- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a
Oversigt over forskellige typer af funktioner Du skal kende disse typer af funktioner. Den første type blev grundigt omtalt under Matematik G: Lineære funktioner kan skrives på formen: - Graferne er rette linjer. y = a + b - a kaldes hældnings-koefficient eller stignings-tal, og størrelsen af a fortæller, hvor stejl grafen er. Hvis a er positiv, hælder linjen opad. Hvis a er negativ hælder den nedad. - b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Hvis funktionen kan skrives på formen: y = a (altså b = ), så er og y også ligefrem proportionale. Grafen går igennem ( ; ), og y bliver fordoblet, når bliver fordoblet ( og y vokser i takt). De øvrige typer bliver grundigt omtalt på de efterfølgende sider: a Omvendt proportionale funktioner kan skrives på formen: y = - Graferne består af to adskilte symmetriske buer, men man tegner (som her) ofte kun den ene. - Når bliver fordoblet, bliver y halveret. Eksponential-funktioner er funktioner på formen: y = b a ne beskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig (stiger eller falder) med et bestemt antal procent. - Graferne er bløde buer. - a bestemmer vækstens størrelse og dermed, hvordan grafen krummer. Hvis a > 1 stiger værdien af y og grafen krummer opad som her. Hvis a < 1 falder værdien af y og grafen krummer nedad. - b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Den sidste type funktion kaldes potens-funktioner, og det er funktioner på formen: y = b Selv om alle potens-funktioner er i familie med hinanden, kan deres grafer være ret forskellige. Derfor er det svært at skrive noget generelt om dem her. Men læs eksemplerne på de næste sider. Du kan sagtens støde ind i helt andre funktioner, men du skal kende disse hoved-typer. a Side 9b
Omvendt proportionalitet og hyperbler Et redskabsskur skal være 16 m og have form som et rektangel eller et kvadrat. Lav en tabel og en graf, der viser sammenhængen mellem de mulige sidelængder. Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kaldes for og y, skal der gælde at: y = 16. 16 Det kan omskrives til funktionsforskriften: y =, og man kan lave en tabel som denne: 1 5 6 7 8 1 1 1 16 y 16 8 5,,,67,9 1,6 1, 1,1 1 Mange af tallene i tabellen er urealistiske. Man vil aldrig lave et skur, der måler 1 m 16 m. Men tallene er taget med for at vise den matematiske sammenhæng mellem og y. Regnemæssigt kan man sagtens bruge -værdier mindre end 1 og større end 16, men man kan aldrig bruge som -værdi. Grafen kommer til at se ud som vist herunder. Både tabel og graf er symmetriske. Du kan f finde tal-parret ( ; 8) i den ene ende af både tabel og graf, og du kan finde det modsatte tal-par (8 ; ) i den anden ende. Der gælder at: - y-værdien bliver halveret, når -værdien bliver fordoblet. - y-værdien falder til en tredjedel, når -værdien bliver tredoblet osv. Denne sammenhæng mellem og y kaldes omvendt proportionalitet. 15 1 5 5 1 15 a, der kan skrives på formen y =, kaldes omvendt proportionale funktioner. Graferne for omvendt proportionale funktioner kaldes hyperbler, og de ligner altid grafen herover. Side 9c
Negative giver tal ingen mening i eksemplet med skuret, men man kan godt indsætte negative -værdier i en omvendt proportional funktion. Så kommer grafen (hyperblen) til at bestå af to buer som vist til højre. Hyperblen har to symmetri-akser som vist, men symmetrien er kun tydelig, hvis der er brugt de samme enheder på - og y-aksen. Grafen til højre er for funktionen y =. Prøv om du kan forklare hvorfor? 1 5-5 5 1-5 Et taa-firma tager 16 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km. Lav en tabel og en graf, der viser sammenhængen mellem antal km () og prisen pr. km (y). Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. 6 Hvis man kører km, bliver den samlede pris 16 + 5 = 6 kr. Prisen pr. km bliver = 9 kr. På den måde kan man lave en tabel: 1.. y 1, 1, 1, 9,.. Grafen ser ud som vist til højre: Prisen pr. km. kan også findes således: - først deles startgebyret på 16 kr. ud på det kørte antal km. - derefter lægges den faste km-pris på 5 kr. oveni. Derfor kan man opstille denne funktionsforskrift: 16 y = + 5 Grafen ligner meget eksemplet med skuret. Grafen kaldes også en hyperbel, men funktionen er ikke omvendt proportional. 15 1 5 5 1 15 Side 9d
Eksponentialfunktioner Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urealistisk høje, men det skal du ikke tænke på. Anna får en timeløn på 8 kr. Hun bliver lovet en årlig lønstigning på 15% de kommende år. Børge får en timeløn på 15 kr. Han bliver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år. Lav tabeller, grafer og funktioner, der beskriver Annes og Børges timeløn år for år. Annas løn stiger hvert år med 15% til 115% af lønnen fra året før. Derfor kan man hvert år finde Annas nye løn ved at gange den gamle løn med 1,15. Annas løn efter 1 år: 8, 1, 15 = 9, kr. Annas løn efter år: 9, 1, 15 = 15,8 kr. eller 8, 1,15 1, 15 = 8 1,15 = 15,8 kr. Annas løn efter år: 15,8 1, 15 = 11,67 kr. eller 8, 1,15 1,15 1,15. = 8 1,15 = 11,67 kr. Børges løn kan fremskrives på tilsvarende måde ved at gange med 1,8. I alt får man: Antal år () 1 5 6 7 8 Annas løn 8, 9, 15,8 11,67 19,9 16,91 185, 1,8,7 Børges løn 15, 11, 1,7 1,7 1,85 15,8 166,6 179,95 19,5 Grafen ser ud som vist til højre: Hvis er antal år regnet fra "nu", og y er timelønnen, kan man opstille denne funktion for Anna: y = 8 1,15 og denne funktion for Børge: y = 15 1,8 Bemærk at funktionerne godt nok passer for = fordi: 8 1,15 = 8 1 = 8 og 1 for = 1 fordi: 8 1,15 = 8 1,15 = 9. 1 Når en størrelse regelmæssigt vokser (eller aftager) med et bestemt antal procent, siger man, at den vokser eksponentielt. ne ovenfor er eksempler 5 på eksponentialfunktioner. Graferne buer mere og mere opad fordi lønstigningerne bliver større og større målt i kr. Graferne er ikke rette linjer. 5 15 y = 8 1,15 y = 15 1,8 1 5 6 7 8 Side 9e
, der kan skrives på formen y = b a, kaldes eksponentialfunktioner. Eksponentialfunktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et bestemt antal procent. - b er startværdien. På forrige side startlønningerne. - a er "1 + ændringsprocenten som decimaltal". F 1 + 15% = 1 +,15 = 1,15 Vær opmærksom på, at eksponentialfunktioner er i familie med vækst-formlen. n Den skrives normalt på formen K n = K (1+ r) Den er omtalt i et andet afsnit. De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk. En bil koster som ny 16. kr. Bilens værdi falder med 5% om året Lav en tabel, en graf og en funktion, der beskriver bilens værdi år for år. Man trækker 5% fra et tal ved at gange tallet med,75. Man beholder 1% - 5% = 75%. Værdi efter 1 år: 16., 75 = 1. kr. Værdi efter år: 1., 75 = 9. kr. eller 16.,75, 75 = 16.,75 = 9. kr. Funktionsforskriften må være Tabellen kommer til at se således ud: y = 16.,75, hvor er antal år, og y er bilens værdi. Antal år () 1 5 6 Bilens værdi 16. 1. 9. 67.5 5.65 7.969 8.77 Grafen ser ud som vist til højre: Funktionen y = 16.,75 er også en eksponentialfunktion, men der er tale om en negativ eksponentiel vækst. Grafen buer mindre og mindre nedad, fordi det årlige værditab bliver mindre og mindre målt i kr. En eksponentialfunktion skrevet på formen y = b a beskriver: - en positiv vækst når a > 1 - en negativ vækst når a < 1 16. 1. 1. 1. 8. 6... 1 5 6 Side 9f
Potensfunktioner, der kan skrives på formen y a = b, kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y =,5 - y = a = og b = a = og b = 1 a =,5 og b = a = og b = 1 Bemærk: Hvis b = 1 bliver b usynlig. Man skriver f ikke Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten. y = 1 men kun y =. Lav for tabeller og grafer for potensfunktionerne f() =,5 og g() =,5. Tabellen kan se således ud: g() g() 1 5 6 7 8 9 1 =,5,5,5 8 1,5 18,5,5 5 =,5,5 1,5 6,5 18 171,5 56 6,5 5 Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er ret store, er hele tabellen ikke vist på grafen. Man kan se på både tabellen og graferne at: - begge grafer starter i (,) - begge grafer vokser hurtigere og hurtigere -,5 vokser hurtigst. Når a (eksponenten) er større end en (a > 1), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen. Funktionen vokser naturligvis også hurtigere, hvis b bliver større. Prøv f selv at lave tabeller og grafer for funktionerne y =,5 og y =. 18 16 1 1 1 8 6 g() =,5 1 5 6 7 8 9 1 f() =,5 Side 9g
Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen V = π r. V er rumfanget og r er radius. Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius. Lav en tabel og en graf for funktionen. Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være 1 liter (1. cm )? Formlen V π Altså: V =,18879 r svarende til = π og a =. = r svarer til en potensfunktion, hvor b,18879... y =,18879 Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede. r (cm) 1 5 6 7 8 V (cm ),19,51 11,1 68,1 5,6 9,8 17 15 Grafen ser ud som vist til højre. Man kan finde den radius, der giver et rumfang på 1. cm på flere måder. - Man kan aflæse på grafen. - Hvis man tegner grafen vha. et computer-program, har programmet måske en aflæse-funktion. - Man kan prøve sig frem (simulering) evt. vha. et computerprogram. Man kan se ud fra tabellen, at den rigtige radius må være mellem 6 cm og 7 cm og sikkert nærmest på 6 cm. - Man kan få det helt præcise svar ved at løse ligningen 1. =,18879 r Man får:,18879 r r = r = 1.,18879 1.,18879 = 1. = 8,7.. = 6, cm 15 1 5 V =,18879 r 1 5 6 7 8 Side 9h
Lav tabeller og grafer for potensfunktionerne,5 f() =, 1,5 g() = og h() =. Tabellen kan f se således ud. Mange af tallene er afrundede.,5 1 1,5,5,5,5 5 f() g() h(),5 = 1,1,5,8,16,5,7 8, 1,5 1,5 =,8,,76 6,9 1,5 9,57 1,11 6,5 = 1, 1,8,67,57,5,, Graferne ser således ud. 1 Grafen for g() ganske svagt opad. 1,5 = buer Grafen ligner næsten en ret linje, men den vokser faktisk mere og mere ligesom potensfunktionerne på forrige side. 8 6 h() = g() = 1,5 Grafen for f(),5 = buer den anden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kan vokse i det uendelige. Husk på at,5 =, så man kunne også have skrevet f() =, og når er et stort tal, bliver Grafen for h() også stor. = aftager. Funktionsværdien bliver mindre og mindre. Husk at betyder 1 eller blot, så man kunne også have skrevet h() =. h() er i virkeligheden en omvendt proportional funktion skrevet på en anden måde, og det er derfor, at der er en tom plads ved h() i tabellen. Man kan jo ikke dividere med. f() = 1 5,5 Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige. En ligefrem proportional funktion som y = er f også en potensfunktion, fordi den også kan skrives som y = 1. Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a, men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder. Side 9i
Lav tabel og graf for funktionen f() =. Vi tager både negative og positive -værdier med. Vi får: - - - 1 f() = 16 9 1 1 9 16 Grafen ser ud som vist til højre. Den er symmetrisk og kaldes en parabel. (,) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse. Herunder er tegnet graferne for disse to funktioner: g() =,5 h() = 1,5 + e er ikke rigtige potensfunktioner pga. forskrifternes form, men begge grafer er symmetriske buer ligesom grafen for y = Alle funktioner, der kan skrives på formen y = a + b + c, hvor a, har den slags symmetriske grafer. 5 1 - - - 1 5 - - - g() =,5 1,5 på formen 1 y = a + b + c, hvor a, kaldes andengrads-funktioner. Graferne kaldes parabler. Hvis a > vender parablen benene opad. Hvis a < vender parablen benene nedad. Hvis (og kun hvis) b = og c =, er funktionen også en potensfunktion. F y = Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normalt y = b Andengrads-funktionen skrives 9 8 7 6 5 1 y = - - - 1 y = a -5 h() = + Side 9j