner der domineres af f. Definition af integrabel funktion n ikke-negativ målelig funktion f siges at være integrabel over en målelig mængde hvis f <. 12

Integralet af en vilkårlige funktion Lad f være en vilkårlig funktion på en målelig mængde. Hvis f + og f begge er integrable over, da definerer vi Lebesgueintegralet af f over ved f f + f. Sætning 4.9 (Fatous lemma) Se beviset på modstående side. Sætning 4.16 (Lebesgues konvergenssætning) Lad g være en integrabel funktion, og lad {f n } være en følge af målelige funktioner sådan at f n g på en målelig mængde og sådan at f n f næsten overalt. Da er funktionen f målelig, og f lim f n. Funktionen g f n er ikke-negativ, målelig og går mod g f næsten overalt. Fatous lemma giver så, at (g f ) lim inf (g f n ) lim sup (g f n ), hvor vi til sidst benyttede at limes superior altid dominerer limes inferior. Da f g er f integrabel og derfor kan integralet splittes op. Derfor er g f g lim sup f n sådan at f lim sup f n. Ser vi i stedet på funktionen g + f n, så er denne også ikke-negativ, målelig og får mod g + f næsten overalt. Så Fatous lemma giver, at (g + f ) lim inf (g + f n ) og som før kan integralet splittes op til g + f g + lim inf f n sådan at f lim sup f n. Dermed er lim sup f n f lim inf f n og ligheden følger nu af at lim inf f n lim sup f n. 13

Nødvendigheden af betingelserne Kravet om at f skal være begrænset i sætningen om begrænset konvergens er nødvendigt. Som modeksempel kan man for n 1 definere f n : [ 1, 1] N ved { n 1/n x 1/n, f n (x) ellers. Da er f n defineret på det begrænsede mængde [ 1, 1] men f n når n. Funktionen f opfylder at f n f punktvist for alle x [ 1, 1], men f lim f n 2. 8 Ubestemt integral absolut kontinuitet Definition af begrænset variation n funktion f defineret på et interval [a, b] siges at være af begrænset variation hvis sup f (xi ) f (x i 1 ) <. hvor der tages supremum over alle inddelinger a x < x 1 < < x n b af [a, b]. Definition af ubestemt integral Hvis f er integrabel på [a, b] da siger vi at funktionen F defineret ved F(x) x a f (t) dt. er et ubestemt integral. Funktionen F kaldes også en stamfunktion til f. Lemma 5.7 Lad f være en integrabel funktion på [a, b]. Da er stamfunktionen F defineret ved F(x) x a f (t) dt en kontinuert funktion af begrænset variation. Lad F være en stamfunktion til f på [a, b]. Proposition 4.14 siger, at der for alle ε > findes et δ > sådan, at F(b ) F(a ) b f (t) dt < ε a 14

når b a < δ. Dermed er F kontinuert. Vi skal også vise at F er af begrænset variation, så lad en vilkårlig inddeling a x < x 1 < < x n b være givet. Da er F(xi ) F(x i 1 ) n xi a xi xi 1 f (t) dt a xi f (t) dt x i 1 b a x i 1 f (t) dt f (t) dt <. f (t) dt Idet inddelingen var vilkårlig, så bevares uligheden når vi tager supremum over alle inddelinger af [a, b] og dermed er F af begrænset variation. Definition af absolut kontinuitet n funktion f på [a, b] er absolut kontinuert hvis der for alle ε > findes et δ >, sådan at der for enhver endelig mængde af parvis disjunkte intervaller (x i, x i ) i [a, b] gælder, at n x i x i δ f (xi ) f (x i ) ε. Man bemærker, at enhver absolut kontinuert funktion også er uniform kontinuert, idet man så blot betragter summen med ét led. Sætning 5.14 n funktion F er et ubestemt integral hvis og kun hvis F er absolut kontinuert. Vi viser kun af F er absolut kontinuert når F er et ubestemt integral, så lad F(x) x a f (t) dt x [a, b] og ε > være givet. Proposition 4.14 giver os nu et δ > sådan at der for alle målelige mængder A [a, b] gælder, at m(a) < δ f (t) dt < ε. A 15

For enhver endelig mængde af parvis disjunkte intervaller (x i, x i ) med forening A og m(a) < δ får vi nu, at m(a) medfører, at x i x i < δ f (t) dt A x i x i f (t) dt Dermed er F absolut kontinuert. F(x i ) F(x i) < ε. Cantorfunktionen Cantorfunktionen er et eksempel på en funktion der er uniform kontinuert men ikke absolut kontinuert. Se figur 1. Figur 1: Cantorfunktionen med otte iterationer. Cantorfunktionen er differentiabel næsten overalt med differentialkvotient konstant lig men er alligevel voksende. Dette viser, at kravet om at f skal være absolut kontinuert i lemma 5.13 ikke er overflødigt. 9 L p -rum Vi betegner mængden af alle målelige funktio- Definition af L p og f p ner f der opfylder 1 f p < med L p. For f L p lader vi f p betegne det ikke-negative reelle tal ( 1 ) 1/p f p f p. L p er et vektorrum Summen af f og g fra L p ligger også i L p. Lad f, g L p være givet med f g. Da er f + g f + g på grund af den normale trekantsulighed for reelle tal og desuden er ( ) f + g f + g p g 2 2 p g p ( ) f + g p 2 p f p + g p ( f + g )p 2 p( f p + g p) 16

sådan at f + g p 2 p ( f p + g p ). Dermed bliver 1 f + g p 1 2 p( f p + g p) ( 1 1 ) 2 p f p + g p <. Tilsvarende for skalarmultiplikation hvor vi for f L p og α R har at 1 1 αf p α p f p <. Sætning 6.1 (Minkowskis ulighed, 1 p ) For f, g L p med 1 p gælder, at f + g L p og f + g p f p + g p. I tilfældet p er f og g begrænsede funktioner næsten overalt, og dermed er f + g også begrænset næsten overalt så f + g L. Hvis f > f på 1 og g > g på 2, så får vi at f + g > f + g på 3 1 2. Da 1 og 2 er nulmængder, så er 3 også en nulmængde da det er en delmængde af en nulmængde. Altså er f + g essentielt begrænset af f + g. Det mindste essentielle overtal er domineret af dette tal, så f + g f + g. I det almindelige tilfælde med 1 p < antager vi at f p α og g p β tilfældet hvor f eller g har p-norm er trivielt. Definer nu f og g ved f f α og g g β. Så er f p g p 1 da for eksempel f p p 1 f α p 1 1 α p f p 1 f p f p p 1. p Sæt λ α/(α + β), så er 1 λ β/(α + β). Vi har nu f + g p ( f + g )p (αf + βg ) p (α + β) p( ) λf + (1 λ)g p (α + β) p( p λf + (1 p ) λ)g 17

da funktionen t t p er konveks på [, ) for 1 p <. For en konveks funktion φ gælder nemlig, at φ ( λx + (1 λ)y ) λφ(x) + (1 λ)φ(y) for λ 1. Integrerer vi nu på begge sider og benytter linearitet af integralet, så får vi f + g p p 1 f + g p 1 (α + β) p( p λf + (1 p ) λ)g 1 1 ) (α + β) (λ p p f + (1 λ) p g (α + β) p( λ f p p + (1 λ) g p ) p (α + β) p ( f p + g p ) p. Tager vi den p-te rod på hver side får vi f + g p f p + g p. Sætning 6.2 (Minkowskis ulighed, < p < 1) For f, g L p med < p < 1 gælder, at f + g L p og f + g p f p + g p. Beviset kører præcis som i tilfældet med 1 p <, blot er funktionen t t p nu konkav. Dermed er sådan at f + g p (α + β) p( λf p + (1 λ)g p ) f + g p p 1 f + g p 1 ( f p + g p ) p, (α + β) p( p λf + (1 p ) λ)g hvorefter resultatet følger ved at tage den p-te rod på hver side. Sætning 6.4 (Hölders ulighed) Hvis p og q er ikke-negative udvidede reelle tal med 1/p + 1/q 1 og f L p og g L q, så er f g L 1 og f g f p g q. Nævnes blot, bevises ikke? 18

Rummet L 2 er indeholdt i L 1 Der gælder ægte inklusion, altså L 2 L 1. Da 2 er Hölderkonjugeret med sig selv så får vi for f L 2 og 1 L 2 at (f 1) f L 1. Ydermere har vi, at f (x) 1/ x ligger i L 1 men ikke i L 2 idet 1 1 1/ x dx [2 x ] 1 x 2 1/x dx [ln x] 1 x. Det viser, at L 2 L 1. mens 1 Fuldstændighed af L p -rum Vi betegner mængden af alle målelige funktio- Definition af L p og f p ner f der opfylder 1 med L p. f p < For f L p lader vi f p betegne det ikke-negative reelle tal ( 1 ) 1/p f p f p. Definition af konvergens Vi siger, at følgen {f n } konvergerer mod f i p-middel hvis f n f p. Definition af fuldstændighed Hvis enhver Cauchy-følge i et normerede vektorrum X er konvergent, da siges X at være et fuldstændigt rum. t fuldstændigt vektorrum kaldes også et Banachrum. Proposition 6.5 t normeret vektorrum X er fuldstændigt hvis og kun hvis enhver absolut summabel række er summabel, altså hvis fn < f n <. Nævnes blot, bevises ikke. Sætning 6.6 (Riesz-Fischer) L p -rummene er fuldstændige. I tilfældet p betegner f det essentielle supremum af værdimængden for f sådan at f f næsten overalt. Lad nu {f n } være en følge i L med f n <. 19

Da har vi at f n fn f n < næsten overalt idet undtagelsesmængden er en tællelig forening af undtagelsesmængderne {x f n (x) > f n }. Vi ser, at funktionen f n er begrænset af det endelige tal f n næsten overalt. Dermed er f n begrænset næsten overalt og ligger derfor i L. I det almindelige tilfælde med 1 p < ser vi på en følge { k } i L p med f k p M <. Definér g n ved g n f k k1 Vi har da defineret en ikke-negativ funktion hvor g n p f k p k1 f k p k1 f k p M. Da {g n (x)} er en voksende følge er den konvergent mod et udvidet reelt tal g(x) med g(x), begge ydrepunkter er mulige. Funktionen g er grænsefunktion af en række målelige funktioner (g n er målelig da den er summen af de målelige f k ) og er dermed selv målelig. Fatous lemma giver da at g p lim inf (g n ) p lim inf g n p p M p hvormed g p er integrabel sådan at g < næsten overalt. Vi definerer nu funktionen s ved f k g(x) <, s(x) k1 g(x). Når g(x) f k < er rækken f k absolut summabel, og da R er fuldstændigt er enhver absolut summabel række summabel. Funktionen s er derfor endelig overalt. Da s næsten overalt er grænsefunktionen af de målelige afsnitssummer s n givet ved s n n k1 f k er s selv målelig. Desuden er s n n f k f k g n g k1 k1 og dermed er s g og s L p. Vi mangler nu blot at vise, at den oprindelige række f k lim s n har sum s. k1 2

Til det formål ser vi på afstanden mellem s og s n i et punkt og får sn (x) s(x) ( p sn (x) ) + s(x) p ( g(x) + g(x) )p 2 p g(x) p. Da g p er integrabel er 2 p g p også integrabel og dermed er s n (x) s(x) p integrabel. Desuden går s n (x) s(x) p mod for næsten alle x, da s n (x) går imod s(x) undtagen på den nulmængde hvor g(x). Lebesgues konvergenssætning kan nu bruges og giver lim s n s p. n Vi har dermed at s n s p og derfor også at s n s for n. Da f k lim s n så har vi nu vist at summen har værdien s i L p. Dermed er L p fuldstændig da enhver absolut summabel række er summabel. 11 Approksimation i L p Definition af konvergens Vi siger, at følgen {f n } konvergerer mod f i p-middel hvis f n f p. Da f n f p f n p f p, så vil konvergens i p-middel medføre konvergens af p-normerne: f n p f p. Lemma 6.7 Givet f L p, 1 p < og ε > så findes der en begrænset målelig funktion f M med f M M og f f M p < ε Vi bruger lodret afskæring, og definerer f N ved N f N (x) f (x) N N < f (x), N f (x) N f (x) < N. Så er f N N og f N f næsten overalt idet f er begrænset næsten overalt fordi f L p sådan at 1 f p <. Konvergensen betyder, at f f N p og da f f N p f p hvor f er integrabel, så er f f N også integrabel. Dermed er f f N p p 1 f f N p og f N er dermed konvergent i p-middel med grænse f. Der findes derfor et M sådan at f f M p < ε. 21

Proposition 6.8 Givet f L p, 1 p < og ε > så findes der en trappefunktion φ sådan at f φ p < ε. Vi bruger approksimation i to trin. Først vælger vi en begrænset målelig funktion f M sådan at f f M p < ε/2. Vi ved fra tidligere (proposition 3.22) at der findes en trappefunktion φ med φ f M sådan at ( ) ε p f M φ < ε 8M 8M ε 4 undtagen på en mængde med m() δ hvor ( ε δ < 8M Vi har nu at ) p f M φ p p Dermed er 1 ( ε 4 f M φ p f M φ p + [,1] ) p ( ε + (2M) p 8M f M φ p ) p εp 4 p + ε p ( ε 4 p 2 f φ p f f M p + f M φ p ε 2 + ε 2 ε. ) p 12 Målrum og målelige funktioner Definition af et måleligt rum Vi kalder et par (X, B) for et måleligt rum når B er en σ -algebra over X. Mængder i B kaldes målelige Definition af et mål n ikke-negativ funktion µ kaldes et mål hvis den er defineret på en σ -algebra B og opfylder at µ( ) samt at ( µ i ) µ( i ) for enhver følge { i } af parvis disjunkte mængder fra B. Denne egenskab kaldes tællelig additivitet. Definition af målrum n tripel (X, B, µ) kaldes et målrum når B er en σ -algebra over X og µ er et mål på B. 22

Proposition 11.1 For et vilkårligt mål µ gælder, at A B µ(a) µ(b). Da vi kan skrive B som en disjunkt forening af A og B A, så er µ(b) µ(a) + µ(b A) og dermed også µ(b) µ(a). Proposition 11.2 (Kontinuitet i ) For en aftagende følge i i+1 i B med µ( 1 ) < gælder, at ( µ ) i lim µ( i ). i Da i i+1 så er µ( i ) µ( i+1 ) og dermed er følgen aftagende. Den er desuden nedad begrænset af og dermed konvergent. Vi sætter i og kan så skrive 1 som en disjunkt forening 1 ( i i+1 ). Da µ er tællelig additivt, så er µ( 1 ) µ() + µ( i i+1 ). Idet vi kan skrive i som en disjunkt forening af i i+1 og i+1, så er µ( i ) µ( i+1 ) µ( i i+1 ). Her er antagelsen om at µ( 1 ) < vigtig, da vi ellers ikke kunne trække µ( 1 ) fra. Vi får nu, at µ( 1 ) µ() + µ( i ) µ( i+1 ) µ() + µ( 1 ) lim µ( i ). i da rækken er en alternerende sum. Når µ( 1 ) trækkes fra og grænseværdien flyttes over på den anden side står resultatet der. Definition af fuldstændigt målrum t målrum (X, B, µ) siges at være fuldstændigt hvis alle delmængder af nulmængder er måleligt, altså hvis A B med B B medfører, at A B. Definition af målelig funktion n funktion f kaldes målelig hvis der for alle α R gælder, at { x f (x) > α } B. Den skarpe ulighed er ækvivalent med en blød ulighed og uligheden kan vendes. ksempelvis er {x f (x) α} komplimentærmængden til {x f (x) > α} og de vil derfor begge ligge i B hvis blot den ene gør det da B er en σ -algebra. 23

Proposition 11.8 Hvis µ er et fuldstændigt mål, og f g næsten overalt hvor f er en målelig funktion, så er g målelig. Vi sætter {x f (x) g(x)}, vores antagelse er, at µ(). Vi får nu { x g(x) > α } ( {x f (x) > α } { x g(x) > α } ) { x g(x) α }. Den første mængde er målelig da f er en målelig funktion, og de to sidste mængder er delmængder af og dermed begge målelige da µ er et fuldstændigt mål. 13 Integration over målrum Definition af integral af simpel funktion Hvis φ er en ikke-negativ simpel funktion, da definerer vi integralet af φ hen over en målelig mængde ved φ c i µ( i ), når φ er givet ved φ c i χ i. Definition af integral af ikke-negativ funktion Lad f være en målelig, ikke-negativ, udvidet reel funktion f fra et målrum (X, B, µ). Da definerer vi integralet af f ved f sup φ f φ, hvor φ varierer over alle simple funktioner φ f. Sætning 11.11 (Fatous lemma) Lad {f n } være en følge af ikke-negative målelige funktioner i et målrum. Hvis f n går mod en funktion f næsten overalt på en mængde, så er f lim inf f n. Da funktionsværdierne på en nulmængde ikke påvirker integralet kan vi antage, at f n f overalt på. Idet f er et supremum 24

over alle simple funktioner φ f er det nok at vise, at φ lim inf f n for alle simple funktioner φ f. Lad derfor φ f være en vilkårlig ikke-negativ simpel funktion. Hvis φ findes der en mængde A med µ(a) hvor φ > a >, da en simpel funktion φ altid er begrænset. Vi sætter nu A n {x k n : f k (x) > a}. Da er A n en tællelig forening af målelige mængder og er derfor selv målelig. Desuden er følgen {A n } voksende da kravet k n : f k (x) > a lempes når n vokser. Da φ lim f n, så vil der for et stort nok k gælder, at f n (x) > φ(x) > a for alle n k. Dermed er A A n så der findes et A k med µ(a k ) da A A k. Da f n A n φ aµ(a n ) så er også lim f n φ. I det almindelige tilfælde hvor φ < er mængden A {x φ(x) > } målelig da φ er en målelig funktion. Da φ er begrænset af M får vi at µ(a) <. For et ε > sætter vi A n { x k n : fk (x) > (1 ε)φ(x) }. Som før, så er {A n } en voksende følge da kravet lempes når n vokser, og A A n da f n (x) bliver større end (1 ε)φ(x) når n bliver tilstrækkelig stor. Følgen {A A n } bliver så en aftagende følge med (A A n ) da A A n for store n. Sætningen om kontinuitet i siger så, at lim µ(a A n ) og vi kan derfor finde et k sådan at µ(a A n ) < ε for alle n k. For n k får vi først at f k f k (1 ε) φ. A k A k Da φ på A, så er φ A φ A A k φ+ A k φ. Idet 1 ε < 1 så får vi at f k (1 ε) (1 ε) (1 ε) A k φ ( φ ε φ (1 ε) φ φ + M A A k φ ). A A k φ Her er højresiden gjort uafhængig af k så når vi tager limes inferior på venstresiden, så gælder uligheden stadig og ( ) lim inf f n ε φ + M. 25

Da ε var vilkårlig, så får vi at lim inf f n φ. Vi har nu vist at lim inf f n φ for alle simple funktioner φ f. Uligheden bevares når vi tager supremum over alle simple funktioner der domineres af f, så lim inf f n sup φ. Sætning 11.12 (Monoton konvergens) Lad {f n } være en følge af ikkenegative, målelige funktioner der konvergerer næsten overalt til en funktion f og antag, at f n f for alle n. Da er f lim f n. Bemærk, at der ikke er noget krav om at f n skal være en monoton følge, de skal blot være opad begrænset af f. Da f n f er f n f idet der for enhver simpel funktion φ f n gælder at φ f. Men Fatous lemma giver også, at f lim inf f n så f lim inf f n lim sup f n f og dermed er lim inf f n lim sup f n lim f n f. 14 Ydre mål µ -målelige mængder Definition af ydre mål Vi kalder en mængdefunktion µ for et ydre mål hvis den er defineret på alle delmængder af en grundmængde X, er på den tomme mængde, monoton og tællelig subadditiv: µ ( ), A B µ (A) µ (B) µ ( ) i µ ( i ). og Definition af målelig mængde Vi siger at mængden er målelig hvis der for alle A X gælder, at µ (A) µ (A ) + µ (A Ẽ). På grund af subadditiviteten er det altid nok at vise, at µ (A) µ (A ) + µ (A Ẽ). 26

Sætning 12.1 Mængden af µ -målelige mængder B er en σ -algebra. Da µ (A ) + µ (A ) µ ( ) + µ (A) µ (A) så er målelig. På grund af symmetrien i definitionen, så er X også målelig. Lad nu 1 og 2 være to målelig mængder. Da 2 er målelig får vi at µ (A) µ (A 2 ) + µ (A Ẽ 2 ) og da 1 er målelig, så er sådan at µ (A Ẽ 2 ) µ (A Ẽ 2 1 ) + µ (A Ẽ 2 Ẽ 1 ) µ (A) µ (A 2 ) + µ (A Ẽ 2 1 ) + µ (A Ẽ 2 Ẽ 1 ). Med omskrivningen A ( 1 2 ) (A 2 ) (A 1 Ẽ 2 ) af A ( 2 2 ) som en disjunkt forening får vi at µ (A) µ ( A ( 1 2 ) ) + µ (A Ẽ 2 Ẽ 1 ). hvor A Ẽ 1 Ẽ 2 A ( 1 2 ). Dermed er 1 2 målelig og dermed også enhver endelig forening af målelige mængder. Dette viser, at B er en algebra. Lad nu { i } være en følge af parvis disjunkte, målelige mængder. Definér G n og ved G n n i og i. Da er G n sådan at Ẽ G G n og da i j for j i er G n n n og G n Ẽ n G n 1. Da n er målelig, så fås ved induktion at µ (A G n ) µ (A G n n ) + µ (A G n Ẽ n ) µ (A n ) + µ (A G n 1 ) µ (A i ). 27

Mængderne G n er alle målelige da de er en endelig forening af målelige mængder. Derfor er µ (A) µ (A G n ) + µ (A G G n ). Da Ẽ G G n er A Ẽ A G G n og da A (A i ) er A specielt også en delmængde af (A i ). Vi får derfor at µ (A) µ ( n µ (A i ) + µ (A G G n ) ) (A i ) + µ (A Ẽ) µ (A ) + µ (A Ẽ). Da µ er subadditiv gælder der altid µ (A) µ (A )+µ (A Ẽ) og vi har dermed vist lighed, hvilket betyder at er målelig. 15 Carathéodorys udvidelsessætning Definition af mål på en algebra Vi kalder en ikke-negativ funktion µ defineret på en algebra A for et mål på en algebra hvis µ( ) og ( µ i ) µ( i ) når { i } er en disjunkt følge af mængder fra A med i A. Man ser, at et mål på en algebra kun adskiller sig fra et mål på en σ -algebra derved at man ikke har garanti for at en tællelig forening ligger i algebraen og derfor heller ikke kan kræve tællelig additivitet i dette tilfælde. Definition af ydre mål Som ved definitionen af det ydre Lebesguemål definerer vi µ ved µ () inf A i µ(a i ). hvor {A i } varierer over alle tællelige overdækninger af. Det kan vises, at µ er et ydre mål, altså at µ er på, monoton og tællelig subadditiv. Vi siger, at µ er frembragt af µ. Definition af A σ og A σ δ Vi betegner mængden af alle tællelige foreninger af mængder fra A med A σ. Mængden af alle tællelige fællesmængder af mængder fra A σ betegnes A σ δ. 28

Proposition 12.6 For ethvert ε > og A findes A A σ og B A σ δ sådan at A og B samt µ (A) µ () + ε og µ (B) µ (). Fra infimumet i definitionen af det ydre mål får vi, at der findes en følge {A i } fra A sådan at A i og µ(a i ) µ () + ε. Dermed er A A i A σ da det er en tællelig forening og A opfylder på grund af subadditiviteten at µ(a) µ(a i ) µ()+ε. Fra det vi netop har vist ved vi, at vi for ethvert n N kan finde en mængde A n A σ sådan at A n og µ(a n ) µ () + 1 n. Sæt nu B A n sådan at B R σ δ og B da A n for alle n. Så er µ () µ (B) og µ (B) µ (A n ) µ () + 1 n da B A n for alle n. Dermed er µ (B) µ () og da vi den modsatte ulighed også gælder, så er µ (B) µ (). 16 Konstruktion af produktmål Måleligt rektangel Vi kalder A B et måleligt rektangel hvis A og B er målelige mængder fra hver sin σ -algebra A og B hørende til målrummene (X, A, µ) og (Y, B, ν). Mængden af alle målelige rektangler betegnes R. Definition af semialgebra Vi kalder en mængde C for en semialgebra hvis A, B C medfører, at A B C og hvis A C medfører, at ÃA n A i hvor {A i } er en følge af parvis disjunkte mængder fra C. Mængden af alle målelige rektangler, R, og mængden af alle intervaller på R er to eksempler på en semialgebra. Definition af λ Vi definerer mængdefunktionen λ ved λ(a B) µ(a)ν(b), for A A og B B. 29

Lemma 12.14 Lad {A i B i } være en følge af parvis disjunkte, målelige rektangler med forening A B. Da er λ(a B) λ(a i B i ). For et fastholdt x A ligger punktet (x, y) i netop ét rektangel A i B i for hvert y B idet rektanglerne er parvis disjunkte. Når y gennemløber B får vi derfor en række disjunkte mængder B i med Bi B svarende til de i hvor x A i. Da ν er et mål på B så ν tællelig additiv og derfor er ν(bi )χ Ai (x) ν(b)χ A (x). Sætningen om monoton konvergens har et korollar der nu kan bruges, da vi har en følge af begrænsede funktioner χ Ai. Vi får ( χ Ai (x) dµ) ( ) χai (x) dµ χ A (x) dµ og da χ A µ(a) så er ν(bi )µ(a i ) ν(b i )χ Ai dµ ν(bi )χ dµ Ai ν(b)χ A dµ ν(b) χ A dµ ν(b)µ(a). Udvidelse af R til R og S Da funktionen λ er tællelig additiv, så ved vi fra tidligere (Proposition 11.7) at den kan udvides til et mål på en algebra R. Fra Carathéodorys sætning får vi en udvidelse af R til en σ -algebra S hvor udvidelsen af λ bliver et fuldstændigt mål. Dette fuldstændige mål betegnes µ ν. Hvis X og Y er σ -endelige så bliver µ ν også σ -endelig. Lemma 12.16 Lad være en mængde i R σ δ med (µ ν)() <. Da er funktionen g defineret ved g(x) ν( x ) målelig og g dµ (µ ν)(). X Bevises ikke, men skal bruges til beviset af lemma 12.18. 3

Lemma 12.18 Lad være en (µ ν)-målelig delmængde af X Y med (µ ν)() <. Så er x en ν-målelig mængde for næsten alle x og funktionen g defineret ved g(x) ν( x ) er en µ-målelig funktion defineret for næsten alle x med g dµ (µ ν)(). X Da er målelig med endeligt mål, så findes F R σ δ sådan at (µ ν)(f) (µ ν)() og F. Sæt nu G F der så er målelig da både F og er målelige. Da har endeligt mål og da µ ν er endelig additiv, så er (µ ν)(g) (µ ν)(f ) (µ ν)(f) (µ ν)(). Da og F har samme, endelige mål er (µ ν)(g). Lemma 12.17 giver nu at ν(g x ) for næsten alle x og dermed er ν( x ) ν(f x ) ν(g x ) ν(f x ) også for næsten alle x. Altså er g(x) ν( x ) ν(f x ) for næsten alle x og da F R σ δ så giver lemma 12.16 at g er målelig for næsten alle x. Fra samme lemma får vi at g dµ (µ ν)(f) (µ ν)(). 17 Fubini og Tonellis sætninger Sætning 12.19 (Fubini) Lad (X, A, µ) og (Y, B, ν) være to fuldstændige målrum og lad f være en integrabel funktion X Y. Da er funktionen f x (y) f (x, y) defineret og integrabel for næsten alle x, funktionen x f (x, y) dν(y) Y er integrabel på X og ( ) f dν dµ X Y X Y f d(µ ν). På grund af symmetrien mellem X og Y, så fås endnu tre påstande. Hvis sætningen gælder for alle ikke-negative funktioner f, så gælder den også for f på grund af integralets linearitet. Vi kan derfor nøjes med at vise sætningen for f. 31

Vi ved fra lemma 12.18, at de tre påstande gælder når f er en karakteristisk funktion der forsvinder udenfor en mængde med begrænset mål. Vi har nemlig, at g(x) ν( x ) χ x dν er målelig og integrabel da lemmaet også giver, at g(x) dµ (µ ν)() hvor og X X g(x) dµ (µ ν)() X ( X Y Y ) ( ) χ x (y) dν dµ χ (x, y) dν dµ X Y χ d(µ ν). Da integralet er lineært gælder sætningen også for linearkombinationer af karakteristiske funktioner, altså for simple funktioner der forsvinder udenfor en mængde med endeligt mål. n tidligere sætning giver, at der for enhver ikke-negativ målelig funktion findes en følge {φ n } af ikke-negative simple funktioner hvor φ n f punktvist og φ n f sådan at φ n er integrabel. Dermed er (µ ν)({(x, y) φ n (x, y) }) < da φ n ellers ikke ville have endeligt integral. For fastholdt x vil (φ n ) x (y) φ n (x, y) gå punktvist mod f x (y). Funktionerne (φ n ) x er målelige for alle n da de er simple, og derfor er grænsefunktionen f x også målelig. Da f er integrabel er f begrænset næsten overalt, og derfor er også f x begrænset for næsten alle x. Så f x er integrabel på Y for næsten alle x. Sætningen om monoton konvergens kan bruges da (φ n ) x f x for alle n og giver f dν f x dν lim(φ n ) x dν Y Y Bruger vi sætningen igen får vi at ( ) ( f dν dµ lim X Y Y lim (φ n ) x dν lim Y X lim X ( 32 Y Y ) φ n dν dµ ) φ n dν dµ Y φ n dν.

og da sætningen gælder for simple funktioner er ( ) lim φ n dν dµ lim φ n d(µ ν) X Y X Y hvor φ n f sådan at vi ved at bruge sætningen en tredje gang får, at ( ) f dν dµ lim φ n d(µ ν) X Y X Y X Y lim φ n d(µ ν) X Y f d(µ ν). Sætning 12.2 (Tonelli) Lad (X, A, µ) og (Y, B, ν) være to σ -endelige målrum og lad f være en ikke-negativ målelig funktion på X Y. Da er f x (y) f (x, y) defineret og målelig for næsten alle x, funktionen x f (x, y) dν(y) Y er målelig og ( ) f dν dµ f d(µ ν). X Y X Y På grund af symmetrien mellem X og Y, så fås endnu tre påstande. Beviset kører på helt samme måde som beviset for Fubinis sætning, blot er f ikke længere integrabel. Men det blev også kun brugt til at argumentere for, at φ n forsvandt udenfor en mængde med endeligt mål. Når vi arbejder med to σ -endelige mål µ og ν, så er µ ν også σ -endeligt, og så siger proposition 11.7 direkte, at vi kan vælge φ n så de er udenfor en mængde med begrænset mål. 18 Weierstraß approksimationssætning Definition af tæt underrum Vi siger at A B er tæt hvis der for alle ε > og b B findes et a A så a b < ε. Det er så vigtigt at specificere den norm man måler med. ksempler på tætte underrum er Q i R med almindelig absolut værdi som norm og simple funktioner der forsvinder udenfor en mængde med endeligt mål i L p med p-middel som norm for p <. Definition af f Vi definerer f på [a, b] ved f (t). sup t [a,b] 33

Sætning 2.4 (Weierstraß approksimationssætning) Mængden af polynomier på [a, b] er tæt i rummet af kontinuert funktioner på [a, b], C([a, b], ). Det er nok at se på intervallet [, 1] for f er defineret på [a, b], da betragter vi blot g på [, 1] defineret ved g(x) f ((x a)/(b a)). Hvis så q er et polynomium hvor q(t) g(t) < ε for t [, 1] så er q((x a)/(b a)) et polynomium på [a, b] sådan at der for t [a, b] gælder at ( ) t a ( ) ( ) q f (t) b a t a t a q g < ε. b a b a For f på [, 1] definerer vi polynomiet p n ved p n (x) j ( ) j n f x n)( j j (1 x) n j. Da er p n højst et n te-grads polynomium. Binomialformlen giver, at 1 n (x + (1 x)) n kan skrives som 1 j ( n j ) x j (1 x) n j så når vi ganger f (x) ind på summen fås f (x) j ( ) n f (x) x j j (1 x) n j. Vi skal nu vurdere afstanden mellem f og p n ned under ε. Trekantsuligheden generaliseret til n + 1 led giver f (x) pn (x) n j ( n) j ( n f (x) f j ) x j (1 x) n j, hvor de sidste faktorer er flyttet ud fra numerisktegnet da de er positive. Summen splittes nu op i to summer S 1 og S 2 hvor x j/n δ i S 1 og x j/n > δ i S 2 for et fast δ >. Idet vi indfører betegnelsen ω δ (f ) for den maksimale oscillation af f på et interval af bredde δ givet ved ω δ (f ) sup f (x) f (x ), x,x [a,b] x x δ 34

så fås for S 1 S 1 j ω δ (f ) ( ) n ω δ (f ) x j j (1 x) n j j ( n j ) x j (1 x) n j ω δ (f ). Her brugte vi igen opskrivningen af 1 (x + (1 x)) n ved hjælp af binomialformlen. For S 2 vurderes f (x) f (j/n) op til 2M hvor M f f (t) for alle t [, 1]. Samtidig laver vi vurderingen for x j/n > δ ( ) ( 1 2 1 1 δ δ δ x j 2 ( ( 1 ) x j ) ) 2. n δ n Vi får nu når vi trække 2M og 1/δ 2 udenfor summen ( ( 1 S 2 2M x j ) ) 2( ) n x δ n j j (1 x) n j j 2M δ 2 j Man kan vise følgende lighed j sådan at ( x j ) 2 ( ) n x n j j (1 x) n j ( x j ) 2 x j (1 x) n j x(1 x) n n S 2 2M x(1 x) δ 2 2M 1 n δ 2 4 M 2δ 2 n idet x(1 x) 1 4 på [, 1] og dermed er hele summen f (x) pn (x) S1 + S 2 ω δ (f ) + M 2δ 2 n. Da f er kontinuert på [, 1] er den også uniformt kontinuert på [, 1]. Definitionen af uniform kontinuitet giver os et δ > sådan at ω δ (f ) < ε/2 for ethvert ε >. For dette δ vælger vi nu n så stor at M/2δ 2 n < ε/2. Dermed er f (x) pn (x) ωδ (f ) + M 2δ 2 n ε 2 + ε 2 ε. Vi har nu konstrueret et polynomium der ligger ε tæt ved f og dermed er mængden af polynomier tæt i C([a, b], ). 35

19 Ortogonalsystemer og ortonormalbaser Definition af rum med indre produkt n funktion, : H H C kaldes et indre produkt på H hvis den for alle x, y, z H og λ C opfylder at (a) x, y y, x, (b) x + y, z x, z + y, z og x, y + z x, y + x, z, (c) λx, y λ x, y og x, λy λ x, y, (d) x, x og (e) x x, x >. Definition af norm Vi definerer ved x x, x. Det kan vises, at det giver en norm sådan at den opfylder trekantsuligheden, at x x og så videre. Da x, y x, z x y z på grund af Cauchy-Schwarz ulighed er det indre produkt kontinuert i begge variable. Regneregler for norm For x, y H fås cosinusrelationen og parallellogramloven der siger at x + y 2 x 2 + y 2 + 2R ( x, y ) x + y 2 + x y 2 2 x 2 + 2 y 2. Definition af ortonormalsystem Vi kalder en mængde {e 1, e 2,...} i H af indbyrdes vinkelrette, normerede vektorer for et ortonormalsystem. Der skal altså gælde at e i, e j e i e j for i j og e i e i, e i 1 for alle i. Sætning 2.6 (Bessels ulighed) Lad {e n } være et ortonormalsystem i H og x H et vilkårligt element. Da gælder x 2 x, ei 2. Sætning 2.6 (Parsevals ligning) Lad {e n } være et ortonormalsystem i H og x H et vilkårligt element. Da gælder og x 2 x, ei 2 x lim n x, e i e i x, e i e i. Sætning 2.12 Lad H være et komplekst vektorrum med et indre produkt med et ortonormalsystem {e n }. Vi sætter V span{e 1, e 2,...}. Da er følgende udsagn ækvivalente: 36

(a) x 2 x, ei 2 for alle x H, (b) x lim n x, e i e i x, e i e i for alle x H og (c) Det mindste lukkede underrum som indeholder {e n } er lig H. Hvis H er et Hilbertrum, da medfører disse tre egenskaber at {e n } er et maksimalt ortonormalsystem. Vi beviser sætningen ved at se på et vilkårligt x H. Den første ækvivalens er givet ved Parsevals ligning. Vi viser nu at x V når x lim s n lim n x, e i e i. Vi har at s n span{e 1,..., e n } og definitionen af V er netop at den indeholder alle konvergenspunkter for følger fra V så specielt indeholder den x lim s n. For at slutte den modsatte implikation skal vi først vurdere x s n imod x y for et vilkårligt y V n. Vi får først at n s n, e i x, e j e j, e i j1 x, ej e j, e i e, ei så x s n, e i x, e i s n, e i. Derfor står x s n vinkelret på e i for alle i og da det indre produkt er lineært står x s n vinkelret på alle y V n span{e 1,..., e n }. Fra Pythagoras får vi nu at x y 2 x s n + s n y 2 j1 x s n 2 + s n y 2 x s n 2 da s n y ligger i V n. Dermed er x y x s n. Vi fører beviset kontrapositivt, sådan at vi viser at hvis en af de to første ligninger ikke holder, så er x V. Så vi antager at x lim s n. Dermed er Parsevals ligning ikke opfyldt og Bessels ulighed giver nu, at x 2 > x, ei 2 x 2 Da x s n står vinkelret på s n V n så er x, ei 2 d 2 >. x 2 lim n s n 2 lim n x s n 2 inf n x s n 2 hvor vi til sidst kunne sætte grænseværdien lig infimum da følgen er aftagende idet s n er vokser når man tager flere led med. Da vi 37

tager infimum over n, så er dette tal uafhængigt af n. Vi har nu at der for y V n gælder x y x s n inf n x s n d >. Dette gælder for alle n, så for y n1 gælder at x y inf n x s n d >. Dermed kan y ikke ligge i V. Vi har nu vist, at de tre først udsagn gælder for for et vilkårligt x H, dermed gælder de for alle x H. Vi mangler nu at vise, at disse udsagn sammen med fuldstændigheden af H medfører, at {e n } er et maksimalt ortonormalsystem. Antag derfor, for en modstrid, at det kan udvides til {f, e 1,...} og at denne udvidelse ikke er triviel, altså at f. Da f H så kan den udtrykkes ved hjælp af de mange e i som f 2 f, ei 2. Så {e n } kan ikke udvides. Antag nu omvendt at {e n } er et maksimalt ortonormalsystem og definer s ved s x, e i e i for et vilkårligt x H. Denne række er konvergent da H er et Hilbertrum og da det indre produkt er kontinuert på H H, så er s, e i x, e j e j, e i x, e i j1 hvilket betyder at s x e i for alle i. Hvis nu s x så er (s x)/ s x en ny vektor der står vinkelret på alle andre e i hvilket giver en modstrid da vi har antaget af {e n } er et maksimalt ortonormalsystem. Så s x og dermed har vi vist den ønskede implikation. Definition af ortonormalbasis t ortonormalsystem i et Hilbertrum kaldes en ortonormalbasis hvis det er maksimalt. 2 Sætningen om nærmeste punkt og projektionssætningen Sætning 2.16 (Nærmeste punkt) Lad M H være en lukket konveks mængde i et Hilbertrum H. Da findes præcis ét punkt y M for et 38

givent x H sådan at x y inf x z. z M Da x z er nedad begrænset af findes inf x z d for z M. Da d er et infimum, så findes der for ethvert n et z n M sådan at d x z n d + 1 n. Vi viser af følgen {z n } er en Cauchyfølge da at se på z n og z m for n, m N. Parallelogramloven giver nu at z n z m 2 (zn x) (z m x) 2 2 z n x 2 + 2 z m x 2 x (zn x) + (z m x) 2 2 z n x 2 + 2 z m x 2 4 1 2 (z n + z m ) x 2 ( 2 d + 1 ) 2 ( + 2 d + 1 ) 2 4d 2 n m ( ) 1 2 4 d + 4d 2 min(n, m) hvor vi ved næstsidste vurdering benyttede, at M er et underrum sådan at 1 2 (z n + z m ) ligger i M. Vi ser, at z n z m 2 går mod for min(n, m) hvilket betyder at {z n } er en Cauchyfølge. Da H er et Hilbertrum findes y lim z n, og da M er lukket så ligger y i M. Kontinuiteten af normen giver d x y x lim z n ( lim x z n lim d + 1 ) d, n hvilket viser, at y lim z n virkelig er det nærmeste punkt. At y er entydig vises ved et modstridsbevis. Lad y være endnu et punkt med x y d. Parallelogramloven giver igen at y y 2 (y x) (y x) 2 2 y x 2 + 2 y x 2 (y x) + (y x) 2 2 y x 2 + 2 y x 2 4 1 2 (y + y ) x 2 2d 2 + 2d 2 4d 2 sådan at y y hvilket viser at y er entydig. 39

Sætning 2.17 (Projektionssætningen) Lad M H være et lukket underrum. Da er H en direkte sum af M og M sådan at ethvert x H kan skrives på entydig vis som x y + z hvor y M og z M. Lad x H være givet og lad y M være det nærmeste punkt for x i M. Da ethvert underrum er konveks, så er y valgt entydigt. Da gælder R z y, x y z M. For et vilkårligt u M fås med z u + y at R u, x y. Da det gælder for et vilkårligt u M da gælder det også for λu hvor λ C. Med λ 1 fås u, x y u, x y u, x y, hvilket viser, at x y M. Vi kan dermed skrive x H som x y + (x y) hvor y M og x y M. Denne opskrivning er entydig, thi hvis x y + z y + z med y, y M og z, z M så får vi at M y y z z M sådan at alle fire elementer ligger i M M. Men M M {} idet et element i fællesmængden opfylder at, x for alle x H, så specielt har vi at, hvilket viser at. 21 Duale rum Definition af lineær operator Vi kalder en afbilding A fra et vektorrum X til Y en lineær operator hvis den opfylder at A(αx + βy) αa(x) + βa(y) for alle x, y X og α, β R. Definition af operatornorm Hvis der for en lineær operator A findes et tal M sådan at A(x) M x for alle x X så siges A at være begrænset. Man kan vise, at begrænsethed er ensbetydende med kontinuitet. 4

Vi betegner det mindste sådanne M med A der så er givet ved A(x) A sup x x. Der gælder da A(x) A x. Proposition HLR 1.3 Rummet B af alle begrænsede lineære operatorer fra et vektorrum X til et vektorrum Y er selv et vektorrum. Hvis Y er fuldstændigt (et Banachrum), da er B også fuldstændigt. Propositionen bevises ikke men den skal bruges senere. Definition af duale rum Mængden af alle begrænsede lineære operatorer fra et vektorrum X til C kaldes det duale rum til X og betegnes X. Sætning FN 3.1 (Riesz-Frechet) Lad H være et komplekst Hilbertrum og definér en afbilding T x : H C for ethvert x H ved T x (y) y, x. Da er T x en kontinuert lineær operator. Afbildingen T : H H defineret ved T (x) T x giver da en afbilding af H på H der er isometrisk, surjektiv og konjugeret lineært. Dermed kan enhver lineær operator f fra et vilkårligt komplekst Hilbertrum til C skrives som f (y) y, x hvor x er entydigt bestemt ved f og f x. Det er klart at T x er lineær da det indre produkt er lineært i først variabel. Fra Cauchy-Schwarz får vi at Tx (y) Tx (y ) y y, x y y x hvor y y når y y idet normen er kontinuert. Dermed bliver T x også kontinuert. Vi viser nu de tre egenskaber for T. Først vises at T er isometrisk ved at vise, at T x er isometrisk. Cauchy-Schwarz giver at Tx (y) y, x y x for alle y H og dermed er T x x. Omvendt får vi at Tx (x) x, x x 2 T x x x T x 41

sådan at T x x. Da er T (x) T x x og T er således isometrisk. Dernæst viser vi at T er konjugeret lineær. Dette følger af at det indre produkt er konjugeret lineær i anden variabel. Vi får at T (λx + y) T λx+y hvor T λx+y (z) z, λx + y λ z, x + z, y T λx (z) + T y (z), sådan at T (λx + y) T λx+y λt (x) + T (y). ndelig viser vi at T er surjektiv ved for et f H at finde et x H så f T x. Hvis f så har vi at T () T f, så vi antager nu at f. Da f er en begrænset lineær operator er den også kontinuert og således bliver M ker f {x H f (x) } f 1 ({}) en lukket mængde da urbilledet af den lukkede mængde {} bliver en lukket mængde under en kontinuert funktion. Da {} er et underrum er M også et underrum. Projektionssætningen kan nu bruges så H M + M. Idet f så findes der et z H så f (z) og dermed ligger z M. Desuden er z da det ellers ville ligge i M M. Vi kan ydermere vælge z sådan at f (z) 1 idet M også er et underrum. For et vilkårligt y H får vi nu at f ( y f (y)z ) f (y) f (y)f (z) f (y) f (y) så y f (y)z M for alle y og er dermed ortogonal med z. Så y f (y)z, z y, z f (y) z, z Isolerer vi f (y) får vi f (y) y, z z, z y, z/ z 2. Vi har nu vist, at T (y/ z 2 ) T y/ z 2 f hvilket betyder at T er surjektiv. 42

22 Foldning Redefinition af L 1 Med det nye L 1 (, α) menes den gamle L 1 (, ) hvis α, ellers menes de 2α-periodiske funktioner f : R C hvis restriktion ligger i den gamle L 1 (, α). Definition af foldningsintegral Lad f og g være funktioner i L 1 (, α). Da defineres foldningsintegralet f g ved f g(x) α f (x t)g(t) dt. Når integralet eksisterer for næsten alle x i (, α) siges foldningen af f og g at eksistere. Sætning 4.1 Hvis f er en integrabel funktion på R og h R et vilkårligt reelt tal, så er f (x) dx f (x + h) dx f ( x) dx. Integralet er med andre ord translationsinvariant. Bevises ikke, men beviset bygger på, at Lebesguemålet er translationsinvariant hvilket igen bygger på at hvis I n overdækker da overdækker (I n + h) også + h. Lemma 4.2 Hvis R er Lebesguemålelig, da er mængderne R { (x, y) R 2 } x R, y og B { (x, y) R 2 } x y begge Lebesguemålelige. Sætningen nævnes blot men bevises ikke. Sætning 4.3 Lad f og g være to integrable funktioner i L 1 (, α). Da eksisterer f g og f g L 1 (, α). Desuden er f g 1 f 1 g 2 og α (f g)(x) dx ( α )( α ) f (x) dx g(x) dx. Vi sætter K(x, y) f (x y)g(y) der kan opfattes som et produkt af f (x, y) f (x y) og g (x, y) g(y) sådan at { (x, y) R 2 f (x, y) > α } { (x, y) R 2 f (x y) > α }, { (x, y) R 2 g (x, y) > α } R { y R g(y) > α }. 43

Da f og g er målelige funktioner på R, så giver lemmaet at de to superniveaumængder begge er målelige mængder, og dermed er f og g begge målelige funktioner på R 2. Da K er et produkt af to målelige funktioner er K selv en målelig funktion. Vi bruger nu Tonellis sætning til at vise at K er integrabel. Dernæst bruges Fubinis sætning til at vise at foldningsintegralet eksisterer. Først kan Tonellis sætning bruges på K da K er målelig og vi får (,α) (,α) (,α) (,α) α ( α α ( α K(x, y) d(x, y) f (x y)g(y) d(x, y) ) f (x y)g(y) dx dy ( α ) g(y) f (x y) dx dy )( α ) f (x y) dx g(y) dy f 1 g 1 <. Dermed er K integrabel på [, α] [, α]. Fubinis sætning kan nu bruges på K, og vi får at foldningsintegralet (f g)(x) α f (x y)g(y) dy eksisterer for næsten alle x. Fubinis sætning giver også at foldningsintegralet f g er integrabel på [, α] så f g 1 α α α α ( α ( α f 1 g 1. f (x y)g(y) dy dx ) f (x y)g(y) dy dx ) f (x y)g(y) dx dy Her brugte vi Fubinis sætning til at ombytte integrationsrækkefølgen i næstsidste trin sådan at vi kunne bruge ligheden fra den tidligere integration af K. 44

ndelig følger (f g) dx ( f dx)( g dx) ved at bruge Fubinis sætning på f g. Det kan vi gøre idet vi nu ved at f g er integrabel. Ved at sætte g uden for integrationen tidligere fås vi nu at α (f g) dx α α α ( α ( α g(y) f (x y)g(y) dy ) dx ) f (x y)g(y) dx dy ( α ) f (x y) dx dy ( α )( α f (x y) dx ( α ) g(y) dy )( α ) f (x) dx g(y) dy. Til sidst benyttede vi at integralet er translationsinvariant. 23 Approksimerende enheder Definition af approksimerende enhed n følge {k n } i L 1 (, α) kaldes en approksimerende enhed for L 1 (, α) hvis den opfylder (a) k n for alle n, (b) k n L 1 (, α) L (, α) med k n 1 for alle n, (c) k n (t) dt for n for alle δ > og t δ (d) lim k n(t) uniformt for alle δ > med δ t. n Sætning 4.7 Hvis {k n } er en approksimerende enhed for L 1 (, α) og f L 1 (, α) er kontinuert i x da er lim n (f k n)(x ) x, α Hvis f er uniform kontinuert og begrænset på R så er lim n f k n f hvilket vil sige at lim f k n f uniformt på R. Vi vurderer afstanden mellem (f k n )(x ) og f (x ) så (f kn )(x ) f (x ) α f (x t)k n (t) dt f (x ) 45 α ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt

da α k n 1 sådan at α f (x )k n f (x ). Vi vurderer nu opad ved at flytte numerisktegnet indenfor i integralet og splitter integralet op i to integraler alt efter om t er større eller mindre end et fast δ >. Altså er α ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt t <δ + t δ ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt. I det første integral vurderer vi leddet f (x t) f (x ) op mod supremum over en uafhængig variabel s og da det er uafhængigt af t kan denne faktor flyttes udenfor. Tilbage står et lille integral over k n. Dette vurderes op mod 1 da det er integralet over hele intervallet [, α] og vi får t <δ ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt sup f (x s) f (x ). s <δ Det andet integral vurderes op ved at bruge trekantsuligheden på f (x t) f (x ), dernæst ganges k n (t) ind på de to led og endelig splittes integralet op i to så t δ ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt t δ t δ f (x t) kn (t) + f (x ) kn (t) dt f (x t) kn (t) dt + t δ f (x ) kn (t) dt. I det første integral vurderer vi k n (t) op mod supremum over en uafhængig variabel s sådan at det kan flyttes udenfor. Tilbage har vi et integral over f (x t). Da integralet er translationsinvariant kan dette vurderes op imod et integral over hele [, α] hvilket så giver f 1. I det andet integral er f (x ) uafhængig af t og kan 46

flyttes udenfor sådan at ( f (x t) f (x ) ) k n (t) dt t δ t δ f (x t) kn (t) dt + f 1 sup k n (s) + f (x ) s δ Dermed bliver den oprindelige vurdering (f kn )(x ) f (x ) sup f (x s) f (x ) s <δ + f 1 sup k n (s) + f (x ) s δ t δ f (x ) kn (t) dt. k n (t) dt. t δ k n (t) dt. t δ Tager vi nu lim sup n på begge sider, så får vi at lim sup (f kn )(x ) f (x ) n lim sup n ( sup f (x s) f (x ) s <δ + f 1 sup k n (s) + f (x ) s δ sup f (x s) f (x ) s <δ ( + lim sup n f 1 sup s δ ) k n (t) dt t δ k n (s) + f (x ) ) k n (t) dt. t δ Fra definitionen af en approksimerende enhed får vi at lim sup f 1 sup k n (s) n s δ da f 1 < idet f ligger i L 1 (, α). Vi får også at lim sup f (x ) k n (t) dt. n t δ Dermed er lim sup (f kn )(x ) f (x ) sup f (x s) f (x ) n s <δ 47

og da f er kontinuert i x så går f (x s) mod f (x ) når δ og dermed også s går mod. Vi får da at lim (f kn )(x ) f (x ) n lim sup n (f kn )(x ) f (x ) hvilket betyder at grænseværdien findes og lim n (f k n)(x ) f (x ). Anden del af sætningen kræver en vurdering der er uafhængig af x. Vi får først som før at (f kn )(x) f (x) t <δ + ( f (x t) f (x) ) k n (t) dt t δ ( f (x t) f (x) ) k n (t) dt. Det første integral vurderes op som før mens det andet integral vurderes op ved at sætte 2 f udenfor. (f kn )(x) f (x) sup ( f (x s) f (x) ) + 2 f k n (t) dt. s <δ t δ Uligheden bevares når vi tager supremum over alle x R hvilket giver på venstresiden. Vi benytter at det sidste led er uafhængigt af x og får sup x R (f kn )(x) f (x) f kn f sup sup ( f (x s) f (x) ) + 2 f x R s <δ t δ k n (t) dt. Vi tager nu limes superior på begge sider hvorved det sidste led forsvinder idet k n er en approksimerende enhed sådan at integralet går mod for n. Vi får at lim sup n f k n f sup sup ( f (x s) f (x) ). x R s <δ Hvis f er uniform kontinuert, så går højresiden mod når δ går mod + og dermed får vi at lim f k n f lim sup f k n f, n n hvormed grænseværdien findes og lim f k n f uniformt på R. 48

24 Konvergens af Fourierrækken Definition af Fourierrække n trigonometrisk række af formen n c n e int hvor c n har formen c n 1 2π π π f (x)e inx dx for et f L 1 ( π, π) kaldes en Fourierrække. Vi skriver f n c n e int. Definition af afsnitssum Vi betegner den n te afsnitssum i Fourierrækken for f med s n så s n (x) k n c k e ikx. Definition af Dirichlets kerne Ved at regne på afsnitssummerne får vi s n (x) k n k n π π π π ( 1 2π ( 1 2π ( n k n π π π π ( f (t) 1 2π ) f (t)e ikt dt e ikx ) f (t)e ik(x t) dt ) 1 2π f (t)eik(x t) dt k n Hvis vi for x definerer D n (x) ved D n (x) 1 2π k n e ikx e ik(x t) ) dt da ser vi at s n f D n da D n f f D n. Følgen {D n } kaldes Dirichlets kerne. Det ses, at D n er lige da vi summerer over et symmetrisk interval omkring sådan at både e ikx og e ikx optræder i summen. 49

Sætning 5.6 Lad f være en udvidet 2π-periodisk funktion i L 1 ( π, π) og lad x R være et kontinuitetspunkt for f hvor funktionen t f (x t) f (x ) t er integrabel på intervallet [ π, π]. Da konvergerer Fourierrækken for f punktvist mod f i x så lim n s n(x ) f (x ). Sætningen bevises ikke men skal bruges i beviset af sætning 5.8. Sætning 5.8 Lad f være en udvidet 2π-periodisk funktion i L 1 ( π, π) og lad x R være et punkt hvor grænseværdierne f (x ) og f (x + ) findes. Hvis funktionen t f (x + t) f (x + ) t + f (x t) f (x ) t er integrabel på intervallet [ π, π] så konvergerer Fourierrækken for f punktvist mod gennemsnittet af de to grænseværdier så lim s n(x ) 1 ( n 2 f (x ) + f (x + ) ). Vi bruger opskrivningen s n f D n og får s n (x ) π π π π π f (x t)d n (t) dt π f (x t)d n (t) dt + f (x + t)d n (t) dt + π ( f (x + t) + f (x t) ) D n (t) dt. f (x t)d n (t) dt f (x t)d n (t) dt Da integranden er en lige funktion, så vil integralet fra π til have same værdi og integralet over [ π, π] bliver derfor dobbelt så stort. Det korrigerer vi og får s n (x ) π π 1 ( f (x + t) + f (x t) ) D n (t) dt. 2 Dette integral kan skrives som (g D n )() hvor g(x) 1 2 (f (x + x) + f (x x) for x. Vi sætter g() 1 2 (f (x + + f (x ) sådan at g er kontinuert i fordi vi har antaget, at grænseværdierne f (x ) og f (x + ) findes. 5

Sætning 5.6 kan nu bruges fordi vi har antaget at funktionen t f (x + t) f (x + ) t + f (x t) f (x ) t er integrabel, og denne funktion er lig t (g( t) g())/t. 25 Cesarosummabilitet af Fourierrækken Definition af afsnitsmiddelsummer Vi definerer σ n ved σ n (x) s (x) + + s n (x) n + 1 1 n + 1 s k (x), k hvor s n er det n te symmetriske afsnit i Fourierrækken for f. Definition af Fejers kerne Idet integralet er lineært bliver foldningen også lineær så vi sætter σ n (x) 1 n + 1 1 n + 1 s k (x) k (f D k )(x) (f F n )(x) k så F n (1/(n + 1)) n k D k og kalder følgen {F n } for Fejers kerne. Da D k er lige for alle k bliver F n også lige. Det kan vises, at F n er en approksimerende enhed for L 1 ( π, π). Sætning 5.1 Lad f L 1 ( π, π) have Fourierkoefficienterne {c n }. Da gælder (a) Hvis x R er et kontinuitetspunkt for f, så er lim σ n(x ) f (x ). n (b) Hvis f (x ) og f (x + ) eksisterer, så er lim σ n(x ) 1 ( n 2 f (x ) + f (x + ) ) (c) Hvis f er kontinuert så er lim σ n f n uniformt på R. 51

Hvis f er kontinuert i x, da giver sætning 4.7 at (f F n )(x ) f (x ) sådan at lim n σ n(x ) lim n (f F n)(x ) f (x ). Hvis vi antager at f (x ) og f (x + ) eksisterer, så kan vi lave en funktion g sådan at σ n (x) (g F n )(). Idet F n er lige får vi s n (x ) π π π π π f (x t)f n (t) dt π f (x t)f n (t) dt + f (x + t)f n (t) dt + π ( f (x + t) + f (x t) ) F n (t) dt. f (x t)f n (t) dt f (x t)f n (t) dt Da integranden er en lige funktion, så vil integralet fra π til have same værdi og integralet over [ π, π] bliver derfor dobbelt så stort. Det korrigerer vi og får s n (x ) π π 1 ( f (x + t) + f (x t) ) F n (t) dt 2 (g F n )(), hvor g(x) 1 2 (f (x x) + f (x + x)) for x og g() 1 2 (f (x )+f (x + )). Funktionen g er da kontinuert og første punkt i denne sætning giver at lim n s n(x ) lim n (g F n)() g() 1 2 ( f (x ) + f (x + ) ). Hvis endelig f er kontinuert på [ π, π] da er f også uniform kontinuert. Sætning 4.7 giver da at f F n f uniformt på R. Sætning 5.9 (Fejers sætning) Lad f L 1 ( π, π) være givet. Da konvergerer σ n mod f i 1-middel så lim f σ n 1. n Sætningen bevises ikke, men skal bruges i entydighedssætningen nedenfor. 52

Sætning 5.11 (ntydighedssætningen) Hvis f L 1 ( π, π) er en funktion hvor c n for alle n da er f næsten overalt. Når c n er også s n for alle n og dermed er σ n for alle n. Fejers sætning giver at lim f σ n 1 lim f sådan at f næsten overalt. 26 Konvergens af Fourierrækken i L 2 Definition af indre produkt på L 2 ( π, π) For f, g L 2 ( π, π) definerer vi f, g ved f, g π π f g. Det kan vises at dette giver et indre produkt. Sætning 5.12 Vi definerer f n ved f n (x) 1 2π einx. Systemet udgør en ortonormalbasis for L 2 ( π, π). Med det indre produkt fås at f n f m da f n, f m π π f n f m 1 2π π π e i(n m)t dt { n m, 1 n m. Her brugte vi at e i kt er en ulige funktion sådan at den har integral hen over et symmetrisk interval omkring. Når n m så er e i(n m)t 1 og integralet giver således 2π så vi i alt får 1. Dermed er {f n } et ortonormalsystem. Vi viser at {f n } er maksimalt ved at forsøge at udvide det med f hvor f, f n for alle n. Da L 2 ( π, π) L 1 ( π, π) ligger f også i L 1 og Fourierkoefficienterne c n for f er alle lig. Sætning 5.11 giver da at f næsten overalt. Idet {f n } er maksimalt udgør det en ortonormalbasis. Definition af Fourierrække For f L 1 ( π, π) definerer vi Fourierrækken for f ved n c n e int, hvor c n er givet ved c n 1 2π π π f (x)e inx dx. 53

Vi får at 2π c n f, f n idet f, f n π π f f n π π 1 f (x) 2π e inx dx 2π 1 c n. Definition af afsnitssum Vi betegner den n te afsnitssum i Fourierrækken for f med s n så s n (x) c k e ikx. k n Sætning 5.13 Lad f være en funktion i L 2 ( π, π) med Fourierkoefficienterne {c n }. Da er (a) f (x) c n e inx i L 2, altså f s n 2 for n. (b) f 2 n π π f (t) 2 dt 2π n c n 2 (Parsevals formel). Hvis vi omvendt har en følge {c n } i l 2, hvor altså c n 2 <, da kan vi definere en funktion g L 2 ( π, π) ved g(x) c n e inx, n hvis Fourierkoefficienter er {c n }. Idet {f n } er et ortonormalsystem for L 2 ( π, π) giver sætning 2.12 f (x) f, f n f n (x) n n 2π c n 1 2π einx Samme sætning giver også at f 2 f, fn 2 n n n c n e inx. 2π c n 2 2π n c n 2. Hvis vi omvendt har {c n } i l 2 da er de symmetriske afsnitssummer s n en Cauchyfølge i L 2 idet der for n m gælder at sn (t) s m (t) km+1 km+1 c k e ikt + c k e ikt c k + c k 54 km+1 n km+1 c k + c k. c k e ikt + c k e ikt

Da række c k 2 er konvergent går halerne mod og således går s n (t) s m (t) mod for min(n, m). Da L 2 ( π, π) er fuldstændigt er enhver Cauchyfølge konvergent i L 2 ( π, π). Så lim s n g L 2 ( π, π). n Fourierkoefficienter for g bliver {c n } da der for alle m Z med n m n gælder at n s n, f m k n c k e ik, f m k n c k e im, f m c k e im, 1/ c k e ik, f m 2π e im 1 2π c m. Her brugte vi linearitet af det indre produkt i første variabel og det at f m er ortogonal med e ik når k m. Lader vi nu n gå mod uendelig for et fastholdt m, så får vi at g, f m c m da det indre produkt er kontinuert. Dermed er Fourierkoefficienterne for g givet ved {c n }. 55