Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at vi har en kande med 1 liter vand, hvori 30 gram salt er fuldstændig opløst. Hvert minut hælder vi 0,1 liter af opløsningen ud af kanden og fylder den op igen med rent vand til 1 liter og rører rundt. I skal nu opstille et skema som viser hvor meget salt der vil være opløst i vandet i kanden efter 0,1,2,3,. Minutter. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet Salt 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 30 27 Opstil en formel, y = (noget med x) ovenfor. som kan bruges til at udregne tallene i tabellen Salt 3 Brug PC-programmet Graph til at indtegne punkterne fra Salt 1, og til at indtegne funktionsforskriften fra Salt 2, og se om grafen går gennem punkterne Salt 4 Slet eller skjul igen funktionsforskriften fra Salt 2 Tegn i programmet en tendenslinje med "eksponentiel regression" som (nogenlunde) går gennem punkterne. Hvilken forskrift (formel) har denne linje? Sammenlign med svaret i Salt 2. 1
Ar b ejd ssed d el 1 I dette projekt skal I ved hjælp af en matematisk model, som I selv skal lave, komme frem til et konkret forslag til hvordan man medicinerer en person der har astma. Dvs. I skal bestemme hvor meget medicin han skal have, og hvor ofte han skal have medicinen man taler om medicinens dosis og om frekvensen hvormed medicinen bliver givet. Som det fremgår af forklaringen nedenfor, er det jeres opgave at bestemme dosis og frekvens så koncentrationen af et bestemt stof kommer til at ligge i et bestemt interval. Flere og flere mennesker får astma i det moderne samfund. Astma er en sygdom som giver problemer med udåndingen, og ofte har astmatikeren piben ved brystet, hurtig vejrtrækning og eventuelt indtrækninger ved ribbenene. En astmatiker kan have korte eller lange perioder hvor problemerne ikke optræder, men pludselig kan luftvejene indsnævres, og astmatikeren får et astmaanfald. Et astma-anfald kan behandles medicinsk ved at tilføre et stof der hedder aminophylline til blodbanen. I kroppen omdannes aminophylline hurtigt til stoffet theophylline, som reducerer luftvejs-indsnævringen. Det er koncentrationen af stoffet theophylline I skal arbejde med i projektet. Lægevidenskaben har fundet ud af at blodets koncentration af theophylline i blodet skal ligge imellem 5 mg/liter og 25 mg/l. I har altså en person som vejer 50 kg, og han har fået et astma-anfald som skal behandles medicinsk. I den forbindelse spiller nyre også en rolle. Inden for lægevidenskaben har man nemlig fundet ud af at nyren hele tiden renser blodet for theophylline. Rensningen forløber sådan: For hver time der går, fjerner nyren en fast andel af stoffet theophylline fra blodet. Forestil jer at I kender theophylline koncentrationen til tiden t=0, som kaldes starttidspunktet. Med 1 Angiv hvilken type matematisk formel der giver sammenhængen mellem theophylline koncentrationen og den tid der er gået siden starttidspunktet. (sammenlign problemstillingen med Salt1 salt 2 side 1; her er der i første omgang ingen tal; Brug bogstaver for variable og konstater). Hvilke variable, og hvilke konstanter indgår i formlen (forklar med ord): 2
Ar b ejd ssed d el 2 Med 2 Undersøg, om I kan få jeres jeres matematiske formel fra Med 1 til at passe med nedenstående lægevidenskabelige data, som stammer fra en person der vejer 50 kg. Brug Graph og eksponentiel regression. Forklaring: Ved at indsprøjte en kendt dosis af stoffet aminophylline (som i kroppen hurtigt omdannes til theophylline) og derefter tage blodprøver med passende intervaller, har man målt koncentrationen af stoffet theophylline i blodbanen til forskellige tider. I forsøget indsprøjtede man 300 mg aminophylline til at begynde med. Derefter bestemte man ud fra blodprøverne koncentrationen af stoffet theophyllin til forskellige tider. Theophyllin- Tid (timer) koncentration i blodet (mg/l) 1 10,0 3 7,0 5 5,0 7 3,5 9 2,5 11 2,0 13 1,5 15 1,0 17 0,7 19 0,5 Med 2b Under forudsætning af at jeres model (formel) passer allerede kort efter indsprøjtningen, hvilken theophyllinkoncentration var der da på det tidspunkt, altså efter 0 timer? (eller 0.001 timer) Med 3 Ud fra et medicinsk synspunkt skal Theophyllinkoncentrationen skal helst ligge mellem 5 mg/liter og 25 mg/l. I hvilket tidsrum er det tilfældet? Overvej hvad man kan gøre for at bibeholde koncentrationen af stoffet inden for dette såkaldte positive effekt-interval. Med 6 Nu skal I anvende jeres matematiske modeller til opstilling af en medicineringsplan som skal kunne bruges af lægerne på et hospital, i første omgang for en 50 kg tung patient som ovenfor Der er nogle praktiske ting at tage hensyn til, så derfor har lægerne nogle specifikke ønsker til planen. patienten skal have tilført lige store doser, D doserne skal tilføres med samme frekvens; dvs. tidsintervallerne, T, mellem behandlingerne skal være lige store i løbet af døgnet. 3
I må gerne overveje om der er andre hensyn, som løsningen bør tilgodese. Hvis I ikke allerede har udregnet halveringstiden, kan det være en fordel at gøre det nu. Også her er I nødt at gøre nogle antagelser undervejs (antagelser spiller en central rolle i modellering). Tænk på at, når der indsprøjtes ny medicin, lægges det nytilførte stof til det der i forvejen var tilbage i kroppen/blodet. Med 7 Beregn theophyllinmæmgden time for time, og lav en kurve, der viser theophyllin-koncentrationen som funktion af tiden i tre døgn, idet man følger den medicineringsplan der blev opstillet i Med 6 Lav også beregninger og kurver, der viser theophyllin-koncentrationen som funktion af tiden i tre døgn, hvis der hver gang gives 10% mere aminophyllin end beregnet i planen fra Med 6 Med 8 I Med 2 ovenfor var udgangspunktet følgende: (Tilfælde a) Personens vægt, M = 50 kg Medicin dosis, D = 300 mg aminophylline Disse gav Start-koncentrationen af theophylline i blodet, b =.. (svaret på Med 2b) mg theophylline pr. liter blod Nu er det jo ikke alle astmatikere der vejer 50 kg, så man må forvente at den mængde aminophylline der skal indsprøjtes for at opnå en bestemt start-koncentration, varierer fra person til person. Sammenhængen mellem start-koncentrationen, b, personens vægt, M, og dosis, D kender vi ikke noget til. Så det er nødvendigt at vi antager to ting. 1) Hvis medicindosis D fordobles, så vil også start-koncentrationen b i blodet fordobles. (proportionalitet mellem dosis og startkoncentration for en bestemt person) 2) Hvis vi ser på en person der vejer det dobbelte, så skal medicindosis også fordobles, for at give samme virkning (samme startkoncentration i mg/liter) (proportionalitet mellem dosis og personvægt for at opnå samme start-koncentration) Udregn nødvendig medicindosis, D (mg aminophylline), når der ønskes (Tilfælde b) Start-koncentration af theophylline i blodet: hos en person der vejer 50 kg 2 gange resultatet af Med 2b (Tilfælde c) Start-koncentration af theophylline i blodet: samme som resultatet af Med 2b hos en person der vejer 150 kg (Tilfælde d) Start-koncentration af theophylline i blodet: 2 gange resultatet af Med 2b hos en person der vejer 150 kg 4
Med 9 En formel, der udtrykker nødvendig medicin-dosis, D (mg aminophylline), udtrykt ved personens vægt, M og ved den ønskede start-koncentration b (mg theophylline pr. liter blod) har følgende udseende: D = k M b Brug tallene i Tilfælde a i Med 8 til at bestemme værdien af konstanten k Regn efter, om formlen giver det rigtige resultat i Tilfælde b, c og d Forklar, at formlen opfylder de to stillede betingelser i Med 8: 1: proportionalitet mellem dosis og startkoncentration for en bestemt person 2: proportionalitet mellem dosis og personvægt for at opnå samme start-koncentration Med 10 Når et astma-anfald er særlig voldsomt, vælger lægerne ved indlæggelse at lægge et drop, i stedet for at medicinere i de større tidsintervaller, T, som I beskrev ovenfor. Droppet kan indstilles til at afgive en bestemt mængde af stoffet aminophylline med korte og faste tidsintervaller. Opgave: Der kommer en 80 kg tung person med et akut astma-anfald ind på hospitalet. Der bliver lagt et drop, og lægerne ønsker at holde koncentrationen af theophylline på det konstante niveau 25 mg/l. Bestem et doseringsforløb som holder koncentrationen i personens blod på dette konstante niveau. I må gerne antage at personen ikke har theophyllin i blodet i forvejen. 5