Modellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner.

Transkript

1 Modellering Modellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner. Der er forskellige trin, når der modelleres. De er beskrevet nedenfor. 1. Praktisk beskrivelse af en problemstilling 2. Skitse 3. Sildeben 4. Indretning af koordinatsystem (Udfyld hele papiret) 5. Tegning af grafer 6. Finde forskrifter for funktionerne 7. Beregne skæringspunkter (break even) 8. Konkludere Værktøjskasse Spørgsmål: a) Hvornår er tilbudene lige dyre? b) Hvornår er tilbud 1 billigst? c) Hvornår er tilbud 2 billigst? d) Hvornår er der P kr i forskel på de to tilbud e) O.s.v. y = ax + b, Ligningen for den rette linie ( y2 y1) a a er hældningskoefficienten. Pris pr. stk, Pris pr. km, Pris pr. minut, H ( x x ) 2 1 y a( x x y Bruges når man kender et punkt og hældningen a ) To ligninger med to ubekendte. Bruges til at beregne break even. Intervaller Bruges ved afgrænsning af stykkevis lineære funktioner Begrænsninger Når vi laver en matematisk model skal vi huske at den altid har sine begrænsninger. Man kan lave en model med to variable og så kan man bygge nogle ændringer ind. Så får vi stykkevis lineære funktioner eller gaffelfunktioner.

2 Eksempel 1. En forretning har følgende to tilbud, når der lejes en bil. Prisen er bl.a. afhængig af hvor mange km, der køres. Tilbud 1: Tilbud 2: 3 kr/ km 2 kr for de første 1 km. Derefter 5 kr pr. km. Gennemgå de syv trin 2. Skitse 3. Sildeben x Tilbud 1 y Tilbud 2 y Indretning af koordinatsystem (Udfyld hele papiret) Papiret lægges på denne måde: På x-aksen svarer 5 cm til 1 km. På y-aksen svarer 1 cm til 1 kr

3 pris 5. Tegning af grafer Sammenligning af tilbud y y km 6. Finde forskrifter for funktionerne Tilbud 1: y 3x, x Tilbud 2: 2, y 5x b, x 1 x 1 Beregning af b: y a( x x ) y a 5 og ( x, y ) 1,2) D.v.s. y 5( x 1 ) 2 y 5x 5 2 Heraf fås: y 5x 3 Tilbud 2: 2, y 5x 3, x 1 x 1

4 7. Beregne skæringspunkter (break even) Beregning af første skæringspunkt: 2 3x x 667 Beregning af andet skæringspunkt 5x 3 3x 2x 3 x Konkludere Tilbuddene er lige dyre når: x 667 x 15 Tilbud 1 er billigst når: x 667 x 15 Tilbud 2 er billigst når: 667 x 15

5 Eksempel 2. To mobilselskaber har følgende tilbud på betaling af mobiltelefoni. FONIA: GEMSIGT: 1 kr i fast abonnement og 1,5 kr pr. minut 5 kr i fast abonnement + 2,5 kr/ minut for de første 5 minutter. Ringer du længere tid skal du kun betale yderligere 5 øre pr. minut. Lav de syv trin med eksempel 2 2. Skitse 3. Sildeben Minutter x FONIA y 1 137, , ,5 325 GEMSIGT y 5 137, , ,5 275

6 pris i kr 4. Indretning af koordinatsystem 1 cm på x-aksen svarer til 1 minutter 1 cm på y-aksen svarer til 2 kr Papiret vendes sådan 5. Tegning af grafer FONIA OG GEMSIGT antal minutter y y

7 6. Finde forskrifter for funktionerne FONIA: y 1,5 x 1, x GEMSIGT: 3,5 x 5 y,5x b, x 5 x 5 Beregning af b: y a( x x ) y a,5 og ( x, y) (5,225) D.v.s. y,5( x 5 ) 225 y 5x Heraf fås: y,5x 2 GEMSIGT: 3,5x 5 y,5x 2, x 5 x 5 7. Beregne skæringspunkter (break even) Beregning af første skæringspunkt: 1,5 x 1 3,5x 5 5 2x x 25 Beregning af andet skæringspunkt 1,5 x 1,5x 2 x 1 9. Konkludere Tilbuddene er lige dyre når: x 25 x 1 FONIA er billigst når: 25 x 1 GEMSIGT er billigst når: x 25 x 1

8 Eksempel 3. Lise bor i Næstved og Lars bor i Roskilde. De må ikke komme sammen for deres forældre fordi Lars kommer fra Roskilde og Lise kommer fra Næstved. Det synes de er ufedt, så de beslutter at mødes under dække af en cykeltur. Lise cykler fra Næstved mod Roskilde og Lars cykler fra Roskilde mod Næstved. Der er 8 km mellem Roskilde og Næstved. Man kan også sige, at Roskilde ligger 8 km fra Næstved. Deres cykeltur foregår under dække af at Lars skal besøge en onkel i Næstved og Lise skal besøge en tante i Roskilde. Lars cykler det første stykke med en hastighed på 21 km/t og Lise cykler det første stykke med en hastighed på 27 km/t. Efter et stykke tid møder de hinanden og bruger 45 min på at kigge hinanden dybt i øjnene, sige romantisk ord og kysse en lillebitte smule. Derefter fortsætter de mod hver sin by og pga. af at de lige har oplevet et glimt af kærligheden stiger deres hastighed med 15% Svar med udgangspunkt i nogle af de syv trin på følgende spørgsmål: a) Hvor langt er de fra Næstved, da de mødes? b) Hvor langt er de fra Roskilde, da de mødes? c) Hvor lang tid går der før de mødes? d) Hvad er Lises hastighed efter mødet? e) Hvad er Lars` hastighed efter mødet? f) Hvor lang tid går der i alt før Lars møder onklen? g) Hvor lang tid går der i alt før Lise møder tanten? h) Hvor langt er de fra hinanden efter 2,5 timer? Her er det smart at bryde lidt op i systemet.

9 Vi starter med skitsen: Derefter er det smart at regne hastighederne om til km/min Ligningen for Lars`første stykke bliver: 21 y x 8 Ligningen for Lises første stykke bliver: y 27 x

10 Svaret på spørgsmål a,b og c kan findes ved at beregne skæringspunktet mellem de to linier: y x 8 y x x 8 x y x 21 8* x x y x 21x 48 27x y 48x y x x 1 27 y *1 x 1 27 y *1 x 1 27 y *1 x 1 y x a) De mødes 45 km fra Næstved b) De mødes 35 km fra Roskilde c) De mødes efter 1 min = 1 time og 4 min. d) Lars`hastighed efter mødet: 21*1,15 km/t = 24,15 km/t e) Lises hastighed efter mødet: 27*1,15 km/t = 31,5 km/t Nu skal vi finde de to ligninger for det sidste stykke: a 31,5 ( x, y ) (145,45) Lise: Da er 31,5 y ( x 145) 45 31,5 y x 3,375

11 a 24,15 ( x, y ) (145,45) Lars: Da er 24,5 y ( x 145) 45 24,15 y x 96,1125 f) Hvor lang tid går der før Lars møder onklen 24,15 x 96, ,15 96,1125 x 24,15 96,1125 x 96,1125* x 24,15 x 239 Der går 239 min = 3 timer og 59 min før Lars møder onklen i Næstved

12 g) Hvor lang tid går der før Lise møder tanten 31,5 8 x 3,375 31,5 8 3,375 x 31,5 11,375 x 11,375* x 31,5 x 213 Der går 213 min = 3 timer og 33 min før Lise møder tanten i Roskilde h) Hvor langt er de fra hinanden efter 2,5 timer 31,5 24,15 * 2,5* 3,375 2,5* 96, ,5* 2,5 3,375 24,15* 2,5 96, ,85 Heraf fås at de er 11,85 km fra hinanden

13 Eksempel 2. To mobilselskaber har følgende tilbud på betaling af mobiltelefoni.en forretning har følgende to tilbud, når der lejes en bil. Prisen er bl.a. afhængig af hvor mange km, der køres. FONIA: 1 kr i fast abonnement og 1,5 kr pr. minut GEMSIGT: 5 kr i fast abonnement + 2,5 kr/ minut for de første 5 minutter. Ringer du længere tid skal du kun betale yderligere 5 øre pr. minut. Eksempel 3. Lise bor i Næstved og Lars bor i Roskilde. De må ikke komme sammen for deres forældre fordi Lars kommer fra Roskilde og Lise kommer fra Næstved. Det synes de er ufedt, så de beslutter at mødes under dække af en cykeltur. Lise cykler fra Næstved mod Roskilde og Lars cykler fra Roskilde mod Næstved. Der er 8 km mellem Roskilde og Næstved. Man kan også sige, at Roskilde ligger 8 km fra Næstved. Deres cykeltur foregår under dække af at Lars skal besøge en onkel i Næstved og Lise skal besøge en tante i Roskilde. Lars cykler det første stykke med en hastighed på 21 km/t og Lise cykler det første stykke med en hastighed på 27 km/t. Efter et stykke tid møder de hinanden og bruger 45 min på at kigge hinanden dybt i øjnene, sige romantisk ord og kysse en lillebitte smule. Derefter fortsætter de mod hver sin by og pga. af at de lige har oplevet et glimt af kærligheden stiger deres hastighed med 15% Svar med udgangspunkt i nogle af de syv trin på følgende spørgsmål: a) Hvor langt er de fra Næstved, da de mødes? b) Hvor langt er de fra Roskilde, da de mødes? c) Hvor lang tid går der før de mødes? d) Hvad er Lises hastighed efter mødet? e) Hvad er Lars` hastighed efter mødet? f) Hvor lang tid går der i alt før Lars møder onklen? g) Hvor lang tid går der i alt før Lise møder tanten? h) Hvor langt er de fra hinanden efter 2,5 timer? GODT RÅD: Lad hastigheden være i km/min.