6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder). I dette apitel sal vi se på ogle hyppigt foreoede typer af fordeliger for stoastise variabler. Selvo e stoastis variabel a have e hvile so helst fordelig, så viser det sig, at der er ogle bestete fordeliger, so vi ofte støder på i prasis. Mage af de avedelige fordeliger a a besrive relativt sipelt. I de foregåede apitler har vi til ehver ulig værdi af e stoastis variabel opsrevet e tilhørede sadsylighed. Det har vi typis gjort i tabelfor, hvis der er flere ed to værdier. Me hvis e stoastis variabel a atage age værdier, ræver det e stor uoversuelig tabel at specificere fordelige. I ogle tilfælde a a i stedet specificere fordelige af e stoastis variabel ved hjælp af få paraetre. Når de er besrevet, a a udrege sadsylighede for alle ulige værdier af de stoastise variabel ved blot at idsætte i e forel. De fordeliger, vi støder på i dette apitel, a alle specificeres ved hjælp af e forel og ogle få paraeterværdier. I afsit 6.1 til 6.4 sal vi igge på fire forsellige disrete fordeliger, es vi i afsit 6.5 sal stifte beedtsab ed oralfordelige, so er e fordelig for e otiuert stoastis variabel. Edelig sal vi i afsit 6.6 igge på e siulta fordelig for flere disrete stoastise variabler. 6.1 Beroullifordelige E disret stoastis variabel X siges at følge e Beroullifordelig, hvis: i) der er to ulige udfald, dvs. X a atage to værdier (typis 1 og 0); og ii) sadsylighede for, at de atager de to værdier, er heholdsvis p og 1 p. Vi siger da, at X er Beroullifordelt ed paraetere p. Det srives: X ~ Ber(p), hvor ~ læses so fordelt. Populære fordeliger 1
Figur 6.1: Beroullifordelige X p 1 (succes) 1 p 0 (fiaso) Ofte beteger a de to ulige udfald for X so heholdsvis succes (år X 1) og fiaso (år X 0). De to betegelser sal dog ie forstås således, at det ee udfald ødvedigvis er bedre ed det adet. Det er blot e åde, hvorpå a har valgt at beæve udfaldee. Alterativt siger a, at X har egesabe (år X 1) eller ie har egesabe (år X 0). Me det er blot e ade taleåde for det, der grudlæggede er det sae, elig at X a atage to og u to værdier. Der er åse lidt overrasede age populatioer, so leder fre til Beroullifordelte stoastise variabler. Her er tre esepler. Esepel 6.1: Plat og roe del 1 Esepel 6.: Ja eller ej Esepel 6.: Vejret i orge Til esperietet at aste ed e øt er populatioe: roe og plat. Vi a defiere e stoastis variabel, X, således, at de atager værdie 1 i tilfælde af roe (succes) og værdie 0 i tilfælde af plat (fiaso). Hvis plat og roe er lige sadsylige, dvs. hvis øte ie er sæv, så er X Beroullifordelt ed paraetere p ½, dvs. X ~ Ber (½). Hvis vi stopper e tilfældig daser på gade og spørger vedoede, o ha (eller hu) steer ja eller ej til e oede afsteig, og vi atager, at der u er disse to svaruligheder, og at alle potetielle respodeter har taget stillig til spørgsålet, så ige svarer ved ie, så har vi at gøre ed e populatio beståede af ja-sigere og ej-sigere. Vi a derfor defiere e stoastis variabel, X, der tager værdie 1, hvis persoe viser sig at være e ja-siger, og værdie 0, hvis det er e ej-siger. Da er X Beroullifordelt ed paraetere p, hvor p er adele i populatioe, der steer ja. Lad Y være e stoastis variabel, der atager værdie 1, hvis det reger i orge, og værdie 0, hvis det ie gør det. De tilhørede populatio er e superpopulatio ed eleetere reg og ie-reg. Dered er Y Beroullifordelt ed paraetere p, hvor p er sadsylighede for reg i orge (hvorda dee sadsylighed så ed er bestet). 14 Idbli i statisti for safudsvidesab
So de oveståede esepler illustrerer, så er Beroullifordelige relevat i situatioer, hvor vi udvælger et eleet fra e populatio ed to typer af eleeter. Det a være fra e virelig populatio ed to eleeter, so i esepel 6. ed de dase befolig, eller e superpopulatio, so i esepel 6. ed regvejret. Populatioer ed u to typer af eleeter aldes også Beroullipopulatioer. E Beroullipopulatio er e virelig populatio eller e superpopulatio, der består af to typer af eleeter: succeser og fiasoer. Vi a også fide besrivede ål for e stoastis variabel, so er Beroullifordelt. Fordi der u er to ulige værdier for e såda stoastis variabel, a a let udrege iddelværdie og variase ved hjælp af de etoder, vi præseterede i apitel 5: E(X) 1 p + 0 ( 1 p) p E(X ) p + 0 (1 p) p V(X) E(X ) [E(X)] p p p (1 p) Lad os opsuere egesabere for e Beroullifordelt stoasti variabel i e bos: Beroullifordelige, X ~ Ber(p) Sadsylighedsfutio: f(1) p og f(0) 1 p Middelværdi og varias: E(X) p og V(X) p (1 p) Fortolig: X agiver udfaldet af e udtræig fra e Beroullipopulatio, hvor X 1 er succes, X 0 er fiaso, og p er sadsylighede for e succes. 6. Bioialfordelige Bioialfordelige freoer, år a udtræer eleeter uafhægigt af hiade fra e Beroullipopulatio. På de åde har hver udtræig sadsylighede p for succes. Dvs. hvis X 1 er de stoastise variabel for udfaldet af de første udtræig, således at X 1 1 agiver e succes, så er X 1 Beroullifordelt ed paraetere p: X 1 ~ Ber(p). Tilsvarede er X ~ Ber(p), hvor X agiver udfaldet af de ade udtræig, osv. op til X. De stoa- Populære fordeliger 15
iabel for udfaldet af de første udtræig, stise variabel, således Y, at der agiver atallet af succeser i de udtræiger, siges da e succes, så er X 1 Beroullifordelt at være ed paraetere bioialfordelt ed paraetree og p. Vi sriver det på følgede Tilsvarede er X ~ Ber(p), hvor X åde: agiver udfaldet af Y ~ Bi(, p), hvor er atallet af udtræiger og p er sadsylighede for succes i hver af de udtræiger. ig, osv. op til X. De stoastise variabel, Y, der t af succeser i de udtræiger, siges da at være ed paraetree og p. Vi sriver det på følgede Esepel 6.4: Hvis vi slår plat eller roe fe gage og defierer de stoastise variabel Y (,p), hvor er atallet af udtræiger og p er Plat og roe so atallet af roer i de fe forsøg, så er Y bioialfordelt ed 5 og for succes i hver af de udtræiger. del p ½: Y ~ Bi(5, ½). Hvis vi slår plat eller roe fe gage og defierer de bel Y so atallet af 'roer' i de fe forsøg, så er Y ed 5 og p ½: Y ~ Bi(5, ½). [Esepel slut] ialfordelt ed paraetree og Hvis p, så Y betyder er bioialfordelt det, at ed paraetree og p, så betyder det, at Y a ærdiere 0, 1,,,. Mere specifit, atage så værdiere atager Y 0, 1,,,. Mere specifit, så atager Y værdie 0, hvis ige i af e de succes, udtræiger dvs. resulterer i e succes, dvs. hvis X 1 0, X 0,, ige af de udtræiger resulterer 0,, X 0. Deriod atager X Y værdie 0. Deriod, hvis atager Y værdie, hvis alle de udtrue er succeser: X 1 1, er succeser: X 1 1, X 1,, X 1. 1, Vi, a X derfor 1. Vi a derfor geerelt srive Y so: Y X 1 + X + + X Y so: Y X 1 + X + + X X i 1 i. De værdi, Y atager, er således lig ed atallet af succeser i de udtræiger, dvs. sue af X. De værdi, ledes lig ed atallet af succeser i de udtræiger, i ere. 1 X i ere. 1 Bioialfordelige freoer altså so fordelige af e su af uafhægige af Beroullifordelte e su af stoastise variabler. So vi sal se seere, så er ige freoer altså so fordelige roullifordelte stoastise variabler. de So yderst vi avedelig, sal se år a fx udarbejder eigsåliger for ja/ejvalg (so fx udarbejder fx e EU-afsteig) eller efterspørgselsprogoser for øb/ie- de yderst avedelig, år a er på ja/ej-valg (so fx e EU-afsteig) øb e vare. eller I disse tilfælde udvælger a e stiprøve fra e Beroullipopulatio I disse beståede tilfælde af ete ja- og ej-sigere eller øbere og ie-øbere. rogoser for øb/ie-øb af e vare. e stiprøve fra e Beroullipopulatio Vi agler beståede iidlertid af at fide e forel for sadsylighedsfordelige for -sigere eller øbere og ie-øbere. Y. Næste esepel viser, hvorda dee forel a opbygges. iidlertid at fide e forel for fordelige for Y. Esepel Næste 6.5: esepel Forestil viser, dig, hvorda at vi slår plat eller roe to gage, og lad Y være atallet af roer a opbygges. Plat og roe i de to ast. Da er Y bioialfordelt ed og p ½, dvs. Y ~ Bi(, ½). Lad Forestil dig, at vi slår plat eller roe to gage og lad Y del X i være udfaldet af det i te ast, således at X 1 1, hvis det første ast bliver 'roer' i de to ast. Da er Y bioialfordelt ed og p roe, og X 1 0, hvis det bliver plat, og tilsvarede for X. Da er Y lig ed sue af X 1 og X : Y X 1 + X. Fordi de to ast er uafhægige, så ved vi edvidere fra apitel 4, at deres siultae sadsylighed, f(x 1, x ), er lig ed pro- også, hvorfor det er hesigtsæssigt at ode de to ulige udfald 1 i stedet for fx 1 og 17. dutet af de argiale sadsyligheder, f X1 (x 1 ) og f X (x ), dvs: f(x 1, x ) f X1 (x 1 ) f X (x ). Sadsylighede for at slå to gage roe er lig ed sadsylighede for at slå roe i det første slag gaget ed sadsylighede for roe i det adet slag osv. De forsellige ulige udfald af esperietet ed tilhørede sadsyligheder og værdier a a derfor saefattes i følgede tabel: 1. Dette illustrerer også, hvorfor det er hesigtsæssigt at ode de to ulige udfald for X i so 0 og 1 i stedet for fx 1 og 17. 16 Idbli i statisti for safudsvidesab
Tabel 6.1 Sadsyligheder for to gage plat og roe X 1 X Sadsylighed Y 1 1 0 0 1 0 1 0 p p ½ ½ ¼ p (1 p) ½ ½ ¼ (1 p) p ½ ½ ¼ (1 p) (1 p) ½ ½ ¼ 1 1 0 Lad sadsylighedsfutioe for Y være (y). De a da srives so: () ¼ (1) ¼ + ¼ ½ (0) ¼ Sadsylighede for Y 1 er lig ed sue af to sadsyligheder fra tabel 6.1, idet der er to obiatioer af udfald af X 1 og X, der begge giver Y 1, elig hvis a først slår plat og deræst roe eller først roe og deræst plat. Esepel 6.5 illustrerer, at sadsylighedsfordelige for Y afhæger af det atal situatioer, der a lede til det sae atal succeser i udtræiger. Dette aldes også atal obiatioer i statisties verde. Vi a altså sige, at hvis Y ~ Bi(, p), så er (y), hvor y er et helt tal, givet ved: (y) atal obiatioer af værdier af X i ere der giver Y y sadsylighede for e såda obiatio. Esepel 6.6: Faultet! I esepel 6.5 er der to obiatioer af værdier af X 1 og X, so giver Y 1. sadsylighede Sadsylighede for for e såda hver af obiatio. disse obiatioer er (½). Derfor er (1) I Esepel (½) 6.5 ½. er der to obiatioer af værdier af X 1 og X, so giver Y 1. Sadsylighede for hver af disse obiatioer er (½). Mere geerelt a vi fide atallet af obiatioer, der giver succeser i Derfor er f(1) (½) ½. udtræiger, ved hjælp af følgede forel: Mere geerelt a vi fide atallet af obiatioer, der giver succeser i udtræiger, ved hjælp af følgede forel:! Bioialoefficiete: Bioialoefficiete:! (! ( )! hvor! udtales faultet og bereges so:! (-1) (-) 1. hvor! udtales faultet og bereges so:! ( 1) ( ) 1. Esepel 6.6: 4! 4 1 4 og! 1 og 0!1. Det sidste er e defiitio. [Esepel slut] 4! 4 1 4 og! 1 og 0!1. Det sidste er e defiitio. Esepel 6.7: I esepel 6.5 fadt vi, at der var to åder, hvorpå a ue få é roe ( 1) i to forsøg ( ). Lad os otrollere, at forle også giver os dette:! 1 (!1 )!1 [Esepel slut] Populære fordeliger 17 Esepel 6.8: 4!4 4 6 4(! )!
Esepel 6.7: Plat og roe del 4 Esepel 6.8: Bioialoefficiete 1. 1. 1. 1. 1. Esepel Esepel 6.6: 6.6: 4! 4! 44 1 4 4 og og!! 1 og og 0!1. Det sidste er er e e defiitio. Esepel defiitio. [Esepel 6.6: [Esepel 4! 4! 4! 4 4 4 slut] slut] 1 1 1 4 4 4 og og og!!! 1 1 1 og og og 0!1. Det sidste er e e e e defiitio. 6.7: [Esepel I slut] Esepel 6.7: I esepel 6.5 6.5 fadt vi, vi, at at der var to åder, hvorpå a ue ue Esepel få få é é roe 6.7: I I ( I ( esepel 1) 1) i i to to 6.5 forsøg fadt ( ( vi, vi, vi, at ). at at der Lad var var os to otrollere, to to åder, hvorpå at forle a ue få få få é é é roe ( ( ( 1) 1) 1) i i to i to to forsøg ( ( ( ). ). ). Lad os os os otrollere, at at at forle I esepel 6.5 fadt vi, at også også der giver giver var os to os åder, dette: hvorpå a ue få é roe ( 1) i to forsøg ( ). også Lad os giver otrollere, os os os dette: at forle også giver os dette:! 1! 1 (!1 )!1 1 1 1 [Esepel 1 1! ((!1 slut] 1)! )!1 1 1 [Esepel Esepel 6.8: slut] Esepel 6.8: 4 4!4 4 6 4 4 4 4!4 4 4! (4(! )! )! 6 Dvs. der der 4(! er er 6 ) 6 åder,! hvorved a a udtræe to succeser i fire udtræiger, Dvs. der er er fx er fx 66 6 åder, gage roe hvorved i i fire a ast a ed udtræe e øt. to to E to succeser åde ue i i i fire udtræiger, være: plat-roe-plat-roe, fx fx fx gage roe e e ade: i i i fire plat-plat-roe-roe. ast ed e e e øt. E Opsriv E E åde selv ue de 6 være: 6 forsellige plat-roe-plat-roe, obiatioer. e [Esepel e ade: slut] plat-plat-roe-roe. Opsriv selv de de d 66 Bioialoefficiete 6 forsellige obiatioer. er vores [Esepel geerelle slut] forel til at berege atallet af Bioialoefficiete af obiatioer i i udtræiger, vores geerelle der giver forel succeser. til til til at at at berege Så agler atallet vi blot af af blot af obiatioer fide fide sadsylighede i i i udtræiger, for hver der af giver disse succeser. obiatioer. Så Så Så agler Da de vi vv eelte blot eelte at at at fide eleeter sadsylighede er er udvalgt uafhægigt, for hver af af så så af disse ved vi, obiatioer. sadsylighede Da de de d for eelte for give give eleeter obiatio er er er udvalgt uafhægigt, X i ere i ere er er så lig så så ved ed vi, vi, vi, produtet at at at sadsylighede af deres argiale for argiale e e e give sadsyligheder. obiatio af af af X i i ere i er er er lig lig ed produtet af af af deres argiale sadsyligheder. Dvs. der er ses åder, hvorpå a a udtræe to succeser i fire udtræiger, fx gage roe i fire ast ed e øt. E åde ue være: plat-roe-plat-roe, e ade: plat-plat-roe-roe. Opsriv selv de ses forsellige obiatioer. Bioialoefficiete er vores geerelle forel til at berege atallet af obiatioer i udtræiger, der giver succeser. Så agler vi blot at fide sadsylighede for hver af disse obiatioer. Da de eelte eleeter er udvalgt uafhægigt, så ved vi, at sadsylighede for e give obiatio af X i ere er lig ed produtet af deres argiale sadsyligheder. Esepel 6.9: Sadsylighede for at slå plat-plat-roe-roe i fire (uafhægige) ast Plat og roe ed e øt er således ½ ½ ½ ½ (½)4. Esepel 6.9: Sadsylighede for at slå plat-plat-roe-roe i fire del 5 (uafhægige) ast ed e øt er Esepel således ½ 6.9: 6.9: ½ ½ Sadsylighede ½ (½)4. [Esepel for for for at at at slå slå slå plat-plat-roe-roe i i fir i slut] (uafhægige) ast ed e e e øt er er er således ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ (½)4. [Esepe Esepel 6.: Hvis vi træer fe uafhægige slut] gage fra e Beroullipopulatio ed p Esepel 6.: Hvis vi træer fe uafhægige gage fra e Kobiatiossadsylighed sidst é succes givet ved: 0, 0, (1-0,) (1-0,) p 0, (0,) så er (1-0,) 5-. 0,, så er sadsylighede for først at få to succeser, deræst to fiasoer og til Beroullipopulatio ed p 0,, så Esepel er sadsylighede 6.: Hvis vi vi for vi først træer at få fe fe to uafhægige gage fra fra frae succeser, deræst to fiasoer og Beroullipopulatio til sidst é succes givet ed p ved: p 0,, så så 0, er er (1- sadsylighede for for for først at at at få fåf 0,) (1-0,) 0, (0,)(1-0,)5- succeser,. [Esepel deræst slut] to to to fiasoer og og og til til til sidst é é é succes givet ved: 0, 0, 0, 0, 0, 0, (1 0,) (1-0,) 0, 0, 0, (0,)(1-0,)5-... [Esepel slut] Geerelt er sadsylighede for e give obiatio af succeser Geerelt er sadsylighede for give obiatio af succeser og og - fiasoer i uafhægige Geerelt udtræiger sadsylighede givet ved forle: e p(1- give obiatio af af af succese fiasoer i uafhægige udtræiger og givet i ved forle: p (1 p), hvor p p)-, hvor p er sadsylighede og og - - for succes fiasoer i hver i uafhægige udtræig. udtræiger Vi a givet ved forle: p(1 p er sadsylighede for succes i hver udtræig. p er Vi a derfor srive i sadsylighede for, at Y er lig ed, so følger: derfor srive sadsylighede p)-, for, at hvor Y er p lig p er er ed sadsylighede so følger: for succes i i hver udtræig. Vi Vi Vi a derfor srive sadsylighede for, at at at er Y er lig er lig lig ed so følger: fy ( ) p (1 p) fyfy( f( Y) () ) p pp(1 (1 p) p) hvor hvor er atallet af obiatioer, der giver succeser, og p er atallet af obiatioer, der giver succeser, og p(1- (1 p) er sadsylighede for hver af disse p)- er sadsylighede for hvor hver er obiatioer. af er er disse atallet obiatioer. af af af Dette obiatioer, sadsylighedsfutioe for e Bi(, p) Dette der der giver succeser, og og og p(1 p sadsylighedsfutioe for stoastis p)- e er er Bi(,p) er variabel, sadsylighede Y. Beær, stoastis for for for variabel, at hver hvis af af af er lig Y. disse ed obiatioer. Dette e Beær, at hvis er lig ed sadsylighedsfutioe fx 0, så a Y atage for 1 for for forsellige e e e Bi(,p) stoastis variabel, Y 18 Idbli i statisti for safudsvidesab værdier, hver ed 1 forsellige Beær, sadsyligheder. at at at hvis er er er lig lig Me ed fx fx vi fx behøver 0, så så så a Y atage 1 forsellig u at ede og p for at bruge værdier, forle hver ovefor ed 1 til forsellige at udrege sadsyligheder. alle Me vi vi vi behøve disse 1 sadsyligheder. u at at at ede og og og p p for p for for at at at bruge forle ovefor til til til at at at udrege all a Vi a også berege besrivede disse ål 1 for sadsyligheder. e bioialfordelt variabel ligeso i apitel 4. Her udytter Vi Vi Vi a vi, også at Y berege e su besrivede af uafhægige ål for for for e e e bioialfordelt variabe ligeso i i i apitel 4. 4. 4. Her udytter vi, vi, vi, at at at Y er er er e e e su af af uafhægig
fx 0, så a Y atage 1 forsellige værdier, ed tilhørede 1 forsellige sadsyligheder. Me vi behøver u at ede og p for at bruge forle ovefor til at udrege alle disse 1 sadsyligheder. Vi a også berege besrivede ål for e bioialfordelt variabel ligeso i apitel 5. Her udytter vi, at Y er e su af uafhægige stoastise variabler: Y X 1 + + X. Dered er iddelværdie a givet ved: E(Y) E(X 1 + + X ) E(X 1 ) + + E(X ) p + + p p es variase a er: V(Y) V(X 1 + + X ) V(X 1 ) + + V(X ) p (1 p) + + p (1 p) p (1 p) Variase af X 1 + + X er her blot lig ed sue af de eelte variaser, idet X i ere er uafhægige og ovariasere dered ul, jf. regereglere i apitel 5. Vi opsuerer bioialfordelige i e bos: Bioialfordelige, Y ~ Bi(, Y ~ ~ p) ~ Bi(, p) p) p) Bioialfordelige, Y ~ Y ~ ~ Bi(, p) p) p) Sadsylighedsfutio: Bioialfordelige, ~ Bi(, p) YfY ( fy ( ) ( ) ) ppp(1 (1 (1 pp) p) ), 0, 1,,, Sadsylighedsfutio: fy f( Yf( Y) (, ), ), 0, p0, 1, 1, p(1 1, p, (, (1, p ) p ) p ) Middelværdi f Y ( ) (1 ), 0, 1,,, og varias: Sadsylighedsfutio: Middelværdi og og og varias: E(Y) E( Y( Y () Y) ) p og p pv(y) pog og og V ( Y( Y( ) p Y) ) (1 p p) p(1 (1 (1 pp) p) ),, 0, 0, 1, 1,,,,, Sadsylighedsfutio: og E( Y) p og, V ( 0, Y) 1,,, p (1 Fortolig: Y agiver Y Middelværdi agiver atal succeser atal og og bladt succeser varias: EE( Y( Y) ) p p og og VV( Y( Y) ) pp (1 p) p) uafhægige bladt udtræiger uafhægige fra e Middelværdi og varias: E( Y) p og V( Y) p(1 p) Beroullipopulatio, udtræiger fra fra hvor Fortolig: e e e der Beroullipopulatio, ostat Y Y sadsylighed agiver hvor atal p der for succeser er er er ostat i hver bladt udtræig. sadsylighed Fortolig: p p for p for udtræiger succes Y agiver i i i hver fra fra udtræig. fra atal e e e succeser Beroullipopulatio, bladt hvor uafhægige der der der er er ostat uafhægige udtræiger sadsylighed fra e p Beroullipopulatio, p for p for for succes i i i hver udtræig. hvor der er ostat Esepel sadsylighed 6.11: Hvad p er er for er sadsylighede succes i hver for udtræig. for for tre tre tre gage roe i i i esepel Esepel 6.11: Hvad 6.4, er hvor sadsylighede Y Y ~ Y ~ ~ Bi(5, ½)? Esepel for tre 6.11: gage Hvad er roe er er sadsylighede i esepel for for 6.4, for tre tre tre hvor gage Y ~ roe i i i esepel Plat og roe Bi(5, ½)? Esepel 5 5 5 6.4, 6.4, 6.11: 6.4, hvor hvor Hvad Y Y ~ Y ~ ~ er Bi(5, sadsylighede ½)? ½)? for tre gage roe i esepel 55 5 () () 6.4, hvor 0,5 Y (1 (1~ (1 Bi(5, 0,5) ½)? 0,15 del 6 55 5 55 5 Middelværdie og 5 og f () Y variase f() Y () af 0,5 af 0,5 a 0,5 Y er (1 Y er (1 er i i (1 0,5) dette i 0,5) tilfælde: 0,15 5 () 0,5 (1 0,5) 0,15 EY ( ( () ) ) 5 5 5 0,5,5 og Middelværdie og og VY ( ( () ) ) 5 og 55 og 0,5 og (1 variase (1 (1 0,5) af af Y 1, af 1, Y er 5 1, Y 5 er 5 i er i i dette tilfælde: Middelværdie og variase a er i dette tilfælde: [Esepel Middelværdie slut] og variase a er i dette tilfælde: EY ( EY ()( ) ) 5 50,5 5 0,5 0,5,5,5,5 og og og VY ( VY ()( ) ) 5 5 50,5 (1(1 (1 0,5) 0,5) 1, 1, 5 1, 5 5 Esepel EY ( ) 6.1: 5 0,5 Forestil,5 dig, at og at at vi vi vi slut] VY har ( et et ) et selsab 50,5 på på (1 på syv 0,5) persoer. 1, 5 Hvad er er er [Esepel slut] sadsylighede for, at at at to to to af af af de de de syv persoer er er er født på på på e e e adag? Hvis de de de [Esepel slut] syv persoers fødselsdage Esepel er er er uafhægige 6.1: Forestil (altså dig, dig, dig, ige at at vi at har tvilliger har har et et et i i selsabet), i på på syv på syv syv persoer. Hvad er er er Esepel 6.1: Forestil så så så a dig, hver Esepel at vi eelt har perso 6.1: et sadsylighede selsab Forestil ses so på dig, e for, e syv for, e for, udtræig at at persoer. to vi at to har af to af de af et de fra syv de fra selsab fra syv e Hvad syv e e Beroullipopulatio persoer på syv sadsylighede født persoer. født på på e på e Hvad e adag? er Hvis Hvis de de de af af af adagsfødte for, at to af sadsylighede de syv persoer syv og og og for, ie-adagsfødte. født at to på af de e syv adag? persoer p p p Hvis er 1/7 1/7 født å å de på syv e da da da persoers adag? være Fødselsdag på syv syv persoers fødselsdage uafhægige (altså ige fødselsdage variabel er uafhægige (altså ige tvilliger i selsabet), så a hver eelt tvilliger Hvis de i i i selsabet), sadsylighede syv persoers for så for så for at a så at a fødselsdage at a træe hver hver eelt adagsfødt er uafhægige perso ses ses (e ses so succes). (altså so e e ige De udtræig tvilliger stoastise fra fra e fra i selsabet), e e Beroullipopulatio e adag så Y, a Y, Y, der hver af agiver af eelt af adagsfødte perso atallet af ses af af adagsbør so og og og e udtræig ie-adagsfødte. i i i selsabet, fra e er Beroullipopulatio p derfor p p 1/7 1/7 1/7 å å å da da da være perso bioialfordelt ses af so adagsfødte e ed udtræig 7 7 og 7 og og p og p fra p 1/7. ie-adagsfødte. e Dered for Beroullipopulatio bliver sadsylighede at e p af 1/7 adagsfød- for, (e å at at at sadsylighede for for at at træe e e adagsfødt (e (e succes). De være De stoastise to to to persoer i i selsabet i er er er født e e e adag givet ved: sadsylighede variabel for Y, at Y, Y, der træe der der agiver e adagsfødt atallet af af (e af adagsbør succes). De i i stoastise i selsabet, er er derfor variabel 7 7 7Y, der bioialfordelt agiver ed atallet ed 7 af 7 og 7 og adagsbør Populære p og p p 1/7. 1/7. fordeliger Dered i selsabet, bliver sadsylighede er 19 derfor for, for, for, at at at 77 7 ( (( bioialfordelt ) ) ) (1/ to (1/ (1/ 7) 7) 7) ed (1 (1(1 1/ 1/ 1/ 7) i 7) 7) og p 0,198 er 1/7. født Dered e bliver sadsylighede ved: for, at to to persoer i i selsabet er er født e e adag givet ved: to persoer i selsabet er født e adag givet ved: Hvad er er er u u u sadsylighede 7for, 7at 7at at idst to to to har fødselsdag e e e adag? 77 7 Dee sadsylighed ( ( 7er ( er er lig ) lig ) lig ) ed 1 1 (1/ 1 ius (1/ 7) (1/ 7) 7) (1sadsylighede (1/ 1/ 7) 1/ 7) 7) for, 0,198 at at at højest é é é 7 har fødselsdag ( ) e e e adag. (1/ 7) Dvs: ( 1/ 7) 0,198 Hvad er er u er u u sadsylighede for, for, for, at at at idst to to har to har har fødselsdag e e e adag? ( (( ) ) Hvad ) 1 1 1 er ( ( u ( Dee sadsylighede 1) 1) 1) 1 1 1 ( (( 1) 1) 1) for, er er ( lig ( at er ( lig ed idst lig 0) 0) 0) ed 1 1 to 1 har ius fødselsdag sadsylighede e adag? for, for, for, at at at højest é é é
EY Middelværdie ( EY ()( ) ) 5 5 og 0,5 5 og og 0,5 og og,5 variase,5 og og af og a a af er ( Y af VY er Y ( er i () Y er i ) dette i er ) i 5 5i 0,5 5 dette 0,5 (1 tilfælde: (1 (1 0,5) 1, 1, 5 1, 5 5 EY ( ( EY )( EY )( ) ( 5) 5 ) 5 [Esepel 0,5 5 50,5 0,5,5 slut],5 slut] og,5 og og og og VY ( ( () VY () ) ( 5) 5 ) 5 0,5 5 0,5 (1 0,5 (1 (1 (1 0,5) (1 0,5) 1, 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 5 [Esepel slut] slut] slut] 6.1: Forestil dig, dig, at at vi at vi har vi har et et et selsab på på på syv syv persoer. Hvad er er er sadsylighede for, for, at at to at to af to af de af de de syv syv persoer er er født født på på på e e e adag? Hvis de de de Esepel 6.1: 6.1: Forestil dig, dig, at dig, at vi at vi at har vi at har vi har vi har et et har et et et selsab på på på på syv på syv syv persoer. Hvad Hvad er er er er er syv syv persoers fødselsdage er er er uafhægige (altså ige tvilliger i i i selsabet), sadsylighede for, for, for, at for, at for, to at to at af to at af to de af to de af de af de syv de syv syv persoer er født er født på født på på e på e på e e e adag? Hvis de Hvis de de de de så så så a a hver eelt perso ses ses so e e e udtræig fra fra fra e e e Beroullipopulatio syv syv syv persoers fødselsdage er er er er er uafhægige (altså (altså ige ige tvilliger i i i i i selsabet), af af af adagsfødte og og og ie-adagsfødte. p p p 1/7 1/7 å å da da da være så så så så a så a hver a hver eelt eelt perso ses ses so ses so e so e e e e udtræig fra fra fra e fra e fra e e e Beroullipopulatio sadsylighede for for for at at at træe e e e adagsfødt (e (e succes). De De stoastise af af af af af adagsfødte og og og og og ie-adagsfødte. p p p p p 1/7 1/7 1/7 1/7 å 1/7 å å å da å da da da da være være variabel Y, Y, Y, der der agiver atallet af af af adagsbør i i i selsabet, er er er derfor sadsylighede for for for at for at for at at at træe e e e e e adagsfødt (e (e (e (e (e succes). De De De stoastise bioialfordelt ed 7 7 og 7 og og p p p 1/7. 1/7. Dered bliver sadsylighede for, for, at at at variabel Y, Y, Y, der Y, der Y, der der der agiver atallet af af af af af adagsbør i i i i i selsabet, er er er derfor derfor bioialfordelt ed ed 7 7 og 7 og 7 og p 7 og p og p p 1/7. p 1/7. 1/7. Dered bliver bliver sadsylighede for, for, for, for, at at for, at at at to to to to to persoer i i i i i selsabet 77 7er er født er er født e født e e e e adag givet givet ved: ved: ved: 77 7 ( (( ) ) ) (1/ (1/ 7) 7) 7) (1 (1 (1 1/ 1/ 1/ 7) 7) 7) 0,198 7 7 7 7 77 7 7 7 ( ( ( ( ) ( ) ) ) (1/ 7) 1/ 7) Hvad ) er 7) (1 1/ 7) er (1/ 7) (1 1/ 7) 0,198 u (1/ u (1/ 7) 7) (1 (1 1/ 1/ 7) 7) 0,198 sadsylighede for, for, at at at idst to to har to har fødselsdag e e e adag? Dee sadsylighed er er er lig lig lig ed 11 1 ius sadsylighede for, for, at at at højest é é é Hvad Hvad er er er u er u u er u u sadsylighede for, for, for, for, at at for, at at at idst to to har to har to har to har har fødselsdag e e e e e adag? har har fødselsdag e e e adag. Dvs: Dee sadsylighed er er er er lig lig er lig ed lig 1 ed 1 1 ius 1 1 ius sadsylighede for, for, for, for, at at for, at at højest at højest é é é é é har har har har har ( fødselsdag (( ) e ) e ) e 1 e 1 e 1 adag. ( (( Dvs: 1) 1) 1) Dvs: 1 1 1 ( (( 1) 1) 1) ( (( 0) 0) 0) te og ie-adagsfødte. p 1/7 å da være sadsylighede for at træe e adagsfødt (e succes). De stoastise variabel Y, der agiver atallet af adagsbør i selsabet, er derfor bioialfordelt ed 7 og p 1/7. Dered bliver sadsylighede for, at to persoer i selsabet er født e adag givet ved: to to to persoer i i i selsabet er er født er født e e e adag givet ved: Hvad er u sadsylighede for, at idst to har fødselsdag e adag? Dee sadsylighed er lig ed 1 ius sadsylighede for, at højest é har fødselsdag e adag. Dvs: ( ( ( ( ) ( ) ) ) 1 ) 1 1 1 ( 1 7( ( 7 7 ( 1) ( 1) 1) 1) 1 1) 1 1 1 ( 1 ( ( ( 1) ( 1) 1) 1) 1) 7( ( 7 7( ( 0) ( 0) 0) 0) 0) 1 1 (1/ (1/ 7) 7) 7) (1 (1 (1 1/ 1/ 1/ 7) 7) 7) (1/ (1/ 7) 7) 7) (1 (1 (1 1/ 1/ 1/ 7) 7) 7) 77 77 71 1 0 71 7 0 1 1 1 1 771 71 17 177 77 00 0 0 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 (1/ 7) 7) (1/ 7) 1/ 7) 1 7) (1 7) 0, 40 0, 6 (1/ 7) (1 7) 1 (1/ 7) (1 1/ 7) (1/ 0, (1/ 7) 7) (1 (1 1/ 1/ 7) 7) 0, 40 40 0,4 0, 0, 6 06 (1/ (1/ 7) (1/ 7) (1 7) (1 (1 1/ 7) 1/ 7) 7) 11 1 00 00 1 1,, 1 40 0, 40 0, 40 0, 40 40 0,4 0,4 6 0, 6 0, 6 0, 6 6 1 11 771 71 1 0 00 7 77 Beær, at hvis Beroulliesperietet foregår ved, at vi træer fra e edelig populatio, fx udvælger e elev fra e lasse, så betyder atagelse o uafhægighed elle de eelte udtræiger, at vi å træe ed tilbagelægig, for at de eelte udtræiger a blive uafhægige. Dvs. år vi har truet de første elev og observeret, o vedoede er e pige (succes) eller e dreg (fiaso), så å vi lægge persoe tilbage i populatioe, før vi træer ige. I pricippet har vi derfor ulighed for at træe de sae perso to gage. Hvad ville der se, hvis vi ie lagde persoe tilbage? Atag, at de første perso, vi udtræer, er e succes (e pige). Hvis ie vi ie lægger hede tilbage, betyder det, at adele af tilbageværede piger i lasse u er blevet idre. Hvis der fx til at starte ed var 5 piger og 5 drege, så er der u u 4 piger tilbage. Det betyder, at sadsylighede for at træe e pige i ade ogag er blevet idre. De er u u 4/9, hvor de før var 5/. Derfor å vi ræve, at der foregår tilbagelægig af de udtrue eleeter, år vi træer fra e edelig populatio, hvis Y sal være bioialfordelt. Hvis ie vi gør det, så eder vi i stedet i de hypergeoetrise fordelig, so vi sal igge på o et øjebli. 6. De hypergeoetrise fordelig De hypergeoetrise fordelig er tæt relateret til bioialfordelige. De freoer, år a udtræer eleeter til e stiprøve fra e virelig Beroullipopulatio ude tilbagelægig. Dvs. det sae eleet i popula- 140 Idbli i statisti for safudsvidesab
Esepel 6.1: Kvalitetsotrol tioe a højst blive udvalgt é gag. Sadsylighede for at træe e succes (eller e fiaso) ædrer sig derfor udervejs, fordi atallet af tilbageværede succeser (og fiasoer) i populatioe ædres, efterhåde so eleetere udvælges. Forestil dig, at at at vi vi vi træer gage ude tilbagelægig fra e e Forestil dig, at vi træer populatio gage ed ude N tilbagelægig eleeter, hvoraf fra e M e populatio er er er succeser og N-M er er er ed populatio N eleeter, ed N hvoraf eleeter, M fiasoer. succeser hvoraf Hvis M vi og vi vi lader N succeser M Y er agive fiasoer. og det N-M Hvis salede er vi lader atal Y succeser i i de i de agive fiasoer. det Hvis salede vi lader atal Y succeser udtræiger, agive det i de salede så så udtræiger, så siges atal Y succeser at at at så være siges i de hypergeoetris Y at være hy- fordelt ed pergeoetris udtræiger, fordelt så siges ed Y paraetree at være, hypergeoetris,, M,, M, og og N. N. Vi fordelt Vi sriver ed da, da, at at at at Y Y ~ ~ Hyp(, M, N). Hyp(, paraetree M, N)., M, og N. Sadsylighedsfutioe Vi sriver da, for at Y, Y dvs. ~ for Hyp(, Y, dvs. M, sadsylighede N). for at for at at at træe træe Sadsylighedsfutioe succeser i de forsøg, succeser Y, er dvs. i givet i de i de sadsylighede i forsøg, de følgede er er er givet for i bos: i i de at træe følgede bos: succeser i de forsøg, er givet i de følgede bos: Hypergeoetris fordelig, Y ~ Hyp(, M, N) Hypergeoetris fordelig, fordelig, Y ~ Hyp(, Y ~ Hyp(, M, N) M, N) M N M MN M fy ( ) f Y ( ) f Y ( ) Sadsylighedsfutio: fy ( ), 0, 1,,, N M N Sadsylighedsfutio:,,, 0, 0, 0, 1, 1, 1,,,,, M Sadsylighedsfutio: Middelværdi, 0, 1,,, og M varias: Middelværdi og varias: Middelværdi og varias: ( () ) M ( () ) M N M N E ( Y ) og V ( Y ) M M N M N E( Y ) og V ( Y ) N N N N 1 N N N N 1 Fortolig: Y agiver atal Fortolig: succeser i udtræiger Y agiver ude atal tilbagelægig succeser i i i fra udtræiger e ude Fortolig: virelig Beroullipopulatio Y agiver tilbagelægig atal ed N succeser eleeter, fra i e e heraf virelig udtræiger M ed Beroullipopulatio egesabe ude succes. ed N eleeter, tilbagelægig fra e virelig heraf Beroullipopulatio M ed egesabe ed succes. N eleeter, heraf M ed egesabe succes. Beær, at vi aldrig a træe Beær, ere at at at vi vi vi ed aldrig M succeser a træe (atallet ere ed af succeser M succeser i (atallet af af af populatioe). Beær, vi Derfor aldrig a er succeser sadsylighede træe i ere i i populatioe). ed for M succeser Y Derfor > M lig er (atallet er er ed sadsylighede ul. af Beær for Y>M lig ed succeser i populatioe). Derfor er sadsylighede for Y>M lig ed også, at M/N er adele af ul. succeser Beær i populatioe også, M/N til er er er at adele begyde af af af succeser ed. Hvis i i i populatioe vi til til til at at at ul. Beær også, at M/N er adele af succeser i populatioe til at derfor i stedet havde truet begyde ed tilbagelægig, ed. Hvis vi vi ville derfor Y være i i bioialfordelt i stedet havde truet ed begyde ed. Hvis vi tilbagelægig, derfor i stedet ville Y havde være bioialfordelt truet ed ed p M/N. ed p M/N. tilbagelægig, ville Y være De bioialfordelt hypergeoetrise ed p fordelig M/N. a a bruge i i i forbidelse ed fx fx fx De hypergeoetrise fordelig a a bruge i forbidelse ed fx e De hypergeoetrise fordelig e e valitetsotrol. a a bruge Det i æste forbidelse esepel ed illustrerer fx dette: valitetsotrol. e valitetsotrol. Det Det æste æste esepel esepel illustrerer illustrerer dette: dette: Esepel 6.1: Lad os os os atage, at at at e e virsohed har produceret N Esepel 6.1: Lad os atage, asier, at e hvoraf virsohed M er har er er defete. produceret Virsohede N ved dog ie, at at at tre af af af asiere er er er defete. Da valitetsotrol er er er ostbart, besteer virsohede at at at udvælge tre asier, so de tester for defeter. Lad Y være atallet af af af succeser (her defete asier) i i de i de tre udtræiger. Da udtræige ser ude tilbagelægig (der er er er ige idé i i at i at at udersøge de sae asie to to to gage), så så så er er er Y hypergeoetris fordelt ed E asier, virsohed hvoraf har M produceret defete. N Virsohede asier, ved dog hvoraf ie, M at tre af er defete. Virsohede asiere er ved defete. dog ie, Da valitetsotrol at tre af asiere ostbart, er defete. besteer Da valitetsotrol er ostbart, besteer virsohede at udvælge tre asier, so virsohede at udvælge tre asier, so de tester for defeter. Lad Y være atallet af succeser (her defete asier) i de tre udtræiger. Da de udtræige tester for ser defeter. ude tilbagelægig Lad Y være atallet (der er ige af succeser idé i at udersøge (her defete de asier) i sae de tre udtræiger. asie to gage), Da udtræige så er Y hypergeoetris ser ude tilbagelægig fordelt ed (der er ige idé i at udersøge de sae asie to gage), så er Y hypergeoetris fordelt ed paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er: Populære fordeliger 141
14 Idbli i statisti for safudsvidesab paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. Dered er sadsylighede 1 0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ie-forældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y ~ Hyp(4, 7, 19). De forvetede værdi a er da E(Y) M/N 4 7/19 1,47. Vi sal u berege P(Y > 1). Dee sadsylighed å være lig ed 1 P(Y 1) P(Y 0): 1 P(Y 1) P(Y 0) 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1! 1 4 1 0 4 0 6! 1! 9! 0! 8! 4! 1 1 0,475 19 19 19! 19! 4 4 15! 4! 15! 4! Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19 19 19 7! 1 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. Udtræige af vagter bladt de asatte a ses so fire udtræiger fra e Beroullipopulatio ed 7 succeser (forældre) og 1 fiasoer (ieforældre). Hvis vi lader Y agive atallet af forældre bladt de udtrue, så ved vi, at Y~Hyp(4,7,19). De forvetede værdi a er da ( ) / 4 7 /19 1, 47 E Y M N. Vi sal u berege P(Y>1). Dee sadsylighed å være lig ed 1-P(Y1)-P(Y0): 7 19 7 7 19 7 7! 1! 7! 1 7 1 0 7 0 6!1! 1! 6! 7! 0! 1 ( 1) ( 0) 1 1 19! 19 19 7! 1! 7 7 0,475 Der er altså 47,5% sadsylighed for, at ere ed é forælder oer på vagt juleafte. På vagt juleafte paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt juleafte, hvis vagtholdet udvælges tilfældigt bladt de asatte. Af de 19 asatte er der 7 ed idre bør. paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt paraetree, M og N. Sadsylighede for, at valitetsotrolle fider to defete asier, er:! 1! 1! 6!! Dered er sadsylighede 1-0,175 0,85 for, at virsohede oer til at sælge e asie, so er defet elig de asie, so ie blev faget i otrolle. Sadsylighede for, at valitetsotrolle opdager alle tre defete asier er 0,008. Hvis virsohede vil udgå at sede defete asier på aredet, har de altså ie oge god valitetsotrol i dette esepel, da der er over 99% sadsylighed for, at idst é defet asie udgår valitetsotrolle. [Esepel slut] Esepel 6.14: I e virsohed sal a udvælge fire asatte til at tage vagte juleafte. Virsohedes ledelse overvejer, o de sal udvælge de fire persoer tilfældigt bladt de 19 asatte. Dette foreoer uiddelbart est fair, e ledelse vil satidig være ed af, at asatte ed idre bør sal være på arbejde juleafte. De øser derfor at berege risioe (sadsylighede) for, at der oer ere ed é forælder på vagt
6.4 Poissofordelige Bioialfordelige og de hypergeoetrise fordelig freoer, år a tager e stiprøve fra e Beroullipopulatio og udersøger sadsylighede for at få et bestet atal successer. Dette ue fx være e situatio, hvor vi spørger ogle eeser på gade, o de steer ja (X i 1) eller ej (X i 0) til e oede afsteig. Det ue også være, at vi spurgte o de steer (X i 1) eller ie steer (X i 0) ved det foreståede valg, eller o de er gift (X i 1) eller ie gift (X i 0). De stoastise variabel, Y, der agiver atallet af ja-steer i et sådat esperiet, Y X 1 + X + + X, er bioialfordelt, hvis udtræigere er uafhægige, og hypergeoetris fordelt, hvis udtræigere er ude tilbagelægig og dered afhægige. Forstil dig u, at vi er iteresserede i at lave e odel for, hvor age uder, der oer id i e buti. Vi observerer derfor e buti i tier og lader de stoastise variabel, X 1, atage værdie 1, hvis der oer uder id i butie i løbet af de første tie, og værdie 0, hvis der ie gør det. Tilsvarede agiver X, o der oer uder id i løbet af de ade tie. Hvis vi lader Y være lig ed X 1 + X + + X, er Y så bioialfordelt? Ja, hvis: i) udtræigere er uafhægige, dvs. hvis der oer uder i e give tie, så påvirer det ie sadsylighede for uder i de efterfølgede tier; og ii) hvis sadsylighede for at observere uder i hver af de tier er de sae. I så fald er Y bioialfordelt ed og p lig ed sadsylighede for, at der oer uder i løbet af e give tie. Det ue åse være ere iteressat at odellere det salede atal uder i løbet af de tier. Probleet ed bioialodelle er, at X 1 atager værdie 1, uaset o der oer 1 eller 0 uder id i butie de første tie. Dette ue a åse løse ved at for orte tidsitervallere. I stedet for at observere, o der oer uder i løbet af e tie, ue vi lave e observatio hvert iut. Hvis tidsitervallet var et iut, og vi stadig betragtede butie i tier, ville vi træe 600 ( 60 ) gage i stedet for gage fra Beroullipopulatioe. Stadig å vi atage, at udtræigere er uafhægige, og at sadsylighede for at observere uder er de sae i alle 600 tidsitervaller. Naturligvis er sadsylighede for at observere uder i et givet tidsiterval u blevet idre, således at der også er idre risio for at observere ere ed é ude pr. tidsiterval. Dered vil værdie a også være tættere på at agive det fatise atal uder, der oer id i forretige. Der er dog stadig e vis risio for, at ere ed é ude oer id i butie ide for et givet tidsiterval. Hvis vi iidlertid fortsætter ed at Populære fordeliger 14
tidsiterval. Dered vil vil værdie af a også være tættere på på at at agive det det fatise atal uder, der oer id i i forretige. Der er er dog stadig e e vis vis risio for, at at ere ed é é ude oer id butie ide for for det det give tidsiterval. Hvis vi vi iidlertid fortsætte ed at at idse tidsitervallere, idtil de de bliver uedeligt så, så så viv idse tidsitervallere, idtil dee de risio bliver til til uedeligt sidst forsvide. så, så vil Sadsylighede dee risio til for, at at der oe sidst forsvide. Sadsylighede ere for, ed at é é der ude oer id ere i i butie ed é ude i i løbet id af af i et et uedeligt lille butie i løbet af et uedeligt tidsiterval, lille tidsiterval, bliver ul. bliver Dered ul. Dered bliver Y bliver også lig Y lig ed sue a også lig ed sue af uder uder i løbet i i løbet af de af af de de tier. Fordi tier. tidsitervallere Fordi tidsitervallere er er bleve er blevet uedeligt så, å uedeligt vi have uedeligt så, å å vi age vi have tidsitervaller, uedeligt age dvs. tidsitervaller, vi å dvs. vi vi å træe uedeligt age gage, træe for uedeligt at de sal age dæe gage, de for for tier. at at de de Det sal bliver dæe de de tier. De D derfor eget besværligt (uuligt) bliver at derfor rege på eget Y s sadsylighedsfutio besværligt (uuligt) fra at at rege på på Y s Y bioialfordelige. Heldigvis sadsylighedsfutio viser det sig, at sadsylighedsfutioe, fra fra bioialfordelige. Heldigvis viser de d dvs. sadsylighede for at observere uder i løbet af de tier, u a sig, at at sadsylighedsfutioe, dvs. sadsylighede for for a srives so: observere uder i i løbet af af de de tier, u u a srives so: λλ λ λ PP( Y( Y ) ) e e!! hvor λ λ er er det det forvetede atal uder i i løbet af af de de tier. I I dette hvor λ er det forvetede atal uder i løbet af de tier. I dette tilfælde tilfælde siger a, at at Y er er Poissofordelt ed paraetere λ. λ. E E siger a, at Y er Poissofordelt ed paraetere λ. E Poissofordelt variabel agiver altså atallet af Poissofordelt begiveheder (fx variabel uder) agiver i løbet af altså et tidsiterval atallet af af begiveheder (fx ( (fx tier). uder) i i løbet af af et et tidsiterval (fx (fx tier). Ma a således opfatte Ma e Poissofordelt a således opfatte variabel, e e Y, Poissofordelt so atallet variabel af succeser, hvis a igee e succeser, Y, Y, so atallet a tidsperiode hvis træer a igee otiuerligt e e tidsperiode (uafbrudt) fra træer otiuerlig e Beroullipopulatio og (uafbrudt) til sidst lægger fra fra e e atallet Beroullipopulatio af succeser og (hædelser) og til til sidst lægger atallet a sae. Dette er da værdie succeser a. Alterativt (hædelser) a sae. a opfatte Dette det er er da so da værdie e situatio, hvor a træer a af a. Y. Alterativ é gag a fra opfatte e det superpopulatio det so e e situatio, beståede hvor a af forsellige hædelsesatal. Dvs. a træer fx eleetet uder på ti- træer é é gag fra fra ee er. Y er da lig ed. So det forhåbetlig fregår af det oveståede, så er der ogle uderliggede atagelser, so sal være opfyldt, for at vi a odellere e situatio ved hjælp af Poissofordelige. Disse er følgede: i) atallet af hædelser i ie-overlappede tidsitervaller sal være uafhægige (atallet af uder i de ee tie sal være uafhægigt af atallet af uder i de ade tie osv.). ii) sadsylighedere i to lige lage itervaller sal være es (dvs. sae sadsylighed for at observere uder i hver tie). iii) sadsylighede for ere ed é hædelse i et eget ort tidsiterval sal være ul. Esepel 6.15: E hjeeside E iteretvirsohed ved, at der i geesit er fe hits pr. tie på des hjeeside. I forbidelse ed lacerige af et yt produt øser de at berege sadsylighede for, at de år ud til idst uder via des hjeeside i de første tie. Ka de bruge Poissofordelige til dette? 144 Idbli i statisti for safudsvidesab
iii) iii) sadsylighede for for ere ed ed é é hædelse i et i et eget ort tidsiterval sal sal være være ul. ul. Esepel 6.15: 6.15: E E iteretvirsohed ved, ved, at at der der i i geesit er er fire fire hits hit pr. pr. tie tie på på des des hjeeside. I I forbidelse ed ed lacerige af af et et yt yt produt øser de de at at berege sadsylighede for, for, at at de de år år ud ud til til idst 1 uder via via des des hjeeside i i de de første tie. tie. Ka Ka de de bruge Poissofordelige til til dette? Det Det ræver, at at a a ed ed rielighed a atage: i) at i) at atallet af af hits hits i i ie-overlappede tidsitervaller er uafhægige; ii) ii) at at sadsylighedere for for hits hits i to i to lige lige lage tidsitervaller er de de sae; og o iii) iii) sadsylighede for for ere ere ed ed ét ét hit hit i et i et eget ort ort tidsiterval er ul. ul. Det ræver, at a ed rielighed a atage: i) at atallet af hits i ieoverlappede tidsitervaller er uafhægige; ii) at sadsylighedere for hits i to lige lage tidsitervaller er de sae; og iii) sadsylighede for ere ed ét hit i et eget ort tidsiterval er ul. Virsohede vurderer, at dette er rielige atagelser, og at atallet af hits derfor er Poissofordelt. Da det forvetede atal hits pr. tie er 5, er dette værdie af λ. Sadsylighede for præcis hits i løbet af de første tie efter lacerige a da bereges so: Virsohede vurderer, at at dette dette er er rielige atagelser, og og at at atallet af a hits hits derfor er er Poissofordelt. Da Da det det forvetede atal atal hits hits pr. pr. tie tie er er 4, 4, er e dette dette værdie af af λ. λ. Sadsylighede for for præcis hits hits i løbet i løbet af af de de første tie tie efter efter lacerige a a da da bereges so: so: 5 5 5 ( ) e 5 ( ) e 0,018!! For For at at få få sadsylighede for for idst uder sal sal vi vi hertil hertil lægge For at få sadsylighede for sadsylighede idst uder for for 11 11 sal uder, vi hertil sadsylighede lægge sadsylighede for 11 uder, sadsylighede Alterativt a for a 1 uder vi vi osv. Alterativt udrege a P(Y ) so so for for 1 1 uder, osv. osv vi udrege P(Y ) so 1 1 ( P(Y ( 9) 9) ( P(Y ( 8) 8)...... ( ( P(Y 0) 0) 0). Til sidst i.. Til Til sidst sidst i i apitlet sal sal vi vi se, se apitlet sal vi se, hvorledes hvorledes dee sadsylighed dee sadsylighed hurtigt hurtigt a a udreges a udreges i Ex-cel. slut] i Excel. [Esepel slut] Vi opsuerer Poissofordelige i følgede bos: Vi opsuerer Poissofordelige i følgede bos: Poissofordelige, Y ~ Poi(λ) λ λ Sadsylighedsfutio: P( Y () e e λ, 0, 1,, Sadsylighedsfutio:!, 0, 1,, Middelværdi og og varias: varias: E( YE(Y) ) λ λ og og V(Y) V ( Y ) λ Fortolig: Fortolig: Y agiver Y agiver atal atal hædelser hædelser i e i e tidsperiode, tidsperiode, hvor: hvor: λ er det λ er forvetede det forvetede atal atal hædelser hædelser hædelser hædelser i i ie-overlappede tidsitervaller uafhægige er uafhægige sadsylighedere sadsylighedere i to lige i to lage lige lage itervaller itervaller es er es sadsylighede sadsylighede for ere for ere ed é ed hædelse é hædelse i et eget i et eget ort ort tidsiterval tidsiterval er ul. er ul. Esepel 6.16: Bestillig af pizzaer Esepel 6.16: Et pizzeria får i geesit tre bestilliger pr. varter. Det Et pizzeria får i geesit tre bestilliger pr. varter. Det har lovet udere, til at leverig. pizzae Dette er gratis, vil se, hvis hvis der der går i et ere givet varter ed et oer varter ere fra bestillig til har lovet udere, at pizzae er gratis, hvis der går ere ed et varter fra bestillig ed leverig. fe bestilliger. Dette vil Derfor se, hvis øser der pizzeriaejere i et givet varter at berege oer risioe ere for ed fe bestilliger. Hvis vi Derfor atager, øser at Y agiver pizzeriaejere atallet af pizzabestilliger at berege risioe i et varter, for og dette. Hvis vi dette. at atager, Y følger at Y agiver e Poissofordelig, atallet af pizzabestilliger så vil λ. i et Dered varter, bliver og at Y følger e sadsylighedere heholdsvis 0, 1,,, 4, og 5 bestilliger: Poissofordelig, så er λ. Dered bliver sadsylighedere for heholdsvis 0, 1,,, 4 og 5 bestilliger: 0 ( 0) e 0,050, ( 1) e 0,144, ( ) e 0,4, 0! 1!! 4 5 Populære fordeliger ( ) e 0, 4, ( 4) e 0,168, ( 5) e 0,1, 145! 4! 5! Og sadsylighede for ere ed 6 bestilliger a da bereges so:
ed fe bestilliger. Derfor øser pizzeriaejere at at berege risioe for for dette. Hvis vi atager, at at Y Y agiver atallet af af pizzabestilliger i et i i et varter, og og at at Y Y følger e e Poissofordelig, så så vil vil λ λ.. Dered bliver sadsylighedere for for heholdsvis 0, 0, 1, 1,,,,, 4, 4, og og 5 5 bestilliger: 0 0 1 ( ( 0) 0) e e 0,050, ( ( 1) 1) e e 0,149, 0,144, ( ( ) ) e e 0,4, 0! 0! 1! 1!!! 4 4 5 5 ( ( ) ) e e 0, 0, 4, ( ( 4) 4) e e 0,168, ( ( 5) 5) e e 0,1,!! 4! 4! 5! 5! Og sadsylighede for ere ed 5 bestilliger a da bereges so: Og Og sadsylighede for for ere ed 6 6 bestilliger a da da bereges so: P(Y 6) 1 P(Y 0) P(Y 1) P(Y ) P(Y ) P(Y 4) ( ( P(Y 6) 6) 1 5) 1 ( ( 1 0) 0,050 0) ( ( 0,149 1) 1) ( 0,4 ( ) ) 0,4 ( ( ) ) 0,168 ( ( 4) 0,1 4) ( ( 0,084 5) 5) 1 1 0,050 0,144 0, 0, 4 0, 0, 4 0,168 0,1 0,089 Der er således 8,4% sadsylighed for, at ejere i et givet varter å aflevere gratis Der er pizza. er således 8,9% sadsylighed for, for, at at ejere i i et i et givet varter å å aflevere idst e e pizza gratis. [Esepel slut] 6.5 Noralfordelige Fordeligere i afsit 6.1 til 6.4 6.5 6.5 er alle Noralfordelige disrete fordeliger, hvor de stoastise variabel u a atage et tælleligt Fordeligere atal i i værdier. i i afsit 6.1 6.1 6.1 til Noralfordelige, 6.1 til 6.4 til 6.4 til 6.4 er 6.4 er er alle er alle disrete so fordeliger, hvor hvor de ded vi u sal se på, er deriod e fordelig stoastise for variabel e otiuert u u a a stoastis atage et et variabel. et et tælleligt atal atal værdier. Noralfordelige har opået Noralfordelige, si popularitet af so to so vi årsager. vi u vi u vi u sal u For sal se se på, det se på, se på, er første på, er deriod har e e e e fordelig for fo age aturlige størrelser i e e virelige e e otiuert populatioer stoastis e variabel. fordelig, Noralfordelige so liger har har har har opået si si sis oralfordelige, og for det adet, popularitet so af af to af to vi af to sal to årsager. se i For de For det efterfølgede det det det første har har har har apitler, age aturlige størrelser i i er age estiatorer og teststatistier virelige oralfordelte. populatioer e e e e fordelig, so so liger oralfordelige, og og o for for for det for det adet, so so vi vi vi sal vi sal se se i se i se de de i i efterfølgede apitler, er age er estiatorer og og og og teststatistier oralfordelte. Noralfordelige, Y ~ N(µ, σ ) Noralfordelige, YY~ ~ Y YN ~ ( ~ ( N, µσ (,( µσ,),) )) E otiuert stoastis variabel, E E E E Y, otiuert oralfordelt, stoastis hvis variabel de har Y tæthedsfutio: tæthedsfutioe: er Y er er er oralfordelt, hvis hvis de de har har hah 11 11 f ( f y( ) fy )( f y( ) y) ee ee, πσ π, πσ σ πσ * πσ 11y y µ µ 1 y y µ µ σ σ σ σ hvor hvor µ µ µ µ E(Y) E(Y) er er er er iddelværdie og og σ og σ og σ σ V(Y) V(Y) er er er er variase. hvor µ E(Y) er iddelværdie, og σ V(Y) er variase. Tæthedsfutioe for e oralfordelt Tæthedsfutioe variabel, for for for e for Y, e e er e illustreret oralfordelt i figur variabel 6. Y er Y er illustreret i i for forsellige værdier af µ og Figur σ Figur. 6. Ma 6. 6. for 6. for a se forsellige i figure, værdier at grafe µ µ af og for og µ µ σ og tæthedsfutioe afhæger af både µ grafe og σfor. for Middelværdie for tæthedsfutioe ligger idt afhæger i grafe, både både µ µ µ og µ og og og σσ.. σ σog.. σvi σ Vi.. Vi a Vi a se se i se i se i i figure, at at a hvor tæthedsfutioe atager Middelværdie de største værdi. ligger idt Hvis idt i i iddelværdie, i i grafe, hvor hvor tæthedsfutioe µ, er atager høj, så ligger grafe lægere til de højre. de største Der vil værdi. da Hvis være Hvis større iddelværdie, sadsylighed µ, µ, er µ, er µ, er høj, for er høj, så så så så ligger grafe at få større værdier a. Hvis variase lægere til til til til er højre. høj, Der så Der vil vil har vil vil grafe derfor være tyere være større haler, sadsylighed for for for at for at få at få atf dvs. der er større sadsylighed større for at værdier få værdier af a. a. a. af Hvis Y. Y, Hvis so variase ligger er er lagt er høj, er høj, væ så så har så har fra så har har grafe tyere iddelværdie. haler, dvs. dvs. der der der der er er større sadsylighed for for for at for at få at få at få få værdier af a, a, a, so Y, so s ligger lagt lagt væ væ fra fra fra fra iddelværdie. 146 Idbli i statisti for safudsvidesab Figur Figur 6. 6. 6. 6. Tæthedsfutioer for for oralfordelte variabler [Figur 5. 5. 5. i 5. i IIS, i i IIS, side side 95] 95] Hvorda fider vi vi vi vi sadsyligheder i i i i oralfordelige? Hvis H Y ~ YYN ~ ~ ( N µσ (,( µσ,,), ) så, ), så er så er er sadsylighede for for for at at få at få e få e e værdi af a, a, so Y, so er e Y ~ N ( µσ, ), så er sadsylighede for at få e værdi a, so er
Figur 6. Tæthedsfutioer for oralfordelte variabler µ 1, σ 0, 0, 0,1 f(y) µ, σ 1 5 1 0 1 5 7 y Hvorda fider vi sadsyligheder i oralfordelige? Hvis Y ~ N(µ, σ ), så er sadsylighede for at få e værdi a, so er idre ed eller lig ed y, givet ved F(y), hvor F er de uulative sadsylighedsfutio for Y. Grafis set er F(y) lig ed arealet uder tæthedsfutioe til vestre for y so illustreret i figur 6.. Figur 6. Kuulativ sadsylighed i e oralfordelig 0, 0, f(y) µ 1, σ 0,1 F(y 1 ) 5 1 0 1 5 7 y 1 y Det er oplagt, at dette areal vil afhæge af størrelsere af µ og σ. Hvis µ er høj, vil arealet være idre. E højere iddelværdi gør det idre sadsyligt at observere e lav værdi a. Arealet, dvs. de uulative sadsylighedsfutio, a udreges ved at itegrere tæthedsfutioe. Dette er desværre uuligt, da der ie esisterer et aalytis udtry for F(y), år Y er Populære fordeliger 147
oralfordelt. Ved brug af coputersiulatioer a a dog for give værdier af µ og σ siulere sadsylighede for, at Y vil atage e værdi idre ed y. Det er dog stadig ie e særlig pratis løsig i age situatioer. Heldigvis a a udrege de uulative sadsyligheder for ehver oralfordelig ud fra de oralfordelig, so har iddelværdi µ 0 og varias σ 1. Dee specifie oralfordelig, N(0, 1), aldes stadardoralfordelige. De er så vigtig, at des uulative sadsylighedsfutio har fået et specielt sybol, Φ(z), og tilsvarede har des tæthedsfutio fået betegelse φ(z). De uulative sadsylighedsfutio, Φ(z), er desude tabuleret i tabel 1 bagerst i boge for udvalgte værdier af z. De æste to esepler viser, hvorda a a bruge tabelle til at fide sadsyligheder i stadardoralfordelige. Esepel 6.17: Tabelopslag 1 Tabel 5. Udsit af sadsylighedstabel 1 Lad Z være stadardoralfordelt, dvs Z ~ N(0, 1). Fid sadsylighede for, at Z er idre ed,6. Vi sal altså fide Φ(z), hvor z,6. I tabel 1 bagerst i boge agiver det første tal i hver ræe værdie af z til og ed 1. decial, hvoriod det første tal i hver oloe agiver de. decial af z. Vi sal derfor fide de værdi i tabelle, der står ud for ræe ed,6 og oloe ed. Her fider vi værdie 0,0044. Sadsylighede for e værdi af Z idre ed,6 er derfor 0,0044. z 0,0 0,001 0,001 0,001,9 0,0019 0,0018 0,0018,8 0,006 0,005 0,004,7 0,005 0,004 0,00,6 0,0047 0,0045 0,0044,5 0,006 0,0060 0,0059 Esepel 6.18: Tabelopslag Fid P(Z > 1,06), år Z er stadardoralfordelt. Fra tabel 1 fider vi, at P(Z 1,06) Φ(1,06) 0,8554. Sadsylighede for, at Z er større ed 1,06, er da: P(Z>1,06) 1 Φ(1,06) 1 0,8554 0,1446. Når det u er uligt at fide sadsyligheder for stadardoralfordelige, agler vi blot at etablere saehæge elle stadardoralfordelige og alle de adre oralfordeliger. Dee saehæg fider a ved 148 Idbli i statisti for safudsvidesab
P(Z>1,06) 1 - Φ(1, 06) 1 0,8554 0,1446. [Esepel slut] Når det u er uligt at fide sadsyligheder for stad oralfordelige, agler vi blot at etablere saehæ elle stadard-oralfordelige og alle de a stadardiserig. Stadardiserig ædrer oralfordeliger. e stoastis Dee variabel saehæg ed iddelværdi µ og varias σ til e y stoastis stadardiserig. variabel ed Stadardiserig iddelværdi ædrer 0 og vari- e stoastis variabel fider a as 1. Hvis de opridelige stoastise iddelværdi variabel µ er og oralfordelt, varias σ til så e vil y de stoastis variabel ye stoastise variabel også være iddelværdi oralfordelt, 0 og e varias u ed 1. Hvis iddelværdi de opridelige 0 stoastise vari og varias 1: er oralfordelt, så vil de ye stoastise variabel også v oralfordelt, e u ed iddelværdi 0 og varias 1: Stadardiserig af e stoastis variabel Stadardiserig af e stoastis variabel De stoastise variabel, Y, ed iddelværdi De stoastise E(Y) variabel µ og varias Y ed V(Y) iddelværdi σ E(Y) µ og var stadardiseres ved at udrege: V(Y) σ stadardiseres ved at udrege: Y µ Z σ. Z bliver da e stoastis variabel ed iddelværdi E(Z) 0 Z bliver da e stoastis variabel ed iddelværdi E(Z) 0 og varias V(Z) 1. varias V(Z) 1. Specielt for oralfordelige: Hvis Y ~ N(µ, σ ), så er Z ~ N(0, 1). Specielt for oralfordelige: Hvis Y ~ N ( µσ, ), så er Z ~ N(0 Det følgede esepel viser, hvorda Det følgede vi a bruge esepel stadardiserig viser, hvorda til vi at a udrege sadsyligheder for e oralfordelt at udrege sadsyligheder variabel: for e oralfordelt bruge stadardiseri variabel: Esepel 6.19: Lad Y ~ N(, 4). Vi sal fide sadsylighede Esepel P(Y 8). 6.19: Lad Y ~ N(, 4). Vi sal fide sa Esepel 6.19: Lad Dette Y gøres ~ N(, ved hjælp 4). Vi af sal stadardiserig: fide sadsylighede P(Y 8). Dette gøres ved Dette gøres ved hjælp af stadardiserig: Esepel 6.19: Stadardiserig Esepel Lad Y ~ 6.19: N(, hjælp Lad 4). Y af Vi ~ stadardiserig: sal N(, fide 4). sadsylighede Vi sal fide sadsylighede P(Y 8). P(Y 8). Dette gøres ved Dette hjælp gøres af stadardiserig: ved hjælp af stadardiserig: Y 8 Y ( 8) ( 8 ) P P 1 PZ ( 1) Y 8 ( 8) ( 8 ) P Φ ( Y1) 8 Y Y8 Y ( 8) ( ( 8) 8 ( ) P 8 ) P P P1 PZ ( 1) PZ 1) Φ ( hvor vi udytter, at vi gere å træe det sae tal (iddelværdie ) Φ ( 1) Φ ( 1) hvor vi udytter, at vi gere å træe det sae fra og dividere ed det sae tal (stadardafvigelse ) fra på og begge dividere sider ed af det sae tal (stadardafvigelse hvor vi udytter, hvor at vi vi udytter, gere hvor å et at træe ulighedsteg. vi vi gere udytter, det å sae træe Fordi at tal Y vi det er (iddelværdie gere sae oralfordelt å tal træe (iddelværdie ) ed iddelværdi det sae ) et ulighedsteg. tal og (iddelværdie varias Fordi 4, Y er oralfordelt ) ed iddelv fra og dividere fra ed og dividere det sae ed så tal det å (stadardafvigelse sae variable tal (stadardafvigelse Z (Y-)/ ) på begge være sider ) stadard-oralfordelt på af begge sider ifølge bose fra og dividere ed det sae tal (stadardafvigelse så af å ) variable på begge Z sider (Y-)/ af et være stadard-ora et ulighedsteg. et ulighedsteg. Fordi Y er oralfordelt Fordi ovefor. Y er Dered oralfordelt iddelværdi a vi ed slå de iddelværdi og sidste varias sadsylighed 4, og varias op ovefor. 4, i tabel Dered 1. Vi fider a vi slå de sidste sadsylighed så å variable så å Z variable (Y-)/ ulighedsteg. Z være (Y-)/ stadard-oralfordelt således, at ( være Fordi 8) stadard-oralfordelt Φ Y er ( oralfordelt 1) ifølge 0,1587 bose ifølge ed bose iddelværdi og varias 4, så. [Esepel slut] ovefor. Dered ovefor. a vi Dered slå de å a sidste variable vi slå sadsylighed de Z sidste (Y sadsylighed op )/ i tabel være 1. Vi op stadardoralfordelt fider i tabel 1. Vi fider således, at ( 8) Φ ( 1) 0,1587 ifølge bose ovefor. Sadsylighede Dered a for, at stoastise variabel Y atager e værdi. [Esepel s således, at ( således, 8) Φ at ( ( 1) 8) 0,1587 Φ (. 1) [Esepel idre ed a 0,1587 vi slut] slå. [Esepel de sidste slut] sadsylighed Sadsylighede op i tabel 1. Vi for, fider at de såle-stoastisdes, at P(Y 8), er Φ( 1) altså de 0,1587. sae so sadsylighede idre ed for, at de variabel Sadsylighede Sadsylighede for, at de stoastise for, at de variabel stoastise Y atager variabel e Y værdi atager e værdi a, er stadardiserede variabel Z (Y-µ)/σ atager e værdi idre ed ( a altså de sae so sadsy - idre ed idre a, er altså ed de a, er sae altså so de sae sadsylighede so sadsylighede for, at de for, at de stadardiserede variabel Z (Y-µ)/σ atager e v µ)/σ, og dee sadsylighed a fides ved at bruge tabel 1 for stadardiserede stadardiserede variabel Z variabel (Y-µ)/σ Z atager (Y-µ)/σ e værdi atager idre e værdi ed ( idre Sadsylighede stadard-oralfordelige. a - ed ( a µ)/σ, - og dee sadsylighed a fides ved a µ)/σ, og dee sadsylighed for, at de stoastise variabel, stadard-oralfordelige. µ)/σ, og dee Y, atager e værdi idre Lad sadsylighed a os opsuere fides ved a teie at fides bruge ved tabel i e at bos: bruge 1 for tabel 1 for stadard-oralfordelige. ed a, er altså de sae so sadsylighede Lad for, os at opsuere de stadardiserede teie i e bos: stadard-oralfordelige. Sadsyligheder i oralfordelige: Lad os opsuere teie variabel, i e bos: Z (Y µ)/σ, atager e værdi idre Sadsyligheder ed (a µ)/σ, i oralfordelige: Lad os opsuere teie i e og dee bos: sadsylighed For Y ~ N ( µσ, a ) Sadsyligheder i oralfordelige: gælder fides følgede ved at bruge regler: Sadsyligheder i oralfordelige: tabel 1 for stadardoralfordelige. For Y ~ N ( µσ, ) gælder følgede regler: Lad os opsuere teie a i e µ bos: For Y ~ N ( µσ For, ) gælder følgede Y ~ N ( µσ, ) gælder regler: følgede i) regler: ( a) Φ a µ σ i) ( a) Φ a µ a µ σ i) ( a) iφ ) ( a ) Φ a µ σ ii ) σp ( Y a) 1Φ a µ σ Populære fordeliger ii) P( Y a) 149 1Φ a µ a µ σ ii) P( Y a) ii ) 1Φ P( Y a) 1Φ aµ bµ σ iii) P( b σ Y a) Φ Φ aµ b σ σ iii) P( b Y a) Φ Φ ) ( hvor ) a aµ ba µ bµ σ iii P b Y iii ) a PΦ ( b og Y ba er ) Φ Φ ostater og ΦΦ σ (z) fides i tabel 1. σ σ hvor a og b er ostater og Φ (z) fides i tabel 1 hvor a og bhvor er ostater a og b er og ostater Φ Esepel (z) fides og 6.0: i Φ tabel (z) Lad fides 1. de i stoastise tabel 1. variabel X repræsetere afastet på
ovefor. Dered a vi slå de sidste sadsylighed op i tabel 1. Vi fider Sadsylighede for, for, at at de stoastise variabel Y atager e e værdi idre således, ed at a ( a 8) Φ ( 1) 0,1587,, er er altså de sae so. [Esepel sadsylighede slut] for, for, at at de Sadsylighede stadardiserede variabel for, at Z Z de (Y-µ)/σ stoastise atager variabel e e værdi Y atager idre ed værdi ( a ( a - - µ)/σ, idre og og ed dee a, er sadsylighed altså de sae a so fides sadsylighede ved at at bruge tabel for, 1 at 1 for de for stadard-oralfordelige. stadardiserede variabel Z (Y-µ)/σ atager e værdi idre ed ( a - Lad µ)/σ, os os i e Sadsyligheder og opsuere dee sadsylighed teie i e i oralfordelige: a bos: fides ved at bruge tabel 1 for Sadsyligheder stadard-oralfordelige. i i oralfordelige: For Y ~ N(µ, σ ) gælder følgede regler: For For Lad YYos ~ ~ N opsuere N ((, µσ, ) ) gælder teie følgede i e bos: regler: Sadsyligheder i oralfordelige: a a µ µ i) i) ( ( a) a ) Φ For Y ~ N ( µσ, ) gælder følgede σσ regler: a a µ µ µ ii ii ))) P P( ( Y( Y a) ) ) Φ 11 Φ σ σ σ aa µ µ bbµ µ iii iii ))) P (( b( Yb Y ay ) a) a1 ) Φ Φ Φ σσ σσ hvor a hvor a og og b a b er og er b ostater ) ostater, ( og og Φ )(z) og (z) Φ(z) fides a fides i µ i tabel i tabel 1. bµ iii P b Y a 1. Φ Φ σ σ hvor Esepel a og b6.0: er ostater Lad Lad de de stoastise og Φ (z) fides variabel i X tabel X repræsetere 1. afastet på på e e atie (i (i roer på på et et år). år). Atag desude, at at X X er er oralfordelt ed Esepel 6.0: Lad de stoastise variabel, X, repræsetere afastet på e atie (i roer på EE( X Esepel ( X ) ) µ µ 0 6.0: 0 Lad V( X) σ 5 og og de Vstoastise ( X) σ variabel 5.. Hvad X repræsetere er er da da afastet risioe på Atieafast et år). Atag desude, at X er oralfordelt ed E(X) µ 0 og V(X) σ (sadsylighede) e atie (i roer for for på et et afast år). på Atag på idre desude, ed ed 15 15 at X roer oralfordelt i et i et givet år? år? ed Vi Vi løser probleet 5. Hvad på på er sae da risioe åde so (sadsylighede) i i oveståede esepel: for et afast på idre ed 15 E( X ) µ 0 V( X) σ 5 og roer i et givet år? Vi løser probleet. Hvad på sae er da åde risioe so i oveståede (sadsylighede) for et afast på idre ed 15 roer i et givet år? Vi esepel: løser probleet på sae åde so i oveståede esepel: X 0 15 0 X 0 P( X 15) P P, 4 Φ(, 4) 0,015 016 5 5 5 Der er altså u e sadsylighed på 1,6% for et afast på idre ed 15 roer. [Esepel slut] Der er altså u e sadsylighed på 1,5% for et afast på idre ed 15 roer. Esepel 6.1: E EU-afsteig del 1 6.6 6.6 Multioialfordelige De Multioialfordelige ultioiale fordelig er e geeraliserig af bioialfordelige. De ultioiale fordelig Me i stedet er e for geeraliserig at træe fra af e bioialfordelige. populatio ed Me u i stedet to forsellige at træe typer fra e af populatio eleeter (e ed Beroullipopulatio), u to forsellige typer så af eleeter a (e Beroullipopulatio), u fra e ed så træer forsellige a u typer. fra e Et populatio eleet ed træer a forsellige derfor atage typer. Et forsellige eleet a værdier. derfor So atage i bioialfordelige forsellige værdier. So i atages bioialfordelige det, at udtræigere atages det, er uafhægige. at udtræigere Det betyder, er uafhægige. at hvis der Det betyder, at hvis fra der e udtræes virelig populatio, fra e virelig så ser populatio, det ed tilbagelægig. så ser det ed tilbage- udtræes lægig. Esepel 6.1: Forestil dig, at vi stopper fe tilfældige eeser på gade og spørger, o de steer i) ja, ii) ej eller iii) blat til e oede EU afsteig. Her er der således tre forsellige typer af eleeter i populatioe (ja, ej, og bla). I pricippet er det ie oget til hider for, at vi oer til at stoppe de sae perso to gage, så derfor er der tale o e træig ed tilbagelægig fra populatioe. [Esepel slut] Forestil dig, at vi stopper fe tilfældige eeser på gade og spørger, o de steer ja, ej eller blat til e oede EU-afsteig. Her er der således tre forsellige typer af eleeter i populatioe (ja, ej, og bla). I 150 I Idbli bioialfordelige i statisti safudsvidesab lod X i være e stoastis variabel, der atog værdie 1, hvis de i te udtræig resulterede i e succes. De stoastise variabel Y (atallet af succeser i de træiger) var da lig ed sue af X i ere. I esepel 6.1 a vi ie øjes ed e eelt variabel. Vi ue lade Y agive atallet af ja-steer, e det er ie tilstræeligt til at fortælle os, hvorda ej-steer og
pricippet er der ie oget til hider for, at vi oer til at stoppe de sae perso to gage, så derfor er der tale o e udtræig ed tilbagelægig fra populatioe. I bioialfordelige lod vi X i være e stoastis variabel, der atog værdie 1, hvis de i te udtræig resulterede i e succes. De stoastise variabel, Y (atallet af succeser i de træiger), var da lig ed sue af X i ere. I esepel 6.1 a vi ie øjes ed e eelt variabel. Vi ue lade Y agive atallet af ja-steer, e det er ie tilstræeligt til at fortælle os, hvorda ej-steer og blae steer fordeler sig i stiprøve. Til esperietet i esepel 6.1 har vi brug for tre stoastise variabler. Esepel 6.: E EU-afsteig del Lad de stoastise variabel Y 1 være atallet af ja-sigere i de fe udtræiger fra esepel 6.1, Y atallet af ej-sigere og Y atallet af blae. Det er fordelige af (Y 1, Y, Y ), so siges at være e ultioialfordelig. Atag u, at adele af ja-steer i populatioe er 0,4, adele, der steer ej, er 0,5, og adele, der steer blat (eller ie steer), er 0,1. Hvad er da sadsylighede for, at stiprøve oer til at bestå af fx to ja-sigere (Y 1 ), to ej-sigere (Y ) og e bla (Y 1)? Når vi har at gøre ed e ultioialfordelig, sal vi, so illustreret i esepel 6., berege sadsylighede for tre eller flere stoastise variabler, (Y 1, Y,,Y ). Multioialfordelige er derfor e siulta fordelig. I esepel 6. er der tale o e siulta fordelig for Y 1, Y og Y. Det æste esepel viser, hvorda sadsyligheder i ultioialfordelige freoer: Esepel 6.: Baseret på populatiosadelee fra esepel 6. a vi starte ed at berege sadsylighede for først at øde to ja-sigere, deræst to ej-sigere og E EU-afsteig del til sidst é der steer blat. Dee sadsylighed er givet ved: 0,4 0,4 0,5 0,5 0,1 0,004, fordi de eelte udtræiger er uafhægige. Tilsvarede er sadsylighede 0,004 for at øde de sae obiatio af vælgere i e ade ræefølge, fx 0,1 0,4 0,5 0,5 0,4 0,004. For at fide de salede sadsylighed sal vi gage sadsylighede 0,004 ed det atal obiatioer af udfald, der resulterer i to ja-sigere, to ej-sigere og e bla stee. Dette atal af obiatioer a fides ved hjælp af forle i edeståede bos, so aldes ultioialoefficiete. Dee er e geeraliserig af bioialoefficiete fra afsit 6.. I dette tilfælde giver de: Populære fordeliger 151
15 Idbli i statisti for safudsvidesab For at fide de salede sadsylighed sal vi gage sadsylighede 0,004 ed det atal obiatioer af udfald, der resulterer i to ja-sigere, to ej-sigere og e bla stee. Dette atal af obiatioer a fides ved hjælp af forle i edeståede bos, so aldes ultioialoefficiete. Dee er e geeraliserig af bioialoefficiete fra afsit 6.. I dette tilfælde giver de: 0!1!!!5 1,, 5 Dvs. der fides 0 forsellige obiatioer, hvorved a a få to jasigere, to ej-sigere og e bla. De salede sadsylighed for at udtræe to ja-sigere, to ej-sigere og e bla er derfor 0,0040 0,1. [Esepel slut] Multioialoefficiete Atallet af obiatioer, hvorved udfald a resultere i 1 udfald af type 1, udfald af type,, og udfald af type, er givet ved: Dvs. der fides 0 forsellige obiatioer, hvorved a a få to ja-sigere, to ej-sigere og e bla. De salede sadsylighed for at udtræe to ja-sigere, to ej-sigere og e bla er derfor 0,004 0 0,1. Sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter er derfor:!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6 osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere osv.:!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p Multioialoefficiete Atallet af obiatioer, hvorved udfald a resultere i 1 udfald af type 1, udfald af type,, og udfald af type, er givet ved:!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p hvor 1 + + +.,,!! 1! 5 5! 0 For at fide de salede sadsylighed sal vi gage sadsylighede 0,004 ed det atal obiatioer af udfald, der resulterer i to ja-sigere, to ej-sigere og e bla stee. Dette atal af obiatioer a fides ved hjælp af forle i edeståede bos, so aldes ultioialoefficiete. Dee er e geeraliserig af bioialoefficiete fra afsit 6.. I dette tilfælde giver de: 0!1!!!5 1,, 5 Dvs. der fides 0 forsellige obiatioer, hvorved a a få to jasigere, to ej-sigere og e bla. De salede sadsylighed for at udtræe to ja-sigere, to ej-sigere og e bla er derfor 0,0040 0,1. [Esepel slut] Multioialoefficiete Atallet af obiatioer, hvorved udfald a resultere i 1 udfald af type 1, udfald af type,, og udfald af type, er givet ved: 1!!! 1,,,!!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p Terigast!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighe for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhæg træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. H er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 ag atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) væ ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betra hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, h sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bl sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!, hvor... + + +. Baseret på det oveståede esepel a vi srive sadsylighede for at udtræe 1 eleeter af type 1, af type osv. i uafhægige træiger fra e populatio ed forsellige eleeter so: 1 ( )... Y Y p p p hvor p 1 er sadsylighede for at få et udfald af type 1 i e udtræig, p sadsylighede for at få et udfald af type osv. Esepel 6.4: Forestil dig, at vi slår 1 gage ed e terig og observerer atallet af eere, toere, treere, firere, feere og sesere. Hvad er sadsylighede for at slå to af hver slags? Hvis vi lader Y 1 agive atallet af eere, Y atallet af toere, osv., så vil (Y 1, Y, Y, Y 4, Y 5, Y 6 ) være ultioialfordelt ed p 1 1/6, p 1/6,, p 6 1/6. Vi a jo betragte hvert ast so e udtræig fra populatioe af terigslag, hvor sadsylighede for at træe (slå) e eer er 1/6, osv. Dered bliver sadsylighede for to eere, to toere, osv.: 6 1 1 1 1 1 1 1 1 (,,..., ),,,,, 6 6 6 6 6 6 1! 1 1! 1 0,004!!!!!! 6 6 Y Y + + + + + [Esepel slut] Lad os slutte ed at opsuere ultioialfordelige i e bos: Multioialfordelige, ( ) ~ (, ) Y Y Y M p p p Sadsylighedsfutio: 1 ( )... Y Y p p p!!!!!! 1!