Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af H 0σ 2 : σ = σ 2 =... = σ k................................ 3 2.3 Test af H 0µ : µ = µ 2 =... = µ k................................. 3 2.4 Kofidesitervaller....................................... 4 2.5 k = 2............................................... 4 2.6 Test af µ = µ 0 og σ 2 = σ 2 0, for k =.............................. 5 3 Multiomialfordelige 6 3. Propositio 7........................................... 6 3.2 Test af Hypotese π = π 0 (simpel hypotese).......................... 6 3.3 Geerelt tilfælde......................................... 7 4 Lieær Regressio 7 4. Test af lieær regressio..................................... 7 4.2 Modeloversigt........................................... 8 4.3 M 2 M 3............................................. 8 4.4 M 2 M3............................................. 9 4.5 M3 M 4............................................. 9 4.6 M 3 M 4............................................. 0 5 Lieære ormalfordeliger - geerelt 0 5. Til-og-fra-formel......................................... 0 6 Beregigsskemaer
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame Formler SSD 2 = SP xt = x i t i i= (s. 22) SSD = USS S2 s 2 = S2 (USS ) (begge s. 64) ( k k ) i ( x i. x..) 2 Si 2 = i i= i= (s.03, eller 6) k s 2 i= = f (i)s 2 k (i) i= = SSD (i) f k i= f (i) (s. 5) 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2. Modelcheck S.2. Hvis ma vil udersøge om et datasæt er ormalfordelt, plottes det i et fraktildiagram (se s. 3 for skabelo). Hvis dataee ligger på omtret e ret lije, bliver modelle: Som afskrevet s. 0-03 M 0 : x ij N(µ i, σ 2 i ), j =,..., i, i =,..., k µ i x i. N(µ i, σ2 i i ) σ 2 i s 2 (i) σ2 i χ 2 (f (i) )/f (i) 2
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame 2.2 Test af H 0σ 2 : σ = σ 2 =... = σ k 2 l Q(x) Ba = C hvor k 2 l Q(x) = f l s 2 f (i) l s 2 (i) C = + i= χ 2 (k ) [( k 3(k ) i= f (i) ) f hvor f = i f (i) * gælder (approksimativt) hvis f (i) 2 Testsadsylighed: p obs (x) = F χ2 (k )(Ba) Hvis e udregig i håde giver 2 l Q(x) < 0, har ma begået e fehler! Hvis H 0σ 2 holder vad, står ma med: M : x ij N(µ i, σ 2 ), j =,..., i, i =,..., k µ i x i. N(µ i, σ2 ) i σ 2 s 2 = SSD k i= = SSD (i) σ 2 χ 2 (f )/f f f 2.3 Test af H 0µ : µ = µ 2 =... = µ k F (x) = s2 2 s 2 F (k,. k) Testsadsylighed: hvor s 2 2 = SSD 2 k p obs (x) = F F (k,. k) (F (x)) bemark at hvis hypotese godkedes, ædres middelværdistrukture, og dermed varias-estimatet. Det korte og det lage: M 2 : x i N(µ, σ 2 ), i =,..., µ x. = S σ2 N(µ, ) σ 2 s 2 σ 2 χ 2 (f)/f 3
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame 2.4 Kofidesitervaller 2 Geerelt: Ma tager variase af estimatet, udskifter σ 2 med dets estimat, tager e kvadratrod, og gager med t α/2 (f). Også kedt som [ est. ± Std.error t α/2 (f) Ellers: For σ 2 : [ f s 2 χ 2 α/2 (f ), f s 2 χ 2 α/2 (f ) hvor χ 2 α/2 (f ) og χ 2 α/2 (f ) beteger fraktiler. For µ i : x i. s 2 s 2 t α/2 (f ), x i. + t α/2 (f ) i i hvor t α/2 (f ) beteger e fraktil. 2.5 k = 2 3 Test af H 0σ 2 : σ 2 = σ 2 2 Lad s 2 umerator = max {s 2 (), s2 (2) }, og lad f umerator være de tilhørede frihedsgrader, og lad s 2 deomiator = mi {s2 (), s2 (2) }, med tilhørede frihedsgrader f deomiator. F (x) = s2 umerator s 2 deomiator Testørrelse: F (f umerator, f deomiator ) Testsadsylighed: p obs (x) = 2 [ F F (fumerator,f deomiator )(F (x)) Hvor F (f umerator, f deomiator ) er F-fordelige med f umerator frihedsgrader i tællere, og f deomiator frihedsgrader i ævere. 2 s. 04 3 s. 94-95 4
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame Skulle hypotese blive accepteret, er modelle så: x ij N(µ i, σ 2 ), i =, 2, j =,..., i µ i x. N(µ i, σ2 i ) σ 2 s 2 = f ()s 2 () + f (2)s 2 (2) f () + f (2) = SSD () + SSD (2) f () + f (2) σ 2 χ 2 (f )/f hvor f = f () + f (2) =. 2 Test af H 0 : µ = µ 2, for samme varias 4 x. x 2. t(x) = ( ) t(f ) s 2 + 2 Testsadsylighed 5 : p obs (x) = 2 [ F t(f)( t(x) ) hvor f = f () + f (2) = + 2 2 Test af H 0 : µ = µ 2, for forskellig varias x. x 2. t(x) = t( f) s 2 () / + s 2 (2) / 2 hvor t( f) er t-fordelige med f frihedsgrader. f ka reges som Testsadsylighed: f = s 2 () + s2 (2)! 2 s 2 () f () + s 2 (2) 2 f (2)! 2 [ p obs (x) = 2 F t( f) ( t(x) ) 2.6 Test af µ = µ 0 og σ 2 = σ 2 0, for k = 6 Test af µ = µ 0, σ 2 kedt u(x) = x. µ 0 N(0, ) σ 2 0 / 4 s 2 fudet s. 94 5 f fudet s. 95 6 s. 78-79 5
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame Testsadsylighed: Test af µ = µ 0, σ 2 ukedt Testsadsylighed: Test af σ 2 = σ 2 0 Testsadsylighed: p obs (x) = 2 [ Φ( u(x) ) u(x) = x. µ 0 t(f) s2 / p obs (x) = 2 [ F t(f) ( t(x) ) fs σ 2 0 χ 2 (f) 3 Multiomialfordelige 3. Propositio 7. 7 For x j > 0, j =,..., k og k x j = : { 2Fχ 2 (f)( fs ) hvis fs f σ0 2 σ0 2 2( F χ2 (f)( fs )) hvis fs f σ0 2 σ0 2 Model: Fuktioe g : Π (k) R π π x... πxj j... π x k k har maximum for ˆπ = ( x,..., x k,..., x k ) M 0 : X m(, π), π Π (k) det skal bemærkes at Π (k) = {π R k π j > 0, j =,..., k, k π j = } j= 3.2 Test af Hypotese π = π 0 (simpel hypotese) 8 2 l Q(x) = 2 k j= x j l ( x j e j ) χ 2 (k d) i det simple tilfælde er e = π 0 7 s. 305 8 s. 307-308 6
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame Testsadsylighed: p obs (x) = F χ2 (k d)( 2 l Q(x)) d er i dee sammehæg atal frie parametre uder hypotese. 3.3 Geerelt tilfælde I det geerelle tilfælde fides e ved at idsætte π(θ) i Testsadsylighed: L(θ) =! x!... x j!... x k! π (θ) x... π j (θ) xj... π k (θ) x k og få dette på e form så ma ka bruge Prop. 7. på de. Udkommet af dette,ˆθ, ka så puttes id i e = (e,..., e j,..., e k ) = (π (ˆθ),..., π j (ˆθ),..., π k (ˆθ)) p obs = F χ2 (k d)( 2 l Q(x)) d er i dee sammehæg atal frie parametre uder hypotese. 4 Lieær Regressio 4. Test af lieær regressio I det geerelle tilfælde er de eeste måde at plotte dataee i e graf, og se hvorvidt placere sig ligger lieært. Skulle det være tilfældet at der er flere måliger (over 0) for hver værdi af de forklarede variabel (t), således at serie ka deles op i k måliger, hvor alle i (> 0) måliger i de i te gruppe har samme t-værdi, ka ma gøre følgede 9 : Udgagspuktet er Dee model ka f.eks. tjekkes vha. k fraktilplot s. Holder de vad, testes: vha. Bartlett (se ovefor). Næste skridt er M 0 : X ij N(µ i, σ 2 i ) M : X ij N(µ i, σ 2 ) M 2 : X ij N(α + βt i, σ 2 ) Reduktioe fra M til M 2 ka testes vha. til-og-fra-formle: F (x) = SSD 02 SSD f 02 f s 2 = s2 2 s 2 F (k 2, k) 9 s.33-34 7
4.2 Modeloversigt 0 M 3 : X i N(α + β 0 t i, σ 2 ) Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame hvor f = k p obs (x) = F F (k 2, k) (F (x)) Går det godt, står ma altså med: M 2 : X ij N(α + βt i, σ 2 ) β ˆβ = SP D ( xt σ 2 ) N β, α ˆα = [S x ˆβS ( t N(α, + t 2 ). σ 2 s 2 02 = 2 SSD 02 σ 2 χ 2 (f 02 )/f 02 hvor f 02 = 2 H 03 : β = β 0 H 04 : α = α 0 M 2 : X i N(α + βt i, σ 2 ) M 4 : X i N(α 0 + β 0 t i, σ 2 ) H03 : α = α 0 H 04 : β = β 0 M3 : X i N(α 0 + βt i, σ 2 ) 4.3 M 2 M 3 Test af H 03 : β = β 0 : t(x) = ˆβ β 0 s 2 02 / t( 2) Testsadsylighed: p obs (x) = 2 [ F t( 2) ( t(x) ) Holder de vad, er modelle som beskrevet i modeloversigte, og estimatere er: α ˆα M3 = x. β 0 t. N(α, σ2 ) σ 2 s 2 03 = {x i (ˆα M3 + β 0 t i )} 2 = i= [SSD 02 + ( ˆβ β 0 ) 2 σ 2 χ 2 ( )/( ) 0 s. 56, alt følgede er taget fra sidere 56-58 8
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame -α-kofidesiterval for α: [ ˆα ± s 2 03 ( )t α/2(f 03 ) 4.4 M 2 M 3 Test af H 03 : α = α 0 t(x) = s 2 02 ˆα α 0 ( ) t( 2) + t 2. Testsadsylighed: p obs (x) = 2 [ F t( 2) ( t(x) ) Holder de vad, er modelle som beskrevet i modeloversigte, og estimatere er: β ˆβ i= M 3 = t i(x i α 0 ) = Sp xt α 0 S t σ 2 N(β, ) i= t2 i USS t USS t -α-kofidesiterval for β: σ 2 s 2 03 = {x i (α 0 + ˆβ M 2 t i)} 2 = 3 i= [ USS x + α0 2 2α 0 S x ˆβ M 2 USS 3 t σ 2 χ 2 ( )/( ) ˆβ ± s 2 03 t α/2 (f USS 03) t 4.5 M 3 M 4 Test af H 04 : β = β 0 Testsadsylighed: t(x) = ˆβ M 3 β 0 s 2 03 /USS t = SP xt α 0 S t β 0 USS t s 2 03 /USS t p obs (x) = 2 [ F t( ) ( t(x) ) t( ) Holder de vad, er modelle som beskrevet i modeloversigte, og estimatere er: σ 2 s 2 04 = {x i (α 0 + β 0 t i )} 2 = i= [ USSx + α 2 0 + β 2 0USS t 2α 0 S x 2β 0 SP xt + 2α 0 β 0 S t σ 2 χ 2 ()/ 9
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame 4.6 M 3 M 4 Test af H 04 : α = α 0 t(x) = ˆα M 3 α 0 s 2 03 t( ) Testsadsylighed: p obs (x) = 2 [ F t( ) ( t((x)) ) Holder de vad, er modelle som beskrevet i modeloversigte, og estimatere som beskrevet ovefor. 5 Lieære ormalfordeliger - geerelt 5. Til-og-fra-formel Omdrejigspuktet er til-og-fra-formle. Her regede på overgage M l M m F (x) = x P l (x) 2 x P m(x) 2 ( d l ) ( d m) s 2 0 F (d m d l, d ) Med testsadsylighed p obs (x) = F F (dm d l, d )(F (x)) Det er vist s. 87 hvor ma fider størrelsere i et GLM-prit. Det skal iøvrigt bemærkes, at skal ma rege på e overgag fra gruppe-afhægig spredig, til es spredig, så gøres det emt og smertefrit vha. stadardmetode, se afsit 2.2 ovefor. s. 87 0
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame 6 Beregigsskemaer Taget s. 59: Udregigsskema for model M q x t S S x S t SP SP xt SSD USS x S2 x USS t S2 t SPD SP xt SxSt ˆβ SP D xt ˆα [S x ˆβS t SSD 0q SSD x SP D2 xt s 2 0q 2 SSD 0q
Kaare Mikkelse Hjælpeark til modellerig- eksame Taget s. 59: Udregigsskema for model M q x t S S x S t SP SP xt SSD USS x S2 x USS t S2 t SPD SP xt SxSt ˆβ SP D xt ˆα [S x ˆβS t SSD 0q SSD x SP D2 xt s 2 0q 2 SSD 0q 2