Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion er givet ved: f ( x) 2x 5. Løs ved beregning ligningen: f ( x) 7 a) 3x 8 x 4 b) 2x 3x 2 x 4x 3 3x 1 x 2x 3 c) 2(2x 3) 14 d) 1 3 2 3 x a) 2( x 1) 5(2 x) b) 2( x 3) 3(2 x) c) x 1 5 2x 4 2 2x x 3x 3(2 x) 1 d) 1 3 2( 3) 2 x x Opgave L2½) Find ved beregning skæringspunkterne imellem graferne for for f ( x ) og g( x ) I, hvor f og g er givet herunder: a, b og c regnes i hånden. a) f ( x) x 1 og g( x) 2x 13 b) f ( x) 4x 5 og g( x) x 1 c) f ( x) 4x 21 og g( x) ½x 6. d) f ( x) 3 x 2 og g( x) ½x 6 Findes både ved solve og på grafen e) Overvej, hvordan man kan gøre prøve (undersøge, om man har regnet rigtigt) uden at tegne graferne
Opgave L3) To funktioner er givet ved f ( x) 3x 5 og g( x) x 7 2 Opgave L4) a) Find ved beregning i hånden skæringspunktet imellem grafen for f og grafen for g. b) Find ved beregning i hånden f (1) c) Ved beregning i hånden: Find for f ( x ) den x-værdi, der svarer til y 13. ( DVS. løs ligningen f( x) 13 ved beregning) d) Find ved beregning i hånden den x-værdi, hvor grafen for f ( x ) skærer x-aksen. e) Tegn graferne for f ( x ) og g( x ) I grafværkstedet i Nspire - og kontroller alle resultaterne ovenfor ved hjælp af punkt på. To funktioner er givet ved f ( x) 2x 3 og g( x) 2x 4 a) Find ved beregning i hånden skæringspunktet imellem grafen for f og grafen for g. b) Find ved beregning i hånden f (2½) c) Løs ved beregning i hånden ligningen g( x) 2 / 3 d) Tegn graferne for f ( x ) og g( x ) i hånden ved hjælp af a og b i y ax b. (Dvs. uden sildeben) Og kontroller dine resultater fra a, b og c ved aflæsning. Tegn aflæsningerne ind på grafen. Opgave L5) - Drilleligninger: a) 2( x 5) 3 x ( x 1) b) 1 x ( x 5) 14 2(4 1 x) c) x x 2 3 0 d) 3 6 ( x 2) 2 x x Opgave L6) Det oplyses, at g og x x 15 f ( x) 2x 3 Find ved beregning a) f(2) og b) x, så f(x) = 79 Find ved beregning, skæringspunktet imellem grafen for f(x) og: c) grafen for g(x) d) y-aksen e) x-aksen
Funktioner & modeller 3 Opgave M0: (Løses i TI-Nspire CAS) I en (Tænkt) model for antal syge ved en influenza fås de viste tal, hvor tiden er i uger og antal syge er i tusinder. Det er en tænkt model, og vi antager, at antal syge med influenza udvikler sig som et 3. gradspolynomium hvor f(x) er antallet af syge med influenza, og x er antal uger efter første tælling. a) Find forskriften for f(x) ved regression... b) Tegn grafen, i Graf-værkstedet så sygdommens forløb fremgår fra sygdommen bryder ud til der ikke er flere syge. c) Afgør ved hjælp af forskriften f(x) (altså uden at aflæse på grafen) hvor mange, der ifølge modellen er syge med influenza efter 6 uger. d) Samme spørgsmål som i c, men nu ved at aflæse på din graf. Sæt tekster på din graf, der viser din aflæsning tegn evt. hvis du kan(i geometri-menuen) [Hint: I Graf-værkstedet er der skrive-muligheder ved højreklik og tegnemuligheder under geometri]. e) Ved aflæsning: Find maksimum for f(x). Og skriv, hvad det betyder for antallet af syge. f) En anden sygdom (forkølelse) udvikles så der til tiden x uger er g x syge med forkølelse, hvor x 2 g x 60* 8 2000 * Hvornår er der lige mange syge med influenza og forkølelse? [Hint: brug Solve] * Hvor mange syge er der i alt på det tidspunkt? g) Ved aflæsning: Find monotoniforholdene for f(x). Opskriv dem med intervaltegn De kantede parenteser (se evt. arbejdsbogen side 11). Skriv også monotoniforholdene, i almindeligt sprog (om antal syge). h) For de hurtige: Hvornår er det samlede antal syge (ved begge sygdomme tilsammen) størst? (Vi går ud fra, at ingen har begge sygdomme samtidigt).
Opgave M1: (Løses i TI-Nspire CAS) 4 Fra et dambrug udledes ved et uheld spildevand til et vandløb. Spildevandet bliver årsag til iltsvind i vandløbet. I en matematisk model beskrives iltunderskuddet ved funktionen: f(x) = 97.5 x 0.67 x Hvor x er tiden efter forureningen målt i døgn ( x er positiv). Og f(x) er iltunderskuddet målt i mg. pr. liter. a) Start en opgave i TI-Nspire CAS. I noter; Definer funktionen ved hjælp af dens forskrift Og tegn grafen i værkstedet Grafer. [Hint: Brug f(x):= Se evt. videoen Mere om at bruge forskriften fra en regression i opgaver (på behrndt.be) ] c) Afgør ved hjælp af forskriften f(x) (altså uden at aflæse på grafen) hvor stort iltsvindet er 5 dage efter udslippet. Brug en matematikboks i Nspire CAS til at lave beregningerne og skriv svaret som almindelig tekst. d) Løs samme spørgsmål som i c, (hvor stort er iltsvindet 5 dage efter udslippet?) men denne gang ved at aflæse på din graf. Illustrer din aflæsning tydeligt på din graf. [Hint: I værkstedet Grafer findes mange gode tegneværktøjer i menuen under Geometri - for eksempel Punkter og linjer, Punkt på ]. e) Ved aflæsning: Find maksimum for f(x) Og skriv, hvad det betyder for iltsvindet i vandløbet. [Hint: I værkstedet Grafer kan du for eksempel bruge Tangentlinje, som du finder i menuen under Geometri og Punkter og linjer ]. f) Ved aflæsning: Find monotoniforholdene for f(x). Opskriv dem med intervaltegn De kantede parenteser (se evt. arbejdsbogen side 11). Skriv også monotoniforholdene, i almindeligt sprog (om iltsvindet i vandløbet). g) Afgør ved at aflæse på din graf, hvornår iltsvindet bliver 20 mg. pr. liter [Hint: I værkstedet Grafer kan du for eksempel bruge Punkt på, som du finder i menuen under Geometri og Punkter og linjer ]. h) Afgør ved hjælp af forskriften, hvornår iltsvindet bliver 20 mg. pr. liter. [Hint: Du kommer til en ligning. Brug kommandoen Solve til at løse den. Se evt. videoen Mere om at bruge forskriften fra en regression i opgaver (på behrndt.be) ] Opgave M 2 løses uden hjælpemidler En is smelter, så den mængde is, der er tilbage er givet ved modellen: f(x) = - 7x + 200 hvor x er tide i minutter efter smeltningen begyndte, og f(x) er mængden af is i gram. a) Hvor meget is er der tilbage efter 10 minutter? b) Giv en tolkning af tallene -7 og 200 i relation til den smeltende is. c) Hvor længe går der, før der ikke er mere is tilbage?
Opgave M3 5 Denne opgave er fra studentereksamen på B-niveau i matematik. De forventes at finde præcise resultater fx med Nspire. Endnu må du nøjes med at løse opgaven ved at tegne i Nspire og aflæse.: c) Bestem hvor langt fra kasteren, kuglen er højest over jorden (målt på jorden). Opgave M4 Det oplyses at det parabelbuede tværsnit kan beskrives ved funktionen: f(x) = -0,043x 2 + 4.3 Undersøg, om en lastbil, som er 2,5 meter bred og 4,0 meter høj (se figuren) kan køre igennem tunnelen. Vis dine udregninger. Bestem den største bredde, en vej i tunnelen kan have, hvis højden over vejen overalt skal være mindst 3,2 meter. Tip: Lav en skitse parabelbuen i et koordinatsystem, og brug forskriften. Prøv så at at omformulere spørgsmålene til noget med x og y Sidste spørgsmål giver en andengradsligning. Det er OK at løse den i Nspire
Opgave M9 Figuren viser en skitse af et område, som har omkredsen 100 m. 6 a) Hvad bliver b, hvis a = 5 m? b) Hvad bliver arealet af området, hvis a = 5 m b) Bestem arealet af området som en funktion af a. c) Hvor stort bliver arealet, hvis a = 10 m? d) Hvad bliver a, hvis arealet er 588 m 2 (a=20) e) Hvad skal a være, hvis arealet skal være størst muligt (1.g metode er OK i d.) f) Hvad er det største og det mindste, a kan være? Regression Opgave R1 er en gammel eksamensopgave: Du skal bruge regression
Sjove opgaver 7 Opgave S1 En divisor i et tal a er et tal, som går op i a. Et helt tal har præcis 8 divisorer, hvoraf 35 og 77 er to. (Tallet ét (1) og tallet selv regnes for divisor i tallet). Find tallet. TIP: Se på primtal, som er divisorer i 35 og 77. Opgave S2 Hver enkelt person i en gruppe på 10 personer sender beskeder til 5 andre af gruppens medlemmer. Gør rede for, at der må være nogle af dem, der har sendt beskeder til hinanden. Tip: Tænk på en 10-kant. Opgave S3 Længderne af halvcirkelbuerne fremgår af figuren. Hvad er arealet af det mørke område: a) 18, b) 36, c) 54, d) 72, e) 144