Slide 1/25
Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25
Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling. Hvad tager vi med herfra? Slide 3/25
Hvad er matematik? Hvad er matematik ifølge dig? 1) Hvad er de mest grundlæggende elementer i matematik? 2) Kan man diskutere om 2 + 2 = 4? Og hvordan? 3) Er alt hvad matematikken siger sandt? Og hvis ja, hvorfor? Slide 4/25
Hvad er matematik? - fortsat Lad os se på definitionen af de naturlige tal N: 0 := har 0 elementer 1 := { } har 1 elementer 2 := {, { }} har 2 elementer 3 := {, { }, {, { }}} har 3 elementer 4 := {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} har 4 elementer.. Definér efterfølgerfunktionen S : N N ved Definér nu addition + : N N N ved S(x) = x {x} n + 0 = n for alle n N n + (m + 1) = (n + m) + 1 for alle n, m N Slide 5/25
Opvarmning Hvornår bruger vi tal, og hvornår bruger vi bogstaver? Geometrisk bevis for Pythagoras læresætning: I enhver retvinklet trekant gælder, at summen af kvadraterne på kateterne er lig kvadratet på hypotnusen. Med andre ord a 2 + b 2 = c 2 Slide 6/25
Lad os først definere begrebet mængde: Definition: En mængde A er en samling af objekter. Et objekt a, som findes i A, kaldes et element i A og vi skriver a A (læs: a tilhører A). Vi betragter dernæst specielt talmængderne: De naturlige tal De hele tal De rationale tal N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { a Q = b } a Z, b N To rationale tal a 1 b 1 og a 2 b 2 er ens, hvis a 1 b 2 = a 2 b 1. Findes der tal, som ikke kan skrives som brøker..? Vi viser, at 2 ikke er et rationalt tal! De reelle tal R er alle tal, der kan tilnærmes vilkårligt ved en følge af rationale tal. Slide 7/25
En brøk er en anvendelig måde at håndtere divisionsstykker på. Lad a, b R med b 0, da skrives en brøk a b Vi undersøger først, hvordan addition (+) og subtraktion ( ) udføres i de rationale tal Q. Eksempel: Betragt følgende eksempel 1 4 + 3 8 = 1 2 4 2 + 3 8 = 2 8 + 3 8 = 5 8 Eksempel: Betragt følgende eksempel 1 3 3 7 = 1 7 3 7 3 3 7 3 = 7 21 9 21 = 2 21 Slide 8/25
- regneregler Generelt får vi følgende regler for addition (+) og subtraktion ( ) af brøker a b + c ad + bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. Generelt får vi følgende regel for multiplikation ( ) af brøker og a b c ad bc = d bd hvor a, b, c, d R med b, d 0. a b c d = a c b d Generelt får vi følgende regel for division (/) af brøker a b c d = a b d c = a d b c hvor a, b, c, d R med b, c, d 0. Slide 9/25
- gæt en formel Afgør hvilke af følgende formler er korrekte, og hvilke er falske. I tilfælde af korrekthed skal der argumenteres ud fra de kendte regneregler; i tilfælde af falskhed skal der angives et modeksempel. Lad a, b, c, d R være valgt, så der på intet tidspunkt deles med 0 i det følgende. a) b) c) d) a b c = a c b c a + b + c a + b + d = a a + b b + c d a b c = ac b a b c b c = a e) f) g) h) a b c ad bc = d bd a b c + d = a c b d. a b c = a c b c. a b c + d = a c + b d. Slide 10/25
- Opsummering Addition og subtraktion af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b + c ad + bc = d bd og a b c ad bc = d bd Multiplikation af brøker: Lad a, b, c, d R med b, d 0. Da haves a b c d = a c b d Division af brøker: Lad a, b, c, d R med b, c, d 0. Da haves a b c d = a b d c = a d b c Pas på med at finde på dine egne regneregler! Alle opgaver kan løses ud fra de 4 ovenstående! Slide 11/25
Lad n N være et naturligt tal, mens a R er reel. Vi definerer da { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } Slide 12/25
- regneregler Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved m gange n+m gange { }} { { }} { { }} { a n a m = a a... a a a... a = a a... a = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal er bestemt ved { }} { a n n-m gange a m = a a... a { }} { = a a... a = a n m a a... a } {{ } m gange Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved { }} { { }} { { }} { a n b n = a a... a b b... b = (a b) (a b)... (a b) = (a b) n Slide 13/25
- regneregler fort. Lad i det følgende a, b R, mens m, n N. Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent, er bestemt ved { }} { { }} { a n b n = a a... a a = b b... b b a b... a ( a ) n b = b } {{ } Regel 5: En potens af et potensudtryk er bestemt ved (a n ) m { }} { = a a... a m m { }} { = a a... a = a mn m gange { }} { { }} { { }} { { }} { = a a... a a a... a... a a... a Slide 14/25
- regneregler fort. Lad i det følgende a R +, mens m, n N. Definition: Vi definerer eksponenter med rationale eksponenter som følger a m/n = n a m Ovenstående regler for heltalige eksponenter gælder ligeledes for rationale (og reelle) eksponenter. Regel 5 (for rationale eksponenter): Lad os vise regel 5 for rationale eksponenter p, q Q. Vi bemærker først, at der findes r, s, t Z, så p = r/s og q = s/t. Da fås (a p ) q = ( a r/s) s/t ( = ) t s s a r t = a r = a r/t = a s r st = a p q Slide 15/25
- gæt en formel Afgør hvilke af følgende formler er korrekte, og hvilke er falske. I tilfælde af korrekthed skal der argumenteres ud fra de kendte regneregler; i tilfælde af falskhed skal der angives et modeksempel. Lad a, b R + og lad m, n N. a) a n + b m = (a + b) m b) a n a m = a m n a n b m c) a n = b m e) ( a m/n) n/k = k a m f) a n a n = 1. g) a n = a n. d) 1 = an a n h) n a 2n = a 2. Slide 16/25
- opsummering Lad i det følgende a, b R +, mens m, n N. Vi definerer da { }} { a n = a a... a, a 0 = 1, a n 1 = a a... a } {{ } Regel 1: Produktet af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = a n+m Regel 2: Division af to potensudtryk med samme grundtal a n a m = an m Regel 3: Produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n b n = (a b) n Regel 4: Division af to potensudtryk med forskellige grundtal, men samme eksponent a n ( a ) n b n = b Regel 5: En potens af et potensudtryk (a n ) m = a m n Definition: Vi definerer potensudtryk med rationale eksponenter som følger Slide 17/25 a m/n = n a m
Lad a, b R være givet. Første kvadratsætning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Anden kvadratsætning: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Tredje kvadratsætning: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Bemærk den trivielle betragtning, at kvadratet på et vilkårligt reelt tal er ikke-negativt. Vi kan bruge dette til at vise a + b ab 2 for alle positive tal a, b R +. Slide 18/25
En ligning er et prædikat med én eller flere frie variable (typisk x, y, z,...) Målet med ligningsløsning er at bestemme konkrete værdier af de frie variable, så ligningen er opfyldt ved indsættelse af netop disse værdier. Vi taler om grundmængden; hvilke værdier må x antage i følgende ligninger 1 x = x og x + 5 x + 2 = 6 2x + 4 Den grundlæggende teknik er identiske omskrivninger på begge sider af lighedstegnet. Lidt flere eksempler: a) Betragt ligningen b) Betragt ligningen c) Bestem a, b, c, d R, så x 2 + 1 = 10 12 x = 4 x + 2 ax + b = cx + d har én løsning, ingen løsning og uendeligt mange løsninger. Slide 19/25
- et eksempel Vi betragter et mere avanceret eksempel. Eksempel: Betragt ligningen Hvilke værdier kan x antage? x 4x 1 = 1 2 Vi får følgende omskrivninger 4x 1 > 0 x > 1 4 x 4x 1 = 1 2 x2 4x 1 = 1 4 x2 = 1 (4x 1) 4 4x 2 = 4x 1 4x 2 4x + 1 = 0 (2x 1) 2 = 0 2x 1 = 0 2x = 1 x = 1 2 Vi bemærker, at x = 1 2 > 1 4, hvorfor vi kan acceptere løsningen. Slide 20/25
kan betragtes som resktriktioner af de frie variable x, y, z,... Betragt følgende to ligninger y = 2x + 3 og y = 3 2 x + 2 Vi har to metoder til at bestemme værdier af de frie variable, så ligningerne er opfyldt. Vi skal se nærmere på to løsningsstrategier; grafisk løsning og substitutionsmetoden. Vi undersøger flere eksempler a) Betragt ligningssystemet 4y x 1 = 10 2x + 2y = 18 b) Betragt ligningssystemet 2x 3 y = 1 3 3x y 3 = 2y Slide 21/25
En andengradsligning er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Vi søger en generel metode til at bestemme en værdi for x, så ligningen er opfyldt. Vi husker at ligningen havde løsningen x = 1 2. 4x 2 4x + 1 = 0 Sætning (light-udgaven): Betragt ligningen ax 2 + bx = 0, a 0 Da har vi løsningerne x = 0 og x = b a Slide 22/25
Bevis for andengradsligningers løsningsformel Sætning: Betragt ligningen ax 2 + bx + c = 0, a 0 Da har vi løsningerne såfremt b 2 4ac 0. x = b + b 2 4ac 2a og x = b b 2 4ac 2a Bevis: Antag b 2 4ac 0. Vi får da følgende omskrivninger ax 2 + bx + c = 0 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac (2ax) 2 + 2 2ax b + b 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = b 2 4ac 2ax + b = ± b 2 4ac x = b ± b 2 4ac 2a Slide 23/25
Teoretisk eksempel: Betragt ligningen k 2 x 2 + 2(k + 1)x + 4 = 0 Bestem k, så ligningen har hhv. 0, 1 og 2 løsninger. a) Betragt ligningen b) Betragt ligningen c) Betragt ligningen 2x 2 + 8x + 6 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 4x 2 = x 2 Slide 24/25
- substitution Somme tider kan et problem omarrangeres, så det ligner en almindelig andengradsligning - vi benævner dette princip substitution. Betragt ligningerne Betragt ligningerne x 4 x 2 12 = 0, og 2x 4 5x 2 + 9 8 = 0 x + 5 x 36 = 0, og 2x + 3 2 x + 2 = 0 Betragt ligningen 2x 2 22x 1 + 36 = 0 Slide 25/25