Todimensionelle Vektorer Frank Villa 15. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Todimensionelle vektorer 2 2.1 Koordinatsystemet................. 2 2.2 Todimensionelle vektorer.............. 2 2.3 Déjà vu?....................... 3 2.4 Sådan skal man tænke på en vektor........ 4 3 The basics 5 3.1 Indtegning af vektorer............... 5 3.2 Snik-snak: Vektorrally............... 6 3.3 Længde af en vektor................ 7 3.4 Særlige vektorer................... 9 3.5 Forbindende vektorer, stedvektorer........ 10 4 Regning med vektorer 12 4.1 Addition og skalering................ 12 4.2 Omvendt vektor og vektordifferens........ 13 4.3 Snik-snak: Nye regneoperationer.......... 14 4.4 Regneregler..................... 16 4.5 Geometrisk tolkning................ 18 5 Prikproduktet 23 5.1 Vinkler....................... 25 5.2 Projektioner..................... 29 5.3 Ortogonalkomposanter............... 33 5.4 Ortogonalkomposanter i fysik........... 35 6 Tværvektor og Determinant 39 2
6.1 Tværvektor..................... 39 6.2 Vinkel med fortegn................. 40 6.3 Determinant..................... 42 6.4 Det udspændte areal................ 46
Resumé I dette dokument gennemgår vi basal teori om todimensionelle vektorer. Vi laver meget enkle, abstrakte definitioner af vektorer og regneoperationerne på disse, og diskuterer bagefter den geometriske tolkning af definitionerne. Til sidst bruger vi vektorbegrebet til at beskrive linjer i planen på parameterform. 1 Introduktion Vi skal i denne lille note gennemgå basal teori om vektorer i planen. Stoffet er præcis det samme som i andre lærebøger, men tilgangsvinklen er temmeligt forskellig, idet der er brugt andre, meget mere enkle definitioner end de fleste andre steder. (Ofte ser man en vektor defineret som en ækvivalensklasse af orienterede linjestykker modulo translationer, hvilket nok er væsentlig mere kompliceret end forfatteren har været klar over. Noterne indeholder kun det tørre stof, dvs. definitioner og sætninger. Alle eksempler på praktiske anvendelser af vektorregning, herunder bestemmelse af vinkler, afstande og skæringer mellem delmængder af koordinatsystemet, er gemt til andre dokumenter. Forudsætninger: Du behøver kun at være fortrolig med det todimensionelle koordinatsystem for at læse dette dokument. Det kan dog også anbefales at meditere et minuts tid over det faktum at vi skal til at definere nogle helt nye objekter og nogle helt nye regneoperationer på disse. Det er muligvis første gang du skal regne med nogle størrelser som ikke bare er tal. side 1
2 Todimensionelle vektorer 2.1 Koordinatsystemet Vi starter med lidt gammelt stof: Som du måske allerede ved, benytter vi notationen R 2 = {(x; y x R, y R} til at betegne det todimensionelle koordinatsystem. - Altså mængden af alle punkter (x; y hvor x og y begge er reelle tal. De to tal kaldes punktets koordinater. Bemærk det lille 2-tal foroven i R 2. Man læser det som R-to, og ikke som R i anden. Når vi tænker på det todimensionelle koordinatsystem, starter vi med at tænkte på det specielle punkt (0; 0, også kaldet origo. Derefter tænker vi på de punkter hvor x-koordinaten er nul (også kaldet y- aksen og de punkter hvor y-koordinaten er nul (også kaldet x-aksen. Disse to akser forestiller vi os tegnet som rette linjer, vinkelret på hinanden, sådan at de skærer hinanden i origo. På den måde ender vi med at tænke på det todimensionelle koordinatsystem som en plan, altså et helt fladt, uendeligt stort område. Punkter i det todimensionelle koordinatsystem kaldes ofte P, Q, R eller andre store bogstaver. Man skriver for eksempel: P = (3; 1 Bemærk at nogle forfattere af ukendte (men dumme årsager undlader at skrive lighedstegnet mellem punktet og dets koordinater. 2.2 Todimensionelle vektorer Nu indfører vi en anden mængde: side 2
Definition 1. Mængden af todimensionelle vektorer er pr. definition følgende mængde: {( } x V 2 = x R, y R y Symbolet V 2 læses som V-to, og det skal altså fra nu af betegne mængden af alle talpar (skrevet oven på hinanden i en aflang parentes, hvor begge de indgående tal er reelle. Elementerne i V 2 kaldes todimensionelle vektorer, og de to tal kaldes vektorens koordinater. Vektorer kaldes ofte u, v, w eller andre små bogstaver. Mange lærere elsker 1 desuden at sætte en pil over bogstaverne for at understrege at det er en vektor. Man kan f.eks. skrive: ( 3 v = 8 men selvfølgelig også (hvis man har lyst: ( 2 d = π Vi vil nogle gange bruge pile her på MatBog og andre gange ikke. Det vigtigste er at vide at man (og andre! helt selv må vælge om de vil sætte pile over de bogstaver som betegner vektorer eller ej. 2.3 Déjà vu? Nu tænker den kvikke læser: Er vektorer egentlig ikke præcis det samme som punkter? Det eneste vi har gjort er jo bare at skrive 1 Begrundelsen er at det bliver nemmere at se at der er tale om en vektor på den måde. Men eftersom det alligevel altid skal være klart hvad et bogstavnavn betegner (herunder om det er et tal, et punkt, en vektor, en funktion eller noget andet, er dette en slags dobbeltforsikring. side 3
koordinaterne oven på hinanden i stedet for at skrive dem ved siden af hinanden. Og svaret er: Jo! En vektor består af præcis den samme information som et punkt, nemlig to reelle koordinater. Lad os derfor allerede nu slå fast at: Sætning 2. V 2 R 2 Idet man til enhver tid kan oversætte mellem vektorer og punkter: Hvis man har en vektor, kan man skrive dens koordinater ved siden af hinanden med komma imellem, og vupti, har man et punkt. Og omvendt. (Det skal vi benytte os meget af senere. Den store forskel på punkter og vektorer kommer nu, nemlig i måden som vi bruger dem og tænker på dem på. 2.4 Sådan skal man tænke på en vektor En todimensionel vektor, som for eksempel ( 2 5 skal vi ikke tænke på som en prik i en plan. En vektor tænker vi derimod på som en flytning i koordinatsystemet. Således vil vi tænke på ovennævnte vektor som 2 til højre og 5 op. Og mere generelt vil vi tænke på en vektor ( x y som x til højre og y op. Bemærk at hvis f.eks. x er negativ, så betyder x til højre naturligvis at man går til venstre. side 4
Vi skal dog ikke tænke på det som to adskilte bevægelser (henholdsvist vandret og lodret, men som den samlede (ofte skrå bevægelse. En vektor angiver på den måde en retning og en afstand, men ikke et startpunkt (og dermed heller ikke et slutpunkt 2. Derfor at det stadig svært at se en vektor for sig. Det bliver nemmere i næste afsnit. I første omgang skal du bare indse at denne opfattelse af vektorer gør det oplagt at bruge dem til at beskrive alle fænomener som har en retning og en størrelse. 3 The basics Nu skal vi se på nogle af de første ting man kan finde på at gøre med vektorer. 3.1 Indtegning af vektorer Vi vil først kombinere vektorer med punkter og dermed få et geometrisk billede af hvordan en vektor ser ud. Vi laver følgende definition: Definition 3 (Indtegning af vektor. Hvis man har et punkt, (x; y R 2 og en vektor, ( a b V 2 så kan man indtegne vektoren ud fra punktet ved at tegne et ret linjestykke i koordinatsystemet fra (x; y til (x + a; y + b og sætte en lille pilespids i enden, sådan at pilen peger fra (x; y til (x + a; y + b. 2 Det svarer til at man finder et skattekort med beskrivelsen 200 skridt mod Nord Vest, men ingen angivelse af hvor man skal starte. side 5
Eksempel 1. ( 1 Vi har her indtegnet vektoren 2 ud fra punktet (1; 0: 3 2 1-1 0 1 2 3 4-1 Øvelse 1. Indtegn vektoren ud fra punktet v = ( 2 1 P = (3; 6 3.2 Snik-snak: Vektorrally Dette afsnit er tænkt som et underholdende indslag og kan derfor godt springes over. Et klassisk gymnasiespil (tidsfordriv, når man ikke orker at følge med i timen ved navn vektorrally går ud på følgende: På et ternet stykke papir tegner man en racerbane. Banen skal være ringformet og have en bredde på mellem 3 og 10 tern hele vejen rundt. Desuden vedtager man et startpunkt, P, som alle spillere starter i, og en mållinje, der går gennem P. (P bør ligge i et gitterpunkt på det ternede papir. Alle spillere starter med at have en bevægelsesvektor side 6
som er lig ( 0 0 Når en spiller får turen (hvilket selvfølgelig sker på skift må han/hun ændre koordinaterne i sin bevægelsesvektor, ved enten at gøre dem 1 større eller 1 mindre (det er tilladt at lade en af koordinaterne eller dem begge være uændret. - Men husk at man altid tager udgangspunkt i den bevægelsesvektor som man lavede i sidste runde!. Derefter skal han/hun køre ved at indtegne sin bevægelsesvektor ud fra det sidste punkt han/hun befandt sig i, og stille sig i det nye punkt vektoren peger på. F.eks. kan første spiller i første runde vælge at ændre sin bevægelsesvektor til ( 1 0 Dermed vil han starte med at køre 1 tern til højre. Næste runde kan han ændre sin bevægelsesvektor til ( 2 1 Dermed vil han fortsætte skråt, 2 felter mod højre og 1 felt opad. Således fortsætter spillet. Hvis man på et tidspunkt havner uden for banen, er man ude af spillet. Den første spiller som passerer mållinjen har vundet. 3.3 Længde af en vektor Når vi nu har defineret hvordan man tegner en vektor som en pil i koordinatsystemet, er den næste definition ret oplagt: side 7
Definition 4 (Længden af en vektor. Lad ( a v = b være en vektor. Vi definerer længden af v til at være: v = a 2 + b 2 Bemærk at de to lodrette streger, som betyder længden af en vektor, er de samme som bruges til nummerisk værdi af reelle tal. Der er dog ingen fare for forvirring, idet man bare kan holde øje med hvad der står imellem stregerne: Hvis det er et reelt tal, betyder det nummerisk værdi, og hvis det er en vektor betyder det længde. Øvelse 2. Beregn længden af følgende vektorer: n = ( 0 0 ( 1, i = 0 ( 0, j = 1 og v = ( 3 4 Vi skal lige sikre os at begrebet længde af en vektor passer med vores geometriske billede af vektorer. Det gør vi med følgende sætning: Sætning 5. ( a Når man indtegner en vektor v = b så får man en pil med længden v. ud fra et punkt, P = (x; y, Bevis. Pilen som man tegner går mellem punktet P = (x; y og punktet Q = (x + a; y + b. Ifølge afstandsformlen er længden af linjestykket imellem disse to punkter: P Q = ((x + a x 2 + ((y + b y 2 = a 2 + b 2 = v side 8
3.4 Særlige vektorer Vi skal nu se på nogle særlige vektorer der optræder så ofte at de har deres egne navne. Allerførst er der nulvektor: 0 = ( 0 0 Alle de andre vektorer end nulvektor kaldes nogle steder for egentlige vektorer. Det er et dumt navn, men du bør være forberedt på at kunne møde det. En vektor med længde 1 kaldes en enhedsvektor. ( ( 1 0 De to særlige enhedsvektorer og kaldes første standardbasisvektor og anden standardbasisvektor. De omtales meget 0 1 ofte med bogstavnavnene: ( ( 1 0 i = og j = 0 1 Bemærkning: For lidt siden skrev jeg at man helt selv måtte bestemme om man ville sætte pile over de bogstaver som man bruger til at betegne vektorer eller ej. Vektorerne ovenover er en undtagelse. Det skyldes at disse navne er faste navne som vi gerne vil kunne bruge igen og igen uden hver eneste gang at definere hvad de betyder. Det kan dog kun lade sig gøre hvis vi undgår nogen sinde at bruge de samme navne til andre ting. Og lige præcis bogstaverne i og j vil vi gerne have mulighed for at bruge til andet. Og symbolet 0 har allerede en anden (meget fast betydning, nemlig tallet nul. side 9
3.5 Forbindende vektorer, stedvektorer Hvis man har to punkter i koordinatsystemet, så er det ofte nyttigt at fremtrylle en vektor med den egenskab at den peger fra det ene punkt til det andet. Det handler den næste sætning om: Sætning 6 (Forbindende vektor. Hvis P og Q er to punkter i koordinatsystemet, så findes der præcis en vektor som opfylder at når den indtegnes fra P, så peger den på Q. Denne vektor kaldes den forbindende vektor fra P til Q og skrives som: P Q Hvis P = (x 1 ; y 1 og Q = (x 2 ; y 2, så er den givet ved: ( x2 x P Q = 1 y 2 y 1 ( a Bevis. Lad os kalde den ønskede vektors koordinater for. b Når denne (endnu ukendte vektor indtegnes fra P, så peger den på punktet (x 1 + a; y 1 + b. Hvis dette punkt skal være Q, så er vi nødt til at have: x 1 + a = x 2 og y 1 + b = y 2 Den eneste mulighed for at få det opfyldt er ved at: a = x 2 x 1 og b = y 2 y 1. Hvad betyder denne sætning? Pilen imellem to punkter giver en retning og en afstand. Denne information (idet vi glemmer hvorhenne pilen startede kan udtrykkes med en vektor, og man får denne vektors koordinater ved at trække punkternes koordinater fra hinanden (i den rigtige rækkefølge: Slutpunktets koordinater minus startpunktets. side 10
Øvelse 3. Givet punkterne P = (1; 1 og Q = ( 1; 2, beregn vektoren P Q. Indtegn derefter P og Q i et koordinatsystem. Tegn til sidst vektoren P Q ud fra følgende punkter: 1. Origo 2. P 3. Q Hvis man kun har et enkelt punkt, P = (x; y, så kan man altid lave en forbindende vektor som peger fra origo, O = (0; 0 til P. Ifølge ovenstående sætning har denne vektor koordinaterne: OP = ( x 0 y 0 = ( x y Denne vektor kaldes P s stedvektor. Vi ser altså nu at den sammenhæng mellem punkter og vektorer som vi opdagede tidligere: V 2 R 2 svarer til at et punkt oversættes til sin stedvektor. side 11
4 Regning med vektorer Nu kommer det som gør vektorer helt forskellige fra punkter. Vi vil nemlig definere nogle regnoperationer for vektorer. Helt præcist vil vi definere hvordan to vektorer kan lægges sammen ( adderes og hvordan en enkelt vektor kan ganges med et reelt tal ( skaleres. 4.1 Addition og skalering ( a1 Definition 7 (Vektoraddition. Hvis vi har to vektorer, v = og w = summen af de to vektorer som: ( a1 v + w = + b 1 b 1 ( a2 b 2 ( a2 b 2 ( a1 + a = 2 b 1 + b 2, så definerer vi Man lægger altså vektorer sammen på præcis den måde man ville have gættet på: Man lægger førstekoordinaterne sammen og andenkoordinaterne sammen. Definition 8 (Skalering.( a Hvis vi har en vektor v = og et reelt tal, r, så definerer vi b produktet af r og v eller skaleringen af v med r som: r v = r ( a b = ( r a r b Multiplikation af en vektor med et reelt tal foregår altså igen på den oplagte måde: Man ganger begge vektorens koordinater med det reelle tal. Produktet af r og v omtales også som skaleringen af v med r. Af denne grund kaldes reelle tal ofte for skalarer (=dem man skalerer side 12
med når der arbejdes med vektorer. Dette rammer vi lige ind for hukommelsens skyld: Definition 9. Et reelt tal kaldes fremover også for en skalar Der er to gode grunde til at bruge ordet skalering i stedet for produkt. Den ene grund er at man bedre kan huske at det er to meget forskellige objekter som bliver ganget med hinanden, og at de spiller hver sin rolle: Det er vektoren som bliver skaleret med det reelle tal, og ikke omvendt. Vi skal senere definere hele to forskellige måder at gange vektorer med hinanden på. Den anden gode grund til at skalering er et godt navn er at det passer fint med vores geometriske billede af vektorer. Det skal vi se nærmere på i afsnit 4.5. Lige nu mangler vi kun en enkelt vedtagelse: Definition 10. Hvis der i en udregning optræder både summer og skaleringer af vektorer, så skal skaleringerne udregnes først, som om der var en usynlig parentes omkring dem. Øvelse 4. Beregn følgende vektor: ( 3 ( 5 2 + 7 ( 2 1 4.2 Omvendt vektor og vektordifferens Lige som med reelle tal definerer vi et fortegnsskift : side 13
Definition 11 (Omvendt ( vektor. a Til enhver vektor v = definerer vi dens omvendte vektor, v b som: ( a v = b Dette er den samme vektor som man får hvis man skalerer v med 1. Og lige som med reelle tal bruger vi dette til at definere hvad det betyder at trække en vektor fra en anden: Definition( 12 (Differens. a1 Hvis v = og w = b 1 differensen v w som: ( a2 b 2 er to vektorer, så definerer vi v w = v + ( w Dette er det samme som: v w = ( a1 b 1 ( a2 + b 2 ( a1 a = 2 b 1 b 2 4.3 Snik-snak: Nye regneoperationer Dette afsnit er skrevet for at inspirere nysgerrige læsere til lidt ekstra omtanke. Men det er ikke nødvendigt for at forstå resten af dokumentet, så du kan sagtens springe det over hvis du har travlt. Nu er det jo ikke hver dag man laver helt nye regneoperationer. Men når man en gang imellem gør det, så skal man passe utroligt meget på ikke bare at gå ud fra at de nye regneoperationer opfører sig sådan som man er vant til. F.eks. er vi så vant til at 5 + 7 er det samme som 7 + 5 at vi overhovedet ikke tænker over det i hverdagen. side 14
Her kommer dog et lille skræmme-eksempel, som viser at man ikke altid kan bytte om på to ting som er lagt sammen. Stil dig midt på gulvet (efter at have læst dette. Du kan nu foretage forskellig rotationer af din krop. F.eks. kan du dreje din krop 90 grader mod venstre (prøv selv! Du roterer nu omkring en akse som går fra dine fødder til dit hoved. Denne rotation kalder vi r 1. Du kan også vippe forover (idet vi slukker for tyngdekraften, så du havner liggende vandret i luften med din mave nedad. Du roterer her omkring en akse som går gennem din mave, fra den ene side til den anden lige som en fodboldspiller i bordfodbold. Denne rotation kalder vi r 2. Vi definerer nu at summen af to sådanne rotationer skal bestå af at vi udfører dem efter hinanden. Er det så rigtigt at r 1 + r 2 og r 2 + r 1 er det samme? side 15
4.4 Regneregler Heldigvis opfører de nye regneoperationer for vektorer sig præcis lige som vi er vant til med reelle tal. Sætning 13. Vektoraddition og skalering opfylder følgende regneregler: Den kommutative lov: Hvis v og w er vektorer, så er v + w = w + v Den associative lov: Hvis u, v og w er vektorer, så er ( u + v + w = u + ( v + w De distributive love: Hvis v og w er vektorer og r og s er skalarer, så er: r ( v + w = r v + r w og (r + s v = r v + s v En homogenitetslov: Hvis v er en vektor og r og s er skalarer, så er: (r s v = r (s v = s (r v Indskudsreglen for forbindende vektorer: Hvis A, B og C er tre punkter, så er: AB + BC = AC Længde af skalering: Hvis v er en vektor, og r er en skalar, så er: r v = r v Trekantsuligheden: Hvis v og w er vektorer, så er v + w v + w side 16
Anvendligt? Praktisk eller teoretisk? Som altid med fundamentale regneregler, skal man ikke tro at de ovenstående regneregler er spor anvendelige i praksis. Hvem er f.eks. interesseret i at kunne omskrive: til 6 6 (( 9 2 ( 9 2 + + 6 ( 1 4 ( 1 4 når begge dele er lige nemme at udregne helt konkret? Til gengæld bliver disse regneregler ekstremt nyttige når vi skal arbejde med generelle vektorer, hvor vi ikke kender deres koordinater. Dette er både tilfældet når vi forsøger at sige noget om vektorer som vi ikke kender (endnu, og i allerhøjeste grad når vi beviser sætninger om (vilkårlige vektorer. Egentlig burde vi bevise alle disse regneregler, men da de allesammen (undtagen trekantsuligheden som vi beviser i næste afsnit følger den samme strategi, vil vi nøjes med: Bevis (Bevis for den kommutative lov. Hvis v og w er to vektorer, så lad os se på deres koordinater. Lad os sige at: ( ( x1 x2 v = og w = Vi kan nu udregne: og y 1 ( x1 + x v + w = 2 y 1 + y 2 ( x2 + x w + v = 1 y 2 + y 1 Men da koordinaterne er reelle tal, og det er ligegyldigt hvilken rækkefølge man lægger reelle tal sammen i, giver de to udregninger den samme vektor. y 2 side 17
Øvelse 5. Bevis den associative lov. Hjælp: Navngiv de tre vektorers koordinater. Udregn derefter de to sider af lighedstegnet hver for sig, og forklar hvorfor de bliver ens. 4.5 Geometrisk tolkning De regneoperationer som vi indførte i sidste afsnit passer rigtig fint sammen med vores geometriske billede af vektorer. Gå eventuelt tilbage og læs afsnittet om indtegning af vektorer igen. Sætning 14 (Geometrisk tolkning af vektoraddition. Hvis v og w er vektorer og P er et punkt, og vi indtegner v ud fra P, og bagefter indtegner w ud fra det punkt som v peger på (løst sagt: Vi indtegner w i forlængelse af v, så vil spidsen af w pege på det samme punkt som v + w. Bevis. Hvis vi kalder v s koordinater for a og b, og w s koordinater for c og d, så er ( a + c v + w = b + d Hvis P = (x; y og vi indtegner v derfra, så vil den pege på punktet (x + a; y + b. Når w indtegnes derfra, så vil den pege på punktet: (x + a + c; y + b + d. Men det er præcis det samme punkt som v + w peger på når den indtegnes fra P. Denne sætning giver meget bedre mening hvis man tegner den. Se figur 1. Hvis vi altså tænker på vektorer som angivelser af en bevægelse i koordinatsystemet, så består addition af vektorer løst sagt af at foretage den ene bevægelse først, og derefter den anden, for derefter at glemme hvorhenne man stoppede undervejs. side 18
Figur 1: Geometrisk forståelse af summen af to vektorer. 3 2 1 2-1 1 2 3 4 5-1 -2-3 Dette illustrerer også den kommutative lov: Hvis man i stedet indtegner v i forlængelse af w, så får man tegningen på figur 2. Figur 2: Summen af to vektorer på to måder. 3 2 1 2-1 1 2 3 4 5-1 -2-3 Denne tegning er kendt i fysik som kræfternes parallelogram, idet den illustrer hvordan to kræfter (som jo er vektorer lægges sammen, og at det er ligegyldigt i hvilken rækkefølge de lægges sammen (den kommutative lov. side 19
Sjovt nok bevirker det geometriske billede at vi nu kan bevise trekantsuligheden fra sætning 13 meget nemt, og samtidigt indse hvorfor den hedder trekantsuligheden. Længderne v, w og v + w er nemlig længder af de tre sider i en trekant. Sætningen siger dermed bare at summen af de to siders længder er større end eller lig med den sidste sides længde. Sætning 15 (Geometrisk tolkning af skalering. Hvis v er en vektor og r er en skalar, og vektorerne v og r v indtegnes fra det samme punkt, så giver r v anledning til en pil som er parallel med pilen fra v, og med en længde der er r gange så lang. Hvis r er negativ, så peger de to pile i modsatte retninger. Bevis. Kald vektorens koordinater for: ( a v = b Når den indtegnes fra et punkt P = (x; y så giver den en pil som peger på punktet (x + a; y + b. Derfor er pilen et linjestykke med hældningskoefficient: Hvis vektoren α = y x = (y + b y (x + a x = b a r v = ( r a r b indtegnes, så giver det en pil der peger på punktet (x + r a; y + r b Denne pil er et linjestykke med hældning: β = y x = (y + r b y (x + r a x = r b r a = b a Dette viser at de to pile er parallelle. Påstanden om deres længder er en del af sætning 13. side 20
Øvelse 6. Lav en tegning som illustrerer sætning 15. Sætning 15 leder til følgende definition: Definition 16. To vektorer v og w kaldes parallelle hvis den ene kan skrives som en skalering af den anden. Altså hvis der findes et reelt tal, r, sådan at enten r v = w eller r w = v Bemærk at nulvektor pr. definition er parallel med alle vektorer. Øvelse 7 (Tolkning af vektordifferens. Bevis at hvis vektorerne v = ( a1 b 1 og w = ( a2 b 2 indtegnes fra samme punkt, så er den forbindende vektor fra v s endepunkt til w s endepunkt givet ved differensen: w v som illustreret på figuren nedenunder. side 21
3 2 1 2-1 1 2 3 4 5-1 -2-3 (Hjælp: For at bevise det, skal man først finde et udtryk for de to endepunkters koordinater, og dernæst beregne den forbindende vektors koordinater. side 22
5 Prikproduktet I dette afsnit vil vi definere et produkt af vektorer. Altså en måde at gange to vektorer med hinanden. Definition ( 17. a1 Hvis v = og w = b 1 er to vektorer, så defineres prikproduktet af v og w som: ( a2 b 2 v w = a 1 a 2 + b 1 b 2 Man prikker altså to vektorer med hinanden ved at gange deres førstekoordinater med hinanden, gange deres andenkoordinater med hinanden og lægge de to resultater sammen. Bemærk (!! at prikproduktet af to vektorer ikke giver en ny vektor, men en skalar. Af denne grund kaldes prikproduktet også nogle gange skalarproduktet, men vi vil undlade det her, da det i nogle ører kan lyde som om det er et produkt af skalarer. Observationen er dog så vigtig at vi lige rammer den ind: Prikproduktet af to vektorer giver en skalar! side 23
Øvelse 8. Beregn følgende prikprodukter: (Tegn gerne vektorerne først! a b ( ( 2 1 3 1 ( ( 0 6 0 4 c i j (Husk at disse to vektorer er indført i afsnit 3.4. ( ( 2 8 d (Hvorfor giver det mon det det gør? 1 16 Naturligvis skal vi også se på regneregler for prikproduktet. Det viser sig heldigvis igen at det nye produkt opfører sig præcis lige som vi er vant til at et produkt opfører sig: Sætning 18 (Regneregler for prikproduktet. Prikproduktet opfylder følgende regneregler: Den kommutative lov: Hvis v og w er vektorer, så er v w = w v Den distributive lov: Hvis u, v og w er vektorer, så er u ( v + w = u v + u w En homogenitetslov: Hvis v og w er vektorer og r er en skalar, så er (r v w = r ( v w = v (r w Prikprodukt og længde: Hvis v er en vektor, så er v v = v 2 side 24
Hvis man skal forklare de tre første regler i ord, så siger den kommutative lov at faktorernes orden er ligegyldig, den distributive lov at man må gange ind i parenteser og homogenitetsloven at de forskellige gangetegn er lige hurtige i regnearternes hierarki, sådan at man kan prikke, skalere eller gange i den rækkefølge man har lyst til. De fire regneregler er bevist i et seperat dokument 3. 5.1 Vinkler For at forstå den geometriske betydning af prikproduktet, indfører vi et par nye begreber: Definition 19 (Vinkel mellem vektorer. Hvis v og w er to vektorer som ikke er nulvektor, så definerer vi vinklen mellem dem til at være den vinkel mellem 0 og 180 som opstår hvis v og w tegnes ud fra samme punkt. Læg mærke til at man ikke definerer vinklen mellem nulvektor og en anden vektor. Bemærk også at der som regel dannes to forskellige vinkler når to vektorer tegnes ud fra samme punkt, men man vælger altid den som er mellem 0 og 180. Definition 20 (Ortogonale vektorer. To vektorer v og w kaldes ortogonale (eller: vinkelrette hvis vinklen mellem dem er 90 eller hvis en af dem er nulvektor. Man skriver dette som: v w Bemærk at nulvektor af praktiske grunde siges at være vinkelret på alle vektorer. Dermed har vi defineret at nulvektor både er parallel 3 Læs beviserne her side 25
Figur 3: Vinklen mellem to vektorer 3 2 1 2-1 1 2 3 4 5-1 -2-3 med og vinkelret på alle vektorer. Selvom dette kan virke lidt forvirrende, er det med vilje! Det betyder nemlig at nogle af vores sætninger kan formuleres uden at skulle tage særlige hensyn til nulvektor. Sætning 21. Hvis v og w er to vektorer som ikke er nulvektor, og α er vinklen imellem dem, så er: v w = v w cos(α Denne sætning er meget nyttig, fordi den kan bruges til at finde vinklen imellem to vektorer. Vi gemmer beviset til et andet dokument 4 og viser i stedet et eksempel på hvordan den anvendes: 4 Du kan finde beviset her side 26
Eksempel 2. Lad os starte med vektorerne: og v = w = ( 2 7 ( 1 4 Vi kan lynhurtigt beregne prikproduktet: og de to vektorers længder: Dermed siger sætning 21 at: v w = 2 ( 1 + 7 4 = 26 v = 2 2 + 7 2 = 53 w = ( 1 2 + 4 2 = 17 26 = 53 17 cos(α dvs. dvs. cos(α = 26 53 17 0,866 α cos 1 (0,866 30 Bemærk at cos 1 altid giver den (entydigt bestemte vinkel mellem 0 og 180 som har den givne cosinusværdi. Derfor er det altid den rigtige vinkel som kommer ud når man bruger den inverse cosinus i sidste linje. side 27
Øvelse 9. Find vinklen mellem vektorerne og v = w = ( 254 12 ( 3 64 Sætning 21 har en meget nyttig konsekvens, nemlig at man meget nemt kan se om to vektorer er vinkelrette på hinanden eller ej: Sætning 22 (Vinkelrette vektorer. To vektorer, v og w er vinkelrette hvis og kun hvis deres prikprodukt giver nul. Sagt med symboler: v w v w = 0 Bevis. Vektorerne er vinkelrette præcis hvis en af dem er nul (pr. definition eller hvis cos(α = 0. Dette er præcis de situationer hvor prikproduktet giver nul ifølge sætning 21. Bemærk at dette korollar er den tekniske grund til at man siger at nulvektor er vinkelret på alle andre vektorer. side 28
Øvelse 10. Er følgende to vektorer vinkelrette? v = ( 16 22 og w = ( 19 4 5.2 Projektioner Her kommer et begreb som er meget vigtigt i f.eks. fysik og statistik. For at gøre notationen lidt mindre gnidret vil vi droppe pile over vektorernes navne i resten af dette dokument. Definition 23 (Projektion af vektor på vektor. Hvis v og w er to vektorer, så definerer vi projektionen af v på w som den vektor, v w der, når alle tre vektorer indtegnes fra samme punkt, får situationen på figur 4 til at opstå: Sådan at v w peger på den vinkelrette projektion af v s pilespids, på den linje som er parallel med w. Hvis vinklen mellem v og w er stump, så ser situationen lidt anderledes ud, nemlig som vist på figur 5. Bemærkninger De to vektorer spiller helt forskellige roller. Derfor skal man være omhyggelig med at tale om den vektor som projiceres og den vektor som man projicerer på. Det giver ikke mening at projicere en vektor på nulvektor. Hvis vinklen mellem de to vektorer er 90, så bliver projektionen nulvektor. side 29
Figur 4: Projektionen af en vektor på en anden, hvis vinklen mellem dem er spids. 3 2 1 2-1 1 2 3 4 5-1 -2 Figur 5: Projektionen af en vektor på en anden, hvis vinklen mellem dem er stump. 3 2 1 2-1 1 2 3 4 5-1 Det er ligegyldigt om den vektor som man projicerer peger forlæns eller baglæns, og hvor lang den er. Man projicerer alligevel på den stiplede forlængelse af denne vektor. Projektionen kan både blive længere end, kortere end og endda modsat rettet den vektor man projicerer på. Definition 23 er meget intuitiv, men til gengæld er den svær at bruge i praksis. Den fortæller nemlig ikke hvordan vi skal regne projektioner ud. Det klarer følgende sætning: side 30
Sætning 24 (Projektionen af en vektor på en anden. Hvis v og w er to vektorer, så er projektionen af v på w givet ved: v w = v w w 2 w Bevis. Vi vil lave projektionen i to skridt: Først laver vi en enhedsvektor (altså en vektor med længde 1 som peger i den retning som v w skal pege i. Derefter vil vi skalere denne enhedsvektor med den rigtige længde. Fremgangsmåden er en lille smule forskellig alt efter om vinklen mellem v og w er spids eller stump. Vi tager den mest besværlige situation her, nemlig hvor vinklen er stump. I dette tilfælde skal v w pege i den modsatte retning af w. (Se figur 5. En enhedsvektor som peger i den retning er: 1 w w (Skaleringen med 1 w giver en vektor med længde 1 som peger samme vej som w, og fortegnsskiftet får den til at pege den modsatte vej. Nu er det bare spørgsmålet hvor lang projektionen skal være. Hvis vi kalder denne længde for x, så er x en jo katete i den retvinklede trekant på figur 5. Hyptenusen i denne retvinklede trekant har samme længde som v, altså v. Desuden har vi styr på den vinkel, β som ligger mellem kateten med længde x og hypotenusen. Den er nemlig: hvor α er vinklen mellem v og w. Det giver os en sammenhæng: β = 180 α cos(β = x v side 31
Dvs. x = v cos(β = v cos(180 α = v cos(α Hvor vi i den sidste udregning benyttede at cos(180 α = cos(α Nu er der blot tilbage at skalere enhedsvektoren med den rigtige længde for at få projektionen: ( v w = x 1 w w ( = v cos(α 1 w w = v cos(α 1 w w For at få det til at ligne den påståede formel, vil vi gange og dividere med længden af w. Det giver: v w = v w cos(α = v w 1 w 2 w 1 w 2 w = v w w 2 w Øvelse 11. Gennemfør beviset for sætning 24 i den situation hvor vinklen mellem v og w er spids. side 32
Øvelse 12. ( 2 Beregn projektionen af v = 4 projektionen af w på v. på w = ( 1 0. Beregn også 5.3 Ortogonalkomposanter Udover at være et rigtig sejt ord, så er ortogonalkomposanter meget vigtigt i f.eks. fysik. Og det behøver slet ikke være så mystisk som det lyder: komposanter betyder bestanddele og ortogonal er et fint ord for vinkelret. Når man siger at en vektor opdeles i ortogonalkomposanter betyder det bare at man vil skrive den som en sum af nogle vektorer som er vinkelrette på hinanden: Det er heldigvis nemt på grund af begreberne fra sidste afsnit: Sætning 25. Hvis v og w er to vektorer som er vinkelrette på hinanden, og u er en tredje vektor, så er: u = u v + u w Bevis. Hvis vi indtegner u, v og w fra det samme punkt og tilføjer de to projektioner, så vil det se ud som på figur 6. Eftersom de tre markerede vinkler er rette, må vektorerne, u, u v og u w pege ud på hjørnerne i et rektangel. Og eftersom et rektangel er et parallelogram, viser tegningen samtidigt hvad der sker når u v og u w lægges sammen: Man får nemlig den vektor som peger diagonalt i det parallelogram som de udspænder. Og det er jo u. Øvelse 13. ( 1 Lad v = 3, w = ( 3 1 og u = ( 7 9. Kontroller at v og side 33
Figur 6: Projektioner af en vektor, u, på to ortogonale vektorer. w er vinkelrette på hinanden. Beregn projektionerne u v og u w. Og kontroller til sidst at u = u v + u w Definition 26. Hvis v og w er to vektorer som er vinkelrette på hinanden, og u er en tredje vektor, så kaldes de to projektioner u v og u w for u s ortogonalkomposanter langs v og w. Man siger at u opdeles i ortogonalkomposanter efter v og w, idet man skriver: u = u w + u v En særligt pæn situation er hvis de to vinkelrette vektorer er enhedsvektorer. Det har man et specielt navn til: side 34
Definition 27. Hvis v og w er to enhedsvektorer som er vinkelrette på hinanden, så kalder man dem en ortonormalbasis for det todimensionelle koordinatsystem. Bemærk at de to vektorer i og j som vi definerede i afsnit 3.4 udgør en ortonormalbasis. Det er specielt nemt at opdele en vektor i ortogonalkomposanter efter en ortonormalbasis: Sætning 28. Hvis v og w udgør en ortonormalbasis, og u er en tredje vektor, så er dens opdeling i ortogonalkomposanter efter v og w: u = (u v v + (u w w Bevis. Dette er en direkte konsekvens af sætning 25 og formlen fra sætning 24, idet v og w har længde 1. Øvelse 14. ( 16 Lad u =. Opdel u i ortogonalkomposanter efter vektorerne 12 i og j. Er du overrasket over resultatet? 5.4 Ortogonalkomposanter i fysik Dette afsnit er lidt sværere end de andre, og det kan sagtens springes over hvis man er ved at være træt. Formålet er at vise at de projektioner som man laver i fysik af f.eks. kraftvektorer er de samme som dem vi har snakket om her. I fysik er det meget sjældent at man har konkrete vektorer til at angive de to vinkelrette retninger. I stedet kender man ofte en særligt side 35
vigtig retning (f.eks. vandret eller opad, hvortil alle vektorer danner en vinkel. I denne situation kan man altid (selvom det tit bliver gjort uden af nævne det vælge en enhedsvektor, v, som peger i den særligt vigtige retning, og en anden enhedsvektor, w, som peger vinkelret på denne retning. Man skal dog lige passe på at der er to gode muligheder for at vælge w. Her er man nødt til at vælge efter en ret kompliceret regel for at få det til at passe: Definition 29 (En tradition fra fysik. Hvis u er en vektor som danner vinklen α til en enhedsvektor v, og vi skal bruge en enhedsvektor, w som er vinkelret på v, så vælger vi w sådan at vinklen mellem u og w bliver mellem 0 og 90. Hvis α = 0 eller α = 180 er det ligegyldigt hvilken af de to muligheder vi vælger. Det kan enten se ud som på figur 7 eller 8 alt efter om α er spids eller stump. Figur 7: Valg af w hvis α er spids. Dette valg er lidt underligt, og det ville nok være mere oplagt at vedtage at man altid drejede i samme retning fra v (se næste side 36
Figur 8: Valg af w hvis α er stump. afsnit!, men dette valg har en eneste fordel, nemlig at den næste sætning bliver rigtig: Sætning 30 (Ortogonalkomposanter ud fra en vinkel. Hvis v er en enhedsvektor, u er en vektor som danner vinklen α med v, og w er en enhedsvektor som er valgt vinkelret på v efter ovenstående regel, så kan u opdeles i ortogonalkomposanter ved: u = u cos(α v + u sin(α w Bevis. Fra sætning 28 har vi opdelingen: u = (u v v + (u w w Ved at bruge sætning 21 kan det omskrives til: u = u v cos(α v + u w cos(β w = u cos(α v + u cos(β w Hvor β er vinklen mellem u og w. Men på grund af vores komplicerede valg af w, er β enten givet ved: β = 90 α (Hvis α er spids side 37
eller ved: β = α 90 (Hvis α er stump I begge tilfælde er: cos(β = sin(α og dermed er sætningen bevist. De to ortogonalkomposanter kaldes ofte for parallelkomposanten og vinkelretkomposanten af u. Og sætning 30 forklarer altså den kendte huskeregel fra fysik: Parallelkomposanten findes ved at gange med cosinus, og vinkelretkomposanten ved at gange med sinus. side 38
6 Tværvektor og Determinant Til sidst skal vi lige definere to begreber mere (og et enkelt hjælpebegreb. Når vi senere skal arbejde med vektorer i rummet, så vil du opdage at alt som er foregået indtil nu også kan siges om tredimensionelle (og endnu højere dimensionelle vektorer. Begreberne i dette afsnit er derimod helt specielle 5 for det todimensionelle koordinatsystem. 6.1 Tværvektor Vi starter med en definition: Definition 31 (Tværvektor. Hvis v = ( a b så definerer vi v s tværvektor, v (læses: v-hat som: ( b v = a Sætning 32. Hvis v er en vektor, så er v en vektor som har samme længde som v og er vinkelret på v. 5 For nu at være præcis: Tværvektorbegrebet og vinkel med fortegn findes udelukkende i to dimensioner. Determinanter findes også i højere dimensioner, men det er ikke noget man tager til to vektorer, men derimod til en såkaldt matrix. side 39
Bevis. Navngiv v s koordinater: Dermed er v = v = Prikproduktet af disse to er: ( ( a b v v = b a ( a b ( b a = a ( b + b a = 0 Dette viser at v er vinkelret på v. Længderne er ens, idet: v = ( b 2 + a 2 = a 2 + b 2 = v Det beviser sætningen. For at huske hvordan tværvektorer beregnes bør man bruge definitionen så mange gange at det kommer til at ligge i hånden hvordan man bytter om på de to koordinater og skifter fortegn på den som ender for oven. Øvelse 15. ( 2 Lad v = 3. Beregn v. Udregn også v (altså tværvektoren til tværvektoren. Udregn til sidst v og tegn de tre vektorer ud fra det samme punkt. 6.2 Vinkel med fortegn Når du har lavet øvelsen i sidste afsnit, så har du nok opdaget at en vektors tværvektor består af en drejning mod urets retning, altså den retning som kaldes positiv omløbsretning i matematik. For at holde bedre styr på hvilken vej en vektor er roteret i forhold til en anden indfører vi et mere præcist vinkelbegreb: side 40
Definition 33 (Vinkel med fortegn. Hvis v og w er to vektorer, så definerer vi vinklen fra v til w til at være den sædvanlige vinkel mellem de to vektorer, angivet med et fortegn: Hvis vinklen går fra v til w i positiv omløbsretning (modsat urets retning, angives vinkel som positiv, og hvis den går fra v til w i negativ omløbsretning, angives den som negativ. Hvis vinklen mellem v og w er præcis 180, så sættes vinklen med fortegn til at være positiv. Bemærk at mens man godt kan tale om vinklen (uden fortegn mellem to vektorer, så er det meget vigtigt at angive hvilken af de to vektorer der måles fra og til når man angiver vinkler med fortegn. Eksempel 3. Om de to vektorer v og w som er indtegnet ud fra det samme punkt på figuren nedenfor gælder f.eks. at vinklen fra v til w er cirka 70, hvorimod vinklen fra w til v er cirka 70. side 41
6.3 Determinant Vi er nu klar til at definere et værktøj som (bl.a. kan bruges til hurtigt at se om to vektorer er parallelle eller ej (på samme måde som prikproduktet kan vise om de er vinkelrette eller ej. Definition 34 (Determinant. Hvis og v = w = ( a1 b 1 ( a2 definerer vi determinanten af v og w som: det(v, w = a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 b 2 a 2 b 1 b 2 Denne definition er svær at vænne sig til. Læs den grundigt og forsøg at få en fornemmelse af hvordan notationen a 1 a 2 b 1 b 2 virker: Man skal forestille at man kører igennem firkanten fra øverste venstre hjørne og ned til nederste højre, mens man læser dén gange dén. Dernæst hopper man op til øverste højre hjørne, idet man tænker miiiinus... Til sidst kører man fra øverste højre hjørne (og ned til nederste venstre, idet man igen læser dén gange dén. På samme måde som når man tegner en fisk. side 42
Eksempel ( 4. 2 Hvis v = og w = 4 det(v, w = 2 1 4 107 ( 1 107, så kan vi udregne: = 2 107 ( 1 ( 4 = 214 4 = 210 Øvelse 16. Udregn følgende determinanter: 1 2 3 4 1 3 2 6 0 0 1 1 Øvelse 17. Udregn det(v, w hvor v = det(w, v. ( 1 2 og w = ( 2 6. Udregn også Lad os bevise nogle resultater om determinanten. Først skal vi se at den hænger sammen med prikproduktet og begrebet tværvektor som vi indførte i sidste afsnit: Sætning 35. Hvis v og w er vektorer, så er det(v, w = v w side 43
Bevis. Kald vektorernes koordinater for v = ( a1 b 1 og w = ( a2 Vi udregner: det(v, w = a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1 og ( ( b1 a2 v w = = ( b 1 a 2 + a 1 b 2 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 De to udregninger giver sørme det samme. b 2 b 2. Dernæst en sammenhæng som ligner sætning 21 lidt: Sætning 36. Hvis v og w er vektorer, og α er vinklen (med fortegn! fra v til w, så er: det(v, w = v w sin(α Bevis. Ved hjælp af sætning 35, 21 og 32 kan vi omskrive: det(v, w = v w = v w cos(β = v w cos(β hvor β er vinklen (uden fortegn mellem v og w. Nu er der fire situationer som skal behandles lidt forskelligt. (Se figur 9. I hver af situationerne er vinklen (med fortegn fra v til w givet ved: Situation A: Situation B: Situation C: Situation D: α = 90 β α = 90 + β α = (270 β = β 270 = 90 + β 360 α = (β 90 = 90 β side 44
Figur 9: De fire muligheder i beviset for sætning 13 A: B: C: D: Men det betyder under alle omstændigheder at: Så derfor følger omskrivningen: sin(α = sin(90 ± β = cos(β det(v, w = v w cos(β = v w sin(α Denne sætning medfører øjeblikkeligt følgende nyttige konklusion: Sætning 37. Hvis v og w er to vektorer, så giver deres determinant nul præcis side 45
hvis de er parallelle. Sagt med symboler: det(v, w = 0 v w hvilket forklarer navnet determinant. At determinere betyder at bestemme eller afgøre, og determinanten af to vektorer afgør altså om de er parallelle eller ej. Bevis. Selvom argumentet er næsten det samme, bør man bevise hver af de to implikationer seperat. : Hvis determinanten giver nul, så medfører sætning 36 enten at en af de to vektorer har længde nul, eller også at sin(α = 0. Det første betyder at en af vektorerne er nulvektor, og det sidste betyder at vinklen mellem dem er enten 0 eller 180. Eftersom vi har defineret nulvektor til at være parallel med alle andre vektorer betyder begge dele at de to vektorer er parallelle. : Hvis de to vektorer er parallelle, så er det enten fordi en af dem er nulvektor eller fordi vinklen mellem dem er 0 eller 180. I begge tilfælde giver sætning 36 at determinanten må være nul. 6.4 Det udspændte areal Til allersidst en konkret anvendelse af determinanten: Sætning 38 (Areal af det udspændte parallelogram. Hvis v og w er to vektorer som indtegnes fra det samme punkt, så udspænder de et parallelogram (se figur 10 med areal A, hvor: A = det(v, w side 46
Figur 10: To vektorers udspændte parallelogram Bevis. Beviset er utroligt enkelt når bare man får tegnet den rigtige tegning. (Se figur 11. Vi indtegner en højde i parallelogrammet og tilføjer vinklen (med fortegn, α fra v til w. Figur 11: Arealet af det udspændte parallelogram Nu opstår der en retvinklet trekant, hvor vi hurtigt kan beregne side 47
h, fordi: dvs. sin(α = h w h = w sin(α og dermed er parallelogrammets areal: A = v h = v w sin(α hvilket er det samme som determinanten af v og w ifølge sætning 13. Desværre tog ovenstående bevis udgangspunkt i en tegning (figur 11, og vi kan ikke være sikre på at situationen altid ser helt sådan ud. Derfor vil vi lige slutte af med at forsvare påstanden i de irriterende tilfælde hvor tegningen ser lidt anderledes ud. Tilfælde 1: Vinklen fra v til w er stump. For det første kan det tænkes at vinklen fra v til w bliver større end 90. I dette tilfælde er det ikke α, men derimod β = 180 α som er vinkel i en retvinklet trekant sammen med modstående katete h og hypotenuse w. Så derfor får vi arealet: Men eftersom A = v h = v w sin(β = v w sin(180 α sin(α = sin(180 α er dette også lig med determinanten af v og w. Tilfælde 2: Vinklen fra v til w er negativ. For det andet kan det tænkes at v og w bytter plads i tegningen, sådan at vinklen fra v til w bliver negativ. Denne mulighed er hele side 48
grunden til at der er en nummerisk værdi i vores sætning, for indtil nu har arealet jo været lig med determinanten (uden nummerisk værdi. Men når α er negativ, så skifter sin(α fortegn, hvilket igen bevirker at determinanten bliver negativ. Den nemmeste måde at håndtere dette tilfælde på er simpelt hen at bruge vores argumenter ovenfra med v og w byttet om. (Sådan at vi snakker om vinklen fra w til v, som jo er positiv. Dermed når vi frem til at arealet af det parallelogram som w og v udspænder (hvilket selvfølgelig er det samme som det parallelogram som v og w udspænder er givet ved: A = det(w, v = det(v, w Men eftersom determinanten er negativ, betyder det(v, w præcis det samme det(v, w, og det var hvad vi påstod at arealet ville være. side 49